Charakterisierung der Generatoren dynamischer Halbgruppen

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch - Naturwissenschaftlichen Fakultäten der Georg - August - Universität zu Göttingen

vorgelegt von Jörg Rheinländer

aus Tübingen

Göttingen 1997

Referent: Prof. Dr. H. Hering Korreferent: Prof. Dr. M. Denker Tag der mündlichen Prüfung: 19. 06. 1997

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Vorbereitungen 8

2.1 Operatoralgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.1 C^{∗}-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.1.2 Von Neumann-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Halbgruppen auf Banachräumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Motivation 16

4 Charakterisierung der Generatoren dynamischer Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren 22 4.1 Der positive Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.2 Der vollständig positive Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Charakterisierung der Generatoren dynamischer Halbgruppen auf v. Neumann-Algebren 33 5.1 Positive, unitale Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 5.2 Vollständig positive, unitale Halbgruppen . . . . . . . . . . . . 43

6 Diskussion 48 6.1 Positive Halbgruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 6.2 Vollständig positive, unitale Halbgruppen . . . . . . . . . . . . 52 6.3 Einparametrige ∗-Automorphismengruppen . . . . . . . . . . . 54 6.4 Halbgruppen mit T_{t}(1l) ≤ 1l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 6.5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Literaturverzeichnis 60

Kapitel 1

Einleitung

In der algebraischen Formulierung der Quantentheorie werden Observable durch selbstadjungierte Elemente a einer unitalen C^{∗}- bzw. v. Neumann-Algebra A und physikalische Zustände durch positive, normierte, lineare Funktionale η auf A beschrieben. Die möglichen Meßwerte von a liegen im Spektrum σ(a). Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Meßwerte in einem Zustand η wird durch dη, das vom Zustand η auf σ(a) induzierte Wahrscheinlichkeitsmaß, gegeben.

Im Heisenbergbild wird die reversible Dynamik durch eine einparametrige Gruppe von ∗-Automorphismen auf der Algebra beschrieben. Ist diese Gruppe normstetig, hat man zum Beispiel für A = B(H):

a(t) = e^{iHt}ae^{−iHt}, a ∈ B(H).

Diese Dynamik induziert eine Abbildung auf dem Dualraum der Algebra, in dem die Zustände eingebettet sind. Da bei der Abbildung a ↦ a(t) die Positivität erhalten bleibt und das Einselement 1l ∈ B(H) auf sich abgebildet wird, bildet die duale Abbildung Zustände auf Zustände ab. Man erhält das sogenannte Schrödingerbild, in dem sich die Zustände und nicht mehr die Observablen zeitlich ändern. Liegen quantenmechanische Systeme zugrunde, die endlich viele Freiheitsgrade haben, so sind nach dem Eindeutigkeitssatz von v. Neumann Heisenberg- und Schrödingerbild äquivalent. In der Quantenfeldtheorie oder der Statistischen Mechanik werden jedoch Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden betrachtet. Das Heisenbergbild ist in diesem Fall allgemeiner als das Schrödingerbild. Der reversible Charakter der Dynamik wird durch die Gruppenstruktur ausgedrückt. Sollen irreversible, also nicht mehr zeitlich umkehrbare Zeitentwicklungen betrachtet werden, geht man zu Halbgruppen über. Aus physikalischen Gründen fordert man, daß diese Halbgruppen positiv sind und das Einselement 1l der Algebra auf sich abbilden. Ansonsten bildete die duale Abbildung nicht mehr Zustände auf Zustände ab, und die Wahrscheinlichkeitsinterpretation ginge verloren. Damit sich Erwartungswerte von Observablen stetig in der Zeit ändern, wird gefordert, daß die Halbgruppen gewisse Stetigkeitseigenschaften besitzen.

In dieser Arbeit sollen Halbgruppen betrachtet werden, die eine irreversible Dynamik erzeugen. Den Untersuchungen liegen folgende Objekte zugrunde:

Sei A eine v. Neumann- bzw. unitale C^{∗}-Algebra und T_{t}, t ≥ 0, eine einparametrige Halbgruppe auf A mit:

i) T_{t} ist positiv, das heißt T_{t}(A^{+}) ⊆ A^{+} für alle t ≥ 0. Dabei ist A^{+} der positive Kegel in A. ii) T_{t}(1l) = 1l für alle t ≥ 0. Halbgruppen, die diese Eigenschaft besitzen, nennt man auch unital. iii) T_{t} ist C_{0}^{∗}- bzw. C_{0}-Halbgruppe von Kontraktionen.

C_{0}^{∗}-Halbgruppen sind schwach-∗-stetige, C_{0}-Halbgruppen stark stetige Halbgruppen. Daß unterschiedliche Topologien betrachtet werden müssen, resultiert aus der Tatsache, daß eine unitale C^{∗}-Algebra, die Dualraum eines Banachraums ist, ∗-isomorph zu einer v. Neumann-Algebra ist. Deshalb machen schwach-∗-stetige Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren wenig Sinn.

Ist ein System mit Wechselwirkungen vorgegeben, so wird die Dynamik meist durch infinitesimale Zeitänderung der Zustände und Observablen eingeführt. Dies geschieht durch die Angabe des Generators der Halbgruppe. Es ergibt sich hierbei die Frage, welche Eigenschaften sich von der Halbgruppe auf den Generator vererben und umgekehrt. Sind notwendige und hinreichende Kriterien für den Generator der Halbgruppe gefunden, so spricht man von einer Charakterisierung des Generators. Die Charakterisierung der C_{0}- bzw. C_{0}^{∗}-Eigenschaft der Halbgruppe wird durch den bekannten Satz von Hille und Yosida geliefert. Von Interesse sind also noch Charakterisierungen für die Punkte i) und ii) der obigen Halbgruppen. Da diese beiden Eigenschaften voneinander unabhängig sind, hat man versucht, unabhängige Charakterisierungen anzugeben. Der interessantere Punkt ist die Positivität. Ergebnisse in dieser Richtung wurden von Evans und Hanche-Olsen in [Eva79] erzielt. Sie betrachten allerdings lediglich normstetige Halbgruppen, also insbesondere nur beschränkte Generatoren. Dieses Resultat konnte von Bratteli und Robinson [Bra81b] auf C_{0}-Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren erweitert werden. Der Nachteil dieser Charakterisierung ist, daß die Positivität der Halbgruppe nicht direkt auf Eigenschaften des Generators übertragen werden konnte, sondern nur zum Beispiel auf Eigenschaften der Resolvente.

Weitergehende Ergebnisse konnten im normstetigen Fall unter der zusätzlichen Voraussetzung der vollständigen Positivität der Halbgruppe erzielt werden. Vollständige Positivität bedeutet, daß T_{t} nicht nur auf A positiv ist, sondern daß auch die durch T_{t}^{(n)}[x_{ij}] = [T_{t}(x_{ij})] auf der Algebra M(n, A) der n × n-Matrizen mit Einträgen aus A gegebene Abbildung für alle n ∈ IN positiv ist. Vollständig positive Abbildungen sind aufgrund eines Resultates von Stinespring einfach zu behandeln. Die Betrachtung dieser Zusatzvoraussetzung wird durch physikalische Argumente gerechtfertigt, allerdings stimmen nicht alle Autoren dieser Rechtfertigung zu. Auf diese Diskussion wird genauer in Kapitel 6 eingegangen. Unter den Voraussetzungen der Normstetigkeit und der vollständigen Positivität konnte eine explizite Form des Generators auf der v. Neumann-Algebra bzw. auf der dargestellten C^{∗}-Algebra angegeben werden. Ob solch eine explizite Angabe des Generators, auch Darstellung des Generators genannt, im nicht-normstetigen Fall gelingen kann, ist zweifelhaft. Bei den einparametrigen ∗-Automorphismengruppen gibt es im normstetigen Fall Darstellungen des Generators, nicht aber im allgemeinen Fall. Diese Gruppen sind Spezialfälle der unitalen, vollständig positiven Halbgruppen.

In dieser Arbeit wird folgende, in der Anwendung einfach nachzuweisende, direkte Charakterisierung der Generatoren positiver, unitaler C_{0}^{∗}-Halbgruppen auf v. Neumann-Algebren bzw. C_{0}-Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren bewiesen:

Sei T_{t} eine C_{0}^{∗}- bzw. C_{0}-Halbgruppe auf der v. Neumann- bzw. C^{∗}-Algebra A mit Generator A. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) T_{t} ist positiv und unital für alle t ≥ 0. ii) 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 und A ist symmetrisch, das heißt A(x)^{∗} = A(x^{∗}) ∀x ∈ D(A). D(A) ist der Definitionsbereich von A.

An dieses Ergebnis schließen wir eine Untersuchung über vollständig positive, unitale Halbgruppen an. Es zeigt sich, daß die unter ii) angegebenen Bedingungen auf die Matrizenalgebren übertragen werden können. Als Resultat erhalten wir die oben angegebene Charakterisierung, wobei die Forderung ’T_{t} ist positiv’ durch ’T_{t} ist vollständig positiv’ ersetzt worden ist.

Die vorliegende Arbeit ist folgendermaßen gegliedert:

In Kapitel 2 werden die Begriffe und Ergebnisse aus der Theorie der Halbgruppen und der Theorie der Operatoralgebren, auf die im Verlauf der Arbeit zurückgegriffen wird, eingeführt.

In Kapitel 3 wird anhand der algebraischen Formulierung der Quantentheorie motiviert, warum man positive, unitale Halbgruppen betrachtet. Als Algebra, in die die Observablen eingebettet sind, wird der Übersichtlichkeit halber die spezielle v. Neumann-Algebra B(H) der beschränkten Operatoren auf einem separablen Hilbertraum H betrachtet. Ausgehend von Betrachtungen im Schrödingerbild wird hergeleitet, daß eine nicht notwendig reversible Dynamik durch eine unitale, positive Halbgruppe gegeben ist. Anschließend wird auf den irreversiblen Charakter der Dynamik eingegangen.

Im ersten Abschnitt des vierten Kapitels wird die oben genannte Charakterisierung der Generatoren positiver, unitaler C_{0}-Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren bewiesen. Dazu zeigen wir zuerst, daß die Generatoren A dieser Halbgruppen symmetrisch sind und daß 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 gilt. Anschließend wird hergeleitet, daß diese Bedingungen auch hinreichend sind, um eine unitale, positive Halbgruppe zu erzeugen. Es schließen sich Untersuchungen über den Definitionsbereich des Generators an. Im zweiten Abschnitt wird anstelle der Positivität der Halbgruppe die vollständige Positivität gesetzt. Da sich die Symmetrie des Generators A und die Bedingung 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 auf den Generator A^{(n)}, der auf der Matrizenalgebra M(n, A) operiert, geeignet übertragen lassen, können wir eine Charakterisierung für Generatoren vollständig positiver, unitaler Halbgruppen angeben.

Im fünften Kapitel werden anstelle der C^{∗}-Algebren, wie im vierten Kapitel, v. Neumann-Algebren betrachtet. Die daraus resultierenden Änderungen liegen in der Schwach-∗-Stetigkeit der Halbgruppe. Wir können eine zum C^{∗}-Algebren-Fall analoge Charakterisierung angeben. Allerdings werden die notwendigen Bedingungen an den Generator auf eine andere Art bewiesen als im vierten Kapitel. Der Beweis ist etwas länger, aber die darin eingeführte Methode, um die Positivität der Halbgruppe auf Eigenschaften des Generators zu übertragen, kann eventuell auch für die Bearbeitung anderer Fragestellungen in diesem Gebiet verwendet werden. Im Anschluß an diesen Satz werden weitere Resultate analog zum vierten Kapitel bewiesen. Auch für vollständig positive, unitale Halbgruppen kann eine Charakterisierung bewiesen werden.

In Kapitel 6 werden die Ergebnisse anderer Autoren vorgestellt und mit unseren verglichen.

An dieser Stelle möchte ich mich herzlich bei Herrn Prof. H. Hering für die fruchtbaren Diskussionen bedanken und für das Vertrauen, das er mir entgegengebracht hat. Ich möchte mich bei Herrn Prof. M. Denker für die Übernahme des Korreferates bedanken. Weiterhin danke ich allen, die mir bei der Erstellung der Arbeit geholfen haben, besonders Anja, Olaf, Susi und Wolfgang. Und natürlich auch bei Brice, Paul, Peter und Stefan-M.

Vorbereitungen

In diesem Kapitel sollen die wichtigsten Ergebnisse aus der Theorie der Operatoralgebren und der Theorie der einparametrigen Halbgruppen bereitgestellt werden, auf die in späteren Kapiteln zurückgegriffen werden muß. Definierte Begriffe werden durch kursive Schrift hervorgehoben, Ergebnisse als Sätze formuliert. Die meisten Resultate sind den Kapiteln 2 und 3 des Buches von Bratteli und Robinson [Bra87] entnommen, weswegen auf einen Literaturverweis verzichtet wird. Bei Ergebnissen aus anderen Quellen wird auf das Literaturverzeichnis verwiesen.

2.1 Operatoralgebren

2.1.1 C^{∗}-Algebren

Sei A eine Banachalgebra. Eine Abbildung ∗ : A → A, x ↦ x^{∗}, heißt Involution, falls die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

i) (x^{∗})^{∗} = x, ii) (x + y)^{∗} = x^{∗} + y^{∗}, iii) (xy)^{∗} = y^{∗}x^{∗}, iv) (λx)^{∗} = \overline{λ}x^{∗}, λ ∈ C 1.

Eine Algebra mit Involution heißt ∗-Algebra. Eine Banach-∗-Algebra A heißt C^{∗}-Algebra, falls ∥x^{∗}x∥ = ∥x∥^{2} für alle x ∈ A gilt.

Seien A und B zwei C^{∗}-Algebren. Eine Abbildung Φ von A nach B heißt ∗-Homomorphismus, falls gilt

i) Φ(xy) = Φ(x)Φ(y), ii) Φ(x^{∗}) = Φ(x)^{∗}.

Einen bijektiven ∗-Homomorphismus von A nach B nennt man ∗-Isomor-phismus, gilt A = B, so spricht man von einem ∗-Automorphismus.

Sei A eine Algebra mit Einselement 1l, dann heißt A unital. Die Resolventenmenge ρ(a) eines Elementes a ∈ A ist die Menge aller λ ∈ C 1, so daß λ1l − a invertierbar ist. Das Spektrum σ(a) von a ist das Komplement von ρ(a) in C 1.

Ein Element x ∈ A heißt selbstadjungiert, falls x^{∗} = x gilt. Jedes Element x hat eine eindeutige Zerlegung in zwei selbstadjungierte Elemente der Form x = x_{1} + x_{2} mit x_{1} = (x + x^{∗})/2 und x_{2} = (x − x^{∗})/2i.

Satz 2.1 Sei A eine unitale C^{∗}-Algebra. Für a ∈ A gilt:

i) σ(λ1l − a) = λ − σ(a), ii) σ(a^{∗}) = \overline{σ(a)}, iii) σ(P (a)) = P (σ(a)), P ein Polynom, iv) σ(a) ⊆ [−∥a∥, ∥a∥], falls a selbstadjungiert ist.

Ein selbstadjungiertes Element x ∈ A heißt positiv, falls σ(x) ⊆ [0, ∞) gilt. Die Menge aller positiven Elemente von A wird mit A^{+} bezeichnet. Die Quadratwurzel a^{1/2} aus einem positiven Element a ∈ A ist definiert als das eindeutige positive Element b ∈ A^{+} mit b^{2} = a. Ist x ∈ A selbstadjungiert, so wird der Betrag |x| von x durch (x^{2})^{1/2} definiert.

Satz 2.2 Die Menge A^{+} ist ein abgeschlossener, konvexer Kegel mit der Eigenschaft A^{+} ∩ (−A^{+}) = {0}. Jedes selbstadjungierte Element a kann eindeutig in zwei positive Elemente a = a^{+} − a^{−} zerlegt werden. Es gilt a^{±} = (|a| ± a)/2.

Man kann folgende Charakterisierung für positive Elemente beweisen:

Satz 2.3 Sei A eine C^{∗}-Algebra und a ∈ A. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

i) a ist positiv, ii) a = b^{∗}b für ein b ∈ A.

Sei A eine C^{∗}-Algebra und Φ : A → A eine lineare Abbildung. Φ heißt positiv, falls Φ(A^{+}) ⊆ A^{+} gilt.

Bezeichne mit M(n, A) die Algebra der n × n-Matrizen [a_{ij}] mit Einträgen a_{ij}, i, j = 1, …, n, aus A.

Satz 2.4 Sei A eine C^{∗}-Algebra. Dann existiert eine eindeutige Norm, so daß M(n, A) eine C^{∗}-Algebra ist. Es gilt die Ungleichung

∥a_{ij}∥ ≤ ∥[a_{ij}]∥ ≤ ∑_{i,j=1}^{n} ∥a_{ij}∥ i, j = 1, …, n.

Beweis : In [Tak79], IV.3. □

Sei A eine C^{∗}-Algebra und Φ : A → A eine lineare Abbildung. Durch Φ^{(n)}[a_{ij}] := [Φ(a_{ij})] wird eine Abbildung Φ^{(n)} : M(n, A) → M(n, A) definiert. Eine positive Abbildung Φ : A → A heißt vollständig positiv, falls Φ^{(n)} für alle n ∈ IN positiv ist.

Ein lineares Funktional η auf einer C^{∗}-Algebra heißt positiv, falls η(x^{∗}x) ≥ 0 für alle x ∈ A gilt. Ein positives lineares Funktional η mit ∥η∥ = 1 heißt Zustand.

Eine Darstellung einer C^{∗}-Algebra A ist ein Paar (H, π), wobei H ein komplexer Hilbertraum und π ein ∗-Homomorphismus von A nach B(H), der C^{∗}-Algebra der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum, ist.

Satz 2.5 Sei A eine C^{∗}-Algebra. Dann ist A ∗-isomorph zu einer normabgeschlossenen ∗-Unteralgebra einer Algebra B(H) beschränkter Operatoren auf einem Hilbertraum H.

2.1.2 Von Neumann-Algebren

Sei H ein Hilbertraum und B(H) die Algebra der beschränkten Operatoren auf H. Außer der Normtopologie auf B(H) sind für uns noch die folgendermaßen gegebenen Topologien wichtig:

Die starke Operatortopologie. Sei ψ ∈ H. Durch die Abbildung a ↦ ∥a(ψ)∥ wird eine Halbnorm auf B(H) definiert. Die Menge aller solcher Halbnormen {∥a(ψ)∥ : ψ ∈ H} definiert eine lokalkonvexe Hausdorffsche Topologie auf B(H), die starke Operatortopologie genannt wird.

Die schwache Operatortopologie. Für jedes Paar ψ, ϕ ∈ H wird durch die Abbildung a ↦ |(a(ψ), ϕ)| eine Halbnorm auf B(H) definiert. Die Menge aller solcher Halbnormen {|(a(ψ), ϕ)| : ψ, ϕ ∈ H} definiert eine lokalkonvexe Hausdorffsche Topologie auf B(H), genannt schwache Operatortopologie.

Die σ-schwache Topologie. Die σ-schwache Topologie auf B(H) ist die lokalkonvexe Hausdorffsche Topologie, die durch die Halbnormen a ↦ |T r(aρ)| gegeben ist, wobei ρ ∈ L^{1}(H), dem Banachraum der Spurklasseoperatoren auf H, ist. Da der Dualraum von L^{1}(H) mit B(H) identifiziert werden kann, heißt diese Topologie auch Schwach-∗-Topologie.

Eine v. Neumann-Algebra ist eine in der schwachen Operatortopologie abgeschlossene ∗-Unteralgebra von B(H), die den Einheitsoperator 1l enthält.

Sei N eine Teilmenge von B(H). Die Kommutante N′ ist die Menge aller beschränkten Operatoren auf H, die mit allen Elementen aus N kommutieren.

Als Prädualraum N_{∗} einer v. Neumann-Algebra N bezeichnet man den Raum aller σ-schwach stetigen linearen Funktionale auf N. Die Bezeichnung wird gewählt, da der Dualraum von N_{∗} gerade mit N identifiziert wird.

Satz 2.6 (Sakai) Eine C^{∗}-Algebra A ist genau dann ∗-isomorph zu einer v. Neumann-Algebra, wenn A Dualraum eines Banachraums ist.

Sei N eine Teilmenge von B(H) und G Teilmenge von H. Mit [N G] wird der Abschluß der linearen Hülle von Elementen der Form a(ψ) mit a ∈ N und ψ ∈ G bezeichnet. Man sagt, eine ∗-Unteralgebra A von B(H) ist nichtentartet, falls [AH] = H gilt.

Satz 2.7 (v. Neumann) Sei N eine nichtentartete ∗-Algebra von Operatoren auf einem Hilbertraum H. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) N = N′′, ii) N ist in der starken Operatortopologie abgeschlossen, iii) N ist in der schwachen Operatortopologie abgeschlossen, iv) N ist in der σ-schwachen Operatortopologie abgeschlossen.

Satz 2.8 Sei N eine v. Neumann-Algebra und K ein Hilbertraum mit dim(K) = n. Dann ist N ⊗B(K) unitär äquivalent zu M(n, N).

Beweis : In [Kad86], 11.2.2. □

Satz 2.9 (Stinespring) Sei A eine C^{∗}-Algebra und Φ : A → B(H) eine lineare Abbildung. Φ ist genau dann vollständig positiv, wenn Φ die Form

Φ(x) = V^{∗}π(x)V

mit einer Darstellung π von A auf einem Hilbertraum K und einer beschränkten linearen Abbildung V : H → K hat. Ist A eine v. Neumann-Algebra und Φ σ-schwach stetig, so kann auch π σ-schwach stetig gewählt werden.

Beweis : In [Sti55]. □

2.2 Halbgruppen auf Banachräumen

Wir betrachten einen Banachraum X und eine norm-abgeschlossene Teilmenge F des Dualraumes X^{∗} von X, so daß entweder F = X^{∗} oder X = F^{∗} gilt. Im letzten Fall schreiben wir F = X_{∗}. Mit σ(X, F) werde die lokalkonvexe Topologie auf X bezeichnet, die durch die Funktionale aus F induziert wird. σ(X, X^{∗}) ist also die schwache Topologie auf X und σ(X, X_{∗}) die Schwach- ∗-Topologie.

Eine einparametrige Familie T_{t} : X → X, t ≥ 0, von beschränkten linearen Abbildungen auf dem Banachraum X heißt Halbgruppe von beschränkten linearen Abbildungen auf X, falls gilt:

i) T_{s+t} = T_{s}T_{t} für t, s ≥ 0, ii) T_{0} = 1, wobei 1 die Identitätsabbildung auf X ist. Statt ’Halbgruppe von beschränkten Operatoren’ schreiben wir auch kurz ’Halbgruppe’.

Eine Halbgruppe T_{t}, t ≥ 0, auf einem Banachraum X heißt σ(X, F)-stetige Halbgruppe, falls gilt:

i) t ↦ T_{t}(x) ist σ(X, F)-stetig für alle x ∈ X, ii) x ↦ T_{t}(x) ist σ(X, F) − σ(X, F)-stetig für alle t ≥ 0. Man bezeichnet die σ(X, X^{∗})-stetigen Halbgruppen auch als C_{0}-Halbgruppen und die σ(X, X_{∗})-stetigen Halbgruppen als C_{0}^{∗}-Halbgruppen.

Satz 2.10 Sei T_{t} eine σ(X, F)-stetige Halbgruppe auf X. Dann existieren Konstanten M ≥ 1 und β ≥ inf_{t>0}(t^{−1} log ∥T_{t}∥), so daß ∥T_{t}∥ ≤ Me^{βt} gilt.

Satz 2.11 Sei T_{t} eine σ(X, F)-stetige Halbgruppe auf X, so daß ∥T_{t}∥ ≤ Me^{βt} gilt. Sei μ ein komplexes Maß auf IR^{+}, so daß ∫_{0}^{∞} d|μ|(t)e^{βt} < ∞ gilt. Dann existiert zu jedem x ∈ X ein y ∈ X, so daß

η(y) = ∫_{0}^{∞} η(T_{t}(x))dμ(t) ∀η ∈ F

gilt.

Wenn x und y wie im letzten Satz gegeben sind, schreibt man auch

y = ∫_{0}^{∞} T_{t}(x)dμ(t).

Der (infinitesimale) Generator einer σ(X, F)-stetigen Halbgruppe ist die lineare Abbildung A auf X, deren Definitionsbereich D(A) aus den Elementen x ∈ X besteht, für die ein y ∈ X existiert, so daß

η(y) = lim_{t↓0} \frac{1}{t}η(T_{t}(x) − x)

für alle η ∈ F gilt. Falls x ∈ D(A) ist, so definiert man A(x) := y.

Satz 2.12 Sei T_{t} eine σ(X, F)-stetige Halbgruppe auf dem Banachraum X, A der Generator von T_{t} und M, β Konstanten, so daß ∥T_{t}∥ ≤ Me^{βt} gilt. Dann ist A σ(X, F)-dicht definiert und σ(X, F) − σ(X, F)-abgeschlossen. Ist ℜeλ > β, dann ist Range(λ1 − A) = X und für x ∈ D(A) gilt

∥(λ1 − A)(x)∥ ≥ M^{−1}(ℜeλ − β)∥x∥.

Die Resolvente von A ist durch die Laplace-Transformation

(λ1 − A)^{−1}(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T_{t}(x)dt

für alle x ∈ X und ℜeλ > 0 gegeben.

Satz und Definition 2.13 Jede C_{0}-Halbgruppe ist stark stetig. Der durch den schwachen Limes definierte Generator stimmt mit dem starken Generator

Ã(x) := lim_{t↓0} \frac{1}{t}(T_{t}(x) − x)

für x ∈ D(Ã) := \{x ∈ X : ∃ lim_{t↓0} \frac{1}{t}(T_{t}(x) − x)\} überein. Die Grenzwerte werden dabei in der Banachraumnorm genommen.

Satz 2.14 Sei T_{t} eine C_{0}-Halbgruppe auf X mit Generator A. Sei weiterhin C_{0}^{∞}((0, ∞), IR) die Menge aller unendlich oft differenzierbaren Funktionen mit kompakten Träger in (0, ∞) und Wertebereich IR. Dann ist die Menge

E := span{y ∈ X : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), x ∈ X, s.d. y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds}

Teilmenge von ∩_{k∈IN}D(A^{k}) und liegt norm-dicht in X. Sei y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds ∈ E, dann gilt

A^{k}(y) = \{ \begin{matrix}0 : & T_{s}(x) = const. ∀ s ≥ 0, \\ (−1)^{k} ∫_{0}^{∞} ϕ^{(k)}(s)T_{s}(x)ds : & sonst. \end{matrix}

Beweis : In [Paz83], 1.2.7. □

Der Satz existiert in der Literatur nur für C_{0}-Halbgruppen. In Kapitel 5 werden wir eine analoge Aussage für C_{0}^{∗}-Halbgruppen beweisen. In der oben definierten Menge E kann C_{0}^{∞}((0, ∞), IR) durch C_{0}^{∞}((0, ∞), IR^{+}) ersetzt werden, siehe Bemerkung 5.2. Wir benutzen in dieser Arbeit die Notation IR^{+} := [0, ∞).

Satz 2.15 (Hille-Yosida) Sei eine lineare Abbildung A mit Definitionsbereich D(A) auf einem Banachraum X gegeben. Die folgenden beiden Bedingungen sind äquivalent:

i) A ist der Generator einer σ(X, F)-stetigen Halbgruppe von Kontraktionen T_{t} auf X. ii) A ist σ(X, F)-dicht definiert und σ(X, F) − σ(X, F)-abgeschlossen. Für alle α > 0 gilt

∥(1 − αA)(x)∥ ≥ ∥x∥, x ∈ D(A),

und für λ > 0 gilt

Range(1 − λA) = X.

Sind diese Bedingungen erfüllt, dann kann die Halbgruppe T_{t} durch die folgende Exponentialformel berechnet werden:

T_{t}(x) = lim_{n→∞}(1 − tA/n)^{−n}(x).

Der Limes existiert in der σ(X, F)-Topologie, für C_{0}-Halbgruppen kann auch der starke Limes genommen werden.

Motivation

In diesem Kapitel soll physikalisch motiviert werden, warum man sich für positive, unitale Halbgruppen auf C^{∗}- und v. Neumann-Algebren interessiert. Wir beschränken uns in dieser Motivation auf den einfachen Fall und betrachten B(H), die Algebra der beschränkten Operatoren auf einem separablen Hilbertraum H. Als Observablen können die selbstadjungierten Elemente aus B(H) angesehen werden. Der Raum, in dem die Zustände eingebettet sind, ist dann der Banachraum aller Spurklasseoperatoren L^{1}(H) auf H. Die Diskussion lehnt sich an eine Arbeit von Ingarden und Kossakowski [Ing75] aus dem Jahr 1975 an. Allerdings wird in [Ing75] als Raum, in dem die Zustände liegen, der reelle Banachraum aller selbstadjungierten Spurklasseoperatoren auf H genommen. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, daß der reelle Banachraum aller selbstadjungierten Spurklasseoperatoren der kleinste lineare Raum ist, in den die Menge aller Zustände eingebettet werden kann. Der Nachteil hingegen ist, daß diese Vorgehensweise nicht in den C^{∗}- beziehungsweise in den v. Neumann-Algebren-Formalismus paßt, denn in diesen werden immer komplexe Algebren und ihre Dual- und Prädualräume betrachtet.

Positive, unitale Halbgruppen kommen typischerweise in der irreversiblen Thermodynamik vor. Als irreversibel werden Dynamiken bezeichnet, bei denen die Entropie zeitlich nicht konstant bleibt. Irreversibles Verhalten zeigen zum Beispiel offene Systeme S. Dabei bezeichnet man ein System als offen, wenn es mit einem äußeren System R - das kann ein Wärmebad oder ein Meßinstrument sein - wechselwirkt. Könnte man einen Hamiltonoperator für das ganze System S+R finden, so hätte man wieder eine Hamiltondynamik. Die Angabe des Hamiltonoperators ist aber in fast allen realistischen Situationen wegen der Komplexität der Wechselwirkungen nicht möglich.

Die einfachste Dynamik, die bisher mathematisch behandelt werden kann und die ein irreversibles Verhalten für das Teilsystem S des gesamten Systems S+R beschreibt, wird durch eine Halbgruppe von Transformationen gegeben. Dadurch ist die Zeitrichtung vorgegeben, in der sich der Prozeß entwickelt. Es ist allerdings nicht einfach, plausible physikalische Bedingungen für das gesamte System S+R anzugeben, die mathematisch streng eine Halbgruppendynamik für das Teilsystem S implementieren. Eine mathematisch strenge Behandlung konnte zum Beispiel von Davies für einen harmonischen Oszillator [Dav73] und für ein N-Level-System [Dav74], von Pule [Pul74] für ein Spin-\frac{1}{2}-System ausgeführt werden. Diese Systeme waren dabei immer an ein unendliches Wärmebad gekoppelt.

Die minimalen physikalischen Forderungen an solch eine Halbgruppendynamik im Schrödingerbild sind, daß Zustände S = {ρ ∈ L^{1}(H) : ρ ≥ 0, T r(ρ) = 1} auf Zustände abgebildet werden. Daher wird für eine dynamische Halbgruppe T_{t}^{∗} folgendes gefordet:

Grundannahmen für dynamische Halbgruppen im Schrödingerbild:

1. Gilt T r(ρ) = 1 für ρ ∈ L^{1}(H), dann auch T r(T_{t}^{∗}(ρ)) = 1.

2. Für ρ ≥ 0 ist auch T_{t}^{∗}(ρ) ≥ 0.

3. T_{t}^{∗} ist schwach stetig .

Die letzte Eigenschaft resultiert aus der Forderung, daß sich Erwartungswerte von Observablen stetig mit der Zeit ändern sollen. Die Observablen sind die selbstadjungierten Elemente aus B(H), dem Dualraum von L^{1}(H), deshalb wird hier die schwache Stetigkeit gefordert.

Im Fall quantenmechanischer Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden sind Schrödinger- und Heisenbergbild nach dem Eindeutigkeitssatz von v. Neumann zueinander äquivalent. Dies gilt nicht mehr, wenn unendlich viele Freiheitsgrade vorliegen. Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden treten typischerweise beim thermodynamischen Limes in der Statistischen Mechanik oder in der Quantenfeldtheorie auf. Aus diesem Grund werden die eben formulierten Axiome für dynamische Halbgruppen auf das Heisenbergbild übertragen, das heißt, man geht zur dualen Halbgruppe T_{t} : B(H) → B(H) über:

T r(ρT_{t}(a)) := T r(T_{t}^{∗}(ρ)a)

für ρ ∈ L^{1}(H) und a ∈ B(H).

Jedes Element μ ∈ L^{1}(H) kann durch μ̃ := \frac{μ}{∥μ∥_{L^{1}(H)}} normiert werden. Deshalb folgt aus der ersten Eigenschaft einer dynamischen Halbgruppe im Schrödingerbild die Spurerhaltung:

T r(T_{t}^{∗}(μ)) = ∥μ∥_{L^{1}(H)}T r(T_{t}^{∗}(μ̃)) = ∥μ∥_{L^{1}(H)}T r(μ̃) = T r(μ)

für alle Elemente aus L^{1}(H) und damit

T r(ρT_{t}(1l)) = T r(T_{t}^{∗}(ρ)) = T r(ρ) ∀ρ ∈ L^{1}(H).

Sei g ∈ H und der Operator μ_{g,ψ_{n}} ∈ L^{1}(H) durch μ_{g,ψ_{n}}(h) = (g, h)ψ_{n} für alle h ∈ H definiert, dabei sei{ψ_{n}}_{n∈IN} ⊆ H ein vollständiges Orthonormalsystem in H. Dann ist T r(μ_{g,ψ_{n}}) = (g, ψ_{n}) und

T r(μ_{g,ψ_{n}}T_{t}(1l)) = ∑_{i∈IN}(ψ_{i}, (g, T_{t}(1l)ψ_{i})ψ_{n}) = (g, T_{t}(1l)ψ_{n}),

also (g, T_{t}(1l)ψ_{n}) = (g, ψ_{n}). Diese Rechnung kann für alle g ∈ H durchgeführt werden. Man bekommt auf diese Weise aus der ersten Forderung an die Dynamik im Schrödingerbild die Eigenschaft T_{t}(1l) = 1l für alle t ≥ 0 im Heisenbergbild.

Für die Übertragung der zweiten Eigenschaft auf das Heisenbergbild benötigt man das folgende Ergebnis:

Lemma 3.1 Sei a ∈ B(H). a ist genau dann positiv, wenn für alle ρ ≥ 0 gilt: T r(ρa) ≥ 0.

Beweis : i) Sei a ∈ B(H)^{+} und ρ ∈ L^{1}(H)^{+} beliebig. Es existiert ein vollständiges Orthonormalsystem {ψ_{n}}_{n∈IN} von H, so daß ρψ_{n} = λ_{n}ψ_{n}, mit λ_{n} > 0, für alle n ∈ IN gilt. Da die Spur invariant unter Basiswechsel ist, erhält man

T r(ρa) = ∑_{n∈IN}(ψ_{n}, aρψ_{n})
= ∑_{n∈IN} λ_{n}(ψ_{n}, aψ_{n}) ≥ 0.

ii) Sei ψ ∈ H beliebig. Dann existiert ein vollständiges Orthonormalsystem \{ϕ_{n}\}_{n∈IN} derart, daß ϕ_{1} = \frac{ψ}{∥ψ∥} gilt. Der Operator ρ := (ϕ_{1}, ·)ϕ_{1} ist Element der Spurklasse L^{1}(H) und positiv, denn es gilt für beliebiges η ∈ H mit Entwicklung η = ∑_{n∈IN}^{∞} c_{n}ϕ_{n}

(η, ρη) = ( ∑_{k∈IN}^{∞} c_{k}ϕ_{k}, (ϕ_{1}, ∑_{n∈IN}^{∞} c_{n}ϕ_{n})ϕ_{1})
= c_{1}( ∑_{n∈IN}^{∞} c_{n}ϕ_{n}, ϕ_{1})
= c_{1}\overline{c_{1}} ≥ 0.

Deswegen erhält man

0 ≤ T r(ρa) = ∑_{n∈IN}(ϕ_{n}, a(ϕ_{1}, ϕ_{n})ϕ_{1}) = (ϕ_{1}, aϕ_{1}).

Aus der letzten Gleichung folgt (ψ, aψ) ≥ 0 und da die Wahl von ψ ∈ H beliebig war, folgt die Behauptung. □

Aus der zweiten Grundannahme T_{t}^{∗}(L^{1}(H)^{+}) ⊂ L^{1}(H)^{+} folgt für a ∈ B(H)^{+}

0 ≤ T r(T_{t}^{∗}(ρ)a) = T r(ρT_{t}(a)), ∀ρ ∈ L^{1}(H)^{+}.

Mit dem eben bewiesenen Lemma ergibt sich als Forderung im Heisenbergbild, daß T_{t} positiv sein muß.

Die Halbgruppe T_{t}^{∗} auf L^{1}(H) war als schwach stetig vorausgesetzt, für die duale Halbgruppe auf B(H) muß also die Schwach-∗-Stetigkeit gefordert werden. Damit ist T_{t} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf B(H).

Zusammenfassend wird nun für allgemeine C^{∗}- und v. Neumann-Algebren gefordert:

Grundannahmen für dynamische Halbgruppen im Heisenbergbild: Sei A eine v. Neumann-Algebra (bzw. unitale C^{∗}-Algebra) und T_{t} eine einparametrige Halbgruppe auf A. Es gelte weiterhin:

1. T_{t}(1l) = 1l, für alle t ≥ 0.

2. T_{t}(A^{+}) ⊆ A^{+}.

3. T_{t} ist C_{0}^{∗}-Halbgruppe (C_{0}-Halbgruppe).

C^{∗}-Algebren A, die einen Prädualraum besitzen, sind nach Sakais Theorem ∗-isomorph zu einer v. Neumann-Algebra. Da die Schwach-∗-Topologie auf A von den Elementen des Prädualraums erzeugt wird, sind schwach-∗-stetige Halbgruppen, also C_{0}^{∗}-Halbgruppen, auf C^{∗}-Algebren nicht sinnvoll. Daher nimmt man stattdessen die C_{0}-Eigenschaft.

Es soll nun auf den irreversiblen Charakter der Dynamik eingegangen werden. Die Diskussion ist dabei an [Thi80], Kapitel 3.1, angelehnt. Es wird ein System S betrachtet und ein daran gekoppeltes Wärmebad W. Mit H_{S} und H_{W} werden die zu dem offenen System S und dem Wärmebad W gehörenden Hilberträume bezeichnet. Es sei ρ⊗σ ein faktorisierter Anfangszustand, ρ ∈ L^{1}(H_{S}), σ ∈ L^{1}(H_{W}), und U_{t} die unitäre Hamiltondynamik auf L^{1}(H_{S}) ⊗ L^{1}(H_{W}). Sie implementiert die Dynamik T_{t} für das offene System:

T r(ρ ⊗ σU_{−t}(a ⊗ 1l)U_{t}) = T r_{S}(ρT_{t}(a)) = T r_{S}(T_{t}^{∗}(ρ)a),

a ⊗ 1l ist dabei eine Observable von S. Die Entropie eines allgemeinen Systems, dessen Zustand durch eine Dichtematrix beschrieben wird, bleibt konstant, wenn die Dichtematrix unitär transformiert wird, wie zum Beispiel hier die Dichtematrix des Gesamtsystems U_{t}(ρ ⊗ σ)U_{−t}. Die Dynamik des offenen Systems ist im allgemeinen nicht durch eine unitäre Transformation der Dichtematrix ρ gegeben. Die Entropie von S also nicht notwendig invariant unter T_{t}^{∗}. Über das Vorzeichen der Entropieänderung von S kann keine Aussage getroffen werden. Ist die Temperatur des Systems S am Anfang größer als die Temperatur des Wärmebads W, so nimmt die Entropie von S im Laufe der Zeit ab. Ist S am Anfang kälter als W, so nimmt die Entropie von S mit der Zeit zu. Aus diesem Grund erweist es sich als zweckmäßig, die folgendermaßen definierte relative Entropie

S(ω, η) := T r(ω(ln ω − ln η)) ω, η ≥ 0, T r(ω) = T r(η) = 1

zu betrachten. Die Dichtematrizen ω, η seien dabei aus demselben L^{1}(H), speziell hier also aus L^{1}(H_{S}). Die relative Entropie ist stets positiv. Setzt man für η die Dichtematrix des Gleichgewichtszustandes ein, so ist S(ω, η) gerade die inverse Temperatur β multipliziert mit der Differenz von der freien Energie des Zustandes ω und der des Gleichgewichtszustandes η. Sind ρ, σ und T_{t}^{∗} wie in obiger Diskussion gegeben, so kann folgendes Ergebnis gezeigt werden:

Satz 3.2 S(T_{t}^{∗}(ρ), T^{∗}(σ)) ist eine in t monoton fallende Funktion.

Beweis : In [Thi80], 3.1,12. □

Wegen der Positivität der relativen Entropie existiert lim_{t→∞} S((T_{t}^{∗}(ρ), T^{∗}(σ)). Die freie Energie muß jedoch nicht den Gleichgewichtswert erreichen, da der Grenzwert größer Null sein kann.

Für Anwendungen der in dieser Arbeit betrachteten Halbgruppen in der Physik sei beispielsweise auf [Isa95] und die darin zitierte Literatur verwiesen.

Neben der irreversiblen Thermodynamik finden die positiven, unitalen Halbgruppen Verwendung in der Quantenstochastik [Par92].

Charakterisierung der Generatoren dynamischer Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren

In diesem Kapitel wird untersucht, welche Bedingungen ein Generator einer C_{0}-Halbgruppe T_{t} auf einer C^{∗}-Algebra erfüllen muß, damit T_{t} unital und positiv beziehungsweise unital und vollständig positiv ist. Die Untersuchung ist in zwei Abschnitte unterteilt. Im ersten werden positive, unitale Halbgruppen, im zweiten vollständig positive, unitale Halbgruppen betrachtet.

4.1 Der positive Fall

Im folgenden sei A immer eine unitale C^{∗}-Algebra, deren Einselement mit 1l bezeichnet wird. Die Definitionsbereiche D(A) von linearen Abbildungen A seien Unterräume von A. Für den positiven Kegel von A wird die Bezeichnung A^{+} gewählt.

In diesem Abschnitt werden C_{0}-Halbgruppen T_{t} auf A betrachtet, die unital, das heißt T_{t}(1l) = 1l, und positiv, das heißt T_{t}(A^{+}) ⊆ A^{+}, für alle t ≥ 0 sind. Aus diesen Eigenschaften und dem nächsten Satz folgt, daß für jede positive, unitale Halbgruppe T_{t} auf A und für alle t ≥ 0 die Gleichung ∥T_{t}∥ = 1 gilt.

Satz 4.1 Sei Φ eine lineare Abbildung zwischen zwei unitalen C^{∗}-Algebren A und B mit Φ(1l) = 1l. Es folgt, daß Φ genau dann positiv ist, wenn ∥Φ∥ = 1 gilt.

KAPITEL 4. HALBGRUPPEN AUF C^{∗}-ALGEBREN 23

Beweis : In [Bra87], 3.2.6. □

In den nachfolgenden Untersuchungen werden die sogenannten symmetrischen linearen Abbildungen eine zentrale Rolle spielen.

Definition 4.2 Sei A eine lineare Abbildung A : D(A) → A. A heißt symmetrisch, falls ∀a ∈ D(A)

A(a)^{∗} = A(a^{∗})

gilt.

Man beachte, daß die Definitionsbereiche von symmetrischen Abbildungen ∗-lineare Unterräume der Algebra sind, das heißt, mit a ∈ D(A) ist auch a^{∗} ∈ D(A). Einige Autoren verwenden statt des Begriffs ’symmetrisch’ für solche Abbildungen einen der Begriffe ’hermitesch’ oder ’selbstadjungiert’.

Es soll nun bewiesen werden, daß die Generatoren positiver Halbgruppen symmetrisch sind. Weiterhin wird gezeigt, daß der Definitionsbereich der Generatoren dicht im selbstadjungierten Teil der Algebra liegt. Dies ist, obwohl der Generator dicht definiert ist, nicht selbstverständlich. Denn folgende einfache Überlegung zeigt, daß A^{sa} keine inneren Punkte in der Normtopologie von A besitzt: Für x ∈ A^{sa} konvergiert \frac{1}{n}x gegen Null und deshalb x_{n} := x + \frac{i}{n}x gegen x, aber für alle n ∈ IN gilt x_{n} ∉ A^{sa}.

Satz 4.3 Sei T_{t} eine positive C_{0}-Halbgruppe auf A, dann ist der Generator A symmetrisch und es gilt \overline{D(A) ∩ A^{sa}} = A^{sa}.

Beweis : Sei x ∈ A beliebig, dann kann x eindeutig in vier positive Elemente zerlegt werden:

x = a − b + i(c − d), a, b, c, d ∈ A^{+}.

Die Halbgruppe T_{t} ist nach Voraussetzung positiv, es gilt für alle t ≥ 0

T_{t}(x^{∗}) = T_{t}(a − b − i(c − d))
= T_{t}(a) − T_{t}(b) − i(T_{t}(c) − T_{t}(d))
= (T_{t}(a) − T_{t}(b) + i(T_{t}(c) − T_{t}(d)))^{∗}
= T_{t}(x)^{∗},

also ist T_{t} symmetrisch. Sei nun a ∈ D(A) beliebig. Wegen

A(a)^{∗} = (lim_{h↓0} \frac{1}{h}(T_{h}(a) − a))^{∗}
= lim_{h↓0} \frac{1}{h}(T_{h}(a)^{∗} − a^{∗})
= lim_{h↓0} \frac{1}{h}(T_{h}(a^{∗}) − a^{∗})

ist a^{∗} ∈ D(A), und es gilt A(a)^{∗} = A(a^{∗}). Bei der letzten Rechnung wurde ausgenutzt, daß die ∗-Abbildung normstetig ist.

A ist als Generator der C_{0}-Halbgruppe T_{t} dicht definiert. Sei u ∈ A^{sa}, dann existiert eine Folge {u_{n}}_{n∈IN} ⊂ D(A), die gegen u konvergiert. Jedes Folgenglied u_{n} kann eindeutig in zwei selbstadjungierte Elemente zerlegt werden:

u_{n} = \frac{1}{2}(u_{n} + u_{n}^{∗}) + i\frac{1}{2i}(u_{n} − u_{n}^{∗})
=: y_{n} + iz_{n},

dabei sind y_{n}, z_{n} ∈ D(A) ∩ A^{sa}. Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt y_{n} → u und damit \overline{D(A) ∩ A^{sa}} = A^{sa}. □

Im nächsten Satz wird gezeigt, daß es ausreicht, an den Generator A einer C_{0}-Halbgruppe T_{t} von Kontraktionen die Forderungen zu stellen, daß A symmetrisch ist und 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 gilt, um zu garantieren, daß T_{t} positiv und unital ist. Da diese Bedingungen im Gegensatz zu bisher bekannten Forderungen sehr einfach nachzuprüfen sind, ist die Aussage von Satz 4.4 von großem Interesse. Auf diesen Punkt wird ausführlich in Kapitel 6 eingegangen werden. Man beachte im folgenden Beweis, daß zum Nachweis der Positivität von T_{t} sowohl die Symmetrie von A als auch die Eigenschaft 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 verwendet wird.

Satz 4.4 Sei T_{t} eine C_{0}-Halbgruppe von Kontraktionen auf A, deren Generator A die folgenden Eigenschaften habe:

i) 1l ∈ D(A), A(1l) = 0, ii) A ist symmetrisch. Dann ist T_{t} eine positive, unitale Halbgruppe.

Beweis : Zuerst wird bewiesen, daß T_{t}(1l) = 1l für alle t ≥ 0 gilt. Die Resolvente R(λ, A) := (λ1 − A)^{−1} : A → D(A) existiert nach dem Hille-Yosida-Theorem für alle λ > 0. Sei 1l ∈ D(A) und A(1l) = 0, dann gilt für alle λ > 0

1l = R(λ, A)(λ1 − A)(1l)
= R(λ, A)(λ1l)
⇒ R(λ, A)(1l) = \frac{1}{λ}1l.

Die Beziehung zwischen Halbgruppe und Resolvente ist durch die Exponentialformel aus Satz 2.15 gegeben:

T_{t}(a) = lim_{n→∞}(1 − \frac{t}{n}A)^{−n}(a) = lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a)

für alle a ∈ A. Nun ist

[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(1l) = (\frac{n}{t})^{n}(\frac{t}{n})^{n}1l = 1l

und somit gilt T_{t}(1l) = 1l.

Sei A symmetrisch, dann ist für λ > 0 auch λ1 − A symmetrisch. Zu x ∈ A gibt es genau ein y ∈ D(A) derart, daß (λ1 − A)^{−1}(x) = y gilt. Es ergibt sich:

((λ1 − A)^{−1}(x))^{∗} = y^{∗}
= ((λ1 − A)^{−1}(λ1 − A))(y^{∗})
= (λ1 − A)^{−1}((λ1 − A)(y^{∗}))
= (λ1 − A)^{−1}(x^{∗}).

Die Resolvente R(λ, A) ist also für alle λ > 0 symmetrisch. Wegen ∥b∥ = ∥b^{∗}∥ für b ∈ A, ist die ∗-Abbildung stetig, für eine konvergente Folge {b_{n}}_{n∈IN} aus A gilt also insbesondere

( lim_{n→∞} b_{n})^{∗} = lim_{n→∞} b_{n}^{∗}.

Deswegen ergibt sich mit der schon oben verwendeten Exponentialformel:

T_{t}(a)^{∗} = ( lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a))^{∗}

= lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a)^{∗}
= lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a^{∗})
= T_{t}(a^{∗}).

Also ist auch T_{t} symmetrisch.

Sei a ∈ A^{+}, definiere a_{1} := \frac{a}{∥a∥}. Dann ist a_{1} ∈ A^{+} und ∥a_{1}∥ = 1. Für das Spektrum von a_{1} erhält man σ(a_{1}) ⊆ [0, 1]. Daraus folgt 1 − σ(a_{1}) = σ(1l−a_{1}) ⊆ [0, 1] und deshalb gilt die Ungleichung ∥1l−a_{1}∥ ≤ 1. Mit T_{t}(1l) = 1l folgt nach dem bereits Bewiesenen

∥1l − T_{t}(a_{1})∥ = ∥T_{t}(1l) − T_{t}(a_{1})∥
≤ ∥T_{t}∥∥1l − a_{1}∥
≤ ∥1l − a_{1}∥.

Da die Halbgruppe T_{t} symmetrisch ist, bildet sie selbstadjungierte Elemente auf selbstadjungierte ab:

T_{t}(a)^{∗} = T_{t}(a^{∗}) = T_{t}(a) ∀a ∈ A^{sa}.

Das heißt insgesamt T_{t}(a_{1}) ∈ A^{sa} und ∥1l − T_{t}(a_{1})∥ ≤ 1. Für das Spektrum gilt dann 1−σ(T_{t}(a_{1})) = σ(1l−T_{t}(a_{1})) ⊆ [−1, 1] und daraus folgt σ(T_{t}(a_{1})) ⊆ [0, 2], also ist T_{t}(a_{1}) ∈ A^{+}. A^{+} ist ein positiver, konvexer Kegel, d.h. für ν ∈ IR^{+} und x ∈ A^{+} ist auch νx ∈ A^{+}. Insbesondere bedeutet dies

T_{t}(a) = ∥a∥T_{t}(a_{1}) ∈ A^{+}.
□

In Satz 4.3 wurde die Eigenschaft T_{t}(1l) = 1l, die eine positive, unitale Halbgruppe zusätzlich zur Positivität besitzt, nicht benötigt. Setzt man sie voraus, folgt wegen

lim_{h↓0} \frac{1}{h}(T_{h}(1l) − 1l) = lim_{h↓0} \frac{1}{h}(1l − 1l) = 0

für den Generator A: 1l ∈ D(A) und A(1l) = 0. Die vorhergehenden Sätze können mit dieser Zusatzvoraussetzung folgendermaßen zusammengefaßt werden:

Korollar 4.5 Sei T_{t} eine C_{0}-Halbgruppe von Kontraktionen auf A und A der Generator der Halbgruppe. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) T_{t} ist eine positive, unitale Halbgruppe. ii) A ist symmetrisch und es gilt: 1l ∈ D(A), A(1l) = 0.

Beweis : Folgt aus den Sätzen 4.3 und 4.4. □

Im folgenden soll der Definitionsbereich des Generators einer positiven C_{0}- Halbgruppe genauer untersucht werden.

Satz 4.6 Sei A der Generator einer positiven C_{0}-Halbgruppe T_{t} auf A. Dann gilt:

\overline{(∩_{k∈IN}D(A^{k})) ∩ A^{sa}} = A^{sa}.

Beweis : Nach Satz 2.14 ist die Menge

E := span{y ∈ A : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), x ∈ A, s.d. y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds}

Teilmenge von ∩_{k∈IN}D(A^{k}) und liegt dicht in A. Nach Voraussetzung ist T_{t} positiv, für a ∈ A^{sa} ist dann T_{s}(a) ∈ A^{sa} und für ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR) auch ϕ(s)T_{s}(a) ∈ A^{sa}. Wegen der Normabgeschlossenheit des selbstadjungierten Teils einer C^{∗}-Algebra liegt das Integral ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(a)ds in A^{sa}. Die Menge

E^{sa} := span{y ∈ A : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), a ∈ A^{sa}, s.d. y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(a)ds},

wobei hier die reelle lineare Hülle gemeint ist, ist also Teilmenge von A^{sa}, aber auch Teilmenge von ∩_{k∈IN}D(A^{k}). Wiederholtes Anwenden von A auf Elemente aus E^{sa} führt diese wegen

A^{k}(∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds) = (−1)^{k} ∫_{0}^{∞} ϕ^{(k)}(s)T_{s}(x)ds

oder A(∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(z)ds) = 0, falls T_{s}(z) = const. für alle s ≥ 0 gilt, nicht aus dem selbstadjungierten Teil heraus:

A^{k}(E^{sa}) ⊂ A^{sa}, ∀k ∈ IN.

Nun soll gezeigt werden, daß \overline{E^{sa} ∩ A^{sa}} = A^{sa} gilt. Sei a ∈ A^{sa} beliebig, dann existiert nach Satz 2.14 eine Folge {a_{n}}_{n∈IN} ⊂ E, die gegen a konvergiert. Die Folgenglieder lassen sich wie folgt schreiben:

a_{n} = ∑_{k∈I_{n}} α_{n}^{k} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(x_{n}^{k})ds
= ∑_{k∈I_{n}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(z_{n}^{k})ds,

dabei sind die I_{n} endliche Indexmengen und z_{n}^{k} := α_{n}^{k}x_{n}^{k}. Die a_{n} und z_{n}^{k} können eindeutig in je zwei selbstadjungierte Elemente zerlegt werden:

a_{n} = b_{n} + ic_{n},
z_{n}^{k} = u_{n}^{k} + iv_{n}^{k}.

Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung kann die folgende Identifizierung vorgenommen werden:

b_{n} = ∑_{k∈I_{n}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(u_{n}^{k})ds ∈ E^{sa},
c_{n} = ∑_{k∈I_{n}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(v_{n}^{k})ds ∈ E^{sa}.

Weiterhin folgt aus der Eindeutigkeit der Zerlegung b_{n} → a, also \overline{E^{sa}} = A^{sa} und damit die Behauptung. □

Im Anschluß an Satz 2.14 wurde bemerkt, daß die Menge

F := span{y ∈ A : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR^{+}), x ∈ A, s.d. y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds}

Teilmenge des Definitionsbereichs des Generators A der Halbgruppe T_{t} ist und dicht in A liegt. Mit Hilfe dieser Menge wird jetzt gezeigt, daß der Definitionsbereich des Generators einer positiven Halbgruppe sogar dicht im positiven Kegel der Algebra liegt. Eine zum Beweis von Satz 4.3 analoge Schlußweise ist nicht möglich, denn wenn ein Element des Definitionsbereiches in vier positive Elemente zerlegt wird, so liegen diese nicht mehr unbedingt im Definitionsbereich. Im Beweis von Satz 4.3 wurde aber entscheidend ausgenutzt, daß die Zerlegung in selbstadjungierte Elemente nicht aus dem Definitionsbereich herausführt. Der nächste Satz ist von Interesse, da man festgestellt hat, daß sich der Generator normstetiger, vollständig positiver, unitaler Halbgruppen explizit darstellen läßt und dann aus verschiedenen Termen zusammensetzt, von denen einer eine vollständig positive Abbildung ist. Auf diesen Punkt wird genauer in Kapitel 6 eingegangen werden. Im nicht normstetigen Fall ist der Generator nicht auf der ganzen Algebra definiert. Das folgende Resultat besagt jedoch, daß ’genügend’ positive Elemente im Definitionsbereich liegen.

Satz 4.7 Sei T_{t} eine positive C_{0}-Halbgruppe auf A mit Generator A. Dann gilt: \overline{D(A) ∩ A^{+}} = A^{+}.

Beweis : Sei y ∈ A^{+} beliebig, dann existiert eine Folge {y_{n}}_{n∈IN} aus

F := span{w ∈ A : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR^{+}), x ∈ A, s.d. w = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds},

die gegen y konvergiert. Jedes y_{n} kann folgendermaßen geschrieben werden:

y_{n} = ∑_{k∈I_{n}} α_{n}^{k} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(x_{n}^{k})ds
= ∑_{k∈I_{n}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(z_{n}^{k})ds,

mit z_{n}^{k} := α_{n}^{k}x_{n}^{k}, wobei I_{n} endliche Indexmengen sind. Jedes y_{n} und z_{n}^{k} kann eindeutig in vier positive Elemente zerlegt werden:

y_{n} = p_{n} − q_{n} + i(u_{n} − v_{n}),  p_{n}, q_{n}, u_{n}, v_{n} ∈ A^{+},
z_{n}^{k} = a_{n}^{k} − b_{n}^{k} + i(c_{n}^{k} − d_{n}^{k}),  a_{n}^{k}, b_{n}^{k}, c_{n}^{k}, d_{n}^{k} ∈ A^{+}.

Für positive Elemente a ∈ A^{+} ist ϕ(s)T_{s}(a) ∈ A^{+} für alle s ≥ 0, da vorausgesetzt war, daß die Halbgruppe positiv ist und ϕ eine positive Funktion ist. Wegen der Normabgeschlossenheit des positiven Kegels ist dann auch das Integral ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(a)ds ∈ A^{+}. Deshalb kann wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung auf

p_{n} = ∑_{k∈I_{n}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{n}^{k}(s)T_{s}(a_{n}^{k})ds ∈ A^{+}

geschlossen werden. Wiederum aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt p_{n} → y, also \overline{D(A) ∩ A^{+}} = A^{+}. □

4.2 Der vollständig positive Fall

Es sei A stets eine unitale C^{∗}-Algebra, M(n, A) die C^{∗}-Algebra der n × n-Matrizen a = [a_{ij}] mit Einträgen a_{ij} ∈ A. Mit Φ^{(n)} wird die zu jeder linearen Abbildung Φ : A → A gehörende Abbildung Φ^{(n)} : M(n, A) → M(n, A), Φ^{(n)}[a_{ij}] := [Φ(a_{ij})] bezeichnet.

In diesem Abschnitt werden C_{0}-Halbgruppen T_{t} auf A betrachtet, die unital und vollständig positiv sind, das heißt es gilt T_{t}^{(n)}(M(n, A)^{+}) ⊆ M(n, A)^{+} für alle n ∈ IN und t ≥ 0.

Im folgenden sollen Eigenschaften der Halbgruppe T_{t} auf die Halbgruppe T_{t}^{(n)}, die auf M(n, A) operiert, übertragen werden. Hierbei wird die nachstehende Ungleichung aus Satz 2.4 für [u_{ij}] ∈ M(n, A) von Nutzen sein:

∥u_{ij}∥ ≤ ∥[u_{ij}]∥ ≤ ∑_{k,l=1}^{n} ∥u_{kl}∥, i, j = 1, … n.

Zuerst soll die C_{0}-Eigenschaft übertragen werden. Sei T_{t} eine C_{0}-Halbgruppe auf A, dann gilt für T_{t}^{(n)}:

∥T_{t}^{(n)}[a_{ij}] − [a_{ij}]∥ = ∥[T_{t}(a_{ij})] − [a_{ij}]∥
≤ ∑_{k,l=1}^{n} ∥T_{t}(a_{kl}) − a_{kl}∥ → 0

für t → 0 und beliebiges [a_{ij}] ∈ M(n, A). Sei weiterhin t ≥ 0 beliebig aber fest, und {[u_{ij}]_{ν}}_{ν∈IN} = {[u_{ij,ν}]}_{ν∈IN} ⊂ M(n, A) eine Folge, die gegen [u_{ij}] konvergiert. Dann gilt

∥T_{t}^{(n)}[u_{ij,ν}] − T_{t}^{(n)}[u_{ij}]∥ = ∥[T_{t}(u_{ij,ν} − u_{ij})]∥
≤ ∑_{l,m=1}^{n} ∥T_{t}(u_{lm,ν} − u_{lm})∥ → 0

für ν → ∞. Das heißt, daß T_{t}^{(n)} eine C_{0}-Halbgruppe ist. Ist A der Generator der C_{0}-Halbgruppe T_{t}, so erzeugt A^{(n)} die C_{0}-Halbgruppe T_{t}^{(n)}:

∥A^{(n)}[a_{ij}] − \frac{1}{t}(T_{t}^{(n)}[a_{ij}] − [a_{ij}])∥ = ∥[A(a_{ij})] − \frac{1}{t}([T_{t}(a_{ij}) − a_{ij}])∥
≤ ∑_{k,l=1}^{n} ∥A(a_{kl}) − \frac{1}{t}(T_{t}(a_{kl}) − a_{kl})∥ → 0

für t → 0, falls der Grenzwert existiert. Aus dieser Rechnung ergibt sich für den Definitionsbereich:

D(A^{(n)}) = {[a_{ij}] ∈ M(n, A) : a_{ij} ∈ D(A), 1 ≤ i, j ≤ n}.

Eine lineare Abbildung Φ : A → A heißt vollständig kontraktiv, falls alle Abbildungen Φ^{(n)} kontraktiv sind.

Mit diesen Vorbetrachtungen können die Aussagen über positive, unitale Halbgruppen aus dem letzten Abschnitt auf den vollständig positiven Fall übertragen werden.

Satz 4.8 Sei T_{t} eine vollständig positive C_{0}-Halbgruppe auf A, dann ist der Generator A symmetrisch.

Beweis : Die Halbgruppe T_{t} ist positiv, also ist der Generator nach Satz 4.3 symmetrisch. □

Satz 4.9 Sei A der Generator der C_{0}-Halbgruppe T_{t} von vollständigen Kontraktionen auf A. A habe die weiteren Eigenschaften

i) 1l ∈ D(A), A(1l) = 0, ii) A ist symmetrisch. Dann ist T_{t} eine unitale, vollständig positive Halbgruppe.

Beweis : Sei n ∈ IN beliebig. Nach der vorangegangenen Diskussion ist T_{t}^{(n)} eine C_{0}-Halbgruppe auf M(n, A). Aus A(1l) = 0 folgt nach Satz 4.4, daß T_{t}(1l) = 1l gilt. Diese Unitalität überträgt sich folgendermaßen auf T_{t}^{(n)}: Das Einselement aus M(n, A) ist [δ_{ij}], es ergibt sich

T_{t}^{(n)}[δ_{ij}] = [T_{t}(δ_{ij})] = [δ_{ij}].

Aus A(1l) = 0 folgt weiterhin [δ_{ij}] ∈ D(A^{(n)}) und A^{(n)}[δ_{ij}] = [A(δ_{ij})] = 0. Sei x_{ij} ∈ D(A) für i, j = 1, …, n. Dann folgt aus der Symmetrie von A wegen

(A^{(n)}[x_{ij}])^{∗} = [A(x_{ij})]^{∗} = [A(x_{ji})^{∗}] = [A(x_{ji}^{∗})] = A^{(n)}([x_{ij}]^{∗}),

die Symmetrie von A^{(n)}. Von T_{t}^{(n)} und A^{(n)} werden also alle Voraussetzungen von Satz 4.4 erfüllt, T_{t}^{(n)} ist deshalb eine positive, unitale Halbgruppe auf der C^{∗}-Algebra M(n, A).

Da n ∈ IN beliebig war, folgt die Behauptung. □

Setzt man in Satz 4.8 zusätzlich voraus, daß T_{t} eine unitale Halbgruppe ist, so bekommt man:

Satz 4.10 Sei T_{t} eine C_{0}-Halbgruppe von vollständigen Kontraktionen mit Generator A auf der C^{∗}-Algebra A. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) T_{t} ist eine unitale, vollständig positive Halbgruppe. ii) A ist symmetrisch und es gilt: 1l ∈ D(A), A(1l) = 0.

Beweis : Folgt aus den beiden vorangegangenen Sätzen 4.8, 4.9 und Korollar 4.5. □

Da die von einem Generator erzeugte Halbgruppe eindeutig bestimmt ist, kann die folgende Identifizierung vorgenommen werden:

Satz 4.11 Jede positive, unitale C_{0}-Halbgruppe T_{t} von vollständigen Kontraktionen auf A ist bereits vollständig positiv.

Beweis : Ergibt sich aus Satz 4.10 und Korollar 4.5. □

Charakterisierung der Generatoren dynamischer Halbgruppen auf v. Neumann-Algebren

Im vorangegangenen Kapitel wurden unitale, positive beziehungsweise unitale, vollständig positive Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren durch Eigenschaften ihres Generators charakterisiert. Als nächstes wollen wir solche Halbgruppen auf v. Neumann-Algebren untersuchen. Der Hauptunterschied wird dabei in der Stetigkeit der Halbgruppe liegen. Auf C^{∗}-Algebren können C_{0}^{∗}- Halbgruppen, das heißt schwach-∗-stetige Halbgruppen, nicht sinnvoll definiert werden. Es gibt nur dann eine Schwache-∗-Topologie, wenn die Algebra einen Prädualraum besitzt. Aber in diesem Fall ist die C^{∗}-Algebra nach Sakais Theorem automatisch ∗-isomorph zu einer v. Neumann-Algebra. Aus diesem Grund beschränkte sich die Untersuchung im letzten Kapitel auf C_{0}-Halbgruppen. Im folgenden werden also schwach-∗-stetige Halbgruppen betrachtet. Das Kapitel ist in zwei Abschnitte aufgeteilt, im ersten werden positive, unitale Halbgruppen, im zweiten vollständig positive, unitale Halbgruppen untersucht.

5.1 Positive, unitale Halbgruppen

Von Neumann-Algebren werden im folgenden immer mit N bezeichnet, der Prädualraum von N mit N_{∗}. Die aus dieser Dualität entspringende Schwach- ∗-Topologie auf N wird an einigen Stellen als σ(N , N_{∗})-Topologie bezeichnet. Weiterhin werden, wo es übersichtlicher ist, Dualklammern < ·, · > verwendet. Der selbstadjungierte Teil der Algebra wird mit N^{sa}, der positive Kegel mit N^{+} bezeichnet. Die Definitionsbereiche D(A) linearer Abbildungen seien Teilmengen von N. Als Symbol für das Einselement der Algebra wird 1l verwendet.

Im folgenden werden unitale, das heißt T_{t}(1l) = 1l, und positive, das heißt T_{t}(N^{+}) ⊆ N^{+}, C_{0}^{∗}-Halbgruppen auf N betrachtet. Jede v. Neumann-Algebra ist insbesondere eine unitale C^{∗}-Algebra. Deshalb kann Satz 4.1 angewendet werden. Das liefert für die Norm von T_{t}:

∥T_{t}∥ = 1 ∀t ≥ 0.

Im vorangegangenen Kapitel haben wir über ein Resolventenargument gezeigt, daß positive Halbgruppen symmetrische Generatoren haben. Im folgenden wird - jetzt auf v. Neumann-Algebren - ein anderer Beweis gebracht. Die Symmetrie des Generators A wird durch Berechnung der Wirkung von A auf Elemente der Menge

E^{sa} := span{y ∈ N : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), x ∈ N^{sa}, s.d.

< x_{∗}, y >= ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds, ∀x_{∗} ∈ N_{∗}},

wobei hier die reelle lineare Hülle gemeint ist, und ein Abgeschlossenheitsargument gezeigt. Der Vorteil gegenüber dem Beweis von Satz 4.3 liegt in der direkten Zugänglichkeit der Eigenschaften von A, die der Positivität entsprechen. Denn bei einer Charakterisierung der Generatoren einer Halbgruppe ist gerade das Herausfinden der wesentlichen Eigenschaften der Generatoren eine der schwierigsten Angelegenheiten. Zum Beweis benötigen wir folgende Aussage, die ein Analogon zu Satz 2.14 für C_{0}^{∗}-Halbgruppen ist:

Satz 5.1 Sei T_{t} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf N. Dann ist die Menge

E := span{y ∈ N : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), x ∈ N , s.d.

< x_{∗}, y >= ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds, ∀x_{∗} ∈ N_{∗}}

Teilmenge von ∩_{k∈IN}D(A^{k}) und liegt schwach-∗-dicht in N.

Beweis : Es ist ∫_{0}^{∞} |ϕ(s)|ds = ∫_{0}^{∞}(ϕ^{+}(s) + ϕ^{−}(s))ds < ∞, also existiert das Integral ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds in der Schwach-∗-Topologie nach Satz 2.11. Das heißt, es existiert ein y ∈ N, so daß für alle x_{∗} ∈ N_{∗} gilt:

< x_{∗}, y >= ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds.

Die zu einer C_{0}^{∗}-Halbgruppe gehörende Halbgruppe auf dem Prädualraum N_{∗}, die im folgenden mit T_{t}^{∗} bezeichnet wird, ist nach Konstruktion schwach stetig, also eine C_{0}-Halbgruppe. Sei y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds aus E, so daß für das zugehörige x ∈ N T_{s}(x) nicht konstant für alle s ≥ 0 ist. Für h > 0 und alle x_{∗} ∈ N_{∗} erhält man

< x_{∗}, \frac{1}{h}(T_{h} − 1)(y) > = \frac{1}{h} < (T_{h}^{∗} − 1^{∗})(x_{∗}), y >
= \frac{1}{h} ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < (T_{h}^{∗} − 1^{∗})(x_{∗}), T_{s}(x) > ds
= \frac{1}{h} ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, (T_{h} − 1)T_{s}(x) > ds
= \frac{1}{h} ∫_{h}^{∞} ϕ(s − h) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds

−\frac{1}{h} ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds

= \frac{1}{h} ∫_{h}^{∞}(ϕ(s − h) − ϕ(s)) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds

−\frac{1}{h} ∫_{0}^{h} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds.

Da der Träger von ϕ kompakte Teilmenge des Intervalls (0, ∞) ist, konvergiert das letzte Integral für h ↓ 0 gegen Null, das erste gegen − ∫_{0}^{∞} ϕ′(s) < x^{∗}, T_{s}(x) > ds. Es gilt also für alle x_{∗} ∈ N_{∗} :

< x_{∗}, A(y) >= − ∫_{0}^{∞} ϕ′(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds,  (5.1)

das heißt y ∈ D(A). Nun ist mit ϕ trivialerweise auch für beliebiges n ∈ IN die n-te Ableitung in C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), es kann analog zum eben Bewiesenen geschlossen werden, daß für alle x_{∗} ∈ N_{∗} gilt:

< x_{∗}, A^{n}(y) >= (−1)^{n} ∫_{0}^{∞} ϕ^{(n)}(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds,

also E ⊂ ∩_{n∈IN}D(A^{n}). Für y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds mit T_{s}(x) = const. für alle s ≥ 0 ist A(y) = 0. Also ist E ⊆ D(A).

N ist, versehen mit der Schwach-∗-Topologie, ein lokalkonvexer topologischer Vektorraum. Die Dichtheit von E kann also mit einem Hahn-Banach-Argument gezeigt werden. Angenommen, E liegt nicht schwach-∗-dicht in N. Dann existiert ein lineares Funktional g, welches stetig bezüglich der Schwach-∗-Topologie ist, so daß g(y) = 0 für alle y ∈ E ist, aber g nicht auf ganz N verschwindet. Wegen der Stetigkeit von g erhält man

0 = g(y) = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)g(T_{s}(x))ds
= ∫_{0}^{∞} ϕ(s)ℜe[g(T_{s}(x))]ds + i ∫_{0}^{∞} ϕ(s)ℑm[g(T_{s}(x))]ds.

Die Funktionen

s ↦ ℜe[g(T_{s}(x))] und s ↦ ℑm[g(T_{s}(x))]

sind stetig, müssen also beide identisch verschwinden. Denn sonst wäre es möglich, ein ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR) so zu wählen, daß die Integrale ungleich Null wären. Speziell für s = 0 bedeutet das

0 = g(T_{0}(x)) = g(x), ∀x ∈ N,

im Widerspruch zur Annahme. Also liegt E schwach-∗-dicht in N. □

Bemerkung 5.2 Aus dem Beweis entnimmt man, daß statt der Menge E auch die folgende Menge benutzt werden kann:

F := span{w ∈ N : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR^{+}), x ∈ N , s.d.

< x_{∗}, w >= ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds, ∀x_{∗} ∈ N_{∗}}.

Der folgende Satz zeigt, daß positive Halbgruppen auf v. Neumann-Algebren symmetrische Generatoren haben. Die Annahme, daß die Halbgruppe unital ist, wird dazu nicht benötigt.

Satz 5.3 Sei T_{t} eine positive C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf N. Dann gilt für den Generator A:

i) A ist symmetrisch. ii) Die Menge (∩_{n∈IN}D(A^{n})) ∩ N^{sa} liegt dicht im selbstadjungierten Teil der Algebra N^{sa} bezüglich der Schwach-∗-Topologie.

Beweis : Definiere

E^{sa} := span{y ∈ N : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR), x ∈ N^{sa}, s.d.
< x_{∗}, y >= ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds, ∀x_{∗} ∈ N_{∗}},

wobei hier die reelle lineare Hülle gemeint ist. Sei y ∈ E^{sa} beliebig. Das Integral y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds existiert in der schwach-∗-Topologie nach Satz 2.11. Um zu zeigen, daß E^{sa} ⊂ N^{sa} gilt, wird zuerst bewiesen, daß der selbstadjungierte Teil einer v. Neumann-Algebra abgeschlossen in der schwach-∗- Topologie ist.

Sei {x_{λ}}_{λ∈Λ} ⊂ N^{sa} ein in der schwachen Operatortopologie konvergentes Netz. Da jede v. Neumann-Algebra N abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie ist und Teilalgebra der Algebra der beschränkten Operatoren B(H) auf einem Hilbertraum H ist, existiert ein x ∈ N mit

(ϕ, x_{λ}ψ) → (ϕ, xψ), ∀ϕ, ψ ∈ H.

Die ∗-Abbildung ist stetig in der schwachen Operatortopologie, das heißt in diesem Fall, da für jedes λ ∈ Λ die Gleichheit x_{λ}^{∗} = x_{λ} gilt, daß auch x_{λ}^{∗} gegen x konvergiert. Also gilt x^{∗} = x, das heißt, daß der selbstadjungierte Teil der Algebra in der schwachen Operatortopologie abgeschlossen ist. Die schwach-∗-Topologie ist feiner als die schwache Operatortopologie, deshalb ist der selbstadjungierte Teil der Algebra N^{sa} auch in der schwach-∗- Topologie abgeschlossen.

Die Halbgruppe T_{t} bildet als positive Abbildung selbstadjungierte Elemente auf selbstadjungierte ab, denn jedes a ∈ N^{sa} kann eindeutig in zwei positive Elemente a^{+} und a^{−} ∈ N^{+} zerlegt werden: a = a^{+} − a^{−}. Die Selbstadjungiertheit von T_{t}(a) folgt dann aus der Linearität der Halbgruppe. Das bedeutet, daß für a ∈ N^{sa} und ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR) auch ϕ(s)T_{s}(a) ∈ N^{sa} für alle s ≥ 0 gilt. Wegen der Schwach-∗-Abgeschlossenheit von N^{sa} und der Existenz des Integrals ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(a)ds in der Schwach-∗-Topologie gilt E^{sa} ⊂ N^{sa}.

Betrachte nun y = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x)ds aus E^{sa}, so daß nicht T_{s}(x) = const. für alle s ≥ 0 gilt. Die Wirkung von A auf y ist nach Gleichung 5.1 :

A(y) = − ∫_{0}^{∞} ϕ′(s)T_{s}(x)ds,

das bedeutet, daß auch A(y) ∈ N^{sa} gilt. Da der Generator A diejenigen y_{0} = ∫_{0}^{∞} ϕ(s)T_{s}(x_{0})ds, bei denen T_{s}(x_{0}) eine konstante Funktion ist, auf die Null abbildet, folgt insgesamt A(E^{sa}) ⊆ N^{sa}.

Der Definitionsbereich von A liegt σ(N , N_{∗})-dicht in N. Daraus kann nicht gefolgert werden, daß der σ(N , N_{∗})-Abschluß von D(A)∩N^{sa} gleich N^{sa} ist. Denn da N^{sa} keine inneren Punkte in der Normtopologie hat, wie vor Satz 4.3 bemerkt wurde, hat N^{sa} auch kein Inneres in der schwach-∗-Topologie, die gröber als die Normtopologie ist. Sei a ∈ N^{sa} und E wie in Satz 5.1 gegeben. Da E schwach-∗-dicht in N liegt, existiert ein Netz {y_{λ}}_{λ∈Λ} aus E mit y_{λ} → a. Dabei ist y_{λ} durch

y_{λ} = ∑_{k∈I_{λ}} α_{λ}^{k} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(x_{λ}^{k})ds
= ∑_{k∈I_{λ}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(z_{λ}^{k})ds

gegeben, wobei die I_{λ} endliche Indexmengen sind und z_{λ}^{k} := α_{λ}^{k}x_{λ}^{k}. Die Elemente y_{λ} und z_{λ}^{k} können eindeutig in selbstadjungierte Elemente zerlegt werden:

y_{λ} = c_{λ} + id_{λ},  c_{λ}, d_{λ} ∈ N^{sa},
z_{λ}^{k} = u_{λ}^{k} + iv_{λ}^{k},  u_{λ}^{k}, v_{λ}^{k} ∈ N^{sa}.

Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt

c_{λ} = ∑_{k∈I_{λ}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(u_{λ}^{k})ds ∈ N^{sa},

d_{λ} = ∑_{k∈I_{λ}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(v_{λ}^{k})ds ∈ N^{sa},

und weiterhin c_{λ} → a, also, daß der Schwach-∗-Abschluß von E^{sa} gleich N^{sa} ist. Da E^{sa} ⊂ ∩_{n∈IN}D(A^{n}) nach Satz 5.1 gilt, erhält man :

\overline{(∩_{n∈IN}D(A^{n})) ∩ N^{sa}} = N^{sa}.

Nachdem geklärt wurde, daß der Definitionsbereich von A dicht im selbstadjungierten Teil der Algebra liegt, soll gezeigt werden, daß A alle selbstadjungierten Elemente aus seinem Definitionsbereich in selbstadjungierte Elemente abbildet. Für Elemente aus E^{sa} wurde das bereits gezeigt. Zu x ∈ D(A) ∩ N^{sa}, aber x ∉ E^{sa}, gibt es ein σ(N , N_{∗})-konvergentes Netz {x_{λ}}_{λ∈Λ} ⊂ E^{sa} mit x_{λ} → x. Aus der σ(N , N_{∗})−σ(N , N_{∗})-Abgeschlossenheit des Generators A folgt, daß das Netz {A(x_{λ})}_{λ∈Λ} in der σ(N , N_{∗})-Topologie gegen A(x) konvergiert. Für alle λ ∈ Λ gilt A(x_{λ}) ∈ N^{sa}, also folgt aus der σ(N , N_{∗})-Abgeschlossenheit des selbstadjungierten Teils der Algebra A(x) ∈ N^{sa}.

Zu zeigen bleibt, daß der Generator A symmetrisch ist. Sei x ∈ D(A), dann existiert ein σ(N , N_{∗})-konvergentes Netz {x_{λ}}_{λ∈Λ} ⊂ E, das gegen x konvergiert. Jedes x_{λ} kann eindeutig in zwei selbstadjungierte Elemente zerlegt werden: x_{λ} = u_{λ} + iv_{λ}, wobei nach dem bereits Gezeigten u_{λ}, v_{λ} ∈ E^{sa} gilt. Es ist x_{λ}^{∗} = u_{λ} − iv_{λ}, und es folgt

A(x_{λ})^{∗} = (A(u_{λ} + iv_{λ}))^{∗} = A(u_{λ}) − iA(v_{λ}) = A(x_{λ}^{∗}).

Die ∗-Abbildung ist schwach-∗-stetig, es ergibt sich

A(x)^{∗} = (w∗-limA(x_{λ}))^{∗}
= w∗-limA(x_{λ})^{∗}
= w∗-limA(x_{λ}^{∗})
= A(x^{∗}).

Dabei wurde die σ(N , N_{∗}) − σ(N , N_{∗})-Abgeschlossenheit des Generators A und x_{λ}^{∗} → x^{∗} ausgenutzt. Also ist mit x ∈ D(A) auch x^{∗} ∈ D(A) und es gilt A(x)^{∗} = A(x^{∗}), das heißt, der Generator A ist symmetrisch. □

Die Beweisideen bei den folgenden Ergebnissen sind die gleichen, wie in Kapitel 4. Unterschiede ergeben sich durch die verschiedenen Topologien.

Es wird jetzt gezeigt, daß es ausreicht 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 und die Symmetrie der Generatoren A einer C_{0}^{∗}-Halbgruppe zu fordern, damit die Halbgruppe unital und positiv ist.

Satz 5.4 Sei T_{t} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe von Kontraktionen auf N mit Generator A. Genügt A den Bedingungen i) 1l ∈ D(A), A(1l) = 0, ii) A ist symmetrisch, dann ist T_{t} eine positive, unitale Halbgruppe.

Beweis : Nach dem Hille-Yosida Theorem existiert die Resolvente R(λ, A) := (λ1 − A)^{−1} des Generators A für alle λ > 0. Die Halbgruppe T_{t} angewendet auf x ∈ N kann über die Resolvente nach folgender Beziehung konstruiert werden:

< x_{∗}, T_{t}(x) >= lim_{n→∞} < x_{∗}, (\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A))^{n}(x) > ∀x_{∗} ∈ N_{∗}.

Ist 1l ∈ D(A) und A(1l) = 0, so erhält man für alle λ > 0

1l = R(λ, A)(λ1 − A)(1l) = R(λ, A)(λ1l) = λR(λ, A)(1l),

daraus folgt R(λ, A)(1l) = \frac{1}{λ}1l. Für die Halbgruppe berechnet man wegen (\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A))^{n}(1l) = (\frac{n}{t})^{n}(\frac{t}{n})^{n}(1l) = 1l:

T_{t}(1l) = 1l.

Für λ > 0 ist (λ1−A) symmetrisch, also auch die Resolvente, wie die folgende Überlegung zeigt: Zu x ∈ N gibt es genau ein y ∈ D(A), so daß (λ1 − A)^{−1}(x) = y gilt. Es ist

((λ1 − A)^{−1}(x))^{∗} = y^{∗}
= ((λ1 − A)^{−1}(λ1 − A))(y^{∗})
= (λ1 − A)^{−1}((λ1 − A)(y^{∗}))
= (λ1 − A)^{−1}(x^{∗}).

Da die ∗-Abbildung schwach-∗-stetig ist, kann die Symmetrie auf die Halbgruppe übertragen werden.

T_{t}(a)^{∗} = (w∗-lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a))^{∗}
= w∗-lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a)^{∗}
= w∗-lim_{n→∞}[\frac{n}{t}R(\frac{n}{t}, A)]^{n}(a^{∗})
= T_{t}(a^{∗}).

Sei a ∈ N^{+} mit ∥a∥ = 1. Dann ist ∥1l − a∥ ≤ 1 wegen σ(1l − a) = 1 − σ(a) ⊆ [0, 1]. Mit der bereits bewiesenen Eigenschaft T_{t}(1l) = 1l folgt

∥1l − T_{t}(a)∥ = ∥T_{t}(1l) − T_{t}(a)∥
≤ ∥T_{t}∥∥1l − a∥
≤ 1.

Da T_{t} symmetrisch ist, bildet T_{t} die selbstadjungierten Elemente auf die selbstadjungierten ab:

T_{t}(N^{sa}) ⊆ N^{sa}, ∀t > 0,

das bedeutet T_{t}(a) ∈ N^{sa}. Es ist σ(1l − T_{t}(a)) ⊆ [−1, 1] also σ(T_{t}(a)) ⊆ [0, 2], das heißt T_{t}(a) ∈ N^{+}.

Für beliebiges, nicht auf eins normiertes b ∈ N^{+} erhält man die Aussage aus

T_{t}(b) = ∥b∥T_{t}(\frac{b}{∥b∥})

und der Kegeleigenschaft von N^{+}. □

Setzt man in Satz 5.3 zusätzlich voraus, daß die Halbgruppe T_{t} unital für alle t ≥ 0 ist, so bekommt man wegen \frac{1}{h}(T_{h}(1l) − 1l) = \frac{1}{h}(1l − 1l) = 0 folgende Aussage:

Korollar 5.5 Sei T_{t} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe von Kontraktionen mit Generator A auf N. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) A ist symmetrisch, 1l ∈ D(A) und A(1l) = 0. ii) T_{t} ist positive, unitale Halbgruppe.

Beweis : Folgt aus den Sätzen 5.3 und 5.4. □

Es soll noch gezeigt werden, daß der Definitionsbereich des Generators einer positiven Halbgruppe auch dicht im positiven Kegel liegt.

Satz 5.6 Sei T_{t} eine positive C_{0}^{∗}-Halbgruppe mit Generator A auf N. Dann gilt \overline{D(A) ∩ N^{+}} = N^{+}, wobei der Abschluß in der Schwach-∗-Topologie gebildet wird.

Beweis : Sei y ∈ N^{+} beliebig, dann existiert nach Bemerkung 5.2 ein Netz {y_{λ}}_{λ∈Λ} aus

F := span{w ∈ N : ∃ϕ ∈ C_{0}^{∞}((0, ∞), IR^{+}), x ∈ N , s.d.
< x_{∗}, w >= ∫_{0}^{∞} ϕ(s) < x_{∗}, T_{s}(x) > ds, ∀x_{∗} ∈ N_{∗}},

das gegen y konvergiert. Jedes y_{λ} kann folgendermaßen geschrieben werden

y_{λ} = ∑_{k∈I_{λ}} α_{λ}^{k} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(x_{λ}^{k})ds
= ∑_{k∈I_{λ}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(z_{λ}^{k})ds

mit z_{λ}^{k} := α_{λ}^{k}x_{λ}^{k}. Die Indexmengen I_{λ} sind endlich. Jedes y_{λ} und z_{λ}^{k} kann eindeutig in vier positive Elemente zerlegt werden:

y_{λ} = p_{λ} − q_{λ} + i(u_{λ} − v_{λ}),  p_{λ}, q_{λ}, u_{λ}, v_{λ} ∈ N^{+},
z_{λ}^{k} = a_{λ}^{k} − b_{λ}^{k} + i(c_{λ}^{k} − d_{λ}^{k}),  a_{λ}^{k}, b_{λ}^{k}, c_{λ}^{k}, d_{λ}^{k} ∈ N^{+}.

Aus der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt, daß p_{λ} → y konvergiert.

Für alle s ≥ 0 ist nach Voraussetzung ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(a_{λ}^{k}) ∈ N^{+}. Das Integral ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(a_{λ}^{k})ds existiert in der Schwach-∗-Topologie. Um zu beweisen, daß es positiv ist, muß noch gezeigt werden, daß der positive Kegel schwach- ∗-abgeschlossen ist. Wir zeigen dies, indem wir zuerst beweisen, daß der positive Kegel abgeschlossen in der schwachen Operatortopologie ist. Die Schwach-∗-Abgeschlossenheit folgt dann, da die Schwach-∗-Topologie feiner als die schwache Operatortopologie ist. Sei also {a_{λ}}_{λ∈Λ} ein gegen a ∈ N in der schwachen Operatortopologie konvergentes Netz positiver Elemente. Im Beweis von Satz 5.3 wurde bereits gezeigt, daß der selbstadjungierte Teil der Algebra in der schwachen Operatortopologie abgeschlossen ist. Jede v. Neumann-Algebra ist Unteralgebra einer Algebra B(H) von Operatoren auf einem Hilbertraum H. Die Positivität von a_{λ} ist äquivalent zu

(ψ, a_{λ}ψ) ≥ 0 ∀ψ ∈ H.

Die Konvergenz von a_{λ} gegen a in schwacher Operatortopologie heißt, daß

(ϕ, a_{λ}ψ) → (ϕ, aψ) ∀ϕ, ψ ∈ H

gilt. Daraus folgt dann, daß auch (ψ, aψ) ≥ 0 gilt für alle ψ ∈ H, also ist a positiv.

Insgesamt bedeutet dies, daß das Integral ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(a_{λ}^{k})ds positiv ist, es gilt also

p_{λ} = ∑_{k∈I_{λ}} ∫_{0}^{∞} ϕ_{λ}^{k}(s)T_{s}(a_{λ}^{k})ds

wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung in positive Elemente. Damit folgt die Behauptung. □

5.2 Vollständig positive, unitale Halbgruppen

In diesem Abschnitt wird mit N stets eine v. Neumann-Algebra bezeichnet und mit M(n, N) die v. Neumann-Algebra der n × n Matrizen a = [a_{ij}] mit Einträgen a_{ij} ∈ N. Mit Φ^{(n)} wird die zu jeder linearen Abbildung Φ : N → N gehörende Abbildung Φ^{(n)} : M(n, N) → M(n, N), Φ^{(n)}[a_{ij}] := [Φ(a_{ij})] bezeichnet. In diesem Abschnitt werden unitale C_{0}^{∗}-Halbgruppe T_{t} auf N untersucht, die vollständig positiv sind T_{t}^{(n)}(M(n, N)^{+}) ⊂ M(n, N)^{+}, für alle n ∈ IN und t ≥ 0. Für die Norm der zugehörigen Halbgruppe T_{t}^{(n)} erhält man wegen T_{t}^{(n)}[δ_{ij}] = [T_{t}(δ_{ij})] = [δ_{ij}] mit Satz 4.1: ∥T_{t}^{(n)}∥ = 1, da [δ_{ij}] das Einselement aus M(n, N) ist.

Die Charakterisierung der Generatoren vollständig positiver, unitaler Halbgruppen auf v. Neumann-Algebren soll wie im C^{∗}-Algebren-Fall auf positive, unitale Halbgruppen zurückgeführt werden. Im folgenden werden einige Eigenschaften der C_{0}^{∗}-Halbgruppe T_{t} und ihres Generators A auf die zugehörige Halbgruppe T_{t}^{(n)} und ihren Generator übertragen. Dafür benötigt man als erstes die Identifizierung des Prädualraums von M(n, N) mit M(n, N_{∗}). Dies geschieht analog zur Identifizierung von M(n, N)^{∗} mit M(n, N^{∗}) [Lan73].

Die Martrizenalgebra M(n, N) kann mit dem (v. Neumann-) Tensorprodukt von N und der Matrizenalgebra M(n, C 1) der n × n-Matrizen mit Einträgen aus C 1 identifiziert werden, indem jedem Element x ∈ N ⊗ M(n, C 1) eine n × n-Matrix [x_{ij}] zugeordnet wird:

x = ∑_{i,j=1}^{n} x_{ij} ⊗ [e_{ij}] =: [x_{ij}].

Die [e_{ij}] sind dabei die sogenannten Matrizeneinheiten, die Matrix [e_{ij}] besteht aus einer Eins an der Stelle (i, j) und sonst aus Nullen. Der Prädualraum von M(n, C 1) kann folgendermaßen mit M(n, C 1) identifiziert werden:

M(n, C 1) → M(n, C 1)_{∗}
a ↦ < a, · >= T r(a·).

Sei g ∈ M(n, N)_{∗} beliebig. Für a ∈ N definiere g_{ij} ∈ N_{∗} durch

< g_{ij}, a >:=< g, a ⊗ e_{ij} > .

Dann gilt:

< g, [a_{ij}] > = < g, ∑_{i,j=1}^{n} a_{ij} ⊗ e_{ij} >
= ∑_{i,j=1}^{n} < g_{ij}, a_{ij} >
= ∑_{i,j=1}^{n} ∑_{k,l=1}^{n} < g_{kl}, a_{ij} >< e_{lk}, e_{ij} >
= < ∑_{k,l=1}^{n} g_{kl} ⊗ e_{lk}, [a_{ij}] > .

Wegen dieser Zerlegung von g kann M(n, N)_{∗} mit M(n, N_{∗}) identifiziert werden.

Mit dieser Identifizierung des Prädualraums von M(n, N) mit M(n, N_{∗}) kann die C_{0}^{∗}-Eigenschaft der Halbgruppe T_{t} auf die auf der Matrizenalgebra M(n, N) definierte Halbgruppe T_{t}^{(n)} übertragen werden.

Lemma 5.7 Es sei T_{t} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf N. Dann ist T_{t}^{(n)} eine C_{0}^{∗}- Halbgruppe auf M(n, N), und der Generator von T_{t}^{(n)} ist A^{(n)}. Für dessen Definitionsbereich gilt:

D(A^{(n)}) = {[a_{ij}] ∈ M(n, N) : a_{ij} ∈ D(A), 1 ≤ i, j ≤ n}.

Beweis : Es ist

lim_{t↓0} < [x_{ij}^{∗}], T_{t}^{(n)}[a_{ij}] − [a_{ij}] > = lim_{t↓0} ∑_{i,j=1}^{n} < x_{ij}^{∗}, T_{t}(a_{ij}) − a_{ij} >
= ∑_{i,j=1}^{n} lim_{t↓0} < x_{ij}^{∗}, T_{t}(a_{ij}) − a_{ij} >= 0,

für alle [a_{ij}] ∈ M(n, N) und [x_{ij}^{∗}] ∈ M(n, N_{∗}). Die letzte Gleichheit folgt aus der C_{0}^{∗}-Eigenschaft von T_{t}. Genauso erhält man für ein beliebiges Netz {[a_{ij}]_{λ}}_{λ∈Λ} = {[a_{ij,λ}]}_{λ∈Λ} ⊂ M(n, N), das in der Schwach-∗-Topologie gegen [a_{ij}] ∈ M(n, N) konvergiert:

< [x_{ij}^{∗}], T_{t}^{(n)}[a_{ij,λ}] − T_{t}^{(n)}[a_{ij}] >= ∑_{i,j=1}^{n} < x_{ij}^{∗}, T_{t}(a_{ij,λ}) − T_{t}(a_{ij}) >→ 0,

für alle [x_{ij}^{∗}] ∈ M(n, N_{∗}), da a ↦ T_{t}(a) für jedes t ≥ 0 schwach-∗-stetig ist. Insgesamt folgt also aus der C_{0}^{∗}-Eigenschaft von T_{t} die C_{0}^{∗}-Eigenschaft von T_{t}^{(n)}.

Der Generator der C_{0}^{∗}-Halbgruppe T_{t}^{(n)} ist gerade A^{(n)}, wenn A der Generator der C_{0}^{∗}-Halbgruppe T_{t} ist:

< [x_{ij}^{∗}], A^{(n)}[a_{ij}] > = < [x_{ij}^{∗}], [A(a_{ij})] >
= ∑_{i,j=1}^{n} < x_{ij}^{∗}, A(a_{ij}) >
= ∑_{i,j=1}^{n} lim_{t↓0} < x_{ij}^{∗}, \frac{1}{t}(T_{t}(a_{ij}) − a_{ij}) >
= lim_{t↓0} < [x_{ij}^{∗}], \frac{1}{t}(T_{t}^{(n)}[a_{ij}] − [a_{ij}]) >,

für alle [x_{ij}^{∗}] ∈ M(n, N_{∗}). Der Definitionsbereich von A^{(n)} ergibt sich aus dem von A:

D(A^{(n)}) = {[a_{ij}] ∈ M(n, N) : a_{ij} ∈ D(A), 1 ≤ i, j ≤ n}.
□

Mit Hilfe dieser Vorüberlegungen können die Ergebnisse aus Kapitel 5.1 auf den vollständig positiven Fall übertragen werden, wie dies schon bei den Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren der Fall war.

Satz 5.8 Sei T_{t} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe von vollständigen Kontraktionen auf N. Der Generator A besitze die Eigenschaften

i) 1l ∈ D(A), A(1l) = 0, ii) A ist symmetrisch. Dann ist T_{t} eine vollständig positive, unitale Halbgruppe.

Beweis : Nach dem vorhergehenden Lemma ist T_{t}^{(n)} eine C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf M(n, N) mit Generator A^{(n)}. Es soll im folgenden gezeigt werden, daß A^{(n)} die Voraussetzungen von Satz 5.4 erfüllt. Sei n ∈ IN beliebig, dann gilt:

A^{(n)}[δ_{ij}] = [A(δ_{ij})] = 0.

Das heißt, daß das Einselement [δ_{ij}] ∈ M(n, N) aus dem Definitionsbereich von A^{(n)} ist und auf die Null abgebildet wird. Da weiterhin jede symmetrische Abbildung vollständig symmetrisch ist, wegen

(A^{(n)}[a_{ij}])^{∗} = [A(a_{ij})]^{∗} = [(A(a_{ji}))^{∗}] = [A(a_{ji}^{∗})] = A^{(n)}([a_{ij}]^{∗}) ∀a_{ij} ∈ D(A),

sind die Voraussetzungen von Satz 5.4 für A^{(n)} erfüllt, also ist T_{t}^{(n)} eine positive, unitale Halbgruppe auf M(n, N). Da n ∈ IN beliebig war, ist T_{t} vollständig positiv und unital. □

Satz 5.9 Sei T_{t} eine vollständig positive C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf N. Dann ist der Generator A symmetrisch.

Beweis : Vollständig positive Halbgruppe sind trivialerweise positiv, die Behauptung folgt also aus Satz 5.3. □

Nimmt man zu den Voraussetzungen des letzten Satzes die Unitalität der Halbgruppe hinzu, so erhält man wegen

lim_{h↓0} \frac{1}{h}(T_{h}(1l) − 1l) = lim_{h↓0} \frac{1}{h}(1l − 1l) = 0

folgendes Ergebnis:

Korollar 5.10 Sei A der Generator der C_{0}^{∗}-Halbgruppe T_{t} von vollständigen Kontraktionen auf N. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) T_{t} ist vollständig positive und unitale Halbgruppe. ii) A ist symmetrisch, 1l ∈ D(A) und A(1l) = 0.

Beweis : Folgt aus den Sätzen 5.8 und 5.9. □

Auch im Falle der v. Neumann-Algebren kann die folgende Identifizierung vorgenommen werden:

Satz 5.11 Jede positive, unitale C_{0}^{∗}-Halbgruppe T_{t} von vollständigen Kontraktionen auf N ist vollständig positiv.

Beweis : Folgt aus den Korollaren 5.5 und 5.10. □

Diskussion

Zur Herleitung der Resultate in den Kapiteln 4 und 5 wurde nicht auf frühere Arbeiten über positive Halbgruppen zurückgegriffen. Um einen Vergleich unserer Ergebnisse mit denen anderer Autoren zu ermöglichen, werden hier die relevanten Arbeiten vorgestellt. In den Abschnitten dieses Kapitels werden die Ergebnisse für Halbgruppen mit verschiedenen Eigenschaften diskutiert. Im letzten Abschnitt findet sich eine Zusammenfassung.

6.1 Positive Halbgruppen

Im Falle von normstetigen, positiven Halbgruppen auf C^{∗}-Algebren gibt es mehrere äquivalente Charakterisierungen für die Generatoren. Ein umfassendes Resultat wurde 1979 von Evans und Hanche-Olsen [Eva79] gezeigt:

Satz 6.1 Sei A eine unitale C^{∗}-Algebra und A : A → A eine beschränkte symmetrische Abbildung. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) e^{tA} ist für alle t ≥ 0 positiv. ii) Die Resolvente (λ1 − A)^{−1} ist für große λ > 0 positiv. iii) Ist y ∈ A^{+}, a ∈ A mit ya = 0, dann gilt a^{∗}A(y)a > 0. iv) A(x^{2}) + xA(1l)x ≥ A(x)x + xA(x) für alle x ∈ A^{sa}.

v) A(1l) + u^{∗}A(1l)u ≥ A(u^{∗})u + u^{∗}A(u) für alle unitären u ∈ A. vi) Sei S eine volle und invariante Menge von Zuständen auf A. Seien f ∈ S und y ∈ A^{+}, so daß f(y) = 0 gilt, dann gilt f(A(y)) ≥ 0.

Beweis : In [Eva79]. □

Dabei heißt eine Menge S von Zuständen voll, falls aus x ∈ A^{sa} und f(x) ≥ 0 für alle f ∈ S folgt, daß x ∈ A^{+} ist. S heißt invariant, falls aus f ∈ S, x ∈ A und f(x^{∗}x) ≠ 0 folgt: f(x^{∗}(·)x)/f(x^{∗}x) ∈ S.

Bratteli und Robinson [Bra81b] konnten dieses Ergebnis 1981 auf C_{0}-Halb-gruppen erweitern.

Satz 6.2 Sei A eine unitale C^{∗}-Algebra und T_{t} eine C_{0}-Halbgruppe auf A mit Generator A. Weiterhin sei T_{t} für alle t ≥ 0 symmetrisch. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:

i) T_{t} ist positiv für alle t ≥ 0. ii) Die Resolvente (1 − ϵA)^{−1} ist positiv für alle kleinen ϵ > 0. iii) Für alle unitären u ∈ A und kleine ϵ > 0 gilt:

(1 − ϵA)^{−1}(1l) + u^{∗}(1 − ϵA)^{−1}(1l)u ≥ (1 − ϵA)^{−1}(u^{∗})u + u^{∗}(1 − ϵA)^{−1}(u).

iv) Für alle a ∈ A^{sa} und kleine ϵ > 0 gilt:

(1 − ϵA)^{−1}(a^{2}) + a(1 − ϵA)^{−1}(1l)a ≥ (1 − ϵA)^{−1}(a)a + a(1 − ϵA)^{−1}(a).

v) T_{ϵ}(a^{2}) + aT_{ϵ}(1l)a ≥ T_{ϵ}(a)a + aT_{ϵ}(a) für alle a ∈ A^{sa} und kleine ϵ > 0. vi) T_{ϵ}(1l) + u^{∗}T_{ϵ}(1l)u ≥ T_{ϵ}(u^{∗})u + u^{∗}T_{ϵ}(u) für alle unitären u ∈ A und kleine ϵ > 0.

Beweis : In [Bra81b]. □

Man bemerke, daß aus der Symmetrie von T_{t} die Symmetrie von A folgt, denn es gilt:

\frac{1}{h}(T_{h}(a^{∗}) − a^{∗}) = \frac{1}{h}(T_{h}(a)^{∗} − a^{∗}) = \frac{1}{h}(T_{h}(a) − a)^{∗}.

Beachtet man noch die Stetigkeit der ∗-Abbildung, so bekommt man, daß mit a ∈ D(A) auch a^{∗} im Definitionsbereich liegt und A(a^{∗}) = A(a)^{∗} gilt.

In den Ergebnissen von Evans und Hanche-Olsen wurde die Bedingung ii) an die Resolvente für alle großen positiven λ, bei Bratteli und Robinson äquivalent dazu für alle kleinen ϵ > 0 formuliert. Dies ist folgendermaßen zu verstehen: Für alle λ > 0 wird der Zusammenhang zwischen Resolvente und Halbgruppe über die Laplacetransformation gegeben:

(λ1 − A)^{−1}(x) = ∫_{0}^{∞} e^{−λt}T_{t}(x)dt.

Ist nun T_{t} positiv, so auch die Resolvente für alle λ > 0. In der umgekehrten Richtung kommt man mit weniger aus, es reicht, für große positive λ die Positivität der Resolvente zu fordern, denn es gilt:

T_{t}(x) = lim_{n→∞}(\frac{n}{t}(\frac{n}{t}1 − A)^{−1})^{n}(x).

Die zweite Charakterisierung, die in der Arbeit von Bratteli und Robinson hergeleitet wird, stützt sich auf eine Untersuchung von Phillips [Phi62] aus dem Jahr 1962 über positive Kontraktionshalbgruppen auf Banachverbänden. Das Problem bei der Übertragung auf C^{∗}-Algebren liegt in der unterschiedlichen Ordnungsstruktur. Die positiven Elemente einer C^{∗}-Algbera bilden genau dann einen Verband, wenn die Algebra abelsch ist.

Als normiertes Tangentenfunktional ω_{x} am Punkt x ∈ A wird ein Element aus dem Dualraum bezeichnet, für das gilt:

∥ω_{x}∥ = 1 und ω_{x}(x) = ∥x∥.

Satz 6.3 Sei A eine dicht definierte, symmetrische Abbildung auf einer C^{∗}- Algebra. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) A ist der Generator einer positiven C_{0}-Halbgruppe von Kontraktionen auf A. ii) (1 − ϵA)^{−1} ist eine positive Kontraktion für alle ϵ > 0. iii) Range(1 − ϵA) = A für ϵ > 0, und es gilt mindestens eine der folgenden vier Bedingungen:

a) ω_{x^{+}}(A(x)x + xA(x)) ≤ 0 für alle x = x^{∗} ∈ D(A), so daß für den positiven Teil x^{+} von x gilt: x^{+} ≠ 0.

b) ω_{x^{+}}(A(x)) ≤ 0 für alle x = x^{∗} ∈ D(A), so daß für den positiven Teil x^{+} von x gilt: x^{+} ≠ 0.

c) y^{∗}A(x)y ≤ 0 für alle x = x^{∗} ∈ D(A) und y ∈ A^{∗∗}, so daß xy = ∥x^{+}∥y gilt.

d) P_{x}A(x)P_{x} ≤ 0 für x = x^{∗} ∈ D(A), wobei P_{x} ∈ A^{∗∗} die maximale Projektion ist, so daß gilt: xP_{x} = ∥x^{+}∥P_{x}.

Beweis : In [Bra81b]. □

Bratteli und Robinson betrachten bei ihrer Charakterisierung ausschließlich den positiven Aspekt der Halbgruppen. Werden diese Halbgruppen für die Beschreibung einer Dynamik verwendet, so müssen sie auch unital sein. Da Unitalität und Positivität zwei unabhängige Eigenschaften der Halbgruppe sind, wäre es naheliegend zu erwarten, daß sie sich unabhängig über den Generator charakterisieren lassen. Um so erstaunlicher ist das in Kapitel 4 gewonnene Resultat, das angibt, welche Voraussetzungen an einen Generator gestellt werden müssen, damit er eine positive C_{0}-Halbgruppe erzeugt. Für den Beweis haben wir vorausgesetzt, daß der Generator symmetrisch ist. Diese Annahme wird auch von Evans und Hanche-Olsen im normstetigen Fall und von Bratteli und Robinson im C_{0}-Fall gemacht. Wir haben weiterhin vorausgesetzt, daß der Generator die Eigenschaft 1l ∈ D(A) und A(1l) = 0 hat. Damit läßt sich die Unitalität der Halbgruppe nachweisen. Interessant ist, daß wir ausschließlich unter Verwendung dieser beiden Annahmen die Positivität der Halbgruppe zeigen konnten. Und zwar impliziert die Symmetrie des Generators, daß die Halbgruppe symmetrisch ist. Mit Hilfe eines Spektralargumentes folgt die Positivität, wobei die schon vorher bewiesene Unitalität ausgenutzt wurde. Die in dieser Arbeit bewiesene Charakterisierung des Generators einer positiven, unitalen C_{0}-Halbgruppe ist interessant, da die Voraussetzungen im Vergleich zu den bisher bekannnten Charakterisierungen sehr direkt und einfach nachzuweisen sind. Direkt heißt, daß man bei vorgegebenem Generator A sofort ablesen kann, ob 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 und A symmetrisch ist. Es muß also kein Umweg über irgendwelche schwer nachzuweisende Eigenschaften, zum Beispiel die der Resolvente, gemacht werden.

Außer in der Arbeit von Bratteli und Robinson sind bislang stets nur positive, normstetige Halbgruppen untersucht worden. Es ist daher nicht erstaunlich, daß keine Fragen bezüglich des Definitionsbereichs behandelt worden sind. Normstetige Halbgruppen haben beschränkte, auf dem ganzen Raum definierte Generatoren. Eine Betrachtung der Definitionsbereiche ist daher in diesem Fall überflüssig. Bei den nicht-normstetigen Halbgruppen ist eine Behandlung aber notwendig, da, wie in Kapitel 4 gezeigt worden ist, der selbstadjungierte Teil der C^{∗}-Algebra und der positive Kegel kein Inneres in der Normtopologie besitzen.

6.2 Vollständig positive, unitale Halbgruppen

Normstetige, vollständig positive, unitale Halbgruppen sind sehr ausführlich untersucht worden. Zuerst wurden diese dynamischen Halbgruppen zeitgleich, aber unabhängig voneinander, von Gorini, Kossakowski, Sudarshan [Gor76] und von Lindblad [Lin76] untersucht. Die dabei anstelle der Positivität vorausgesetzte vollständige Positivität wurde folgendermaßen motiviert: Man betrachtet ein quantenmechanisches System S, daß an ein Wärmebad W gekoppelt ist. Der Hilbertraum des Gesamtsystems ist das Tensorprodukt H_{S} ⊗ H_{W} der zu S und W gehörenden Hilberträume. Es wird angenommen, daß zum Zeitpunkt t = 0 der Anfangszustand des Gesamtsystems als Produktzustand ρ ⊗ σ, ρ ∈ L^{1}(H_{S}) und σ ∈ L^{1}(H_{W}), präpariert werden kann. Mit U_{t} = e^{−itH_{tot}} werde die reversible Hamiltondynamik auf dem gesamten System bezeichnet. H_{tot} ist der Hamiltonoperator des Gesamtsystems. Für a ⊗ 1l ∈ B(H_{S} ⊗ H_{W}) ist die reduzierte Dynamik ϕ_{t} : B(H_{S}) → B(H_{S}) folgendermaßen gegeben:

T r_{S+W} {(ρ ⊗ σ)(U_{t}^{−1}(a ⊗ 1)U_{t})} = T r_{S}{ρ(ϕ_{t}(a))},

dabei ist T r_{S} die Spur auf L^{1}(H_{S}). Es kann gezeigt werden, daß die so erhaltene Dynamik ϕ_{t} vollständig positiv ist [Lin76]. Diese partielle Mittelung über das Wärmebad W kann als bedingte Erwartung von einer v. Neumann-Algebra N, die das Gesamtsystem repräsentiert, auf die v. Neumann-Unteralgebra M von N, die das Teilsystem S repräsentiert, aufgefaßt werden. Solch eine bedingte Erwartung wird folgendermaßen definiert:

Definition 6.4 Seien N und M v. Neumann-Algebren auf dem Hilbertraum H, so daß M ⊆ N gilt. Die Abbildung ϕ : N → M heißt bedingte Erwartung, falls gilt:

i) ϕ(1l) = 1l, ii) ϕ(asb) = aϕ(s)b, s ∈ N , a, b ∈ M.

Aus diesen Eigenschaften kann gefolgert werden, daß die bedingte Erwartung eine Projektion mit Norm 1 ist [Kad86], 11.2. Mit einem Satz von Tomiyama [Tom57] folgt, daß die bedingte Erwartung eine vollständig positive Abbildung ist.

Die Ansicht, daß die angeführten Gründe ausreichen, um ausschließlich vollständig positive, unitale Halbgruppen zu behandeln, wird nicht von allen Autoren geteilt. Bratteli und Robinson vertreten die Meinung [Bra81a], S. 229, daß der wahre Grund, vollständig positive statt positive Abbildungen zu betrachten, darin liegt, daß der Satz von Stinespring, Satz 2.9, eine weniger schwierige Handhabbarkeit erstgenannter Abbildungen ermöglicht. In diesem Zusammenhang sind die in Kapitel 4.2 und 5.2 erzielten Ergebnisse interessant, wo wir nachweisen konnten, daß jede unitale, positive Halbgruppe von vollständigen Kontraktionen bereits vollständig positiv ist. Denn die notwendigen Bedingungen an einen Generator A, damit dieser eine positive, unitale Halbgruppe erzeugt, lassen sich auf den auf der Matrizenalgebra M(n, A) definierten Generator A^{(n)} übertragen. Das bedeutet also, daß diese Generatoren a priori vollständig positive, unitale Halbgruppen erzeugen. Wir haben auch die umgekehrte Richtung gezeigt: Ist die Halbgruppe positiv und unital, dann gilt: 1l ∈ D(A), A(1l) = 0 und A ist symmetrisch.

Die Generatoren normstetiger, vollständig positiver, unitaler Halbgruppen können explizit dargestellt werden. Dieses Ergebnis, der sogenannte Satz von Gorini, Kossakowski, Lindblad und Sudarshan, wurde 1978 von Evans und Christensen [Chr79] in der endgültigen Form bewiesen. Wir geben zuerst die Formulierung für C^{∗}-Algebren an:

Satz 6.5 Sei T_{t} eine normstetige, vollständig positive, unitale Halbgruppe auf einer C^{∗}-Algebra A ⊆ B(H). Dann existiert eine vollständig positive Abbildung Φ von A in den schwachen Abschluß \overline{A} und ein selbstadjungiertes h ∈ \overline{A}, so daß der Generator A von T_{t} die folgende Form hat:

A(a) = i[h, a] − \frac{1}{2}\{Φ(1l), a\} + Φ(a),

dabei bezeichnet {., .} den Antikommutator.

Beweis : In [Chr79]. □

Auf v. Neumann-Algebren erhält man:

Satz 6.6 Sei T_{t} eine normstetige C_{0}^{∗}-Halbgruppe mit Generator A auf der v. Neumann-Algebra N ⊆ B(H). Es gelte weiterhin T_{t}(1l) = 1l. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

i) T_{t} ist vollständig positiv für alle t ≥ 0. ii) Es existiert ein selbstadjungiertes h ∈ N und eine Menge {v_{α}}_{α∈IN} ⊂ B(H), so daß für alle a ∈ N die Reihe ∑_{α∈IN} v_{α}^{∗}av_{α} ∈ N ist und der Generator A die Darstellung

A(a) = i[h, a] + ∑_{α∈IN} v_{α}^{∗}av_{α} − { ∑_{α∈IN} v_{α}^{∗}v_{α}, a}

besitzt.

Beweis : In [Chr79]. □

Für nicht-normstetige, vollständig positive, unitale Halbgruppen konnte bislang keine allgemeine Darstellung des Generators angegeben werden. Dies verwundert nicht, wenn man die hier vorliegende Situation mit der der einparametrigen ∗-Automorphismengruppen auf C^{∗}- oder v. Neumann-Algebren vergleicht. Diese sollen im nächsten Abschnitt besprochen werden.

6.3 Einparametrige ∗-Automorphismengrup-pen

Die einparametrigen ∗-Automorphismengruppen sind wichtige Spezialfälle der vollständig positiven, unitalen Halbgruppen. Die reversible Dynamik eines physikalischen Systems ist gerade durch eine einparametrige ∗-Auto-morphismengruppe gegeben. Jeder ∗-Automorphismus α ist wegen der Verträglichkeit mit der Multiplikation und der ∗-Operation in der Algebra unital und positiv. Denn zu a ∈ A^{+} existiert ein b ∈ A , so daß a = b^{∗}b gilt, und man erhält

α(a) = α(b^{∗}b) = α(b)^{∗}α(b) ∈ A^{+}.

α ist sogar vollständig positiv, wie folgende Rechnung zeigt: Seien [a_{ij}], [b_{kl}] ∈ M(n, A), dann ist

α^{(n)}([a_{ij}][b_{kl}]) = α^{(n)}[∑_{j=1}^{n} a_{ij}b_{jl}]
= [∑_{j=1}^{n} α(a_{ij})α(b_{jl})]
= α^{(n)}([a_{ij}])α^{(n)}([b_{kl}]).

Setzt man jetzt für [a_{ij}] die Matrix [b_{ij}]^{∗} ein, so erhält man, daß α^{(n)} für beliebige n ∈ IN positiv ist.

In der Darstellung des Generators einer normstetigen, vollständig positiven, unitalen Halbgruppe ist einer der vorkommenden Terme ein Kommutatorterm i[h, ·]. Derartige Terme sind dargestellte Derivationen, wobei diese die Generatoren der einparametrigen, normstetigen ∗-Automorphismengruppen sind.

Definition 6.7 Eine symmetrische Derivation δ auf einer v. Neumann-Alge-bra N (bzw. C^{∗}-Algebra) ist eine lineare Abbildung von einer ∗-linearen Unteralgebra D(δ), dem Definitionsbereich von δ, nach N mit den Eigenschaften:

i) δ(a)^{∗} = δ(a^{∗}), a ∈ D(δ). ii) δ(ab) = δ(a)b + aδ(b), a, b ∈ D(δ).

Stimmt der Definitionsbereich D(δ) mit N überein, so ist die Derivation δ beschränkt [Bra87], 3.2.23. Beschränkte Derivationen lassen sich folgendermaßen darstellen:

Satz 6.8 Sei δ eine ganz auf der v. Neumann-Algebra N (bzw. C^{∗}-Algebra) definierte symmetrische Derivation, dann existiert (zu jeder Darstellung π von N) ein selbstadjungiertes Element h ∈ N (h ∈ π(N)′′), so daß ∥h∥ ≤ \frac{1}{2}∥δ∥ und

δ(a) = i[h, a] ∀a ∈ N
(π(δ(a)) = i[h, π(a)] ∀a ∈ N)

gilt.

Beweis : in [Bra87], 3.2.48. □

Der nächste Satz sagt aus, daß Derivationen die Generatoren einparametriger Gruppen von ∗-Automorphismen sind.

Satz 6.9 Sei δ eine lineare Abbildung auf der v. Neumann-Algebra N (bzw. C^{∗}-Algebra). Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

i) δ ist eine auf ganz N definierte symmetrische Derivation. ii) δ ist der Generator einer normstetigen einparametrigen Gruppe T_{t} von ∗-Automorphismen auf N. In diesem Fall existiert (zu jeder Darstellung π von N) ein selbstadjungiertes Element h ∈ N (h ∈ π(N)′′), so daß

T_{t}(a) = e^{ith}ae^{−ith}
(π(T_{t}(a)) = e^{ith}π(a)e^{−ith})

für alle a ∈ N und t ∈ IR gilt.

Beweis : in [Bra87], 3.2.49. □

Die Behandlung nicht-normstetiger einparametriger Gruppen von ∗-Auto-morphismen auf C^{∗}- und v. Neumann-Algebren ist wesentlich schwieriger, da es unter anderem keine explizite Darstellungen der Generatoren mehr gibt. Aus diesem Grund ist es nicht verwunderlich, daß auch bei den vollständig positiven, unitalen, nicht-normstetigen Halbgruppen, die allgemeiner als die einparametrigen ∗-Automorphismengruppen sind, keine Darstellung der Generatoren bekannt ist.

Bei den ∗-Automorphismengruppen gibt es allerdings eine weitreichende Charakterisierung der Generatoren, die hier in kompakter, dem Buch von Bratteli und Robinson [Bra87] zu entnehmender Form wiedergegeben wird. Für den C^{∗}-Fall erhält man das folgende Ergebnis:

Satz 6.10 Sei A eine unitale C^{∗}-Algebra und δ eine norm-dicht definierte und norm-abgeschlossene lineare Abbildung auf A mit Definitionsbereich D(δ). δ ist genau dann der infinitesimale Generator einer stark stetigen einparametrigen Gruppe von ∗-Automorphismen auf A, wenn mindestens eines der Kriterien in jeder der Gruppen (A), (B) und (C) erfüllt ist, mit Ausnahme der Kombinationen ((A2),(B2),(C2)) und ((A3),(Bj),(C2)) für j = 1, 2, 3: (A1) D(δ) ist eine ∗-Algebra und δ eine symmetrische Derivation. (A2) 1l ∈ D(δ) und δ(1l) = 0. (A3) 1l ∈ D(δ) und δ(1l) ∈ A^{sa}. (B1) (1 + αδ)(D(δ)) = A, α ∈ IR\{0}. (B2) δ hat eine dichtliegende Menge analytischer Elemente. (B3) Die selbstadjungierten, analytischen Elemente von δ liegen dicht in A^{sa}. (C1) ∥(1 + αδ)(x)∥ ≥ ∥x∥, für α ∈ IR, x ∈ D(δ). (C2) Aus (1 + αδ)(x) ≤ 0 α ∈ IR, x ∈ D(δ) folgt, daß x ∈ A^{+} gilt. (C3) Zu jedem x ∈ D(δ) existiert ein Tangentenfunktional ω_{x} ≠ 0, so daß Re(ω_{x}(δ)x) ≤ 0 und Re(ω_{x}(−δ)x) ≤ 0.

Beweis : In [Bra87], 3.2.50. □

Dabei heißt ein Element x ∈ A für einen Abbildung δ auf A analytisch, falls a ∈ ∩_{n∈IN}D(δ^{n}) und ∑_{n∈IN} \frac{t^{n}}{n!}∥δ(a)∥ < ∞ gilt.

Für schwach-∗-stetige ∗-Automorphismengruppen auf v. Neumann-Algebren erhält man:

Satz 6.11 Sei N eine v. Neumann-Algebra und δ eine σ(N , N_{∗})-dicht definierte und σ(N , N_{∗}) − σ(N , N_{∗})-abgeschlossene lineare Abbildung auf N mit Definitionsbereich D(δ), so daß 1l ∈ D(δ) gilt. δ ist genau dann Generator einer schwach-∗-stetigen einparametrigen Gruppe von ∗-Automorphismen auf N, falls (A) und jeweils mindestens eines der Kriterien aus den Gruppen (B) und (C) erfüllt ist: (A) D(δ) ist ∗-Algebra und δ eine symmetrische Derivation. (B1) (1 + αδ)(D(δ)) = N, α ∈ IR\{0}. (B2) Die Menge aller analytischen Elemente von δ liegt schwach-∗-dicht in N. (C1) ∥(1 + αδ)(a)∥ ≥ ∥a∥ für α ∈ IR, a ∈ D(δ). (C2) Aus (1 + αδ)(a) ≥ 0 für a ∈ D(δ) und alle α ∈ IR folgt a ∈ N^{+}.

Beweis : In [Bra87], 3.2.51. □

6.4 Halbgruppen mit T_{t}(1l) ≤ 1l

Halbgruppen mit T (1l) ≤ 1l wurden zuerst von Davies [Dav77], allerdings im Schrödingerbild auf dem reellen Banachraum aller selbstadjungierten Spurklasseoperatoren betrachtet. Diese Halbgruppen werden nicht zur Beschreibung einer Dynamik verwendet, da die Wahrscheinlichkeitserhaltung verloren geht. Anwendungen ergeben sich zum Beispiel, wenn T r(ρ·) nicht mehr als Wahrscheinlichkeit, sondern als Teilchenzahl [Dav77] oder als nicht konservativer Markovprozeß interpretiert wird.

Halbgruppen dieser Art werden in letzter Zeit vermehrt betrachtet, für einen Überblick sei auf [Hol95] verwiesen. Wir wollen hier ein für uns interessantes Ergebnis von Chebotarev und Fagnola [Che93] wiedergeben, in dem Bedingungen angegeben werden, wann ein ’verallgemeinerter’ Generator Halbgruppen erzeugt, die vollständig positiv und unital sind. Es werden allerdings keine allgemeinen v. Neumann-Algebren betrachtet. Ihre Untersuchung ist auf den Spezialfall B(H) beschränkt. Es wird sich zeigen müssen, ob die vielen Voraussetzungen, die gemacht werden, in Anwendungen verifizierbar sind.

Satz 6.12 Sei H ein Hilbertraum und G : D(G) → H der Generator einer stark stetigen Kontraktionshalbgruppe P_{t} auf H. Der Definitionsbereich der Operatoren {V_{n}}_{n∈IN} beinhalte eine dichte Teilmenge D ⊂ D(G) ⊂ H, so daß D ein determinierender Bereich für G ist. Es gelte weiterhin für alle ϕ, ψ ∈ D:

(ψ, Gϕ) + (Gψ, ϕ) + ∑_{n∈IN}(V_{n}ψ, V_{n}ϕ) = 0.

Sei L durch die folgende Sesquilinearform auf H mit Definitionsbereich D gegeben:

(ψ, L(x)ϕ) := (ψ, xGϕ) + (Gψ, xϕ) + ∑_{n∈IN}(V_{n}ψ, xV_{n}ϕ) ∀x ∈ B(H).

Es existiere ein positiver, selbstadjungierter Operator C, so daß der Definitionsbereich D(C^{\frac{1}{2}} ) die dichte Teilmenge D umfaßt und für alle ϕ, ψ ∈ D gilt:

−(ψ, Gϕ) − (Gψ, ϕ) = (C^{\frac{1}{2}} ψ, C^{\frac{1}{2}} ϕ) = ∑_{n∈IN}(V_{n}ψ, V_{n}ϕ).

Desweiteren existiere für alle u ∈ D(G^{2}) eine Folge {u_{n}}_{n∈IN} aus D, so daß

lim_{n→∞} C^{\frac{1}{2}} Gu_{n} = C^{\frac{1}{2}} Gu.

Es existiere schließlich eine positive Konstante b, so daß gilt:

i) −2ℜe(Gu, C^{−1}u) ≤ b∥u∥^{2} für alle u ∈ D, ii) für alle u ∈ D und alle ϵ > 0 ist

(C^{\frac{1}{2}} Gu, C^{\frac{1}{2}} u) + (C^{\frac{1}{2}} u, C^{\frac{1}{2}} Gu)

+ ∑_{n∈IN}(V_{n}u, C(1 + ϵC)^{−1}V_{n}u) ≤ b∥C^{\frac{1}{2}} ∥^{2}.

Sind diese Annahmen erfüllt, so ist eine Halbgruppe T_{t}, die

(ψ, T_{t}(x)ϕ) = (ψ, xϕ) + ∫_{0}^{t}(ψ, L(T_{s}(x))ϕ)ds, x ∈ B(H)

für alle ψ, ϕ ∈ D erfüllt, eine unitale, vollständig positive C_{0}^{∗}-Halbgruppe auf B(H).

Beweis : In [Che93]. □

6.5 Zusammenfassung

Die Diskussion in den Abschnitten 6.1 bis 6.3 soll jetzt zusammengefaßt werden. Die Situation läßt sich folgendermaßen veranschaulichen:

positive Halbgruppen positive, unitale Halbgruppen

∗-Automorphismengruppen

vollständig positive, unitale Halbgruppen

Im normstetigen Fall hat man für einparametrige ∗-Automorphismengruppen eine explizite Darstellung. Ebenso kann für unitale, vollständig positive Halbgruppen eine explizite Darstellung angegeben werden. Für positive Halbgruppen gibt es keine Darstellung mehr, sondern nur die Charakterisierung von Evans und Hanche-Olsen.

Im C_{0}- bzw. C_{0}^{∗}-Fall gibt es für keine der oben betrachteten Halbgruppen eine Darstellung. Allerdings existieren gute Charakterisierungen für die Generatoren der einparametrigen ∗-Automorphismengruppen. Eine leicht handhabbare Charakterisierung für unitale, positive bzw. vollständig positive Halbgruppen wurde in dieser Arbeit angegeben. Für positive Halbgruppen gibt es die Charakterisierung von Bratteli und Robinson.

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Lebenslauf 26.3.1969 Geboren in Tübingen 1975 - 1979 Besuch der Adolf-Reichwein-Grundschule in Göttingen 1979 - 1988 Besuch des Theodor-Heuss-Gymnasiums in Göttingen Januar 1989 Zivildienst im Krankenhaus Neu Bethlehem in Göttingen - Mai 1989 Oktober 1989 Beginn des Physikstudiums an der Georg-August-

Universität Göttingen

Oktober 1991 Diplomvorprüfung Ab Mai 1993 Diplomarbeit bei Prof. H.J.Roos am Institut für Theo-

retische Physik. Arbeitsgebiet: Mathematische Physik und Statistische Mechanik

Juni 1995 Diplomprüfung in Physik Seit Juli 1995 Promotionsstudium bei Prof. H. Hering am Institut

für Mathematische Stochastik

Seit April 1996 Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Institut für Mathematische Stochastik