Subspace Arrangements

A subspace arrangement is a finite family of subspaces of euclidean space R^n. The combinatorics and topology of complements of such arrangements are well studied objects and enjoy a long history of research.

Chapter 1 of the present thesis gives a complete description of the multiplication of the integral cohomology ring of a real coordinate subspace arrangement. The used methods rely on a simplicial version of a result by Ziegler and Zivaljevic, the duality of the cross polytope and the cube, and involve elementary calculations in cubical cohomology.

Chapter 2 is motivated by a conjecture of S. Yuzvinsky. In a very fruitful collaboration with Carsten Schultz the ring structure of the integral cohomology of general subspace arrangements could be described. In particular, for arrangements in which all appearing codimensions are greater or equal two, we give a complete combinatorial description of the integral cohomology ring. The combinatorial data is necessarily extended to the following: intersection lattice, dimension function, and orientation information. This proves a generalization of the conjecture by Yuzvinsky mentioned above.

Stable Kneser Graphs

Laszlo Lovász's proof of the Kneser conjecture, on the chromatic number of Kneser graphs, is an ingenious application of the Borsuk-Ulam theorem and can be considered as a prototype of a theorem in topological combinatorics.

The discovery of the vertex critical subgraphs of the Kneser graphs - the stable Kneser graphs - by Alexander Schrijver led to the question about the topology of the associated simplicial complexes defined by Lovasz. The obvious guess was that these complexes should be spheres.

Together with Anders Björner this could be proved during a very enjoyable stay in Stockholm in December 1998. Our proof in Chapter 3 is elementary and employs standard techniques from topological combinatorics.

Unterraumarrangement

Ein Unterraumarrangement ist eine endliche Familie von Unterräumen des euklidischen Raums R^n. Die Kombinatorik und Topologie der Komplemente solcher Arrangements sind seit langem Gegenstand intensiver Forschung.

Kapitel 1 der vorliegenden Arbeit gibt eine vollständige Beschreibung der Multiplikation des ganzzahligen Kohomologierings reeller Koordinatenunterraumarrangements. Die eingesetzten Methoden stützen sich auf eine simpliziale Version eines Satzes von Ziegler und Zivaljevic, der Dualität zwischen Kreuzpolytop und Würfel, und involvieren elementare Rechnungen in kubischer Kohomologie.

Kapitel 2 wurde motiviert durch eine Vermutung von S. Yuzvinsky. In einer sehr fruchtbaren Zusammenarbeit mit Carsten Schultz wurde die Ringstruktur der ganzzahligen Kohomologie allgemeiner Unterraumarrangements beschrieben. Insbesondere für Arrangements, die keine Schnitte von Kodimension eins zulassen, geben wir eine vollständige kombinatorische Beschreibung des ganzzahligen Kohomologieringes. Die kombinatorischen Daten sind notwendigerweise erweitert worden zu: Schnittverband, Dimensionsfunktion, Orientierungsinformation. Damit zeigen wir eine Verallgemeinerung der Vermutung Yuzvinskys.

Stabile Knesergraphen

Laszlo Lovászs Beweis der Kneservermutung über die chromatische Zahl der Knesergraphen ist eine geniale Anwendung des Borsuk-Ulam-Theorems und kann als Prototyp eines Satzes in der topologischen Kombinatorik angesehen werden.

Die Entdeckung eckenkritischer Untergraphen der Knesergraphen - der stabilen Knesergraphen - durch Alexander Schrijver führte zu der Frage über die Topologie der assoziierten, durch Lovász definierten, Simplizialkomplexe. Eine naheliegende Vermutung war, daß diese Sphären seien.

Zusammen mit Anders Björner konnte dies während eines Aufenthaltes in Stockholm im Dezember 1998 gezeigt werden. Unser Beweis in Kapitel 3 ist elementar und macht Gebrauch von Standardtechniken der topologischen Kombinatorik.