Zopfgruppenoperationen auf Quantengruppen

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultäten der Georg-August-Universität zu Göttingen

vorgelegt von Amineh Afaneh

aus Salfit, Palästina

Göttingen 1998

D 7 Referent: Prof. tom Dieck Korreferent: Prof. Stuhler Tag der mündlichen Prüfung:

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2

0 Grundlagen 4 0.1 q-Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0.2 Hopf-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.3 Lie-Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 0.4 Motivation durch den klassischen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Die Operation von U_{q}(sl_{2}) auf der Quantenebene 13 1.1 Die Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2 Ein Algebra-Automorphismus auf U_{q}(sl_{2}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

A Anhang 23

2 Die Zopfgruppenoperation auf der Quantengruppe U_{q}(sl_{n}) 25 2.1 Die Quantengruppe U_{q}(sl_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2 Die Zopfgruppenoperation auf U_{q}(sl_{n}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

B Anhang 34

3 Die Zopfgruppenoperation auf der Quantengruppe U_{q}(so_{5}) 36 3.1 Die Quantengruppe U_{q}(so_{5}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Die Zopfgruppenoperation auf U_{q}(so_{5}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Vergleich mit den Resultaten von Lusztig 50 4.1 Die Quantengruppe U_{L} von Lusztig . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Die Symmetrien T′_{i,e}, T′′_{i,e} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Einleitung

Lusztig hat als erster Automorphismen auf der Quantengruppe U_{q}(𝔤) angegeben, indem er ihre Wirkung auf den Erzeugenden vorgeschrieben und dann die Verträglickeit mit der Algebra-Struktur nachgerechnet hat.

In dieser Arbeit geben wir eine alternative Herleitung dieses Automorphismus an. Um unsere Herangehensweise mit den bisherigen Konstruktionen vergleichen zu können, stellen wir kurz die allgemeine Idee dar, die allen Konstruktionen zugrunde liegt. Wir gehen aus vom klassischen Fall. Zum besseren Verständnis beschränken wir uns dabei auf sl_{2}.

Die Basiselemente von sl_{2} seien mit E und F bezeichnet. Wir erhalten einen Automorphismus auf sl_{2} durch Konjugation mit einem bestimmten Element, dem sogenannten Weyl-Element s̃. Dieses ist zunächst formal gegeben durch:

s̃ = exp E exp(−F) exp E.

Die Übertragung auf den Quantenfall besteht darin, das Weyl-Element in geeigneter Weise zu deformieren. Man sieht hier schon die wesentliche Schwierigkeit; denn s̃ ist durch unendliche Summen definiert. Im weiteren wird es darum gehen, dieser Konstruktion einen Sinn zu geben.

Lusztig [14] selbst geht ganz direkt vor, indem er in der Exponentialreihe alle auftretenden Fakultäten durch ihre q-Version ersetzt und noch einen Korrekturfaktor einfügt. Er erreicht die Wohldefiniertheit der unendlichen Reihen dadurch, daß er sie als Operatoren auf integrierbaren U_{q}(sl_{2})-Moduln auffaßt.

Der Zugang von Soibelman und Levendorskii [13] beruht auf der Tatsache, daß sich U_{q}(sl_{2}) in den Dualraum (ℂ[SL_{2,q}])^{∗} einbetten läßt. Dabei sind ℂ[SL_{2,q}] die regulären Funktionen auf der deformierten Lie-Gruppe SL_{2,q}. Aus der GNS-Konstruktion erhalten sie das deformierte Weyl-Element als einen bestimmten GNS-Zustand; d.h. das deformierte Weyl-Element wird hier aufgefaßt als eine Linearform.

Kirillov und Reshetikhin [12] benutzen dieselbe Idee wie Soibelman, führen aber im Gegensatz zu diesem alle Rechnungen konkret durch, insbesondere greifen sie nicht auf die GNS-Konstruktion zurück.

Das Augenmerk von Soibelman und Levendorskii sowie Kirillov und Reshetikhin gilt weniger der Konstruktion von Automorphismen als vielmehr der Konstruktion der Quanten-Weyl-Gruppe. Sie definieren diese als die minimale Hopf-Algebra von (ℂ[SL_{2,q}])^{∗}, die das deformierte Weyl-Element und die Quantengruppe enthält.

Sowohl Lusztig als auch Soibelman und Levendorskii sowie Kirillov und Reshetikhin übertragen ihre jeweiligen Methoden auf allgemeinere Situationen.

Die in dieser Arbeit verwandte Methode läßt sich in zwei Schritte gliedern. Im ersten Schritt stellen wir U_{q}(sl_{2}) dar als 2 × 2-Matrizen auf dem 2-dimensionalen Vektorraum V := span{x, y}:

E = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) , F = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , K = ( \begin{matrix}q^{−1} & 0 \\ 0 & q \end{matrix} ) .

Das klassische Weyl-Element läßt sich ebenfalls als 2 × 2-Matrix schreiben:

s̃ = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

Dies deformieren wir zu:

T = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −q & 0 \end{matrix} ) .

Auf V verifiziert man die folgenden Relationen:

T ET^{−1} = −KF, T F T^{−1} = −EK^{−1}, T KT^{−1} = K^{−1}.  (∗)

Im zweiten Schritt übertragen wir diese Relationen auf die Quantenebene k_{q}[x, y]. Das ist die Algebra aller Polynome in x und y, die die Relationen yx = qxy erfüllen. Offensichtlich ist V ein Unterraum von k_{q}[x, y]. Auf V vertauscht T im wesentlichen die Elemente x und y. Dementsprechend setzen wir die Wirkung von T auf k_{q}[x, y] an als:

T x^{r}y^{s} = (−1)^{r}q^{g(r,s)}x^{s}y^{r}.

Die Funktion g wählen wir so, daß die erste Relation in (*) erfüllt ist. Die beiden anderen Relationen geben keine weiteren Einschränkungen. Auf diese Weise erhalten wir einen Operator T : k_{q}[x, y] → k_{q}[x, y], der per constructionem die Relationen (*) auf k_{q}[x, y] erfüllt. Daraus gewinnen wir einen Automorphismus auf U_{q}(sl_{2}); denn keine zwei Elemente aus der Quantengruppe wirken auf der Quantenebene in derselben Weise, so daß die Werte von T ET^{−1}, T F T^{−1} und T KT^{−1} in U_{q}(sl_{2}) eindeutig bestimmt sind.

Diese Rechnungen wurden von tom Dieck [3] durchgeführt. Wir haben diese Methode auf U_{q}(sl_{n}) und U_{q}(so_{5}) übertragen und die Automorphismen von Lusztig wiedergewonnen. Leider können wir aus unseren Rechnungen nicht ohne zusätzliche Überlegungen die Automorphismuseigenschaft ablesen, da es uns nicht gelungen ist, die Eindeutigkeit für U_{q}(sl_{n}), n ≥ 3, und U_{q}(so_{5}) nachzuweisen.

Die Arbeit ist folgendermaßen aufgebaut. In Kapitel 0 stellen wir die nötigen Voraussetzungen für diese Arbeit zusammen. In Kapitel 1 rechnen wir den Fall U_{q}(sl_{2}), anhand dessen wir uns hier motiviert hatten, genau vor und verallgemeinern die Methode in Kapitel 2 auf den Fall U_{q}(sl_{n}). Kapitel 3 enthält die Rechnungen für den Fall U_{q}(so_{5}). Im abschließenden Kapitel 4 vergleichen wir unsere Resultate mit denen von Lusztig.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. tom Dieck für die Themenstellung und seine geduldige Unterstützung danken. Mein Dank gilt auch Gesa, die ihre wenige Zeit geopfert hat, um diese Arbeit durchzulesen, und vor allem Peter, der stets bereit war, mit mir endlose Diskussionen zu führen, und der mir bei meinem Kampf mit der deutschen Sprache zur Seite stand.

Kapitel 0

Grundlagen

In dieser Arbeit seien k der Grundkörper der Charakteristik char(k) = 0 und q ≠ 0 ein Element aus k.

0.1 q-Binomialkoeffizienten

In der Theorie der Quantengruppen kommen an verschiedenen Stellen q-Versionen der Binomialkoeffizienten vor. Wir stellen hier einige ihrer Eigenschaften zusammen, die in dieser Arbeit gebraucht werden.

Wir setzen für alle n ∈ ℤ:

[n]_{q} := \frac{q^{n} − q^{−n}}{q − q^{−1}}  für q ≠ ±1.  (0.1)

Wir bemerken, daß [0]_{q} = 0 ist. Falls q keine 2n-te Einheitswurzel ist, ist [n]_{q} ≠ 0 für n ≠ 0. Außerdem ist [−n]_{q} = −[n]_{q}. Falls n > 0 ist, haben wir

[n]_{q} = \frac{q^{n} − q^{−n}}{q − q^{−1}} = q^{n−1} + q^{n−3} + ⋯ + q^{−n+3} + q^{−n+1}.

Wenn es auf die q-Abhängigkeit nicht ankommt, schreiben wir einfach [n] anstelle von [n]_{q}.

Nun definieren wir die q-Binomialkoeffizienten durch:

[n; m]_{q} := [n][n − 1] ⋯ [n − m + 1]  (0.2)

für alle n, m ∈ ℤ, m > 0. Es gilt [n; 0]_{q} = [n; n]_{q} = 1 und [n; 1]_{q} = [n]_{q}. Falls 0 ≤ n < m ist, ist [n; m]_{q} = 0. Allgemein gelten [n; m]_{q} = [n; n − m]_{q} und [n; m]_{q} = (−1)^{m}[−n + m − 1; m]_{q}. Auch hier werden wir gelegentlich aus Bequemlichkeit den Index q unterdrücken.

Wir definieren die q-Fakultät durch

[n]_{q}! := [1]_{q}[2]_{q} ⋯ [n]_{q}

für n > 0 und [0]_{q}! := 1. Falls q = 1 ist, erhalten wir für n > 0 die klassische Fakultät n!. Man kann die q-Binomialkoeffizienten wie folgt schreiben:

[n; m]_{q} = \frac{[n]_{q}!}{[m]_{q}![n − m]_{q}!}  (0.3)

für alle n, m ∈ ℕ_{0} mit m ≤ n. Falls q = 1 ist, erhalten wir die klassischen Binomialkoeffizienten. Für a ∈ ℤ und b, m ∈ ℕ gilt:

[a + b; m]_{q} = ∑_{i=0}^{m} q^{ai−b(m−i)}[a; m − i]_{q}[b; i]_{q}.  (0.4)

Man kann diese Gleichung durch Induktion beweisen (siehe [8], Lemma 8.1). Seien a, b Elemente einer k-Algebra, die der Relation ba = q^{2}ab genügen. Dann gilt:

(a + b)^{n} = ∑_{i=0}^{n} q^{i(n−i)}[n; i]a^{i}b^{n−i}.  (0.5)

Man kann diese Formel mittels der Gleichung (0.4) durch Induktion beweisen. Nun setzen wir für alle n ∈ ℤ

(n)_{q} := \frac{q^{n} − 1}{q − 1} für q ≠ 1  (0.6)

Für n > 0 ist (n)_{q} = 1 + q + ⋯ + q^{n−1}. Den Index q werden wir gelegentlich weglassen. Aus der Definition folgt:

(n)_{q^{2}} = q^{n−1}[n]_{q}.  (0.7)

Wir definieren die Gauß-Polynome (n; m)_{q} für m, n ∈ ℤ, m ≥ 0 durch

(n; m)_{q} := (n)_{q}(n − 1)_{q} ⋯ (n − m + 1)_{q}.  (0.8)

Für n > 0 definieren wir (n)_{q}! := (1)_{q}(2)_{q} ⋯ (n)_{q}. Es gilt dann (n)_{q^{2}}! = q^{\frac{n^{2}−n}{2}} [n]_{q}!. Für 0 ≤ m ≤ n kann man die Gauß-Polynome wie folgt schreiben:

(n; m)_{q} = \frac{(n)_{q}!}{(m)_{q}!(n − m)_{q}!} .  (0.9)

Aus den obigen Relationen folgt:

(n; m)_{q^{2}} = q^{m(n−m)}[n; m]_{q}.  (0.10)

Weiterhin gilt die folgende Identität:

∑_{r=0}^{m} q^{\frac{r(r−1)}{2}} (q − 1)^{r}(r)!_{q}(n; r)_{q}(m; r)_{q} = q^{mn} für m ≥ n ≥ 0  (0.11)

(siehe tom Dieck [3]). Aus (0.10) und (0.11) können wir die folgende Identität herleiten:

∑_{r=0}^{m} q^{\frac{r(r−1)}{2} −(m+n)r}(1 − q^{2})^{r}[r]!_{q}[m; r]_{q}[n; r]_{q} = q^{−2mn}.  (0.12)

0.2 Hopf-Algebren

Eine Hopf-Algebra über k ist eine k-Algebra (H, μ, η), wobei μ das Produkt und η die Eins sind, so daß die linearen Abbildungen Δ : H ⟶ H ⊗ H bzw. ε : H ⟶ k bzw. S : H ⟶ H ein Koprodukt bzw. eine Koeins bzw. eine Antipode definieren, d.h.

1. (Δ ⊗ id)Δ = (id ⊗ Δ)Δ (Koassoziativitätsaxiom).

2. (ε ⊗ id)Δ = (id ⊗ ε)Δ = id (Koeinsaxiom).

3. μ(S ⊗ id)Δ = η ∘ ε = μ(id ⊗ S)Δ (Antipodenaxiom).

Dabei sind Δ und ε Algebra-Homomorphismen.

Wir folgen der Notation von Sweedler [21] und schreiben für alle h ∈ H: Δ(h) = ∑ h′ ⊗ h′′. Der k-Modul H mit (Δ, ε) bildet eine Koalgebra.

Ein H-Modul M ist ein k-Modul zusammen mit einer linearen Abbildung

μ_{M} : H ⊗ M ⟶ M, (h, m) ↦ hm := μ_{M}(h ⊗ m),

genannt H-Modulstruktur auf M, so daß h_{1}(h_{2}m) = (h_{1}h_{2})m und 1 · m = m sind.

Bemerkung 0.1 Hat man zwei H-Moduln M und N, so trägt M ⊗ N natürlicherweise die Struktur eines H ⊗H-Moduls, so daß (h_{1} ⊗h_{2})(m⊗n) = h_{1}m⊗h_{2}n ist. Durch das Koprodukt Δ kann man auf M ⊗ N zusätzlich eine H-Modul-Struktur definieren, und zwar setzen wir h(m ⊗ n) = Δ(h)(m ⊗ n) = ∑ h′m ⊗ h′′n für alle h ∈ H, wobei Δ(h) = ∑ h′ ⊗ h′′ ist.

Definition 0.2 Seien H eine Hopf-Algebra und A eine Algebra mit Einselement 1 über k, die die Struktur eines H-Moduls hat. Wir nennen A eine H-Modul-Algebra, wenn das Produkt und die Einheit der Algebra A H-linear sind, d.h.:

(i) h(ab) = ∑(h′a) (h′′b) für alle h ∈ H, a, b ∈ A, wobei Δ(h) = ∑ h′ ⊗ h′′ ist,

(ii) h1 = ε(h)1 für alle h ∈ H und 1 ∈ A.

0.3 Lie-Algebren

Wir wiederholen hier die grundlegenden Begriffe und Bezeichnungen aus der Theorie der Lie-Algebren in dem Umfange, wie es für diese Arbeit notwendig ist.

Definition 0.3 Eine (l, l)-Matrix A = (a_{ij})_{i,j∈{1,...,l}} heißt Cartan-Matrix, wenn sie folgende Eigenschaften hat:

1. a_{ij} ist eine ganze Zahl für alle i, j, a_{ij} ≤ 0 für alle i ≠ j, a_{ii} = 2 für alle i ∈ {1, …, l} und a_{ij} = 0 genau dann, wenn a_{ji} = 0 ist.

2. det(a_{ij}) ≠ 0.

3. Seien x_{1}, …, x_{l} eine Basis des Vektorraums V := k^{l} und s_{i} die Endomorphismen auf V, so daß s_{i}(x_{j}) = x_{j} − a_{ij}x_{i} für i, j ∈ {1, …, l} sind. Dann ist die von s_{1}, …, s_{l} erzeugte Gruppe eine endliche Gruppe von GL(V).

Definition 0.4 Sei A = (a_{ij})_{i,j∈{1,...,l}} eine Cartan-Matrix. Die Zopfgruppe Z über A ist definiert als die von 𝔷_{1}, …, 𝔷_{l} erzeugte Gruppe mit den Relationen

\underbrace{𝔷_{i}𝔷_{j}𝔷_{i} · · · · · ·}_{m_{ij}−Faktoren} = \underbrace{𝔷_{j}𝔷_{i}𝔷_{j} · · · · · ·}_{m_{ij}−Faktoren} für alle i ≠ j,

wobei m_{ij} ∈ ℤ wie folgt gegeben sind:

m_{ij} = \{ \begin{matrix}2 falls & a_{ij}a_{ji} = 0 \\ 3 falls & a_{ij}a_{ji} = 1 \\ 4 falls & a_{ij}a_{ji} = 2 \\ 6 falls & a_{ij}a_{ji} = 3. \end{matrix}

Sei k algebraisch abgeschlossen. Nach Harish-Chandra ([5], Theorem 1) existiert zu jeder Cartan-Matrix A = (a_{ij})_{i,j∈{1,...,l}} genau eine halbeinfache Lie-Algebra 𝔤 := 𝔤_{A} über k mit Cartan-Algebra 𝔥, so daß gilt:

1. Die Elemente H_{1}, …, H_{l} bilden eine Basis von 𝔥.

2. Π := {α_{1}, …, α_{l}} ist ein einfaches System von Wurzeln in 𝔤_{A} bezüglich 𝔥, wobei die α_{i} lineare Abbildungen auf 𝔥 sind, die wie folgt gegeben sind:

α_{i} : 𝔥 ⟶ k,  α_{i}(H_{j}) = a_{ji} (∀i, j ∈ {1, …, l}).  (0.13)

Da det(a_{ij}) ≠ 0 ist, sind diese Abbildungen linear unabhängig, d.h. α_{1}, …, α_{l} bilden eine Basis des Dualraums von 𝔥^{∗}.

Die zu einer Cartan-Matrix A gehörige halbeinfache Lie-Algebra 𝔤 := 𝔤_{A} kann man dann als die Algebra über k definieren, die von Elementen E_{i}, F_{i} und H_{i} (i = 1, …, l) erzeugt wird und den Relationen

[H_{i}, H_{j}] = 0, [E_{i}, F_{j}] = δ_{ij}H_{i},  (0.14)
[H_{i}, E_{i}] = a_{ij}E_{i}, [H_{i}, F_{i}] = −a_{ij}F_{i}  (0.15)

sowie den Serre-Relationen

\underbrace{[E_{i}, [E_{i}, …, [E_{i}}_{1−a_{ij}}, E_{j}]] …] = 0 für i ≠ j,  (0.16)
\underbrace{[F_{i}, [F_{i}, …, [F_{i}}_{1−a_{ij}}, F_{j}]] …] = 0 für i ≠ j,  (0.17)

genügt. Der Unterraum 𝔤_{i} von 𝔤, der von E_{i}, F_{i} und H_{i} erzeugt wird, ist eine Lie-Unteralgebra von 𝔤, die zu sl_{2} isomorph ist.

Die linearen Abbildungen s_{i} : 𝔥 ⟶ 𝔥, s_{i}(h) = h − α_{i}(h)H_{i} für alle h ∈ 𝔥, sind die einfachen Spiegelungen. Wir nennen die Untergruppe von GL(𝔥), die von s_{i} für alle i = 1, …, l erzeugt wird, die Weyl-Gruppe von 𝔤 und bezeichnen sie mit W. In der Weyl-Gruppe W gelten die folgenden Relationen:

∀i : s_{i}^{2} = 1,
∀i ≠ j : (s_{i}s_{j})^{m_{ij}} = 1,

wobei die ganzen Zahlen m_{ij} wie folgt gegeben sind:

m_{ij} = \{ \begin{matrix}2 falls & a_{ij}a_{ji} = 0, \\ 3 falls & a_{ij}a_{ji} = 1, \\ 4 falls & a_{ij}a_{ji} = 2, \\ 6 falls & a_{ij}a_{ji} = 3. \end{matrix}

Man bemerkt, daß die Weyl-Gruppe zu einem Quotienten der Zopfgruppe nach den Relationen s_{i}^{2} = 1 für alle i isomorph ist.

Eine Cartan-Matrix A = a_{ij} heißt symmetrisierbar, wenn es positive ganze Zahlen d_{1}, …, d_{l} gibt, so daß die Matrix (d_{i}a_{ij}) symmetrisch ist.

Für eine symmetrisierbare Cartan-Matrix A definieren wir eine Bilinearform (., .)_{𝔥} : 𝔥×𝔥 ⟶ k durch:

(H_{i}, H_{j}) := d_{i}^{−1}a_{ij}.

Da die Bilinearform (., .)_{𝔥} nichtausgeartet ist, induziert sie einen Isomorphismus zwischen 𝔥 und dem Dualraum 𝔥^{∗} von 𝔥, indem man die Wurzel α_{i} ∈ 𝔥^{∗} auf d_{i}H_{i} ∈ 𝔥 abbildet. Dann gibt es eine Bilinearform (., .)_{𝔥^{∗}} : 𝔥^{∗} × 𝔥^{∗} ⟶ k, mit

(α_{i}, α_{j})_{𝔥^{∗}} = d_{j}a_{ij}.

Sei Q die ℤ-lineare Hülle von Π, d.h. Q = ∑_{i=1}^{l} ℤα_{i}, und sei Q^{+} = ∑_{i=1}^{l} ℕα_{i}. Ist

P := {λ ∈ 𝔥^{∗}; λ(H_{i}) ∈ ℤ für alle i},  (0.18)

so gilt Q ⊂ P. Durch

λ ≥ μ :⟺ λ − μ ∈ Q^{+}

ist eine natürliche partielle Ordnung auf P gegeben. Ein von Null verschiedenes Element α ∈ P heißt eine Wurzel in 𝔤, wenn

𝔤_{α} := {x ∈ 𝔤|[h, x] = α(h)x ∀h ∈ 𝔥}

von Null verschieden ist. Seien R die Menge aller Wurzeln in 𝔤 und R^{+} = R ∩ Q^{+} die Menge aller positiven Wurzeln in 𝔤.

Für i = 1, …, l definieren wir λ_{i} ∈ 𝔥^{∗} durch λ_{i}(H_{j}) = δ_{ij} (d.h. λ_{1}, …, λ_{l} ist die zu H_{1}, …, H_{l} duale Basis.) Dann bilden die λ_{i} eine Basis von P, und es gilt:

α_{j} = ∑_{i=1}^{l} a_{ji}λ_{i}.

Wir identifizieren 𝔥 mit 𝔥^{∗} anhand des oben beschriebenen Isomorphismus, und definieren so eine Operation von W auf 𝔥^{∗} wie folgt:

s_{i}(β) = β − β(H_{i})α_{i}

für alle β ∈ 𝔥^{∗} und i = 1, …, l, d.h. insbesondere s_{i}(α_{j}) = α_{j} − a_{ij}α_{i}.

Seien w ∈ W und m minimal gewählt, so daß noch eine Darstellung der Form w = s_{i_{1}} ⋯ s_{i_{m}} existiert. Dann heißt s_{i_{1}} ⋯ s_{i_{m}} eine reduzierte Form von w, und l(w) := m heißt die Länge von w.

Es gibt genau ein Element w_{0} ∈ W mit maximaler Länge, dieses erfüllt w_{0}^{2} = 1.

Zu jeder Lie-Algebra 𝔤 über k definieren wir die universelle Einhüllende U(𝔤) von 𝔤 wie folgt: Als k-Algebra ist U(𝔤) die Algebra, die als Tensoralgebra T (𝔤) von 1 und den Elementen von 𝔤 erzeugt wird, modulo der Relationen

[X_{1}, X_{2}] = X_{1}X_{2} − X_{2}X_{1} (∀X_{1}, X_{2} ∈ 𝔤).

Die U(𝔤) trägt die Struktur einer Hopf-Algebra. Die Koalgebra-Struktur auf U(𝔤) ist wie folgt gegeben: Das Koprodukt Δ : U(𝔤) ⟶ U(𝔤) ⊗ U(𝔤) ist durch Δ(X) = X ⊗ 1 + 1 ⊗ X für alle X ∈ 𝔤 eindeutig bestimmt, die Koeins ε : U(𝔤) ⟶ k ist gegeben durch ε(X) = 0 für alle X ∈ 𝔤. Mit dieser Struktur ist die universelle Einhüllende eine kokommutative Koalgebra. Dabei sind Δ und ε Algebra-Homomorphismen.

Die Antipode S : U(𝔤) ⟶ U(𝔤) ist gegeben durch S(X) = −X für alle X ∈ 𝔤.

Die universelle Einhüllende hat nach dem Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt als Basis die Monome X_{i_{1}} … X_{i_{t}} mit i_{1} ≤ … ≤ i_{t}, wenn {X_{i}}_{i∈I} eine Basis von 𝔤 ist, wobei I eine vollständig geordnete Indexmenge sei (siehe Humphreys [6], 17.3).

Für einen 𝔤-Modul V und λ ∈ 𝔥^{∗} ist der λ-Gewichtsraum wie folgt definiert:

V_{λ} = {v ∈ V |hv = λ(h)v für alle h ∈ 𝔥}.

Wir definieren die Menge der Gewichte von V durch

Λ = {λ ∈ 𝔥^{∗}, V_{λ} ≠ {0}}.

Ein 𝔤-Modul V heißt zerfallend, wenn er sich als k-Vektorraum als direkte Summe

V = ⊕_{μ∈Λ}V_{μ}

schreiben läßt. Ein zerfallender 𝔤-Modul V heißt integrierbar, wenn für jedes i ∈ {1, …, l} und jedes v ∈ V ein n existiert, so daß E_{i}^{n}v = F_{i}^{n}v = 0 ist.

Für jeden endlich dimensionalen integrierbaren 𝔤-Modul V und jedes i ist durch

s̃_{i}(v) = exp(E_{i}) exp(−F_{i}) exp(E_{i})(v) für alle v ∈ V  (0.19)

ein Automorphismus auf V gegeben. Die Exponentialfunktion ist erklärt als:

exp(E_{i})v := ∑_{n=0}^{∞} \frac{1}{n!}E_{i}^{n}v

für alle v ∈ V. Dieser Ausdruck ist wohldefiniert, da auf der rechten Seite nur endlich viele Summanden vorkommen. Analoges trifft auf F_{i} zu. Für die Gewichtsräume gilt s̃_{i}V_{λ} = V_{s_{i}(λ)} für alle λ ∈ Λ.

0.4 Motivation durch den klassischen Fall

Für jede Lie-Algebra 𝔤 können wir durch (0.19) die Operation der Weyl-Gruppe W ⊂ GL(𝔥) auf 𝔥 zu Automorphismen auf 𝔤 erweitern, diese Automorphismen erfüllen die Zopfgruppenrelationen. Wir betrachten hier nur die Fälle sl_{n} und so_{5}.

Sei 𝔤 = sl_{n} . Wir betrachten die fundamentale Darstellung der Algebra sl_{n} auf einem von einer Basis e_{1} …, e_{n} aufgespannten k-Vektorraum V, die in Matrizenform wie folgt gegeben ist:

E_{i} ↦ e_{i+1,i},
F_{i} ↦ e_{i,i+1},  (0.20)
H_{i} ↦ −e_{i,i} + e_{i+1,i+1}.

Dabei ist e_{ij} die Matrix, die an der ij-ten Stelle eine 1 enthält und sonst nur 0.

Wenn wir diese Darstellungen in (0.19) einsetzen, so operiert s̃_{i} als die folgende Matrix:

s̃_{i} ↦ ( \begin{matrix}1 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ & & & & & 0 & −1 \\ & & & & & 1 & 0 \\ & & & & & & & 1 \\ & & & & & & & & . & . & . \\ & & & & & & & & & & & 1 \end{matrix} ) ,  (0.21)

wobei der Block ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) an der i, i + 1-Stelle steht.

Bemerkung 0.5 Die s̃_{i} erfüllen die Relationen

s̃_{i}s̃_{j}s̃_{i} = s̃_{j}s̃_{i}s̃_{j}  für |i − j| = 1,
s̃_{i}s̃_{j} = s̃_{j}s̃_{i}  für |i − j| > 1,
s̃_{i}^{4} = 1.

Wir nennen die s̃_{i} die Weyl-Elemente. Die von s̃_{1}, …, s̃_{l} erzeugte Untergruppe W̃ ⊂ GL(V) ist isomorph zu einem Quotienten der Zopfgruppe, und zwar W̃ = Z/⟨s_{i}^{2} = 1, i = 1, …, l⟩.

Für i = 1, …, l sind die Abbildungen X ↦ s̃_{i}^{−1}Xs̃_{i}, X ∈ sl_{n}, Automorphismen der Lie-Algebra sl_{n}. Wir werden auch diese Abbildungen mit s̃_{i} bezeichnen. Man kann diese Automorphismen auf den Erzeugenden E_{i}, F_{i}, H_{i} von sl_{n} nachrechnen. Wir erhalten:

s̃_{i}(E_{j}) = \{ \begin{matrix}−F_{i} falls & i = j \\ E_{j} falls & |i − j| > 1 \\ E_{j}E_{i} − E_{i}E_{j} falls & |i − j| = 1 \end{matrix}

s̃_{i}(F_{j}) = \{ \begin{matrix}−E_{i} falls & i = j \\ F_{j} falls & |i − j| > 1 \\ F_{i}F_{j} − F_{j}F_{i} falls & |i − j| = 1 \end{matrix}

s̃_{i}(H_{j}) = \{ \begin{matrix}−H_{i} falls & i = j \\ H_{j} falls & |i − j| > 1 \\ H_{i} + H_{j} falls & |i − j| = 1. \end{matrix}

Die Einschränkung von s̃_{i} auf 𝔥 ⊂ 𝔤 = sl_{n}, d.h. auf die von H_{1}, …, H_{l} erzeugte Unteralgebra, entspricht der Spiegelung s_{i} auf 𝔥. Also sind die s̃_{i} die gewünschten Erweiterungen.

Als Automorphismen auf sl_{n} erfüllen die s̃_{i} die Zopfrelationen vom Artin-Typ:

s̃_{i}s̃_{j} = s̃_{j}s̃_{i} für a_{ij} = 0,
s̃_{i}s̃_{j}s̃_{i} = s̃_{j}s̃_{i}s̃_{j} für a_{ij} = −1.

Nach [24], Theorem 3.2.3, können die Automorphismen s̃_{i} als Hopf-Algebra-Automorphismen der universellen Einhüllenden von sl_{n} betrachtet werden. Die Automorphismen s̃_{i} sind sowohl mit der Algebra-Struktur verträglich als auch mit der Koalgebra-Struktur, d.h.

Δ(s̃_{i}(X)) = (s̃_{i} ⊗ s̃_{i})(Δ(X)).  (0.22)

Nun betrachten wir den Fall 𝔤 = so_{5}. Die fundamentale Darstellung auf V = k^{5} ist in Matrizenform wie folgt gegeben:

E_{1} = e_{21} − e_{54} , E_{2} = \sqrt{2}(e_{32} − e_{43}),
F_{1} = e_{12} − e_{45} , F_{2} = \sqrt{2}(e_{23} − e_{34}),  (0.23)
H_{1} = e_{11} + e_{22} − e_{44} + e_{55} , H_{2} = −2e_{22} + 2e_{44}.

Wenn wir nun die Automorphismen s̃_{1} und s̃_{2} auf k^{5} aus (0.19) berechnen, so entsprechen sie den folgenden Matrizen:

s̃_{1} ↦ ( \begin{matrix}0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix} )  s̃_{2} ↦ ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Bemerkung 0.6 Die Elemente s̃_{1} und s̃_{2} erfüllen die Zopfrelation

s̃_{1}s̃_{2}s̃_{1}s̃_{2} = s̃_{2}s̃_{1}s̃_{2}s̃_{1}  (0.24)

sowie die Relation s̃_{i}^{4} = 1 für i = 1, 2.

Die von s̃_{1} und s̃_{2} erzeugte Untergruppe W̃ ⊂ GL(V) ist isomorph zu einem Quotienten der Zopfgruppe, und zwar W̃ ≅ Z/⟨s̃_{1}^{2} = 1, s̃_{2}^{2} = 1⟩. Für X ∈ so_{5} sind die Abbildungen X ↦ s̃_{i}^{−1}Xs̃_{i} Automorphismen der Lie-Algebra so_{5}. Wir werden auch diese Abbildungen mit s̃_{i} bezeichnen. Auf den Erzeugenden E_{i}, F_{i}, H_{i} von so_{5} gilt dabei:

s̃_{i}(E_{j}) = \{ \begin{matrix}−F_{i} falls & i = j \\ E_{j}E_{i} − E_{i}E_{j} falls & i = 1, j = 2 \\ a_{ij}^{−1}(E_{j}E_{i}^{2} + E_{i}^{2}E_{j}) falls & i = 2, j = 1 \end{matrix}

s̃_{i}(F_{j}) = \{ \begin{matrix}−E_{i} falls & i = j \\ F_{i}F_{j} − F_{j}F_{i} falls & i = 1, j = 2 \\ −a_{ij}^{−1}(F_{j}F_{i}^{2} + F_{i}^{2}F_{j}) falls & i = 2, j = 1 \end{matrix}

s̃_{i}(H_{j}) = \{ \begin{matrix}−H_{i} falls & i = j \\ 2H_{i} + H_{j} falls & i = 1, j = 2 \\ H_{i} + H_{j} falls & i = 2, j = 1. \end{matrix}

Die Einschränkung von s̃_{i} auf 𝔥 ⊂ so_{5} entspricht den Spiegelungen s_{1}, s_{2} auf 𝔥. Also sind s̃_{i} die gewünschten Erweiterungen. Demnach erfüllen die Automorphismen s̃_{1} und s̃_{2} die Zopfrelation

s̃_{1}s̃_{2}s̃_{1}s̃_{2} = s̃_{2}s̃_{1}s̃_{2}s̃_{1}.

Nach [24], Theorem 3.2.3, können die Automorphismen s̃_{i} als Hopf-Algebra-Automorphismen der universellen Einhüllenden von so_{5} betrachtet werden. Die Automorphismen s̃_{i} sind sowohl mit der Algebra-Struktur verträglich als auch mit der Koalgebra-Struktur.

Die Operation von U_{q}(sl_{2}) auf der Quantenebene

Das Ziel dieses Kapitels ist die Konstruktion von Algebra-Automorphismen auf der Quantengruppe U_{q}(sl_{2}). Wir gehen in drei Schritten vor. Zunächst konstruieren wir die Operation der Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) auf der Quantenebene, die als q-symmetrische Algebra betrachtet werden kann. Dann konstruieren wir Symmetrien auf der Quantenebene. Dadurch können wir einen Automorphismus T auf der Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) gewinnen. Diese Konstruktionen werden bei tom Dieck in seiner Vorlesung [4] durchgeführt. Der Automorphismus T auf U_{q}(sl_{2}) ist mit der Algebra-Struktur von U_{q}(sl_{2}) verträglich aber nicht mit der Koalgebra-Struktur.

1.1 Die Quantengruppe U_{q}(sl_{2})

Im folgenden werden wir die Definition der Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) und einige ihrer Eigenschaften angeben. Man kann die Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) als die Deformation der universellen Einhüllenden U(sl_{2}) von sl_{2} betrachten, wobei sl_{2} die Lie-Algebra ist, die zu der 1×1-Cartan-Matrix gehört, so daß U(sl_{2}) die assoziative k-Algebra mit den Erzeugenden E, F und H und den Relationen:

HE − EH = 2E,  (1.1)
HF − F H = −2F,  (1.2)
EF − F E = H  (1.3)

ist. Sie hat nach Poincaré-Birkhoff-Witt die Basis {F^{l}H^{i}E^{j}|i, j, l ∈ ℕ_{0}} ([11], Proposition V.3.2.). Die Relationen (1.2)-(1.3) motivieren uns zu der folgenden Definition (vgl. [11]).

Definition 1.1 Die Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) ist erklärt als die Algebra über k, die von vier Elementen E, F, K, K^{−1} mit den folgenden Relationen erzeugt wird:

KK^{−1} = K^{−1}K = 1,  (1.4)
KE = q^{2}EK,  (1.5)
KF = q^{−2}F K,  (1.6)
EF − F E = \frac{K − K^{−1}}{q − q^{−1}} .  (1.7)

Satz 1.2 Die Elemente {F^{r}K^{n}E^{s}| r, s, n ∈ ℤ, r, s ≥ 0} bilden eine Basis von U_{q}(sl_{2}).

Beweis. (Nach Kassel [11], Proposition VI.1.4). Man zeigt, daß U_{q}(sl_{2}) eine wiederholte Ore-Erweiterung^{1} ist. Wir definieren B_{0} := k[K, K^{−1}]. Wir werden zwei Ore-Erweiterungen B_{1} von B_{0} und B_{2} von B_{1} konstruieren, so daß B_{2} zu U_{q}(sl_{2}) isomorph ist.

Die Elemente {K^{i}|i ∈ ℤ} bilden eine Basis von B_{0}. Wir betrachten die Automorphismen α_{1} : B_{0} ⟶ B_{0}, α_{1}(K) = q^{2}K und δ_{1} = 0. Die zugehörige Ore-Erweiterung ist B_{1} = B_{0}[F, α_{1}, δ_{1}]. Die Monome {F^{j}K^{i}|i ∈ ℤ, j ∈ ℕ} bilden eine Basis von B_{1}. Die Algebra B_{1} ist isomorph zu der Algebra, die von F, K und K^{−1} mit der Relation F K = q^{2}KF erzeugt wird.

Nun bilden wir eine Ore-Eweiterung B_{2} = B_{1}[E, α_{2}, δ_{2}], wobei α_{2} : B_{1} ⟶ B_{1} durch

α_{2}(F^{j}K^{i}) = q^{−2i}F^{j}K^{i}

definiert ist, und δ_{2} die α_{1}-Derivation ist, so daß

δ_{2}(F) = \frac{K − K^{−1}}{q − q^{−1}} , δ_{2}(K) = 0

sind. Man kann zeigen, daß B_{2} ≅ U_{q}(sl_{2}) ist. □

Seien U_{q}^{+}(sl_{2}), U_{q}^{−}(sl_{2}) und U_{q}^{0}(sl_{2}) die Unteralgebren von U_{q}(sl_{2}), die von E, F bzw. K erzeugt werden. Dann läßt sich U_{q}(sl_{2}) als Produkt dieser Unteralgebren schreiben.

Folgerung 1.3 Die Multiplikation induziert die folgenden k-Algebra-Isomorphismen:

U_{q}^{+}(sl_{2}) ⊗ U_{q}^{0}(sl_{2}) ⊗ U_{q}^{−}(sl_{2}) ≅ U_{q}(sl_{2}), u^{+} ⊗ u^{0} ⊗ u^{−} ↦ u^{+}u^{0}u^{−},
U_{q}^{−}(sl_{2}) ⊗ U_{q}^{0}(sl_{2}) ⊗ U_{q}^{+}(sl_{2}) ≅ U_{q}(sl_{2}), u^{−} ⊗ u^{0} ⊗ u^{+} ↦ u^{−}u^{0}u^{+}.
□

Zusätzlich zur Algebra-Struktur besitzt U_{q}(sl_{2}) auch die Struktur einer Hopf-Algebra.

Satz 1.4 Wir definieren das Koprodukt Δ_{q} : U_{q}(sl_{2}) ⟶ U_{q}(sl_{2}) ⊗ U_{q}(sl_{2}), die Koeins ε_{q} : U_{q}(sl_{2}) ⟶ k und die Antipode S_{q} : U_{q}(sl_{2}) ⟶ U_{q}(sl_{2}) auf den Erzeugenden von U_{q}(sl_{2}) folgendermaßen:

Δ_{q}(E) = E ⊗ 1 + K ⊗ E,  (1.8)
Δ_{q}(F) = 1 ⊗ F + F ⊗ K^{−1},  (1.9)
Δ_{q}(K) = K ⊗ K,  (1.10)
ε_{q}(E) = ε_{q}(F) = 0, ε_{q}(K) = 1,  (1.11)
S_{q}(E) = −K^{−1}E, S_{q}(F) = −F K, S_{q}(K) = K^{−1}.  (1.12)

Damit wird U_{q}(sl_{2}) zu einer Hopf-Algebra.

1Sei B eine k-Algebra ohne Nullteiler. Seien α : B ⟶ B ein injektiver Algebrahomomorphismus und δ eine α-Derivation von B, d.h. δ ist ein linearer Algebra-Endomorphismus von B, so daß δ(ab) = α(a)δ(b) + δ(a)b für alle a, b ∈ B ist. Sei t eine Unbestimmte. Die Ore-Erweiterung B[t, α, δ] von B ist eine k-Algebra, so daß die Einbettung B ⟶ B[t, α, δ] ein Algebrahomomorphismus ist und für alle b ∈ B

tb = α(b)t + δ(b)

gilt ([11], Theorem I.7.1).

Beweis. Man muß nachrechnen, daß Δ_{q} mit den Algebra-Relationen verträglich ist, daß Δ_{q} koassoziativ ist, etc. Die vollständigen Rechnungen findet man in [11], Proposition VI.1.1. □

Im weiteren schreiben wir Δ, ε und S anstelle von Δ_{q}, ε_{q} und S_{q}, wenn keine Verwechslungen zu befürchten sind. Wir ziehen eine einfache Folgerung aus dem letzten Satz.

Folgerung 1.5 Für n ∈ ℤ, r ∈ ℕ gelten:

Δ(K^{n}) = K^{n} ⊗ K^{n},  (1.13)
Δ(E^{r}) = ∑_{i=0}^{r} q^{i(r−i)}[r; i]E^{r−i}K^{i} ⊗ E^{i},  (1.14)
Δ(F^{r}) = ∑_{i=0}^{r} q^{i(r−i)}[r; i]F^{i} ⊗ F^{r−i}K^{−i}.  (1.15)

Beweis. Die Gleichung (1.13) ist klar, und (1.14) und (1.15) kann man durch Induktion beweisen. Wir zeigen nur (1.14).

Der Induktionsanfang r = 1 ist Δ(E) = E ⊗ 1 + K ⊗ E. Wir schließen von r auf r + 1:

Δ(E^{r+1}) = Δ(E)Δ(E^{r})
= (E ⊗ 1 + K ⊗ E)(∑_{i=0}^{r} q^{i(r−i)}[r; i]E^{r−i}K^{i} ⊗ E^{i})
= ∑_{i=0}^{r} q^{i(r−i)}[r; i]E^{r−i+1}K^{i} ⊗ E^{i}

+ ∑_{i=0}^{r} q^{i(r−i)+2(r−i)}[r; i]E^{r−i}K^{i+1} ⊗ E^{i+1}

= ∑_{i=0}^{r+1} q^{i(r+1−i)}(q^{−i})[r; i] + q^{r−i+1)}[r; i − 1])E^{r+1−i}K^{i} ⊗ E^{i}
= ∑_{i=0}^{r+1} q^{i(r+1−i)}[r + 1; i]E^{r+1−i}K^{i} ⊗ E^{i}.
□

Mit Hilfe des Koprodukts kann man Operatoren auf einem Vektorraum V auf das Tensorprodukt V ⊗ V erweitern (siehe Bemerkung 0.1). Diese Konstruktion läßt sich auf mehrfache Tensorprodukte V ⊗ ⋯ ⊗ V fortsetzen. Dazu definieren wir induktiv Δ^{(n)} : U_{q}(sl_{2}) ⟶ U_{q}(sl_{2})^{⊗(n+1)} durch Δ^{(1)} := Δ und für n > 1:

Δ^{(n)} = (Δ ⊗ id_{U_{q}(sl_{2})^{⊗(n−1)}})Δ^{(n−1)}.

Für die Erzeugenden von U_{q}(sl_{2}) kann man die Wirkung von Δ^{(n)} leicht angeben:

Δ^{(n)}(E) = ∑_{r=1}^{n+1} K ⊗ ⋯ ⊗ K ⊗ \underbrace{E}_{r-te Stelle} ⊗1 ⊗ ⋯ ⊗ 1,  (1.16)

Δ^{(n)}(F) = ∑_{r=1}^{n+1} 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ \underbrace{F}_{r-te Stelle} ⊗K^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ K^{−1},  (1.17)
Δ^{(n)}(K) = K^{⊗n}.  (1.18)

Wir benötigen einige Bemerkungen über die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{2}). Für weitere Informationen über die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{2}) siehe [8]. Falls q keine Einheitswurzel ist, verläuft die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{2}) parallel zur Darstellungstheorie von sl_{2}; deswegen erhält man alle irreduziblen Darstellungen von U_{q}(sl_{2}) durch geeignete Deformation aus den irreduziblen Darstellungen von sl_{2}.

Definition 1.6 Seien V ein U_{q}(sl_{2})-Modul, λ ∈ k und V_{λ} = {v ∈ V |Kv = λv}. Dann heißt λ Gewicht von V genau dann, wenn V_{λ} ≠ {0} ist, und V_{λ} heißt Eigenraum von λ. Es gilt EV_{λ} ⊂ V_{q^{2}λ} und F V_{λ} ⊂ V_{q^{−2}λ}. Sei v ∈ V von Null verschieden, dann heißt v primitiv vom Gewicht λ, wenn Kv = λv und Ev = 0 ist. Man nennt V Modul mit höchstem Gewicht λ, wenn V von einem primitiven Element vom Gewicht λ erzeugt wird.

Definition 1.7 Ein zerfallender U_{q}(sl_{2})-Modul V heißt integrierbar, wenn für jedes v ∈ V ein n existiert, so daß E^{n}v = F^{n}v = 0 ist.

1.2 Ein Algebra-Automorphismus auf U_{q}(sl_{2})

Ziel dieses Abschnittes ist die Konstruktion eines Algebra-Automorphismus auf U_{q}(sl_{2}). Wir gehen in drei Schritten vor. Im ersten Schritt geben wir die Operation von U_{q}(sl_{2}) auf einer geeigneten Algebra, der sogenannten Quantenebene, an. Im zweiten Schritt verwenden wir bestimmte Operatoren auf der Quantenebene, mit deren Hilfe wir im dritten Schritt den gesuchten Automorphismus konstruieren.

Erster Schritt:

Zunächst definieren wir die Quantenebene k_{q}[x, y].

Definition 1.8 Sei k{x, y} die freie Algebra über k in zwei Unbestimmten x und y. Sei I_{q} das zweiseitige Ideal in k{x, y}, das von den Elementen yx−qxy erzeugt wird. Wir definieren die Quantenebene als die Quotienten-Algebra

k_{q}[x, y] := k{x, y}/I_{q}.

Für q ≠ 1 ist die Algebra k_{q}[x, y] nicht kommutativ. Im Fall q = 1 ergibt sich der Polynomring k[x, y]. Das Ideal I_{q} wird von den homogenen Elementen vom Grad 2 erzeugt. Daraus folgt, daß die Quantenebene graduiert ist, so daß die Erzeugenden x und y vom Grad 1 sind.

Satz 1.9 (a) Die Algebra k_{q}[x, y] besitzt als k-Vektorraum die Basis {x^{r}y^{s}; r, s ∈ ℕ_{0}}.

(b) Für jedes Paar (i, j) nicht-negativer ganzer Zahlen gilt y^{j}x^{i} = q^{ij}x^{i}y^{j}.

Beweis. (Nach [11], IV.1.1). Sei k[x][y, α, 0] die Ore-Erweiterung von k[x], wobei α der durch α(x) = qx definierte Algebra-Endomorphismus auf k[x] ist. Man zeigt, daß k_{q}[x, y] und k[x][y, α, 0] zueinander isomorph sind. □

Nun definieren wir die fundamentale Darstellung von U_{q}(sl_{2}) auf k^{2}. Zur Motivitation betrachten wir die fundamentale Darstellung von sl_{2}. In Abschnitt 0.4 hatten wir die Darstellung für sl_{n} auf k^{n} angegeben. Für n = 2 erhalten wir insbesondere die Darstellung der Algebra sl_{2} auf V := k^{2}:

E ↦ e_{21} := ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) ,
F ↦ e_{12} := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,  (1.19)
H ↦ −e_{11} + e_{22} := ( \begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Durch geeignete Deformation dieser Darstellung können wir die fundamentale Darstellung von U_{q}(sl_{2}) auf V folgendermaßen schreiben:

ρ : U_{q}(sl_{2}) ⟶ End(V) := M(2, k),
E ↦ e_{21},
F ↦ e_{12},  (1.20)
K ↦ q^{−1}e_{11} + qe_{22}.

Ist x, y die kanonische Basis von k^{2}, so gilt also

Ex = y, Ey = 0,  (1.21)
F x = 0, F y = x,  (1.22)
Kx = q^{−1}x, Ky = qy.  (1.23)

Nun erweitern wir diese Operation auf die Quantenebene k_{q}[x, y] mit Hilfe der Definition des Koprodukts auf U_{q}(sl_{2}) und Bemerkung 0.1 .

Der folgende Satz schließt den ersten Schritt ab.

Satz 1.10 (tom Dieck [4]) Es gibt genau eine Struktur einer U_{q}(sl_{2})-Modul-Algebra auf k_{q}[x, y] mit den Eigenschaften (1.21), (1.22) und (1.23).

Beweis. Die Aussage, daß k_{q}[x, y] eine U_{q}(sl_{2})-Algebra ist, besagt, daß für alle P, Q ∈ k_{q}[x, y]

K(P Q) = K(P)K(Q),  (1.24)
E(P Q) = E(P)Q + K(P)E(Q),  (1.25)
F (P Q) = P F (Q) + F (P)K^{−1}(Q)  (1.26)

ist. Diese Gleichungen beschreiben, wie E, F und K auf den Basiselementen von k_{q}[x, y] operieren müssen. Für die Operation von E muß beispielsweise gelten:

E(x^{r}y^{s}) = Δ^{(r+s−1)}(E)(x^{r}y^{s}).
=^{(1.16)} ∑_{m=1}^{r+s}(K ⊗ ⋯ ⊗ K ⊗ \underbrace{E}_{m-te Stelle} ⊗1 ⊗ ⋯ ⊗ 1)(x^{r}y^{s})

= ∑_{m=1}^{r} q^{−(m−1)}x^{m−1}yx^{r−m}y^{s}
= ∑_{m=1}^{r} q^{−2m+r+1}x^{r−1}y^{s+1}
= [r]x^{r−1}y^{s+1}.

Entsprechend rechnet man die Operation von F und K nach. Wir definieren die Operation von E, F und K also demgemäß durch:

E(x^{r}y^{s}) = [r]x^{r−1}y^{s+1},  (1.27)
F (x^{r}y^{s}) = [s]x^{r+1}y^{s−1},  (1.28)
K(x^{r}y^{s}) = q^{s−r}x^{r}y^{s}.  (1.29)

Darin sind x^{−1} = 0 und y^{−1} = 0 zu setzen.

Wir zeigen nun, daß k_{q}[x, y] ein U_{q}(sl_{2})-Modul ist, d.h. wir verifizieren die Verträglichkeit mit den Relationen aus Definition 1.1. Es gilt:

[E, F](x^{r}y^{s}) = (EF − F E)(x^{r}y^{s})
= ([r + 1][s] − [r][s + 1])x^{r}y^{s}
= [s − r]x^{r}y^{s}
= \frac{K − K^{−1}}{q − q^{−1}} (x^{r}y^{s})
KE(x^{r}y^{s}) = K([r]x^{r−1}y^{s+1})
= [r]q^{s−r+2}x^{r−1}y^{s+1}
q^{2}EK(x^{r}y^{s}) = q^{2}E(q^{s−r}x^{r}y^{s})
= q^{s−r+2}[r]x^{r−1}y^{s+1}.

Ähnlich verifiziert man die anderen Relationen. Es bleibt noch zu zeigen, daß k_{q}[x, y] eine U_{q}(sl_{2})-Algebra ist. Zunächst ist klar, daß u1 = ε(u)1 ist für jedes u ∈ U_{q}(sl_{2}). Dann müssen für alle P, Q ∈ k_{q}[x, y] die Relationen (1.24), (1.25) und (1.26) nachgewiesen werden. Es genügt, diese Relationen auf den Basiselementen von k_{q}[x, y] zu verifizieren, also:

1.

K((x^{r}y^{s})(x^{l}y^{m})) = K(q^{sl}x^{r+l}y^{s+m})
= q^{sl+s+m−r−l}x^{r+l}y^{s+m}

und

K(x^{r}y^{s})K(x^{l}y^{m}) = q^{s−r}x^{r}y^{s}q^{m−l}x^{l}y^{m}
= q^{s+m+sl−l−r}x^{r+l}y^{s+m}.

2.

E((x^{r}y^{s})(y^{l}x^{m})) = q^{sl}[r + l]x^{r+l−1}y^{s+m+1}

und

E(x^{r}y^{s})x^{l}y^{m} + K(x^{r}y^{s})E(x^{l}y^{m}) = (\frac{[r]q^{(s+1)l} + q^{s−r}[l]q^{s(l−1)}}{q − q^{−1}} )x^{r+l−1}y^{s+m+1}
= q^{sl}[r + l]x^{r+l−1}y^{s+m+1}.

3. Analog wird die letzte Gleichung nachgeprüft. □

Wir können auch auf andere Weise zeigen, daß k_{q}[x, y] eine U_{q}(sl_{2})-Modul-Algebra ist, und zwar indem wir beweisen, daß k_{q}[x, y] isomorph zu einer bestimmten Algebra ist, der sogenannten q-symmetrischen Algebra, die wiederum auf kanonische Weise eine U_{q}(sl_{2})-Modul-Algebra ist. Für weiteres über diese Algebra siehe Anhang A.

Zweiter Schritt:

Wir definieren auf der Quantenebene lineare Abbildungen T und T^{−1}. In unseren Rechnungen folgen wir im wesentlichen tom Dieck [4].

Im klassischen Fall für sl_{2} haben wir in Abschnitt 0.4 gesehen, daß in der Darstellung (0.20)

von sl_{n}, wenn wir n = 2 setzen, die Konjugation mit dem Weyl-Element s̃:= s̃_{1} = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} )

natürlicherweise einen Automorphismus der Lie-Algebra sl_{2} liefert (den wir ebenfalls mit s̃ bezeichnen), dabei gilt:

s̃^{−1}Es̃ = −F,
s̃^{−1}F s̃ = −E,
s̃^{−1}Hs̃ = −H.

Im Quantenfall werden wir eine deformierte Version T des Weyl-Elements s̃ betrachten, so daß die Wirkung von T bezüglich der Basis x, y auf dem von den Erzeugenden x, y der Quantenebene k_{q}[x, y] aufgespannten Vektorraum in Matrizenform wie folgt gegeben ist:

T = ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −q & 0 \end{matrix} ) , T^{−1} = ( \begin{matrix}0 & −q^{−1} \\ 1 & 0 \end{matrix} ) .

In der Darstellung (1.20) der Erzeugenden von U_{q}(sl_{2}) gelten die Relationen:

T ET^{−1} = −KF, T F T^{−1} = −EK^{−1}, T ET^{−1} = K^{−1}.  (1.30)

Die Wirkung von T und T^{−1} auf den Basiselementen von k_{q}[x, y] setzen wir an als:

T (x^{r}y^{s}) = (−1)^{r}q^{g(r,s)}x^{s}y^{r}
T^{−1}(x^{r}y^{s}) = (−1)^{s}q^{−g(s,r)}x^{s}y^{r}.

mit einer noch zu bestimmenden Funktion g. Die Bedingung T ET^{−1} = −KF führt auf:

T ET^{−1}(x^{r}y^{s}) = −q^{−g(s,r)+g(s−1,r+1)}[s]x^{r+1}y^{s−1},
−KF (x^{r}y^{s}) = −q^{s−r−2}[s]x^{r+1}y^{s−1}.

Es muß daher gelten:

−g(s, r) + g(s − 1, r + 1) = s − r − 2.  (1.31)

Die anderen beiden Bedingungen ergeben keine weiteren Einschränkungen. Die Funktion g(s, r) := s(r + 1) erfüllt die Gleichung (1.31). Also erfüllen die durch

T (x^{r}y^{s}) = (−1)^{r}q^{r(s+1)}x^{r}y^{s} und T^{−1}(x^{r}y^{s}) = (−1)^{s}q^{−s(r+1)}x^{r}y^{s}.  (1.32)

definierten Operatoren T und T^{−1} auf k_{q}[x, y] nach Konstruktion die Beziehungen (1.30).

Definition 1.11 Die Automorphismen T, T^{−1} : k_{q}[x, y] ⟶ k_{q}[x, y] seien definiert durch

T (x^{r}y^{s}) = (−1)^{r}q^{r(s+1)}x^{s}y^{r},  (1.33)
T^{−1}(x^{r}y^{s}) = (−1)^{s}q^{−s(r+1)}x^{s}y^{r}.  (1.34)

Trivialerweise sind die Abbildungen T, T^{−1} zueinander invers. Der Operator T^{2} wirkt auf der Quantenebene als Multiplikation mit einer skalaren Funktion:

T^{2}(x^{r}y^{s}) = (−1)^{r+s}q^{2rs+r+s}x^{r}y^{s}.

Durch die geometrische Operation von T auf der Quantenebene können wir im nächsten Satz Algebra-Automorphismen T, T^{−1} : U_{q}(sl_{2}) ⟶ U_{q}(sl_{2}) konstruieren. Damit erhalten wir das Hauptresultat dieses Abschnitts:

Satz 1.12 Für jedes u ∈ U_{q}(sl_{2}) sei l_{u} : k_{q}[x, y] ⟶ k_{q}[x, y] die Linkstranslation mit u ∈ U_{q}(sl_{2}), d.h. l_{u}(P) = uP. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes Element T (u) ∈ U_{q}(sl_{2}), so daß T l_{u}T^{−1} die Linkstranslation mit T (u) ist und das folgende Diagramm kommutativ ist:

k_{q}[x, y] ⟶^{l_{u}} k_{q}[x, y]
T ↓  ↓ T
k_{q}[x, y] ⟶^{l_{T (u)}} k_{q}[x, y]

Also ist die Abbildung T : U_{q}(sl_{2}) ⟶ U_{q}(sl_{2}), u ↦ T (u), ein Algebra-Automorphismus. Dieser Automorphismus hat auf den Erzeugenden die folgenden Werte:

T (E) = −KF,  (1.35)
T (F) = −EK^{−1},  (1.36)
T (K) = K^{−1}.  (1.37)

Beweis. Existenz von T (u). Falls T l_{u_{1}}T^{−1} = l_{T (u_{1})} und T l_{u_{2}}T^{−1} = l_{T (u_{2})} gilt für bestimmte u_{1}, u_{2} ∈ U_{q}(sl_{2}), dann ist leicht zu zeigen, daß für a_{1}, a_{2} ∈ k, T l_{(a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})}T^{−1} = l_{a_{1}T (u_{1})} + l_{a_{2}T (u_{2})}, und T l_{u_{1}u_{2}}T^{−1} = T (u_{1})T (u_{2}) ist. Also genügt es, die Gleichung T l_{u}T^{−1} = l_{T (u)} (im Operatorsinne) auf den Erzeugenden der Algebra U_{q}(sl_{2}) nachzuweisen.

Für E haben wir:

T l_{E}T^{−1}(x^{r}y^{s}) = T l_{E}((−1)^{s}q^{−s(r+1)}x^{s}y^{r})
= T ((−1)^{s}q^{−s(r+1)}[s]x^{s−1}y^{r+1})
= −[s]q^{s−r−2}x^{r+1}y^{s−1}
= −KF (x^{r}y^{s}).

Für F haben wir:

T l_{F} T^{−1}(x^{r}y^{s}) = T l_{F} ((−1)^{s}q^{−s(r+1)}x^{s}y^{r})
= T ((−1)^{s}q^{−s(r+1)}[r]x^{s+1}y^{r−1})
= −[r]q^{r−s}x^{r−1}y^{s+1}
= −EK^{−1}(x^{r}y^{s}).

Für K haben wir:

T l_{K}T^{−1}(x^{r}y^{s}) = T l_{K}((−1)^{r}q^{−r(s+1)}x^{s}y^{r})
= T ((−1)^{r}q^{−r(s+1)}q^{s−r}x^{s}y^{r})
= q^{s−r}x^{r}y^{s}
= K^{−1}(x^{r}y^{s}).

Eindeutigkeit: Wir zeigen, daß aus uP = 0 für alle P ∈ k_{q}[x, y] folgt, daß u = 0 ist. Wir betrachten zunächst den Unterraum k_{q}[x, y]^{n} := {x^{r}y^{s}; r + s = n}. Sei u ∈ U_{q}(sl_{2}) allgemein gegeben als u = ∑_{a,d∈ℕ_{0},b∈ℤ} c_{a,b,d}F^{a}K^{b}E^{d}, wobei fast alle c_{a,b,d} ∈ k gleich Null sind. Angenommen, es wäre u ≠ 0. Dann gibt es d_{0} ∈ ℕ mit c_{a,b,d_{0}} ≠ 0 für mindestens ein a ∈ ℕ und b ∈ ℤ und c_{a,b,d} = 0 für d < d_{0} und alle a ∈ ℕ und b ∈ ℤ. Dann gilt für alle r, s ∈ ℕ mit r + s = n:

0 = u(x^{r}y^{s})
= ∑_{a,b,d} c_{a,b,d}F^{a}K^{b}E^{d}(x^{r}y^{s})
= ∑_{a,b,d} c_{a,b,d}[r][r − 1] ⋯ [r − d + 1]F^{a}K^{b}(x^{r−d}y^{s+d})
= ∑_{a,b,d} c_{a,b,d}[r][r − 1] ⋯
[r − d + 1][s + d][s + d − 1] ⋯ [s + d − a + 1]q^{b(s−r+2d)}(x^{r−d+a}y^{s+d−a}).

Nun sei r = d_{0}, dann ist s = n − d_{0}. Aus der Annahme und der letzten Gleichung bekommen wir:

0 = ∑_{a,b} c_{a,b,d_{0}}q^{b(s+d_{0})}[d_{0}]![s + d_{0}] ⋯ [s + d_{0} − a + 1]x^{a}y^{s+d_{0}−a} + 0.

Die Elemente x^{a}y^{s+d_{0}−a} sind linear unabhängig für verschiedene a. Daraus folgt for alle a ∈ ℕ_{0}:

∑_{b} c_{a,b,d_{0}}q^{bn}[d_{0}]![n] ⋯ [n − a + 1] = 0,

das heißt:

∑_{b} c_{a,b,d_{0}}q^{bn}[n] ⋯ [n − a + 1] = 0,

woraus folgt:

∑_{b} c_{a,b,d_{0}}q^{bn} = 0

für alle a und alle n ∈ ℕ. Die Abbildungen χ_{b} : n ↦ q^{bn} von ℤ nach k kann man als Charaktere von ℤ auffassen. Aber da q keine Einheitswurzel ist, erhält man verschiedene Charaktere; deswegen kann man den Satz von Artin^{2} anwenden und erhält: c_{a,b,d_{0}}q^{bn} = 0 für alle a ∈ ℕ und alle b ∈ ℤ. Somit hat man einen Widerspruch zu der Annahme, daß c_{a,b,d_{0}} ≠ 0 ist für bestimmte a ∈ ℕ und b ∈ ℤ. Also ist u = 0. □

Der Beweis der Eindeutigkeit im letzten Satz liefert auch, daß die Elemente {F^{i}K^{l}E^{j}| i, j ∈ ℕ_{0}, l ∈ ℤ} eine Basis von U_{q}(sl_{2}) bilden.

Folgerung 1.13 Für P ∈ k_{q}[x, y] und u ∈ U_{q}(sl_{2}) gilt T (uP) = T (u)T (P). □

Der Automorphismus T ist mit der Algebra-Struktur von U_{q}(sl_{2}) verträglich, aber im Gegensatz zum klassischen Fall ist T nicht mit der Koalgebra-Struktur verträglich. Diese Unverträglichkeit kann man mit Hilfe des folgenden Elements korrigieren:

R := ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{−2})^{n}q^{n(n+1)/2}}{[n]_{q}!} F^{n} ⊗ E^{n}.  (1.38)

Da die Quantenebene ein integrierbarer U_{q}(sl_{2})-Modul ist, ist das Element R als Operator auf der Quantenebene wohldefiniert.

2Satz von Artin: Seien χ_{1}, …, χ_{n} verschiedene Charaktere eines Monoids G über einem Körper k, dann sind diese Charaktere linear unabhängig über k.

Satz 1.14 Für alle P, Q ∈ k_{q}[x, y] gilt:

1. T (P · Q) = (T ⊗ T)R(P ⊗ Q)

2. T^{−1}(P · Q) = R^{−1}(T^{−1} ⊗ T^{−1})(P ⊗ Q). Dabei ist

R^{−1} = ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{2})^{n}q^{−n(n+1)/2}}{[n]_{q}!} F^{n} ⊗ E^{n}.  (1.39)

Beweis. Wir beweisen (2) auf den Basiselementen von k_{q}[x, y], d.h. wir zeigen die folgende Gleichung:

T^{−1}(x^{r_{1}}y^{s_{1}} · x^{r_{2}}y^{s_{2}}) = R^{−1}(T^{−1} ⊗ T^{−1})(x^{r_{1}}y^{s_{1}} ⊗ x^{r_{2}}y^{s_{2}}).

Wir finden:

I := T^{−1}(x^{r_{1}}y^{r_{2}} · x^{s_{1}}y^{s_{2}})
= q^{s_{1}r_{2}}T^{−1}(x^{r_{1}+r_{2}}y^{s_{1}+s_{2}})
= (−1)^{s_{1}+s_{2}}q^{s_{1}r_{2}−(s_{1}+s_{2})(r_{1}+r_{2}+1)}x^{s_{1}+s_{2}}y^{r_{1}+r_{2}}.

Weitehin gilt II

:= R^{−1}(T^{−1} ⊗ T^{−1})(x^{r_{1}}y^{s_{1}} ⊗ x^{r_{2}}y^{s_{2}})
= (−1)^{s_{1}+s_{2}}q^{−s_{1}(r_{1}+1)−s_{2}(r_{2}+1)}R^{−1}(x^{s_{1}}y^{r_{1}} ⊗ x^{s_{2}}y^{r_{2}})
= (−1)^{s_{1}+s_{2}}q^{−s_{1}(r_{1}+1)−s_{2}(r_{2}+1)} ∑_{l≥0} \frac{(1 − q^{2})^{l}q^{−l(l+1)/2}}{[l]_{q}!} F^{l}(x^{s_{1}}y^{r_{1}})E^{l}(x^{s_{2}}y^{r_{2}})
= (−1)^{s_{1}+s_{2}}q^{−s_{1}(r_{1}+1)−s_{2}(r_{2}+1)+s_{2}r_{1}} ∑_{l=0}^{min\{r_{1},s_{2}\}}(1 − q^{2})^{l}q^{\frac{l(l−1)}{2} −l(s_{2}+r_{1})}[l]![r_{1}; l][s_{2}; l]x^{s_{1}+s_{2}}y^{r_{1}+r_{2}}.

Aus (0.12) folgt, daß I = II ist. Der Beweis von (1) verläuft analog. □ Im folgenden Satz sieht man den Grad der Unverträglichkeit von T mit der Koalgebrastruktur von U_{q}(sl_{2}). Satz 1.15 Für jedes u ∈ U_{q}(sl_{2}) gilt die Relation

Δ(T (u)) = T ⊗ T (RΔ(u)R^{−1}).

Dabei fassen wir T (u), R, R^{−1} und Δ(u) als Operatoren auf der Quantenebene auf. Beweis. Für alle P, Q ∈ k_{q}[x, y] gilt:

Δ(T (u))(P ⊗ Q) = T (u)(P · Q)
= T uT^{−1}(P · Q)
= T u(R^{−1}(T^{−1} ⊗ T^{−1})(P ⊗ Q)
= T (Δ(u)R^{−1}(T^{−1} ⊗ T^{−1}))(P ⊗ Q)
= (T ⊗ T)RΔ(u)R^{−1}(T^{−1} ⊗ T^{−1})(P ⊗ Q)
= T ⊗ T (RΔ(u)R^{−1})(P ⊗ Q).
□

Anhang A

Wir beginnen mit den Definitionen:

Definition A.1 Sei V ein Vektorraum über k. Ein Automorphismus R des Vektorraums V ⊗ V heißt R-Matrix zu V ⊗ V, wenn die Yang-Baxter-Gleichung (YBG) R_{12}R_{13}R_{23} = R_{23}R_{13}R_{12} gilt. Dabei ist die lineare Abbildung R_{ij} : V ⊗ V ⊗ V ⟶ V ⊗ V ⊗ V für alle i, j ∈ {1, 2, 3} so definiert, daß R auf die i-te und j-te Komponente wirkt, und die Identität auf das verbleibende Element wirkt.

Die Definition der q-symmetrischen Algebra ist erstmals bei Manin [16] eingeführt. In dieser Arbeit werden wir im wesentlichen Takeuchi [22] folgen.

Definition A.2 Seien V ein endlich-dimensionaler Vektorraum und die Abbildung

R : V ⊗ V ⟶ V ⊗ V

eine R-Matrix. Wir definieren die q-symmetrische Algebra als den Quotienten der Tensoralgebra T (V), d.h.

S_{q}(V) := T (V)/⟨Ker(R − q)⟩.  (A.1)

Für die Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) betrachten wir den Vektorraum V := k^{2} = span{e_{1}, e_{2}} und die Abbildung R_{ρ} : V ⊗ V ⟶ V ⊗ V, die sich bezüglich der Basiselemente {e_{1} ⊗ e_{1}, e_{1} ⊗ e_{2}, e_{2} ⊗ e_{1}, e_{2} ⊗ e_{2}} in Matrizenform wie folgt schreibt:

R_{ρ} = ( \begin{matrix}q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & q − q^{−1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & q \end{matrix} ) .

Lemma A.3 Die Abbildung R_{ρ} ist ein U_{q}(sl_{2})-Modulhomomorphismus bezüglich der Darstellung ρ in (1.20).

Beweis. Es genügt zu zeigen, daß R_{ρ}(ue_{i} ⊗ e_{j}) = uR_{ρ}(e_{i} ⊗ e_{j}) auf den Erzeugenden von U_{q}(sl_{2}) gilt. Für u = E ist:

R_{ρ}(Ee_{i} ⊗ e_{j}) = R_{ρ}(Ee_{i} ⊗ e_{j} + Ke_{i} ⊗ Ee_{j}) = R_{ρ} ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ q^{−1} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & q & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q & q^{2} & 0 \end{matrix} ) .

Andererseits ist:

ER_{ρ}(e_{i} ⊗ e_{j}) = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ q & 0 & 0 & 0 \\ 0 & q & q^{2} & 0 \end{matrix} ) .

Entsprechend geht man bei F und K vor. □ Lemma A.4 Die Abbildung R_{ρ} erfüllt die Relation

(R_{ρ} − q)(R_{ρ} + q^{−1}) = 0,  (A.2)

d.h. R_{ρ} hat die zwei Eigenwerte q und −q^{−1}. Außerdem erfüllt R_{ρ} die (YBG). □ Sei I_{ρ} das Ideal in T (V), das von Ker(R_{ρ} − q) erzeugt wird. Man kann leicht Ker(R_{ρ} − q) nachrechnen und zeigen, daß das Ideal I_{ρ} von

e_{2} ⊗ e_{1} − qe_{1} ⊗ e_{2}  (A.3)

erzeugt wird. Also können wir die q-symmetrische Algebra bezüglich der R-Matrix R_{ρ} wie folgt schreiben:

S_{q}(V) := T (V)/⟨e_{2}e_{1} − qe_{1}e_{2}⟩.

Falls q = 1 ist, bekommen wir die symmetrische Algebra S := T (V)/⟨e_{2}e_{1} − e_{1}e_{2}⟩. Satz A.5 Die q-symmetrische Algebra S_{q}(V) = T (V)/⟨e_{2}e_{1} − qe_{1}e_{2}⟩ ist eine U_{q}(sl_{2})-Modul-Algebra. Beweis. Durch das Koprodukt ist T (V) eine U_{q}(sl_{2})-Modul-Algebra. Da R_{ρ} ein U_{q}(sl_{2})- Modulmorphismus ist, ist Ker(R_{ρ}−q) ein U_{q}(sl_{2})-Untermodul. Also ist der Quotient S_{q}(V) = T (V)/I_{ρ} eine U_{q}(sl_{2})-Modul-Algebra. □ Satz A.6 Der Algebra-Homomorphismus ψ : k_{q}[x, y] ⟶ S_{q}(V) sei gegeben durch x ↦ e_{1}, y ↦ e_{2}. Dann ist ψ ein Isomorphismus von Algebren. Aus den letzten Sätzen folgt: Folgerung A.7 Die Quantenebene k_{q}[x, y] ist eine U_{q}(sl_{2})- Modul-Algebra. □

Die Zopfgruppenoperation auf der Quantengruppe U_{q}(sl_{n})

Das Ziel dieses Kapitels ist die Konstruktion von Zopfgruppenoperationen auf der Quantengruppe U_{q}(sl_{n}). Wie im ersten Kapitel gehen wir in drei Schritten vor. Zunächst konstruieren wir die Operation der Quantengruppe U_{q}(sl_{n}) auf dem n-dimensionalen Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]. Dann konstruieren wir Symmetrien T_{i} auf diesem Quantenraum. Dadurch können wir Automorphismen T_{i} auf der Quantengruppe U_{q}(sl_{n}) gewinnen. Diese Automorphismen erfüllen die Zopfgruppenrelationen. Sie sind verträglich mit der Algebra-Struktur von U_{q}(sl_{n}) aber nicht mit ihrer Koalgebra-Struktur.

2.1 Die Quantengruppe U_{q}(sl_{n})

Wir definieren die Quantengruppe U_{q}(sl_{n}) und geben einige ihrer Eigenschaften an. Man kann U_{q}(sl_{n}) als Deformation der universellen Einhüllenden U(sl_{n}) betrachten. Dabei ist sl_{n} die einfache Lie-Algebra zu der folgenden Cartan-Matrix:

a_{ij} = \{ \begin{matrix}2 & für & i = j, \\ 0 & für & |i − j| > 1, \\ −1 & für & |i − j| = 1 \end{matrix}

für i, j = 1, …, n − 1. Die universelle Einhüllende U(sl_{n}) hat die Erzeugenden E_{i}, F_{i} und H_{i}, i ∈ {1, …, n − 1}, die die Relationen

H_{i}H_{j} = H_{j}H_{i}  (2.1)
H_{i}E_{j} − E_{j}H_{i} = a_{ij}E_{j},  (2.2)
H_{i}F_{j} − F_{j}H_{i} = −a_{ij}F_{j},  (2.3)
E_{i}F_{j} − F_{j}E_{i} = δ_{ij}H_{i}  (2.4)
E_{i}E_{j} = E_{j}E_{i}, F_{i}F_{j} = F_{j}F_{i} für a_{ij} = 0,  (2.5)

und die Serre-Relationen

\begin{matrix}E_{i}^{2}E_{j} − 2E_{i}E_{j}E_{i} + E_{j}E_{i}^{2} = 0 \\ F_{i}^{2}F_{j} − 2F_{i}F_{j}F_{i} + F_{j}F_{i}^{2} = 0 \end{matrix}  \} für a_{ij} = −1  (2.6)

erfüllen.

Nun definieren wir U_{q}(sl_{n}) als Deformation der universellen Einhüllenden U(sl_{n}) (vgl. [8]).

Definition 2.1 Wir erklären die Quantengruppe U_{q}(sl_{n}) als die k-Algebra, die durch E_{i}, F_{i}, K_{i}, K_{i}^{−1} für i ∈ {1, …, n − 1} erzeugt wird mit den Relationen:

K_{i}K_{i}^{−1} = K_{i}^{−1}K_{i} = 1,  (2.7)
K_{i}K_{j} = K_{j}K_{i},  (2.8)
K_{i}E_{j} = q^{a_{ij}}E_{j}K_{i},  (2.9)
K_{i}F_{j} = q^{−a_{ij}}F_{j}K_{i},  (2.10)
E_{i}F_{j} − F_{j}E_{i} = δ_{i,j} \frac{K_{i} − K_{i}^{−1}}{q − q^{−1}}  (2.11)

und den deformierten Serre-Relationen:

\begin{matrix}E_{i}E_{j} = E_{j}E_{i} \\ F_{i}F_{j} = F_{j}F_{i} \end{matrix}  \} für a_{ij} = 0  (2.12)
\begin{matrix}E_{i}^{2}E_{j} − [2]E_{i}E_{j}E_{i} + E_{j}E_{i}^{2} = 0 \\ F_{i}^{2}F_{j} − [2]F_{i}F_{j}F_{i} + F_{j}F_{i}^{2} = 0 \end{matrix}  \} für a_{ij} = −1.  (2.13)

Im folgenden Satz sehen wir, daß U_{q}(sl_{n}) eine Hopf-Algebra-Struktur besitzt.

Satz 2.2 Auf U_{q}(sl_{n}) lassen sich ein Koprodukt Δ, eine Koeins ε und eine Antipode S einführen, mit denen U_{q}(sl_{n}) eine Hopf-Algebra wird.

Δ(E_{i}) = E_{i} ⊗ 1 + K_{i} ⊗ E_{i},  (2.14)
Δ(F_{i}) = 1 ⊗ F_{i} + F_{i} ⊗ K_{i}^{−1},  (2.15)
Δ(K_{i}^{±}) = (K_{i}^{±}) ⊗ (K_{i}^{±}),  (2.16)
ε(E_{i}) = ε(F_{i}) = 0, ε(K_{i}^{±}) = 1,  (2.17)
S(E_{i}) = −K_{i}^{−1}E_{i}, S(F_{i}) = −F_{i}K_{i}, S(K_{i}^{±}) = K_{i}^{±}.  (2.18)

Beweis. Zum Beweis hat man nachzurechnen, daß die Vorschrift von Δ mit den Algebra-Relationen verträglich ist, daß Δ koassoziativ ist, ε und S das Koeinsaxiom bzw. das Antipodenaxiom erfüllen. □

Wie für U_{q}(sl_{2}) definieren wir auch für U_{q}(sl_{n}) induktiv Δ^{(m)} : U_{q}(sl_{n}) ⟶ U_{q}(sl_{n})^{⊗(m+1)} gemäß

Δ^{(1)} = Δ und Δ^{(m)} = (Δ ⊗ id_{U_{q}(sl_{n})^{⊗(m−1)}})Δ^{(m−1)}.  (2.19)

Ausgehend davon können wir Δ^{(m)} auf den Erzeugenden von U_{q}(sl_{n}) finden:

Δ^{(m)}(E_{i}) = ∑_{r=1}^{m+1} K_{i} ⊗ ⋯ ⊗ K_{i} ⊗ \underbrace{E_{i}}_{r−te Stelle} ⊗1 ⊗ ⋯ ⊗ 1,  (2.20)

Δ^{(m)}(F_{i}) = ∑_{r=1}^{m+1} 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ \underbrace{F_{i}}_{r-te Stelle} ⊗K_{i}^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ K_{i}^{−1},  (2.21)
Δ^{(m)}(K_{i}) = K_{i}^{m} ⊗ K_{i}^{m}  (2.22)

für i ∈ {1, …, n − 1}.

Satz 2.3 Seien U_{q}^{+}(sl_{n}) (U_{q}^{−}(sl_{n}) bzw. U_{q}^{0}(sl_{n})) die Unteralgebren von U_{q}(sl_{n}), die von allen E_{i} (allen F_{i} bzw. allen K_{i}) für i = 1, …, n−1 erzeugt werden. Dann liefert die Multiplikation einen Isomorphismus von k-Vektorräumen:

U_{q}^{−}(sl_{n}) ⊗ U_{q}^{0}(sl_{n}) ⊗ U_{q}^{+}(sl_{n}) ≅ U_{q}(sl_{n})
u^{−} ⊗ u^{0} ⊗ u^{+} ↦ u^{−}u^{0}u^{+}

für u^{−} ∈ U_{q}^{−}(sl_{n}), u^{0} ∈ U_{q}^{0}(sl_{n}), u^{+} ∈ U_{q}^{+}(sl_{n}).

Beweis. Siehe Jantzen [8], Theorem 4.21. □

Wir benötigen einige Bemerkungen über die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{n}). Für weitere Informationen über die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{n}) siehe [8]. Falls q keine Einheitswurzel ist, verläuft die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{n}) parallel zur Darstellungstheorie von sl_{n}; deswegen erhält man alle irreduziblen Darstellungen von U_{q}(sl_{n}) durch geeignete Deformation aus den irreduziblen Darstellungen von sl_{n}. Sei V ein U_{q}(sl_{n})-Modul. Ist λ = (λ_{1}, …, λ_{n}) ∈ k^{n}, so definieren wir V_{λ} = {v ∈ V, K_{i}v = λ_{i}v für alle i}. Ist V_{λ} ≠ 0, so nennt man λ Gewicht von V und V_{λ} Eigenraum. Es gilt E_{i}V_{η} ⊂ V_{μ} mit η < μ und F_{i}V_{η} ⊂ V_{ν} mit ν < η für alle i. Ein Vektor v ∈ V_{λ}/{0} heißt primitiv vom Gewicht λ, wenn K_{i}v = λ_{i}v und E_{i}v = 0 sind für alle i.

Ein Höchstgewichtsmodul von U_{q}(sl_{n}) ist ein U_{q}(sl_{n})-Modul V, der einen primitiven Vektor v enthält, so daß V = U_{q}(sl_{n})v ist. Falls v ∈ V_{λ} ist, dann gilt V = ⊕_{λ′≤λ} V_{λ′} und dim V_{λ} = 1. Man

nennt λ Höchstgewicht von V und v Höchstgewichtsvektor. Jeder endlich-dimensionale U_{q}(sl_{n})-Modul besitzt mindestens einen Höchstgewichtsvektor.

Definition 2.4 Ein zerfallender U_{q}(sl_{n})-Modul V heißt integrierbar, wenn für jedes v ∈ V ein m existiert, so daß E_{i}^{m}v = F_{i}^{m}v = 0 für alle i ∈ {1, …, n − 1} ist.

2.2 Die Zopfgruppenoperation auf U_{q}(sl_{n})

Ziel dieses Abschnitts ist die Konstruktion von Algebra-Automorphismen auf U_{q}(sl_{n}), die die Zopfgruppenrelationen erfüllen. Wir erreichen dies in drei Schritten. Im ersten Schritt geben wir die Operation von U_{q}(sl_{n}) auf einer geeigneten Algebra an, dem sogennanten ndimensionalen Quantenraum. Im zweiten Schritt verwenden wir bestimmte Operatoren auf dem n-dimensionalen Quantenraum, um im dritten Schritt die gesuchten Automorphismen zu konstruieren.

Erster Schritt:

Definition 2.5 Sei k{x_{1}, …, x_{n}} die freie Algebra über k in n Unbestimmten {x_{1}, …, x_{n}}. Sei I_{q} das zweiseitige Ideal in k{x_{1}, …, x_{n}}, das von den Relationen x_{i}x_{j} = qx_{j}x_{i} für alle i, j ∈ {1, … n} mit i < j erzeugt wird. Wir definieren den n-dimensionalen Quantenraum als die Quotienten-Algebra:

k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] := k{x_{1}, …, x_{n}}/⟨x_{j}x_{i} − qx_{i}x_{j}; j > i⟩.

Der n-dimensionale Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ist graduiert, so daß die Erzeugenden x_{1}, …, x_{n} vom Grad 1 sind. Das Ideal I_{q} wird von den homogenen Elementen vom Grad 2 erzeugt. Wäre q = 1, ergäbe sich der Polynomring k[x_{1}, …, x_{n}].

Satz 2.6 Die Algebra k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ist ein k-Vektorraum mit der Basis {x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}, s_{i} ∈ ℕ_{0}, ∀i}.

Beweis. Man kann zeigen, daß die Ore-Erweiterung k[x_{1}][x_{2}; α_{2}; 0] … [x_{n}, α_{n}; 0] und k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] zueinander isomorph sind. Dabei sind α_{i} für alle i = 1, …, n die folgendermaßen definierten Endomorphismen:

α_{1} = 0 und α_{i}(x_{j}) = qx_{j} für j < i, i > 1.

Nach [11], Theorem I.7.1, ist durch die Monome {x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}; s_{i} ∈ ℕ_{0}, ∀i} eine Basis von k[x_{1}][x_{2}; α_{2}; 0] … [x_{n}, α_{n}; 0] gegeben. □

Nun werden wir die Operation von U_{q}(sl_{n}) auf k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] konstruieren. Zunächst definieren wir die fundamentale Darstellung von U_{q}(sl_{n}) auf span{x_{1}, …, x_{n}}. Zur Motivitation betrachten wir die fundamentale Darstellungen von sl_{n} in (0.20). Durch geeignete Deformation dieser Darstellung können wir eine Darstellung von U_{q}(sl_{n}) auf span{x_{1}, …, x_{n}} wie folgt schreiben:

ρ : U_{q}(sl_{n}) ⟶ Mat(n, k)
E_{i} ↦ e_{i+1,i},
F_{i} ↦ e_{i,i+1},  (2.23)
K_{i} ↦ e_{1,1} + ⋯ + e_{i−1,i−1} + q^{−1}e_{i,i} + qe_{i+1,i+1} + e_{i+2,i+2} + ⋯ + e_{n,n}.

Satz 2.7 Es gibt genau eine Struktur einer U_{q}(sl_{n})-Modul-Algebra auf k_{q}[x_{1}, …, x_{n}], die auf dem Vektorraum span{x_{1}, …, x_{n}} genauso wirkt wie 2.23, d.h.

E_{i}x_{j} = \{ \begin{matrix}x_{i+1} & , & i = j, \\ 0 & , & i ≠ j, \end{matrix}
F_{i}x_{j} = \{ \begin{matrix}x_{i} & , & i = j, \\ 0 & , & i ≠ j, \end{matrix}

K_{i}x_{j} = \{ \begin{matrix}q^{−1}x_{j} & , & i = j, \\ qx_{j} & , & i + 1 ≠ j, \\ x_{j} & , & j ≠ i und j ≠ i + 1. \end{matrix}

Beweis. Die Aussage, daß k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] eine U_{q}(sl_{n})-Algebra ist, besagt:

E_{i}(P Q) = (E_{i}P)Q + (K_{i}P)(E_{i}Q),
F_{i}(P Q) = (F_{i}P)(K_{i}^{−1}Q) + P (F_{i}Q),  (2.24)
K_{i}(P Q) = (K_{i}P)(K_{i}Q)

für alle P, Q ∈ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] und i ∈ {1, …, n}. Die Algebra k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ist ein freier k-Vektorraum mit der Basis {x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}; s_{i} ∈ ℕ_{0} für alle i}. Die angegebenen Daten in 2.24 sagen, wie E_{i}, F_{i} und K_{i} auf den Basiselementen operieren müssen. Wir definieren die Operation demgemäß durch:

E_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}) = [s_{i}]x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{(s_{i}−1)}x_{i+1}^{(s_{i+1}+1)} … x_{n}^{s_{n}},
F_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}) = [s_{i+1}]x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{(s_{i}+1)}x_{i+1}^{(s_{i+1}−1)} … x_{n}^{s_{n}},  (2.25)
K_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}) = q^{(s_{i+1}−s_{i})}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}.

Darin ist x_{i}^{−1} = 0 für alle i ∈ {1, …, n} zu setzen. Nun zeigen wir, daß mit Fortsetzungen k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ein U_{q}(sl_{n})-Modul ist. Es gilt für |i − j| > 1:

K_{i}E_{j}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}) = [s_{j}]q^{s_{i+1}−s_{i}}x_{1}^{s_{1}} … x_{j}^{s_{j}−1}x_{j+1}^{s_{j+1}+1} … x_{n}^{m_{n}}
= q^{a_{ij}}E_{j}K_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}).

Analog verifiziert man die anderen Relationen. Damit ist die U_{q}(sl_{n})-Modul-Struktur gegeben. Um zu zeigen, daß k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] eine U_{q}(sl_{n})-Algebra ist, müssen die Relationen 2.24 nachgewiesen werden:

E_{i}((x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}})(x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}}))
= q^{∑_{l=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−l} m_{l}s_{n−j+1}}E_{i}(x_{1}^{s_{1}+m_{1}} … x_{n}^{s_{n}+m_{n}})
= q^{∑_{l=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−l} m_{l}s_{n−j+1}}[s_{i} + m_{i}]x_{1}^{s_{1}+m_{1}} … x_{i}^{s_{i}+m_{i}−1}x_{i+1}^{s_{i+1}+m_{i+1}+1} … x_{n}^{s_{n}+m_{n}}.

Nun ist:

E_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}})(x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}}) + K_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}})E_{i}(x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}})

= [s_{i}]x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}−1}x_{i+1}^{s_{i+1}+1} … x_{n}^{s_{n}})(x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}})
+ [m_{i}]q^{s_{i+1}−s_{i}}(x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}})(x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i}−1}x_{i+1}^{m_{i+1}+1} … x_{n}^{m_{n}}
= q^{∑_{l=1}^{n−1} ∑_{j=1}^{n−l} m_{l}s_{n−j+1}}[s_{i} + m_{i}]x_{1}^{s_{1}+m_{1}} … x_{i}^{s_{i}+m_{i}−1}x_{i+1}^{s_{i+1}+m_{i+1}+1} … x_{n}^{s_{n}+m_{n}}.

Analog verifiziert man die anderen Relationen. □

Genauso wie in Kapitel 1 können wir beweisen, daß k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]_{m} zu einer q-symmetrischen Algebra isomorph ist, die auf kanonische Weise eine U_{q}(sl_{n})-Modul-Algebra ist. Für weiteres siehe Anhang B.

Satz 2.8 Der Unterraum M := k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]_{m} mit der Basis {x_{1}^{s_{1}} ⋯ x_{n}^{s_{n}}; s_{1} + ⋯ + s_{n} = m} ist ein U_{q}(sl_{n})-Modul; d.h. M = ⨁ ; ∑_{i=1}^{n} s_{i}=m⟨x_{1}^{s_{1}} ⋯ x_{n}^{s_{n}}⟩. Man bemerkt, daß verschiedene Tupel

(s_{1}, …, s_{n}) mit ∑_{i=1}^{n} s_{i} = m zu verschiedenen Gewichten führen. Also hat jeder Eigenraum in M die Dimension 1 und wird von x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}} erzeugt.

Der Unterraum M ist ein einfacher endlich-dimensionaler U_{q}(sl_{n})-Modul mit dem eindeutig bestimmten höchsten Gewichtsvektor x_{n}^{m}. □

Zweiter Schritt:

Im folgenden werden wir die Symmetrien T_{i} und T_{i}^{−1} für i = {1, …, n − 1} auf dem Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] definieren. Für jedes i betrachten wir die Unteralgebra U_{q}(sl_{n})_{i} von U_{q}(sl_{n}), die von E_{i}, F_{i}, K_{i} und K_{i}^{−1} erzeugt wird. Es gilt U_{q}(sl_{n})_{i} ≅ U_{q}(sl_{2}). Jeder endlichdimensionale U_{q}(sl_{n})-Modul besitzt eine Zerlegung in irreduzible U_{q}(sl_{n})_{i}-Untermoduln. Wir betrachten den U_{q}(sl_{n})-Modul M := k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]_{m}. Dann besitzt M eine Zerlegung in irreduzible U_{q}(sl_{n})_{i}-Moduln wie folgt:

M = ⨁_{{m_{1},...,m_{i−1}, \atop m_{i+2},...,mn}}M_{m_{1},...,m_{i−1},m_{i+2},...,m_{n}}^{i}

mit:

M_{m_{1},...,m_{i−1},m_{i+2},...,m_{n}}^{i} = ⨁_{{r,s \atop r+s=m′}} ⟨x_{1}^{m_{1}} ⋯ x_{i−1}^{m_{i−1}}x_{i}^{r}x_{i+1}^{s}x_{i+2}^{m_{i+2}} ⋯ x_{n}^{m_{n}}⟩,

wobei m′ := m − ∑_{{j=1, \atop j≠i,i+1}} m_{j} ist. Der U_{q}(sl_{n})-Untermodul M_{m_{1},...,m_{i−1},m_{i+2},...,m_{n}}^{i} ist U_{q}(sl_{n})_{i}-

stabil und somit ein U_{q}(sl_{n})_{i}-Untermodul. Um die Wirkung der Symmetrien T_{i}, T_{i}^{−1} für jedes i ∈ {1, …, n−1} auf M zu definieren, reicht es, die Wirkung von T_{i}, T_{i}^{−1} auf den Komponenten M_{m_{1},...,m_{i−1},m_{i+2},...,m_{n}}^{i} von M nachzurechnen. Also definieren wir T_{i} so, daß T_{i} auf x_{i} und x_{i+1} so operiert wie T auf x und y im ersten Kapitel, und auf den übrigen Elementen als Identität operiert. Das führt uns auf

Definition 2.9 Seien T_{i}, T_{i}^{−1} : k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] auf den Basiselementen erklärt gemäß:

T_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}) = (−1)^{s_{i}}q^{s_{i}(s_{i+1}+1)}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i+1}}x_{i+1}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}},  (2.26)
T_{i}^{−1}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}) = (−1)^{s_{i+1}}q^{−s_{i+1}(s_{i}+1)}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i+1}}x_{i+1}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}.  (2.27)

Offensichtlich sind die Abbildungen T_{i}, T_{i}^{−1} invers zueinander.

Satz 2.10 Die Operatoren T_{i} und T_{i}^{−1} erfüllen die Zopfrelationen vom Artin-Typ:

T_{i}T_{j} = T_{j}T_{i} für |i − j| > 1
T_{i}T_{j}T_{i} = T_{j}T_{i}T_{j} für |i − j| = 1.

Also liefern sie eine Darstellung der Zopfgruppe Z_{n} auf k_{q}[x_{1}, …, x_{n}].

Beweis. Für |i − j| > 1 ist die Behauptung klar. Nun untersuchen wir den Fall |i − j| = 1:

T_{i}T_{i+1}T_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}) = T_{i}T_{i+1}((−1)^{s_{i}}q^{s_{i}(s_{i+1}+1)}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i+1}}x_{i+1}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}})
= (−1)^{2s_{i}+s_{i+1}}q^{s_{i}(s_{i+1}+1)+s_{i}(s_{i+2}+1)+s_{i+1}(s_{i+2}+1)}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i+2}}x_{i+1}^{s_{i+1}}x_{i+2}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}}
= T_{i+1}T_{i}T_{i+1}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}).

□

Damit haben wir die Stelle erreicht, wo wir das Hauptresultat dieses Abschnittes formulieren können. Wie in der Einleitung angesprochen, sind wir nicht in der Lage, die Eindeutigkeit der Darstellung von U_{q}(sl_{n}), n ≥ 3, auf dem Quantenraum nachzuweisen. Wir vermuten aber, daß dies richtig ist. Der Deutlichkeit halber halten wir dies ausdrücklich fest:

Vermutung: Die Darstellung von U_{q}(sl_{n}) auf dem Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ist eindeutig.

Satz 2.11 Für jedes u ∈ U_{q}(sl_{n}) sei l_{u} : k_{q}[x_{1}, … x_{n}] ⟶ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] die Linkstranslation mit u. Dann gilt unter der Annahme, daß die vorausgehende Vermutung richtig ist, folgendes:

Es gibt ein eindeutig bestimmtes Element T_{i}(u) ∈ U_{q}(sl_{n}), so daß T_{i}l_{u}T_{i}^{−1} die Linkstranslation mit T_{i}(u) ist und das folgende Diagramm kommutativ ist:

k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ⟶^{l_{u}} k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]
T_{i} ↓  ↓ T_{i}
k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ⟶^{l_{T_{i}(u)}} k_{q}[x_{1}, …, x_{n}],

und T_{i} : U_{q}(sl_{n}) ⟶ U_{q}(sl_{n}), u ⟼ T_{i}(u), ein Algebra-Automorphismus ist. Diese Automorphismen haben auf den Erzeugenden von U_{q}(sl_{n}) die folgenden Werte:

T_{i}(E_{j}) = \{ \begin{matrix}−K_{i}F_{i} ; & i = j \\ E_{j} ; & |i − j| > 1 \\ E_{j}E_{i} − qE_{i}E_{j} ; & |i − j| = 1 \end{matrix}

T_{i}(F_{j}) = \{ \begin{matrix}−E_{i}K_{i}^{−1} ; & i = j \\ F_{j} ; & |i − j| > 1 \\ F_{i}F_{j} − q^{−1}F_{j}F_{i} ; & |i − j| = 1 \end{matrix}

T_{i}(K_{j}^{±}) = \{ \begin{matrix}K_{i}^{∓} ; & i = j \\ K_{j}^{±} ; & |i − j| > 1 \\ K_{i}^{±}K_{j}^{±} ; & |i − j| = 1. \end{matrix}

Beweis. Falls T_{i}l_{u_{1}}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(u_{1})} und T_{i}l_{u_{2}}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(u_{2})} gilt für beliebige u_{1}, u_{2} ∈ U_{q}(sl_{n}), dann ist leicht zu zeigen, daß für a_{1}, a_{2} ∈ k, T_{i}l_{(a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})}T_{i}^{−1} = l_{a_{1}T_{i}(u_{1})}+l_{a_{2}T_{i}(u_{2})}, und T_{i}l_{u_{1}u_{2}}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(u_{1})}l_{T_{i}(u_{2})} ist. Also genügt es, die Gleichung T_{i}l_{u}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(u)} auf den Erzeugenden der Algebra U_{q}(sl_{n}) nachzuweisen.

Für E_{j} haben wir im Falle i = j:

T_{i}l_{E_{i}}T_{i}^{−1}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}})
= T_{i}l_{E_{i}}((−1)^{(s_{i+1})}q^{−s_{i+1}(s_{i}+1)}x_{1}^{s_{1}}, … x_{i}^{s_{i+1}}x_{i+1}^{s_{i}} … x_{n}^{s_{n}})
= T_{i}((−1)^{s_{i+1}}q^{−s_{i+1}(s_{i}+1)}[s_{i+1}]x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{(s_{i+1}−1)}x_{i+1}^{s_{i}+1} … x_{n}^{s_{n}})
= (−1)^{s_{i+1}}[s_{i+1}]q^{−s_{i+1}(s_{i}+1)}(−1)^{s_{i+1}−1}q^{(s_{i+1}−1)(s_{i}+2)}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{s_{i}+1}x_{i+1}^{s_{i+1}−1} … x_{n}^{s_{n}}
= −[s_{i+1}]q^{(s_{i+1}−s_{i})}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{(s_{i}+1)}x_{i+1}^{(s_{i+1}−1)} … x_{n}^{s_{n}}
= −F_{i}K_{i}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}).

Sei |i − j| > 1. O.B.d.A. können wir i < j annehmen:

T_{i}l_{E_{j}}T_{i}^{−1}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}) = [s_{j}]x_{1}^{s_{1}} … x_{j}^{(s_{j}−1)}x_{j+1}^{(s_{j+1}+1)} … x_{n}^{s_{n}}
= E_{j}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}).

Für j = i + 1 ist:

T_{i}l_{E_{i+1}}T_{i}^{−1}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}) = [s_{i}]q^{(−s_{i+1})}x_{1}^{s_{1}} … x_{i}^{(s_{i}−1)}x_{i+1}^{(s_{i+1})}x_{i+2}^{(s_{i+2}+1)} … x_{n}^{s_{n}}
= (E_{i+1}E_{i} − qE_{i}E_{i+1})(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}).

Entsprechend geht man bei den anderen Erzeugenden F_{j}, K_{j} vor. □

Wir notieren eine einfache Folgerung 2.12 Für jedes P ∈ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] und u ∈ U_{q}(sl_{n}) gilt T_{i}(uP) = T_{i}(u)T_{i}(P). □

Der folgende Satz zeigt, daß die Überschrift dieses Kapitels gerechtfertigt ist.

Satz 2.13 Unter der Annahme, daß die obige Vermutung richtig ist, erfüllen die Abbildungen T_{i}, i = 1, …, n, als Algebra-Automorphismen über U_{q}(sl_{n}) die Zopfrelationen vom Artinschen Typ:

T_{i}T_{j}T_{i} = T_{j}T_{i}T_{j} für i, j mit a_{ij} = −1,
T_{i}T_{j} = T_{j}T_{i} für i, j mit a_{ij} = 0.

Beweis. Seien u ∈ U_{q}(sl_{n}), u_{1} = T_{i}T_{j}T_{i}(u) und u_{2} = T_{j}T_{i}T_{j}(u). Dann sieht man mittels Satz 2.10 und der letzten Folgerung, daß für P ∈ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] gilt:

u_{1}((T_{j}T_{i}T_{j})P) = u_{1}((T_{i}T_{j}T_{i})P)
= T_{i}T_{j}T_{i}(uP)
= T_{j}T_{i}T_{j}(uP)
= u_{2}((T_{j}T_{i}T_{j})P).

Aus der Eindeutigkeit folgt u_{1} = u_{2}. □

Da die Operatoren T_{i} die Zopfrelationen erfüllen, kann man für jedes w ∈ W die Operatoren T_{w} sinnvoll definieren; d.h. wir können für jedes w ∈ W lineare Operatoren T_{w} auf dem U_{q}(sl_{n})-Modul k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] und Algebra-Automorphismen T_{w} der Algebra U_{q}(sl_{n}) wie folgt definieren (vgl. [8]):

Für w = 1 nehmen wir die Identität, d.h. T_{w} = 1. Sei w ≠ 1. Wir wählen eine reduzierte Form von w = s_{i_{1}} … s_{i_{m}} und setzen T_{w} = T_{s_{i_{1}}} … T_{s_{im}}, wobei T_{s_{i}} = T_{i}, i ∈ {1, …, n}, bedeutet. Falls w, w′ ∈ W mit l(ww′) = l(w) + l(w′) ist, erhält man die reduzierte Form von ww′ einfach durch Nebeneinandersetzen von w und w′. Das bedeutet, daß T_{ww′} = T_{w}T_{w′} ist, falls l(ww′) = l(w) + l(w′) ist.

Aus den Sätzen 2.10 und 2.13 und der Folgerung 2.12 folgt, daß die Abbildungen T_{w} als Operatoren auf dem Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] und als Algebra-Automorphismen auf U_{q}(sl_{n}) nicht abhängig von den reduzierten Formen sind. Daraus und aus Folgerung 2.12 erhalten wir sofort:

Folgerung 2.14 Für jedes u ∈ U_{q}(sl_{n}) und P ∈ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ist T_{w}(uP) = T_{w}(u)T_{w}(P). □

Bemerkung 2.15 Sei T_{w_{max}} := T_{1}T_{2} ⋯ T_{n−1}T_{1} ⋯ T_{n−2}T_{1} ⋯ T_{1}T_{2}T_{1}. Dann operiert das Element T_{max}^{2} auf k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] als Multiplikation mit einer skalaren Funktion:

T_{w_{max}}^{2}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}) = (−1)^{(n−1) ∑_{i=1}^{n} s_{i}} q^{∑_{i≠j}^{n} s_{i}(s_{j}+1)}(x_{1}^{s_{1}} … x_{n}^{s_{n}}).

Die Automorphismen T_{i} sind mit der Algebra-Struktur verträglich, aber im Gegensatz zum klassischen Fall sind die T_{i} nicht mit der Koalgebra-Struktur verträglich. Die Unverträglichkeit von T_{i} mit der Koalgebra-Struktur von U_{q}(sl_{n}) kann man mit Hilfe der folgenden Elemente korrigieren:

R_{i} := ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{−2})^{n}q^{n(n+1)/2}}{[n]_{q}!} F_{i}^{n} ⊗ E_{i}^{n}.

Satz 2.16 Für alle P, Q ∈ k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] und alle i = 1, …, n − 1 gilt:

1. T_{i}(P Q) = (T_{i} ⊗ T_{i})R_{i}(P ⊗ Q)

2. T_{i}^{−1}(P.Q) = R_{i}^{−1}(T_{i}^{−1} ⊗ T_{i}^{−1})(P ⊗ Q). Dabei ist

R_{i}^{−1} = ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{2})^{n}q^{−n(n+1)/2}}{[n]_{q}!} F_{i}^{n} ⊗ E_{i}^{n}.  (2.28)

Beweis. Für jedes i wirkt T_{i} auf x_{i}, x_{i+1} genau wie T auf x und y. Für alle anderen x_{j} ist T_{i} die Identität; deshalb folgt aus dem Beweis von Satz 1.14 die Behauptung. □ Aus dem letzten Satz folgt: Satz 2.17 Für jedes u ∈ U_{q}(sl_{n}) gilt die Relation

Δ(T_{i}(u)) = T_{i} ⊗ T_{i}(R_{i}Δ(u)R_{i}^{−1}).

im Operatorsinne auf k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]. □

Anhang B

Für V := k^{n} = span{e_{1}, …, e_{n}} betrachten wir die Abbildung R_{ρ} : V ⊗ V ⟶ V ⊗ V, so daß

R_{ρ} = q ∑_{i} e_{ii} ⊗ e_{ii} + ∑_{i≠j} e_{ij} ⊗ e_{ji} + (q − q^{−1}) ∑_{i<j} e_{jj} ⊗ e_{ii}  (B.1)

ist (siehe Takeuchi [22]).

Lemma B.1 Die Abbildung R_{ρ} : V ⊗ V ⟶ V ⊗ V ist ein U_{q}(sl_{n})-Modulhomomorphismus bezüglich der Darstellung ρ.

Beweis. Es genügt zu zeigen, daß R_{ρ}(u(e_{i} ⊗ e_{j})) = uR_{ρ}(e_{i} ⊗ e_{j}) auf den Erzeugenden u von U_{q}(sl_{n}) gilt. □

Lemma B.2 Die Abbildung R_{ρ} erfüllt die Gleichung (R_{ρ} − q)(R_{ρ} + q^{−1}) = 0, d.h. R_{ρ} hat zwei Eigenwerte q und −q^{−1} und erfüllt die YBG.

Sei I_{ρ} das Ideal in T (V), das von den Relationen

∑_{i,j=1}^{n}(R_{ρ} − q)_{ijml}e_{m}e_{l} = 0  (B.2)

für alle 1 ≤ l, m ≤ n erzeugt wird. Dabei ist (R_{ρ} − q)_{ijml} das Element an der jl-ten Position, das im im-ten Block liegt.

Man kann diese Gleichungen leicht nachrechnen und zeigen, daß I_{ρ} von den Relationen

e_{j}e_{i} − qe_{i}e_{j}, j > i,  (B.3)

erzeugt wird. Bezüglich der Darstellung ρ auf V := k^{n} kann man die q-symmetrische Algebra als den Quotienten

S_{q}(V) := T (V)/I_{ρ} = T (V)/⟨e_{j}e_{i} − qe_{i}e_{j}; j > i⟩

schreiben. Falls q = 1 ist, bekommen wir die symmetrische Algebra

S(V) := T (V)/⟨e_{j}e_{i} − e_{i}e_{j}⟩.

Satz B.3 Die q-symmetrische Algebra S_{q}(V) := T (V)/⟨e_{j}e_{i} − qe_{i}e_{j}; j > i⟩ ist eine U_{q}(sl_{n})- Modul-Algebra.

Beweis. Durch das Koprodukt ist T (V) eine U_{q}(sl_{n})-Modul-Algebra. Das Ideal I_{ρ} ist ein U_{q}(sl_{n})-Untermodul, da R_{ρ} ein U_{q}(sl_{n})-Modulhomomorphismus ist. Dann ist Ker(R_{ρ} − q) ein U_{q}(sl_{n})-Untermodul. Also ist der Quotient S_{q}(V) := T (V)/I_{ρ} eine U_{q}(sl_{n})-Modul-Algebra. □

Satz B.4 Sei ψ : k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ⟶ S_{q}(V) gegeben durch x_{i} ↦ e_{i} für alle i. Dann ist ψ ein U_{q}(sl_{n})- Modul-Isomorphismus. □

Aus den letzten Sätzen erhalten wir:

Folgerung B.5 Der Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ist eine U_{q}(sl_{n})- Modul-Algebra. □

Die Zopfgruppenoperation auf der Quantengruppe U_{q}(so_{5})

Das Ziel dieses Kapitels ist die Konstruktion von Zopfgruppenoperationen auf der Quantengruppe U_{q}(so_{5}). Wir beginnen mit der Definition von U_{q}(so_{5}). Im zweiten Abschnitt konstruieren wir die Operation von U_{q}(so_{5}) auf einer geeigneten Algebra, dem sogenannten 5dimensionalen orthogonalen Quantenraum. Dann verwenden wir bestimmte Operatoren auf diesem Quantenraum, um schließlich die gesuchten Automorphismen zu konstruieren. Diese Automorphismen erfüllen die Zopfgruppenrelationen.

3.1 Die Quantengruppe U_{q}(so_{5})

Wir betrachten zunächst die Lie-Algebra so_{5}, die zu der Cartan-Matrix

( \begin{matrix}2 & −1 \\ −2 & 2 \end{matrix} )

gehört. Mit d_{1} = 2 und d_{2} = 1 ist diese Cartan-Matrix symmetrisierbar. Im folgenden werden wir die Definition der Quantengruppe U_{q}(so_{5}) und einige ihrer Eigenschaften angeben. Man kann die Quantengruppe U_{q}(so_{5}) als Deformation der universellen Einhüllenden U(so_{5}) von so_{5} ansehen: Die Algebra U(so_{5}) wird erzeugt von E_{i}, F_{i} und H_{i}, i ∈ {1, 2}, und den Relationen

H_{i}H_{j} = H_{j}H_{i},  (3.1)
H_{i}E_{j} − E_{j}H_{i} = a_{ij}E_{j},  (3.2)
H_{i}F_{j} − F_{j}H_{i} = −a_{ij}F_{j},  (3.3)
E_{i}F_{j} − F_{j}E_{i} = δ_{ij}H_{i}  (3.4)

sowie den Serre-Relationen

\underbrace{[E_{i}, [E_{i}, …, [E_{i}}_{1−a_{ij}}, E_{j}]] …] = 0 für i ≠ j,  (3.5)
\underbrace{[F_{i}, [F_{i}, …, [F_{i}}_{1−a_{ij}}, F_{j}]] …] = 0 für i ≠ j,  (3.6)

(siehe Abschnitt 0.3). Nun definieren wir U_{q}(so_{5}) als Deformation von U(so_{5}).

Definition 3.1 Wir definieren die Quantengruppe U_{q}(so_{5}) als die k-Algebra, die von E_{i}, F_{i}, K_{i}, K_{i}^{−1}, i ∈ {1, 2}, mit den folgenden Relationen erzeugt wird:

K_{i}K_{i}^{−1} = K_{i}^{−1}K_{i} = 1 , K_{i}K_{j} = K_{j}K_{i},  (3.7)
K_{i}E_{j} = q_{i}^{a_{ij}}E_{j}K_{i} , K_{i}F_{j} = q_{i}^{−a_{ij}}F_{j}K_{i},  (3.8)
E_{i}F_{j} − F_{j}E_{i} = δ_{i,j} \frac{K_{i} − K_{i}^{−1}}{q_{i} − q_{i}^{−1}} ,  (3.9)

für i, j = 1, 2, sowie den deformierten Serre-Relationen:

E_{1}^{2}E_{2} − [2]_{q^{2}}E_{1}E_{2}E_{1} + E_{2}E_{1}^{2} = 0,  (3.10)
F_{1}^{2}F_{2} − [2]_{q^{2}}F_{1}F_{2}F_{1} + F_{2}F_{1}^{2} = 0,  (3.11)

E_{2}^{3}E_{1} − [3]_{q}E_{2}^{2}E_{1}E_{2} + [3]_{q}E_{2}E_{1}E_{2}^{2} − E_{1}E_{2}^{3} = 0,  (3.12)
F_{2}^{3}F_{1} − [3]_{q}F_{2}^{2}F_{1}F_{2} + [3]_{q}F_{2}F_{1}F_{2}^{2} − F_{1}F_{2}^{3} = 0,  (3.13)

wobei q_{i} := q^{d_{i}}, i = 1, 2 sind.

Bemerkung 3.2 Auf U_{q}(so_{5}) lassen sich ein Koprodukt Δ, eine Koeins ε und eine Antipode S einführen, mit denen U_{q}(so_{5}) zu einer Hopf-Algebra wird. Sie sind analog definiert zu den Formeln, die in Satz 2.2 angegeben sind.

Analog zu (2.19) definieren wir Δ^{(m)} : U ⟶ U^{⊗(m+1)} durch Induktion:

Δ^{(1)} = Δ und Δ^{(m)} = (Δ ⊗ id_{U^{⊗(m−1)}})Δ^{(m−1)}.

Auf den Erzeugenden von U_{q}(so_{5}) ist Δ^{(m)} analog zu (2.20), (2.21) und (2.22) gegeben.

Satz 3.3 Seien U_{q}^{+}(so_{5}) bzw. U_{q}^{−}(so_{5}) bzw. U_{q}^{0}(so_{5}) die Unteralgebren von U_{q}(so_{5}), die von E_{i} bzw. F_{i} bzw. K_{i} für i = 1, 2 erzeugt werden. Dann liefert die Multiplikation einen Isomorphismus von k-Vektorräumen:

U_{q}(so_{5}) ≅ U_{q}^{−}(so_{5}) ⊗ U_{q}^{0}(so_{5}) ⊗ U_{q}^{+}(so_{5}).

Beweis. Siehe Jantzen [8], Theorem 4.21. □

Die Bemerkungen über die Darstellungstheorie von U_{q}(sl_{n}) in Kapitel 2 gelten auch für U_{q}(so_{5}).

3.2 Die Zopfgruppenoperation auf U_{q}(so_{5})

Ziel dieses Abschnitts ist die Konstruktion von Algebra-Automorphismen auf U_{q}(so_{5}), die die Zopfgruppenrelation erfüllen. Wir gehen in drei Schritten vor: Zunächst konstruieren wir die Operation der Quantengruppe U_{q}(so_{5}) auf dem 5-dimensionalen orthogonalen Quantenraum K, dann konstruieren wir Symmetrien T_{1} und T_{2} auf diesem Quantenraum. Dadurch können wir Automorphismen T_{1} und T_{2} auf der Quantengruppe U_{q}(so_{5}) gewinnen.

Erster Schritt:

Wir werden hier den 5-dimensionalen orthogonalen Quantenraum K als die q-symmetrische Algebra vom orthogonalen Typ, die zu einer bestimmten R-Matrix gehört, definieren. Zunächst geben wir die fundamentale Darstellung von U_{q}(so_{5}) auf dem 5-dimensionalen k-Vektorraum V := k^{5}. Zur Motivation betrachten wir die fundamentale Darstellung von so_{5} in (0.23). Durch geeignete Deformation dieser Darstellung können wir die fundamentale Darstellung von U_{q}(so_{5}) auf V folgendermaßen schreiben:

ρ : U_{q}(so_{5}) ⟶ End(V) = M(5, k),
ρ(E_{1}) = e_{21} − e_{54}, ρ(E_{2}) = c_{q}(e_{32} − qe_{43}),  (3.14)
ρ(F_{1}) = e_{12} − e_{45}, ρ(F_{2}) = c_{q}(qe_{23} − e_{34}),  (3.15)
ρ(K_{1}) = q^{−2}e_{11} + q^{2}e_{22} + e_{33} + q^{2}e_{44} + q^{2}e_{55},  (3.16)
ρ(K_{2}) = e_{11} + q^{−2}e_{22} + e_{33} + q^{2}e_{44} + e_{55},  (3.17)

wobei c_{q} = (1 + q^{−2})^{\frac{1}{2}} ist. Auf V ⊗ V betrachten wir die Abbildung R_{ρ} : V ⊗ V ⟶ V ⊗ V, die wie folgt gegeben ist:

R_{ρ} = q^{2} ∑_{{i=1 \atop i≠i′}}^{5} e_{ii} ⊗ e_{ii} + q^{−2} ∑_{{i=1 \atop i≠i′}}^{5} e_{ii′} ⊗ e_{i′i}

+ ∑_{{i,j \atop i≠j,j′}} e_{ij} ⊗ e_{ji} + e_{33} ⊗ e_{33} + (q^{2} − q^{−2}) ∑_{i<j}(e_{jj} ⊗ e_{ii} − q^{2(\overline{i}−\overline{j})}e_{i′j} ⊗ e_{ij′}),

wobei i′ := 5 + 1 − i, j′ entsprechend und

\overline{i} = \{ \begin{matrix}i − 5/2 falls & i < i′ \\ 0 falls & i = i′ \\ i − 7/2 falls & i > i′ \end{matrix}

ist (siehe Takeuchi [22]). Mit langwierigen aber einfachen Rechnungen können die folgenden Lemmata bewiesen werden:

Lemma 3.4 Die Abbildung R_{ρ} : V ⊗ V ⟶ V ⊗ V ist ein U_{q}(so_{5})-Modulhomomorphismus bezüglich der Darstellung ρ ⊗ ρ auf V ⊗ V.

Lemma 3.5 Die Abbildung R_{ρ} erfüllt die Gleichung (R_{ρ} − q^{2})(R_{ρ} + q^{−2})(R_{ρ} − q^{−8}) = 0 und die Yang-Baxter-Gleichung.

Seien e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}, e_{5} die kanonische Basis von V = k^{5} und I_{R_{ρ}}^{+} das Ideal in der Tensoralgebra T (V), das von den Elementen

∑_{n,l=1}^{5} ((R_{ρ} − q^{2})(R_{ρ} − q^{−8}))_{ijnl}e_{n}e_{l},

für alle 1 ≤ i, j ≤ 5 erzeugt wird. Dabei ist ((R_{ρ} −q^{2})(R_{ρ} −q^{−8}))_{ijnl} der Eintrag an der jl-ten Position, das im in-ten Block liegt. Wir können diese Relationen ausrechnen:

e_{j}e_{i} = q^{2}e_{i}e_{j} falls i < j, i ≠ j′,  (3.18)
e_{4}e_{2} = e_{2}e_{4} + (q^{−1} − q)e_{3}^{2},  (3.19)
e_{5}e_{1} = e_{1}e_{5} + (q^{−2} − q^{2})e_{2}e_{4} + (q^{−3} − q^{−1})e_{3}^{2}.  (3.20)

Definition 3.6 Wir definieren die q-symmetrische Algebra vom orthogonalen Typ wie folgt:

S_{q}^{+}(V) := T (V)/I_{R_{ρ}}^{+}.

Wir definieren den 5-dimensionalen orthogonalen Quantenraum als die Quotienten-Algebra

K := k{x_{1}, …, x_{5}}/I_{q}^{+},

wobei I_{q}^{+} das Ideal ist, das von den folgenden Relationen erzeugt wird:

x_{j}x_{i} = q^{2}x_{i}x_{j} falls i < j, i ≠ j′  (3.21)
x_{4}x_{2} = x_{2}x_{4} + (q^{−1} − q)x_{3}^{2},  (3.22)
x_{5}x_{1} = x_{1}x_{5} + (q^{−2} − q^{2})x_{2}x_{4} + (q^{−3} − q^{−1})x_{3}^{2}.  (3.23)

Man kann leicht sehen, daß K ≅ S_{q}^{+}(V), x_{i} ↦ e_{i}, für i = 1, …, 5 ist.

Lemma 3.7 Die Monome {x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}| m_{i} ∈ ℕ_{0}} bilden eine Basis von K.

Beweis. Wir zeigen, daß die Algebra K zu der Ore-Erweiterung

k[x_{1}][x_{2}; α_{2}; δ_{2}][x_{3}; α_{3}; δ_{3}][x_{4}; α_{4}; δ_{4}][x_{5}; α_{5}; δ_{5}]

isomorph ist, wobei α_{i}, i = 1, …, 5, die Algebra-Endomorphismen sind, die wie folgt definiert sind: α_{1} = 0 und für i > j:

α_{i}(x_{j}) = \{ \begin{matrix}x_{j} falls & i = 4, j = 2 oder i = 5, j = 1, \\ q^{2}x_{j} & sonst. \end{matrix}

Die α_{i}-Derivation δ_{i} (i = 1, …, 5) ist wie folgt definiert: δ_{1} = 0 und für i > j :

δ_{i}(x_{j}) = \{ \begin{matrix}(q^{−1} − q)x_{3}^{2} falls & i = 4, j = 2, \\ (q^{−1} − q)x_{2}x_{4} + (q^{−3} − q^{−1})x_{3}^{2} falls & i = 5, j = 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Wir definieren den kanonischen Algebra-Homomorphismus

ϕ : k{x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}} ⟶ k[x_{1}][x_{2}; α_{2}; δ_{2}][x_{3}; α_{3}; δ_{3}][x_{4}; α_{4}; δ_{4}][x_{5}; α_{5}; δ_{5}]

durch ϕ(x_{i}) = x_{i} für alle i = 1, …, 5. Man kann nachrechnen, daß ϕ auf dem Ideal I_{q}^{+} verschwindet. Also induziert ϕ einen Algebra-Homomorphismus auf K, den wir ebenfalls ϕ nennen wollen. Die Abbildung ϕ ist surjektiv, da auch die Ore-Erweiterung von x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5} erzeugt wird. Es genügt zu zeigen, daß es eine lineare Abbildung ψ

ψ : k[x_{1}][x_{2}; α_{2}; δ_{2}][x_{3}; α_{3}; δ_{3}][x_{4}; α_{4}; δ_{4}][x_{5}; α_{5}; δ_{5}] ⟶ K

gibt, so daß ψ ∘ ϕ = id ist.

Wir definieren ψ auf den Basiselementen {x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}|m_{i} ∈ ℕ} der Ore-Erweiterung durch ψ(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}. Daraus folgt die Behauptung. □

Satz 3.8 Der Quantenraum K ist eine U_{q}(so_{5})-Modul-Algebra.

Beweis. Wegen der Isomorphie K ≅ S_{q}^{+}(V) reicht es zu zeigen, daß S_{q}^{+}(V) eine U_{q}(so_{5})- Modul-Algebra ist. Durch das Koprodukt ist T (V) eine U_{q}(so_{5})-Modul-Algebra, da R_{ρ} ein U_{q}(so_{5})-Modulhomomorphismus ist; deshalb ist auch (R_{ρ} − q)(R_{ρ} − q^{−4}) ein U_{q}(so_{5})- Modulhomomorphismus. Also ist der Quotient S_{q}^{+}(V) := T (V)/I_{R_{ρ}}^{+} eine U_{q}(so_{5})-Modul-Algebra. □

Dieser Satz ermöglicht es, die Operationen der Erzeugenden von U_{q}(so_{5}) auf den Basiselementen von K nachzurechnen. Wir führen diese Rechnungen nur für E_{1} explizit aus. Mit m := m_{1} + ⋯ + m_{5} erhalten wir:

E_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})

= Δ^{(m−1)}(E_{1})(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= ∑_{l=1}^{m}(K_{1} ⊗ ⋯ ⊗ K_{1} ⊗ \underbrace{E_{1}}_{l-te Stelle} ⊗1 ⊗ ⋯ ⊗ 1)(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})

= ∑_{l=1}^{m_{1}} q^{−2(l−1)}x_{1}^{l−1}x_{2}x_{1}^{m_{1}−l}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}

− ∑_{l=m_{1}+m_{2}+m_{3}+1}^{m−m_{5}} q^{−2m_{1}+2m_{2}−2(l−1)}x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{l−m_{1}−m_{2}−m_{3}−1}x_{5}x_{4}^{m_{4}−l+m_{1}+m_{2}+m_{3}}x_{5}^{m_{5}}

= q^{2m_{1}+2} ∑_{l=1}^{m_{1}} q^{−4l}x_{1}^{m_{1}−1}x_{2}^{m_{2}+1}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}

− q^{−2m_{1}+2m_{2}+2m_{4}−2} ∑_{s=0}^{m_{4}−1} q^{−4s}x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}−1}x_{5}^{m_{5}+1}

= [m_{1}]_{q^{2}} x_{1}^{m_{1}−1}x_{2}^{m_{2}+1}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}

− q^{−2m_{1}+2m_{2}}[m_{4}]_{q^{2}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}−1}x_{5}^{m_{5}+1}.

Entsprechend rechnet man die Operationen von E_{2}, F_{1}, F_{2}, K_{1} und K_{2} nach und erhält insgesamt:

E_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = q^{−2m_{1}+2}(m_{1})_{q^{4}} x_{1}^{m_{1}−1}x_{2}^{m_{2}+1}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}
−q^{−2m_{1}+2m_{2}−2m_{4}+2}(m_{4})_{q^{4}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}−1}x_{5}^{m_{5}+1},
E_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = q^{−2m_{2}+2}c_{q}(m_{2})_{q^{4}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}−1}x_{3}^{m_{3}+1}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}
−q^{−2m_{2}+1}c_{q}(m_{3})_{q^{2}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}−1}x_{4}^{m_{4}+1}x_{5}^{m_{5}},
F_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = q^{2m_{4}−2m_{5}−2m_{2}+2}(m_{2})_{q^{4}} x_{1}^{m_{1}+1}x_{2}^{m_{2}−1}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}
−q^{−2m_{5}+2}(m_{5})_{q^{4}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}+1}x_{5}^{m_{5}−1},
F_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = −q^{−2m_{4}+2}c_{q}(m_{4})_{q^{4}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}+1}x_{4}^{m_{4}−1}x_{5}^{m_{5}}
+q^{−2m_{4}+1}c_{q}(m_{3})_{q^{2}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}+1}x_{3}^{m_{3}−1}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}},
K_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = q^{−2m_{1}+2m_{2}−2m_{4}+2m_{5}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}},
K_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = q^{−2m_{2}+2m_{4}} x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}.

Darin ist x_{i}^{−1} = 0 für alle i ∈ {1, …, 5} zu setzen.

Der Unterraum K_{m} ⊂ K mit der Basis {x_{1}^{m_{1}} … x_{5}^{m_{5}}| ∑_{i=1}^{5} m_{i} = m} ist ein U_{q}(so_{5})-Untermodul. Man bemerkt, daß verschiedene Tupel (m_{1}, …, m_{5}) mit ∑_{i=1}^{5} m_{i} = m zu verschiedenen Gewichten führen. Also hat jeder Eigenraum in K_{m} die Dimension 1 und wird von x_{1}^{m_{1}} … x_{5}^{m_{5}} aufgespannt, d.h.

K_{m} = ⊕_{{m_{1},...,m_{5} \atop m_{1}+···+m_{5}=m}}⟨x_{1}^{m_{1}} … x_{5}^{m_{5}}⟩.

Im weiteren werden wir die Symmetrien T_{i} und T_{i}^{−1}, i = 1, 2, auf dem Quantenraum K definieren. Dafür benutzen wir die Operation von deformierten Versionen der Weyl-Elemente s̃_{1} und s̃_{2} für die Lie-Algebra so_{5} aus Abschnitt 0.3. Diese deformierten Weyl-Elemente T_{1}, T_{2} sind in Matrizenform wie folgt gegeben:

\begin{matrix}T_{1} =( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ −q^{2} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & q^{2} & 0 \end{matrix} ), & T_{1}^{−1} =( \begin{matrix}0 & −q^{−2} & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & q^{−2} \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \end{matrix} ), \\ T_{2} =( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & −q^{2} & 0 & 0 \\ 0 & −q^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ). & T_{2}^{−1} =( \begin{matrix}1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −q^{−2} & 0 \\ 0 & 0 & −q^{−2} & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} ), \end{matrix}

Für jedes i = 1, 2 betrachten wir die Unteralgebra U_{q}(so_{5})_{i} von U_{q}(so_{5}), die von E_{i}, F_{i}, K_{i} und K_{i}^{−1} erzeugt wird. Es gilt U_{q}(so_{5})_{i} ≅ U_{q_{i}}(sl_{2}). Jeder endlich dimensionale U_{q}(so_{5})-Modul besitzt eine Zerlegung in irreduzible U_{q_{i}}(sl_{2})-Untermoduln. Um die Operation von T_{i} und T_{i}^{−1} auf einem U_{q}(so_{5})-Modul zu finden, reicht es, ihre Wirkung auf den irreduziblen U_{q}(so_{5})_{i}- Moduln zu kennen. Als Operatoren auf den U_{q}(so_{5})_{i}-Moduln sind T_{i} ≅ T und T_{i}^{−1} ≅ T^{−1}. Also gilt nach Satz 1.14 für i = 1, 2 und P, Q ∈ K:

T_{i}(P · Q) = (T_{i} ⊗ T_{i})R_{i}(P ⊗ Q),  (3.24)
T_{i}^{−1}(P · Q) = R_{i}^{−1}(T_{i}^{−1} ⊗ T_{i}^{−1})(P ⊗ Q).  (3.25)

Dabei ist:

R_{i} := ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{−2})^{n}q^{n(n+1)/2}}{[n]_{q}!} F_{i}^{n} ⊗ E_{i}^{n},

R_{i}^{−1} = ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{2})^{n}q^{−n(n+1)/2}}{[n]_{q}!} F_{i}^{n} ⊗ E_{i}^{n}.

Damit können wir die Operationen von T_{i}, T_{i}^{−1} für i = 1, 2 auf den Basiselementen von K berechnen. Wir beginnen mit T_{1}:

T_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= (T_{1} ⊗ T_{1})R_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}} ⊗ x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})

= (T_{1} ⊗ T_{1})( ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{−4})^{n}q^{n(n+1)}}{[n]_{q^{2}}!} F_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}) ⊗ E_{1}(x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}))

= (T_{1} ⊗ T_{1})( ∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{−4})^{n}q^{n(n+1)}}{[n]_{q^{2}}!} q^{−2nm_{2}+n^{2}+n}(m_{2})_{q^{4}} … (m_{2} − n + 1)_{q^{4}}
x_{1}^{m_{1}+n}x_{2}^{m_{2}−n}x_{3}^{m_{3}} ⊗ (−1)^{n}q^{−2nm_{4}+n^{2}}(m_{4})_{q^{4}} … (m_{4} − n + 1)_{q^{4}}x_{4}^{m_{4}−n}x_{5}^{m_{5}+n})
= ∑_{n≥0}(−1)^{n} \frac{(1 − q^{−4})^{n}q^{n(n+1)−2n(m_{2}+m_{4})−2n(n+1)}}{[n]_{q^{2}}!} (m_{2})_{q^{4}} … (m_{2} − n + 1)_{q^{4}}(m_{4})_{q^{4}}
… (m_{4} − n + 1)_{q^{4}} · T_{1}(x_{1}^{m_{1}+n}x_{2}^{m_{2}−n}x_{3}^{m_{3}})T_{1}(x_{4}^{m_{4}−n}x_{5}^{m_{5}+n})
= (−1)^{m_{1}+m_{5}}q^{2m_{4}(m_{5}+1)+2m_{1}(m_{2}+1)} ∑_{n≥0} Q_{q,n}q^{−2n(m_{1}+m_{5})}x_{1}^{m_{2}−n}x_{2}^{m_{1}+n}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{5}+n}x_{5}^{m_{4}−n},

wobei

Q_{q,n} := (−1)^{n} \frac{q^{−n(n+1)}(1 − q^{−4})^{n}}{[n]_{q^{2}}!} (m_{2})_{q^{4}} … (m_{2} − n + 1)_{q^{4}}(m_{4})_{q^{4}} … (m_{4} − n + 1)_{q^{4}}.

ist. Die Summe über n ist endlich (sie läuft bis zum Minimum von m_{1} und m_{5}). Nun berechnen wir die Wirkung von T_{1}^{−1} auf den Basiselementen von K:

T_{1}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})

= R_{1}^{−1}(T_{1}^{−1} ⊗ T_{1}^{−1})(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}} ⊗ x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= R_{1}^{−1}(T_{1}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}) ⊗ T_{1}^{−1}(x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}))
= (−1)^{m_{4}+m_{2}}q^{−2m_{2}(m_{1}+1)−2m_{5}(m_{4}+1))}R_{1}^{−1}(x_{1}^{m_{2}}x_{2}^{m_{1}}x_{3}^{m_{3}} ⊗ x_{4}^{m_{5}}x_{5}^{m_{4}})
= (−1)^{m_{4}+m_{2}}q^{−2m_{2}(m_{1}+1)−2m_{5}(m_{4}+1)}(∑_{n≥0} \frac{(1 − q^{4})^{n}q^{−n(n+1)}}{[n]_{q^{2}}!} F_{1}^{n}(x_{1}^{m_{2}}x_{2}^{m_{1}}x_{3}^{m_{3}}) ⊗ E_{1}^{n}(x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}))
= (−1)^{m_{4}+m_{2}}q^{−2m_{2}(m_{1}+1)−2m_{5}(m_{4}+1)}( ∑_{n≥0} Q′_{q,n}q^{−2n(m_{1}+m_{5})}x_{1}^{m_{2}+n}x_{2}^{m_{1}−n}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{5}−n}x_{5}^{m_{4}+n}),

wobei

Q′_{q,n} := (−1)^{n} \frac{q^{n(n+1)}(1 − q^{4})^{n}}{[n]_{q^{2}}!} (m_{1})_{q^{4}} … (m_{1} − n + 1)_{q^{4}}(m_{5})_{q^{4}} … (m_{5} − n + 1)_{q^{4}}

ist. Auch hier ist die Summe über n endlich (sie läuft bis zum Minimum von m_{1} und m_{2}).

Die Berechnung der Operation von T_{2}, T_{2}^{−1} auf den Basiselementen ist schwierig und erfordert mühsame Rechnungen. Wir beginnen mit der Wirkung T_{2}^{−1} auf x_{3}^{j}. Dazu reduzieren wir mit Hilfe von 3.25 den Grad von x_{3}^{j}. Dies führt zu:

T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}) = R^{−1}(T_{2}^{−1}(x_{3}) ⊗ T_{2}^{−1}(x_{3}^{j−1})) = −q^{−2}(x_{3}T_{2}^{−1}(x_{3}^{j−1}) + (1 − q^{2})c_{q}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j−1}))).

Setzt man dies sukzessive fort, erhält man nach j − 1 Schritten

T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}) = (−1)^{j}q^{−2j}x_{3}^{j} + ∑_{n=1}^{j−1}(−1)^{n}q^{−2n}(1 − q^{2})c_{q}x_{3}^{n−1}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j−n})).  (3.26)

Dies beweisen wir induktiv. Die Gleichung T_{2}^{−1}(x_{3}) = −q^{−2}x_{3} liefert den Induktionsanfang j = 1. Wir schließen von j auf j + 1:

T_{2}^{−1}(x_{3}^{j+1}) = −q^{−2}(x_{3}T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}) + (1 − q^{2})c_{q}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}))
= −q^{−2}x_{3}((−1)^{j}q^{−2j}x_{3}^{j} + ∑_{n=1}^{j−1}(−1)^{n}q^{−2n}(1 − q^{2})c_{q}x_{3}^{n−1}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j−n})))
−q^{−2}(1 − q^{2})c_{q}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}))
= (−1)^{j+1}q^{−2(j+1)}x_{3}^{j+1} + ∑_{m=2}^{j}(−1)^{m}q^{−2m}(1 − q^{2})c_{q}x_{3}^{m−1}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j+1−m}))
−q^{−2}(1 − q^{2})c_{q}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}))
= (−1)^{j+1}q^{−2(j+1)}x_{3}^{j+1} + ∑_{m=1}^{j}(−1)^{m}q^{−2m}(1 − q^{2})c_{q}x_{3}^{m−1}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{j+1−m})).

In der Gleichung 3.26 setzen wir l = j − n, dann erhalten wir die folgenden Formeln:

T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}) = (−1)^{j}q^{j}x_{3}^{j} + ∑_{l=1}^{j−1}(−1)^{j−l}q^{−2(j−l)}(1 − q^{2})c_{q}x_{3}^{j−l−1}x_{2}E_{2}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{l})).

Wir iterieren diese Gleichung hinreichend oft und erhalten

T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}) = (−1)^{j}(q^{−2j}x_{3}^{j} + ∑_{l_{1}=1}^{j−1} q^{−2l_{1}−2}(1 − q^{2})c_{q}x_{2}x_{3}^{j−l_{1}−1}E_{2}(x_{3}^{l_{1}})

+ ∑_{l_{1}=1}^{j−1} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−1} q^{2j−2l_{1}−2l_{2}−6}(1 − q^{2})^{2}c_{q}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{j−l_{1}−2}E_{2}^{2}(x_{3}^{l_{2}})

+ ∑_{l_{1}=1}^{j−1} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−1} ∑_{l_{3}=1}^{l_{2}−1} q^{4j−2l_{1}−2l_{2}−2l_{3}−12}(1 − q^{2})^{3}c_{q}^{3}x_{2}^{3}x_{3}^{j−l_{2}−3}E_{2}^{3}(x_{3}^{l_{3}})

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . .

+ ∑_{l_{1}=1}^{j−1} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−1} ⋯ ∑_{l_{m}=1}^{l_{(m−1)}−1} q^{2(m−1)j−2l_{1}−···−2l_{m}−m^{2}−m}(1 − q^{2})^{m}c_{q}^{m}x_{2}^{m}x_{3}^{j−l_{m}−m}E_{2}^{m}(x_{3}^{l_{m}})

+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . )

= (−1)^{j}q^{−2j}(x_{3}^{j} + ∑_{m=1}^{[ \frac{j+1}{2} ]} q^{2mj−m^{2}−m}Q̃_{m}(1 − q^{2})^{m}c_{q}^{m}x_{2}^{m}x_{3}^{j−l_{m}−m}E_{2}^{m}(x_{3}^{l_{m}})),

wobei Q̃_{m} = ∑_{l_{1}=1}^{j−1} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−1} ⋯ ∑_{l_{m}=1}^{l_{(m−1)}−1} q^{−2l_{1}−···−2l_{m}} ist.

Man kann E_{2}^{m}(x_{3}^{l_{m}}) berechnen und erhält

E_{2}^{m}(x_{3}^{l_{m}}) = (−1)^{m}q^{m}c_{q}^{m}(l_{m})_{q^{2}}(l_{m−1})_{q^{2}} ⋯ (l_{m} − m + 1)_{q^{2}}x_{3}^{l_{m}−m}x_{4}^{m}.

Also ist

T_{2}^{−1}(x_{3}^{j}) = (−1)^{j}q^{−2j}(x_{3}^{j} + ∑_{m=1}^{[ \frac{j+1}{2} ]}(−1)^{m}q^{2mj−m^{2}} ˜Q̃_{m}(1 − q^{2})^{m}(1 + q^{−2})^{m}x_{2}^{m}x_{3}^{j−2m}x_{4}^{m}), (3.27)

wobei ˜ Q̃_{m} = ∑_{l_{1}=1}^{j−1} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−1} ⋯ ∑_{l_{m}=1}^{l_{(m−1)}−1} q^{−2l_{1}−···−2l_{m}}(l_{m})_{q^{2}}(l_{m} − 1)_{q^{2}} ⋯ (l_{m} − m + 1)_{q^{2}} ist.

Die Wirkung von T_{2}^{−1} auf x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}} ist leicht zu berechnen, weil E_{2}x_{2} = 0 ist. Zunächst können wir mittels (3.27) die Wirkung von T_{2}^{−1} auf x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}} bestimmen:

T_{2}^{−1}(x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}) = q^{−2m_{2}m_{3}}T_{2}^{−1}(x_{3}^{m_{3}}x_{2}^{m_{2}})
= (−1)^{m_{2}}q^{−2m_{2}m_{3}}R_{2}^{−1}(T_{2}^{−1}(x_{3}^{m_{3}}) ⊗ x_{4}^{m_{2}})
= (−1)^{m_{2}}q^{−2m_{2}m_{3}}T_{2}^{−1}(x_{3}^{m_{3}})x_{4}^{m_{2}}.

Im folgenden benötigen wir die Relation

x_{2}^{l}x_{4}^{n} = x_{4}^{n}x_{2}^{l} + ∑_{i=1}^{min{l,n}} q^{2i(n−l)−i(i−1)}(q − q^{−1})^{i}[i]!_{q^{2}}[n; i]_{q^{2}}[l; i]_{q^{2}}x_{3}^{2i}x_{4}^{n−i}x_{2}^{l−i},  (3.28)

die wir aus der Relation (3.22) hergeleitet haben. Zunächast beweisen wir diese Relation für l = 1 und alle n. Die Gleichung x_{2}x_{4} = x_{4}x_{2} + (q − q^{−1}) liefert den Induktionsanfang n = 1. Wir schließen von n auf n + 1:

x_{2}x_{4}^{n+1} = x_{2}x_{4}^{n}x_{4}
= x_{4}^{n}x_{2}x_{4} + q^{2(n−1)}(q − q^{−1})[n]_{q^{2}}x_{3}^{2}x_{4}^{n}
= x_{4}^{n+1}x_{2} + (q − q^{−1})x_{4}^{n}x_{3}^{2} + q^{2(n−1)}(q − q^{−1})[n]_{q^{2}}x_{3}^{2}x_{4}^{n}
= x_{4}^{n+1}x_{2} + q^{2(n)}(q − q^{−1})[n + 1]_{q^{2}}x_{3}^{2}x_{4}^{n}.

Die allgemeine Formel läßt sich ebenfalls induktiv beweisen. Den Induktionsanfang l = 1 für beliebiges n haben wir schon gezeigt. Dann schließen wir für beliebiges n von l nach l + 1. Wir verzichten auf die langwierigen Rechnungen.

Nun können wir die Wirkung von T_{2}^{−1} auf den Basiselementen von K berechnen.

T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})

= q^{−2m_{3}m_{4}}T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{4}^{m_{4}}x_{3}^{m_{3}}x_{5}^{m_{5}})
= q^{−2m_{3}m_{4}}(T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{4}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{5}^{m_{5}}) +

∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}} q^{−i(i−1)+2i(m_{2}−m_{4})}(q − q^{−1})^{i}[m_{4}; i]_{q^{2}}[m_{2}; i]_{q^{2}}[i]!_{q^{2}}T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{4}−i}x_{2}^{m_{2}−i}x_{3}^{m_{3}+2i}x_{5}^{m_{5}}))

= q^{−2m_{3}m_{4}}(R_{2}^{−1}(T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{4}}) ⊗ T_{2}^{−1}(x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{5}^{m_{5}})))

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}} q^{−i(i−1)+2i(m_{2}−m_{4})}(q − q^{−1})^{i}[m_{4}; i]_{q^{2}}[m_{2}; i]_{q^{2}}[i]!_{q^{2}}R_{2}^{−1}T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{4}−i}) ⊗ T_{2}^{−1}(x_{2}^{m_{2}−i}x_{3}^{m_{3}+2i}x_{5}^{m_{5}}))

= (−1)^{m_{4}+m_{2}+m_{3}}q^{−2m_{3}(m_{4}+1)−2m_{2}(m_{3}+1)}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{2}}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+1}{2} ]} q^{2nm_{3}−n^{2}}(1 + q^{−2})^{n}(1 − q^{2})^{n} ˜Q̃_{n}x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}+n}x_{3}^{m_{3}−2n}x_{4}^{m_{2}+n}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}}(−1)^{i}q^{3i^{2}−i+2im_{3}−2i(m_{2}+m_{4}−m_{3})}[m_{4}; i]_{q^{2}}[m_{2}; i]_{q^{2}}[i]_{q}^{2}!(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}−i}x_{3}^{m_{3}+2i}x_{4}^{m_{2}−i}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+2i+1}{2} ]} q^{2n(m_{3}+2i)−n^{2}}(1 + q^{−2})^{n}(1 − q^{2})^{n} ˜Q̃_{n}x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}+n−i}x_{3}^{m_{3}−2n+2i}x_{4}^{m_{2}+n−i}x_{5}^{m_{5}})).

Im folgenden werden wir die Operation von T_{2} auf den Basiselementen von K berechnen. Wir wollen zunächst T_{2}(x_{3}^{j}) berechnen. Dazu reduzieren wir mit Hilfe von 3.24 den Grad von x_{3}^{j}, dies führt zu

T_{2}(x_{3}^{j}) = (T_{2} ⊗ T_{2})R_{2}(x_{3}^{j} ⊗ x_{3})
= −q^{2}T_{2}(x_{3}^{j−1})x_{3} + (q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j − 1)_{q^{2}}q^{2}x_{4}T_{2}(x_{3}^{j−2})x_{2}.  (3.29)

Setzt man dies sukzessive fort, erhält man

T_{2}(x_{3}^{j}) = (−1)^{j}q^{2j}x_{3}^{j} + ∑_{n=1}^{j−2}(−1)^{n+1}q^{2n}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j − n)_{q^{2}}x_{4}T_{2}(x_{3}^{j−n−1})x_{2}x_{3}^{n−1}. (3.30)

Dies beweisen wir induktiv. Wiederum bildet T_{2}(x_{3}) = −q^{2}x_{3} den Induktionsanfang j = 1. Wir schließen von j auf j + 1:

T_{2}(x_{3}^{j+1})

= −q^{2}T_{2}(x_{3}^{j})x_{3} + q^{2}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j)_{q^{2}}x_{4}T_{2}(x_{3}^{j−1})x_{2}
= −q^{2}((−1)^{j}q^{2j}x_{3}^{j+1} + ∑_{n=1}^{j−2}(−1)^{n+1}q^{2n}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j − n)_{q^{2}}x_{4}T_{2}(x_{3}^{j−n−1})x_{2}x_{3}^{n})

+(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j)_{q^{2}}q^{2}T_{2}(x_{3}^{j−1})x_{2}

= (−1)^{j+1}q^{2(j+1)}x_{3}^{j+1}

+ ∑_{m=2}^{j−1}(−1)^{m+1}q^{2m}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j + 1 − m)_{q^{2}}x_{4}T_{2}(x_{3}^{j−m})x_{2}x_{3}^{m−1}

+(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j)_{q^{2}}q^{2}T_{2}(x_{3}^{j−1})x_{2}

= (−1)^{j+1}q^{2(j+1)}x_{3}^{j+1}

+ ∑_{m=1}^{j−1}(−1)^{m+1}q^{2m}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(j + 1 − m)_{q^{2}}x_{4}T_{2}(x_{3}^{j+1−m−1})x_{2}x_{3}^{m−1}.

Nun setzen wir l = j − n − 1 in 3.30, dann ist

T_{2}(x_{3}^{j}) = (−1)^{j}q^{2j}x_{3}^{j} + ∑_{l=1}^{j−2}(−1)^{j−l}q^{2(j−l−1)}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(l + 1)_{q^{2}}x_{4}T_{2}(x_{3}^{l})x_{2}x_{3}^{j−l−2}.

Wir iterieren die letzte Gleichung. Dann erhalten wir

T_{2}(x_{3}^{j})
= (−1)^{j}(q^{2j}x_{3}^{j} + ∑_{l_{1}=1}^{j−2} q^{2l_{1}+2}(q^{−1} − q)(q^{2} + 1)(l_{1} + 1)_{q^{2}}x_{4}x_{3}^{j−2}x_{2}

+ ∑_{l_{1}=1}^{j−2} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−2} q^{−2j+2(l_{1}+l_{2})+8}(q^{−1} − q)^{2}(q^{2} + 1)^{2}(l_{1} + 1)_{q^{2}}(l_{2} + 1)_{q^{2}}x_{4}^{2}x_{3}^{j−4}x_{2}^{2}

+ ∑_{l_{1}=1}^{j−2} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−2} ∑_{l_{3}=1}^{l_{2}−2} q^{−4j+2(l_{1}+l_{2}+l_{3})+18}(q^{−1} − q)^{3}(q^{2} + 1)^{3}(l_{1} + 1)_{q^{2}}(l_{2} + 1)_{q^{2}}(l_{3} + 1)_{q^{2}}

x_{4}^{3}x_{3}^{j−6}x_{2}^{3} + · · · · · · · · · · · · · · · )

= (−1)^{j}(q^{2j}x_{3}^{j} + ∑_{m=1}^{[ \frac{j+1}{2} ]} Q′′_{m}q^{−2j(m−1)+2m^{2}}x_{4}^{m}x_{3}^{j−2m}x_{2}^{m})

= (−1)^{j}q^{2j}(x_{3}^{j} + ∑_{m=1}^{[ \frac{j+1}{2} ]} Q′′_{m}q^{2m(m−j)}x_{4}^{m}x_{3}^{j−2m}x_{2}^{m}).

Sei:

Q′′_{m} := ∑_{l_{1}=1}^{j−2} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−2} ⋯ ∑_{l_{m}=1}^{l_{m−1}−2}(l_{1} + 1)_{q^{2}} ⋯ (l_{m} + 1)_{q^{2}}q^{2(l_{1}+···+l_{m})}(q^{−1} − q)^{m}(q^{2} + 1)^{m}.

Nun berechnen wir die Operation von T_{2} auf den Basiselementen von K:

T_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = (T_{2} ⊗ T_{2})R_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}} ⊗ x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= T_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}})T_{2}(x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= (−1)^{m_{2}}x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{2}}T_{2}(x_{3}^{m_{3}})T_{2}(x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= (−1)^{m_{2}+m_{4}}q^{2m_{4}}x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{2}}T_{2}(x_{3}^{m_{3}})x_{2}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}.

Nun setzen wir das vorher berechnete T_{2}(x_{3}^{m_{3}}) ein und erhalten:

T_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = (−1)^{m_{2}+m_{4}+m_{3}}q^{2m_{4}(m_{3}+1)+2m_{3}}(x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{2}}x_{2}^{m_{4}}x_{3}^{m_{3}}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+1}{2} ]} Q′′_{n}q^{−2n^{2}−4m_{4}n}x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{2}+n}x_{2}^{m_{4}+n}x_{3}^{m_{3}−2n}x_{5}^{m_{5}}).

Wir benutzen die folgende Gleichung

x_{4}^{n}x_{2}^{l} = x_{2}^{l}x_{4}^{n} + ∑_{n=1}^{n}(q^{−1} − q)^{i}(l; i)_{q^{4}}(n; i)_{q^{4}}(i)!_{q^{4}}x_{2}^{l−i}x_{3}^{2i}x_{4}^{n−i}.  (3.31)

Diese Gleichung läßt sich wie die Gleichung (3.28) induktiv beweisen. Wir erhalten dann:

T_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}})
= (−1)^{m_{2}+m_{3}+m_{4}}q^{2m_{4}(m_{3}+1)+2m_{3}(m_{2}+1)}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{2}}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}}(q^{−1} − q)^{i}q^{−2im_{3}}(m_{2}; i)_{q^{4}}(m_{4}; i)_{q^{4}}(i)_{q^{4}}!x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}−i}x_{3}^{m_{3}+2i}x_{4}^{m_{2}−i}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+1}{2} ]} Q′′_{n}q^{−6n^{2}−2n(2m_{4}+2m_{2}−m_{3})}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{n+m_{4}}x_{3}^{m_{3}−2n}x_{4}^{m_{2}+n}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}+n} ((q^{−1} − q)^{i}q^{−2im_{3}+4ni}(m_{2} + n; i)_{q^{4}}(m_{4} + n; i)_{q^{4}}(i)_{q^{4}}!

x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}+n−i}x_{3}^{m_{3}−2n+2i}x_{4}^{m_{2}+n−i}x_{5}^{m_{5}}))).

Der Übersichtlichkeit halber fassen wir zusammen:

T_{1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = (−1)^{m_{1}+m_{5}}q^{2m_{4}(m_{5}+1)+2m_{1}(m_{2}+1)}

( ∑_{n≥0} Q_{q,n}q^{−2n(m_{1}+m_{5})}x_{1}^{m_{2}−n}x_{2}^{m_{1}+n}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{5}+n}x_{5}^{m_{4}−n}).

T_{1}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = (−1)^{m_{4}+m_{2}}q^{(−2m_{2}(m_{1}+1)−2m_{5}(m_{4}+1))}

( ∑_{n≥0} Q′_{q,n}q^{−2n(m_{1}+m_{5})}x_{1}^{m_{2}+n}x_{2}^{m_{1}−n}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{5}−n}x_{5}^{m_{4}+n}).

T_{2}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = (−1)^{m_{2}+m_{3}+m_{4}}q^{2m_{4}(m_{3}+1)+2m_{3}(m_{2}+1)}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{2}}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}}(q^{−1} − q)^{i}q^{−2im_{3}}(m_{2}; i)_{q^{4}}(m_{4}; i)_{q^{4}}(i)_{q^{4}}!x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}−i}x_{3}^{m_{3}+2i}x_{4}^{m_{2}−i}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+1}{2} ]} Q′′_{n}q^{−6n^{2}−2n(2m_{4}+2m_{2}−m_{3})}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{n+m_{4}}x_{3}^{m_{3}−2n}x_{4}^{m_{2}+n}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}+n} ( (q^{−1} − q)^{i}q^{−2im_{3}+4in}(m_{2} + n; i)_{q^{4}}(m_{4} + n; i)_{q^{4}}(i)_{q^{4}}!

x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}+n−i}x_{3}^{m_{3}−2n+2i}x_{4}^{m_{2}+n−i}x_{5}^{m_{5}}))).

T_{2}^{−1}(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{2}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{4}}x_{5}^{m_{5}}) = (−1)^{m_{4}+m_{2}+m_{3}}q^{−2m_{3}(m_{4}+1)−2m_{2}(m_{3}+1)}(x_{1}^{m_{1}}x_{4}^{m_{4}}x_{3}^{m_{3}}x_{4}^{m_{2}}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+1}{2} ]} q^{2nm_{3}−n^{2}}(1 + q^{−2})^{n}(1 − q^{2})^{n} ˜Q̃_{n}x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}+n}x_{3}^{m_{3}−2n}x_{4}^{m_{2}+n}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{i=1}^{min{m_{2},m_{4}}} q^{3i^{2}−i+2im_{3}−2i(m_{2}+m_{4}−m_{3})}(q − q^{−1})[m_{4}; i]_{q^{2}}[m_{2}; i]_{q^{2}}[i]_{q}^{2}!(x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}−i}x_{3}^{m_{3}+2i}x_{4}^{m_{2}−i}x_{5}^{m_{5}}

+ ∑_{n=1}^{[ \frac{m_{3}+2i+1}{2} ]} q^{2n(m_{3}+2i)−n^{2}}(1 + q^{−2})^{n}(1 − q^{2})^{n} ˜Q̃x_{1}^{m_{1}}x_{2}^{m_{4}+n−i}x_{3}^{m_{3}−2n+2i}x_{4}^{m_{2}+n−i}x_{5}^{m_{5}})),

wobei

Q_{q,n} = (−1)^{n} \frac{q^{−n(n+1)}(1 − q^{−4})^{n}}{[n]_{q^{2}}!} (m_{2})_{q^{4}} … (m_{2} − n + 1)_{q^{4}}(m_{4})_{q^{4}} … (m_{4} − n + 1)_{q^{4}},
Q′_{q,n} = (−1)^{n} \frac{q^{n(n+1)}(1 − q^{4})^{n}}{[n]_{q^{2}}!} (m_{1})_{q^{4}} … (m_{1} − n + 1)_{q^{4}}(m_{5})_{q^{4}} … (m_{5} − n + 1)_{q^{4}},

Q′′_{m} = ∑_{l_{1}=1}^{j−2} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−2} ⋯ ∑_{l_{m}=1}^{l_{m−1}−2}(l_{1} + 1)_{q^{2}} ⋯ (l_{m} + 1)_{q^{2}}q^{2(l_{1}+···+l_{m})}(q^{−1} − q)^{m}(q^{2} + 1)^{m},

˜Q̃_{m} = ∑_{l_{1}=1}^{j−1} ∑_{l_{2}=1}^{l_{1}−1} ⋯ ∑_{l_{m}=1}^{l_{(m−1)}−1} q^{−2l_{1}−···−2l_{m}}(l_{m})_{q^{2}} ⋯ (l_{m} − m + 1)_{q^{2}}

sind.

Wir wollen die Operation der Symmetrien T_{i}, i = 1, 2, auf dem Quantenraum K dazu benutzen, um Algebra-Automorphismen T_{i}, T_{i}^{−1} : U_{q}(so_{5}) ⟶ U_{q}(so_{5}) zu konstruieren. Wie schon in Kapitel 2 können wir auch hier nicht die Eindeutigkeit der Darstellung von U_{q}(so_{5}) auf dem orthogonalen Quantenraum K nachweisen. Wir vermuten aber, daß dies richtig ist. Der Deutlichkeit halber halten wir dies ausdrücklich fest:

Vermutung: Die Darstellung von U_{q}(so_{5}) auf dem orthogonalen Quantenraum K ist eindeutig.

Satz 3.9 Für jedes u ∈ U_{q}(so_{5}) sei l_{u} : K ⟶ K die Linkstranslation mit u, d.h. l_{u}(P) = uP für alle P ∈ K. Dann gilt unter der Annahme, daß die vorausgehende Vermutung richtig ist, folgendes:

T_{i}l_{u}T_{i}^{−1} ist wieder die Linkstranslation mit einem eindeutig bestimmten Element T_{i}(u) in U_{q}(so_{5}). Also sind die Abbildungen T_{i} : U_{q}(so_{5}) ⟶ U_{q}(so_{5}), u ↦ T_{i}(u) Automorphismen von Algebren. Diese Abbildungen haben auf den Erzeugenden von U_{q}(so_{5}) die folgenden Werte:

T_{i}(E_{j}) = \{ \begin{matrix}−K_{i}F_{i}  ; & i = j \\ E_{j}E_{i} − q^{2}E_{i}E_{j}  ; & i = 1, j = 2 \\ q^{2}E_{i}^{(2)}E_{j} − qE_{i}E_{j}E_{i} + E_{j}E_{i}^{(2)} ; & i = 2, j = 1 \end{matrix}

T_{i}(F_{j}) = \{ \begin{matrix}−E_{i}K_{i}^{−1}  ; & i = j \\ F_{i}F_{j} − q^{−2}F_{j}F_{i}  ; & i = 1, j = 2 \\ F_{i}^{(2)}F_{j} − q^{−1}F_{i}F_{j}F_{i} + q^{−2}F_{j}F_{i}^{(2)} ; & i = 2, j = 1 \end{matrix}

T_{i}(K_{j}^{±}) = \{ \begin{matrix}K_{i}^{∓1} ; & i = j \\ K_{i}K_{j} ; & i = 1, j = 2 \\ K_{i}^{2}K_{j} ; & i = 2, j = 1. \end{matrix}

Beweis. Falls T_{i}l_{u_{1}}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(u_{1})} und T_{i}l_{u_{2}}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(u_{2})} gilt für beliebige u_{1}, u_{2} ∈ U_{q}(so_{5}), dann ist leicht zu zeigen, daß für a_{1}, a_{2} ∈ k, T_{i}l_{(a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2})}T_{i}^{−1} = l_{T_{i}(a_{1}u_{1})} + l_{T_{i}(a_{2}u_{2})}, und T_{i}l_{u_{1}u_{2}}T_{i}^{−1} = T_{i}(u_{1})T_{i}(u_{2}) ist. Also genügt es, T_{i}(u) auf den Erzeugenden der Algebra U_{q}(so_{5}) zu finden.

Für u = K_{1} und i = 1 ist es leicht zu zeigen, daß T_{1}(K_{1}) := K_{1}^{−1} und T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1} auf den Erzeugenden von K dieselbe Wirkung haben. Dann genügt es zu zeigen, daß

T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1}(P Q) = K_{1}^{−1}(P Q)

ist, falls T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1}(P) = K_{1}^{−1}(P) und T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1}(Q) = K_{1}^{−1}(Q) gelten. Also ist:

Δ(T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1})(P ⊗ Q) = T_{1} ⊗ T_{1}R_{1}(K_{1} ⊗ K_{1})R_{1}^{−1}T_{1}^{−1} ⊗ T_{1}^{−1}(P ⊗ Q)
= T_{1} ⊗ T_{1}(K_{1} ⊗ K_{1})T_{1}^{−1} ⊗ T_{1}^{−1}(P ⊗ Q)
= T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1}(P) ⊗ T_{1}l_{K_{1}}T_{1}^{−1}(Q)
= K_{1}^{−1}(P) ⊗ K_{1}^{−1}(Q)
= Δ(K_{1}^{−1})(P ⊗ Q).

Analog geht man für u = K_{1}^{−1} und i = 1 vor. Für u = E_{1} und i = 1 ist es leicht zu zeigen, daß T_{1}(E_{1}) := −K_{1}F_{1} und T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1} auf den Erzeugenden von K dieselbe Wirkung haben. Dann genügt es zu zeigen, daß T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1}(P Q) = −K_{1}F_{1}(P Q) ist, falls T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1}(P) = −K_{1}F_{1}(P) und T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1}(Q) = −K_{1}F_{1}(Q) gelten:

Δ(T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1})(P ⊗ Q) = T_{1} ⊗ T_{1}R_{1}(E_{1} ⊗ 1 + K ⊗ E_{1})R_{1}^{−1}T_{1}^{−1} ⊗ T_{1}^{−1}(P ⊗ Q)
= T_{1} ⊗ T_{1}(E_{1} ⊗ 1 + K_{1}^{−1} ⊗ E_{1})T_{1}^{−1} ⊗ T_{1}^{−1}(P ⊗ Q)
= T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1}(P) ⊗ Q + T_{1}l_{K_{1}^{−1}}T_{1}^{−1}(P) ⊗ T_{1}l_{E_{1}}T_{1}^{−1}(Q)
= −K_{1}F_{1}(P) ⊗ Q + K_{1}(P) ⊗ −K_{1}F_{1}(Q)
= Δ(−K_{1}F_{1})(P ⊗ Q).

Analog geht man in den anderen Fällen vor. □

Folgerung 3.10 Für jedes P ∈ K und u ∈ U gilt T_{i}(uP) = T_{i}(u)T_{i}(P).□

Satz 3.11 Die T_{1} und T_{2} erfüllen als Algebra-Homomorphismen über U_{q}(so_{5}) die Zopfrelation:

T_{1}T_{2}T_{1}T_{2} = T_{2}T_{1}T_{2}T_{1}.

Beweis. Es genügt diese Relation auf den Erzeugenden von U_{q}(so_{5}) nachzuweisen (siehe [14], 39.2.3). □

Vergleich mit den Resultaten von Lusztig

Lusztig arbeitet in [14] in einem allgemeinen Rahmen. Er gibt eine allgemeine Definition der Quantengruppe, die von der üblichen abweicht. Wir werden diese Quantengruppe mit U_{L} bezeichnen. Seine Symmetrien, mit deren Hilfe er Automorphismen auf Quantengruppen konstruiert hat, sind auf integrierbaren U_{L}-Moduln definiert.

Wir motivieren seinen Zugang anhand des klassischen Falls. Sei 𝔤 wie in Abschnitt 0.3 gegeben, für jeden endlich-dimensionalen 𝔤_{i}-Modul V ist durch

s̃_{i} = exp(E_{i}) exp(−F_{i}) exp(E_{i}).

ein Automorphismus auf dem Vektorraum V gegeben.

Für alle λ ∈ Λ ist s̃_{i}V_{λ} = V_{s_{i}(λ)}, siehe [6]. Dann gilt für alle v ∈ V

s̃_{i}(v) = ∑_{a,b,c}(−1)^{b} \frac{E_{i}^{a}}{a!} \frac{F_{i}^{b}}{b!} \frac{E_{i}^{c}}{c!} v.

Falls v ∈ V_{λ} ist, haben wir E_{i}^{a}F_{i}^{b}E_{i}^{c}v ∈ V_{λ−(a−b+c)α_{i}}. Sei m := 2\frac{(λ,α_{i})}{(α_{i},α_{i})}, dann verschwinden alle Summanden für −a + b − c ≠ m, also ist:

s̃_{i}(v) = ∑_{−a+b−c=m}(−1)^{b} \frac{E_{i}^{a}}{a!} \frac{F_{i}^{b}}{b!} \frac{E_{i}^{c}}{c!} v.

In der Lie-Algebra kann man diese Konstruktion auf die adjungierte Darstellung anwenden. Damit erhält man einen Automorphismus auf der Lie-Algebra 𝔤:

s̃_{i}(X) = exp(adE_{i}) exp(−adF_{i}) exp(adE_{i})(X)

für alle X ∈ 𝔤. Diese Automorphismen stehen in Verbindung mit der Operation auf den endlich-dimensionalen 𝔤-Moduln gemäß

s̃_{i}(Xv) = s̃_{i}(X)s̃_{i}(v)

für alle X ∈ 𝔤 und alle v in einem endlich-dimensionalen 𝔤-Modul. Da die adjungierte Darstellung von 𝔤 auf U(𝔤) lokal-endlich ist, kann man die letzte Gleichung auf alle X ∈ U(𝔤) erweitern.

Lusztig hat diese Konstruktion auf den Quantenfall übertragen.

4.1 Die Quantengruppe U_{L} von Lusztig

Wir zitieren, was im Buch [14] von Lusztig zur Konstruktion der Quantengruppe U_{L} vorhanden ist.

Ein Cartan-Datum (I, ·) besteht aus einer endlichen Menge I zusammen mit einer symmetrischen Bilinearform auf ℤ[I] mit ganzzahligen Werten

· : ℤ[I] × ℤ[I] ⟶ ℤ,

wobei ℤ[I] die freie abelsche Gruppe über der Menge I ist, so daß

i · i ∈ {2, 4, 6, …} für jedes i ∈ I,

2\frac{i · j}{i · i} ∈ \{0, −1, −2, …\} für i ≠ j ∈ I

ist. Sei 𝔳 unbestimmt. Sei ′f die freie assoziative ℚ(𝔳)-Algebra mit 1 und Erzeugenden θ_{i} für i ∈ I. Für jedes ν ∈ ℕ[I] sei ′f_{ν} der Unterraum von ′f, der von θ_{i_{1}} … θ_{i_{r}} erzeugt wird mit ∑_{j=1}^{r} i_{j} = ν. Man nennt x ∈ ′f homogen, falls x ∈ ′f_{ν} ist für gewisse ν. Nun sei der Algebrahomomorphismus

r : ′f ⟶ ′f ⊗′f

durch r(θ_{i}) = θ_{i} ⊗ 1 + 1 ⊗ θ_{i}, eindeutig erklärt. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Bilinearform auf ′f, so daß gilt:

(1)  (θ_{i}, θ_{i}) = δ_{ij}(1 − q_{i}^{−2})^{−1} ∀i, j ∈ I,
(2)  (x, y′y′′) = (r(x), y′y′′) ∀x, y′, y′′ ∈ ′f,
(3)  (xx′, y) = (x ⊗ x′, r(y)) ∀x, x′, y ∈ ′f.

Seien I das Radikal dieser Bilinearform auf ′f und f der Quotient ′f/I.

Das Wurzel-Datum vom Typ (I, ·) ist wie folgt definiert:

Seien X, Y endlich erzeugte freie abelsche Gruppen mit Einbettung ℤ[I] ⊂ X, i ⟼ i′ und ℤ[I] ⊂ Y, i ⟼ i, so daß

< ·, · > : Y × X ⟶ ℤ

eine perfekte Bilinearform mit < i, j′ >= 2\frac{i·j}{i·i} für alle i, j ∈ I ist.

Definition 4.1 Sei (Y, X, < ·, · >) das Wurzel-Datum vom Typ (I, ·). Sei ′U betrachtet als die assoziative ℚ-Algebra mit 1 und Erzeugenden E_{i}, F_{i}, K_{μ}, i ∈ I, μ ∈ Y, und den folgenden Relationen:

K_{0} = 1, K_{μ}K_{η} = K_{μ+η} für alle μ, η ∈ Y

K_{μ}E_{i} = 𝔳^{<μ,i′>}E_{i}K_{μ} für μ ∈ Y, i ∈ I
K_{μ}F_{i} = 𝔳^{−<μ,i′>}F_{i}K_{μ} für μ ∈ Y, i ∈ I

E_{i}F_{j} − F_{j}E_{i} = δ_{ij} \frac{K̃_{i} − K̃_{−i}}{ν_{i} − ν_{i}^{−1}} für alle i, j ∈ I.

Für μ = ∑_{i} μ_{i}i ∈ ℤ[I] definieren wir:

K̃_{μ} = ∏_{i} K_{( \frac{i·i}{2} )μ_{i}i},  K̃_{±i} = K_{±( \frac{i·i}{2} )i}.

Nun definieren wir die Quantengruppe U_{L} als die assoziative ℚ(𝔳)-Algebra mit 1, so daß die Erzeugenden und die Relationen die gleichen sind wie in ′U. Zusätzlich haben wir noch:

f(θ_{i}) ∈ I ⇒ f(E_{i}) = 0 = f(F_{i}) in U_{L}.  (4.1)

Wir betrachten den Spezialfall: 𝔳 = q, I = {1, 2, …, n − 1} und

2\frac{i · j}{i · i} = \{ \begin{matrix}2 & , & i = j \\ 0 & , & |i − j| > 1 \\ −1 & , & |i − j| = 1, \end{matrix}

für i, j = 1, …, n−1. Es ist klar, daß die Definitionen 2.1 und 4.1 zueinander äquivalent sind, ausgenommen die letzte Relation (4.1) in U_{L} und die Quanten-Serre-Relationen in U_{q}(sl_{n}). Aber Theorem 33.1.2 in [14] zeigt, daß die Quanten-Serre-Relationen und die Relation (4.1) zueinander äquivalent sind. Insgesamt sehen wir, daß U_{L} und U_{q}(sl_{n}) isomorph sind. Aufgrund dieser Isomorphie ist der Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ein U_{L}-Modul. Außerdem ist k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] ein integrierbarer U_{L}-Modul.

4.2 Die Symmetrien T′_{i,e}, T′′_{i,e}

In Kapitel 5 in [14] hat Lusztig die Symmetrien T′_{i,e}, T′′_{i,e} auf den integrierbaren U_{L}-Moduln wie folgt definiert:

T′_{i,e}(z) = ∑_{a−b+c=m}(−1)^{b}q_{i}^{e(b−ac)}F_{i}^{(a)}E_{i}^{(b)}F_{i}^{(c)}z,

T′′_{i,e}(z) = ∑_{a−b+c=m}(−1)^{b}q_{i}^{e(b−ac)}E_{i}^{(a)}F_{i}^{(b)}E_{i}^{(c)}z.

Dabei sind z ∈ M_{m} und M_{m} der Gewichtsraum eines integrierbaren U_{L}-Moduls M mit dem Gewicht m.

Satz 4.2 Sei e = 1. T′_{i,1} operiere auf dem Quantenraum k_{q}[x_{1}, …, x_{n}] gemäß der in Kapitel 2 definierten Operation der Erzeugenden E_{i}, F_{i}, K_{i} und K_{i}^{−1}. Dann stimmen T′_{i,1} und die in dieser Arbeit definierten Symmetrien T_{i} auf dem Quantenraum überein.

Beweis. Wir rechnen T′_{i,1} auf den Basiselementen von k_{q}[x_{1}, …, x_{n}]_{m} nach.

I := T′_{i,1}(x_{1}^{m_{1}} … x_{n}^{m_{n}})

= ∑_{a−b+c=m_{i+1}−m_{i}}(−1)^{b}q^{b−ac}F_{i}^{(a)}E_{i}^{(b)}F_{i}^{(c)}x_{1}^{m_{1}} … x_{n}^{m_{n}}
= ∑_{a−b+c=m_{i+1}−m_{i}}(−1)^{b}q^{b−ac}[m_{i+1}; c][m_{i} + c; m_{i+1} − a][m_{i} + a; a]x_{1}^{m_{1}} … x_{n}^{m_{n}}
= ∑_{a−b+c=m_{i+1}−m_{i}}(−1)^{b}q^{b−ac}[m_{i+1}; c][m_{i} + c; m_{i+1} − a][−m_{i} − 1; a]x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i+1}}x_{i+1}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}}

Wir müssen zeigen: I = (−1)^{m_{i}}q^{m_{i}(m_{i+1}+1)}x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i+1}}x_{i+1}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}} Es reicht,

II := ∑_{c=0}^{m_{i+1}} ∑_{a=0}^{m_{i+1}}(−1)^{b−a−m_{i}}q^{b−ac−m_{i}m_{i+1}−m_{i}}[m_{i+1}; c][m_{i} + c; m_{i+1} − a][−m_{i} − 1; a] = 1

nachzuweisen. Nun ist:

II = ( ∑_{c=0}^{m_{i+1}}(−1)^{−m_{i+1}+c}q^{b−a−m_{i}+m_{i+1}}[m_{i+1}; c]

∑_{a=0}^{m_{i+1}} q^{−ac−m_{i}m_{i+1}+a−m_{i+1}}[m_{i} + c; m_{i+1} − a][−m_{i} − 1; a])

= ∑_{c=0}^{m_{i+1}}(−1)^{c−m_{i+1}}q^{c}[m_{i+1}; c][c − 1; m_{i+1}]

Dies folgt aus der Relation 0.4. Nur der Term c = 0 ist von Null verschieden. Damit erhalten wir:

II = (−1)^{−m_{i}+1}[m_{i+1}; 0][−1; m_{i+1}] = (−1)^{−m_{i+1}}.1.(−1)^{m_{i+1}} = 1.

Also ist:

T′_{i,1}(x_{1}^{m_{1}} … x_{n}^{m_{n}}) = (−1)^{m_{i}}q^{m_{i}(m_{i+1}+1)}x_{1}^{m_{1}} … x_{i}^{m_{i+1}}x_{i+1}^{m_{i}} … x_{n}^{m_{n}}.

Das zeigt: T′_{i,1} ≅ T_{i}

In ähnlicher Weise zeigen wir, daß

T′′_{i,−1} ≅ T_{i}^{−1}

ist. □

Aus diesen Symmetrien hat Lusztig Automorphismen auf U_{L} gewonnen. Wir zitieren die entsprechende Proposition 37.1.2 aus [14]:

Satz 4.3 1. Für jedes u ∈ U_{L} existiert ein eindeutig bestimmtes Element u′′ ∈ U_{L}, so daß für jeden integrierbaren U_{L}-Modul M und jedes z ∈ M gilt:

T′′_{i,e}(u′′z) = uT′′_{i,e}(z).

2. Die Abbildung u ↦ u′′ ist ein U_{L}-Algebra-Automorphismus und wird mit T′_{i,e} bezeichnet.

3. Für jedes u ∈ U_{L} existiert ein eindeutig bestimmtes Element u′ ∈ U_{L}, so daß für jeden integrierbaren U_{L}-Modul M und jedes z ∈ M gilt:

T′_{i,e}(u′z) = uT′_{i,e}(z).

4. Die Abbildung u ↦ u′ ist ein U_{L}-Algebra-Automorphismus und wird mit T′′_{i,e} bezeichnet.

Also erhalten wir für jeden U_{L}-Modul M, jedes z ∈ M und jedes u ∈ U_{L}:

T′_{i,e}(uz) = T′_{i,e}(u)T′_{i,e}(z),
T′′_{i,e}(uz) = T′′_{i,e}(u)T′′_{i,e}(z).

Die Automorphismen hat Lusztig T′_{i,e} auf den Erzeugenden wie folgt angegeben:

T′_{i,e}(E_{i}) = −K̃_{ei}F_{i},  (4.2)
T′_{i,e}(F_{i}) = −E_{i}K̃_{−ei},  (4.3)
T′_{i,e}(E_{j}) = ∑_{r+s=−<i,j>}(−1)rv_{i}^{er}E_{i}^{(r)}E_{j}E_{i}^{(s)}, für i ≠ j,  (4.4)
T′_{i,e}(F_{j}) = ∑_{r+s=−<i,j>}(−1)rv_{i}^{−er}F_{i}^{(s)}E_{j}F_{i}^{(r)}, für i ≠ j,  (4.5)
T′_{i,e}(K_{μ}) = K_{μ_{<μ,i′>}}.  (4.6)

Man kann leicht feststellen, daß diese Automorphismen mit den in Kapitel 2 konstruierten Automorphismen für die zugehörige Cartan-Matrix übereinstimmen.

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Lebenslauf

Name  Amineh Afaneh
Geburtsdatum 14. Dezember 1965
Geburtsort  Salfit, Palästina
Schulbildung 1971 - 1977 Mädchen-Grundschule Salfit

1977 - 1983 Weiterführende Schule Salfit 1983 Abitur

Studium  1983 - 1987 Mathematik-Studium

an der An-Najah Universität in Nablus, Palästina 1987 Baccalaureus 1989 - 1992 Magisterstudium in Mathematik an der Universität von Jordanien in Amman, Jordanien 1992 Magisterprüfung seit 1994 Promotionsstudiengang Mathematik an der Universität Göttingen

wiss. Tätigkeit 1991 - 1992 wissenschaftliche Hilfskraft

an der Universität von Jordanien in Amman