| Quadratische Wachstumsraten von Geodäten auf F-Strukturen mit einer Anwendung auf polygonale Billiards |
Schlüsselwörter:
Polygonal Billiards, Translation surfaces, asymptotic Constants, Teichmüller spaces, Geodesics
Polygonale Billiards, Translationsflächen, Asymptotische Konstanten, Teichmüller-Räume, Geodäten
Sachgruppe der DNBAbstract
This work is centered around the problem to find growth constants for the
growth rates of certain kinds of geodesics, on translation surfaces or more
generally F structures. This kind of problem is motivated by the study of
polygonal billiards. We develop the necessary formal language by using
quadratic differentials and explain in which way a polygonal billiard
gives rise to an F structure. Since in all known attempts to attack the
counting problems Teichmüller- and Modulispaces of F structures will occur
we explain their natural manifold structure. Every F structure has a symmetry
group, called the affine group and associated to it the Veech group.
The properties of the affine and the Veech group are collected. The
importance of the affine group is seen in the fact that one is able to
parameterize all geodesics on an F structure and finally compute their
quadratic asymptotic if the affine group of an F structure is a lattice.
Eskin and Masur, inspired by an idea of W. Veech, recently found a way to
prove for a bigger class of F structures the existence of asymptotic growth
constants. We present an outline of this theory together with a description
how to use Ratners theorem if one has a homogeneous space parameterizing
F structures. Finally we compute quadratic growth constants of saddle
connections and closed geodesics on two marked tori as functions of the
relative marking. Some properties of these functions are shown in the more
general context of spaces of n-marked tori.
Die Absicht der vorliegenden Arbeit ist es darzustellen, wie quadratische
Wachstumskonstanten für (gewisse Arten von) Geodäten auf F-Strukturen
berechnet werden können. F-Strukturen sind grob gesprochen Flächen zusammen
mit einem quadratischen Differential. Sie stellen einen allgemeinen formalen
Rahmen zum Studium der polygonalen Billiards dar, der genaue Zusammenhang
wird in der Arbeit beschrieben. Die Eigenschaften von F-Strukturen im
Hinblick auf das Studium ihrer Geodäten, ebenso wie die Mannigfaltigkeiten
Struktur ihrer Modulräume werden besprochen.Der SL(2,R)-Orbit jeder
F-Struktur besitzt eine Symmetriegruppe, die sogenannte affine Gruppe.
Aus der affinen Gruppe lässt sich eine weitere Gruppe, die Veech-Gruppe,
ableiten. Die Eigenschaften dieser Gruppen werden behandelt. W. Veech konnte
für F-Strukturen, deren Veech-Gruppe ein Gitter ist, die quadratischen,
asymptotischen Konstanten für Wachstumsraten von Geodäten berechnen.
Diese Theorie wird näher beleuchtet, einige der bekannten Resultate werden
bewiesen und für Anwendungen auf F-Strukturen verfeinert.
Es folgt eine Darstellung der von Eskin, Masur und Veech entwickelten Idee,
die fast sichere Existenz von quadratischen Wachstumskonstanten in
Modulräumen von F-Strukturen unter Benutzung von Siegel-Veech Maßen zu zeigen.
Sind die Parameterräume der F-Strukturen SL(2,R)-invariante homogene Räume,
dann liefert Ratners Klassifikation von ergodischen Maßen sogar punktweise
Resultate. Diese Ergebnisse können auf gewisse polygonale Billiards angewendet
werden. Der Hauptteil der Arbeit besteht darin, die quadratischen
Wachstumskonstanten für markierte Tori zu berechnen, beziehungsweise deren
Existenz und Verhalten in Abhängigkeit von der Markierung zu verstehen.
Enthalten sind auch Beschreibungen der affinen- und der Veech-Gruppe von
zweifach rational markierten Tori. Der Index dieser Veech-Gruppen in
SL(2,Z) wird auf zwei verschiedene Weisen berechnet. Außerdem werden die
Wachstumskonstanten von Sattel-Verbindungen und periodischen Bahnen als
Funktionen der relativen Markierung auf dem Parameterraum zweifach
markierter Tori angegeben.
| Betreuer | Krüger, Tyll; Dr. Habil. |
| Gutachter | Seiler, Ruedi; Prof. Dr. |
| Gutachter | Krüger, Tyll; Dr. Habil. |
| Gutachter | Schmeling, Jörg; Dr. Habil. |
| Gutachter | Troubetzkoy, Serge; Prof. PhD |
| Upload: | 2000-08-25 |
| URL of Theses: | http://edocs.tu-berlin.de/diss/2000/schmoll_martin.pdf |