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FU Berlin
Digitale Dissertation

Martin Petzoldt :
Regularität und Fehlerschätzer für elliptische Probleme mit unstetigen Diffusionskoeffizienten
Regularity and error estimators for elliptic problems with discontinuous coefficients

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|Zusammenfassung| |Inhaltsverzeichnis| |Ergänzende Angaben|

Zusammenfassung

Wir untersuchen lineare elliptische Gleichungen mit unstetigen Diffusionskoeffizienten k in zwei und drei Raumdimensionen. Der Koeffizient k ist auf polygonalen (polyhedralen) Teilgebieten konstant und durch globale Schranken von oben und unten beschränkt. Diese Probleme werden auch Laplace Interface Probleme genannt. Es ist bekannt, dass die Lösungen dieser Probleme durch auftretende Singularitäten eine geringere Regularität besitzen.

Im zweiten Kapitel untersuchen wir die H (s) Regularität, wobei s aus (1,2) ist. Unter Nutzung einer bekannten Bedingung an die Struktur des Koeffizienten - der Quasimonotoniebedingung - geben wir Regularitätresultate in Sobolevräumen H (1+1/4) an, die unabhängig von globalen Schranken des Koeffizienten gelten. Wir zeigen das die Quasimonotoniebedingung auch notwendig für Aussagen über höhere Regularität unabhängig von den globalen Schranken von k sind. Des weiteren werden scharfe Regularitätsresultate gezeigt, die von den Schranken für den Diffusionskoeffizient abhängen. Hier zeigen wir das eine schachbrettartige Verteilung von Werten für k zu der geringsten möglichen Regularität führt. Die Regularitätsaussagen in 3D werden auf der Grundlage der 2D Resultate hergeleitet.

Im dritten Kapitel dieser Arbeit wird das Problem mit Finiten Elementen diskretisiert. Es wird vorgeschlagen, die auftretenden Singularitäten durch Gitterverfeinerung auf Grundlage von a posteriori Fehlerschätzer zu behandeln. Wenn der Diffusionskoeffizient die Quasimonotoniebedingung erfüllt, zeigen wir, dass die Fehlerschätzer den Diskretisierungsfehler von oben unabhängig von den Schranken des Koeffizienten abschätzen. Für die untere Schranke wird die Quasimonotoniebedingung nicht gebraucht.

Verschiedene numerische Beispiele bestätigen die Anwendbarkeit der hergeleiteten Fehlerschätzer auf Probleme mit Singularitäten. Diese Beispiele schliessen Modellprobleme sowie Probleme mit realen Daten aus der Grundwasserströmungssimulation als auch 3D-Beispiele ein. Sie zeigen, dass die Gitterverfeinerung zu einer Reduktion des Fehlers gemessen in den Freiheitsgeraden von N hoch (-1/Raumdimension) führt. Das Quotient von Fehlerschätzer und Fehler nimmt problemunabhängige, gemässigte Werte an.

Inhaltsverzeichnis

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0. Titel page and contents
1. Introduction 3
2. Regularity results for interface problems 7
2.1 Outline 7
2.2 The interface problem for the Laplacian 8
2.3 Notation 9
2.4 Regularity in 2D 11
2.5 The quasi-monotone case 17
2.6 The general case 28
2.7 Regularity in 3D 36
3. Adaptive Finite Element Method 39
3.1 Introduction 39
3.2 Problem setting 40
3.3 Finite Element Method on uniform grids 42
3.4  Finite Element Method on adapted grids 43
3.5 Interpolation operators 44
3.6 Residual based error estimators 53
3.7 Other estimators 59
3.8 Extension to more general problems 61
3.9 Application to transient problems 73
4. Numerical Experiments 77
4.1 Error estimators and adaptive refinement 77
4.2 Implementation issues 78
4.3 Error reduction rates 79
4.4 Robustness 81
4.5 Examples with deteriorating regularity 82
4.6 Examples with real data 88
4.7 Numerical examples in 3D 95
4.8 Example for a parabolic problem 100
4.9 Conclusions for the numerical experiments 101
5. Conclusions, Acknowledgement and Bibliography 103
A Zusammenfassung 111

Ergänzende Angaben:

Online-Adresse: http://www.diss.fu-berlin.de/2001/111/index.html
Sprache: Englisch
Keywords: discontinuous coefficients, interface problems, transmission problems, singularities, regularity, a posteriori error estimators
DNB-Sachgruppe: 27 Mathematik
Klassifikation MSC: 35B65 35J25 65N30 65N15
Datum der Disputation: 30-May-2001
Entstanden am: Fachbereich Mathematik u. Informatik, Freie Universität Berlin
Erster Gutachter: Prof. Dr. Eberhard Bänsch
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Rüdiger Verfürth
Dritter Gutachter: Prof. Dr. Anna-Margarete Sändig
Kontakt (Verfasser): martin.petzoldt@gmx.de
Kontakt (Betreuer): baensch@wias-berlin.de
Abgabedatum:26-Jun-2001
Freigabedatum:19-Oct-2001

 

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