Homotopieeindeutigkeit von Produkten Orthogonaler Gruppen

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultäten der Georg-August-Universität zu Göttingen

vorgelegt von Helmut Morgenroth

aus Bad Harzburg

Göttingen 1996

9.12.1996

D7 Referent: Prof. Dr. Dietrich Notbohm Korreferent: Prof. Dr. Ulrich Stuhler Tag der mündlichen Prüfung: 30.1.97

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 3 1 Notationen und elementare Konstruktionen 7 2 Konstruktion des Normalisators 11 3 Der Normalisator, Teil 2 20 4 Die 2–störrischen Untergruppen von O(n) 25 5 Die Homotopieäquivalenz 31 6 Die höheren Limites 36 Literaturverzeichnis 41

Einleitung

Eine der wesentlichen Fragestellungen der algebraischen Toplogie ist die folgende: Unter welchen Voraussetzungen ist ein topologischer Raum durch seine algebraischen Invarianten - gegeben etwa durch Homologie, Kohomologie oder Homotopiegruppen - bis auf Homotopieäquivalenz charakterisiert?

Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Selbst bei gutartigen Räumen wie endlich dimensionalen 1–zusammenhängenden CW–Komplexen liefert eine Isomorphie in der integralen Kohomologie nur dann eine Homotopieäquivalenz, wenn sie von einer topologischen Abbildung induziert wird. Das Problem besteht darin, die Existenz einer solchen Abbildung nachzuweisen.

Mit der Konstruktion einer solchen Abbildung in einer speziellen Situation beschäftigen wir uns in dieser Arbeit. Wir behandeln klassifizierende Räume kompakter Liescher Gruppen. Diese große Klasse topologischer Räume ist besonders geeignet für derartige Konstruktionen, da sich die Gruppenstruktur teilweise auf den klassifizierenden Raum überträgt. Mit den derzeit zur Verfügung stehenden Techniken läßt sich diese am besten auswerten, wenn man mod–p Kohomologie, also Kohomologie mit Koeffizienten in ℤ/p betrachtet. Dann liefern nämlich die klassifizierenden Räume elementar–abelscher p–Gruppen den Ausgangspunkt unserer Konstruktion: Ist V eine elementar–abelsche p–Gruppe, so stimmen (unter leichten Voraussetzungen an den Raum BX) die Homotopieklassen topologischer Abbildungen BV → BX mit den algebraischen Abbildungen H^{∗}(BX; ℤ/p) → H^{∗}(BV; ℤ/p) überein (Lannes, [L]). Da wir mod–p Kohomologie verwenden, müssen wir die Hoffnung auf integrale Resultate aufgeben und uns auf p– vollständige Räume beschränken. Mit Vollständigkeit meinen wir stets Vollständigkeit im Sinne von Bousfield und Kan [B-K].

Wir betrachten den klassifizierenden Raum BG einer kompakten Lieschen Gruppe G und einen Raum BX mit isomorpher mod–p Kohomologie. Ist die elementar–abelsche p–Gruppe V eine Untergruppe in G, liefert uns dies eine Abbildung f_{V} : BV → BX.

In vielen Fällen kann man den Raum map(BV, BX)_{f_{V}} mit einer weiteren Untergruppe in G identifizieren und mittels der Auswertungsabbildung auch von dieser Gruppe aus eine Abbildung nach BX konstruieren (Dwyer–Zabrodsky, Notbohm [D-Z, N 1]). Mit Konstruktionen wie denen aus Kapitel 2, die aber stark von der speziellen Gruppe G und der Primzahl p abhängen, konstruiert man damit schließlich für den Normalisator N(T) des maximalen Torus T in G eine Abbildung BN(T) → BX.

Für eine große Klasse von Gruppen G und Primzahlen p ist damit das Problem gelöst: In dem Fall, daß p die Ordnung der Weylgruppe W_{G} von G nicht teilt, ist nämlich (bis auf Komplettierung) BN homotopiäquivalent zu BG und mittels obiger Abbildung auch zu BX. Dies bewiesen Dwyer, Miller und Wilkerson in [D-M-W]. Für die Behandlung der verbleibenden Gruppen und Primzahlen stellte Notbohm ein Programm auf [N 2]. Es beruht auf der Approximation eines klassifizierenden Raumes BG durch die klassifizierenden Räume gewisser Untergruppen in G. Dies erlaubt uns, Abbildungen BG → BX aus unterschiedlichen Abbildungen BP → BX zusammenzusetzen. Die große Schwierigkeit bei der Durchführung dieses Programmes liegt in dem Nachweis, daß diese Abbildungen auf kleineren Gruppen tatsächlich zusammenpassen.

Notbohm hat dieses Programm für zusammenhängende Gruppen mit torsionsfreier ganzzahliger Kohomologie an ungeraden Primzahlen durchgeführt.

In dieser Arbeit werden die Methoden dem Fall Orthogonaler Gruppen und der Primzahl 2 angepaßt. Ein wesentlicher Unterschied zu den bekannten Resultaten liegt darin, daß O(n) nicht zusammenhängend ist.

Diese allgemeinen Ausführungen werden jetzt konkretisiert.

Definition. Ein p–vollständiger Raum BX heißt vom gleichen mod–p Typ wie BG, wenn ein Isomorphismus

Φ : H^{∗}(BX; ℤ/p) → H^{∗}(BG; ℤ/p)

von Algebren über der Steenrod–Algebra A_{p} existiert.

Definition. Der klassifizierende Raum BG heißt homotopieeindeutig an der Primzahl p, wenn gilt: Jeder p–vollständige Raum vom selben mod p Typ wie BG ist homotopieäquivalent zur p–adischen Vervollständigung BG_{p}^{∧} von BG.

Wir wollen in dieser Arbeit den folgenden Satz beweisen:

Satz. Sei O ein Produkt Orthogonaler Gruppen, sei BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie BO. Dann ist BX homotopieäquivalent zu BO_{2}^{∧}. Kurz: BO ist homotopieeindeutig an 2.

Wir haben einen Raum BX gegeben, dessen mod–2 Kohomologie algebraisch isomorph zu der von BO ist. Unser Ziel ist es, eine Abbildung f : BO → BX zu konstruieren, die einen solchen Isomorphismus induziert.

Der folgende Satz ist zentral für diese Konstruktion. Er besagt, daß BG durch die p–störrischen Untergruppen approximiert wird. Bezeichne R_{p}G die volle Unterkategorie der Orbit–Kategorie O(G), deren Objekte die homogenen Räume G/P mit p–störrischen Untergruppen P sind. Auf die für uns interessante Kategorie R_{2}(O) gehen wir in Kapitel 4 näher ein.

Satz. (Jackowski, McClure, Oliver [J-M-O]) Sei G eine kompakte Liegruppe. Die kanonische Abbildung

⟶_{R_{p}G}^{holim} EG ×_{G} G/P → BG

ist eine p–lokale Äquivalenz.

Hieraus ergibt sich die Identität:

map(BG, BX) ≃ map(holim_{\overrightarrow{R_{p}G}}EG ×_{G} G/P, BX)
= holim_{\overleftarrow{R_{p}G}}(EG ×_{G} G/P, BX)  mit EG ×_{G} G/P ≃ BP.

Wir führen die Konstruktion der gesuchten Abbildung f : BO_{2}^{∧} → BX durch, indem wir erst die Abbildung auf den 2–störrischen Untergruppen P von O definieren. Dann zeigen wir, daß diese Abbildungen geeignet zusammenpassen.

Jede 2–störrische Gruppe P in O ist konjugiert zu einer Untergruppe des Normalisators des maximalen Torus N(T_{O}). Daher können wir die gesuchten Abbildungen für die 2–störrischen Gruppen durch eine Abbildung auf dem Normalisator definieren.

Proposition. Sei BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie BO, N der Normalisator des maximalen Torus in O.

1. Dann existiert eine Abbildung f_{N} : BN → BX.

2. Die Abbildung f_{N} kann so gewählt werden, daß das Diagramm

[figure: BN; Bi_{N}; f_{N}; BO; BX]

in mod–2–Kohomologie kommutiert.

Notation. Der gepunktete Pfeil steht für eine Abbildung in Kohomologie. Er deutet an, daß wir die (topologische) Abbildung noch konstruieren wollen.

Diese Aussage beweisen wir in den Kapiteln 2 und 3.

Definition. Sei P in O eine 2–störrische Untergruppe, die im Normalisator N des maximalen Torus T_{O} enthalten ist. Wir definieren f_{P} als die Verknüpfung

BP →^{Bi} BN →^{f_{N}} BX.

Um zu zeigen, daß diese Abbildungen geeignet zusammenpassen, beweisen wir in Kapitel 5 die folgende Aussage:

Proposition. Sei BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie BO, N der Normalisator des maximalen Torus in O, c_{g} : O/P → O/P′ ein Morphismus von R_{2}(O), gegeben durch Konjugation. Dann kommutiert das Diagramm

[figure: BP; Bi; Bc_{g}; BN; f_{N}; BX; BP′; Bi′; BN; f_{N}; BX]

bis auf Homotopie.

Wegen der Kommutativität des Diagramms existiert eine Abbildung des 1–Gerüsts des Homotopie–Kolimes nach BX. Die Hindernisse gegen eine Erweiterung zu einer Abbildung des gesamten Homotopie–Kolimes nach BX liegen in

lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O)}}π_{i}(map(BP, BX)_{f_{P}}). [Wo]

Um diese Gruppen zu berechnen, vergleichen wir die Funktoren

Π_{i}(X), Π_{i}(O) : R_{2}(O)  → AB
Π_{i}(O)(O/P) := π_{i}(map(BP, BO)_{Bi_{P}})
Π_{i}(X)(O/P) := π_{i}(map(BP, BX)_{f_{P}})

Da π_{1}((map(BP, BO)_{Bi_{P}}) ≅ π_{1}(map(BP, BX)_{f_{P}}) abelsche Gruppen sind, liegen die Werte dieser Funktoren tatsächlich in der Kategorie der abelschen Gruppen.

Proposition. Es existiert eine natürliche Äquivalenz von Funktoren

T : Π_{i}(O) → Π_{i}(X).

Diese Proposition beweisen wir in Kapitel 5. Daher können wir die beiden Funktoren Π_{i}(X), Π_{i}(O) miteinander identifizieren und der Übersichtlichkeit halber beide als Π_{i} bezeichnen.

Für die Gruppe O verschwinden die Hindernissgruppen:

Satz. Sei Π_{i}(O/P) := map(BP, BO)_{Bi_{P}}. Bezeichnen wir das Zentrum einer Gruppe G mit Z(G), so gilt

lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}(Π_{i}) = \{ \begin{matrix}π_{i−1}(Z(O(n))) & falls j = 0 \\ 0 & falls j > 0. \end{matrix}

Diesen Satz beweisen wir in Kapitel 6.

Damit haben wir die Existenz der Abbildung f : BO → BX nachgewiesen. Nach Konstruktion induziert f einen Isomorphismus in mod–2 Kohomologie und ist damit die gesuchte Homotopieäquivalenz.

Bemerkung. Mittels eines Eilenberg–Moore–Spektralfolge Argumentes folgt, daß (ΩBX, BX, id) eine 2–kompakte Gruppe im Sinne von [D-W] ist. Daher haben wir die Bezeichnung BX (statt X) gewählt.

Ich danke Herrn Professor Dr. Dietrich Notbohm für die Betreuung wärend der Anfertigung dieser Arbeit und für hilfreiche Gespräche. Auch Ulrike Reichenbach, Frank Neumann und Antonio Viruel danke ich für viele Diskussionen. Des weiteren danke ich Bob Oliver, der mir einen unveröffentlichten Teil der Arbeit [J-M-O] überlassen hat. Das Kapitel 6 beruht auf dieser Vorlage. Außerdem danke ich dem SFB 170 und der DFG für die finanzielle Unterstützung in der Zeit, in der diese Arbeit angefertigt worden ist.

Kapitel 1

Notationen und elementare Konstruktionen

In diesem Kapitel legen wir zunächst einige Notationen für den Rest der Arbeit fest. Im zweiten Teil des Kapitels zitieren wir die Sätze, die für unsere Konstruktionen unerläßlich sind und führen die Konstruktionen durch, die einfache Folgerungen aus diesen Sätzen sind.

Für eine Orthogonale Gruppe O(n) betrachten wir die folgenden Untergruppen. Dabei sei m=[n/2] die größte ganze Zahl kleinergleich n/2 und ϵ=n-2m.

\begin{aligned}E & := (ℤ/2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ} \\ F & := (ℤ/2)^{n} \\ L & := O(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ} \\ N & := O(2) ≀ Σ_{m} × (ℤ/2)^{ϵ} \end{aligned}

Hier und im Folgenden soll (ℤ/2)^{ϵ} für ϵ = 0 stets bedeuten, daß dieser Faktor nicht auftritt. Die Gruppe der Permutationen auf m Elementen bezeichnen wir mit Σ_{m}. Sie operiert in natürlicher Weise auf E und L. Die Gruppen sind in natürlicher Weise ineinander enthalten

E ↪ F ↪ L ↪ N ↪ O(n)

durch die Abbildungen

\begin{matrix}E ↪ F & , & (t_{1}, … t_{m}, t^{ϵ}) ↦ (t_{1}, t_{1}, … t_{m}, t_{m}, t^{ϵ}) \\ F ↪ L & , & (t_{1}, … t_{n}) ↦ diag(t_{1}, … t_{n}) \\ L ↪ N & , & (A_{1}, …, A_{m}, t^{ϵ}) ↦ ((A_{1}, …, A_{m}; id), t^{ϵ}) \end{matrix}

Man kann leicht nachrechnen, daß L der Zentralisator C_{O(n)}(E) von E ist. E ist das Zentrum von L und N ist der Normalisator des maximalen Torus in O(n). Für ein Produkt Orthogonaler Gruppen

O = ∏_{i=1}^{a} O(n_{i})

bezeichnen wir die Produkte der entsprechenden Untergruppen in den einzelnen Faktoren mit

E := ∏_{i=1}^{a} E_{i}  ↪^{i_{E}} O
F := ∏_{i=1}^{a} F_{i}  ↪^{i_{F}} O
L := ∏_{i=1}^{a} L_{i}  ↪^{i_{L}} O
N := ∏_{i=1}^{a} N_{i}  ↪^{i_{N}} O
Σ := ∏_{i=1}^{a} Σ_{m_{i}}

In dem folgenden Satz stellen wir die Informationen über die mod–2 Kohomologiealgebren der Räume BO, BL, BF, BE zusammen.

Satz 1.1. Seien O, L, F, E wie oben angegeben. Dann gilt für die mod–2 Kohomologie:

1.

H^{∗}(BO) ≅ ⨂_{i=1}^{a} H^{∗}(BO(n_{i}))

H^{∗}(BL) ≅ ⨂_{i=1}^{a} H^{∗}(BL_{i})

H^{∗}(BF) ≅ ⨂_{i=1}^{a} H^{∗}(BF_{i})

H^{∗}(BE) ≅ ⨂_{i=1}^{a} H^{∗}(BE_{i})

2.

\begin{aligned}H^{∗}(BO(n)) & ≅ 𝔽_{2}[w_{1}, …, w_{n}] \\ H^{∗}(BL) & ≅ 𝔽_{2}[l_{1}^{(1)}, l_{2}^{(1)}, …, l_{1}^{(m)}, l_{2}^{(m)}, t_{1}^{ϵ}] \\ H^{∗}(BF) & ≅ 𝔽_{2}[f_{1}^{(1)}, …, f_{1}^{(n)}] \\ H^{∗}(BE) & ≅ 𝔽_{2}[e_{1}^{(1)}, …, e_{1}^{(m)}, t_{1}^{ϵ}] \end{aligned}

Hierbei gibt der untere Index stets den Grad des Elements an, der obere, zu welchem Faktor das Element gehört. Der Erzeuger w_{j} ist die j.te Stiefel Whitney Klasse.

3. Die Inklusionen induzieren die folgenden Morphismen in Kohomologie:

(a) BL ↪ BO(n) induziert

w_{j} ↦ ∑_{j_{1}+...j_{m}+j_{ϵ}=j} l_{j_{1}}^{(1)} · . . . · l_{j_{m}}^{(m)} · t_{j_{ϵ}}^{ϵ}

(b) BF ↪ BL induziert

\begin{matrix}l_{1}^{(j)} & ↦ & f_{1}^{(2j−1)} + f_{1}^{(2j)} \\ l_{2}^{(j)} & ↦ & f_{1}^{(2j−1)} · f_{1}^{(2j)} \\ t_{1}^{ϵ} & ↦ & f_{1}^{(n)} \end{matrix}

(c) BE ↪ BF induziert

\begin{matrix}f_{1}^{(2j−1)} & ↦ & e_{1}^{(j)} \\ f_{1}^{(2j)} & ↦ & e_{1}^{(j)} \end{matrix}

Sei jetzt BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie BO. Dann gibt es einen Isomorphismus

\begin{aligned}Φ : & H^{∗}(BX; ℤ/2) & → & H^{∗}(BO; ℤ/2) \\ & x_{j}^{(i)} & ↦ & w_{j}^{(i)} \end{aligned}

von Kohomologie–Algebren. Damit sind die Erzeuger x_{j}^{(i)} eindeutig festgelegt.

Wir werden im Laufe der Arbeit zu allen oben angegebenen Abbildungen nach BO entsprechende Abbildungen der vervollständigten Räume nach BX konstruieren. Hier zitieren wir einige grundlegende Sätze für unsere Konstruktionen und erhalten als Folgerungen daraus die ersten drei Abbildungen.

Satz 1.2. (Lannes [L]) Sei BX ein p–vollständiger Raum und H^{∗}(BX; ℤ/p) von endlichem Typ. Für eine elementar–abelsche p–Gruppe V gilt dann: Die kanonische Abbildung

[BV, BX] → Hom_{A_{p}}(H^{∗}(BX; ℤ/p), H^{∗}(BV; ℤ/p))

ist ein Isomorphismus.

Mit Hilfe dieses Satzes können wir die Abbildungen für die elementar–abelschen 2–Gruppen E und F leicht finden:

Definition 1.3.

Wir setzen für f_{E} : BE → BX die durch f_{E}^{∗} = Bi_{E}^{∗} ∘ Φ bis auf Homothopie eindeutig charakterisierte Abbildung.

Wir setzen für f_{F} : BF → BX die durch f_{F}^{∗} = Bi_{F}^{∗} ∘ Φ bis auf Homothopie eindeutig charakterisierte Abbildung.

Für die 2–torale Gruppe L konstruieren wir die gesuchte Abbildung mit Hilfe der folgenden Sätze:

Satz 1.4. (Dwyer-Zabrodsky, Notbohm[D-Z, N 1]) Für eine p–torale Gruppe P und eine kompakte Liesche Gruppe G ist die natürliche Abbildung

Rep(P, G) → [BP, BG]

ein Isomorphismus und die Abbildung

BC_{G}(ρ) → map(BP, BG)_{Bρ}

eine mod–p Äquivalenz.

Im folgenden Satz tritt der Lannesche T-Funktor auf.

Satz 1.5. (Lannes [L]) Sei BX ein p–vollständiger Raum und H^{∗}(BX; ℤ/p) von endlichem Typ. Sei V eine elementar–abelsche p–Gruppe. Falls für eine Abbildung g : BV → BX die Algebra T_{g^{∗}}^{V}(H^{∗}(BX; ℤ/p)) frei in Grad ≤ 2 ist, so ist die Abbildung

T_{g^{∗}}^{V}(H^{∗}(BX; ℤ/p)) → H^{∗}(map(BV, BX)_{g}; ℤ/p)

ein Isomorphismus und map(BV, BX)_{g} p–vollständig.

Frei in Grad ≤ 2 bedeutet, daß die Multiplikation zweier Elemente von Grad 1 bis auf Vertauschung injektiv ist. Bei uns ist diese Bedingung erfüllt:

T_{f_{E}^{∗}}^{E}(H^{∗}(BX; ℤ/2)) ≅ T_{Bi_{E}^{∗}}^{E}(H^{∗}(BO; ℤ/2))
≅ H^{∗}(BC_{O}(E); ℤ/2)
≅ H^{∗}(BL; ℤ/2)

ist frei in Grad ≤ 2. Wir berechnen:

H^{∗}(map(BE, BX)_{f_{E}}; ℤ/2) ≅ T_{f_{E}^{∗}}^{E}(H^{∗}(BX; ℤ/2))
≅ H^{∗}(BL; ℤ/2)

Wegen des folgenden Satzes gilt daher BL_{2}^{∧} ≃ map(BE, BX)_{f_{E}}.

Satz 1.6. Sei BY ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie B(O(2)^{n} × (ℤ/2)^{k}). Dann ist BY homotopieäquivalent zu B(O(2)^{n} × (ℤ/2)^{k})_{2}^{∧}.

Beweis. In [M] wurde die Homotopieeindeutigkeit von BO(2)^{n} bewiesen. Wegen der einfachen Struktur von B(ℤ/2)^{k} liefern dieselben Methoden auch die Homotopieeindeutigkeit des Produkts B(O(2)^{n} × (ℤ/2)^{k}).

Definition 1.7. Die Abbildung f_{L} : BL_{2}^{∧} → BX ist gegeben als die Verknüpfung

BL_{2}^{∧} ≃ map(BE, BX)_{f_{E}} →^{ev} BX

.

Konstruktion des Normalisators

Sei O ein Produkt Orthogonaler Gruppen und BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie BO.

Im letzten Abschnitt haben wir Abbildungen konstruiert, die in dem folgenden Diagramm aufgelistet sind:

[figure: BE; f_{E}; BF; f_{F}; BL; f_{L}; BX; BN]

Dieses Diagramm wollen wir jetzt durch eine Abbildung auf BN erweitern. Die Konstruktion erstreckt sich über zwei Kapitel: In diesem Kapitel konstruieren wir eine Abbildung g_{N} : BN → BX. In dem nächsten Kapitel ersetzen wir g_{N} durch eine Abbildung f_{N}, die dann auch in Kohomologie die richtige ist. Zunächst fassen wir einige Zusammenhänge zwischen Gruppenerweiterungen und Faserungen zusammen, die wir in der Konstruktion verwenden.

Gruppenerweiterungen und Faserungen

Definition 2.1.

Sei G eine (nicht notwendig) abelsche Gruppe, H eine Gruppe. E_{ϕ}(H, G) bezeichnet die Menge aller Äquivalenzklassen von Erweiterungen von H durch G zu der Operation ϕ : H → Aut(G). Zwei Erweiterungen E′ und E′′ heißen dabei äquivalent, wenn es einen Homomorphismus e : E′ → E′′ gibt, für den das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: E′; e; 1; G; H; 1; E′′]

Fib_{ψ}(B, F) bezeichnet die Menge aller Äquivalenzklassen von Faserungen mit Basisraum B und Faser F, bei denen π_{1}(B) durch ψ auf F operiert. Zwei Faserungen Y′ und Y′′ heißen dabei äquivalent, wenn es eine Abbildung f : Y′ → Y′′ gibt, für die das folgende Diagramm kommutiert:

[figure: Y′; f; F; B; Y′′]

In Definition 2.1 ist e : E′ → E′′ automatisch ein Isomorphismus, f : Y′ → Y′′ automatisch eine Homotopieäquivalenz.

Satz 2.2. Gruppenerweiterungen sind klassifiziert durch

E_{ϕ}(H, G) ≅ H_{ϕ}^{2}(H; Z(G))

Beweis. Nach [MacL] können wir Gruppenerweiterungen nicht-abelscher Gruppen G durch den Übergang zum Zentrum Z(G) auf den Fall von Erweiterungen abelscher Gruppen zurückführen. In diesem Fall ordnet man jeder Erweiterung eine sogenannte Faktormenge zu. Diese kann als Element von H_{ϕ}^{2}(H; Z(G)) aufgefaßt werden und gibt an, wie sich die Erweiterung vom semidirekten Produkt unterscheidet. Diese Zuordnung liefert eine 1–1 Beziehung zwischen den Äquivalenzklassen von Erweiterungen und H_{ϕ}^{2}(H; Z(G)).

Fib_{ψ}(B, F) läßt sich nicht in dieser Allgemeinheit berechnen, in dem für uns wichtigen Spezialfall gilt jedoch:

Satz 2.3.

Fib_{ϕ}(BΣ, BL_{2}^{∧}) ≅ H_{ϕ}^{2}(BΣ; Z(L)).

Beweis. Faserungen der Form

BL_{2}^{∧} →^{i} Y →^{p} BΣ

werden nach [St] klassifiziert durch Homotopieklassen von Abbildungen BΣ → BHE(BL_{2}^{∧}). Wir bezeichnen HE(X) := {f : X → X| f ist Homotopieäquivalenz}

SHE(X) := {f : X → X| f ∈ HE(X), f ≃ id_{X}}

Die Verknüpfung BΣ → BHE(BL_{2}^{∧}) → Bπ_{0}(HE(BL_{2}^{∧})) ist die durch die Operation ϕ : Σ → Aut(BL_{2}^{∧}) induzierte Abbildung.

Offenbar ist

BSHE(BL_{2}^{∧}) → BHE(BL_{2}^{∧}) → Bπ_{0}(BHE(BL_{2}^{∧}))

eine Faserung. Wir müssen also die Hochhebungen von Bϕ in dem Diagramm

[figure: BSHE(BL_{2}^{∧}); BΣ; Bϕ; BHE(BL_{2}^{∧}); Bπ_{0}HE(BL_{2}^{∧})]

klassifizieren. Dies ist möglich, da nach Satz 1.4 [D-Z, N] die Faser

BSHE(BL_{2}^{∧}) ≃ BBZ(L_{2}^{∧}) ≃ BBE

ein Eilenberg–MacLane Raum K(E,2) ist. Daher sind die Hochhebungen nach [Wh] folgendermaßen klassifiziert: Die Differenz zwischen zwei Homotopieklassen von Hochhebungen [κ′] und [κ′′] wird gemessen durch

δ^{2}(κ′, κ′′) ∈ H^{2}(BΣ; π_{2}(K(E, 2)) ≅ H^{2}(BΣ; E).

Die Klasse δ^{2}(κ′, κ′′) wird als die primäre Differenz der beiden Hochhebungen bezeichnet und es gilt: Für eine feste Hochhebung κ_{0} liefert die Zuordnung [κ] ↦ δ^{2}(κ_{0}, κ) eine 1–1 Beziehung zwischen den Hochhebungen in obigem Diagramm und H^{2}(BΣ; E).

Nun zum Zusammenhang zwischen Gruppenerweiterungen und Faserungen. Wir bezeichnen dabei mit ( )_{2}^{∘} die fasernweise Komplettierung nach Bousfield und Kan [B-K].

Lemma 2.4. Die Abbildung

B( )_{2}^{∧} :  E_{ϕ}(Σ, L)  →  Fib_{ϕ}(BΣ, BL_{2}^{∧})
(L → G → Σ) ↦ (BL_{2}^{∧} → BG_{2}^{∘} → BΣ)

ist ein Isomorphismus.

Beweis. Eine genaue Untersuchung der Faktormengen aus Satz 2.2 und der primären Differenzen aus Satz 2.3 zeigt: Der Funktor B( ) bildet die Faktormenge f der Gruppenerweiterung 1 → L → G → Σ → 1 auf die primäre Differenz δ^{2}(κ_{0}, Bf) zwischen der klassifizierenden Abbildung Bf der Faserung BL_{2}^{∧} → BG_{2}^{∘} → BΣ und der klassifizierenden Abbildung κ_{0} der Faserung BL_{2}^{∧} → B(L×Σ)_{2}^{∘} → BΣ ab. Dies liefert einen Isomorphismus der klassifizierenden Kohomologiegruppen.

Die Konstruktion

Mit den Bezeichnungen aus Kapitel 1 ist N ≅ L×Σ ein semidirektes Produkt. Die Operation von Σ auf L bezeichnen wir mit ϕ. Die dadurch gegeben Gruppenerweiterung induziert eine Faserung

BL_{2}^{∧} → BN_{2}^{∘} → BΣ ∈ Fib_{ϕ}(BΣ, BL_{2}^{∧}).

Wir konstruieren noch ein weiteres Element von Fib_{ϕ}(BΣ, BL_{2}^{∧}). Die Operation von Σ auf E induziert eine Operation von Σ auf map(BE, BX)_{f_{E}}, da die Komponente von f_{E} unter der Operation stabil ist. Der Orbitraum

BZ := (EΣ × map(BE, BX)_{f_{E}})/Σ

ist nach Konstruktion ebenfalls Totalraum einer Faserung

BL_{2}^{∧} → BZ → BΣ.

Die Auswertung am Grundpunkt liefert eine auf dem Quotienten wohldefinierte Abbildung ev : BZ → BX. Wir zeigen: Die beiden Faserungen sind äquivalent, ihre Totalräume daher homotopieäquivalent. Dabei verwenden wir die folgende Tatsache: Die beiden Diagramme

[figure: BL_{2}^{∧}; f_{L}; BZ; ev; BΣ; BX]

und

[figure: BL_{2}^{∧}; Bi_{L}; BN_{2}^{∧}; Bi_{N}; BΣ; BO]

komutieren in mod–2 Kohomologie. Daher muß in den Leray–Serre Spektralfolgen beider Faserungen das Element Bi_{L}^{∗}(w_{1}) = f_{L}^{∗}(x_{1}) = l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)} überleben. Wir zeigen, daß die Faserung durch diese Bedingung eindeutig bestimmt ist.

Satz 2.5. Sei BL_{2}^{∧} → E → BΣ eine Faserung, für deren Leray–Serre Spektralsequenz gilt:

d_{2}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)}) = 0 und d_{2}(t_{1}^{ϵ}) = 0

für alle Faktoren L_{i} von L. Dann existiert eine Äquivalenz von Faserungen

[figure: BL_{2}^{∧}; E; BΣ; BL_{2}^{∧}; B(L×Σ)_{2}^{∘}; BΣ]

Definition 2.6. Mit der Homotopieäquivalenz aus Satz 2.5 definieren wir g_{N} : BN_{2}^{∧} → BX als die Verknüpfung BN_{2}^{∧} ≃ BZ →^{ev} BX.

Für den Beweis von Satz 2.5 beweisen wir zunächst das folgende Lemma:

Lemma 2.7. Sei B(O(2) × (ℤ/2)^{ϵ})_{2}^{∧} → Y → B eine Faserung mit trivialer π_{1}(B)- Operation auf der Faser. Gilt in der Leray-Serre Spektralfolge dieser Faserung für die Differentiale d_{2}(l_{1}) = 0 = d_{2}(t_{1}^{ϵ}), so ist die Faserung trivial.

Beweis. Nach [St] werden Faserungen F → E → B durch Homotopieklassen von Abbildungen B → BHE(F) klassifiziert. Da die Operation trivial ist, landen die klassifizierenden Abbildungen in BSHE(F). Mit Hilfe des Satzes 1.4 von Dwyer-Zabrodsky und Notbohm [D-Z, N] berechnen wir

\begin{aligned}SHE(BO(2 × (ℤ/2)^{ϵ})_{2}^{∧}) & ≃ B(BC_{O(2)×(ℤ/2)^{ϵ}}(O(2) × (ℤ/2)^{ϵ})) \\ & ≃ B^{2}(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}). \end{aligned}

Mit Hilfe der Morphismen

I_{Z} : ℤ/2 → O(2)  Pr : ℤ/2 × ℤ/2 →  O(2)
t  ↦ diag(t, t)  (s, t)  ↦ diag(s, s)
i_{Z} : ℤ/2 → ℤ/2  pr : ℤ/2 × ℤ/2 →  ℤ/2
t  ↦  t  (s, t)  ↦  s
id_{ϵ} : (ℤ/2)^{ϵ} → (ℤ/2)^{ϵ}  Δ :  ℤ/2  → ℤ/2 × ℤ/2
t^{ϵ}  ↦  t^{ϵ}  t  ↦  (t, t)

führen wir die folgenden Konstruktionen durch: Wir bezeichnen die Faserung

B(O(2) × (ℤ/2)^{ϵ})_{2}^{∧} → Y → B

mit (Y). Die Abbildung I_{Z} × id_{ϵ} induziert einen Isomorphismus

B(I_{Z} × id_{ϵ})_{♯} : Fib(B, B(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ})) → Fib(B, B(O(2) × (ℤ/2)^{ϵ})).

Sei (Y′) das Urbild von (Y). Wir definieren (Y′′) := B(Δ × id_{ϵ})_{♯}((Y′)). Wegen pr ∘ Δ = id gilt B(Pr × id_{ϵ})_{♯}((Y′′)) = (Y). Daher existiert das folgende kommutative Diagramm:

[figure: B(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); BΔ; BI_{Z}; B(ℤ/2 × ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); BPr; B(O(2) × (ℤ/2)^{ϵ}); Y′; Y′′; Y; B; B; B]

Die klassifizierenden Abbildungen sind

κ = κ′ : B → B^{2}(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ})

und

[figure: κ′′ : B; κ′; B^{2}(ℤ/2 × ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); B^{2}(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); B(Δ×id_{ϵ})]

In der Spektralsequenz der rechten Faserung in dem Diagramm oben verschwinden nach Voraussetzung die Differentiale: d_{2}(l_{1}) = 0 = d_{2}(t_{1}^{ϵ}). Wegen BPr^{∗}(l_{1}) = f_{1} folgt für die mittlere Faserung

d′′_{2}(f_{1}) = 0 = d′′_{2}(t_{1}^{ϵ}).

Wegen BΔ^{∗}(f_{1}) = e_{1} folgt daraus für die linke Faserung:

d′_{2}(e_{1}) = 0 = d_{2}(t_{1}^{ϵ}).

Für diese Faserung gilt nach der Klassifikation aus [St]

[figure: e_{1} ∈; B(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); B(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); ∋ e_{1}; Y′; ∗; 0 = d′_{2}(e_{1}) ∈; B; κ′; B^{2}(ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); ∋ ι_{2}; κ^{′′∗}(ι_{2}); ι_{2}]

(Entsprechend für t_{1}^{ϵ}.) Daher ist κ^{∗} = κ^{′∗} = 0, also sind die Abbildungen selbst nullhomotop. Die Faserung (Y) wird durch κ klassifiziert, ist also trivial.

Beweis. (des Satzes 2.5) Sei BL_{2}^{∧} → E → BΣ eine Faserung mit der oben angegebenen Operation ϕ von Σ auf L. Wegen des Isomorphismus aus Lemma 2.4

Fib_{ϕ}(BΣ, BL_{2}^{∧}) ≅ E_{ϕ}(Σ, L)

wissen wir, daß sie durch eine Gruppenwerweiterung induziert wird. Es existiert also eine Gruppenerweiterung

0 → L → K → Σ → 0

und eine Äquivalenz von Faserungen

[figure: BL_{2}^{∧}; BK_{2}^{∘}; BΣ; BL_{2}^{∧}; E; BΣ]

Wir müssen zeigen, daß K isomorph zum semidirekten Produkt L×Σ ist. Die Gruppenerweiterungen E_{ϕ}(Σ, L) sind klassifiziert durch

E_{ϕ}(Σ, L) ≅ H_{ϕ}^{2}(Σ; Z(L)) = H_{ϕ}^{2}(Σ; E).

Der Isomorphismus

H_{ϕ}^{2}(Σ; E) = H_{ϕ}^{2}(Σ; ∏_{i=1}^{a} E_{i}) ≅ ∏_{i=1}^{a} H_{ϕ_{i}}^{2}(Σ; E_{i})

ermöglicht es uns, die Gruppenerweiterung

0 → L → K → Σ → 0

in Gruppenerweiterungen

0 → O(2)^{m_{i}} × (ℤ/2)^{ϵ_{i}} → K_{i} → Σ → 0 , i = 1, …, a

zu zerlegen. Die Erweiterung K ist genau dann ein semidirektes Produkt, wenn alle K_{i} es sind. Wir wählen ein festes, aber beliebiges i aus und setzen Σ′ = ∏_{j≠i} Σ_{m_{j}}.

Im Folgenden schreiben wir m für m_{i} und ϵ für ϵ_{i}. Die obige Erweiterung schreibt sich dann als

0 → O(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ} → K_{i} → Σ_{m} × Σ′ → 0.

Wir behandeln zunächst den Fall, daß m ungerade ist. Die Inklusion

Δ : O(2) × (ℤ/2)^{ϵ} → O(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}

induziert einen Morphismus

BΔ_{♯} : Fib(BΣ, B(O(2) × (ℤ/2)^{ϵ})) → Fib(BΣ, B(O(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}))

Für die klassifizierenden Kohomologiegruppen aus Satz 2.3 berechnen wir: Die Verknüpfung

[figure: H_{triv}^{2}(Σ_{m} × Σ′; ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ}); BΔ_{♯}; H_{ϕ_{m}}^{2}(Σ_{m} × Σ′; (ℤ/2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}); ≅; H_{ϕ_{m−1}}^{2}(Σ_{m−1} × Σ′; ℤ/2 × (ℤ/2)^{ϵ})]

ist gegeben durch die Einschränkung von Σ_{m} auf Σ_{m−1}. Diese Abbildung ist für m ≠ 2, 4 ein Isomorphismus und immer ein Epimorphismus. Die senkrechte Isomorphie auf der rechten Seite folgt aus Shapiros Lemma. In jedem Fall erhalten wir ein Diagramm von Faserungen:

[figure: BO(2)_{2}^{∧} × (ℤ/2)^{ϵ}; BΔ; Y_{i}; BΣ_{m} × BΣ′; (BO(2)^{m})_{2}^{∧} × (ℤ/2)^{ϵ}; (BK_{i})_{2}^{∘}; BΣ_{m} × BΣ′]

Auf die obere Faserung können wir Lemma 2.7 anwenden, da Δ(O(2)) gerade die Fixpunktmenge der Σ_{m}–Operation auf O(2)^{m} ist. Es gilt

BΔ^{∗}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)}) = ml_{1} = l_{1}.

Für die Differentiale d und d̃ der Spektralsequenzen

E_{2}^{p,q} ≅ H^{p}(BΣ_{m} × BΣ′; H^{q}((BO(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}; ℤ/2))

und

Ẽ_{2}^{p,q} ≅ H^{p}(BΣ_{m} × BΣ′; H^{q}((BO(2) × (ℤ/2)^{ϵ}; ℤ/2))

ist also

d̃_{2}(l_{1}) = d̃_{2}(BΔ^{∗}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)})) = d_{2}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)}) = 0.

Wegen Lemma 2.7 folgt daraus, daß die obere Faserung trivial ist. Also ist auch die daraus durch den Homomorphismus Δ_{♯} induzierte untere Faserung trivial. Damit ist im Fall m ungerade die Aussage bewiesen. Sei jetzt m gerade. Wegen BΔ^{∗}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)}) = ml_{1} = 0 können wir das selbe Argument wie eben nicht anwenden. Wir führen diesen Fall auf den ungeraden Fall m-1 zurück. Mit der Projektion pr : O(2)^{m} → O(2)^{m−1} auf die ersten (m − 1) Faktoren und der zugehörigen Inklusion ι_{m−1,m} : Σ_{m−1} ↪ Σ_{m} erhalten wir ein kommutatives Diagramm von Faserungen:

[figure: B(O(2)^{m−1} × (ℤ/2)^{ϵ})_{2}^{∧}; (BK′′_{i})_{2}^{∘}; BΣ_{m−1} × BΣ′; BO((2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ})_{2}^{∧}; Bpr; (BK′_{i})_{2}^{∘}; BΣ_{m−1} × BΣ′; Bι_{m−1,m}; B(O(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ})_{2}^{∧}; (BK_{i})_{2}^{∘}; BΣ_{m} × BΣ′]

Dabei gilt: K′_{i} = K_{i} ×_{Σ_{m}} Σ_{m−1} ≅ C_{K_{i}}(ℤ/2), wobei ℤ/2 das Zentrum des letzten Fak-

tors O(2) in O(2)^{m} ist. In C_{K_{i}}(ℤ/2) ist O(2) als normale Untergruppe enthalten und K′′_{i} ≅ C_{K_{i}}(ℤ/2)/O(2).

Für das Differential d der Spektralsequenz

E_{2}^{p,q} ≅ H^{p}(BΣ_{m} × BΣ′; H^{q}((BO(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}; ℤ/2))

der unteren Faserung ist nach Voraussetzung d_{2}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m)}) = 0. Für das Differential d′ der Spektralsequenz

(E′)_{2}^{p,q} ≅ H^{p}(BΣ_{m−1} × BΣ′; H^{q}((BO(2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}; ℤ/2))

der mittleren Faserung ist d′_{2}(l_{1}^{(m)}) = 0, da dieser Erzeuger überlebt. Daher gilt auch

d′_{2}(l_{1} + … + l_{1}^{(m−1)}) = d′_{2}(l_{1} + … + l_{1}^{(m−1)} + l_{1}^{(m)})

= d_{2}(l_{1} + … + l_{1}^{(m)}) = 0 Für das Differential d′′ der Spektralsequenz

(E′′)_{2}^{p,q} ≅ H^{p}(BΣ_{m−1} × BΣ′; H^{q}((BO(2)^{m−1} × (ℤ/2)^{ϵ}; ℤ/2))

der oberen Faserung gilt:

d′′_{2}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m−1)})
= d′_{2}(l_{1}^{(1)} + … + l_{1}^{(m−1)})
= 0

Da m − 1 ungerade ist können wir daraus schließen, daß die obere Faserung trivial ist. Auf dem Niveau der klassifizierenden Kohomologieklassen wird die Konstruktion beschrieben durch

[figure: H^{2}(BΣ_{m−1} × (ℤ/2)^{ϵ}; (ℤ/2) × (ℤ/2)^{ϵ}); ≅; Bι_{m−2,m−1}^{∗}; H^{2}(BΣ_{m} × (ℤ/2)^{ϵ}; (ℤ/2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}); Bι_{m−1,m}^{∗}; H^{2}(BΣ_{m−1} × (ℤ/2)^{ϵ}; (ℤ/2)^{m} × (ℤ/2)^{ϵ}); Bpr_{♯}; H^{2}(BΣ_{m−2} × (ℤ/2)^{ϵ}; (ℤ/2) × (ℤ/2)^{ϵ}); ≅; H^{2}(BΣ_{m−1} × (ℤ/2)^{ϵ}; (ℤ/2)^{m−1} × (ℤ/2)^{ϵ})]

Diese Verknüpfung ist für alle geraden m ein Isomorphismus. Also ist auch die untere Faserung trivial.

Der Normalisator, Teil 2

In Kapitel 2 haben wir die Abbildung g_{N} : BN → BX als Erweiterung der Abbildung f_{F} : BF → BX konstruiert. In diesem Kapitel ersetzen wir g_{N} durch eine Abbildung f_{N} , für die das Diagramm

[figure: BF; Bi_{F}; f_{F}; BN; Bi_{N}; f_{N}; BO; Φ; BX]

in mod–2 Kohomologie kommutiert. Dazu untersuchen wir Hochhebungen in dem Diagramm:

[figure: (∗); H^{∗}(BN; ℤ/2); H^{∗}(BO; ℤ/2); α; H^{∗}(BF; ℤ/2)]

Die beiden nicht bezeichneten Abbildungen werden von den natürlichen Inklusionen induziert. Die Erweiterung g_{N} induziert eine Hochhebung α := g_{N}^{∗} ∘ Φ in (∗), Bi_{N}^{∗} eine weitere. Wir zeigen, daß sich Hochhebungen in (∗) nur in einer ganz bestimmten Weise voneinander unterscheiden können, die wir zudem noch kontrollieren können. Im einzelnen:

Für einen Homomorphismus Ψ : Σ → EΣ definieren wir einen weiteren Homomorphismus j_{Ψ} : N → N durch

N →^{Δ} N × Σ →^{id×Ψ} N × EΣ →^{μ} N.

(Dabei bezeichnet Δ die Diagonale, verknüpft mit der Projektion auf Σ , μ die Multiplikation.) Offenbar ist j_{Ψ} |_{F} = id_{F} , und sowohl i_{N} : N → O, als auch i_{N} ∘ j_{Ψ} : N → O induzieren Hochhebungen in (∗).

Satz 3.1. Sei α : H^{∗}(BO; ℤ/2) → H^{∗}(BN; ℤ/2) in dem Diagramm ∗. Dann existiert ein Homomorphismus Ψ : BΣ → B(EΣ) für den gilt:

α = Bj_{Ψ}^{∗} ∘ Bi_{N}^{∗}.

Folgerung 3.2. Es existiert eine Abbildung f_{N} : BN → BX, für die das Diagramm

[figure: BF; Bi; f_{F}; BN; Bi; f_{N}; BO; Φ; BX]

in mod–2–Kohomologie kommutiert.

Beweis. (der Folgerung) Nach Satz 3.1 gibt es zu der Hochhebung α := g_{N}^{∗} ∘ Φ einen Morphismus Ψ mit α = Bj_{Ψ}^{∗}∘Bi_{N}^{∗}. Die Abbildung f_{N} := g_{N} ∘ Bj_{Ψ} macht das Diagramm kommutativ.

Vor dem Beweis von Satz 3.1 stellen wir noch einige Überlegungen an.

Lemma 3.3. H^{∗}(BN; ℤ/2) wird durch elementar–abelsche 2–Gruppen entdeckt.

Beweis. H^{∗}(BO(2); ℤ/2) ≅ H^{∗}(B(ℤ/2 × ℤ/2); ℤ/2)^{Σ_{2}} wird durch elementar–abelsche 2–Gruppen entdeckt. Nach (Prop 3.4 [Q]) übertrg̈t sich diese Eigenschaft auf die Kohomologie von BO(2) ≀ Σ_{n}.

Notation 3.4. Mit I_{k} bezeichnen wir die Einheitsmatrix der Größe k.

V_{1}  := ⟨I_{2}, I_{2}; τ_{1,2}⟩  <  O(2) ≀ Σ_{2}
V_{2}  := ⟨−I_{4}⟩  <  O(2) ≀ Σ_{2}
W_{l}(s)  := (V_{1} × V_{2})^{s} × (ℤ/2)^{2l−4s} <  O(2) ≀ Σ_{l}
V_{l}(s)  := (V_{2})^{s} × (ℤ/2)^{2l−4s}  <  O(2) ≀ Σ_{l}
H_{l}(s)  := O(4)^{s} × (ℤ/2)^{2l−4s}  =  C_{O(2l)}(V_{l}(s))
W(s_{1}, …, s_{a}) := ∏_{i=1}^{a}(W_{m_{i}}(s_{i}) × (ℤ/2)^{ϵ_{i}})
V(s_{1}, …, s_{a}) := ∏_{i=1}^{a}(V_{m_{i}}(s_{i}) × (ℤ/2)^{ϵ_{i}})
H(s_{1}, …, s_{a}) := ∏_{i=1}^{a}(H_{m_{i}}(s_{i}) × (ℤ/2)^{ϵ_{i}}) = C_{O}(V(s_{1}, …, s_{a}))

Lemma 3.5. Sei V in O eine elementar–abelsche 2–Gruppe. Dann ist V zu einer diagonalen Untergruppe V′ konjugiert.

Beweis. Ein Element der Ordnung 2 in O(n) ist konjugiert zu einem Diagonalelement. Reelle Darstellungen elementar–abelscher 2–Gruppen zerfallen.

Lemma 3.6. .

Sei x ∈ O(2) ≀ Σ_{n} ein Element der Ordnung 2. Dann ist x in O(2) ≀ Σ_{n} konjugiert zu einem Element einer passenden Untergruppe W_{n}(j).

Sei x ∈ N ein Element der Ordnung 2. Dann ist x in N konjugiert zu einem Element einer passenden Untergruppe W(s_{1}, …, s_{a}).

Beweis. Das Resultat folgt durch eine einfache Rechnung. W ist gerade so definiert, daß diese Aussage wahr ist.

Notation 3.7. Sei j : V → N eine elementar-abelsche 2-Untergruppe. Nach den Theoremen von Lannes ([L]) und Dwyer-Zabrodsky und Notbohm ([D-Z, N 2]) kann Bj^{∗}α durch einen bis auf Konjugation eindeutigen Homomorphismus ρ_{V} : V → O realisiert werden.

Lemma 3.8. Seien U und V elementar-abelsche 2-Untergruppen in N, sei x in N ein Element der Ordnung 2.

1. Sei x ∈ U ∩ V. Dann sind ρ_{U}(x) und ρ_{V}(x) zueinander konjugiert. Insbesondere ist χ(x) := spur(ρ_{U}(x)) unabhängig von U und damit wohldefiniert.

2. Sei U eine diagonale Untergruppe in O. Dann ist ρ_{U} konjugiert zu i : U → O.

3. Sei x ein Element von C_{O}(U). Dann ist ρ(x) konjugiert zu einem Element aus C_{O}(U). (Wegen Punkt 1. können wir bis auf Konjugation von ρ(x) sprechen.)

Nach diesen Vorüberlegungen kommen wir jetzt zum Beweis von Satz 3.1.

Beweis. (von Satz 3.1) Sei α eine Hochhebung von Bi_{F}^{∗}. Wir vergleichen α mit Bi_{N}^{∗}. Wegen Lemma 3.3 sind zwei Homomorphismen ϕ, ψ : H^{∗}(BO; ℤ/2) → H^{∗}(BN; ℤ/2) genau dann gleich, wenn für alle elementar–abelschen 2–Untergruppen j : V → N gilt:

Bj^{∗} ∘ ϕ = Bj^{∗} ∘ ψ.

Wegen Lemma 3.5 werden elementar–abelsche 2–Gruppen durch Charaktere unterschieden. Daher genügt es, wenn wir Gruppen V ≅ ℤ/2 betrachten.

Sei j : ⟨x⟩ ≅ ℤ/2 ↪ N. Bis auf Konjugation liegt x in einer geeigneten Untergruppe W(s_{1}, …, s_{a}). Seien s_{1}, …, s_{a} minimal mit der Eigenschaft, daß x zu einem Element aus W(s_{1}, …, s_{a}) konjugiert ist. Wir schreiben:

W = W(s_{1}, …, s_{a})
V = V(s_{1}, …, s_{a})
H = H(s_{1}, …, s_{a}) = C_{O}(V).

Zu der elementar–abelschen 2–Gruppe W gibt es nach 3.7 einen Homomorphismus ρ := ρ_{W} : W → O, der α realisiert. Wegen Lemma 3.8 hängt χ(ρ(x)) von α und x, aber nicht von W ab. Wir vergleichen jetzt χ(ρ(x)) mit χ(i_{W}(x)) =spur(x).

ρ ist durch eine Hochhebung α von Bi_{F}^{∗} definiert. Da V in F enthalten ist folgt daraus ρ|_{V} = i_{V} : V → O. Daher spaltet ρ über C_{O}(V) = H. Die Gruppen W, V und H sind gerade so gewählt, daß diese Aussage richtig ist.

Das Element x ∈ W hat die Form

x = (x_{1}, …, x_{a})

mit

x_{j} = (\underbrace{(I_{2}, I_{2}; τ_{1,2}), …, (I_{2}, I_{2}; τ_{1,2})}_{s_{j} Stück}, x_{j,4s_{j}+1}, …, x_{j,n_{j}}; t_{j}^{ϵ_{j}}) ∈ W_{m_{j}}(s_{j}) × (ℤ/2)^{ϵ_{j}}.

Wir betrachten auch das spezielle Element

y = (y_{1}, …, y_{a})

mit

y_{j} = (\underbrace{(I_{2}, I_{2}; τ_{1,2}), …, (I_{2}, I_{2}; τ_{1,2})}_{s_{j} Stück}, 1, …, 1, 1^{ϵ_{j}}).

Da ρ(y) in H enthalten ist, schreiben wir:

ρ(y) = (B_{1}, …, B_{a})

mit

B_{j} = (A_{1}(j), …, A_{s_{j}}(j), λ_{j,4s_{j}+1}, …, λ_{j,n_{j}}; τ_{j}^{ϵ_{j}}).

Wegen

x_{j} = \underbrace{(1, …, 1, x_{j,4s_{j}+1}, …, x_{j,n_{j}}; t_{j}^{ϵ_{j}})}_{∈(ℤ/2)^{n_{j}}}·y_{j}

ist ρ(x) durch ρ(y) vollständig bestimmt:

ρ(x) = (D_{1}, …, D_{b})

mit

D_{j} = (A_{1}(j), …, A_{s_{j}}(j), x_{j,4s_{j}+1}λ_{j,4s_{j}+1}, …, x_{j,n_{j}}λ_{j,n_{j}}; t_{j}^{ϵ_{j}}τ_{j}^{ϵ_{j}}).

Wir können ρ(x) noch genauer bestimmen: Das Element y_{j} ist konjugiert zu

ŷ_{j} = (\underbrace{−(I_{2}, I_{2}; τ_{1,2}), (I_{2}, I_{2}; τ_{1,2}), …, (I_{2}, I_{2}; τ_{1,2})}_{s_{j} Stück}, 1, …, 1, 1^{ϵ}).

Deswegen ist spur(A_{1}(j)) = 0 und analog spur(A_{i}(j)) = 0 für alle i und j. Also gilt

spur(ρ(x)) = ∑_{j=1}^{a} ( ∑_{r=4s_{j}+1}^{n_{j}} x_{j,r}λ_{j,r}) + t_{j}^{ϵ_{j}}τ_{j}^{ϵ_{j}}

Dies muß für alle Permutationen der Paare (x_{j,4s_{j}+1}, x_{j,4s_{j}+2}), …, (x_{j,2l_{j}−1}, x_{j,2l_{j}}) gleich sein. Also können wir folgern:

(λ_{j,4s_{j}+1}, λ_{j,4s_{j}+2}) = ⋯ = (λ_{j,l_{j}−1}, λ_{j,n_{j}})

Dieses Element λ_{j,4s_{j}+1} aus O(2) nennen wir M_{j}. Jetzt müssen wir noch klären, wie die M_{j} von der Wahl der (s_{1}, …, s_{a}) abhängen: Wir führen die selbe Überlegung wie für das Element y jetzt für das Element z = (z_{1}, …, z_{a}) mit

z_{j} = ((I, I; τ_{12}), 1, …, 1; 1^{ϵ_{j}})

durch. Auf die gleiche Weise wie oben liefert uns das Elemente M_{j}(1) aus O(2) und

τ_{j}^{ϵ_{j}}(1) aus (ℤ/2)^{ϵ_{j}}. Da das Element y zu ∏_{j=1}^{a} z_{j}^{s_{j}} konjugiert ist können wir schließen:

\begin{aligned}M_{j} & = & M_{j}(1)^{s_{j}} \\ τ_{j}^{ϵ_{j}} & = & (τ_{j}^{ϵ_{j}}(1))^{s_{j}} \end{aligned}

Damit ist der Homomorphismus

\begin{aligned}Ψ : Σ = & ∏_{i=1}^{a} Σ_{m_{i}} & → & ( ∏_{i=1}^{a} O(2)^{m_{i}} × (ℤ/2)^{ϵ_{i}})Σ & = EΣ \\ & σ_{i} & ↦ & (M_{i}(1)^{|σ_{i}|}, τ_{i}(1)^{|σ_{i}|}) \end{aligned}

wohldefiniert und liefert das Gewünschte.

Die 2–störrischen Untergruppen von O(n)

In diesem Abschnitt untersuchen wir die 2–störrischen Untergruppen von O(n). Definition 4.1. Sei G eine kompakte Liesche Gruppe. Eine p–torale Untergruppe P in G heißt p–störrisch, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

1. N(P)/P ist endlich.

2. N(P)/P ist p–reduziert. Das heißt, N(P)/P hat keine nichttriviale p–Gruppe als

normale Untergruppe. Die volle Unterkategorie der Orbitkategorie O(G), bei deren Objekten G/P die Untergruppe P p–störrisch ist, wird mit R_{p}(G) bezeichnet.

Die p–störrischen Untergruppen der klassischen Lieschen Gruppen sind von Oliver [O] explizit berechnet worden. Definition 4.2. (Wir beschränken uns auf den Fall p=2.)

1. Die Permutationen σ_{0}…. , σ_{k−1} ∈ Σ_{2^{k}} sind gegeben durch

σ_{r}(i) = \{ \begin{matrix}i + 2^{r} & für i ≡ 1, …, 2^{r} & (mod 2^{r+1}) \\ i − 2^{r} & für i ≡ 2^{r} + 1, …, 2^{r+1} & (mod 2^{r+1}) \end{matrix}

2. Die Matrizen A_{0}, …, A_{k−1}, B_{0}, …, B_{k−1} ∈ O(2^{k}) sind gegeben durch

(A_{r})_{ij} = \{ \begin{matrix}(−1)^{[(i−1)/2^{r}]} & für i = j \\ 0 & für i ≠ j \end{matrix} und (B_{r})_{ij} = \{ \begin{matrix}1 & für σ_{r}(i) = j \\ 0 & für σ_{r}(i) ≠ j \end{matrix}

Sie erfüllen die Relationen

[A_{r}, A_{s}] = [B_{r}, B_{s}] = [A_{r}, B_{s}] = I für r ≠ s, und [A_{r}, B_{r}] = −I.

3. Die Untergruppen E_{2^{k}} < Σ_{2^{k}} sind gegeben durch E_{2^{k}} = ⟨σ_{0}, …, σ_{k−1}⟩ ≅ (ℤ/2)^{k} 4. Die Untergruppen Γ_{2^{k}} und \overline{Γ}_{2^{k}} < O(2^{k}) sind gegeben durch

Γ_{2^{k}} = ⟨−I, A_{r}, B_{r} | 0 ≤ r ≤ k − 1⟩

und

\overline{Γ}_{2^{k}} = ⟨α^{⊕2^{k−1}}, A_{r}, B_{r} | α ∈ SO(2), 0 ≤ r ≤ k − 1⟩

Oliver zeigt, daß aus diesen einfachen Bausteinen alle 2–störrischen Untergruppen von O(n) konstruiert werden können.

Satz 4.3. (Oliver [O]) Sei n ≥ 1.

1. Eine irreduzible Untergruppe 1 ≠ P < O(n) ist 2–störrisch genau dann, wenn sie konjugiert zu einem iterierten Kranzprodukt der Form

P = Γ_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{rs}} mit n = 2^{k+r_{1}+···r_{2}}, k ≠ 1, und r_{1} ≥ 2 für k = 0

oder

P = \overline{Γ}_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{rs}} mit n = 2^{k+r_{1}+···r_{2}} und k ≥ 1

ist.

2. Ist P < O(n) eine beliebige 2–störrische Untergruppe, so ist sie konjugiert zu einer Untergruppe der Form P_{1} × ⋯ P_{s}, wobei jedes P_{i} eine irreduzible 2–störrische Untergruppe in O(n_{i}) ist, n = n_{1} + ⋯ n_{s}. Eine solche Untergruppe ist 2–störrisch genau dann, wenn es keinen Faktor P_{i} mit N_{G(n_{i})}/P_{i} = 1 gibt, der mit der Vielfachheit 2 oder 4 auftritt.

3. Ist P < O = ∏_{i=1}^{a} O(n_{i}) 2–störrisch, so gilt P = ∏_{i=1}^{a} P_{i} mit P_{i} < O(n_{i}) 2–störrisch.

Bemerkung 4.4.

Bei den im ersten Punkt aufgeführten irreduziblen Untergruppen sprechen wir von 2– störrischen Untergruppen mit Keim Γ, bzw. \overline{Γ}.

Für unsere Konstruktionen ist die oben angegebene Normalform P = Γ_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{rs}} (oder P = \overline{Γ}_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{rs}} ) entscheidend, nicht die Eigenschaft 2–störrisch.

Wir definieren induktiv für 2–störrische Untergruppen P in O in der Normalform aus Satz 4.3 eine Untergruppe P_{A} von P:

Definition 4.5. Für P = Γ_{2^{k}} = ⟨−I, A_{0}, …, A_{k−1}, B_{0}, …, B_{k−1}⟩ setzen wir

P_{A} := ⟨−I, A_{0}, …, A_{k−1}⟩ ≅ (ℤ/2)^{k+1}.

Entsprechend setzen wir für P = \overline{Γ}_{2^{k}} = ⟨α^{⊕2^{k−1}}, A_{1}, …, A_{k−1}⟩

P_{A} := ⟨α^{⊕2^{k−1}}, A_{0}, …, A_{k−1}, B_{0}, …, B_{k−1}⟩.

Damit definieren wir induktiv: Ist P = Q ≀ E_{2^{k}}, so setzen wir P_{A} := (Q_{A})^{2^{k}}. Ist P = Q′ × Q′′, so setzen wir P_{A} := Q′_{A} × Q′′_{A}.

Die für uns wichtigen Eigenschaften der Gruppen P und P_{A} fassen wir zusammen: Lemma 4.6. Für jede 2–störrische Untergruppe P ist der Quotient P/P_{A} ein iteriertes Kranzprodukt elementar–abelscher 2–Gruppen. Beweis. Dies folgt direkt aus der Definition von P_{A}. Dabei ist zu beachten, daß für P = \overline{Γ}_{2^{k}} in dem Quotienten P/P_{A} A_{0} = B_{0} gilt. Lemma 4.7. Sei α : Q → G ein Homomorphismus eines iterierten Kranzproduktes elementar–abelscher p–Gruppen in eine kompakte Liesche Gruppe. Ist H^{∗}(Bα) = 0 so ist α konstant. Beweis. Die Aussage wurde von Notbohm in [N 2] bewiesen. Proposition 4.8. Sei P in O(n) eine 2–störrische Untergruppe in der Normalform aus Satz 4.3.

1. P_{A} = S × V ist ein Produkt aus einem Torus S und einer elementar–abelschen 2–Gruppe V.

2. C_{O(n)}(P_{A}) ≅ SO(2)^{l} × (ℤ/2)^{n−2l} ist ebenfalls ein Produkt aus einem Torus und

einer elementar–abelschen 2–Gruppe. Insbesondere gilt:

C_{O(2^{k})}((Γ_{2^{k}})_{A}) ≅ (ℤ/2)^{2^{k}} und C_{O(2^{k})}((\overline{Γ}_{2^{k}})_{A}) ≅ SO(2)^{2^{k−1}}.

3. Für jede Erweiterung α : P → O(n) von i : P_{A} → O(n) gilt: C_{O(n)}(α(P)) = i(Z(P)).

4. Die kanonische Abbildung

π_{0}(map(BP, BO(n)_{2}^{∧})_{Bα|_{BP_{A}}=Bi}) → Hom(H^{∗}(BO(n); ℤ/2), H^{∗}(BP; ℤ/2)) ist injektiv.

Notation 4.9. Mit map(BP, )_{f|_{BP_{A}}=Bi} bezeichnen wir die Menge der Komponenten von map(BP, ), deren Repräsentanten f eingeschränkt auf P_{A} gerade Bi ergeben. Beweis. Die Aussagen 1. und 2. sind einfache Rechnungen. Für den Beweis der anderen beiden Aussage müssen wir die 2–störrischen Gruppen der Reihe nach durchgehen. Wir verwenden die Aussage, daß Erweiterungen α : P → O(n) von i : P_{A} → O(n) durch die Kohomologiegruppe

H^{∗}(P/P_{A}; π_{∗}(map(BP_{A}, BO(n))_{Bi}))

klassifiziert werden.

a) Sei P = Γ_{2^{k}} in O(2^{k}). Dann ist P/P_{A} ≅ ⟨B_{0}, …, B_{k−1}⟩ ≅ E_{2^{k}} ≅ (ℤ/2)^{k}

und

map(BP_{A}, BO(2^{k}))_{Bi} ≃ BC_{O(2^{k})}(P_{A}) ≃ B(ℤ/2)^{2^{k}}.

Damit werden die Erweiterungen klassifiziert durch die Kohomologiegruppe

H^{1}(E_{2^{k}}; (ℤ/2)^{2^{k}}).

Wegen (ℤ/2)^{2^{q}} ≅ Ind_{E_{2^{q−1}}}^{E_{2^{q}}} (ℤ/2)^{2^{q−1}} für q > 0 und ℤ/2 ≅ Ind_{1}^{E_{1}}1 folgt mit Shapiros Lemma

H^{1}(E_{2^{k}}; (ℤ/2)^{2^{k}}) ≅ H^{1}(E_{2^{k−1}}; (ℤ/2)^{2^{k−1}}) ≅ ⋯ ≅ H^{1}(E_{1}; (ℤ/2)^{1}) ≅ H^{1}(1; 1) = 0.

Daher ist i : P → O(2^{k}) die einzige Erweiterung und beide Aussagen sind bewiesen.

b) Sei P = \overline{Γ}_{2^{k}} in O(2^{k}). Dann ist

P/P_{A} ≅ ⟨B_{0}, , …, B_{k−1}⟩ ≅ E_{2^{k}} ≅ (ℤ/2)^{k}

und

map(BP_{A}, BO(2^{k}))_{Bi} ≃ BC_{O(2^{k})}(P_{A})_{2}^{∧} ≃ (BSO(2)_{2}^{∧})^{2^{k−1}}.

Damit werden die Erweiterungen klassifiziert durch die Kohomologiegruppe

H^{2}(E_{2^{k}}; (ℤ_{2}^{∧})^{2^{k−1}}).

Diesmal ist die Operation die folgende: B_{0} operiert auf jedem ℤ_{2}^{∧} durch Multiplikation mit −1, die anderen B_{i} operieren als die Permutation B_{i−1}. Daher gilt diesmal für q > 1 :

(ℤ/2)^{2^{q}} ≅ Ind_{E_{2^{q−2}}}^{E_{2^{q−1}}} (ℤ/2)^{2^{q−1}}.

Also folgt mit Shapiros Lemma

H^{2}(E_{2^{k}}; (ℤ_{2}^{∧}))^{2^{k−1}}) ≅ H^{2}(E_{2^{k−1}}; (ℤ_{2}^{∧}))^{2^{k−2}}) ≅ ⋯ ≅ H^{2}(E_{1}; ℤ_{2}^{∧}).

Da E_{1} ≅ ℤ/2 fixpunktfrei auf ℤ_{2}^{∧} operiert, ist H^{2}(E_{1}; ℤ_{2}^{∧}) = 0. Daher gibt es auch in diesem Fall nur die eine Erweiterung i : P → O(2^{k}) und damit sind die beiden Aussagen bewiesen.

c) Sei P = Γ_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{rs}} . Wir beweisen die Aussage durch Induktion nach s. Der Fall a) liefert den Induktionsanfang für s=0. Sei jetzt

\begin{aligned}Q = Γ_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{r_{s−1}}} & < O(2^{l}) \\ P = Q ≀ E_{2_{r}} & < O(2^{l+r}.) \end{aligned}

Seien α, β : P → O(2^{l+r}) zwei Homomorphismen, für die gilt:

H^{∗}(Bα) = H^{∗}(Bβ)
Bα|_{BP_{A}} = Bi|_{BP_{A}} = Bβ|_{BP_{A}}.

Wir müssen zeigen, daß Bα und Bβ homotop sind. Mit α′, β′ : Q^{2^{r}} → O(2^{l+r}) bezeichnen wir die Einschränkungen von α und β. Das Zentrum Z(Q^{2^{r}}) ≅ Z(Q)^{2^{r}} ≅ ⟨−I_{2_{l}}⟩^{2^{r}} liegt in P_{A}. Deshalb wirken α′ und β′ darauf wie die Identität und spalten über C_{O(2^{l+r})}(Z(Q^{2^{r}})) ≅ O(2^{l})^{2^{r}}. Die Hochhebungen bezeichnen wir mit α′′, β′′ : Q^{2^{r}} → O(2^{l})^{2^{r}}.

Eine Anwendung des Lannes-Funktors stellt sicher, daß die induzierten Abbildungen in Kohomologie H^{∗}(Bα′′) und H^{∗}(Bβ′′) gleich sind. (Lemma 3.4 aus [N 2])

Der Homomorphismus α′′ wird durch eine (2^{r} × 2^{r})- Matrix beschrieben, deren Einträge α_{ij} : Q_{i} → O(2^{l})_{j} den i. Faktor von Q^{2^{r}} auf den j. Faktor von O(2^{l})^{2^{r}} abbilden. β′′ wird analog durch (β_{ij}) beschrieben. Wir schließen induktiv, daß Bα_{ii} und Bβ_{ii} homotop sind. Ohne Einschränkung können wir annehmen, daß die Morphismen α_{ii} und β_{ii} gleich sind.

Sei jetzt i ≠ j. Da die Elemente aus Q_{i} und Q_{j} in P vertauschen, spalten α_{ii} und β_{ii} über C_{O(2^{l})_{j}}(Q_{j}) ≅ Z(Q_{j}) ≅ (ℤ/2)_{j}. Wir betrachten den Homomorphismus

\begin{aligned}α_{ij} · β_{ij}^{−1} : & Q_{i} & → & (ℤ/2)_{j} \\ & q & ↦ & \frac{α_{ij}(q)}{β_{ij}(q)}. \end{aligned}

Wegen α_{ij}|_{(Q_{A})_{i}} = β_{ij}|_{(Q_{A})_{i}} faktorisiert er über ρ_{ij} : Q_{i}/(Q_{A})_{i} → (ℤ/2)_{j}. Dies liefert uns einen Homomorphismus ρ = (ρ_{ij}) : (Q/Q_{A})^{2^{r}} → (ℤ/2)^{2^{r}}. Wir können α′′ beschreiben als die Verknüpfung

Q^{2^{r}} →^{Δ} Q^{2^{r}} × (Q/Q_{A})^{2^{r}} →^{β′′×ρ} O(2^{l})^{2^{r}} × (ℤ/2)^{2^{r}} →^{μ} O(2^{l})^{2^{r}}.

Aus der Kommutativität des Diagramms

[figure: H^{∗}(B(O(2^{l})^{2^{r}} × (ℤ/2)^{2^{r}})); (Bβ′′×Bρ)^{∗}; H^{∗}(B(Q^{2^{r}} × (Q/Q_{A})^{2^{r}})); BΔ^{∗}; H^{∗}(BO(2^{l})^{2^{r}}); Bμ^{∗}; Bα^{∗}=Bβ^{∗}; H^{∗}(BQ^{2^{r}})]

folgt, daß Bρ^{∗} : H^{∗}(BQ^{2^{r}}) → H^{∗}(B(Q/Q_{A})^{2^{r}}) die Nullabbildung ist. Daraus folgt nach Lemma 4.7, daß ρ konstant ist. Also ist α′′ = β′′.

Die Erweiterungen

Bα, Bβ : BP → BO(2^{l+r})

von Bα′′ = Bβ′′ werden klassifiziert durch die Kohomolgiegruppen

H^{∗}(P/Q^{2^{r}}; π_{∗}(map(BQ^{2^{r}}, BO(2^{l+r}))_{Bα′})).

Dabei gilt: P/Q^{2^{r}} ≅ E_{2^{r}} und

map(BQ^{2^{r}}, BO(2^{l+r}))_{Bα′} ≃ BC_{O(2^{l+r})}(α′(Q^{2^{r}}))
≃ BZ(Q^{2^{r}})
≃ B(ℤ/2)^{2^{r}}.

Also werden die Erweiterungen wie im ersten Fall durch die Kohomologiegruppen

H^{1}(E_{2^{k}}; (ℤ/2)^{2^{k}} = 0

klassifiziert. Also gibt es auch hier nur eine Erweiterung und die beiden Aussagen sind somit bewiesen. d) Sei P = \overline{Γ}_{2^{k}} ≀ E_{2^{r_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{rs}} . Mit der gleichen Rechnung wie im Fall c) zeigen wir, daß die Erweiterungen durch die selbe Hindernisgruppe wie im zweiten Fall klassifiziert werden. Deshalb verzichten wir hier auf Details.

e) Sei P = Q_{1} × … × Q_{s} < O(n). Dann sind Q_{1} < O(n_{1}), …, Q_{s} < O(n_{s}) 2–störrische Untergruppen der Form, wie wir sie in den Fällen 3 und 4 untersucht haben, n = n_{1} + … + n_{s}. Seien α, β : P → O(n) Homomorphismen mit

H^{∗}(Bα) = H^{∗}(Bβ)
α|_{P_{A}} = i|_{P_{A}} = β|_{P_{A}} : P_{A} → O(n).

Die Homomorphismen α und β besitzen Hochhebungen

[figure: C_{O(n)}(ZQ_{1} × … × ZQ_{s}) = O(n_{1}) × … × O(n_{s}); Q_{1} × … × Q_{s}; α′,β′; α,β; O(n)]

Auf α′ und β′ könen wir jetzt die Methoden der Fälle 3 und 4 anwenden. Dies liefert auch hier die beiden Aussagen.

Die Homotopieäquivalenz

Seien O ein Produkt Orthogonaler Gruppen, N der Normalisator des zugehörigen maximalen Torus T_{O} und BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod 2–Typ wie BO.

Im letzten Kapitel haben wir eine Abbildung f_{N} : BN → BX konstruiert, für die das Dreieck

[figure: BN; Bi_{N}; f_{N}; BO; BX]

in mod 2–Kohomologie kommutiert. Dies liefert für jede 2–störrische Untergruppe P von O, die in N enthalten ist, eine Abbildung f_{P} als die Verknüpfung BP →^{Bi} BN →^{f_{N}} BX. Die Gesamtheit dieser Abbildungen liefert ein Diagramm

{BP}_{R_{2}(O)} → BX,

das in mod 2 Kohomologie kommutiert. Wir zeigen jetzt, daß das Diagramm sogar bis auf Homotopie kommutiert.

Satz 5.1. Sei BX ein 2–vollständiger Raum vom selben mod–2 Typ wie BO, N der Normalisator des maximalen Torus in O, c_{g} : O/P → O/P′ ein Morphismus von R_{2}(O), gegeben durch Konjugation. Dann kommutiert das Diagramm

[figure: (D); BP; Bi; Bc_{g}; BN; f_{N}; BX; BP′; Bi′; BN; f_{N}; BX]

bis auf Homotopie.

Die Aussage ergibt sich aus den beiden folgenden Propositionen

Proposition 5.2. In der Situation aus Satz 5.1 kommutiert das Diagramm bis auf Homotopie, wenn wir es auf P_{A} einschränken:

[figure: (D_{A}); BP_{A}; Bi_{A}; Bc_{g}; BP; Bi; BN; f_{N}; BX; BP′; Bi′; BN; f_{N}; BX]

Beweis. Wir beweisen die Aussage getrennt für 2–störrische Untergruppen mit Keim Γ oder \overline{Γ}.

1. Für eine 2–störrische Gruppe P mit Keim Γ ist P_{A} eine elementar-abelsche 2–Gruppe. Daher kommutiert (D_{A}) genau dann bis auf Homotopie, wenn es in mod–2 Kohomologie kommutiert. Dies ist nach Satz 3.2 erfüllt.

2. Für eine 2–störrische Gruppe P mit Keim \overline{Γ}

P = \overline{Γ}_{2^{k}} ≀ E_{2^{q_{1}}} ≀ ⋯ ≀ E_{2^{qs}} in O(\underbrace{2^{k+\overbrace{q_{1} + ⋯ + q_{s}}^{q:=}}}_{2n :=})

ist P_{A} = ⟨α^{⊕2^{k−1}}, A_{1}, …, A_{k−1}⟩^{2n}.

Wir betrachten die Untergruppe D= ⟨α^{⊕n}⟩ ≅ SO(2) < O(2n). Wir wissen, daß c_{g}(D) in N liegt. Da c_{g}(D) zusammenhängend ist, liegt es in der Komponente der 1 in N, also in T_{O(2n)} = SO(2)^{n}. Also ist c_{g}(α^{⊕n}) eine (2 × 2)–Block–Diagonalmatrix mit α^{k_{i}} auf der Diagonalen.

Die Exponenten k_{i} können nur die Werte 1 und -1 annehmen: Ist α = \binom{cos(ϕ) sin(ϕ)}{− sin(ϕ) cos(ϕ)}, so gilt wegen der Invarianz der Spur

2n cos(ϕ) = 2 ∑_{i=1}^{n} cos(k_{i}ϕ).

Da dies insbesondere für kleine Winkel ϕ gelten muß, können wir nach Taylor cos(x)

durch 1 − x^{2}/2 + x^{4}/24 approximieren und erhalten n = ∑_{i=1}^{n} k_{i}^{2} = ∑_{i=1}^{n} k_{i}^{4}. Daraus folgt

die Behauptung. Konjugation mit einem geeigneten Element m ∈ O(2)^{n} liefert also c_{mg}(α^{⊕n}) = α^{⊕n}. Da für m ∈ O(2)^{n} das Diagramm kommutiert, außerdem alle Elemente A_{1}, …, A_{k−1} fix bleiben, können wir ohne Einschränkung annehmen, daß g in C_{O(2n)}(D) liegt.

Durch elementare Matrizenrechnung erhalten wir

C_{O(2n)}(D) = \{(A_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ O(2n) | A_{ij} = \binom{a b}{−b a}\}.

Dies ist das Bild der wohlbekannten Inklusion j : U(n) ↪ O(2n), induziert durch re^{iϕ} ↦ \sqrt{r}\binom{cos(ϕ) sin(ϕ)}{− sin(ϕ) cos(ϕ)}. Also gilt

C_{O(2n)}(D) ≅ U(n).

In U(n) wissen wir aber, daß wir die Konjugation durch eine Konjugation mit einem Element des Normalisators des maximalen Torus ersetzen können. Dieses Element transportieren wir nach O(2n) zurück: Wir wenden j^{−1} auf den Morphismus c_{g} : P_{A} →^{≅} c_{g}(P_{A}) in O(2n) an und erhalten den Morphismus c_{j^{−1}(g)} : j^{−1}(P_{A}) →^{≅} c_{j^{−1}(g)}(j^{−1}(P_{A})) in U(n). Dort können wir das Element j^{−1}(g) durch ein Element u des Normalisators des Torus N_{U(n)}T = U(1) ≀ Σ_{n} ersetzen. Mit dem Element v := j(u) aus j(U(1) ≀ Σ_{n}) = SO(2) ≀ Σ_{n} erhalten wir ein kommutatives Diagramm

[figure: (D_{A}); BP_{A}; Bi_{A}; Bc_{g}; BP; Bi; BN; f_{N}; Bc_{v}≃id; BX; BP′; Bi′; BN; f_{N}; BX]

3. Sei P eine 2–störrische Gruppe der Form P = Q_{1} × Q_{2}. Wegen (P ≀ E_{2^{k}})_{A} = (\overbrace{P × … P}^{2^{k}}) lassen sich die Methoden der ersten beiden Fälle nur dann nicht direkt übertragen, wenn wir das Produkt von 2–störrischen Untergruppen mit unterschiedlichen Keimen betrachten. Sei deshalb Q_{1} < O(k) 2–störrisch mit Keim Γ und Q_{2} < O(2l) 2–störrisch mit Keim \overline{Γ}. Wir setzen

B = ⟨( \begin{matrix}I_{k} \\ & α^{⊕l} \end{matrix} )⟩

und erreichen mit den Methoden aus Fall 2 ohne Einschränkung, daß g ein Element von C_{O(k+2l}(B) ≅ O(k) × U(l) ist. Damit haben wir das Problem auf die Fälle 1 und 2 zurückgeführt.

Proposition 5.3. In der Situation aus Satz 5.1 ist die kanonische Abbildung

π_{0}(map(BP, BX)_{Bα|_{BP_{A}}=f_{N}Bi_{P}|_{BP_{A}}} ) → Hom(H^{∗}(BX; ℤ/2), H^{∗}(BP; ℤ/2))

injektiv.

Beweis. Wir beweisen die Aussage, indem wir einen Zusammenhang zwischen den Abbildungsräumen map(BP, BO) und map(BP, BX) herstellen. Für map(BP, BO) gilt die entsprechende Aussage nach Proposition 4.8. Die Untergruppe P_{A} ist eine normale Untergruppe in P. Der Quotient Q = P/P_{A} operiert auf dem erweiterten klassifizierenden Raum B̃P_{A} := EP/P_{A} ≃ BP_{A} und auf map(B̃P_{A}, −) ≃ map(BP_{A}, −). Es gilt map(BP, −) ≃ map(B̃P_{A}, −)^{hQ}.

Wir betrachten jetzt das Diagramm

[figure: map(B̃P_{A}, BN_{2}^{∘})_{Bi_{P_{A}}}; (Bi_{N})_{♯}; (f_{N})_{♯}; map(B̃P_{A}, BO_{2}^{∧})_{Bi_{N} ∘Bi_{P_{A}}}; map(B̃P_{A}, BX)_{f_{N} ∘Bi_{P_{A}}}]

Es gilt map(B̃P_{A}, BN_{2}^{∘})_{Bi_{P_{A}}} ≃ BC_{L}(P_{A})_{2}^{∧} ≃ B(S × V)_{2}^{∧}, da alle Abbildungen Hochhebungen besitzen:

\xymatrix{ & BL_{2}^{∧} \ar[d] \\ BP_{A} \ar[r] \ar@{-->}[ur] & BN_{2}^{∘} \ar[d] \\  & BΣ.}

Wir verwenden die Identitäten

C_{X}(P_{A}) = C_{C_{X}(V)}(P_{A}) = C_{O(2)^{n}}(P_{A}) = S × V

und zeigen damit

map(B̃P_{A}, BX)_{f_{P_{A}}} ≃ B(S × V)_{2}^{∧}.

Es gilt also

map(B̃P_{A}, BN_{2}^{∘})_{Bi_{P_{A}}} ≃ map(B̃P_{A}, BO_{2}^{∧})_{Bi_{P_{A}}} ≃ map(B̃P_{A}, BX)_{f_{P_{A}}} ≃ B(S × V)_{2}^{∧}.

Die Abbildungen (f_{N})_{♯} und (Bi_{N})_{♯} sind mod–2 Äquivalenzen zwischen 2–vollständigen Räumen, also Homotopieäquivalenzen. Daher erhalten wir, wenn wir Homotopiefixpunkte auf das Diagramm anwenden, wieder ein Diagramm

\xymatrix{ & map(B̃P_{A}, BN)_{Bi_{P_{A}}}^{hQ} \ar@{-->}[dl] \ar@{-->}[dr] \\ map(B̃P_{A}, BO)_{Bi_{N} ∘Bi_{P_{A}}}^{hQ} &  & map(B̃P_{A}, BX)_{f_{N} ∘Bi_{P_{A}}}^{hQ}}

in dem beide Abbildungen mod–2 Aq̈uivalenzen sind.

Die Komponenten von map(B̃P_{A}, BO)_{Bi_{N}∘Bi_{P_{A}}}^{hQ} werden durch mod–2 Kohomologie unterschieden. Das Dreieck

[figure: BN; Bi_{N}; f_{N}; BO; BX]

kommutiert in mod–2 Kohomologie. Jede Abbildung in

map(B̃P_{A}, BX)_{f_{N}∘Bi_{P_{A}}}^{hQ} ≃ map(BP, BX)_{g|_{BP_{A}}≃Bf_{N}∘Bi_{P_{A}}}

besitzt eine Hochhebung nach BN. Die Kohomologiegruppen, die die Erweiterungen klassifizieren, sind isomorph:

\begin{aligned}H^{∗}(Q; π_{∗}(map(BP_{A}, BX)_{f_{N} ∘Bi_{P_{A}}})) & ≅ H^{∗}(Q; π_{∗}(BC_{O}(P_{A})) \\ & ≅ H^{∗}(Q; π_{∗}(map(BP_{A}, BO)_{Bi_{N} ∘Bi_{P_{A}}})) \end{aligned}

Daraus folgt, daß auch die Komponenten von

map(B̃P_{A}, BX)_{f_{N}∘Bi_{P_{A}}}^{hQ} ≃ map(BP, BX)_{g|_{BP_{A}}≃Bf_{N}∘Bi_{P_{A}}}

durch mod–2 Kohomologie unterschieden werden.

Dieses Resultat liefert eine Abbildung von dem 1–Gerüst des Homotopie–Kolimes holim_{\overrightarrow{R_{2}(O)}}BP nach BX. Diese wollen wir auf den Homotopie–Kolimes, nämlich BO, fortset-

zen. Um dies zu tun, müssen wir die Hindernisgruppen lim^{i+1}_{\overleftarrow{R_{2}(O)}}π_{i}(map(BP, BX)_{f_{P}}) für i ≥ 1 berechnen. Dazu vergleichen wir die Funktoren

Π_{i}(X), Π_{i}(O) : R_{2}(O)  → AB
Π_{i}(O)(O/P) := π_{i}(map(BP, BO)_{Bi_{P}})
Π_{i}(X)(O/P) := π_{i}(map(BP, BX)_{f_{P}})

Proposition 5.4. Es existiert eine natürliche Äquivalenz von Funktoren

T : Π_{i}(O) → Π_{i}(X).

Beweis. Die Homotopieäquivalenzen Bi_{N♯} und f_{N♯} aus dem Diagramm

[figure: (map(BP, BN)_{Bi_{P}})_{2}^{∧}; f_{N♯}; Bi_{N♯}; map(BP, BX)_{f_{P}}; map(BP, BO_{2}^{∧})_{Bi_{P}}]

hängen noch von der Auswahl der Hochhebung i_{P} : P → N von i_{P} : P → G ab. Zwei solche Hochhebungen können sich aber nur um eine Konjugation unterscheiden. Daher induziert das Diagramm wegen Satz 5.1 einen wohldefinierten Isomorphismus

T : Π_{i}(O) → Π_{i}(X).

Um die Notation übersichtlich zu halten, unterscheiden wir die beiden Funktoren jezt nicht mehr und bezeichnen beide als Π_{i}. Damit ist das Problem auf die Berechnung von lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O)}}Π_{i} zurückgeführt. Da

R_{2}(G × H) ≅ R_{2}(G) × R_{2}(H)

gilt, müssen wir lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}(Π_{i}) berechnen.

Satz 5.5. Es gilt:

lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{i} = \{ \begin{matrix}π_{i−1}(Z(O(n))) & falls j = 0 \\ 0 & falls j > 0. \end{matrix}

Beweis. Dieses Resultat beweisen wir im nächsten Kapitel.

Insgesamt ist damit die Existenz einer Abbildung f : BO_{2}^{∧} → BX nachgewiesen. Nach Konstruktion induziert sie einen Isomorphismus in mod–2 Kohomologie, ist also die gesuchte Homotopieäquivalenz. Damit ist die Homotopieeindeutigkeit von BO an der Primzahl 2 bewiesen!

Die höheren Limites

In diesem Kapitel berechnen wir die Hindernissgruppen aus Kapitel 5. Damit vollenden wir unsere Konstruktion. Wir beweisen

Satz 6.1. Sei Π_{i} der Funktor Π_{i}(O/P) := π_{i}(map(BP, BO)_{Bi_{P}}). Dann gilt

lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}(Π_{i}) = \{ \begin{matrix}π_{i−1}(Z(O(n))) & j = 0 \\ 0 & j > 0. \end{matrix}

Für i ≥ 2 ist diese Aussage bekannt (Theorem 4.1 aus [J-M-O]). Für den Beweis im Fall i=1 untersuchen wir die Kapitel 5 und 6 der Arbeit von Jackowski, McClure und Oliver [J-M-O]. Dort wird eine entsprechende Aussage für zusammenhängende, einfach zusammenhängende Gruppen bewiesen. Viele der dort für zusammenhängende Gruppen formulierte Resultate sind auch für O(n) richtig. Lediglich an zwei Stellen ergeben sich Unterschiede. Wir werden zeigen, daß sich dennoch die gewünschte Aussage ergibt.

Dieser Beweisgang beruht auf einer Idee von Oliver [O 2], der auf genau diese Weise den obigen Satz für SO(n) bewiesen hat.

Zunächst zitieren wir die für uns wichtigen Definitionen und Resultate aus [J-M-O].

Definition 6.2. (Definition 5.3 [J-M-O]) Sei p eine Primzahl und Γ eine endliche Gruppe. Für einen ℤ_{(p)}[Γ]–Modul M sei der Funktor F_{M} gegeben durch F_{M}(Γ/1) = M und F_{M}(Γ/P) = 0 für 1 ≠ P ∈ R_{p}(Γ). Wir definieren:

Λ^{∗}(Γ; M) := lim^{∗}_{\overleftarrow{R_{p}(Γ)}}F_{M}.

Lemma 6.3. (Lemma 5.4 [J-M-O]) Sei p eine Primzahl, G eine kompakte Liesche Gruppe und F : R_{p}(G) → ℤ_{(p)} ein kovarianter Funktor mit der Eigenschaft F(G/H)=0 für alle (H) ≠ (P) für ein Objekt G/P in R_{p}(G). Dann gilt

lim^{∗}_{\overleftarrow{R_{p}(G)}}F = Λ^{∗}(NP/P; F(G/P)).

Unser Programm ist, die Gruppen Λ^{∗}(NP/P; Π_{i}(G/P)) zu berechnen. Mit der langen exakten Sequenz für Funktoren können wir diese Einzelergebnisse dann zusammensetzen.

Wir betrachten diejenigen 2–störrischen Untergruppen in O(n), die für gerades n den maximalen Torus T_{n} von O(n), für ungerades n den ”erweiterten maximalen Torus“ T_{n−1} × ℤ/2 enthalten. Um diese Fallunterscheidung zu vermeiden, vereinbaren wir die folgende Bezeichnung:

Definition 6.4. Sei T in O(n) maximaler Torus. Wir definieren T̃ in O(n) durch

T̃ = \{ \begin{matrix}T & n gerade \\ T × ℤ/2 & n ungerade \end{matrix}

Wir sagen: S ist ein erweiterter maximaler Torus von O(n), wenn S zu T̃ konjugiert ist.

Satz 6.5. Sei Π̂_{i} der Unterfunktor von Π_{i}, der gegeben ist durch

Π̂_{i}(O(n)/P) := \{ \begin{matrix}Π_{i}(O(n)/P) & falls (P) ⊅ (T̃) \\ 0 & falls (P) ⊃ (T̃) \end{matrix}

Dann gilt

lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}O}}Π_{i}/Π̂_{i} ≅ \{ \begin{matrix}π_{i−1}(Z(N(T̃))) & falls j = 0 \\ 0 & falls j > 0 \end{matrix}

Beweis. Dies ist die erste Aussage des Lemmas 5.6 aus [J-M-O]. Sie wird dort für eine kompakte zusammenhängende Gruppe G bewiesen. Die Tatsache, daß G zusammenhängend ist, geht nur an einer Stelle in den Beweis ein: Für zusammenhängende Gruppen G ist immer C_{G}(T) = T. Für den normalen maximalen Torus T in O(2n+1) ist dies falsch, aber T̃ ist gerade so definiert, daß C_{O}(n)(T̃) = T̃ auch bei uns gilt. Daraus folgt für eine Gruppe P mit T < P < N(T) und C_{G}(P) = Z(P):

T^{P} ⊆ P^{P} = Z(P) = C_{G}(P) = (C_{G}(P))^{P} ⊆ (C_{G}(T))^{P} = T^{P},

Insbesondere folgt daraus die im Beweis verwendete Identität Z(P) = T^{P}.

Jetzt kommen wir zu den 2–störrischen Untergruppen P in O(n), die den erweiterten Torus T̃ nicht enthalten. Zu diesem Zweck betrachten wir die 2–kritischen Untergruppen in O(n). In deren Definition bezeichnet Fr(P) die Frattini Untergruppe von P. Sie wird von allen Kommutatoren und p–ten Potenzen erzeugt. Die Gruppe _{p}Z(P) bezeichnet die zentralen Elemente der Ordung p in P.

Definition 6.6. (Definition 6.5[J-M-O]) Sei G eine kompakte Liesche Gruppe. Eine p–torale Untergruppe P heißt p–kritisch in G, wenn der Kern der N(P)/P–Operation auf

pZ(P)/(Fr(P) ∩ _{p}Z(P)) oder (Fr(P) ∩ _{p}Z(P))/(P_{0} ∩ _{p}Z(P))

Ordung prim zu p hat.

Proposition 6.7. Sei P eine 2–torale Untergruppe von O(n), die T̃ nicht enthält. Dann gilt:

1. Ist Λ^{∗}(N(P)/P; π_{0}(Z(P))) ≠ 0 (und N(P)/P endlich), so ist P 2–kritisch in O(n).

2. Ist P 2–kritisch in O(n), so ist C_{O(n)}(P) = Z(P) und P ist eine maximale 2–torale Untergruppe von C_{O(n)}(_{p}Z(P)). Die Gruppe _{p}Z(P) ist nicht in einem erweiterten maximalen Torus von O(n) enthalten.

Beweis. Dieses sind die ersten beiden Aussagen der Proposition 6.6 aus [J-M-O]. Sie werden dort nur für zusammenhängende Gruppen und den normalen maximalen Torus T formuliert. Der Beweis überträgt sich aber ohne Änderung auf unsere Situation. Wir müssen lediglich zusätzlich die Gruppe SO(2)^{n} in O(2n+1) betrachten: Sie enthält den Torus T, aber nicht den erweiterten Torus T̃. Für sie kann man aber alle Schritte explizit nachrechnen.

Von den 2–störrischen Untergruppen in O(n), die T̃ nicht enthalten, liefern also nur die 2–kritischen einen Beitrag. Diese berechnen wir jetzt.

Lemma 6.8. Für n ≥ 3 hat jede 2–kritische Untergruppe P in O(n) die Form

P ≅ (ℤ/2)^{m} × P′.

wobei (n-m) gerade und P′ eine maximale 2–torale Untergruppe in O(n-m) ist.

Beweis. Nach Proposition 6.7 ist P eine maximale 2–torale Untergruppe in C_{O(n)}(_{2}Z(P)). Da _{2}Z(P) eine elementar–abelsche 2–Gruppe ist, ist C_{O(n)}(_{2}Z(P)) ein Produkt orthogonaler Gruppen. Also hat P die Form P ≅ (ℤ/2)^{m} × P_{1} × ⋯ × P_{t}, wobei P_{i} eine maximale Untergruppe von O(n_{i}) ist (n = m + n_{1} ⋯ + n_{t}). Wir können annehmen, daß alle irreduziblen Faktoren ℤ/2 im ersten Faktor versammelt sind, insbesondere sind also die n_{i} gerade.

Wir setzen P′ = P_{1} × ⋯ × P_{t}. Dann gilt

N_{O(n)}(P)/P = N_{O(n)}((ℤ/2)^{m} × P′)/((ℤ/2)^{m} × P′) ≅ Σ_{m} × N_{O(n−m)}(P′)/P′.

Da P′ in O(n-m) nach Konstruktion einen maximalen Torus enthält, liegt Z(P′) in der Komponente der 1, das heißt in (P′)_{0}. Da P 2–kritisch ist, hat der Kern der N(P)/P– Operation auf

2Z(P)/(Fr(P) ∩ _{2}Z(P)) oder (Fr(P) ∩ _{2}Z(P))/(P_{0} ∩ _{2}Z(P))

ungerade Ordnung. Aus der exakten Sequenz

(Fr(P) ∩ _{2}Z(P))/(P_{0} ∩ _{2}Z(P)) →_{2} Z(P)/(P_{0} ∩ _{2}Z(P)) →_{2} Z(P)/(Fr(P) ∩ _{2}Z(P))

folgt, daß damit auch der Kern der N(P)/P–Operation auf _{2}Z(P)/(P_{0} ∩ _{2}Z(P)) ungerade Ordnung hat. Die Gruppe N(P′)/P′ ist in diesem Kern enthalten, hat also ungerade Ordung. Also muß P′ in O(n-m) eine maximale 2–torale Untergruppe sein.

Jetzt benötigen wir noch ein technisches Resultat:

Proposition 6.9. Sei n ≥ 3. Dann gilt

Λ^{i}(Σ_{n}; (ℤ/2)^{n}) = \{ \begin{matrix}ℤ/2 & falls n = 3, i = 1 \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Beweis. Für n ≥ 4 folgt die Aussage aus Proposition 6.1.(ii) ([J-M-O]), da Σ_{n} für n ≥ 4 nicht 2–reduziert ist. Für n=3 folgt die Aussage aus Proposition 6.2 ([J-M-O]), da die 2–Sylow–Gruppe Γ_{2} in Σ_{3} isomorph zu ℤ/2 ist, also Ordnung 2 hat. Dann gilt

Λ^{i}(Σ_{3}; (ℤ/2)^{3}) = \{ \begin{matrix}((ℤ/2)^{3})^{Γ_{2}}/((ℤ/2)^{3})^{Σ_{3}} & falls i = 1 \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Damit können wir Satz 5.5 beweisen.

Beweis. Wir berechnen Λ^{∗}(N(P)/P; Π_{1}(O(n)/P)) für alle 2–störrischen Untergruppen P, die keinen erweiterten Torus T̃ enhalten. Nach Proposition 6.7 können wir uns dabei auf die 2–kritischen Untergruppen beschränken.

Sei P in O(n) eine 2–kritische Untergruppe. Nach Lemma 6.8 hat P die Form P ≅ (ℤ/2)^{m} × P′ mit m ≥ 2. Aus dem Beweis wissen wir, daß

N_{O(n)}(P)/P ≅ Σ_{m} × N_{O(n−m)}(P′)/P′

gilt und N_{O(n−m)}(P′)/P′ ungerade Ordnung hat. Damit berechnen wir:

Λ^{i}(N(P)/P; Π_{1}(O(n)/P)) ≅ Λ^{i}(N(P)/P; Π̂_{1}(O(n)/P))
≅ Λ^{i}(N(P)/P; Z(P))
≅ Λ^{i}(Σ_{m} × N_{O(n−m)}(P′)/P′; (ℤ/2)^{m} × Z(P′))
≅ Λ^{i}(Σ_{m} × N_{O(n−m)}(P′)/P′; (ℤ/2)^{m})  6.1.(iv) aus [J − M − O]
≅ Λ^{i}(Σ_{m}; (ℤ/2)^{m})  6.1.(iii) aus [J − M − O]
≅ \{ \begin{matrix}ℤ/2 & falls m = 3, i = 1 \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Die zweit- bzw. drittletzte Isomorphie folgen aus 6.1.(iii) bzw. 6.1.(iv) aus [J-M-O]. Also liefert nur die Gruppe P_{3} := (ℤ/2)^{3} × P′ einen Beitrag. Insbesondere ist dann n ungerade.

Wir untersuchen jetzt die lange exakte Sequenz von Funktoren mit dem in Satz 6.5 definierten Funktor Π̂_{1}.

⋯ lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π̂_{1} → lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} → lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1}/Π̂_{1} → lim^{j+1}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π̂_{1} · · · .

Wir untersuchen getrennt die Fälle, in denen n gerade oder ungerade ist: Sei n gerade. Dann gilt Z(N(T̃)) = Z(O(n)). Weiter ist in diesem Fall lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π̂_{1} = 0 für alle j, und

deshalb lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} ≅ lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1}/Π̂_{1}. Daraus folgt die Behauptung.

Sei jetzt n ungerade. Die Sequenz beginnt dann mit

0 → lim^{0}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} → lim^{0}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1}/Π̂_{1} →^{ι} lim^{1}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π̂_{1} → lim^{1}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} → 0

Dabei ist

lim^{0}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1}/Π̂_{1} ≅ Z(N(T̃)) ≅ ℤ/2 × ℤ/2

und

lim^{1}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π̂_{1} ≅ ((ℤ/2)^{3})^{Γ_{2}}/((ℤ/2)^{3})^{Σ_{3}} ≅ ℤ/2

Die Abbildung ι ist gegeben durch

\begin{matrix}Z(N(T̃)) & → & ((ℤ/2)^{3})^{Γ_{2}}/((ℤ/2)^{3})^{Σ_{3}} \\ (−1, ⋯, −1) & ↦ & (−1, −1, −1) = 1 \\ (−1, ⋯, −1, 1) & ↦ & (−1, −1, 1) = −1 \end{matrix}

Also gilt

lim^{0}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} ≅ Ker(ι) ≅ ⟨(−1, ⋯, −1)⟩ ≅ Z(O(n))

und

lim^{1}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} = 0.

Da die lim^{j}_{\overleftarrow{R_{2}(O(n))}}Π_{1} für j ≥ 2 genau wie für gerade n verschwinden, ist damit die Aussage bewiesen.

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Lebenslauf:

3. 11. 63 Geburt in Bad Harzburg Besuchte Schulen:

1969 - 73  Frithjof Nansen Schule in Kassel
1973 - 79 und 1980 - 1983 Wilhelmschule in Kassel
1979 - 80  Bradley-Bourbonnais Community High School

in Illinois, USA

1. Juni 1983  Abitur

Studium:

Ab WS 83/84  an der Georg–August–Universität Göttingen
17. Februar 1986 Vordiplom Mathematik
29. Oktober 1993 Diplom Mathematik

Wehrdienst, Zivildienst:

1. April 1986 - 9. Juli 1986  Grundwehrdienst in Schwalmstadt
10. Juli 1986 - 30. November 1987 Zivildienst bei der

Selbsthilfe Körperbehinderter in Göttingen

Beschäftigungen:

WS 87/88 - SS 90, SS 91  Hiwi am Mathematischen Institut
Dezember 1993 - Dezember 1995 wissenschaftlicher Mitarbeiter am SFB 170
Seit Januar 1996  wissenschaftlicher Mitarbeiter eines DFG-Projektes