Nonparametric Methods in Spot Volatility Estimation
Nichtparametrische Methoden für das Schätzen der Spot-Volatilität
von Anselm Johannes Schmidt-Hieber
Datum der mündl. Prüfung:2010-10-26
Erschienen:2011-01-06
Betreuer:Prof. Dr. Axel Munk
Gutachter:Prof. Dr. Axel Munk
Gutachter:Prof. Dr. Lutz Dümbgen
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Format:PDF
Zusammenfassung
Englisch
This work is devoted to study a model, where we observe a stochastic process X under additional measurement noise. The main objective is to estimate a ``fluctuation measure``, called the volatility/intermittency of the latent (unobservable) process X, given the perturbed data. We will deal with two major subproblems: The cases where X is a Gaussian Volterra process and the case where X is a continuous Itô semimartingale. We refer to them as the Gaussian Volterra and semimartingale problem, respectively. These models are motivated by applications from turbulence modeling and finance. The Gaussian Volterra problem is entirely new and we show that reconstruction of the spot volatility can be accomplished through spectral decomposition of the covariance combined with Fourier series estimation. For the semimartingale problem, we prove that wavelet thresholding, based on pre-averaging as a first step, leads to an adaptive estimator of the spot volatility. In both models the estimators converge with the optimal rate of convergence (up to some logarithmic factors) under fairly general assumptions regarding the noise process. Our finding is that microstructure noise leads to a general reduction of the rates of convergence by a factor 1/2. Finally, we illustrate the estimators by numerical simulations and application to log-returns of high-frequency stock data.
Keywords: Adaptive estimation; Fourier series; high-frequency data; Volterra process; minimax; microstructure noise; nonparametric estimation; semimartingale; spot volatility; wavelets
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Wir untersuchen ein Modell, bei dem ein
stochastischer Prozess X unter additivem Messfehler beobachtet
wird. Das Hauptziel dieser Arbeit besteht darin ein Fluktuationsmaß
(die Volatilität/Intermittenz) des nicht direkt beobachtbaren
Prozesses X, gegeben die verrauschten Daten, zu schätzen. Wir
studieren dieses Problem für die zwei wichtigen Fälle wenn X ein
Gaußscher Volterra-Prozess oder ein stetiges Itô Semimartingal ist
und bezeichnen dies entsprechend als Gaußsches Volterra- bzw.
Semimartingal-Problem. Diese Modelle finden Anwendung in der
Turbulenzmodellierung und der Finanzwirtschaft. Das Gaußsche
Volterra-Problem wird hier erstmals betrachtet und wir zeigen, dass
die Rekonstruktion der Spot-Volatilität mittels einer
Spektralzerlegung der Kovarianz in Verbindung mit
Fourierreihenschätzmethoden erzielt werden kann. Für das
Semimartingal-Problem beweisen wir, dass Wavelet-Thresholding nach
Anwendung der pre-averaging Technik in einem ersten Schritt, zu
einem adaptiven Schätzer für die Spot-Volatilität führt. In beiden
Modellen konvergieren die Schätzer mit den optimalen Raten (bis auf
logarithmische Terme) unter schwachen Bedingungen an das Rauschen.
Unser Ergebnis ist, dass Mikrostrukturrauschen die Konvergenzraten
halbiert. Wir veranschaulichen die Schätzer durch numerische
Simulationen und Anwendung auf log-returns für hochfrequente
Finanzzeitreihen.
Schlagwörter: Adaptives Schätzen; Fourierreihen; hochfrequente Daten; Volterra Prozess; Minimax; Mikrostrukturrauschen; nichtparametrisches Schätzen; Semimartingal; Spot-Volatilität; Wavelets