| Rationale Absicherung und Bewertung unter Nutzen-basierten Präferenzen |
Schlüsselwörter:
Mathematical Finance, Stochastic Analysis, Utility-Based Hedging, Utility Indifference Valuation, Reaction Diffusion Equations
Finanzmathematik, Stochastische Analysis, Nutzenbasierte Absicherung, Nutzen-Indifferenz Bewertung Reactions-Diffusions Gleichungen,
Sachgruppe der DNBAbstract
In this thesis, we study stochastic optimization problems in which concave
functionals are maximized on spaces of stochastic integrals. Such problems
arise in mathematical finance for a risk-averse investor who is faced with
valuation, hedging, and optimal investment problems in incomplete financial
markets. We are mainly concerned with utility-based methods for the valuation
and hedging of non-replicable contingent claims which confront the issuer with
some inevitable intrinsic risks.
We adopt the perspective of a rational investor who aims to maximize his
expected exponential utility. Based on these preferences, the issuer's
valuation process and hedging strategy are defined via utility indifference
arguments. In a general semimartingale model, the solution to this problem
is characterized by a stochastic representation problem.
Solving the problem amounts to finding a martingale measure whose density
process can be written in a particular form. We then specialize our analysis
to two stochastic models which satisfy further structural assumptions. In a
semi-complete product model, the valuation and hedging methods are shown to
be additive when applied to an aggregate of ``sufficiently independent''
individual claims. We study the impact of diversification and derive a
computation scheme. For a second model, we set up a Markovian system of
stochastic differential equations which describes the dynamics of an Ito
process and an additional finite-state process, and permits for various
dependencies between both. In the financial market model, the Ito process
models the price fluctuations of the risky assets while the second process
represents some untradable factors of risk. The solution to the pricing and
hedging problem is explicitly described by an interacting system of
semi-linear partial differential equations, a so-called reaction-diffusion
equation. Using Feynman-Kac results and the Picard-iteration method, we
establish existence and uniqueness of a classical solution.
In a variation of the basic theme, a similar utility indifference approach is app
lied to quantify the value of additional investment information. On the
mathematical side, this involves a martingale preserving measure
transformation and martingale representation results for initially enlarged
filtrations. Finally, we show that the so-called numeraire portfolio is
related to another utility-based valuation method which relies on a marginal
rate of substitution argument and can be seen as a limiting case of the
utility indifference method.
Die vorliegende Arbeit behandelt stochastische Optimierungsprobleme,
in denen ein konkaves Funktional über einem Raum
von stochastischen Integralen maximiert wird. In der Finanzmathematik
treten derartige Probleme bei der Behandlung von Bewertungs-,
Absicherungs-, und Anlageproblemen in unvollständigen
Finanzmärkten auf. Wir beschäftigen uns vornehmlich mit
nutzenbasierten Methoden zur Bewertung und Absicherung von zufallsbehafteten
Finanzpositionen, welche unvermeidbare intrinsische Risiken beinhalten.
Wir betrachten das Problem aus der Perspektive eines rationalen Investors,
dessen Ziel die Maximierung seines erwarteten exponentiellen Nutzens ist.
Ausgehend von diesen Präferenzen, definieren wir mittels
Nutzenindifferenz-Argumenten seinen Bewertungsprozess und eine
Absicherungsstrategie. In einem Semimartingalmodell kann
die Lösung durch ein stochastisches Darstellungsproblem
charakterisiert werden. Um das Problem zu lösen, gilt es ein
Martingalmaß \ zu finden, dessen Dichteprozess eine bestimmte Form
hat. Im Weiteren untersuchen wir zwei Modelle, welche gewissen strukturellen
Bedingungen genügen. In einem halbvollständigen Produktmodell
wird gezeigt, dass die Nutzenindifferenz-Bewertungs- und Absicherungsmethode
additiv ist, wenn sie auf ein Aggregat von ``genügend unabhängigen''
Positionen angewandt wird. Wir untersuchen Diversifikationseffekte und
leiten ein Berechnungsschema her. Für das zweite Modell betrachten wir
ein Markovsches System stochastischer Differentialgleichungen, welches einen
Ito-Prozess und einen weiteren Prozess mit endlichem Zustandsraum beschreibt
und verschiedene wechselseitige Abhängigkeiten zulässt. In unserem
Marktmodell stellt der Ito-Prozess die Preise der riskanten Anlagen dar
während der zweite Prozess irgendwelche nicht handelbaren Risikofaktoren
repräsentiert. Die Lösung des Bewertungs- und Absicherungsproblems
wird durch ein wechselwirkenendes System semilinearer partieller
Differentialgleichungen, eine so genannte Reaktions-Diffusions Gleichung,
beschrieben. Mittels Feynman-Kac Resultaten und der Iterationstechnik von
Picard zeigen wir Existenz und Eindeutigkeit einer klassischen Lösung.
Ergänzend zu unserem Hauptthema nutzen wir ein ähnliches
Indifferenzargument um den Wert von zusätzlichen Anlage-Informationen
zu quantifizieren. Die wesentlichen Mittel sind eine Martingal erhaltende
Maß transformation und Martingal-Darstellungsresultate für
anfangsvergröß erte Filtrationen. Schließlich zeigen wir,
dass das so genannte Numeraire-Portfolio mit einer weiteren nutzenbasierten
Bewertungsmethode zusammenhängt, welche sich auf ein Grenznutzenargument
stützt und als Grenzfall der Indifferenz-Methode angesehen werden kann.
| Betreuer | Schweizer, Martin, Prof. Dr. |
| Gutachter | Davis, Mark H.A., Prof. Dr. |
| Gutachter | Imkeller, Peter, Prof. Dr. |
| Gutachter | Schweizer, Martin, Prof. Dr. |
| Upload: | 2001-10-29 |
| URL of Theses: | http://edocs.tu-berlin.de/diss/2001/becherer_dirk.pdf |