| Solving Nonlinear Adjustment Problems in the Determination of Frequencies in Time Series |
Schlüsselwörter:
nichtlineare Ausgleichungsrechnung, Frequenzen, Spektralanalyse, Frequenzanalyse, Zeitreihen, globale Optimierung, Optimierungsproblem, Geodäsie, Heuristiken, heuristische Verfahren
nonlinear, nonlinear adjustment, frequencies, spectral analyses, time series, global optimization, optimizing problems, geodesy, heuristic, heuristic techniques
Sachgruppe der DNBAbstract
With regard to geodesy optimizing procedures for nonlinear adjustment problems are presented. The procedures can be divided into local and global optimization techniques according to the type of the problem. If good initial values are given, the usage of local optimization techniques, (e.g., the Gauß-Newton procedure) is justified. If this is not the case, and the minimizing function has various local minimums, a global strategy must be implemented. Applying global optimization techniques one will not yield the global solution with certainty; only a probabilistic solution will be obtained. Nevertheless, combining local and global strategy and inclusion of all available a priori-information, a global optimizing system can be established that yields practical results for a wide area of problems. With the increase of the capacity of modern computers the efficiency of global optimization algorithms comes along.
One example of a global optimization problem is the spectral analysis of a time series with the frequencies as unknowns. In contrast to the classic Fourier series, the frequencies are not given a priori. This results a nonlinear, multimodal optimization problem. The technique of spectral analysis for unknown frequencies applies heuristic operators of construction and replacement, whereas the determination of the amplitudes and phase shifts can easily be solved as a linear problem detached from the heuristic algorithm. The model function with frequencies as unknowns has been taken as a basis to model data from an altimeter satellite. In comparison to the Fourier series, the solutions are physically interpretable and numerically stable in the event of data gaps and allow the description of data with fewer parameters.
Ziel der Arbeit ist der Einsatz globaler Optimierungsverfahren in der Geodäsie und die daraus resultierende Ausweitung der funktionalen Modelle. Um die Notwendigkeit globaler Verfahren zu motivieren, bedarf es eines tiefen Einblicks in die klassische Ausgleichung. Häufig wird in der Ausgleichungsrechnung lediglich eine durch Näherungswerte vorgegebene Lösung entlang des Gradienten geringfügig korrigiert. Wegen der vergleichbar "winzigen" Verschiebung von Unbekannten spricht man auch von lokaler Optimierung. Die lokalen Optimierungsverfahren versagen, wenn keine Näherungslösung verfügbar ist und eine nichtlineare, multimodale Zielfunktion vorliegt. Von einem multimodalen Problem kann gesprochen werden, wenn mehrere lokale Minima existieren. In diesem Fall liefern die Gradientenverfahren eine von den Startwerten abhängige, unter Umständen suboptimale Lösung. In der Regel ist jedoch nur die globale Lösung als absolutes Minimum der Zielfunktion von Bedeutung. Für Probleme dieser Klasse muß deshalb eine globale Minimumsuche durchgeführt werden. Die globalen Optimierungsverfahren sind in der Literatur auch unter den Namen heuristische, probabilistische oder randomisierte Verfahren bekannt, da die Auswahl der Punkte, an denen Funktionswerte berechnet werden, zufällig erfolgt. Bei der lokalen Optimierung erübrigt sich die zufällige Suche nach Punkten, weil ein Vektor mit den Näherungswerten schon vorgegeben sein muß. Kombiniert man lokale und globale Optimierung und bringt alle verfügbaren a priori-Informationen ein, so läßt sich ein Optimierungssystem aufbauen, daß für eine sehr große Problemklasse brauchbare Resultate liefert.
Es lassen sich viele Beispiele für globale Optimierungsprobleme in der Geodäsie finden. Üblicherweise existieren Meßwerte und ein entsprechendes Modell, das die physikalischen Zusammenhänge über die Beobachtungen mit Hilfe von Funktionen beschreibt. Durch die Minimierung einer Norm (in der Regel die L2-Norm ) ergibt sich eine Zielfunktion, die je nach Wahl des funktionalen Modells mehr oder weniger kompliziert ist. Im einfachsten Fall handelt es sich um eine konvexe Zielfunktion, deren Minimum sich leicht berechnen läßt. Trigonometrische oder logarithmische Modellfunktionen, sowie hochgradige Polynome führen zu multimodalen Zielfunktionen. Sobald keine ausreichenden Näherungswerte vorhanden sind, ist eine Linearisierung sinnlos und die lokale Optimierung nicht mehr anwendbar.
Ein Beispiel für ein globales Optimierungsproblem ist die Spektralanalyse von Zeitreihen für unbekannte Frequenzen. Im klassischen Fouriermodell legt man die Frequenzen von vorne herein fest und berechnet lediglich die Amplituden. Die Festlegung auf bestimmte Frequenzen begründet sich in der Geradlinigkeit der Berechnung. Sind die Frequenzen bekannt, bleibt für die Bestimmung der übrigen Unbekannten lediglich ein lineares Problem, das zur Gruppe der geschlossenen Lösungen gezählt werden kann. Werden die Frequenzen jedoch als unbekannte Parameter betrachtet, ergibt sich ein "hochgradig" nichtlineares Problem. Auf dieses Problem ist nur ein globales Lösungsverfahren erfolgreich anwendbar.
Der Aufbau der heuristischen Spektralanalyse beginnt mit der Festlegung einer bestimmten Anzahl harmonischer Schwingungen und der Begrenzung des Definitionsbereichs der unbekannten Frequenzen. Die Wahl der Intervallgrenzen ist beliebig, jedoch nur zwischen 0 und der Nyquist-Frequenz sinnvoll. Anschließend wird eine Kombination von Frequenzen mit heuristischen Methoden konstruiert. Nach der Konstruktion liegt ein mit Werten gefüllter Unbekanntenvektor vor. Es erfolgt die Bewertung des Vektors durch Einsetzen in die Zielfunktion und Berechnung der Qualität. Daraufhin wird mit Hilfe eines Ersetzungsoperators entschieden, ob der konstruierte Vektor verworfen, oder aber der Liste gespeicherter Vektoren hinzugefügt wird. Die Schritte Konstruktion, Bewertung und Ersetzung werden solange wiederholt, bis sich ein Satz mit optimal auf die Daten angepaßten Frequenzen ergibt. Die Bestimmung der Amplituden und Perioden ist ein lineares Problem und daher geschlossen möglich.
Das Modell mit nicht postulierten Frequenzen wird auf künstlich erzeugte Testdaten angewendet. Die Testdatensätze enthalten eine diskrete Zeitreihe mit sich überlagernden, harmonischen Schwingungen. Mit Hilfe des neu eingeführten Modells lassen sich die Frequenzen der Schwingungen wieder exakt aus den vorliegenden Daten extrahieren. Die Lösung der heuristischen Optimierung stimmt mit den Parametern, die zur Generierung der Testdaten dienten, exakt überein. Anhand der erzeugten Daten zeigt sich, daß die globale Lösung des nichtlinearen Problems gefunden wurde. Die Effizienz eines Verfahrens hängt im wesentlichen von der Einbindung lokaler Verfahren ab. Eine physikalisch begründete Anzahl an Modellfrequenzen läßt sich bei Hinzunahme einzelner Schwingungen durch die signifikante Änderung des Funktionswertes der Zielfunktion abschätzen.
Das Modell mit unbekannten Frequenzen wurde auf geodätisches Datenmaterial angewendet. Trotz einer großen Dateninkonsistenz der verwendeten Altimeterdaten, lassen sich einige Periodizitäten identifizieren. An die Stelle von 2 ‰ 60 Fouriergliedern treten 20 optimierte Frequenzen. Etwa die Hälfte dieser Frequenzen konnte in allen Zyklen des Satelliten identifiziert werden. Aufgrund der geringen Anzahl an Frequenzen bleibt die Berechnung der Amplituden auch beim Vorhandensein großer Datenlücken stabil. Es zeigen sich minimale Restklaffungen mit nur wenigen Modellparametern. Diese Indizien weisen darauf hin, daß es sich bei dem Modell um einen funktionalen Zusammenhang handelt, der die physikalisch verursachten Schwingungen direkt beschreibt. Eine physikalisch begründete Interpretation einzelner Frequenzen wird ermöglicht.
| Gutachter | Lelgemann, Dieter; Prof. Dr.-Ing. |
| Gutachter | Gründig, Lothar; Prof. Dr.-Ing. |
| Gutachter | Grafarend, Erik W.; Prof. Dr.-Ing. |
| Upload: | 2001-02-20 |
| URL of Theses: | http://edocs.tu-berlin.de/diss/2000/mautz_rainer.pdf |