Zusammenfassung
Ein wesentlicher Aspekt dieser Dissertationsschrift ist die Erweiterung der
Anwendbarkeit von Funktionalintegralen in Quantenstatistik und Quantenfeldtheorie.
Im ersten Teil wird die Definition kontinuierlicher
statistischer Pfadintegrale von einem störungstheoretischen Standpunkt aus diskutiert, der automatisch
auf eine Hochtemperaturentwicklung führt. Anschließend
werden allgemeine Gaußsche Phasenraum-Pfadintegrale behandelt, wobei die
harmonischen Korrelationsfunktionen dazu dienen, die Variationsstörungstheorie
als Resummationsmethode für
divergente Störungsreihen in den Teilen drei und vier weiterzuentwickeln.
Der störungstheoretische Teil auf der einen Seite und die
nichtperturbative Berechnung von Pfadintegralen auf der anderen wird überbrückt mit der Entwicklung
einer rekursiven graphischen Konstruktionsmethode für Feynman-Diagramme in Teil zwei.
Damit lassen sich systematisch alle topologisch
verschiedenen Diagramme und ihre Multiplizitäten generieren, die zu einer bestimmten Ordnung
der Störungsentwicklung
beitragen. Entwickelt für die Erzeugung der Vakuumdiagramme für die freie Energie
des anharmonischen Oszillators in hohen störungstheoretischen Ordnungen, lassen sich
die grundlegenden graphischen Manipulationstechniken wie Aufschneiden und
Amputieren von Linien und Vertizes auch auf n-Punkt-Korrelationsfunktionen anwenden.
Damit können auch Graphen für Streuprozesse in Quantenfeldtheorien systematisch
generiert werden, wie an verschiedenen Beispielen aus der Quantenelektrodynamik demonstriert wird.
Motiviert durch zum Teil nicht existierende analytische Resultate wird die
Variationsstörungstheorie auf atomare Systeme bei beliebigen Temperaturen und
zur Bestimmung thermodynamischer Eigenschaften fluktuierender Membranen angewendet. Dies wird
durch die Erweiterung des Resummationsverfahrens in vielfältiger Weise möglich.
Die Berechnung von Dichtematrizen macht z.B. eine Verallgemeinerung der
Verschmierungsformel erforderlich, bei der eine Gaußsche Faltung des klassischen Potentials
die Berücksichtigung von thermischen und Quantenfluktuationen ermöglicht. Diese
Verschmierungsformel ist ein wesentliches Hilfsmittel insbesondere bei nichtpolynomialen
Potentialen, wo die übliche Wick-Regel zur Zerlegung der Korrelationsfunktionen einer
Verallgemeinerung bedarf. Diese Theorie wird auf die Berechnung der Teilchendichte im
Doppelmulden-Potential und die Elektronendichte im Coulomb-Potential angewendet, wobei
letzteres als nichtpolynomiales Beispiel dient. In beiden Fällen liefert das
Näherungsverfahren gute Ergebnisse.
Eine weitere wichtige Anwendung ist die Berechnung des effektiven klassischen Potentials
für das Wasserstoffatom im Magnetfeld. Hierfür wird die Variationsstörungstheorie
im Phasenraum formuliert, so daß sie jetzt auch für Systeme mit verallgemeinerten Impulsen
benutzt werden kann. Das effektive klassische Potential, das die gesamte quantenstatistische
Information eines Systems enthält, wurde in erster Ordnung Variationsstörungstheorie
bestimmt. Im Grenzfall verschwindender Temperatur liefert das Minimum des effektiven klassischen Potentials
die Grundzustandsenergie des Systems. Wir erhalten einen analytischen Ausdruck, der automatisch
die Grenzfälle schwacher und starker Magnetfelder interpoliert
und für alle Feldstärken genaue Ergbenisse liefert. Das für schwache und starke Felder
sehr unterschiedliche asymptotische Verhalten der Bindungsenergie läßt sich mit Hilfe
unseres Ausdruckes detailliert untersuchen. Im Schwachfeldfall wird das
Potenzreihenverhalten der Entwicklung bestätigt, während für starke Felder ein
kompliziert strukturiertes logarithmisches Verhalten auftritt.
Als Anwendung der Starkkopplungstheorie in der Membranphysik wird die universelle
Druckkonstante berechnet, die im Druckgesetz von Helfrich für eine Membran auftritt, die zwischen zwei Wänden
fluktuiert. Dabei werden die Wände durch ein parameterbehaftetes Potential simuliert, das
so konstruiert ist, daß es für verschwindenden Parameter die Wände exakt reproduziert.
Der nichtharmonische Anteil des Potentials kann störungstheoretisch behandelt und die
Störungsreihe mit Hilfe der Variationsstörungstheorie näherungsweise aufsummiert werden.
Die erhaltenen Näherungen in verschiedenen Ordnungen der Variationsstörungstheorie lassen sich
ins Unendliche extrapolieren. Die so erhaltene Druckkonstante ist in exzellenter
Übereinstimmung mit früheren Monte-Carlo-Ergebnissen.
Ein ähnliches Verfahren dient dazu, die Druckkonstanten für einen Stapel von mehreren
Membranen zwischen zwei Wänden zu berechnen. Wiederum stimmen die Ergebnisse sehr gut
mit aus Monte-Carlo-Simulationen gewonnenen Werten überein. Der Notwendigkeit, daß sich
die Membranen nicht gegenseitig durchdringen dürfen, wird durch die Betrachtung des
Starkkopplungs-Grenzwertes eines künstlich eingeführten Abstoßungspotentials Rechnung
getragen. Dabei wird die Ähnlichkeit zwischen dem Membranstapel und einem System von Strings
ausgenutzt, die sich zwischen zwei linienartigen Wänden befinden. Dieses Vergleichssystem
ist exakt behandelbar und dient der Bestimmung von Potentialparametern, die sich dann unmittelbar
für das Membranproblem verwenden lassen. |
