Birman-Murakami-Wenzl Algebren des Coxeter Typs B

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultäten der Georg-August-Universität zu Göttingen

vorgelegt von

Reinhard Häring-Oldenburg

aus Bensheim

Göttingen 1998 D 7 Referent: Prof. Dr. Tammo tom Dieck Koreferent: Prof. Dr. Ulrich Stuhler Tag der mündlichen Prüfung: 2. 7. 1998

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 4

2 Definition der Ariki-Koike-BMW-Algebra 8

2.1 Die Typ-B-BMW-Algebren der Höhe ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.1 Graphische Interpretation und Skeinmoduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.2 Einfache Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Die Algebren von endlicher Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2.1 Beziehungen zu anderen Knotenalgebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Grundringe und Moduln für n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Das Wortproblem in B_{n}^{k} 26

4 Der klassische Limes 32

5 Die Markovspur 34 5.1 Die Spur im klassischen Limes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 5.2 Spurkonstruktion nach Wenzl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

6 Der Struktursatz 41

7 Tensordarstellungen 43 7.1 Tensordarstellungen zu k = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.2 Tensordarstellungen zu k = 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

8 Invarianten von Knoten im Volltorus 45

9 Halbeinfachheit im nichtgenerischen Fall 45

10 Die volle Typ B Birman-Murakami-Wenzl-Algebra 46

11 Epilog: Der Weg zu einer kategoriellen Interpretation 49 11.1 Modulpaare von Tensorkategorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 11.2 Zylinderzopfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 11.3 Bandschlingel im Zylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 11.4 Zylinderzopfung mit Punkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 11.5 Skeinrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

12 Appendix A: Turaevs Theorem 58

13 Appendix B: Beweise zu Aussagen aus Abschnitt 2.1.2 64

14 Appendix C: Algebraische Hilfsmittel 65 If asked why he spares mathematics, the scientist will perhaps say that its laws are necessarily true; but I think we have here an explanation, rather, of mathematical necessity itself. It resides in our unstated policy of shielding mathematics by exercising our freedom to reject other beliefs instead.

Willard van Orman Quine, Pursuit of Truth

1 Einleitung

Zopfgruppen existieren als Überlagerungen der Coxeter-Gruppen für alle Coxeter-Dynkin-Diagramme. Eine Präsentation der Zopfgruppe entsteht dabei aus der Coxeter-Präsentation der Coxeter-Gruppe durch Weglassen der quadratischen Relationen. Die Zopfgruppe des Coxeter Diagramms A mit n Vertizes ZA_{n} ist dann Artins Zopfgruppe mit n Strängen. Die Zopfgruppe ZB_{n} der B-Serie besitzt demnach eine Präsentation mit Generatoren τ_{i}, i = 0, 1, … n − 1, wobei die Generatoren τ_{i}, i ≥ 1 die Artinsche Zopfgruppe ZA_{n} erzeugen, also den Relationen

τ_{i}τ_{j} = τ_{j}τ_{i}  |i − j| > 1  (1)
τ_{i}τ_{j}τ_{i} = τ_{j}τ_{i}τ_{j}  |i − j| = 1  (2)

genügen, und in der der Generator τ_{0} die folgenden Relationen erfüllt:

τ_{0}τ_{1}τ_{0}τ_{1} = τ_{1}τ_{0}τ_{1}τ_{0}  (3)
τ_{0}τ_{i} = τ_{i}τ_{0}  i ≥ 2  (4)

Die Zopfgruppe ZB_{n} kann auf verschiedene Arten visualisiert werden (siehe [6], [7], [8]). Das symmetrische Bild zeigt Elemente aus ZB_{n} als Zöpfe mit 2n Strängen (numeriert −n, …, −1, 1, …, n), die invariant sind unter einer Drehung um 180 Grad um die senkrechte Mittelachse. Im Zylinder-Bild erscheint der B-Zopf als ein Zopf mit n Strängen, der sich um eine feste, links angebrachte (Zylinder-)Achse (numeriert mit 0) winden kann. Dem Generator τ_{0} entspricht die in der Symmetrieachse liegende Kreuzung bzw. die Umrundung der 0-Achse. Die Bilder der Generatoren τ_{i}, i ≥ 0 werden als X_{i}^{(G)} in Bild 1 gezeigt.

Knoten oder Verschlingungen vom Typ B entstehen durch Schließen solcher Zöpfe. Das Zylinder-Bild zeigt dann sehr schön, daß es sich um Verschlingungen handelt, die in einem Volltorus liegen. Verallgemeinerungen auf Henkelkörper beliebigen Geschlechts sind ebenfalls möglich, verlassen aber den Bereich, der durch das Coxeter B-Diagramm abgesteckt wird.

Zöpfe lassen sich in naheliegender Weise zu Schlingeln verallgemeinern, die auch Maxima und Minima, etwa die Generatoren symmetrischer Brücken e_{i}^{(G)}, i ≥ 0, enthalten dürfen.

Die Gruppenalgebra der Artinschen Zopfgruppe besitzt eine Reihe interessanter endlichdimensionaler Quotienten. Die wichtigsten sind die Temperley-Lieb-Algebra, die Hecke-Algebra und die Birman-Murakami-Wenzl-Algebra (kurz BMW-Algebra). Diese Algebren treten als Zentralisatoren n-facher Tensorprodukte der fundamentalen Darstellungen der Quantengruppen zu sl_{2}, sl_{N} und so_{N}, sp_{N} auf. Dieser Zugang liefert auch Tensordarstellungen dieser Algebren und erlaubt es, die auf den Algebren zunächst rein algebraisch definierbaren Markovspuren als Spuren von Matrizen zu verstehen. Hauptanwendung der Markov-Spuren ist die Berechnung von Invarianten von Verschlingungen, nämlich des Jones-Polynoms, des HOMFLY-Polynoms und des Kauffman-Polynoms. Diese Konstruktionen können in den Darstellungskategorien der zugehörigen Quantengruppen formal einheitlich und befriedigend dargestellt werden [20].

Ziel der Knotentheorie der B-Serie ist eine möglichst vollständige Verallgemeinerung dieser Konzepte auf die Zopfgruppe der B-Serie. Während die Beziehungen der B-Knotentheorie zu Quantengruppen erst kürzlich entdeckt wurden [11] und die zugrundeliegende kategorielle Struktur sich erst abzeichnet [16], [9] gibt es bereits eine Reihe von Arbeiten zu Verallgemeinerungen der Typ B Temperley-Lieb- und Hecke-Algebren, unter anderem von Ariki und Koike [1][2], tom Dieck [6][7], Dipper und James [12] und Lambropoulou [22]. Erweiterungen der BMW-Algebra, die Quotienten der Zopfgruppe ZB_{n} sind, wurden bisher noch nicht untersucht. Die vorliegende Arbeit versucht, diese Lücke zu verkleinern.

[figure: Y^{(G)} ≡ X_{0}^{(G)}; ⋯; -3; -2; -1; 3; 2; 1; ⋯; 1; 0; ⋯; X_{i}^{(G)}; ⋯; ⋯; ⋯; e_{0}^{(G)}; ⋯; -3; -2; -1; 3; 2; 1; ⋯; 1; 0; ⋯; e_{i}^{(G)}; ⋯; ⋯; ⋯]

Abbildung 1: Die graphische Interpretation der Generatoren – links als symmetrische Schlingel, rechts als Zylinder-Schlingel

[figure: =]

Abbildung 2: Relation (3) im Zylinderbild

Überblick über Typ B Algebren: Temperley-Lieb-Algebren TB_{n} der B-Serie wurden von T. tom Dieck in [6] eingeführt als Algebren von kreuzungsfreien, symmetrischen Schlingeln. Graphische Generatoren sind die e_{i}^{(G)}, i = 0, …, n − 1 aus Bild 1. Die algebraische Definition lautet:

1. Definition. Die Temperley-Lieb Algebra TB_{n} wird über einem Ring mit Parametern c, d erzeugt von e_{0}, e_{1}, …, e_{n−1} mit den Relationen:

e_{1}e_{0}e_{1} = ce_{1}
e_{i}e_{j}e_{i} = e_{i}  |i − j| = 1, i, j ≥ 1
e_{i}e_{j} = e_{j}e_{i}  |i − j| > 1

e_{0}^{2} = ce_{0}
e_{i}^{2} = de_{i}

TB_{n} trägt eine Markovspur, die zu einer Verallgemeinerung des Jones-Polynoms für B-Verschlingungen führt. Für generische Parameter ist sie halbeinfach, und ihr Bratteli-Diagramm ist durch das Pascal’sche Dreieck gegeben.

Hecke-Algebren des Typs B (und auch anderer Typen) wurden schon eingehend untersucht (siehe etwa [12]). Eine naheliegende Verallgemeinerung ist die Serie der Ariki-Koike-Algebren, aus der sich die Hecke-Algebra HB_{n} für k = 2 ergibt.

2. Definition. Sei AK_{n}^{k} die Ariki-Koike-Algebra [1] mit Generatoren X_{0}, X_{1}, …, X_{n−1} und Parametern Q, p_{i}, i = 0, … k − 1 und Relationen:

X_{0}X_{1}X_{0}X_{1} = X_{1}X_{0}X_{1}X_{0}
X_{i}X_{j} = X_{j}X_{i}  |i − j| > 1
X_{i}X_{j}X_{i} = X_{j}X_{i}X_{j}  |i − j| = 1
X_{i}^{2} = (Q − 1)X_{i} + Q i ≥ 0
0 = ∏_{i=0}^{k−1}(X_{0} − p_{i})

Die Ariki-Koike-Algebra ist für generische Parameter ebenfalls halbeinfach, und ihr Bratteli-Diagramm ist durch Tupel von k Young-Diagrammen mit insgesamt n Kästchen gegeben.

In der vorliegenden Arbeit werden Erweiterungen der Birman-Wenzl-Algebren besprochen, die Quotienten der Zopfgruppe ZB_{n} sind. Das Bild von τ_{0} ∈ ZB_{n} ist dabei ein Generator Y, der ähnlich wie X_{0} in der Ariki-Koike-Algebra einem in Linearfaktoren zerfallenden Polynom k-ter Ordnung genügen soll, so daß die Ariki-Koike-Algebra als ein geeigneter Quotient erhalten werden kann — so wie auch die Hecke-Algebra HA_{n} ein Quotient der Typ A BMW Algebra BA_{n} ist. Die Relationen lauten (im generischen Fall):

X_{i}X_{j} = X_{j}X_{i}  |i − j| > 1
X_{i}X_{j}X_{i} = X_{j}X_{i}X_{j}  |i − j| = 1
e_{i} := 1 − \frac{X_{i} − X_{i}^{−1}}{δ}
X_{i}e_{i} = e_{i}X_{i} = λe_{i}
e_{i}X_{i−1}^{±1}e_{i} = λ^{∓1}e_{i}
X_{1}Y X_{1}Y = Y X_{1}Y X_{1}
Y X_{i} = X_{i}Y  i > 1
e_{1}Y^{i}e_{1} = A_{i}e_{1}
Y X_{1}Y e_{1} = λ^{−1}e_{1} = e_{1}Y X_{1}Y
0 = ∏_{i=0}^{k−1}(Y − p_{i})

Die ersten fünf Relationen beschreiben die gewöhnliche, zum Coxeter Typ A gehörige Birman-Murakami-Wenzl-Algebra [34]. Die restlichen fünf Relationen führen den Zylinderzopf-Generator Y ein, der die Algebra zu einem Quotienten der B-Zopfgruppe macht. Der Parameter k in der letzten Relation möge Höhe genannt werden, und wir sind auch an dem Fall unendlicher Höhe interessiert.

Hauptziel der Arbeit ist die Klärung der Halbeinfachheit und der Multimatrixstruktur über generischen Grundringen. Das geeignete Werkzeug dazu ist die Jones-Wenzl-Theorie [33]. Der Weg zu ihrer Anwendung bestimmt wesentlich die Struktur der Arbeit: Abschnitt 2 bringt die Definition und erste Eigenschaften der Ariki-Koike-BMW-Algebren.

Nach einer Erinnerung der Definition der gewöhnlichen (Typ-A) BMW-Algebra werden in Unterabschnitt 2.1 die Algebren unendlicher Höhe, d.h. ohne polynomielle Relation für Y, eingeführt, und ein generischer Grundring R_{0}^{∞} wird ausgezeichnet. Der nächste Unterabschnitt definiert knotentheoretische Versionen, von denen zunächst nur klar ist, daß sie homomorphe Bilder der zuvor eingeführten Algebren sind. Unterabschnitt 2.1.2 wendet sich wieder den algebraisch definierten Algebren zu. Es werden eine Reihe von Relationen abgeleitet und drei verschiedene (Anti-)Involutionen werden bereit gestellt. Danach wird mit Hilfe eines Theorems von Tuarev (dessen Beweis in einem Anhang gegeben wird) gezeigt, daß über dem generischen Grundring das Annulatorideal von e_{1}e_{3} ⋯ e_{2n−1} verschwindet (eine Voraussetzung für die Existenz einer Markovspur). Unterabschnitt 2.2 führt die Algebren endlicher Höhe ein, bei denen Y einer polynomiellen Gleichung genügt. Für sie ist die Frage nach dem eben angesprochenen Annulatorideal viel schwieriger zu beantworten. Unterabschnitt 2.2.2 untersucht Grundringe für die es verschwindet. Dazu wird ein Modul der Algebra B_{2}^{k} konstruiert (inspiriert durch Fockräume), der für geeignete Ringe frei und isomorph zu einem Linksideal der Algebra ist. Solche Ringe lassen sich auf zwei verschiedene Weisen gewinnen. Wir beschreiten einen methodisch elementaren, aber rechentechnisch aufwendigen Weg, der durch die Art der Modulkonstruktion nahegelegt wird. Dieselben Moduln hat tom Dieck durch die Angabe von Darstellungsmatrizen gewonnen. Er verwendete Potenzreihen, um die Relationen der Grundringe zu diskutieren. Wir referieren seine Ergebnisse.

In Abschnitt 3 wird gezeigt, daß die Algebra linear aufgespannt wird von Wörtern in den Generatoren von bestimmten, einfachen Formen. Daraus ergibt sich, daß für endliches k die Algebra als R-Modul endlich erzeugt ist. Im darauffolgenden Abschnitt wird der klassische Limes untersucht. Es handelt sich um die Algebra der ℤ/(k) bewerteten Brauergraphen. Der klassische Limes wird später genutzt, um zu zeigen, daß die Markovspur, die in Abschnitt 5 konstruiert wird, nicht ausgeartet ist. Voraussetzung für die Existenz dieser Spur ist, daß das Annulatorideal des Elementes e_{1}e_{3} ⋯ e_{2n−1} verschwindet: Die Konstruktion multipliziert ein beliebiges Element von links und rechts mit Elementen, die so gebaut sind, daß sich zeigen läßt, daß das Produkt ein Vielfaches des genannten Elementes ist. Im Abschnitt über die Markovspur 5 wird auch gezeigt, daß die Kauffman-Skeinmoduln endlicher Höhe des Torus frei sind. Abschnitt 6 zeigt die Halbeinfachheit von B_{n}^{k}(K) über geeigneten Körpern und klärt die Struktur als Multimatrixalgebra. Es stellt sich heraus, daß die einzelnen Komponenten duch k-Tupeln von Youngdiagrammen indiziert werden. Die Dimension der Algebra ist k^{n}(2n − 1)!!. Tensordarstellungen für die einfachsten Fälle k = 2 und k = 3 werden in Abschnitt 7 angegeben. Für höhere k wurden leider keine Tensordarstellungen gefunden, und auch die angegebenen haben den Mangel, daß sie den Grundring unnötig einschränken. Abschnitt 8 beschäftigt sich mit der Konstruktion von Invarianten von Knoten im Volltorus. Abschnitt 9 ist der Problematik des nicht generischen Falles gewidmet. Im abschließenden Abschnitt 10 wird die volle Typ B BMW-Algebra definiert als ein Quotient der Algebra BB_{n}^{3}. Ziel ist dabei, eine Algebra zu finden, in der auch der Generator Y ein Polynom dritten Grades erfüllt und der Projektor auf einen der Eigenwerte mit dem graphischen Generator e_{0}^{(G)} identifiziert werden kann. Es gibt dann einen klassischen Limes, der zur symmetrischen Braueralgebra isomorph ist.

Ein Epilog zeigt die kategoriellen Strukturen auf, die den untersuchten Algebren zugrunde liegen. Der Anhang schließlich sammelt ergänzendes Material: Es findet sich ein Beweis von Turaevs Theorem über die Freiheit des Kauffman-Skeinmoduls des Volltorus, sowie Beweise einiger Relationen, die im Haupttext ausgelassen wurden.

Hauptresultate: Die wichtigsten Ergebnisse dieser Arbeit sind: Die Ariki-Koike-BMW-Algebren endlicher Höhe sind über geeigneten generischen Grundringen halbeinfach. Ihre einfachen Komponenten können durch Tupel von Young-Diagrammen indiziert werden. Die Algebren tragen treue Markovspuren, die zu Invarainten von Verschlingungen im Volltorus führen. Der Kauffman-Skein-Modul endlicher Höhe des Volltorus ist ein freier Modul. Es gibt Quantisierungen der Algebra der symmetrischen Brauergraphen.

Anwendungen in der Physik: Neben der Topologie ist die Physik ein weiteres Anwendungsgebiet. Das erkenntnisleitende Prinzip lautet hierbei: Jedes der vielen bekannten Modelle, in denen die Zopfgruppe ZA_{n} auftritt, kann zu einem Modell erweitert werden, in dem ZB_{n} auftritt, wobei die randlose Raumzeit durch eine mit einem Rand ersetzt wird. Diesem Dogma folgend wurde in [17] ein Potts-Modell eingeführt, dessen Zustandssumme sich als Markovspur eines bestimmten Elementes aus TB_{n} schreiben läßt. Ferner lassen sich Lösungen der Reflektionsgleichung integrabler Modelle über die eingeschränkte Typ B BMW-Algebra gewinnen [15]. Auch die von Fredenhagen, Rehren und Schroer untersuchte Anwendung der axiomatischen Quantenfeldtheorie von Ariki/Borchers/Haag/Kastler auf niederdimensionale Modelle läßt sich auf Raumzeiten mit reflektierendem Rand übertragen. Die Darstellungskategorie der Observablenalgebra ist dann eine Typ B gezopfte Tensorkategorie [16], und es scheint problemlos möglich zu sein, die Analyse der Quanten-Symmetrie aus [13],[14] auf diesen Fall zu übertragen. In Hinblick auf den Quanten-Hall-Effekt wäre es wünschenswert, das Ergebnis aus [18] zu verallgemeinern. Eine Darstellung der physikalischen Anwendungen der Typ B Knotentheorie findet sich in [19], so daß die vorliegende Arbeit nicht auf physikalische Fragestellungen eingeht.

Ausblick: Die vorliegende Arbeit weist auf weitere Fragestellungen hin. Es könnte geklärt werden: Die notwendigen Bedingungen für Halbeinfachheit (im nicht generischen Fall), die Darstellungstheorie (irreduzible Moduln, Tensordarstellungen), Existenz weiterer Markovspuren, Form der Idempotenten.

Es wäre auch interessant, nach geometrischen Anwendungen zu suchen. Zum einen liegt die Vermutung nahe, daß mit Hilfe der B-Knotentheorie Invarianten von berandeten 3-Mannigfaltigkeiten konstruiert werden können. Weiter läßt sich fragen, ob die Jones-, HOMFLYund Kauffman-Polynome der B-Serie, ähnlich wie ihre A-Geschwister, benutzt werden können, um geometrische Einsichten zu gewinnen.

Quotienten der Gruppenalgebra von ZB_{n} können nicht wie die des Typs A als Zentralisatoralgebren auftreten, denn der Generator τ_{0} verhält sich bezüglich der gewöhnlichen Zopfung τ_{1} nicht natürlich (es sei denn, es wäre τ_{1}^{2} = 1). Es gibt aber Verallgemeinerungen quasitriangulärer Hopfalgebren auf den B-Fall. Diese Beziehung ist bisher nur im Fall der Quantengruppe U_{q}(sl_{2}) im Detail verstanden worden [11]. Interessant wäre eine Übertragung dieser Ergebnisse auf orthogonale und symplektische Quantengruppen.

Danksagung: Ohne die Anregung, Kritik und Unterstützung durch Professor tom Dieck wäre diese Arbeit undenkbar gewesen. Meiner Frau Felicitas und meinem Sohn Jakob Felix danke ich für ihre fröhliche Geduld. Dankbar bin ich auch für die finanzielle Förderung durch die Deutsche Forschungsgemeinschaft.

2 Die Definition der Ariki-Koike-Birman-Murakami-Wenzl-Algebra

In diesem Abschnitt soll eine Erweiterung der Birman-Murakami-Wenzl-Algebra um einen Zylinder-Zopf-Generator definiert werden. Wir starten mit der Definition der gewöhnlichen BMW-Algebra.

3. Definition. Es sei R ein Ring und x, q, λ ∈ R seien Einheiten, so daß mit δ := q − q^{−1} gilt (1 − x)δ = λ − λ^{−1}. Die Birman-Murakami-Wenzl Algebra BA_{n}(R) wird erzeugt von Generatoren X_{1}, …, X_{n−1}, e_{1}, …, e_{n−1} und den folgenden Relationen:

X_{i}X_{j} = X_{j}X_{i}  |i − j| > 1  (5)
X_{i}X_{j}X_{i} = X_{j}X_{i}X_{j}  |i − j| = 1  (6)
X_{i}e_{i} = e_{i}X_{i} = λe_{i}  (7)
e_{i}X_{j}^{±1}e_{i} = λ^{∓1}e_{i}  |i − j| = 1  (8)
e_{i}^{2} = xe_{i}  (9)

1 = X_{i}(X_{i} − δ + δe_{i})  (10)
e_{i}e_{j} = e_{j}e_{i}  |i − j| > 1  (11)
e_{i}X_{j}X_{i} = X_{j}^{±}X_{i}^{±}e_{j}  |i − j| = 1  (12)
e_{i}e_{j}e_{i} = e_{i}  |i − j| = 1  (13)

Die Relationen implizieren, daß es Morphismen von der Zopfgruppe und von der Temperley-Lieb-Algebra nach BA_{n} gibt. Die Invertierbarkeit des Parameters x wird erst im Zusammenhang mit der Konstruktion der Markov-Spur notwendig: Ist sie auf tr(1) = 1 normiert, so folgt tr(e_{i}) = x^{−1}.

4. Lemma.

X_{i}^{2} = 1 + δX_{i} − δλe_{i}  (14)
X_{i}^{3} = X_{i}^{2}(λ + δ) + X_{i}(1 − λδ) − λ  (15)
X_{i}^{−2} = 1 + δ^{2} − δX_{i} + δ(λ^{−1} − δ)e_{i} = 1 − δX_{i}^{−1} + δλ^{−1}e_{i}  (16)
0 = (X_{i} − λ)(X_{i} + q^{−1})(X_{i} − q)  (17)
X_{i}^{−1}X_{j}^{±1}X_{i} = X_{j}X_{i}^{±1}X_{j}^{−1}  |i − j| = 1  (18)
X_{i}^{±1}e_{j}e_{i} = X_{j}^{∓1}e_{i}  |i − j| = 1  (19)
e_{i}e_{j}X_{i}^{±1} = e_{i}X_{j}^{∓1}  |i − j| = 1  (20)
e_{i}X_{j}^{±}X_{i}^{±} = e_{i}e_{j}  |i − j| = 1  (21)
X_{i}^{±}X_{j}^{±}e_{i} = e_{j}e_{i}  |i − j| = 1  (22)
X_{i}e_{j}X_{i}^{−1} = X_{j}^{−1}e_{i}X_{j}  |i − j| = 1  (23)
X_{i}e_{j}X_{i} = X_{j}^{−1}e_{i}X_{j}^{−1}  |i − j| = 1  (24)

Beweis: (14)-(17) sind nur Umschreibungen von (10). (18): X_{i}X_{j}X_{i} = X_{j}X_{i}X_{j} ⇒ X_{j}X_{i}X_{j}^{−1} = X_{i}^{−1}X_{j}X_{i} ⇒ X_{i}X_{j}^{−1}X_{i}^{−1} = X_{j}^{−1}X_{i}^{−1}X_{j}

(19): X_{i}^{±}e_{j}e_{i} = X_{j}^{∓}X_{j}^{±}X_{i}^{±}e_{j}e_{i} =^{(12)} X_{j}^{∓}e_{i}X_{j}^{±}X_{i}^{±}e_{i} = λ^{±}X_{j}^{∓}e_{i}X_{j}^{±}e_{i} =^{(8)} X_{j}^{∓}e_{i}

(20): e_{i}e_{j}X_{i}^{±} = e_{i}e_{j}X_{i}^{±}X_{j}^{±}X_{j}^{∓} = e_{i}X_{i}^{±}X_{j}^{±}e_{i}X_{j}^{∓} = λ^{±}e_{i}X_{j}^{±}e_{i}X_{j}^{∓} = e_{i}X_{j}^{∓} (21): Unter Benutzung von (13), (19) und (12) ergibt sich

e_{i}X_{j}^{±}X_{i}^{±} = e_{i}e_{j}e_{i}X_{j}^{±}X_{i}^{±} = e_{i}X_{i}^{∓}X_{i}^{±}e_{j}e_{i}X_{j}^{±}X_{i}^{±}
= e_{i}X_{i}^{∓}X_{j}^{∓}e_{i}X_{j}^{±}X_{i}^{±} = e_{i}X_{i}^{∓}X_{j}^{∓}X_{j}^{±}X_{i}^{±}e_{j} = e_{i}e_{j}

(22) beweist man analog zu (21). (23,24) sind Folgerungen aus (12).

□

5. Lemma. Falls δ eine Einheit in R ist, ist BA(R) isomorph zur Algebra über invertierbaren Generatoren X_{1}, …, X_{n−1}, deren Relationen mittels der Definition

e_{i} := 1 − \frac{X_{i} − X_{i}^{−1}}{δ}  i = 1, …, n − 1  (25)

gegeben sind durch (5)-(8).

Beweis: (9): e_{i}^{2} = (1 − δ^{−1}(X_{i} − X_{i}^{−1}))e_{i} = e_{i} − δ^{−1}(λe_{i} − λ^{−1}e_{i}) = xe_{i} (11): trivial mit (25) aus (5) (12): trivial aus (25) und (18) (13): Das mittlere e_{j} wird durch (25) ausgedrückt:

e_{i}e_{j}e_{i} = xe_{i} − δ^{−1}(e_{i}X_{j}e_{i} − e_{i}X_{j}^{−1}e_{i}) = (1 − δ^{−1}(λ − λ^{−1}))e_{i} − δ^{−1}(λ^{−1}e_{i} − λe_{i}) = e_{i}

□

2.1 Die Typ-B-BMW-Algebren der Höhe ∞

Zunächst wird eine Typ-B BMW-Algebra definiert, die nur topologisch motivierte Relationen umfaßt. Der Zylinderzopfgenerator Y genügt hier also keiner polynomiellen Gleichung.

6. Definition. Es seien x, q, λ ∈ R Einheiten in einem Ring R, so daß mit δ := q − q^{−1} gilt

(1 − x)δ = λ − λ^{−1}  (26)

Ferner seien A_{i} ∈ R, i ∈ ℕ weitere Parameter. Die Ariki-Koike-BWM-Algebra der Höhe ∞ mit n Strängen B_{n}^{∞}(R) ist definiert als R-Algebra, erzeugt von Generatoren Y, X_{1}, …, X_{n−1}, e_{1}, …, e_{n−1} mit den Relationen der Birman-Murakami-Wenzl-Algebra und zusätzlich den Y betreffenden Relationen:

X_{1}Y X_{1}Y = Y X_{1}Y X_{1}  (27)
Y X_{i} = X_{i}Y i > 1 (28)
Y X_{1}Y e_{1} = λ^{−1}e_{1} = e_{1}Y X_{1}Y  (29)
e_{1}Y^{i}e_{1} = A_{i}e_{1}  i ≥ 1  (30)

Von einem systematischen Standpunkt aus hätte es nahegelegen, diese Algebra entweder BB_{n}^{∞} oder AKBW_{n}^{∞} zu nennen. Der Superskript ∞ weist darauf hin, daß Y keiner polynomiellen Gleichung genügt.

Relation (30) legt es nahe, für x den alternativen Namen A_{0} einzuführen. Wenn der Grundring keine Rolle spielt, lassen wir ihn in der Regel unerwähnt. Von besonderem Interesse ist der Fall, daß R der folgende Quotient eines Laurent-Polynom-

Ringes ist

R_{0}^{∞} := ℂ[q^{±}, x^{±}, λ^{±}, A_{1}, A_{2}, …]/(xδ − δ − λ^{−1} + λ)  (31)

Es wird dabei stets δ := q − q^{−1} verwendet. R_{0}^{∞} ist ein Integritätsbereich, denn das Polynom, durch dessen Hauptideal dividiert wird, ist irreduzibel.

Die folgenden Erweiterungen werden im Zusammenhang mit den Algebren endlicher Höhe benötigt:

R_{0,k}^{∞} := R_{0}^{∞} ⊗_{ℂ} ℂ[p_{0}^{±}, …, p_{k−1}^{±}]  k ∈ ℕ  (32)

Große Teile der folgenden Untersuchung sind auch möglich, wenn der generische Ring über ℤ statt über ℂ definiert wird. Im Zusammenhang mit dem klassischen Limes erweist es sich aber als nützlich, bestimmte Gleichungen lösen zu können, so daß zumindest ein algebraisch abgeschlossener Körper verwendet werden muß.

2.1.1 Graphische Interpretation und Skeinmoduln

Die Definition der Algebra B_{n}^{k} erfolgte bereits in Hinblick auf den graphischen Kalkül der B-Zöpfe. In diesem Abschnitt wird diese Beziehung präzisiert.

Wir betrachten die ambienten Isotopieklassen von unorientierten Bändern in (ℝ^{2} −{0})×[0, 1] zwischen n oberen und m unteren auf den Halbstrahlen ℝ^{+} × 0 × {0, 1} eingebetteten Intervallen. Dabei dürfen auch geschlossene (also weder oben noch unten befestigte) Bänder auftreten. Eine solche Klasse heißt zahm, wenn sie einen stückweise linearen Vertreter enthält (vgl. [3]). Für einen kommutativen Ring R sei C_{n,m} = C_{n,m}(R) der R-Modul, der von solchen zahmen Isotopieklassen aufgespannt wird. Durch Übereinandersetzen ist dann eine Multiplikation C_{n,m} × C_{l,n} → C_{l,m} gegeben. Sie macht die Bandschlingel im Zylinder zu einer Kategorie mit ℕ_{0} als Objekt- und C_{n,m} als Morphismenmenge.

Seien jetzt q, λ, A_{0} Einheiten in R und A_{i}, i ∈ ℕ beliebige weitere Elemente aus R. Der Untermodul S_{n,m}^{∞} ⊂ C_{n,m}(R) werde aufgespannt durch Elemente, die Linearkombinationen von Isotopieklassen sind, welche Representanten besitzen, die sich jeweils nur lokal um eine der drei in Bild 3 gezeigten Teile unterscheiden. Dann setzen wir

K_{n,m}^{∞}(R) := C_{n,m}(R)/S_{n,m}^{∞}  (33)

Für ein s ∈ S_{n,m}^{∞} und a ∈ C_{l,n}, b ∈ C_{m,j} ist offensichtlich bsa ∈ S_{l,j}^{∞}, die Multiplikation überträgt sich also und liefert so wieder eine Kategorie.

[figure: L_{+}; L_{−}; L_{0}; L_{∞}; −; −δ; +δ; L_{α}; L_{c}; −λ; L_{ϕ}; L_{∅}; −A_{m}]

Abbildung 3: Die Skeinrelationen für K_{n,m}^{∞}(R)

Bei den graphischen Generatoren notieren wir auch die Gesamtzahl der Stränge, d.h. wir schreiben X_{i,n}^{(G)}, e_{i,n}^{(G)} und Y_{i,n}^{(G)} für die Generatoren, die im i-ten von n Strängen wirken.

7. Definition. GB_{n}^{∞}(R) sei die Unteralgebra von K_{n,n}^{∞}(R), die von X_{i,n}^{(G)}, e_{i,n}^{(G)}, Y_{1,n}^{(G)}, 1 ≤ i ≤ n−1 erzeugt wird.

8. Lemma. Durch Ψ_{n} : B_{n}^{∞}(R) → GB_{n}^{∞}(R), X_{i} ↦ X_{i,n}^{(G)}, e_{i} ↦ e_{i,n}^{(G)}, Y ↦ Y_{1,n}^{(G)} wird ein surjektiver Algebrenhomomorphismus definiert.

Die Surjektivität ist nach Definition klar. Es reicht also, sich die Bilder der Relationen von B_{n}^{∞}(R) anzuschauen. (27) ist die Vier-Zopf- Relation (3), die in Bild 2 dargestellt ist. Die Relation (28) stammt ebenfalls direkt aus der Zopfgruppe: Y kann mit X_{i} vertauscht werden, wenn die beiden Generatoren keine gemeinsamen Stränge betreffen. Relation (29) wird in Bild 4 veranschaulicht. Der Generator Y^{(G)} ist dabei so zu interpretieren, daß der horizontale Vektor der Bandebene stets zur Zylinderachse zeigt. Andere Interpretationen sind möglich, wenn in (29) ein anderer Parameter gewählt wird. Die vorliegende Wahl kann auch geschrieben werden als

e_{1}X_{1}Y X_{1}Y = e_{1}

.

Relation (30) dient der Elimination unverbundener Komponenten.

Es sei betont, daß diese graphische Algebra, anders als etwa die Temperley-Lieb-Algebra, nicht über eine vorgegebene Basis definiert ist. Darum müssen wir uns auch keine Gedanken machen, ob wir die geschlossenen Bänder, die bei der Multiplikation entstehen, eliminieren können. Ebenso wichtig ist, daß diese Algebra, obwohl sie einen globalen Blick auf ihre Elemente bietet, durch Generatoren und Relationen beschrieben ist. Die Relationen sind aber teilweise nicht explizit gegeben, sondern werden durch Isotopieäquivalenz bestimmt. Die Existenz des Morphismus Ψ_{n} stellt sicher, daß alle Beziehungen zwischen Wörtern in den Generatoren auch für die graphische Version gelten. Insbesondere gilt etwa der in Abschnitt 3 zu beweisende Wortsatz und der Satz über das Erzeugendensystem auch für GB_{n}^{∞}. Auch die Überlegungen des Abschnittes zur Markovspur können wörtlich übertragen werden. Beachtung verdient allein die Möglichkeit, daß Ψ_{n} einen Kern haben könnte, d.h. daß nicht alle Isotopiebewegungen aus den explizit algebraisch angegebenen zusammengesetzt werden können.

Es gibt eine lineare Abbildung GB_{n}^{∞} → GB_{n−1}^{∞}, die durch Schließen des letzten Stranges durch ein in der Fläche ℝ^{+} × 0 × [0, 1] rechts vom eigentlichen Graphen verlaufendes Band gegeben ist. Durch Iteration landet man schließlich in GB_{0}^{∞}, dem Skeinmodul des Volltorus.

[figure: = λ^{−1}; = A_{2}]

Abbildung 4: Links Relation (29) und rechts Relation (30) im Zylinderbild

2.1.2 Einfache Folgerungen

Beim Studium der Relationen, die Y einbeziehen, werden sich folgende Definitionen als nützlich erweisen:

Y_{i} := X_{i−1}X_{i−2} ⋯ X_{1}Y X_{1}^{−1} ⋯ X_{i−2}^{−1}X_{i−1}^{−1}  (34)
Y′_{i} := = X_{i−1}X_{i−2} ⋯ X_{1}Y X_{1} ⋯ X_{i−2}X_{i−1}  (35)

Im folgenden werden eine Reihe von Relationen angegeben, auf die wiederholt Bezug genommen werden muß. Beweise werden im Anhang gegeben.

Das Element X_{1}Y X_{1}Y ist in B_{2}^{∞} zentral.

0 = [X_{1}Y X_{1}Y, {Y, e_{1}, X_{1}}]  (36)

Die X_{i} kommutieren mit den verschobenen Y, wenn sie auf verschiedenen Strängen operieren:

0 = [Y_{i}, X_{j}] = [Y_{i}, e_{j}]  j ≠ i, i − 1  (37)
0 = [Y′_{i}, X_{j}] = [Y′_{i}, e_{j}]  j ≠ i, i − 1  (38)

Die nächsten Beziehungen sind triviale Umschreibungen der Definition:

Y′_{i+1}X_{i}^{−1} = X_{i}Y′_{i}  (39)
Y_{i+1}X_{i} = X_{i}Y_{i}  (40)

Wichtig ist, daß sich einige der definierenden Relationen verschieben lassen:

X_{i}Y_{i}X_{i}Y_{i} = Y_{i}X_{i}Y_{i}X_{i}  (41)
X_{i}Y′_{i}X_{i}Y′_{i} = Y′_{i}X_{i}Y′_{i}X_{i}  (42)
λ^{−1}e_{i} = e_{i}Y_{i}X_{i}Y_{i} = Y_{i}X_{i}Y_{i}e_{i}  (43)
λ^{−1}e_{i} = e_{i}Y′_{i}X_{i}Y′_{i} = Y′_{i}X_{i}Y′_{i}e_{i}  (44)
e_{i}Y_{i}^{m}e_{i} = A_{m}e_{i}  (45)

Im Gegensatz zu den Y_{i} kommutieren die Y′_{i} für verschiedene Indizes.

Y′_{i}Y′_{j} = Y′_{j}Y′_{i}  (46)

Einige weitere, gelegentlich benötigte Folgerungen sind:

Y_{i}Y_{i−1}^{−1} = Y_{i−1}^{−1}X_{i−1}^{−1}Y_{i−1}X_{i−1}  (47)
Y_{i}e_{i−1} = λ^{−2}Y_{i−1}^{−1}e_{i−1}  (48)
e_{i−1}Y_{i} = e_{i−1}Y_{i−1}^{−1} − λδe_{i−1}Y_{i−1} + δλA_{1}e_{1}  (49)
e_{i−1}Y′_{i} = e_{i−1}Y′_{i−1}^{−1}  (50)
Y′_{i}e_{i−1} = Y′_{i−1}^{−1}e_{i−1}  (51)
X_{i}Y_{i+1} = X_{i}Y_{i} − δY_{i} + δY_{i}e_{i} + δY_{i+1} − δe_{i}Y_{i}^{−1} +
δ^{2}λe_{i}Y_{i} − δ^{2}λA_{1}e_{i}  (52)
Y_{i+1}^{l}X_{i} = X_{i}Y_{i}^{l}  (53)

Die folgenden Relationen sind von großer Bedeutung, da sie zeigen, daß das von e_{1} in B_{2}^{∞} erzeugte Ideal^{1} von Y^{i}e_{1}Y^{j}, i, j ∈ ℤ aufgespannt wird.

e_{i}Y_{i}^{l}X_{i} = e_{i}Y_{i}^{l−1}X_{i}Y_{i}^{−1} − δe_{i}Y_{i}^{l−2} + δA_{l−1}e_{i}Y_{i}^{−1}  (54)
X_{i}Y_{i}^{l}e_{i} = Y_{i}^{−1}X_{i}Y_{i}^{l−1}e_{i} − δY_{i}^{l−2}e_{i} + δA_{l−1}Y_{i}^{−1}e_{i}  (55)
X_{1}Y^{m}e_{1} = λ^{−1}Y^{−m}e_{1} + ∑_{s=1}^{m−1} δ(A_{m−s}Y^{−s} − Y^{m−2s})e_{1}  (56)

X_{1}Y^{−m}e_{1} = λY^{m}e_{1} + ∑_{s=0}^{m−1} δ(Y^{−m+2s} − A_{s−m}Y^{s})e_{1}  (57)

Die letzte Beziehung erlaubt es, Koeffizienten A_{i} mit negativem i zu berechnen, wenn das Annulatorideal von e_{1} verschwindet. Sie sollen e_{1}Y^{−m}e_{1} = A_{−m}e_{1} erfüllen. Durch Multiplikation von (57) von links mit e_{1} ergibt sich.

λA_{−m} = λA_{m} + ∑_{s=0}^{m−1} δ(A_{2s−m} − A_{s−m}A_{s})

Nach einer Änderung des Summationsbereiches machen wir daraus die folgende

9. Definition. Für m > 0 seien die A_{−m} ∈ R rekursiv definiert durch:

A_{−m} = λ^{2}A_{m} + λ ∑_{s=1}^{m−1} δ(A_{2s−m} − A_{s−m}A_{s})  (58)

10. Bemerkung. Es gibt eine Anti-Involution von B_{n}^{∞}(R_{0}^{∞}) (und analog von B_{n}^{∞}(R_{0,k}^{∞})), aufgefaßt als ℂ-Algebra, so daß

X_{i}^{∗} = X_{i}^{−1}, e_{i}^{∗} = e_{i}, Y^{∗} = Y^{−1}, q^{∗} = q^{−1}, λ^{∗} = λ^{−1}, A_{i}^{∗} = A_{−i}  (59)

Zum Beweis rechnet man sofort nach, daß das Bild der Relationen unter dieser Anti-Involution (einfache) Folgerungen aus den Relationen sind.

11. Bemerkung. Durch X_{i}^{†} := X_{n−i}, Y^{†} := Y_{n} wird eine Involution † auf B_{n}^{∞} gegeben.

Beweis: Alle Relationen, die nur einen Index involvieren, oder nur vom Betrag der Differenz zweier Indizes abhängen sind offensichtlich mit dieser Definition kompatibel. Wir prüfen (30):

(e_{1}Y^{i}e_{1} − A_{i}e_{1})^{†} = e_{n−1}Y_{n}^{i}e_{n−1} − A_{i}e_{n−1}
= e_{n−1}X_{n−1}Y_{n−1}^{i}X_{n−1}^{−1}e_{n−1} − A_{i}e_{n−1} = 0

1’Ideal’ bedeutet in dieser Arbeit immer ’zweiseitiges Ideal’, ansonsten wird von Links- und Rechtsidealen gesprochen.

Relation (29) ist ebenso erhalten:

(Y X_{1}Y e_{1} − λ^{−1}e_{1})^{†} = e_{n−1}Y_{n}X_{n−1}Y_{n} − λ^{−1}e_{n−1}
= e_{n−1}X_{n−1}Y_{n−1}X_{n−1}^{−1}X_{n−1}X_{n−1}Y_{n−1}X_{n−1}^{−1} − λ^{−1}e_{n−1}
= λe_{n−1}Y_{n−1}X_{n−1}Y_{n−1}X_{n−1}^{−1} − λ^{−1}e_{n−1}
= λλ^{−1}e_{n−1}X_{n−1}^{−1} − λ^{−1}e_{n−1} = 0
□

12. Bemerkung. Ein Blick auf die Definitionen zeigt, daß es eine weitere Anti-Involution a ↦ \overline{a} gibt, die alle Generatoren invariant läßt.

Später wird gezeigt werden, daß eine Markovspur auf unseren Algebren existiert, wenn das Annulatorideal von

E_{n} := e_{1}e_{3} ⋯ e_{2n−1} ∈ B_{2n}^{∞}(R)  (60)

verschwindet. Der oben eingeführte generische Grundring hat diese Eigenschaft:

13. Satz. ann(E_{n}) = {0} in B_{2n}^{∞}(R_{0}^{∞}).

Beweis: Angenommen, wir hätten ein 0 ≠ μ ∈ R_{0}^{∞} aus dem Annulatorideal: μE_{n} = 0. Es folgt sofort 0 = μΨ_{2n}(E_{n}). In dieser graphischen Situation können wir ausnutzen, daß wir nicht nur eine Folge von Algebren, sondern eine Kategorie zur Verfügung haben. Wir definieren U_{n} ∈ K_{2n,0}^{∞}(R_{0}^{∞}) als die Skein-Isotopie-Äquivalenzklasse von n Minima und U′_{n} ∈ K_{0,2n}^{∞}(R_{0}^{∞}) entsprechend als Klasse von n Maxima. Durch Multiplikation mit diesen Elementen von links und rechts entsteht

0 = μU_{n}Ψ_{2n}(E_{n})U′_{n} = μA_{0}^{2n}[∅]

Dabei ist [∅] die Klasse des leeren Knotens. Sie hat unter unseren Annahmen also ein nichttriviales Annulatorideal. Dies steht aber im Widerspruch zu einer Folgerung aus einem Theorem von Turaev (Satz 92), die besagt, daß gilt:

K_{0,0}^{∞}(R_{0}^{∞}) =^{∼} R_{0}^{∞}  (61)
□

Für die weiteren Untersuchungen definieren wir folgende Untermoduln:

N^{∞} = N^{∞}(R) = span_{R}(Y^{i}e_{1} | i ∈ ℤ) ⊂ B_{2}^{∞}(R)  (62)
GN^{∞} = GN^{∞}(R) = span_{R}((Y^{(G)})^{i}e_{1}^{(G)} | i ∈ ℤ) ⊂ GB_{2}^{∞}(R)  (63)

14. Satz. N^{∞} (resp. GN^{∞}) sind die von e_{1} (resp. e_{1}^{(G)}) erzeugten Linksideale. Für Quotientenringe von R_{0}^{∞} sind die in der Definition angegebenen Mengen sogar Basen. Insbesondere ist dann also N^{∞}(R) =^{∼} GN^{∞}(R) frei. Weiter gilt sogar, daß die Mengen {Y^{i}e_{1}Y^{j} | i, j ∈ ℤ} und {(Y^{(G)})^{i}e_{1}^{(G)}(Y^{(G)})^{j} | i, j ∈ ℤ} linear unabhängig sind. Sie spannen die zweiseitigen von e_{1} b.z.w. e_{1}^{(G)} erzeugten Ideale auf.

Für beliebige Grundringe gilt: Wann immmer die Determinante der Matrix (A_{i+j}), i, j = 0, …, m kein Nullteiler ist, sind die Elemente e_{1}, Y e_{1}, …, Y^{m}e_{1} (resp. e_{1}^{(G)}, Y^{(G)}e_{1}^{(G)}, …, (Y^{(G)})^{m}e_{1}^{(G)}) linear unabhängig.

Beweis: Die erste Aussage wurde schon bei der Diskussion der Relationen gezeigt. Zur zweiten: Wir betrachten zuerst die Situation R = R_{0}^{∞}. Eine lineare Abhängigkeit der {Y^{i}e_{1}} würde sich sofort auf die graphische Algebra übertragen. Nehmen wir also an, es gäbe eine lineare Abhängigkeit der (Y^{(G)})^{i}e_{1}^{(G)}. Wegen der Invertierbarkeit des Generators Y^{(G)} kann immer i = 0 als niedrigster Term mit nichtverschwindendem Koeffizienten angenommen werden:

0 = ∑_{i=0}^{m} α_{i}(Y^{(G)})^{i}e_{1}^{(G)} α_{i} ∈ R_{0}^{∞}

Multiplikation von links mit U_{1}(Y^{(G)})^{j} und von rechts mit U′_{1} liefert

0 = ∑_{i} α_{i}A_{i+j}A_{0}[∅]

also wegen (61) und der Invertierbarkeit von A_{0} sogar 0 = ∑_{i} α_{i}A_{i+j}. Die Determinante d der Matrix A_{i+j}, i, j = 0, … m verschwindet offensichtlich nicht und deshalb müssen alle α_{i} verschwinden. Der Übergang zu Quotientenringen ändert nach allgemeinen Sätzen der Algebra die Basis nicht. Die Behauptung der Isomorphie von N^{∞} und NG^{∞} ist trivial. Die Erweiterung auf die Mengen {Y^{i}e_{1}Y^{j} | i, j ∈ ℤ} und ({(Y^{(G)})^{i}e_{1}^{(G)}(Y^{(G)})^{j} | i, j ∈ ℤ} bereitet keine Schwierigkeiten: Beidseitige Multiplikation mit U_{1}(Y^{(G)})^{s} b.z.w. (Y^{(G)})^{t}U′_{1} führt eine vermutete lineare Abhängigkeit über in

0 = ∑_{i,j≥0} α_{i,j}A_{s+i}A_{j+t}A_{0}[∅]

In Matrixschreibweise hat man also 0 = AαA und damit, wegen der nichtverschwindenden Determinante, α = 0. Daß es sich bei den linearen Hüllen der angegebenen Mengen um Ideale handelt, zeigt ein Blick auf die abgeleiteten Relationen.

Zum Beweis des letzten Aussagenteils wird ähnlich wie eben argumentiert. Im Ring R wird das von der Determinanten d erzeugte multiplikative System S := {d^{n} | n ∈ ℕ} gebildet. Da d kein Nullteiler sein soll, ist die kanonische Abbildung i : R → R_{S} injektiv. Die Matrix (A_{i+j})_{i,j} ist in R_{S} nach Cramers Regel invertierbar, und daher ist α_{i} = 0∀i die einzige Lösung in R_{S} und, wegen der Injektivität von i, ebenso in R. □

Der folgende Satz füht die Betrachtung des Zweistrang-Falles n = 2 fort. Er wird in der Anwendung auf Algebren endlicher Höhe benötigt.

15. Satz. Für die Grundringe R_{0}^{∞}, R_{0,k}^{∞} oder Quotienten davon, sind GB_{2}^{∞} und B_{2}^{∞} isomorph.

Beweis: Aus Satz 14 wissen wir, daß die von e_{1} und e_{1}^{(G)} erzeugten zweiseitigen Ideale I_{2} und I_{2}^{(G)} isomorph sind. Wir betrachten das folgende Diagramm:

0 →  I_{2}  → B_{2}^{∞} → B_{2}^{∞}/I_{2} → 0
↓ Ψ_{2} |_{I_{2}}  ↓ Ψ_{2}  ↓ Ψ̂_{2}
0 → I_{2}^{(G)} → GB_{2}^{∞} → GB_{2}^{∞}/I_{2}^{(G)} → 0

Darin ist Ψ̂_{2} die auf den Quotienten induzierte Abbildung. Alle Algebren sind über den im Satz angegebenen Grundringen zu verstehen. Mit Hilfe des Fünferlemmas sind wir fertig, wenn wir gezeigt haben, daß Ψ̂_{2} ein Isomorphismus ist. Der Quotient B_{2}^{∞}/I_{2} ist offensichtlich isomorph zur verallgemeinerten B-Hecke-Algebra H^{∞}B_{2}. In [8] hat tom Dieck gezeigt, daß diese Algebra isomorph ist zur Algebra der Zöpfe im Zylinder modulo Hecke-Relationen für gewöhnliche Kreuzungen. Betrachten wir GB_{2}^{∞}/I_{2}^{(G)}. Eine Verschlingung in einer Äquivalenzklasse von GB_{2}^{∞}, die sich nach der Forderung aus Definition 7 als Produkt der Generatoren schreiben läßt, liegt genau dann in dem Ideal I_{2}^{(G)}, wenn es horizontale Abschnitte in ihr gibt. Der Quotient GB_{2}^{∞}/I_{2}^{(G)} besteht deshalb aus Äquivalenzklassen von Zöpfen im Zylinder. Die geforderten Skeinrelationen reduzieren sich dann auf die Hecke-Relationen für gewöhnliche Kreuzungen, so daß sich die Behauptung ergibt. □ Ein anderer Beweis des vorstehenden Satzes ergibt sich aus dem Umstand, daß man ’gute’ lineare Erzeugendensysteme hat. Nach Satz 14 und [8][Theorem (5.2)] wird B_{2}^{∞} nämlich erzeugt von

S := {Y^{i}e_{1}Y^{j}} ∪ {Y^{i}X_{1}Y^{j}X_{1}} ∪ {Y^{i}X_{1}Y^{j}} i, j ∈ ℤ

Demnach erzeugt Ψ_{2}(S) =: S^{(G)} die graphische Algebra GB_{2}^{∞}. Die Teilmengen S_{m}^{(G)} ⊂ S^{(G)} mögen aus allen Elementen mit |i|, |j| ≤ m bestehen. Wir schreiben S_{m}^{(G)} =: {b_{m,μ}}, wobei der Index μ aus einer geeigneten Indexmenge stammt. Unter Benutzung der Spur, des klassischen Limes und des Argumentes aus Abschnitt 5.1 ergibt sich dann, daß für jedes m ∈ ℕ die Determinante von (tr(b_{m,μ}b_{m,ν}))_{μ,ν} nicht verschwindet. Wenn aber eine lineare Abhängigkeit (mit endlich vielen Termen, also ganz im Spann einer Menge S_{m}^{(G)}) bestünde 0 = ∑_{μ} α_{μ}b_{m,μ}, so lieferte Multiplikation mit b_{m,ν} und Anwendung der Spur 0 = ∑_{μ} α_{μ}tr(b_{m,μ}, b_{m,ν}). Weil wir uns in einem Integritätsbereich befinden, folgt, wie üblich, α = 0. Es ist also S^{(G)} und folglich auch S linear unabhängig, und damit ist die Isomorphie gezeigt.

2.2 Die Algebren von endlicher Höhe

Die bisher betrachteten Algebren sind unendlichdimensional. Um zu einer endlichdimensionalen Situation zu kommen, in der die Strukturuntersuchung mit Hilfe der Jones-Wenzl-Theorie durchgeführt werden kann, verlangen wir nun, daß Y eine polynomielle Gleichung erfüllen möge.

16. Definition. Sei k ∈ ℕ fest gewählt und R ein Ring wie in Definition 6, aber mit zusätzlich gewählten Einheiten p_{0}, …, p_{k−1} ∈ R^{∗}. Die Ariki-Koike-BWM-Algebra der Höhe k mit n Strängen B_{n}^{k}(R) ist der Quotient von B_{n}^{∞}(R) nach der Relation:

0 = ∏_{i=0}^{k−1}(Y − p_{i})  (64)

Analog ist die graphische Variante der Ariki-Koike-BWM-Algebra der Höhe k mit n Strängen GB_{n}^{k}(R) definiert als Quotient von GB_{n}^{∞}(R) nach der Relation:

0 = ∏_{i=0}^{k−1}(Y^{(G)} − p_{i})

Diese Quotientenbildung kann natürlich auch auf der Ebene der Skeinmoduln vorgenommen werden:

17. Definition. Sei R ein Ring wie in der vorstehenden Definition 16. Der Untermodul S_{n,m}^{k} von C_{n,m}(R) werde von den Relationen des Untermoduls S_{n,m}^{∞} und zusätzlich von der Relation 0 = ∏_{i=0}^{k−1}(Y^{(G)} − p_{i}) erzeugt. Der Quotient K_{0,0}^{k}(R) heißt der Kauffman-Skeinmodul des Volltorus der Höhe k.

Natürlich bilden auch diese Moduln die Morphismenmengen einer Skeinkategorie.

18. Definition. Es seien q_{k−1}, …, q_{0} die vorzeichenbehafteten elementarsymmetrischen Polynome in den p_{0}, …, p_{k−1}, so daß also gilt:

Y^{k} = ∑_{i=0}^{k−1} q_{i}Y^{i}  (65)

Für m ≥ k ergeben sich Relationen für die A_{m}:

A_{m}e_{1} = e_{1}Y^{m}e_{1} = e_{1}Y^{k}Y^{m−k}e_{1} = ∑_{i=0}^{k−1} q_{i}A_{m−k+i}e_{1}

Da e_{1} für die Konstruktion der Markovspur ein verschwindendes Annulatorideal haben muß, fordern wir stets die Gültigkeit der Gleichungen:

A_{m} = ∑_{i=0}^{k−1} q_{i}A_{m−k+i}  ∀m ≥ k  (66)

Als erste Annäherung eines generischen Ringes für B_{n}^{k} definieren wir 19. Definition.

R_{0}^{k} := (R_{0}^{∞} ⊗_{ℂ} ℂ[p_{0}^{±}, …, p_{k−1}^{±}])/(66) = R_{0,k}^{∞}/(66)  (67)

Relation (64) bietet eine zweite Möglichkeit, die A_{−m}, m > 0 zu berechnen: Es kann nämlich Y^{−m} als Linearkombination von positiven Potenzen von Y geschrieben werden. Beide Methoden liefern nur dasselbe Ergebnis, wenn bestimmte Beziehungen zwischen den A_{i} und den q_{i} gelten. Solche Beziehungen werden in Unterabschnitt 2.2.2 abgeleitet. Die dort gefundenen Beziehungen sind zumindest für die Fälle k = 2, 3 äquivalent zu den eben gefundenen.

Da q_{0} = (−1)^{k−1} ∏_{i} p_{i} invertierbar ist, kann Y^{−1} berechnet werden:

Y^{−1} = ∑_{i=0}^{k−1} \overline{q}_{i}Y^{i} mit \overline{q}_{k−1} = q_{0}^{−1} \overline{q}_{i−1} = −q_{i}q_{0}^{−1}  (68)

Die Koeffizienten sind dabei durch die angegebene Rekursion eindeutig bestimmt, und diese ist eindeutig festgelegt, da die Y^{i} linear unabhängig sind. Man betrachte nämlich den Quotienten nach den Relationen X_{i} = q, e_{i} = 0. Dieser ist eine Algebra mit einem Erzeuger, der wieder Y genannt werden soll, und Relation (64). Durch P_{i} := ∏_{i≠j=0}^{k−1}(Y − p_{j}) werden dann orthogonale, nicht-normierte Projektoren definiert: P_{i}P_{j} = δ_{i,j}s_{i}, Y P_{i} = p_{i}P_{i}. Die Normierungsfaktoren sind s_{i} = ∏_{i≠j=0}^{k−1}(p_{i} − p_{j}). Wenn dies Einheiten sind, existieren orthogonale, normierte Projektoren. Wenn die Vandermonde-Determinante det(p_{j}^{i}) kein Nullteiler ist (was für den generischren Ring zutrifft), sind die Y^{i} linear unabhängig, und bleiben es auch bei Grundringspezialisierung.

Durch Iteration erhält man Ausdrücke \overline{Q}_{i,j}, so daß gilt:

Y^{−i} = ∑_{j=0}^{k−1} \overline{Q}_{i,j}Y^{j}  (69)

Wichtiger werden allerdings im folgenden die Koefizienten der folgenden Expansion:

Y^{k+m} = ∑_{i=0}^{k−1} q̂_{m,i}Y^{i}  (70)

Eine einfache Rechnung zeigt insbesondere:

q̂_{m,k−1} = ∑_{s=1}^{m+1} ∑′_{i_{1},...,i_{s}}q_{k−i_{1}} ⋯ q_{k−i_{s}}  mit ∑_{ν} i_{ν} = m + 1, i_{j} ≥ 1  (71)

Durch Multiplikation von (70) mit Y^{2−k} und Anwendung der Substitution m ↦ m − 2 gewinnen wir

Y^{m} = ∑_{j=−(k−2)}^{1} q̂_{m−2,j+k−2}Y^{j} =: ∑_{j=−(k−2)}^{1} q̃_{m,j}Y^{j}  (72)

Für die hier neu eingeführten Koefizienten lautet obige Beziehung

q̃_{m+1,1} = ∑_{s=1}^{m} ∑′_{i_{1},...,i_{s}}q_{k−i_{1}} ⋯ q_{k−i_{s}}  mit ∑_{ν} i_{ν} = m, i_{j} ≥ 1  (73)

20. Bemerkung. Es gibt eine Anti-Involution von B_{n}^{k}(R_{1}^{k}), aufgefaßt als ℂ-Algebra, so daß

X_{i}^{∗} = X_{i}^{−1}, e_{i}^{∗} = e_{i}, Y^{∗} = Y^{−1}, q^{∗} = q^{−1}, λ^{∗} = λ^{−1}, p_{i}^{∗} = p_{i}^{−1}, A_{i}^{∗} = A_{−i}  (74)

Zum Beweis ist nur zu prüfen, ob sich die entsprechende Anti-Involution von B_{n}^{∞} mit dem Quotienten nach 0 = ∏_{i}(Y − P_{i}) verträgt - eine Trivialität. Die anderen (Anti-)Involutionen übertragen sich ebenfalls.

Offensichtlich überträgt sich die Expansionsgleichung auf alle Y_{i}, nicht aber auf die Y′_{i}.

Y_{i}^{k} = ∑_{j=0}^{k−1} q_{j}Y_{i}^{j}  (75)

Y_{i}^{−1} = ∑_{j=0}^{k−1} \overline{q}_{j}Y_{i}^{j}  (76)

2.2.1 Beziehungen zu anderen Knotenalgebren

Die e_{i} zusammen mit einem Projektor e_{0} auf einen der Eigenwerte von Y erfüllen die Relationen der Typ-B-Temperley-Lieb-Algebra. Der Quotient nach dem von e_{1} erzeugten Ideal ist die Ariki-Koike-Algebra. Für bestimmte Parameterwerte kann auch die Typ-A-BMW-Algebra als Quotient erhalten werden.

21. Lemma. Sei J_{n} das von Y_{n} − p_{0} in B_{n}^{k} erzeugte Ideal. Jedes andere Y_{i} − p_{0}, i = 1, …, n erzeugt dasselbe Ideal und der Quotient R/(λ^{−1} − λp_{0}^{2}, xp_{0}^{i} − A_{i}) ⊗_{R} B_{n}^{k}(R)/J_{n} ist isomorph zur A-Birman-Wenzl Algebra BA_{n}(R/(λ^{−1} − λp_{0}^{2}, xp_{0}^{i} − A_{i})).

Beweis: Die erste Behauptung ist eine Konsequenz der Definition der Y_{i}. Die Spezialisierung von λ und den A_{i} ist nötig, denn im Quotienten nach J_{n} wird 0 = e_{1}Y X_{1}Y − λ^{−1}e_{1} = e_{1}p_{0}X_{1}p_{0} − λ^{−1}e_{1} = e_{1}(p_{0}^{2}λ − λ^{−1}) und A_{i}e_{1} = e_{1}Y^{i}e_{1} = p_{0}^{i}e_{1}. Die restlichen Relationen sind unbedenklich, und man sieht sofort, daß man surjektive, zueinander inverse Morphismen zu und von BA_{n} angeben kann. □

22. Definition. I_{n} bezeichne das von e_{n−1} in B_{n}^{k} erzeugte Ideal.

23. Lemma. Das Ideal I_{n} wird auch von jedem anderen e_{i} erzeugt. Der Quotient B_{n}^{k}/I_{n} ist isomorph zu AK_{n}^{k} (Dabei ist k ∈ ℕ ∪ {∞}).

Beweis: Die erste Behauptung ist eine Folge von Relation (23), die es erlaubt, ein beliebiges e_{i} durch ein beliebiges anderes e_{j} auszudrücken. Der Isomorphismus B_{n}^{k}/I_{n} → AK_{n}^{k} wird gegeben durch [X_{i}] ↦ q^{−1}X_{i}, Q = q^{2}, [Y] ↦ X_{0} (eckige Klammern bezeichnen Äquivalenzklassen). □

Von Interesse für die knotentheoretischen Anwendungen ist der Projektor auf den Eigenwert p_{0} von Y. Ein solcher ist natürlich gegeben durch den oben betrachteten Ausdruck P_{0} := ∏_{i=1}^{k−1}(Y −p_{i}), für unsere Zwecke ist es aber besser, mit Summen der Y^{i} zu arbeiten.

24. Definition. Sei e_{0} = ∑_{i=0}^{k−1} α_{i}Y^{i} ein Projektor auf den Eigenwert p_{0} von Y, d.h. er erfülle e_{0}Y = Y e_{0} = p_{0}e_{0}.

25. Lemma.

α_{k−1} = α_{0}p_{0}q_{0}^{−1}  α_{j−1} = p_{0}α_{j} − α_{k−1}q_{j}  (77)
e_{0}^{2} = x_{0}e_{0}  x_{0} := ∑_{i=0}^{k−1} α_{i}p_{0}^{i}  (78)

e_{1}e_{0}e_{1} = x′_{0}e_{1}  x′_{0} := ∑_{i=0}^{k−1} α_{i}A_{i}  (79)

Beweis: Die Rekursionsgleichung für die Koeffizienten α_{i} kann aus der definierenden Gleichung abgelesen werden: e_{0}Y = ∑_{i=0}^{k−1} α_{i}Y^{i+1} = ∑_{i=1}^{k−1} α_{i−1}Y^{i} + α_{k−1} ∑_{i=0}^{k−1} q_{i}Y^{i} = p_{0} ∑_{i=0}^{k−1} α_{i}Y^{i} = p_{0}e_{0} Der Koeffizient α_{0} bestimmt die ’Länge’ von e_{0} und bleibt unbestimmt. Die Beweise der restlichen Behauptungen sind trivial. □

Die modifizierte B-Temperley-Lieb Algebra ([6], [17]) TB′_{n} ist definiert als Algebra erzeugt von Generatoren e_{0}, e_{1}, …, e_{n−1}, Parametern c, c′, d und Relationen e_{0}^{2} = ce_{0}, e_{i}^{2} = de_{i}, e_{j}e_{l} = e_{l}e_{j}, e_{i}e_{j}e_{i} = e_{i}, e_{1}e_{0}e_{1} = c′e_{1}, 1 ≤ i, j ≤ n − 1, 0 ≤ l ≤ n − 1, |i − j| = 1, |j − l| > 1. Wir haben also einen Morphismus TB′_{n} → B_{n}^{k}.

2.2.2 Grundringe und Moduln für n = 2

Für beliebige Grundringe wird B_{n}^{k}(R) im allgemeinen nicht halbeinfach sein. Erste Probleme bereitet der Umstand, daß das Element e_{1}e_{3} ⋯ nichttriviales Annulatorideal besitzen kann. In diesem Abschnitt werden wir Grundringe untersuchen, in denen dieses Annulatorideal verschwindet.

Im größten Teil des Abschnittes betrachten wir die Algebra mit zwei Strängen B(R) := B_{2}^{k}(R) und lassen die dann immer gleichen Indizes von e_{1} und X_{1} weg.

Wir hatten schon gesehen, daß die Parameter der Algebra nicht beliebig gewählt werden können, ohne wesentliche weitere Relationen nach sich zu ziehen. So legen – in einer mehr physikalischen Sprechweise – sowohl e = λ^{−1}eY XY als auch Y^{k} = ∑_{i} q_{i}Y^{i} eine ’Längenskala’ für Y fest.

26. Definition. Sei k < ∞. In einem Ring R, der die Voraussetzungen von Definition 16 erfüllt, definieren wir ein Konsistenzideal c = (h_{0}, …, h_{k−1}), dessen Erzeuger h_{i} wie folgt erhalten werden: Man benutze (30), (10), (65) und (55), um Y e − λ^{−1}X_{1}^{−1}Y^{−1}e zu einer Linearkombination ∑_{i=0}^{k−1} h_{i}Y^{i}e zu entwickeln.

27. Definition. Der Ring R_{1}^{k} sei definiert als der Quotient R_{1} := R_{0}^{k}/c des generischen Ringes nach seinem Konsistenzideal. Für k = ∞ sei R_{1}^{∞} := R_{0}^{∞}.

Wir führen jetzt einen Ring ein, über dem die Generatoren X_{i} zu einer Darstellung der Permutationsgruppe degenerieren.

28. Definition. Das Ideal J_{c}^{k} ⊂ R_{1} sei für k < ∞ gegeben durch J_{c}^{k} := (λ − 1, q − 1, q_{0} − 1, q_{1}, …, q_{k−1}). Für k = ∞ gelte entsprechend J_{c}^{∞} := (λ − 1, q − 1). Es sei R_{c}^{k} := R_{1}^{k}/J_{c}^{k}.

Nach einem bekannten Satz über elementarsymmetrische Polynome sind die Gleichungen für die q_{i} auflösbar (wir arbeiten mit ℂ als Grundkörper!), der Ring R_{c} also nicht trivial. Durch (λ − 1, q − 1, q_{0} − 1, q_{1}, …, q_{k−1}) wird auch in R_{0}^{k} ein Ideal gegeben. Es umfaßt das Ideal c, denn es gilt nun Y^{−1} = Y^{k−1}, \overline{q}_{k−1} = 1, \overline{q}_{i} = 0 und damit wird (85) trivial. Es folgt, daß R_{c}^{k} gleich dem Quotienten von R_{0}^{k} nach diesem Ideal ist.

29. Definition. Der klassische Limes von B_{n}^{k}(R_{1}^{k}) ist die Algebra

CB_{n}^{k} := B_{n}^{k}(R_{1}^{k}) ⊗_{R_{1}^{k}} (R_{1}^{k}/J_{c}^{k}) = B_{n}^{k}(R_{c}^{k})  (80)

In CB_{n}^{k} gilt X_{i} = X_{i}^{−1} und damit auch Y_{i}^{j} = Y′_{i}^{j}. Eine wichtige Folge ist, daß Y sich dann natürlich bezüglich der Zopfung verhält.

Jetzt sind wir in der Lage, Grundringe mit besonders guten Eigenschaften auszuzeichnen.

30. Definition. Ein Ring R aus den Definitionen 6 oder 16 heißt zulässig, falls gilt:

1. R ist Integritätsring

2. R besitzt R_{c}^{k} als Quotienten.

3. R ist Quotient von R_{1}^{k}.

4. Die Ariki-Koike-Algebra AK_{n}^{k}(R) ist (für alle n) halbeinfach.

Ein Ring heißt potentiell zulässig, wenn die zweite und dritte Bedingung erfüllt ist.

Der erste Punkt wird durch die beabsichtigte Anwendung der Jones-Wenzl-Theorie motiviert, die den Übergang zum Quotientenkörper erfordert. Der zweite Punkt ermöglicht, den klassischen Limes als Beweishilfsmittel zu verwenden. Der dritte Punkt gewährleistet, wie wir gleich sehen werden, die Existenz eines freien R-Moduls, der auch B_{n}^{k}-Darstellung ist. Der letzte Punkt ist notwendig für die Halbeinfachheit der Algebra. Laut [2] ist er äquivalent zum Bestehen der folgenden Ungleichungen:

∏_{i=1}^{m} \frac{q^{2i} − q^{−2i}}{q^{2} − q^{−2}} ≠ 0 ∀m ∈ ℕ

q^{2d}p_{i} ≠ p_{j} ∀d ∈ ℤ, i ≠ j, 0 ≤ i, j ≤ k − 1

31. Lemma. Sei R potentiell zulässig und k < ∞. Dann verschwindet die Determinante der Matrix (A_{i+j})_{i,j}, 0 ≤ i, j < k nicht.

Beweis: Wir bilden d := det(A_{i+j}) zunächst nach R_{c}^{k} ab. Dort ist A_{i} = A_{i+k}. Das Bild von d werfen wir dann nach R_{c}^{k}/(A_{1} = 0, …, A_{k−1} = 0). Das Bild darin ist gleich der Determinante der Matrix

A_{0} 0 0 ⋯ 0 0
0 0 0 ⋯ 0 A_{0}
0 0 0 ⋯ A_{0} 0
⋮ ⋮ ⋮  0 0
0 0 A_{0} ⋯ 0 0
0 A_{0} 0 ⋯ 0 0

Die Determinante hiervon ist (−1)^{k−1}A_{0}^{k}. □

Wir betrachten jetzt die Rolle des Ringes R_{1}^{k} und seiner Quotientenringe für die Modul-Konstruktion. Mittels (30),(65) und (55) sieht man, daß das von e in B(R) erzeugte Ideal I_{2} im Falle k < ∞ von Y^{i}eY^{j}, i, j = 0, 1, …, k −1 (und im Falle k = ∞ von Y^{i}eY^{j}, i, j ∈ ℤ) aufgespannt wird.

32. Definition. Sei R wie in Definition 6 und k < ∞. Es sei V^{k} := V^{k}(R) der freie Modul des Ranges k über R. Die Basis werde mit b_{i}, 0 ≤ i < k bezeichnet. V^{k} wird qua der folgenden Definitionen als Modul über der freien R-Algebra mit Generatoren e, X, Y aufgefaßt:

e.b_{i} := A_{i}b_{0}  mit A_{0} = x
Y.b_{k−1} := ∑_{j=0}^{k−1} q_{j}b_{j}  Y.b_{i} := b_{i+1}
X.b_{0} := λb_{0}  X.b_{1} := λ^{−1}Y^{−1}.b_{0}
X.b_{i} := Y^{−1}.X.b_{i−1} − δb_{i−2} + δA_{i−1}Y^{−1}.b_{0} i ≥ 2

Die Wirkung der Generatoren ist natürlich in der Absicht gewählt, V^{k} zu einem B(R)-Modul zu machen, der isomorph zu dem Modul der Y^{i}e sein sollte.

Dabei wirken Y^{−1} und X^{−1} durch ihre Expansion als Summe von Y^{i} (damit ist sofort klar, daß (Y^{−1}). = (Y.)^{−1} ist), resp. X, e, 1. Es stellt sich dann heraus, daß V^{k} im allgemeinen (z. Bsp. für R_{0}^{k} als Grundring) kein B-Modul ist. Die meisten Relationen sind leicht nachzuprüfen, aber zwei Relationen gelten i. a. nicht: (a) XY XY = Y XY X und (b) X^{2} = 1 + δX − δλe. Relation (b) ist nach der Definition von (X^{−1}). äquivalent zu (X^{−1}). = (X.)^{−1}. Es gilt aber:

33. Lemma. Sei k < ∞. V^{k}(R) ist B(R)-Modul, falls in R die Gleichungen h_{i} = 0 gelten, insbesondere also wenn R = R_{1}^{k} oder R potentiell zulässig ist.

Beweis: Für Ringe der beschriebenen Art gilt qua Definition:

b_{1} = Y.b_{0} = λ^{−1}X^{−1}.Y^{−1}.b_{0}  (81)

Wir betrachten zuerst den Vektor b_{0}. Auf ihm gilt Relation (b) trivialerweise, und Relation (a) rechnet man leicht nach:

X.Y.X.Y.b_{0} = X.Y.X.b_{1} = λ^{−1}X.Y.Y^{−1}.b_{0} = λ^{−1}X.b_{0} = b_{0}
= Y.Y^{−1}.b_{0} = λY.X.b_{1} = Y.X.Y.X.b_{0}

Wir prüfen weiter die inverse Relation (a):

X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.b_{0} =^{(81)} λX^{−1}.Y^{−1}.Y.b_{0} = λX^{−1}.b_{0} = b_{0}
Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.b_{0} = λ^{−1}Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.b_{0} =^{(81)} Y^{−1}.Y.b_{0} = b_{0}

Eine Folge von (81) ist, daß für alle i = 0, …, k − 1 gilt:

X.Y.b_{i−1} = X.b_{i} = Y^{−1}.X^{−1}.b_{i−1}  (82)

Dabei gilt die Vereinbarung b_{−1} = Y^{−1}.b_{0}. Der Fall i = 0 gilt dabei nach (81), der Fall i = 1 ist trivial, und die Fälle i > 1 sind gerade die etwas anders aufgeschriebene Wirkung von X. Nach diesen Vorarbeiten kann der allgemeine Beweis der Relationen (a) und (b) durch Induktion in Angriff genommen werden. Die Induktionshypothese H_{i} lautet: Relationen (a) und (b) gelten auf b_{i−1}. Als ersten zeigen wir die inverse Relation (a) auf b_{i−1}.

Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.b_{i−1} =^{(82)} X.Y.X.Y.b_{i−1}
= X.Y.X.Y.b_{i−1} =^{H_{i}} b_{i−1}
X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.b_{i−1} = X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.b_{i−2} =^{(82)} X^{−1}.X.b_{i−1}
=^{H_{i}} b_{i−1}

Jetzt wird (b) gezeigt:

X^{−1}.X.b_{i} =^{(82)} X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.b_{i−1} = Y.Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.b_{i−1}
= Y.X^{−1}.Y^{−1}.X^{−1}.Y^{−1}.b_{i−1} =^{(82)} Y.X^{−1}.X.b_{i−1} =^{H_{i}} b_{i}

Nun zu (a):

Y.X.Y.X.b_{i} = Y.X.Y.Y^{−1}.X^{−1}.b_{i−1} = Y.X.X^{−1}.b_{i−1} =^{H_{i}} Y.b_{i−1} = b_{i}
X.Y.X.Y.b_{i} =^{(82)} X.Y.Y^{−1}.X^{−1}.b_{i} = X.X^{−1}.b_{i} = b_{i}
□

34. Lemma und Definition. Der Ring R sei potentiell zulässig und k < ∞.

U_{m} := span_{R}{Y^{i}eY^{m} | i = 0, …, k − 1}

Jede der Untermengen U_{m} bildet einen zu V^{k} = V^{k}(R) isomorphen B(R)-Modul. Sie haben paarweise trivialen Schnitt. Wenn R sogar zulässig ist, bilden sie eine direkte Summenzerlegung des zweiseitigen, von e_{1} erzeugten Ideals I_{2}.

Beweis: Die Abbildung ϱ : V^{k}(R) → B(R), b_{i} ↦ Y^{i}e definiert einen Modulisomorphismus zwischen V^{k} und U_{0}. Es ist nämlich zunächst eine Surjektion von R-Moduln, aber nach dem obigen Lemma auch ein Morphismus von B(R)-Moduln. Bleibt nur die Injektivität zu zeigen. Sei also 0 = ∑_{i} α_{i}Y^{i}e, α_{i} ∈ R. Wir wenden diese Beziehung auf b_{0} an und erhalten 0 = x ∑_{i} α_{i}b_{i}. Da x invertierbar ist, folgt sofort, daß alle α_{i} verschwinden. Damit ist gezeigt, daß span_{R}{Y^{i}e_{1}} ein freier R Modul ist. Das gleiche gilt auch für die dazu isomorphen B(R)-Module U_{m}.

Wir zeigen jetzt, daß die U_{m} paarweise trivialen Schnitt haben, daß also gilt m ≠ r ⇒ U_{m} ∩ U_{r} = {0}. Da Y invertierbar ist, reicht es sogar, für m ≥ 1 zu zeigen U_{m} ∩ U_{0} = {0}. Nehmen wir also an, es gäbe ein von Null verschiedenes Element a im Schnitt von U_{0} und U_{m}:

a = ∑_{i} a_{i}Y^{i}e_{1} = ∑_{i} b_{i}Y^{i}e_{1}Y^{m}

Durch Multiplikation von rechts mit e_{1} wird auch die rechte Seite nach U_{0} abgebildet und man kann die Koeffizienten in der Basis von U_{0} vergleichen. Man erhält: a_{i} = x^{−1}A_{m}b_{i}. Also gilt

a = x^{−1}A_{m} ∑_{i} b_{i}Y^{i}e_{1} = ∑_{i} b_{i}Y^{i}e_{1}Y^{m}

Folglich gilt x^{−1}A_{m}aY^{−m} = aY^{−m}Y^{m}, d. h. aY^{−m} ist Eigenvektor von Y^{m} zum Eigenwert x^{−1}A_{m}. Da Y^{m} und x invertierbar sind, folgt die Invertierbarkeit von A_{m} in R. Das Bild von A_{m} in jedem Quotienten von R ist dann, wenn es nicht verschwindet, ebenfalls invertierbar. Wir haben aber schon den Quotienten R_{c}^{k} definiert, in dem A_{m} nicht invertierbar ist. Widerspruch.

Mit einer ähnlichen Argumentation können wir weiter zeigen, daß das von e_{1} erzeugte Ideal I_{2} := span{Y^{i}e_{1}Y^{j}} als ganzes ein freier R-Modul mit der angegebenen Menge als Basis ist. Angenommen, es gäbe eine lineare Abhängigkeit 0 = ∑_{i,j} α_{i,j}Y^{i}e_{1}Y^{j}. Rechtsmultiplikation mit Y^{r}e_{1} liefert 0 = ∑_{i,j} α_{i,j}Y^{i}e_{1}A_{j+r}. Die Y^{i}e_{1} sind linear unabhängig, und daher gilt für jedes i die Beziehung 0 = ∑_{j} α_{i,j}A_{j+r}. Da der Grundring als nullteilerfrei vorausgesetzt wurde, folgt zusammen mit Lemma 31 ein Widerspruch. □

35. Satz. Für einen potentiell zulässigen Ring R verschwindet das Annulatorideal von E_{n} := e_{1}e_{3} ⋯ e_{2n−1} ∈ B_{2n}^{k}(R).

Beweis: Die Abbildung Ψ_{2n} : B_{2n}^{k} → GB_{2n}^{k} gestattet es, das Problem auf die graphische Algebra abzuwälzen. Wäre μE_{n} = 0 für ein 0 ≠ μ ∈ R, so auch 0 = μΨ_{2n}(E_{n}).

Wie schon im Falle k = ∞ nützt jetzt die kategorielle Struktur der graphischen Situation. Es sei V ∈ K_{2n,2}^{k}(R) das Bild des Schlingels der n − 1 Minima zwischen zwei vertikalen Strängen einschließt. V′ ∈ K_{2,2n}^{k}(R) habe entsprechend n − 1 Maxima (vgl. Bild 5). Dann ist^{2}

0 = μV Ψ_{2n}(E_{n})V′ = μe_{1}^{(G)} ∈ GB_{2}^{k}(R)

Es reicht also aus, zu zeigen, daß e_{1}^{(G)} ⊂ GB_{2}^{k}(R) verschwindendes Annulatorideal hat.

Es bezeichne J^{k} das von ∏_{i=0}^{k−1}(Y − p_{i}) in B_{2}^{∞}(R) erzeugte Ideal und GJ^{k} := Ψ_{2}(J^{k}) das entsprechende Ideal in GB_{2}^{∞}(R). Wir betrachten das Diagramm

B_{2}^{∞}(R) ⟶^{Ψ_{2}}  GB_{2}^{∞}(R)
↓ π  ↓ π′
B_{2}^{∞}(R)/J^{k} \underrightarrow{Ψ̂_{2}} GB_{2}^{∞}(R)/GJ^{k}

2Hier wird die offensichtliche Tatsache verwendet, daß V Ψ_{2n}(E_{n})V′ ein Element von GB_{2}^{k} ist, d.h. als Produkt der Zwei-Strang-Generatoren geschrieben werden kann. Es ist aber wichtig zu bemerken, daß für ein beliebiges Element b ∈ GB_{2n}^{k} nach bisherigem Kenntnisstand V bV′ nicht notwendig in GB_{2}^{k} liegt. Es wäre aber möglich, diese Arbeit so umzustellen, daß das auch schon hier klar würde. Dazu müßte die Definition der Spur (und die dafür nötige Behandlung der Wortsätze) vorgezogen werden. Wir könnten dann allerdings noch nicht das Verschwinden des Annulatorideals verwenden und erhielten daher statt der Spur nur eine Abbildung in den Span eines Elementes E_{j}. Das reicht aber, um wie oben mit V und V′ argumentieren zu können.

mit den natürlichen Projektionen π, π′ und der induzierten Abbildung Ψ̂_{2}, die wir bisher ebenfalls als Ψ_{2} bezeichnet haben. Die Quotienten B_{2}^{∞}(R)/J^{k} und GB_{2}^{∞}(R)/GJ^{k} sind natürlich gerade die Algebren B_{2}^{k}(R) und GB_{2}^{k}(R).

Wir wissen aus Satz 15, daß Ψ_{2} ein Isomorphismus ist. Da e_{1} ∈ U_{0} ⊂ B_{2}^{∞}(R)/J^{k} verschwindendes Annulatorideal hat, sind wir fertig, wenn gezeigt ist, daß Ψ̂_{2} injektiv ist. Angenommen, wir haben ein a + J^{k} ∈ B_{2}^{∞}(R)/J^{k} mit 0 = Ψ̂_{2}(a + J^{k}) = π′(Ψ_{2}(a)) = Ψ_{2}(a) + GJ^{k}. Dann ist also Ψ_{2}(a) ∈ GJ^{k}. Wegen der Bijektivität von Ψ_{2} also weiter a ∈ J^{k} und damit ist a + J^{k} ∈ B_{2}^{∞}(R)/J^{k} die Null. Das ist die benötigte Injektivität von Ψ̂_{2}. □

Der Beweis des letzten Satzes hat noch mehr gezeigt:

36. Korollar. Für potentiell zulässige Grundringe sind die Algebren GB_{2}^{k}(R) und B_{2}^{k}(R) isomorph.

37. Satz. R sei zulässig. Dann ist B_{2}^{k}(R) ein freier R-Modul der Dimension k^{2} + k^{2} · 2! = k^{2} · (2 · 2 − 1)!! = 3k^{2} mit Basis

S_{k} := {Y^{i}e_{1}Y^{j}} ∪ {Y^{i}X_{1}Y^{j}X_{1}} ∪ {Y^{i}X_{1}Y^{j}} i, j ∈ {0, … k − 1}

Beweis: Nach Lemma 34 bilden die {Y^{i}e_{1}Y^{j}} eine Basis des Ideals I_{2}. Der Quotient ist die Ariki-Koike-Algebra AK_{2}, und X_{1}, Y werden im Quotienten auf die entsprechenden Generatoren abgebildet. Da die Vereinigung der zweiten und dritten Teilmenge von S_{k} auf eine Basis der Ariki-Koike-Algebra abgebildet wird, sind sie linear unabhängig. Sie erzeugen also einen freien Untermodul. Daher spaltet die exakte Sequenz von R-Moduln 0 → I_{2} → B_{2}^{k}(R) → AK_{2}(R) → 0. □

[figure: U_{n}; U′_{n}; V; V′; ⋯; ⋯; ⋯; ⋯]

Abbildung 5: Diverse Hilfsmorphismen in der Kategorie der Bandschlingel im Zylinder

Wir geben die Beziehungen h_{i} = 0 für k ≤ 3 noch explizit an: Für k = 2 lauten die Koeffizienten:

0 = h_{0}q_{0}^{2} = q^{−1}λ^{−2}(−qq_{0}q_{1} + λ(q^{2} − 1)A_{1}q_{0} − qq_{1})
0 = h_{1}q_{0}^{2} = λ^{−2} + λ^{−1}q_{0}q^{−1} − λ^{−1}qq_{0} − q_{0}^{2}

Die zweite Gleichung faktorisiert:

q_{0} = ±λ^{−1}q^{∓1}

Die erste Gleichung läßt sich dann eindeutig auflösen:

A_{1} = q_{1}λ^{−1}δ^{−1}(1 ∓ λq^{∓1})

Wir setzen daher

L_{2}^{±} := R_{0}/(h_{0}, ±λ^{−1}q^{∓1} − q_{0})  (83)

Im Fall k = 3 gehen wir zur Basis {Y^{−1}e_{1}, e_{1}, Y e_{1}} über. Man überzeugt sich dann leicht, daß die Koeffizienten in dieser Basis dasselbe Ideal definieren. Sie lauten mit q_{0}^{2} multipliziert:

0 = h_{0}q_{0}^{2} = −(q_{0}q_{1} + λ^{−2}q_{2}) − λ^{−1}δq_{0}(1 − A_{2} + xq_{1} + A_{1}q_{2}))
0 = h_{−1}q_{0}^{2} = −λ^{−1}(δq_{0}(q_{0} − A_{1}) + λ^{−1}(q_{1} + q_{0}q_{2}))
0 = h_{1}q_{0}^{2} = λ^{−2} − q_{0}^{2}

Die letzte Gleichung kann geschrieben werden als

q_{0} = ±λ^{−1}

Wir setzen daher

L_{3}^{±} := R_{0}/(h_{0}, h_{−1}, ±λ^{−1} − q_{0})  (84)

L_{3}^{±} ist ein Integritätsbereich. Zum Beweis genügt es, zu zeigen, daß die definierenden Gleichungen im Quotientenkörper von R_{0} eindeutig aufgelöst werden können und den Bedingungen aus Satz 93 genügen (was offensichtlich ist). Eine solche Auflösung ist etwa gegeben durch

A_{1} = q_{2}λ^{−1}δ^{−1} ± λ^{−1} ± q_{1}δ^{−1}
A_{2} = λ^{−1}(q^{2} − 1)^{−1}(−λqδ + λq_{1} − qq_{1} − λq^{2}q_{1} ± q_{2} ∓ λqq_{2} ∓ q^{2}q_{2} ∓ λqq_{1}q_{2} − qq_{2}^{2})

Wir betrachten jetzt wieder den allgemeinen Fall. Mittels (56) kann die definierende Gleichung aus Definition 26 auch geschrieben werden als:

∑_{i=0}^{k−1} h_{i}Y^{i}e = Y e + δλ^{−1}Y^{−1}e − λ^{−1}δ ∑_{m} \overline{q}_{m}A_{m}e_{1}  (85)

−λ^{−1} ∑_{m} \overline{q}_{m} (λ^{−1}Y^{−m}e + ∑_{s=1}^{m−1} δ(A_{m−s}Y^{−s}e − Y^{m−2s}e))

Durch diese Ausdrücke wird es nahe gelegt, ähnlich wie im oben behandelten Beispiel L_{3}^{±} die Basis Y^{−(k−2)}e_{1}, Y^{−(k−2)+1}e_{1}, …, Y e_{1} zu verwenden.

∑_{i=−(k−2)}^{1} h′_{i}Y^{i}e = Y e + δλ^{−1}Y^{−1}e − λ^{−1}δ ∑_{m} \overline{q}_{m}A_{m}e_{1}  (86)

−λ^{−2} ∑_{m=0}^{k−2} \overline{q}_{m}Y^{−m}e − λ^{−2}\overline{q}_{k−1} ∑_{i=0}^{k−1} \overline{q}_{i}Y^{i−(k−2)}e

−λ^{−1}δ ∑_{m=0}^{k−1} \overline{q}_{m} ∑_{s=1}^{m−1} A_{m−s}Y^{−s}e + λ^{−1}δ ∑_{m=0}^{k−1} \overline{q}_{m} ∑_{s=1}^{m−1} Y^{m−2s}e

Da die beiden Basen über eine invertierbare Matrix verbunden sind, erzeugen die beiden Mengen h_{0}, …, h_{k−1} und h′_{−(k−2)}, …, h′_{1} das gleiche Ideal. Einzig der letzte Term in (86) ist noch nicht vollständig in die neue Basis konvertiert. Trotzdem kann man schon das folgende ablesen: Die Gleichungen h′_{−(k−2)} = 0, …, h′_{−1} = 0, h′_{0} = 0 bilden ein lineares Gleichungssystem in oberer Dreiecksform für die Variablen A_{k−2}, …, A_{1}, A_{k−1}. Als Nenner tritt (abgesehen von Einheiten) immer nur δ auf. Die Zähler sind irreduzibel, nicht durch δ teilbar, und δ liegt nicht in dem von den Zählern erzeugten Ideal. Damit ist die Anwendung von Satz 93 schon weitgehend vorbereitet. Wir müssen uns aber noch um den Koeffizienten von Y e_{1} kümmern. Dieser ist

h′_{1} = 1 − λ^{−2}\overline{q}_{k−1}^{2} + δλ^{−1} ∑_{m=0}^{k−1} \overline{q}_{m} ∑_{s=1}^{m−1} q̃_{m−2s,1}

Wir bezeichnen mit B die rechts stehende Summe (ohne den Vorfakor δλ^{−1}), und spalten auf B = B_{1} + B_{2}, wobei in B_{1} gelten soll m − 2s = 1. Wir unterscheiden jetzt gerades k = 2μ und ungerades k = 2μ + 1. Für ungerades k gilt

B_{1} = ∑_{m=3,5,...}^{k−2} \overline{q}_{m} = ∑_{s=1}^{μ−1} \overline{q}_{2s+1} = −q_{0}^{−1} ∑_{s=2}^{μ} q_{2s}

Für gerades k findet man

B_{1} = ∑_{m=3,5,...}^{k−1} \overline{q}_{m} = ∑_{s=1}^{μ−1} \overline{q}_{2s+1} = −q_{0}^{−1} ∑_{s=1}^{μ−2} q_{2+2s} + q_{0}^{−1} = −q_{0}^{−1} ∑_{s=2}^{μ−1} q_{2s} + q_{0}^{−1}

Wir berechnen B_{2} unter Verwendung von (73) :

B_{2} = ∑_{m=4}^{k−1} ∑_{s=1}^{⌊ \frac{m−2}{2} ⌋} \overline{q}_{m}q̃_{m−2s,1}

= −q_{0}^{−1} ∑_{m=4}^{k−2} ∑_{s=1}^{⌊ \frac{m−2}{2} ⌋} q_{m+1} ∑_{t=1}^{m−2s−1} ∑_{i_{1}+···i_{t}=m−2s−1} q_{k−i_{1}} ⋯ q_{k−i_{t}}

+q_{0}^{−1} ∑_{s=1}^{⌊ \frac{k−3}{2} ⌋} ∑_{t=1}^{k−2s−2} ∑_{i_{1}+···i_{t}=k−2s−2} q_{k−i_{1}} ⋯ q_{k−i_{t}}

Die beiden Zeilen heben sich fast vollständig weg. Lediglich die Summanden mit nur einem q_{k−i_{j}} Term finden keinen Partner:

B_{2} = q_{0}^{−1} ∑_{s=1}^{⌊ \frac{k−3}{2} ⌋} q_{k−(k−2−2s)} = q_{0}^{−1} ∑_{s=1}^{μ−2+ϵ} q_{2+2s} = q_{0}^{−1} ∑_{s=2}^{μ−1+ϵ} q_{2s}

Dabei ist ϵ = 0 für gerades k und ϵ = 1 für ungerades k. Bei der Addition von B_{1} und B_{2} fallen demnach wieder viele Terme weg: Es ist B = 0 für ungerades k und B = q_{0}^{−1} für gerades k. Zusammengefaßt:

h′_{1} = 1 − λ^{−2}q_{0}^{−2} = (1 − λ^{−1}q_{0}^{−1})(1 + λ^{−1}q_{0}^{−1}) k ungerade
h′_{1} = 1 − λ^{−2}q_{0}^{−2} + δλ^{−1}q_{0}^{−1} = λ^{−2}q_{0}^{−2}(q + λq_{0})(λq_{0} − q^{−1}) k gerade

38. Satz und Definition. Für k = 2μ + 1 werde definiert

L_{k}^{±} := R_{0}^{k}/(±λ^{−1} − q_{0}, h′_{0}, …, h′_{−(k−2)})  (87)

und für gerades k = 2m enstprechend

L_{k}^{±} := R_{0}^{k}/(±λ^{−1}q^{∓1} − q_{0}, h′_{0}, …, h′_{−(k−2)})  (88)

Dann sind L_{k}^{+} und L_{k}^{−} zulässige Ringe für B_{n}^{k}.

Beweis: Der klassische Limes exitiert als Quotient, weil die Relationen h′_{j} = 0 für q = q_{0} = 1, q_{i} = 0 trivial werden. Die Nullteilerfreiheit folgt aus Satz 93. Die dafür notwendigen Eigenschaften wurden schon oben diskutiert und es ist trivial zu sehen, daß die zusätzliche Relation für q_{0} ebenfalls die Annahmen dieses Satzes erfüllt. Weiter sieht man, daß keine der Relationen gelten, die die Halbeinfachheit der Ariki-Koike-Algebra zerstören, denn die p_{i} sind außer durch die Gleichung für q_{0} durch diese Beziehungen nicht festgelegt. □

3 DAS WORTPROBLEM IN B_{N}^{K} 26

Die Existenz zulässiger Ringe für alle k ∈ ℕ wurde mit anderen Mitteln auch von tom Dieck [10] gezeigt. Wir referieren kurz die wesentlichen Ergebnisse.

Ausgangspunkt seiner Methode ist die Konstruktion eines Moduls Ṽ^{k}, der zu V^{k} isomorph ist, für den sich die Konsistenzrelationen aber etwas leichter angeben lassen. Dazu wird zwischen geradem k = 2m und ungeradem k = 2m + 1 unterschieden. Als Basis dienen die Mengen {b_{i} | −m ≤ i ≤ m} b.z.w. {b_{i} | −m + 1 ≤ i ≤ m}, die wie gehabt in Isomorphie zu {Y^{i}e_{1}} stehen sollen. Die Wirkung der Generatoren wird definiert durch

e_{1}.b_{i} := A_{i}b_{0}
Y.b_{i} := b_{i+1}  i < m
Y.b_{m} := ∑_{i=0}^{k−1} q_{i}b_{i−m+ϵ(k)}
X.b_{0} := λb_{0}
X.b_{i} := λ^{−1}b_{−i} + δ ∑_{s=1}^{i−1} A_{i−s}b_{−s} − b_{i−2s} i > 0

X.b_{−i} := λb_{i} + δ ∑_{s=0}^{i−1} −A_{s−i}b_{s} + b_{2s−i} i > 0

Dabei ist ϵ(k) := ϵ_{k} := k + 1mod(2). Weiter zeigt tom Dieck (in unserer Notation):

39. Satz. Ṽ^{k} ist ein B_{2}^{k}(R)-Modul, falls in R die folgenden Relationen gelten:

σ_{0} := λ^{2}q_{0}^{2} − 1 = 0  k ungerade  (89)
σ_{0} := −λq_{0} + λ^{−1}q_{0}^{−1} − q + q^{−1} = 0  k gerade  (90)
σ_{j} := δλ ∑_{ν=0}^{j−1}(−q_{k−ν}(A_{j−ν} − ϵ_{j−ν}) − q_{ν}ϵ(k + j − ν)) −
q_{k−j} − q_{j}q_{0}^{−1} = 0  1 ≤ j ≤ m  (91)
σ̃ := A_{m+i} = ∑_{j=0}^{k−1} q_{j}A_{m+i−k+j}  (92)

In diesen Formeln sei q_{k} := 1 vereinbart. Die Relationenfamilie σ̃ legt die A_{i}, k − 1 ≥ i > m fest.

Zum Beweis zeigt tom Dieck zunächst, daß σ_{j} = 0 = σ_{j}^{∗} hinreichend ist, eine Darstellung zu ergeben, und daß die Relationen σ_{j}^{∗}=0 bereits durch die anderen impliziert werden.

40. Satz. Für k = 2m + 1 gilt

L_{k}^{±} = R_{0}^{k}/(±λ^{−1} − q_{0}, σ_{1}, …, σ_{m}, σ̃)  (93)

und für gerades k = 2m enstprechend

L_{k}^{±} = R_{0}^{k}/(±λ^{−1}q^{∓1} − q_{0}, σ_{1}, …, σ_{m}, σ̃)  (94)

Wir verzichten auf einen Beweis.

3 Das Wortproblem in B_{n}^{k}

In diesem Abschnitt wird eine Standardform für Worte in B_{n}^{k} bestimmt. Eine Basis der Algebra ergibt sich so aber nicht.

Die verfolgte Strategie besteht darin, beliebige Wörter in den Generatoren als Linearkombination von Wörtern zu schreiben, in denen die Generatoren mit den jeweils höchsten Indizes nur einmal auftreten. Vom diagrammatischen Standpunkt bedeuted das, den äußersten Strang in möglichst einfache Form zu bringen. Der Beweis ist induktiv. Seine Struktur ist wesentlich dadurch bestimmt, daß in den definierenden Relationen höchstens drei Stränge involviert sind. Es ist zu erwarten, daß alle Quotienten-Algebren von Zopfgruppen, die nur derartige Relationen involvieren und für die die 3-Strang Algebra endlichdimensional ist, ähnliche Beweise zulassen. Positive Beispiele sind TLJ und Hecke-Algebren der Serien A und B. Im folgenden kümmern wir uns aber nur um B_{n}^{k}.

In diesem Abschnitt darf k beliebig sein.

41. Satz. Jedes Element in B_{n}^{k} kann als Linearkombination von Worten der Form w_{1}γw_{2} mit w_{i} ∈ B_{n−1}^{k} und γ ∈ Γ_{n} := {1, e_{n−1}, X_{n−1}, Y_{n}^{j}, j = 1, …, k − 1} geschrieben werden (Im Falle k = ∞ ist j ∈ ℤ). Die Aussage bleibt wahr, wenn in Γ_{n} die Generatoren X_{n−1} oder Y_{n} oder beide durch ihr Inverses ersetzt werden.

Beweis: Der Satz wird induktiv bewiesen. Der Fall n = 1 ist trivial und auch n = 2 kann man sich explizit überlegen.

Im folgenden betrachten wir den Fall endlicher Höhe. Der Fall unendlicher Höhe erfordert nur minimale Modifikationen.

Sei w_{0}γ_{0}w_{1}γ_{1} ⋯ w_{m}γ_{m}w_{m+1} ∈ B_{n}^{k} ein beliebiges Wort. Es reicht aus zu zeigen, daß zwei benachbarte γ_{i} kombiniert werden können. Wir müssen also Worte der Art w = γ_{1}w_{1}γ_{2}, w_{1} ∈ B_{n−1}^{k}, γ_{1}, γ_{2} ∈ Γ_{n} untersuchen. Nach Induktionsannahme haben wir w_{1} = u_{1}αu_{2}, u_{i} ∈ B_{n−2}^{k}, α ∈ Γ_{n−1} und damit w = γ_{1}u_{1}αu_{2}γ_{2} = u_{1}γ_{1}αγ_{2}u_{2}. Es reicht also, die folgende Situation zu betrachten: w′ = γ_{1}αγ_{2}. Die Fälle γ_{1} = 1 oder γ_{2} = 1 sind trivial. Wir untersuchen jetzt die vier möglichen Werte von α.

1. Fall α = 1: Die folgende Tabelle gibt die Relation an, mit der das Produkt γ_{1}γ_{2} auf die Standardform gebracht werden kann.

\begin{matrix}γ_{1}\γ_{2} & Y_{n}^{j} & e_{n−1} & X_{n−1} \\ Y_{n}^{l} & (75) & (95) & (53) \\ e_{n−1} & (96) & (9) & (7) \\ X_{n−1} & (97) & (7) & (14) \end{matrix}

Y_{n}^{l}e_{n−1} = X_{n−1}Y_{n−1}^{l}X_{n−1}^{−1}e_{n−1} = λ^{−1}X_{n−1}Y_{n−1}^{l}e_{n−1} dann (55) rekursiv  (95)

e_{n−1}Y_{n}^{j} = λe_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}  (96)
= λe_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1} − δλe_{n−1}Y_{n−1}^{j} + δλA_{j}e_{n−1}

Der erste Term wird durch rekursive Anwendung von (54) reduziert.

X_{n−1}Y_{n}^{j} = X_{n−1}^{2}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}  (97)
= Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1} − δλe_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1} + δX_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}
= Y_{n−1}^{j}X_{n−1} − δY_{n−1}^{j} + δY_{n−1}^{j}e_{n−1}  (98)
−δλ(e_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1} − δe_{n−1}Y_{n−1}^{j} + δA_{j}e_{n−1}) + δY_{n}^{j}  (99)

Auch hier wird (54) rekursiv angewendet.

2. Fall α = X_{n−2}:

\begin{aligned}γ_{1}\γ_{2} & Y_{n}^{j} & e_{n−1} & X_{n−1} \\ Y_{n}^{l} & = X_{n−2}Y_{n}^{j+l} (75) & = X_{n−2}Y_{n}^{l}e_{n−1} (95) & = X_{n−2}Y_{n}^{l}X_{n−1} (53) \\ e_{n−1} & = e_{n−1}Y_{n}^{j}X_{n−2} (96) & (8) & (21) \\ X_{n−1} & = X_{n−1}Y_{n}^{j}X_{n−2} (97) & (22) & (6) \end{aligned}

3. Fall α = e_{n−2}:

\begin{matrix}γ_{1}\γ_{2} & Y_{n}^{j} & e_{n−1} & X_{n−1} \\ Y_{n}^{l} & = e_{n−2}Y_{n}^{l+j} (75) & = e_{n−2}Y_{n}^{l}e_{n−1} (95) & = e_{n−2}Y_{n}^{l}X_{n−1} (53) \\ e_{n−1} & = e_{n−1}Y_{n}^{j}e_{n−2} (96) & (13) & (20) \\ X_{n−1} & X_{n−1}Y_{n}^{j}e_{n−2} (97) & (19) & (24) \end{matrix}

4. Fall α = Y_{n−1}^{m}:

\begin{matrix}γ_{1}\γ_{2} & Y_{n}^{j} & e_{n−1} & X_{n−1} \\ Y_{n}^{l} & ∗ & wie (100) & ∗ \\ e_{n−1} & (100) & (45) & (54) \\ X_{n−1} & ∗ & (55) & (102) \end{matrix}

e_{n−1}Y_{n−1}^{m}Y_{n}^{j} = e_{n−1}Y_{n−1}^{m}X_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}  (100)
∈^{(54)} span{e_{n−1}Y_{n−1}^{s} | 0 ≤ s < k}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}
⊆^{(54)} span{e_{n−1}Y_{n−1}^{s} | 0 ≤ s < k}  (101)

X_{n−1}Y_{n−1}^{m}X_{n−1} = Y_{n}^{m}X_{n−1}^{2} = Y_{n}^{m} + δY_{n}^{m}X_{n−1} − δλY_{n}^{m}e_{n−1}  (102)
= Y_{n}^{m} + δX_{n−1}Y_{n−1}^{m} − δλY_{n}^{m}e_{n−1}

Der letzte Term kann mittels (95) reduziert werden.

Die verbleibenden, mit ∗ markierten Fälle, sind:

Y_{n}^{l}Y_{n−1}^{m}Y_{n}^{j} = X_{n−1}Y_{n−1}X_{n−1}^{−1}Y_{n−1}^{m}X_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}
X_{n−1}Y_{n−1}^{m}Y_{n}^{j} = X_{n−1}Y_{n−1}^{m}X_{n−1}Y_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1}
Y_{n}^{l}Y_{n−1}^{m}X_{n−1} = X_{n−1}Y_{n−1}X_{n−1}^{−1}Y_{n−1}^{m}X_{n−1}

Da in diesen Ausdrücken die Indizes aller Generatoren gleich sind, werden diese im folgenden unterdrückt. Gleichungen (54) und (55) implizieren, daß jede Sequenz, die e enthält, reduzibel ist zu einer Linearkombination von Y^{t}eY^{s}, was von der Standardform ist. Das motiviert die folgende Definition: Wir schreiben a ∼ b, falls ∃c, χ : a = b + χc, wobei c ein e enthält und χ ein Parameter ist. Folglich erhält die Substitution X − δ ↔ X^{−1} diese Äquivalenzrelation.

Um den Beweis abzuschließen, reicht es, zu zeigen, daß jede endliche Kette von Generatoren dieser Art äquivalent ist zu einer Kette, die maximal zwei X enthält. Denn wenn die Kette kein oder nur ein X enthält, ist sie von der Standardform und wenn sie genau zwei X enthält, ist sie entweder XY^{l}XY^{m} ∼ XY^{l}X^{−1}Y^{m} + δXY^{l+m} = Y_{·+1}^{l}Y^{m} + δXY^{l+m} oder Y^{l}XY^{m}X ∼ Y^{l}XY^{m}X^{−1} + δY^{l}XY^{m} = Y^{l}Y_{·+1}^{m} + δY^{l}XY^{m}.

Die Reduzibilität zu Ketten mit maximal zwei X folgt aus folgender Tatsache: Es gibt Familien von Skalaren α, β, so daß gilt:

XY^{s}XY^{t}X ∼ ∑_{i,j} α_{s,t}^{s,t}XY^{i}XY^{j} + ∑_{i,j} β_{i,j}^{s,t}Y^{i}XY^{j}  (103)

Wir zeigen (103) induktiv. Für s = 1 ist XY XY^{t}X = Y^{t}XY X^{2} ∼ Y^{t}XY − δY^{t}XY X = Y^{t}XY − δXY XY^{t}. Angenommen, (103) gelte für s. Wir zeigen es für s + 1:

XY^{s+1}XY^{t}X = XY X^{−1}XY^{s}XY^{t}
∼ ∑_{i,j} α_{i,j}^{s,t}XY X^{−1}XY^{i}XY^{j} + ∑_{i,j} β_{i,j}^{s,t}XY X^{−1}Y^{i}XY^{j}
∼ ∑_{i,j} α_{i,j}^{s,t}XY^{i+1}XY^{j} + ∑_{i,j} β_{i,j}^{s,t}XY XY^{i}XY^{j} −

δ ∑_{i,j} β_{i,j}^{s,t}XY^{i+1}XY^{j}

Der erste und dritte Summand sind bereits in einer Form, in der ihr Beitrag zu α_{i+1,j}^{s+1,t} abgelesen werden kann. Im zweiten Summanden verwenden wir die Induktionshypothese noch einmal.

∑_{i,j} β_{i,j}^{s,t}XY XY^{i}XY^{j}

∼ ∑_{i,j} β_{i,j}^{s,t} ∑_{p,q} (α_{p,q}^{1,i}XY^{p}XY^{q+j} + β_{p,q}^{1,i}Y^{p}XY^{q+j})

Es verbleibt nur noch die letzte Behauptung des Satzes zu zeigen. Die Anti-Involution aus Bemerkung 20 zeigt, daß wir X und Y gemeinsam durch ihr Inverses ersetzen dürfen. Da aber Y_{n}^{−1} eine Linearkombination von Y_{n}^{i} ist, kann auch Y allein durch sein Inverses ersetzt werden. Die Kombination beider Substitutionen ersetzt allein X durch sein Inverses. □

Der Satz impliziert insbesondere, daß B_{n}^{k} für k < ∞ endlichdimensional ist.

42. Lemma. Es gibt Elemente R_{i,m} ∈ B_{i−1}^{k}, so daß e_{i}Y′_{i}^{m}e_{i} = R_{i,m}e_{i} und

e_{i}Y′_{i}^{l}X_{i} = e_{i}Y′_{i}^{l−1}X_{i}Y′_{i}^{−1} − δe_{i}Y′_{i}^{l−2} + δR_{i,l−1}e_{i}Y′_{i}^{−1}  (104)

Beweis: Zum Beweis der ersten Behauptung schreibt man Y′_{i}^{m} = ∑_{j} a_{j}b_{j}c_{j} gemäß Satz 41 mit a_{j}, c_{j} ∈ B_{i−1}^{k}, b_{j} ∈ Γ_{i}. Die Behauptung ist dann offensichtlich.

e_{i}Y′_{i}^{l}X_{i} = e_{i}Y′_{i}^{l}X_{i}Y′_{i}X_{i}X_{i}^{−1}Y′_{i}^{−1} = e_{i}X_{i}Y′_{i}X_{i}Y′_{i}^{l}X_{i}^{−1}Y′_{i}^{−1}
= e_{i}Y′_{i}^{l−1}X_{i}^{−1}Y′_{i}^{−1}
= e_{i}Y′_{i}^{l−1}X_{i}Y′_{i}^{−1} − δe_{i}Y′_{i}^{l−1}Y′_{i}^{−1} + δe_{i}Y_{i}^{l−1}e_{i}Y′_{i}^{−1}
= e_{i}Y′_{i}^{l−1}X_{i}Y′_{i}^{−1} − δe_{i}Y′_{i}^{l−2} + δR_{i,l−1}e_{i}Y′_{i}^{−1}
□

43. Satz. In Satz 41 kann Γ_{n} durch Γ′_{n} := {1, e_{n−1}, X_{n−1}, Y′_{n}^{j}, j = 1, …, k − 1} ersetzt werden.

Beweis: Wir schreiben ein beliebiges Element a aus B_{n}^{k} als a = ∑_{j} f_{j}h_{j}g_{j} mit f_{j}, g_{j} ∈

B_{n−1}^{k}, h_{j} ∈ Γ_{n}. Es reicht zu zeigen, daß Y_{n}^{i} = ∑_{s} l_{s}^{(n)}γ_{s}^{(n)}r_{s}^{(n)} mit γ_{s}^{(n)} ∈ Γ′_{n}, l_{s}^{(n)}, r_{s}^{(n)} ∈ B_{n−1}^{k}, denn dann kann man schlicht diese Ausdrücke für in den h_{j} vorkommenden Y_{i}^{n} einsetzen.

Wir zeigen Y_{n}^{i} = ∑_{s} l_{s}^{(n)}γ_{s}^{(n)}r_{s}^{(n)} durch Induktion. Der Fall n = 1 ist trivial. Sei die Formel schon für n − 1 als gültig erwiesen.

Y_{n}^{i} = X_{n−1}Y_{n−1}^{i}X_{n−1}^{−1} = ∑_{s} X_{n−1}l_{s}^{(n−1)}γ_{s}^{(n−1)}r_{s}^{(n−1)}X_{n−1}^{−1}
= ∑_{s} l_{s}^{(n−1)}X_{n−1}γ_{s}^{(n−1)}X_{n−1}^{−1}r_{s}^{(n−1)}

Die Fälle γ_{s}^{(n−1)} ∈ {1, e_{n−2}, X_{n−2}} reduziert man leicht mit Hilfe der Relationen aus Unterabschnitt 2.1.2. Es bleibt, den Fall γ_{s}^{(n−1)} = Y′_{n−1}^{j} zu untersuchen.

X_{n−1}Y′_{n−1}^{j}X_{n−1}^{−1} = X_{n−1}Y′_{n−1}X_{n−1}X_{n−1}^{−1}Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}^{−1}
= Y′_{n}(X_{n−1} − δ + δe_{n−1})Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}^{−1}
= Y′_{n}X_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}^{−1} − δY′_{n}Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}^{−1} +
δY′_{n}e_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}^{−1}  (105)

Der zweite Summand ist −δY′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}Y′_{n−1}, also schon von der neuen Standardform. Der dritte Summand ist

δY′_{n}e_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1}^{−1} = δλX_{n−1}Y′_{n−1}e_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1}(X_{n−1} − δ + δe_{n−1})
= δY′_{n−1}^{−1}e_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1}X_{n−1} − δ^{2}′Y_{n−1}^{−1}e_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1} +
δ^{2}Y′_{n−1}^{−1}e_{n−1}Y′_{n−1}^{j−1}e_{n−1}

Lemma 42 zeigt, daß diese Terme zur Standardform reduziert werden können.

Der letzte Summand von (105) kann iterativ reduziert werden. □

44. Lemma. Für das von e_{n−1} erzeugte Ideal gilt I_{n} = B_{n−1}^{k}e_{n−1}B_{n−1}^{k}

Beweis: Das Ideal ist definiert als I_{n} = B_{n}^{k}e_{n−1}B_{n}^{k}. Durch Anwendung von Satz 43 entsteht:

I_{n} = B_{n−1}^{k}Γ′_{n}B_{n−1}^{k}e_{n−1}B_{n−1}^{k}Γ′_{n}B_{n−1}^{k}
= B_{n−1}^{k}Γ′_{n}B_{n−2}^{k}Γ′_{n−1}B_{n−2}^{k}e_{n−1}B_{n−2}^{k}Γ′_{n−1}B_{n−2}^{k}Γ′_{n}B_{n−1}^{k}
= B_{n−1}^{k}Γ′_{n}Γ′_{n−1}e_{n−1}B_{n−2}^{k}Γ′_{n−1}Γ′_{n}B_{n−1}^{k}

Es reicht also zu zeigen, daß Γ′_{n}Γ′_{n−1}e_{n−1} ⊂ B_{n−1}^{k}e_{n−1} (Man beachte, daß Bemerkung 11 impliziert, daß dann ebenso gilt: e_{n−1}Γ′_{n−1}Γ′_{n} ⊂ e_{n−1}B_{n−1}^{k}). Die folgende Tabelle berechnet γ_{1}γ_{2}e_{n−1} wobei γ_{1} ∈ {X_{n−1}, e_{n−1}, Y′_{n}^{l}, l = 0, …, k − 1}, γ_{2} ∈ {X_{n−2}, e_{n−2}, Y′_{n−1}^{m}, m = 0, … k − 1}

\begin{aligned}γ_{1}\γ_{2} & X_{n−2} & e_{n−2} & Y′_{n−1}^{m} \\ X_{n−1} & = e_{n−2}e_{n−1} & X_{n−2}^{−1}e_{n−1} & Lemma 42 \\ e_{n−1} & = λ^{−1}e_{n−1} & = e_{n−1} & R_{n−1,m}e_{n−1} \\ Y′_{n}^{l} & = X_{n−2}Y′_{n−1}^{−l}e_{n−1} & = e_{n−2}Y′_{n−1}^{−l}e_{n−1} & = Y′_{n−1}^{m−l}e_{n−1} \end{aligned}

□

Wir untersuchen jetzt noch eingehender die Struktur von Mengen von Wörtern, die B_{n}^{k} linear aufspannen. Dabei beschränken wir uns in der Formulierung wieder auf den Fall k < ∞, obwohl analoge Aussagen auch in unendlicher Höhe gelten. Im weiteren Verlauf werden nur die klassischen Spezialfälle der folgenden Aussagen benötigt.

45. Lemma. B_{n}^{k} wird linear aufgespannt von einer Menge S_{n}, die rekursiv definiert wird:

S_{1} := {Y^{i} | i = 0, …, k − 1}
S_{n} := Γ_{1} ⋯ Γ_{n}S_{n−1}

Dabei werden aus Γ_{1} ⋯ Γ_{n} nur Elemente der folgenden Form benötigt.

Y_{l_{1}}^{m_{1}} ⋯ Y_{l_{s}}^{m_{s}}X_{i} ⋯ X_{j}e_{j+1} ⋯ e_{n−1}, m_{t} ∈ {0, …, k − 1}, m_{s} = i, l_{1} < ⋯ < l_{s}

Dabei ist 1 ≤ i ≤ n und i − 1 ≤ j ≤ n − 1, so daß die Ketten der X und e auch leer sein können.

Beweis: Satz 41 ergibt die folgende Darstellung von B_{n}^{k}:

B_{n}^{k} = spanB_{n−1}^{k}Γ_{n}B_{n−1}^{k} = spanB_{n−2}^{k}Γ_{n−1}B_{n−2}^{k}Γ_{n}B_{n−1}^{k}
= spanB_{n−2}^{k}Γ_{n−1}Γ_{n}B_{n−1}^{k}
= spanΓ_{1} ⋯ Γ_{n}B_{n−1}^{k}

Um die zweite Aussage zu zeigen, nehmen wir an, Y_{j}^{m} sei das am weitesten links erscheinende Y in der Kette Z_{i} ⋯ Z_{j−1}Y_{j}^{m}Z_{j+1} ⋯ Z_{n} von Generatoren Z_{s} ∈ Γ_{s}. Dann kann Z_{i} ⋯ Z_{j−1}, da es nur aus e und X besteht, nach rechts durchkommutiert und in B_{n−1}^{k} absorbiert werden. Ähnlich können e und X, die zwischen zwei Y_{·} in der Kette auftreten nach rechts durchkommutiert werden, so daß, nach Iteration des Argumentes, nur Ketten der Art Y_{i_{1}}^{m_{1}} ⋯ Y_{i_{s}}^{m_{s}}Z_{j+1} ⋯ Z_{n}, i_{1} < ⋯ < i_{s} übrig bleiben.

Falls andererseits ein e_{i}X_{i+1} in einer solchen Kette auftritt, kann man es umschreiben zu e_{i}X_{i+1} = e_{i}e_{i+1}X_{i}^{−1}. Dann kann X_{i}^{−1} wie gehabt in B_{n−1}^{k} absorbiert werden. Folglich müssen alle X links von allen e in der Kette stehen. Damit ist der Beweis abgeschlossen. □

Zu dem vorstehenden Lemma gibt es eine Variante, die die Generatoren Y′_{i} verwendet.

46. Lemma. B_{n}^{k} wird linear aufgespannt von einer Menge S′_{n}, die rekursiv definiert wird:

S′_{1} := {Y^{i} | i = 0, …, k − 1}
S′_{n} := Γ′_{1} ⋯ Γ′_{n}S_{n−1}

Dabei werden aus Γ′_{1} ⋯ Γ′_{n} nur Elemente der folgenden Form benötigt.

Y′_{i}^{m}X_{i} ⋯ X_{j}e_{j+1} ⋯ e_{n−1}, m = 0, …, k − 1

Dabei können die Ketten der X und e auch leer sein.

Beweis: Wir argumentieren ähnlich wie in dem Beweis des vorigen Lemmas, verwenden jetzt aber Satz 43, um folgende Darstellung zu erhalten:

B_{n}^{k} = spanB_{n−1}^{k}Γ′_{n}B_{n−1}^{k} = spanB_{n−2}^{k}Γ′_{n−1}B_{n−2}^{k}Γ′_{n}B_{n−1}^{k}
= spanB_{n−2}^{k}Γ′_{n−1}Γ′_{n}B_{n−1}^{k}
= spanΓ′_{1} ⋯ Γ′_{n}B_{n−1}^{k}

Um die zweite Aussage zu zeigen, nehmen wir an, ein Y′_{j}^{m} erscheine in der Mitte einer Kette Z_{i} ⋯ Z_{j−1}Y′_{j}^{m}Z_{j+1} ⋯ Z_{n} von Generatoren Z_{s} ∈ Γ′_{s} mit Z_{t} ≠ Y′_{t}, t ≥ j + 1. Dann kommutiert Z_{i} ⋯ Z_{j−1} mit dem Rest der Kette und kann rechts in B_{n−1}^{k} absorbiert werden. Falls andererseits ein e_{i}X_{i+1} in einer solchen Kette auftritt, kann man es umschreiben zu e_{i}X_{i+1} = e_{i}e_{i+1}X_{i}^{−1}. Dann kann X_{i}^{−1} wie gehabt in B_{n−1}^{k} absorbiert werden. Folglich müssen alle X links von allen e in der Kette stehen. Damit ist der Beweis abgeschlossen. □

Noch eine andere Art von Erzeugendensystem verdient Beachtung. Wir nennen

X(m, i, j) := X_{i}X_{i−1} ⋯ X_{j}Y′_{j}^{m} 0 ≤ m < k, i + 1 ≥ j

einen X-Block vom Index i und

E(m, i, l, j) := Y′_{i}^{m}X_{i}X_{i+1} ⋯ X_{l}e_{l+1} ⋯ e_{j} 0 ≤ m < k, i ≤ j, l < j

einen E-Block vom Index j.

47. Satz. B_{n}^{k} wird aufgespannt von den Wörtern der Form

E(m_{1}, i_{1}, l_{1}, j_{1}) ⋯ E(m_{s}, i_{s}, l_{s}, j_{s})X(m′_{1}, i′_{1}, j′_{1}) ⋯ X(m′_{t}, i′_{t}, j′_{t}),

bei denen die Indizes aller Blöcke verschieden sind und die Indizes der E-Blöcke von links nach rechts, die der X-Blöcke von rechts nach links abfallen.

Beweis: Der Beweis ist natürlich induktiv. Es ist B_{n}^{k} = B_{n−1}^{k}Γ_{n}B_{n−1}^{k}. Für X_{n−1} ∈ Γ_{n} reduziert man rechts weiter B_{n}^{k} = B_{n−1}^{k}X_{n−1}Z_{n−2} ⋯ Z_{j} mit Z_{i} ∈ Γ_{i+1}. Falls in der Kette ein Y′_{r}^{m} auftritt, können die weiter rechts stehenden Terme nach links gebracht werden. Ein e_{j} braucht nicht aufzutreten, denn mittels X_{j+1}e_{j} = X_{j}^{−1}e_{j+1}e_{j} könnte dann die ganze Kette der Z_{i} und schließlich auch X_{n−1} in e verwandelt werden.

Sind wir nun in dem Falle, daß e_{n−1} der Generator mit höchstem Index ist, so entwickeln wir nach links: B_{n}^{k} = Z_{i}Z_{i+1} ⋯ Z_{n−2}e_{n−1}B_{n−1}^{k}. Mittels e_{i}X_{i+1} = e_{i}e_{i+1}X_{i}^{−1} können dann X-Generatoren, die in der Kette rechts von e-Generatoren stehen, eliminiert werden. □

48. Vermutung. Der vorstehende Satz bleibt richtig, wenn in den E-Blöcken stets gilt: l_{r} = j_{r}−1.

Es gibt k^{n}(2n − 1)!! solche Elemente.

Präzisere Aussagen können in der Algebra des klassischen Limes (Definition 29) gemacht werden.

49. Satz. Es gibt ein lineares Erzeugendensystem von CB_{n}^{k}, dessen Elemente die Form αβγ, wobei α ein Produkt von Y′, γ ein Produkt von Y′^{−1} und β ein Element einer Basis der A-Typ BMW-Algebras BA_{n} ist.

Ist k < ∞ gilt ferner: In jedem Basiswort gibt es höchstens k^{n} Faktoren Y′, Y^{′−1} in α und γ zusammen. Die Dimension von CB_{n}^{k} ist kleiner als k^{n}(2n − 1)!!.

Beweis: Der Beweis geschieht durch Induktion nach n. Sei der Satz also schon gezeigt für n−1. Es reicht aus, zu zeigen, daß man alle Y′_{i}, die in dem Erzeugendensystem von CB_{n−1}^{k} links stehen, entweder durch die äußere Kette nach links oder in negierter Form ganz nach rechts bringen kann. Wir untersuchen die möglichen Fälle der Reihe nach. Im ersten Falle trete e_{n−1}Y′_{n−1} auf. Das kann umgeschrieben werden gemäß:

e_{n−1}Y′_{n−1} = e_{n−1}Y′_{n−1}X_{n−1}Y′_{n−1}Y′_{n−1}^{−1}X_{n−1}^{−1} = λ^{−1}e_{n−1}Y′_{n−1}^{−1}X_{n−1}^{−1}
= e_{n−1}X_{n−1}^{−1}Y′_{n−1}^{−1}X_{n−1}^{−1} = e_{n−1}Y′_{n}^{−1} = e_{n−1}Y′_{n}^{−1}

Falls e_{i}e_{i+1}Y′_{i} = e_{i}Y′_{i}e_{i+1} auftritt, zeigt zweifache Anwendung dieser Rechnung, daß ein Y′_{i+2} nach links wandern kann. Es bleibt nur noch die folgende Situation:

X_{i}Y′_{i} = Y′_{i+1}X_{i}^{−1} = Y′_{i+1}X_{i} − δY′_{i+1} + δY′_{i+1}e_{i} = Y′_{i+1}X_{i}

Das ist von der gewünschten Form.

Keine der Umschreibungen vergößerte die Zahl der Y′, so daß insgesamt höchstens (k − 1)^{n} davon geben kann: Jede zusätzliche Kette in der rekursiven Konstruktion von S_{n} bringt höchstens k −1 Stück mit. Nach Induktionsvoraussetzung ist die Dimension von CB_{n−1}^{k} kleiner als k^{n−1}(2n− 3)!!, und wir haben die Y′ von den Generatoren von BA_{n} separiert und so die angegebene Form αβγ erhalten. Aus der Theorie der Typ-A Algebra BA_{n} weiß man, daß 2n − 1 verschiedene Ketten Z_{i} ⋯ Z_{n}, Z_{j} ∈ {e_{i−1}, X_{i−1}} ausreichen, eine Basis zu erhalten. Jede dieser Kette kann mit Y′_{i}^{m} beginnen. Die Dimension von CB_{n−1}^{k} wird also höchstens um den Faktor k(2n−1). vergrößert. Die Behauptung folgt. □

4 Der klassische Limes

Unter dem klassischen Limes einer Schlingel-Algebra versteht man eine Algebra, die sich als Bild eines Morphismus ergibt, der den Morphismus von der Zopfgruppe in die Permutationsgruppe spezialisiert und erweitert.

Der klassische Limes wurde schon in Definition 29 eingeführt durch Grundringspezialisierung. Hier beginnen wir eigenständig mit ℤ/(k)-bewerteten Brauergraphen und zeigen anschließend, daß die so erhaltene Algebra den klassischen Limes darstellt.

Bei der Definition profitieren wir von tom Diecks Arbeit [10] und brauchen daher nur kurz zu referieren: Es sei BP_{n}^{k}(R) der freie R-Modul über der Menge der Paare (σ, v), die aus einer freien Involution σ der Menge P := {1, 1′, 2, 2′…. , n, n′} und einer Bewertungsfunktion v : P → ℤ/(k) mit v(i) + v(σ(i)) = 0 bestehen. Der Grundring R enthalte Elemente A_{i}, i ∈ ℤ/(k). Die Multiplikation soll bilinear sein und muß daher nur auf Paaren definiert werden. Dazu wird (σ, v) ein CW-Komplex |σ, v| zugeordnet, dessen 0-Zellen durch P und dessen 1-Zellen durch die Orbits {i, σ(i)} gegeben sind. Die Wahl eines Elementes von {i, σ(i)} definiert eine Orientierung der 1-Zelle und ein zugeordnetes Element aus ℤ/(k). Zur Multiplikation von (τ, w) mit (σ, v) werden zunächst die assoziierten CW-Komplexe gebildet und die gestrichenen 0-Zellen von |τ, w| mit den ungestrichenen von |σ, v| identifiziert. Die Wegkomponenten des entstehenden Komplexes werden orientiert und mit den Summen der Bewertungen ihrer Teile versehen. Durch Entfernung der Komponenten, die zu S^{1} homöomorph sind, ensteht ein neuer CW-Komplex, der als bewerteter Brauergraph (ρ, t) gelesen werden kann. Das Produkt ist dann (ρ, t) multipliziert mit einem Faktor A_{s} für jede mit s bewertete Kreiskomponente, die entfernt wurde. Assoziativität des Produktes ist sofort klar.

Angelehnt an die übliche Visualisierung von Brauergraphen durch ebene Graphen können einige geometrische Sprechweisen eingeführt werden. Die gestrichenen Zahlen 1′, …, n′ nennen wir obere Punkte, die restlichen untere Punkte. Ein Bogen eines Graphen (σ, v) ist ein Paar (i, j) ∈ P × P mit σ(i) = j. Er heißt horizontal, wenn i und j entweder beide obere oder beide untere Punkte sind, ansonsten heißt er vertikal.

Man rechnet sofort nach, daß es einen Morphismus

χ_{n} : CB_{n}^{k} → BP_{n}^{k}(R_{c}) a ↦ (σ_{a}, v_{a})

gibt, der auf den Generatoren die folgenden Werte annimmt:

σ_{Y} (i) = i′ ∀i ∈ P
v_{Y} (1) = 1
v_{Y} (1′) = k − 1
v_{Y} (i) = 0 i > 1
σ_{X_{i}}(i) = (i + 1)′
σ_{X_{i}}(i + 1) = i′
σ_{X_{i}}(i′) = i + 1
σ_{X_{i}}((i + 1′)) = i
σ_{X_{i}}(j) = j′ ∀j ∈ P − {i, i + 1, i′, (i + 1)′}
v_{X_{i}}(j) = 0
σ_{e_{i}}(i) = i + 1
σ_{e_{i}}(i + 1) = i
σ_{e_{i}}(i′) = (i + 1)′
σ_{e_{i}}((i + 1)′) = i′
σ_{e_{i}}(j) = j′ ∀j ∈ P − {i, i + 1, i′, (i + 1)′}
v_{e_{i}}(j) = 0

Er ist surjektiv, denn aus den Bildern der X_{i} und e_{i} können zunächst nach den Standardargumenten der Theorie der Braueralgebra alle Brauergraphen aufgebaut werden und durch Anwendung des Bildes von X_{i}X_{i−1} ⋯ X_{1}Y X_{1} ⋯ X_{i−1}X_{i} können dann die einzelnen Paare (i, σ(i)) beliebig bewertet werden. Andererseits ist (für endliches k) nach Satz 49 und [10] dim(CB_{n}^{k}) ≤ k^{n}(2n − 1)!! = dim(BP_{n}^{k}(R_{c})) und damit ist χ_{n} auch injektiv.

5 Die Markovspur

Der graphische Kalkül legt nahe, daß eine Markovspur auf B_{n}^{k} existieren sollte, die als Schließen des Schlingeldiagramms interpretiert werden kann. Mit der Untersuchung der Spur bereiten wir den Beweis des Hauptsatzes 69 über die Halbeinfachheit vor.

50. Satz und Definition. Es sei a_{n} ⊂ R das Annulatorideal von E_{n} = E(1, 2n − 1) = e_{1}e_{3} ⋯ e_{2n−1} in B_{2n}^{k}(R). Dann ist durch

x^{n}tr(a)E(1, 2n − 1) = \overline{H}_{n}aH_{n} ∀a ∈ B_{n}^{k}

(wobei H_{n} in (110) definiert werden wird) eine lineare Abbildung tr von der Algebra B_{n}^{k}(R) ⊗_{R} (R/a_{n}) = B_{n}^{k}(R/a_{n}) in den Grundring R/a_{n} definiert. Sie ist eine Markovspur.

Eine Markovspur existiert also insbesondere auf B_{n}^{k}(R), falls R potentiell zulässig ist.

Der Satz und sein Beweis sind auch für k = ∞ richtig. Der Beweis ergibt sich aus einer Reihe von Lemmata und wird nach Lemma 58 abgeschlossen. Wir beginnen mit Definitionen von Elementen, die die konzentrischen Halbkreise der graphischen Schließung modellieren.

X(i, j) := X_{i}X_{i+1} ⋯ X_{j}  (106)
X^{−1}(i, j) := X_{i}^{−1}X_{i+1}^{−1} ⋯ X_{j}^{−1}  (107)
E(i, j) := e_{i}e_{i+2} ⋯ e_{j}  (108)
H_{1} := e_{1}  (109)
H_{n+1} := e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}  (110)

[figure: a]

Abbildung 6: Die graphische Interpretation von H_{3} (links) und die Bildung der Spur tr(a) (rechts)

51. Lemma.

H_{n} = E(n, n)E(n − 1, n + 1) ⋯ E(1, 2n − 1)  (111)
H_{n+1} = e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n + 1)X^{−1}(n + 1, 2n)H_{n}  (112)

Beweis: Es ist zu zeigen, daß (111) die definierende Rekursion erfüllt.

H_{n+1} = E(n + 1, n + 1)X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)

E(n, n)E(n − 1, n + 1) ⋯ E(1, 2n − 1)
= e_{n+1}X_{n+2}X_{n+1}E(n, n)X(n + 3, 2n + 1)X(n + 2, 2n)
E(n − 1, n + 1) ⋯ E(1, 2n − 1)
= e_{n+1}e_{n+2}E(n, n)X(n + 3, 2n + 1)X(n + 2, 2n)E(n − 1, n + 1) ⋯ E(1, 2n − 1)
= E(n + 1, n + 1)E(n, n + 2)X_{n+3}X_{n+2}E(n − 1, n + 1)
X(n + 4, 2n + 1)X(n + 3, 2n)E(n − 2, n + 2) ⋯ E(1, 2n − 1)
= E(n + 1, n + 1)E(n, n + 2)E(n − 1, n + 3)
X(n + 4, 2n + 1)X(n + 3, 2n)E(n − 2, n + 2) ⋯ E(1, 2n − 1)
= … = E(n + 1, n + 1)E(n, n + 2)E(n − 1, n + 3) ⋯ E(1, 2n + 1)

Der Beweis ruht (neben der Kommutativität von Generatoren) vorallem auf der Relation e_{i}X_{i+1}X_{i} = e_{i}e_{i+1}. Da ebenso e_{i}X_{i+1}^{−1}X_{i}^{−1} = e_{i}e_{i+1} gilt, kann (112) analog bewiesen werden. Alternativ (und einfacher) gelangt man zu (112) indem man auf (110) den Morphismus a ↦ \overline{a}^{∗} anwendet. □

52. Lemma. X_{i}^{±}H_{n} = X_{2n−i}^{±}H_{n}, e_{i}H_{n} = e_{2n−i}H_{n}

Beweis: Sei i = 1. Der Fall n = 1 ist dann trivial. Sei nun nach Induktionsannahme die Behauptung schon gezeigt für i = 1, n. Wir zeigen sie für n + 1:

X_{1}H_{n+1} = X_{1}e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)X_{1}H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)X_{2n−1}H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n − 2)X_{2n−1}X_{2n}X_{2n−1}H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n − 2)X_{2n}X_{2n−1}X_{2n}H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X_{2n}X(n + 1, 2n − 2)X_{2n−1}X_{2n}H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n − 1)X_{2n}X_{2n+1}X_{2n}X(n + 1, 2n)H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n − 1)X_{2n+1}X_{2n}X_{2n+1}X(n + 1, 2n)H_{n}
= X_{2n+1}e_{n+1}X(n + 2, 2n − 1)X_{2n}X_{2n+1}X(n + 1, 2n)H_{n}
= X_{2n+1}H_{n+1}

Für i > 1 erkennt man aus (111), daß X_{i} nach rechts bewegt werden kann, bis man auf eine Situation geführt wird, die dem Fall i = 1 bis auf einen Indexshift gleicht.

Die Rechnung für X_{i}^{−1} benutzt (112) und verläuft analog. Die letzte Gleichung folgt aus den ersten beiden. □

53. Lemma. e_{2n−1} = X(n, 2n − 2)^{−1}X(n + 1, 2n − 1)^{−1}e_{n}X(n + 1, 2n − 1)X(n, 2n − 2)

Beweis: Der Induktionsbeweis startet (für n = 2) mit e_{3} = X_{2}^{−1}X_{3}^{−1}e_{2}X_{3}X_{2} = X(2, 2)^{−1}X(3, 3)^{−1}e_{2}X(3, 3)X(2, 2). Der Schritt ist:

X(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n) =
= X(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}X_{n}^{−1}X_{n+1}^{−1}e_{n}
X_{n+1}X_{n}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)
= X(n + 1, 2n)^{−1}X_{n}^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}X_{n+1}^{−1}e_{n}
X_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X_{n}X(n + 1, 2n)
= X(n, 2n)^{−1}X(n + 1, 2n + 1)^{−1}e_{n}X(n + 1, 2n + 1)X(n, 2n)
= X_{2n}^{−1}X_{2n+1}^{−1}X_{2n−1}^{−1}X_{2n}^{−1}X(n, 2n − 2)^{−1}X(n + 1, 2n − 1)^{−1}e_{n}
X(n + 1, 2n − 1)X(n, 2n − 2)X_{2n}X_{2n−1}X_{2n+1}X_{2n}
= X_{2n}^{−1}X_{2n+1}^{−1}X_{2n−1}^{−1}X_{2n}^{−1}e_{2n−1}X_{2n}X_{2n−1}X_{2n+1}X_{2n}
= X_{2n}^{−1}X_{2n+1}^{−1}e_{2n}X_{2n+1}X_{2n} = e_{2n+1}
□

54. Lemma. e_{n}X(n + 1, n + k)X(n, n + k − 1) = X(n + 1, n + k)X(n, n + k − 1)e_{n+k}

Beweis: Hier ist k ein beliebiger Index (und hat also nichts zu tun mit dem k aus (64)). Für k = 1 ist die Behauptung e_{n}X_{n+1}X_{n} = X_{n+1}X_{n}e_{n+1} eine definierende Relation. Der Induktionsschritt ist:

e_{n}X(n + 1, n + k + 1)X(n, n + k) =

= e_{n}X(n + 1, n + k)X_{n+k+1}X(n, n + k − 1)X_{n+k}
= e_{n}X(n + 1, n + k)X(n, n + k − 1)X_{n+k+1}X_{n+k}
= X(n + 1, n + k)X(n, n + k − 1)e_{n+k}X_{n+k+1}X_{n+k}
= X(n + 1, n + k)X(n, n + k − 1)X_{n+k+1}X_{n+k}e_{n+k+1}
= X(n + 1, n + k + 1)X(n, n + k)e_{n+k+1}
□

55. Lemma. H_{n+1} = e_{n+1}X(n + 2, 2n)X(n + 1, 2n − 1)X_{2n+1}^{−1}X_{2n}^{−1}H_{n}

Beweis: Zum Beweis wird das vorangehende Lemma zweimal angewendet e_{n+1}X(n + 2, 2n)X(n + 1, 2n − 1)X_{2n+1}^{−1}X_{2n}^{−1}H_{n} =

= X(n + 2, 2n)X(n + 1, 2n − 1)e_{2n}X_{2n+1}^{−1}X_{2n}^{−1}H_{n}
= X(n + 2, 2n)X(n + 1, 2n − 1)X_{2n+1}X_{2n}e_{2n+1}H_{n}
= e_{n+1}X(n + 2, 2n)X(n + 1, 2n − 1)X_{2n+1}X_{2n}H_{n} = H_{n+1}
□

56. Lemma. Y^{±1}H_{n} = λ^{−1±1}Y′_{2n}^{∓1}H_{n}

Beweis: Der Induktionsbeweis startet mit

Y H_{1} = Y e_{1} = X_{1}^{−1}Y^{−1}Y X_{1}Y e_{1} = λ^{−1}X_{1}^{−1}Y^{−1}e_{1} = (X_{1}Y X_{1})^{−1}e_{1}

Der Induktionsschritt ist dann:

Y H_{n+1} = Y e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n + 1)X^{−1}(n + 1, 2n)H_{n}
= e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n + 1)X^{−1}(n + 1, 2n)Y H_{n}
= e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n + 1)X^{−1}(n + 1, 2n − 1)X_{2n}^{−1}Y′_{2n}^{−1}H_{n}
= e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n)X_{2n+1}^{−1}X^{−1}(n + 1, 2n − 1)Y′_{2n+1}^{−1}X_{2n}H_{n}
= e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n)X_{2n+1}^{−1}Y′_{2n+1}^{−1}X^{−1}(n + 1, 2n − 1)X_{2n}H_{n}
= e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n)Y′_{2n+2}^{−1}X_{2n+1}X^{−1}(n + 1, 2n − 1)X_{2n}H_{n}
= Y′_{2n+2}^{−1}e_{n+1}X^{−1}(n + 2, 2n)X^{−1}(n + 1, 2n − 1)X_{2n+1}X_{2n}H_{n}
= Y′_{2(n+1)}^{−1}H_{n+1}

Der Beweis für Y^{−1} ist ähnlich. □

Mit der Anti-Involution aus Bemerkung 12 ergibt sich aus dem vorigen:

57. Lemma. \overline{H_{n}}X_{i}^{±} = \overline{H_{n}}X_{2n−i}^{±}, \overline{H_{n}}e_{i} = \overline{H_{n}}e_{2n−i}, \overline{H_{n}}Y^{±1} = \overline{H_{n}}Y′_{2n}^{∓1} Also \overline{H_{n}}abH_{n} = \overline{H_{n}}baH_{n}, ∀a, b ∈ B_{n}^{k}

Damit ist gezeigt, daß die in 50 definierte Abbildung eine Spur ist.

58. Lemma. tr ist eine Markovspur. Genauer gilt für a ∈ B_{n}^{k}:

tr(1) = 1  (113)
tr(ae_{n}) = x^{−1}tr(a)  (114)
tr(aX_{n}^{±}) = x^{−1}λ^{∓}tr(a)  (115)
tr(aY_{n+1}^{m}) = A_{m}x^{−1}tr(a)  (116)

Beweis: Sei a ∈ B_{n}^{k} und γ ∈ Γ_{n+1}. Dann gilt e_{n+1}aγe_{n+1} = ae_{n+1}γe_{n+1} = s(γ)ae_{n+1} mit einem Faktor s, der die Werte s(γ) = x, 1, λ^{−1}, A_{m} annimmt, falls γ = 1, e_{n}, X_{n}, Y_{n+1}^{m}. Der Beweis durch Induktion nach n hat einen trivialen Anfang und als Induktionsschritt die Rechnung:

\overline{H}_{n+1}aγH_{n+1}
= \overline{H}_{n}X(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}e_{n+1}
aγe_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}
= \overline{H}_{n}X(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}
as(γ)e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}
= s(γ)\overline{H}_{n}aX(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}
e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}
= s(γ)\overline{H}_{n}ae_{2n+1}H_{n} = s(γ)\overline{H}_{n}aH_{n}e_{2n+1}
= s(γ)x^{n}tr(a)E(1, 2n − 1)e_{2n+1} = (s(γ)/x)x^{n+1}tr(a)E(1, 2n + 1)
□

Aus den Überlegungen zur Spur folgt noch ein Ergebnis, das auch für sich alleine von Interesse ist.

59. Satz. Sei R potentiell zulässig. Dann ist der Kauffman-Skeinmodul des Volltorus K_{0,0}^{k}(R) (Definition 17) frei vom Rang 1.

Beweis: Nach einer Verallgemeinerung des Alexander-Theorems kann jede Verschlingung im Volltorus durch Schließung eines Zopfes im Zylinder erhalten werden. Die obigen Überlegungen zeigen dann, daß die Skeinrelationen ausreichen, die Verschlingung vollständig auszulösen, d.h. als Vielfaches des leeren Knotens zu schreiben. Da über potentiell zulässigen Ringen das Annulatorideal von E_{n}^{(G)} verschindet, muß auch dasjenige des leeren Knotens verschwinden. Dieser ist also ein freier Erzeuger. □

5.1 Die Spur im klassischen Limes

Satz 50 zeigt auch, wie sich der Wert der Spur im klassischen Limes berechnet. In diesem Unterabschnitt wird k als endlich vorausgesetzt.

Für ein ein a = (σ, v) ∈ BP_{n}^{k}(R_{c}) sei zunächst â der Zykelanteil in der nach [10] durchgeführten Komposition, und n_{i}(â) bezeichne die Zahl der Zyklen, die mit i bewertet werden. Dann ergibt sich unmittelbar aus der Definition der Multiplikation

tr(a) = x^{−n} ∏_{i=0}^{k−1} A_{i}^{n_{i}(â)}  (117)

60. Satz. Die Spur tr ist auf CB_{n}^{k} = BP_{n}^{k}(R_{c}) nicht ausgeartet.

Beweis: Wir verwenden ein lineares Erzeugendensystem S_{n} = {v_{i} | i = 1, …, k^{n}(2n − 1)!!}. Um den Satz zu beweisen, reicht es, det(tr(v_{i}v_{j}^{∗})_{i,j}) ≠ 0 nachzuweisen. Die Anti-Involution a ↦ a^{∗} vertauscht i und i′, geometrisch gesprochen vertauscht sie also oben und unten. Da dabei die Orientierung geändert wird, verwandelt sich eine Bewertung mit i in eine mit −i. Deshalb sind in âa^{∗} alle Bögen mit 0 bewertet. Nehmen wir an, a habe s obere (und s untere) horizontale Bögen. Dann gibt es s Zyklen in aa^{∗}. Wenn wir die Spur berechnen, entstehen weitere s Zyklen aus den jeweils s verbleibenden horizontalen Bögen von a und a^{∗}. Die vertikalen Bögen aus a bilden eine Permutation, deren Inverses in a^{∗} den vertikalen Anteil ausmacht. Beim Schließen entstehen also weitere n − 2s Zyklen. Insgesamt enthält aa^{∗} also genau n Zyklen und es ist tr(aa^{∗}) = 1. Jetzt wählen wir mittels Tensorierung A_{1} := …:= A_{k−1} := x^{−1}. Die Spur wird dann ein Laurentpolynom in x. Die Wahl der A_{i} bewirkt, daß nicht-triviale Bewertungen eines Bogens den Grad von x in der Spur vermindern. Sei nun β ein Bogen in a und b ein anderer Graph, der keinen zu β gespiegelten Bogen β^{∗} enthält. Indem man die Fälle, daß β horizontal oder vertikal ist, betrachtet, stellt man fest, daß der Zykel der Schließung, der β enthält, mehr als zwei Bögen aus a und b enthält. Die Spur von ab enthält daher weniger Zyklen als die Spur von aa^{∗}. Also ist b = a^{∗} der eindeutige Graph mit höchstem Grad von x in tr(ab).

Um tr als nicht ausgeartet zu erweisen, reicht es aus zu zeigen, daß

det(tr(v_{i}v_{j}^{∗})_{i,j}) = x^{−nk^{n}(2n−1)!!}det((x^{n_{0}(v_{i}v_{j}^{∗})} ∏_{s=1}^{k−1} x^{n_{s}(v_{i}v_{j}^{∗})/2})_{i,j})

nicht verschwindet. Die Diagonaleinträge in dieser Matrix sind jeweils diejenigen mit dem höchsten x-Grad in jeder Zeile. In der Entwicklung der Determinante gibt es also genau einen Term mit maximalem Grad in x und also kann die Determinante nicht verschwinden, d.h. aber, daß sie auch vor dem Tensorierungsprozeß nicht Null gewesen sein kann. □

5.2 Spurkonstruktion nach Wenzl

Wenzl hat in [34] die Markovspur auf der Typ-A-BMW-Algebra als iterierte bedingte Erwartungen konstruiert. Dieser Unterabschnitt überträgt dieses Verfahren auf den B-Fall. Voraussetzung ist die Injektivität einer bestimmten Inklusion der Algebren: Wir setzen bis einschließlich Lemma 68 die folgende Hypothese voraus:

61. Hypothese. Die Abbildung B_{n}^{k} → B_{n+2}^{k}, a ↦ x^{−1}ae_{n+1} ist injektiv.

Im Beweis des Struktursatzes wird die folgende Situation relevant:

62. Lemma. Die Hypothese ist erfüllt, falls die Spur auf B_{n}^{k} nicht ausgeartet ist.

Beweis: Wegen der Invertierbarkeit von x reicht es aus, zu zeigen, daß für 0 ≠ a ∈ B_{n}^{k} gilt ae_{n+1} ≠ 0. Nehmen wir also das Gegenteil an und werfen durch einen weiteren Inklusionsmorphismus 0 = ae_{n+1} sogar nach B_{2n+2}^{k}. Nach Voraussetzung ist die Spur auf B_{n}^{k} nicht ausgeartet, es gibt also ein b ∈ B_{n}^{k} mit tr(ba) ≠ 0. Wir fassen b, H_{n}, \overline{H_{n}} als Elemente in B_{2n+2}^{k} auf und bilden das Produkt a′, das wegen ae_{n+1} = 0 ebenfalls verschwindet:

a′ := \overline{H_{n}}X(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}bae_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}
= \overline{H_{n}}baX(n + 1, 2n)^{−1}X(n + 2, 2n + 1)^{−1}e_{n+1}X(n + 2, 2n + 1)X(n + 1, 2n)H_{n}
= \overline{H_{n}}bae_{2n+1}H_{n} = \overline{H_{n}}baH_{n}e_{2n+1}
= x^{n}tr(ba)E(1, 2n − 1)e_{2n+1} = x^{n}tr(ab)E(1, 2n + 1)

Da E(1, 2n + 1) verschwindendes Annulatorideal hat, impliziert a′ = 0 das Verschwinden der Spur tr(ab) = 0. Widerspruch. □

Sei w = w_{1}γw_{2} ∈ B_{n+1}^{k} mit w_{i} ∈ B_{n}^{k}, γ ∈ Γ_{n+1}. Dann gilt e_{n+1}we_{n+1} = w_{1}e_{n+1}γe_{n+1}w_{2} = sw_{1}w_{2}e_{n+1} mit einem Faktor s, der die Werte s = x, 1, λ^{−1}, A_{m} annimmt, falls γ = 1, e_{n}, X_{n}, Y_{n+1}^{m}. Die Hypothese 61 ermöglicht die folgende Definition:

63. Definition. ϵ_{n} : B_{n+1}^{k} → B_{n}^{k} sei definiert durch e_{n+1}ae_{n+1} =: xϵ_{n}(a)e_{n+1}.

Offensichtlich gilt ϵ_{n}(w_{1}aw_{2}) = w_{1}ϵ_{n}(a)w_{2} falls w_{i} ∈ B_{n}^{k}. Darüberhinaus folgt aus (13), daß e_{n+1} = e_{n+1}e_{n}e_{n+1} = xϵ_{n}(e_{n})e_{n+1} und also ϵ_{n}(e_{n}) = x^{−1}. Ähnlich folgt aus (8) die Beziehung e_{n+1} = λ^{±}e_{n+1}X_{n}^{±}e_{n+1} = λ^{±}xϵ_{n}(X_{n}^{±})e_{n+1} und also ϵ_{n}(X_{n}^{±}) = x^{−1}λ^{∓}. Weiter impliziert (45) e_{n+1} = A_{m}^{−1}e_{n+1}Y_{n+1}^{m}e_{n+1} = A_{m}^{−1}xϵ_{n}(Y_{n+1})e_{n+1} und damit ϵ_{n}(Y_{n+1}^{m}) = A_{m}x^{−1}.

Die Iteration der bedingten Erwartung liefert eine Abbildung in den Grundring, die wir mutigerweise ebenfalls mit tr bezeichnen.

64. Definition. tr(a) := tr(ϵ_{n−1}(a)), tr(1) := 1

65. Lemma. tr(e_{n}) = ϵ_{n}(e_{n}) = x^{−1}, tr(X_{n}^{±}) = ϵ_{n}(X_{n}^{±}) = x^{−1}λ^{∓}, tr(Y_{n+1}^{m}) = ϵ_{n}(Y_{n+1}^{m}) = A_{m}x^{−1}

Aus dieser Definition ergeben sich unmittelbar die folgenden Eigenschaften von tr:

66. Lemma. ∀ w_{1}, w_{2} ∈ B_{n}^{k}, γ ∈ Γ_{n+1} gilt tr(w_{1}γw_{2}) = tr(γ)tr(w_{1}w_{2}) und ϵ_{n}(w_{1}aw_{2}) = tr(γ)ab.

Beweis: Die erste Aussage folgt aus der zweiten, und diese wird durch Rechnung gezeigt: xϵ_{n}(w_{1}γw_{2})e_{n+1} = e_{n+1}w_{1}γw_{2}e_{n+1} = w_{1}e_{n+1}γe_{n+1}w_{2} = w_{1}xϵ_{n}(γ)e_{n+1}w_{2} = w_{1}w_{2}xϵ_{n}(γ)e_{n+1}. □

Dieses Lemma und Lemma 58 implizieren, daß beide Spurdefinitionen übereinstimmen (denn wegen der Wortsätze reichen die im Lemma angegebenen Relationen aus, die Spur auf beliebigen Elementen ausrechnen zu können). Damit ist die Verwendung der Bezeichnung tr für die Iteration der bedingten Erwartung gerechtfertigt.

Aus diesem Unterabschnitt wird im weiteren Verlauf nur die bedingte Erwartung verwendet. Wir haben die Spur ja schon konstruiert und insbesondere die Spureigenschaft tr(ab) = tr(ba) bewiesen. Um die Diskussion der B-BMW-Algebra aber näher an Wenzls Untersuchung der A-Typ-Algebra anzuschließen, verwenden wir den Rest dieses Unterabschnittes dazu, die Spureigenschaft nach seiner Methode zu zeigen.

67. Lemma. ∀a ∈ B_{n}^{k} ϵ_{n}(X_{n}^{−1}aX_{n}) = ϵ_{n}(X_{n}aX_{n}^{−1}) = ϵ_{n}(e_{n}ae_{n}) = ϵ_{n−1}(a)

Beweis: Sei a = w_{1}γw_{2} ∈ B_{n}^{k}, w_{i} ∈ B_{n−1}^{k}, γ ∈ Γ_{n}. Multiplikation mit xe_{n+1} ist nach Lemma 61 eine Äquivalenztransformation und führt die Behauptung über in:

xϵ_{n}(X_{n}^{−1}w_{1}γw_{2}X_{n})e_{n+1} = xϵ_{n}(X_{n}w_{1}γw_{2}X_{n}^{−1})e_{n+1} =
= xϵ_{n}(e_{n}w_{1}γw_{2}e_{n})e_{n+1} = xϵ_{n−1}(w_{1}γw_{2})e_{n+1}

Durch Weglassen der Faktoren w_{1}, w_{2} entsteht folgende Form:

e_{n+1}(X_{n}^{−1}γX_{n})e_{n+1} = e_{n+1}(X_{n}γX_{n}^{−1})e_{n+1} = e_{n+1}(e_{n}γe_{n})e_{n+1} = xtr(γ)e_{n+1}. Für γ = 1 ist das offensichtlich wahr, und für γ = e_{n−1} erhält man

e_{n+1}(X_{n}^{−1}e_{n−1}X_{n})e_{n+1} = e_{n+1}(X_{n}e_{n−1}X_{n}^{−1})e_{n+1} = e_{n+1}(e_{n}e_{n−1}e_{n})e_{n+1} = xx^{−1}e_{n+1}

⇔ e_{n+1}(X_{n−1}e_{n}X_{n−1}^{−1})e_{n+1} = e_{n+1}(X_{n−1}^{−1}e_{n}X_{n−1})e_{n+1} = e_{n+1}e_{n}e_{n+1} = e_{n+1}

Das ist offensichtlich richtig.

Im Falle γ = Y_{n}^{m} gilt

e_{n+1}(X_{n}^{−1}Y_{n}^{m}X_{n})e_{n+1} = e_{n+1}(X_{n}Y_{n}^{m}X_{n}^{−1})e_{n+1} = e_{n+1}(e_{n}Y_{n}^{m}e_{n})e_{n+1} = xtr(Y_{n}^{m})e_{n+1}

⇔ e_{n+1}(X_{n}^{−1}Y_{n}^{m}X_{n})e_{n+1} = e_{n+1}Y_{n+1}^{m}e_{n+1} = e_{n+1}(e_{n}Y_{n}^{m}e_{n})e_{n+1} = A_{m}e_{n+1}

Daß dies wahr ist, sieht man durch Umschreiben des ersten Ausdrucks

e_{n+1}X_{n}^{−1}Y_{n}^{m}X_{n}e_{n+1} = e_{n+1}e_{n}X_{n+1}Y_{n}^{m}X_{n}e_{n+1} = e_{n+1}e_{n}Y_{n}^{m}X_{n+1}X_{n}e_{n+1}
= e_{n+1}e_{n}Y_{n}^{m}e_{n}X_{n+1}X_{n} = A_{m}e_{n+1}e_{n}X_{n+1}X_{n} = A_{m}e_{n+1}
Bleibt nur noch γ = X_{n−1}.
e_{n+1}(X_{n}^{−1}X_{n−1}X_{n})e_{n+1} = e_{n+1}(X_{n}X_{n−1}X_{n}^{−1})e_{n+1} =
= e_{n+1}(e_{n}X_{n−1}e_{n})e_{n+1} = xtr(X_{n−1})e_{n+1}
⇔ e_{n+1}(X_{n−1}X_{n}X_{n−1}^{−1})e_{n+1} = e_{n+1}(X_{n−1}^{−1}X_{n}X_{n−1})e_{n+1} =
= e_{n+1}(λ^{−1}e_{n})e_{n+1} = λ^{−1}e_{n+1}
⇔ X_{n−1}e_{n+1}X_{n}e_{n+1}X_{n−1}^{−1} = X_{n−1}^{−1}e_{n+1}X_{n}e_{n+1}X_{n−1} = λ^{−1}e_{n+1} = λ^{−1}e_{n+1}
⇔ X_{n−1}λ^{−1}e_{n+1}X_{n−1}^{−1} = X_{n−1}^{−1}λ^{−1}e_{n+1}X_{n−1} = λ^{−1}e_{n+1}
□

68. Lemma. Angenommen, I_{n+1} sei halbeinfach, und tr sei eine Spur auf B_{n}^{k}. Dann ist tr eine Spur auf B_{n+1}^{k}.

Beweis: Es reicht, zu zeigen, daß tr(uv) = tr(vu)∀u, v ∈ B_{n+1}^{k}. Falls einer der Faktoren, etwa u, sogar in B_{n}^{k} liegt, ist dies einfach zu sehen: tr(uv) = tr(ϵ_{n}(uv)) = tr(uϵ_{n}(v)) = tr(ϵ_{n}(v)u) = tr(ϵ_{n}(vu)) = tr(vu).

Nach Satz 41 können wir u, v ∈ B_{n+1}^{k} schreiben als

u = u_{1} + u_{2}Y′_{n+1} + u_{3}e_{n}u_{4} + u_{5}X_{n}u_{6}  (118)
v = v_{1} + v_{2}Y′_{n+1} + v_{3}e_{n}v_{4} + v_{5}X_{n}^{−1}v_{6}  (119)

Da tr linear ist, reicht es, alle Kombinationen von Summanden zu untersuchen. Nach dem zuvor gesagten bleiben nur noch neun Fälle, von denen wir zuerst die symmetrischen behandeln. Dabei schreiben wir a (resp. b) für einen der Summanden von u (resp. v) und nennen die u_{i}, v_{i} um.

Erster Fall: a = a_{1}e_{n}a_{2}, b = b_{1}e_{n}b_{2}, a_{i}, b_{i} ∈ B_{n}^{k}.

tr(ab) = tr(ϵ_{n}(a_{1}e_{n}a_{2}b_{1}e_{n}b_{2})) = tr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n}a_{2}b_{1}e_{n})b_{2})
= tr(a_{1}ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1})b_{2}) = tr(b_{2}a_{1}ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1}))
= tr(ϵ_{n−1}(b_{2}a_{1})ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1})) = tr(ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1})ϵ_{n−1}(b_{2}a_{1}))
= tr(a_{2}b_{1}ϵ_{n−1}(b_{2}a_{1})) = tr(b_{1}ϵ_{n−1}(b_{2}a_{1})a_{2})
= tr(b_{1}ϵ_{n}(e_{n}b_{2}a_{1}e_{n})a_{2}) = tr(ϵ_{n}(b_{1}e_{n}b_{2}a_{1}e_{n}a_{2})) = tr(ba)
Zweiter Fall: a = a_{1}X_{n}a_{2}, b = b_{1}X_{n}^{−1}b_{2}
tr(ab) = tr(a_{1}X_{n}a_{2}b_{1}X_{n}^{−1}b_{2}) = tr(a_{1}ϵ_{n}(X_{n}a_{2}b_{1}X_{n}^{−1})b_{2})
= tr(a_{1}ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1})b_{2}) = tr(b_{2}a_{1}ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1}))
= tr(ϵ_{n−1}(a_{2}b_{1})ϵ_{n−1}(b_{2}a_{1}))

Ab der letzten Gleichung kann die Kette mit vertauschten a, b rückwärts gelesen werden. Dritter Fall: a = a_{1}Y′_{n+1}, b = b_{1}Y′_{n+1}.

tr(ab) = tr(a_{1}Y′_{n+1}b_{1}Y′_{n+1}) = tr(a_{1}Y′_{n+1}^{2}b_{1})
= tr(Y′_{n+1}^{2}b_{1}a_{1}) = tr(b_{1}Y′_{n+1}a_{1}Y′_{n+1}) = tr(ba)

Vierter Fall: Wir betrachten jetzt den ersten nicht symmetrischen Fall a = a_{1}e_{n}a_{2}, b = a_{3}Y′_{n+1}.

tr(ab) = tr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n}a_{2}a_{3}Y′_{n+1})) = tr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n}Y′_{n+1})a_{2}a_{3})
= λtr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n}Y′_{n}^{−1})a_{2}a_{3}) = λtr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n})Y′_{n}^{−1}a_{2}a_{3})
= λx^{−1}tr(a_{1}Y′_{n}^{−1}a_{2}a_{3}) = λx^{−1}tr(a_{2}a_{3}a_{1}Y′_{n}^{−1})
= λtr(a_{2}a_{3}a_{1}ϵ_{n}(e_{n})Y′_{n}^{−1}) = tr(a_{2}a_{3}a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1}e_{n}))
= tr(ϵ_{n}(a_{3}Y′_{n+1}a_{1}e_{n})a_{2}) = tr(ba)

Der fünfte Fall b = a_{1}e_{n}a_{2}, a = a_{3}Y′_{n+1} geht analog.

Sechster Fall: a = a_{1}X_{n}a_{2}, b = b_{1}Y′_{n+1}.

tr(ab) = tr(a_{1}ϵ_{n}(X_{n}Y′_{n+1})a_{2}b_{1}) = tr(a_{1}ϵ_{n}(X_{n}^{2}Y′_{n}X_{n})a_{2}b_{1})
= tr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n}X_{n})a_{2}b_{1}) + δtr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1})a_{2}b_{1}) − δλtr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n}Y′_{n}X_{n})a_{2}b_{1})
= tr(a_{1}Y′_{n}x^{−1}λ^{−1}a_{2}b_{1}) + δtr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1})a_{2}b_{1}) − δtr(a_{1}ϵ_{n}(e_{n}Y′_{n+1})a_{2}b_{1})
= tr(a_{1}Y′_{n}x^{−1}λ^{−1}a_{2}b_{1}) + δtr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1})a_{2}b_{1}) − δtr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1}e_{n})a_{2}b_{1})
= tr(a_{1}ϵ_{n}(X_{n}Y′_{n})a_{2}b_{1}) + δtr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1})a_{2}b_{1}) − δλtr(a_{1}ϵ_{n}(X_{n}Y′_{n}e_{n})a_{2}b_{1})
= tr(a_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1}X_{n})a_{2}b_{1}) = tr(b_{1}ϵ_{n}(Y′_{n+1}a_{1}X_{n})a_{2}) = tr(ba)

Beim Übergang zur vierten Zeile wurde der vierte Fall verwendet.

Es bleiben jetzt nur noch die nicht diagonalen Fälle, die ein e_{n} mit X_{n} oder X_{n}^{−1} paaren. Diese treten aber de facto gar nicht auf. Denn wegen der vorausgesetzten Halbeinfachheit des Ideals I_{n+1} gibt es eine zentrale Idempotente z ∈ B_{n+1}^{k} mit zB_{n+1}^{k} =^{∼} I_{n+1}. Sei nun a ∈ I_{n+1}, also a = az. Dann ist ab = azb = a(zb). Also kann ObdA auch b ∈ I_{n+1} angenommen werden (ansonsten ist die Spur 0). Aber a, b ∈ I_{n+1} impliziert, daß es sich um Linearkominationen der Form a = ∑_{i} a_{i}e_{n}a′_{i}, b = ∑_{i} b_{i}e_{n}b′_{i} mit a_{i}, a′_{i}, b_{i}, b′_{i} ∈ B_{n}^{k} handelt. Terme dieser Art wurden aber schon behandelt. □

6 Der Struktursatz

In diesem Abschnitt wird das Hauptergebnis der vorliegenden Arbeit gegeben: Die Struktur von B_{n}^{k} für endliche k als halbeinfache, endlichdimensionale Algebra wird geklärt. Zunächst werden aber noch einige Definitionen benötigt.

Ein Young-Diagramm λ der Größe n ist eine Partition der natürlichen Zahl n: λ = (λ_{1}, …, λ_{k}), ∑_{i} λ_{i} = n, λ_{i} ≥ λ_{i+1}. Im folgenden arbeiten wir mit geordneten Tupeln von k Young-Diagrammen \underline{λ} = (λ^{1}, …, λ^{k}) (vergl. [1]). Die Größe eines Tupels von Young-Diagrammen ist die Summe der Größen seiner Bestandteile. Es bezeichne Γ̂_{n}^{k} die Menge der k-Tupeln von Young-Diagrammen der Größen n, n − 2, . . ..

69. Satz. Es sei R ein im Sinne von Definition 30 zulässiger Ring, und K sei sein Quotientenkörper. Dann gilt für B_{n}^{k} = B_{n}^{k}(K), k < ∞:

1. B_{n}^{k} ist eine halbeinfache Algebra. Die einfachen Komponenten werden durch Γ̂_{n}^{k} indiziert.

B_{n}^{k} = ⨁_{\underline{λ}∈Γ̂_{n}^{k}} B_{n,\underline{λ}}^{k}  (120)

2. Die Bratteliregel für die Einschränkung von Modulen lautet: Ein einfacher B_{n,\underline{ν}}^{k} Modul V\underline{ν}, \underline{ν} ∈ Γ̂_{n}^{k} zerfällt als B_{n−1}^{k} Modul in alle Module \underline{λ} ∈ Γ̂_{n−1}^{k}, die aus \underline{ν} durch Zufügen oder Wegnehmen einer Box entstehen.

3. tr ist eine treue Spur. Zu jedem Tupel von Young-Diagrammen \underline{λ} ∈ Γ̂_{n}^{k} gibt es eine minimale Idempotente p\underline{λ} und eine nichtverschwindente Funktion Q\underline{λ}, die nicht von n abhängt und tr(p\underline{λ}) = Q\underline{λ}/x^{n} erfüllt.

Zum Beweis benötigen wir einige Resultate der Jones-Wenzl-Theorie der Inklusionen endlichdimensionaler, halbeinfacher Algebren.

Sei A ⊂ B ⊂ C eine Einbettung endlichdimensionaler Algebren über einem Körper der Charakteristik 0. Es seien A und B halbeinfach, und tr eine mit der Einbettung verträgliche, nicht ausgeartete Spur auf ihnen. Die bedingte Erwartung dieser Inklusion ist dann ϵ_{A} : B → A, tr(ab) = tr(aϵ_{A}(b)). Ferner gebe es eine Idempotente e ∈ C, so daß e^{2} = e, ebe = eϵ_{A}(b)∀b ∈ B und φ : A → C, a ↦ ae injektiv ist.

Eine solche Situation kann allein aus dem Inklusionspaar A ⊂ B mit seiner gemeinsamen treuen Spur tr und bedingter Erwartung ϵ_{A} konstruiert werden. Sei dazu Ĉ := {α : B → B | α linear, α(ba) = α(b)a∀a ∈ A, b ∈ B}. Die Einbettung B ⊂ Ĉ wird gegeben durch b ↦ α_{b}, α_{b}(b_{1}) := bb_{1}. Dabei wird e gegeben durch e_{A} = ϵ_{A} : B → B. Die Unteralgebra von Ĉ, die von B und e_{A} erzeugt wird, wird mit < B, e_{A} > bezeichnet. In diesem Rahmen hat Wenzl die folgenden Ergebnisse bewiesen. [34, Theorem 1.1]

1. < B, e_{A} >=^{∼} End_{A}(B)

2. Die einfachen Komponenten von A und < B, e_{A} > stehen in Bijektion. Die Einbettungsmatrizen von A ⊂ B ⊂< B, e_{A} > sind zueinander transponiert. Falls p eine minimale Idempotente in A ist, dann ist auch pe_{A} eine minimale Idempotente in < B, e_{A} >

3. < B, e_{A} >=^{∼} Be_{A}B

4. < B, e >=^{∼}< B, e_{A} > ⊕B̃, wobei B̃ eine Unteralgebra von B ist.

5. 4 impliziert, daß das von e in C erzeugte Ideal isomorph ist zu < B, e_{A} >.

Jetzt kann der Struktursatz bewiesen werden.

Beweis: B_{0}^{k} ist der Grundkörper. Also ist die Behauptung wahr mit tr(p_{(·,...,·)}) = tr(1) = Q_{(·,...,·)}/x^{0}, Q_{(·,...,·)} = 1. Die Algebra B_{1}^{k} ist von der Dimension k und hat eine Basis {1, Y, … Y^{k−1}}. Sie ist kommutativ und halbeinfach. Die einfachen Blöcke sind durch die Eigenräume von Y gegeben. Die Existenz der Idempotenten haben wir uns schon in der Diskussion im Anschluß an Gleichung (68) überlegt. Die Spur ist auf B_{1}^{k} nicht ausgeartet, denn die Determinante von tr(Y^{i}Y^{j}) verschwindet nach Lemma 31 nicht.

Sei der Satz induktiv schon für B_{n}^{k} bewiesen.

Die Jones-Wenzl-Theorie kann (nach Induktionsvoraussetzung und den bereits bewiesenen Eigenschaften der Spur) auf folgende Situation angewendet werden: A = B_{n−1}^{k}, B = B_{n}^{k}, C = B_{n+1}^{k}, e = x^{−1}e_{n}, ϵ_{A} = ϵ_{n−1}, denn A, B sind nach Induktionsannahme halbeinfache Algebren mit einer gemeinsamen treuen Spur. Die Idempotenz e^{2} = e ist klar und die Beziehung zur Spur und zur bedingten Erwartung stimmen nach den Ergebnissen aus Abschnitt 5. Insbesondere garantiert Lemma 62 (mit n → n − 1), daß ϵ_{n−1} existiert.

Aussage 1 der Jones-Wenzl-Theorie besagt dann, daß End_{A}(B) =^{∼}< B, e_{A} > halbeinfach ist. Dies ist aber nach Aussage 5 gerade das von e erzeugte Ideal I_{n+1}. Die Quotientenalgebra B_{n+1}^{k}/I_{n+1} ist die Ariki-Koike-Algebra AK_{n+1}^{k} und laut [1] ebenfalls halbeinfach. Also^{3} ist auch B_{n+1}^{k} halbeinfach und besitzt daher eine Darstellung als direkte Summe B_{n+1}^{k} = I_{n+1} ⊕B_{n+1}^{k}/I_{n+1}. Aussage 2 bedeutet, daß die einfachen Komponenten von I_{n+1} durch Γ̂_{n−1}^{k} indiziert werden. Die einfachen Blöcke von AK_{n+1}^{k} werden durch Tupel von Young-Diagrammen der Größe n+1 indiziert (siehe [1]).

Damit ist Punkt 1 des Satzes vollständig bewiesen.

Die Inklusionsmatrix des Teils I_{n+1} ist die Transponierte der Inklusionsmatrix von B_{n−1}^{k} ⊂ B_{n}^{k} und damit von der in der Bratteli-Regel behaupteten Form. Für den Teil AK_{n+1}^{k} folgt die Gültigkeit der Bratteli-Regel aus [1].

Um die Treue der Spur zu erweisen, müssen wir zeigen, daß die Funktionen Q nicht verschwinden. Falls p\underline{λ} ∈ B_{n−1}^{k} eine minimale Idempotente in B_{n−1,\underline{λ}}^{k} ist, folgt nach Punkt 2, daß x^{−1}p_{(μ,λ)}e_{n} eine minimale Idempotente in B_{n+1}^{k} ist. Die Spur dieser Idempotenten ist tr(x^{−1}p\underline{λ}e_{n}) = x^{−2}tr(p\underline{λ}) = Q\underline{λ}/x^{n−1+2}. Dies verschwindet offensichtlich nicht. Die Idempotenten dieser Art sind diejenigen von I_{n+1}. Für die anderen Idempotenten (die von B_{n+1}^{k}/I_{n+1} herkommen) werde Q definiert durch tr(p\underline{λ}) = Q\underline{λ}/x^{n}. Zum Beweis, daß diese Q nicht verschwinden, wird der klassische Limes benötigt. Eine minimale Idempotente p\underline{λ} von B_{n}^{k} liefert eine Idempotente im Limes. Wir wissen bereits, daß in diesem Limes die Spur treu ist. Also hat die Funktion Q\underline{λ} einen nicht verschwindenden klassischen Limes und kann daher selbst nicht verschwinden. □

Aus der Darstellungstheorie der orthogonalen und symplektischen Quantengruppen (siehe etwa [4]) können (modifizierte) Tensordarstellungen der Algebren B_{n}^{k} gewonnen werden. Sei nämlich B die permutierende R-Matrix in der fundamentalen Darstellung π_{V} : U_{q}(g) → End(V) einer solchen Quantengruppe, und sei π_{W} eine weitere irreduzible Darstellung. Dann wird W ⊗ V^{⊗n} wie folgt zum Darstellungsraum der Algebra B_{n}^{k}(ℂ(λ, q)), x = 1 − (λ − λ^{−1})/(q − q^{−1}): Der Generator X_{i} wirkt durch id_{W} ⊗ id_{V} ⋯ ⊗ B ⊗ id_{V}, wobei B im i- und i + 1-ten V wirkt. Der Generator Y wirkt durch (π_{W} ⊗ π_{V})(R_{21}R) ⊗ id_{V} ⊗ ⋯ id_{V}. Die Gültigkeit der Relationen (5) - (8) ist dann nach der Theorie der Darstellungskategorie der Quantengruppen klar. Ebenso folgen sofort (27),

3Im allgemeinen ist die Halbeinfachheit von I und A/I in 0 → I → A → A/I → 0 nicht hinreichend für die Halbeinfachheit von A. In unsere Situation ist aber A eine endlichdimensionale Algebra über einem Körper, und für diese ist Halbeinfachheit äquivalent zum Verschwinden des Radikals. Nach Voraussetzung haben also I und A/I verschwindende Radikale. Die Abbildung A → A/I wirft das Radikal Rad(A) in das Radikal von A/I, also in das Nullideal. Also ist Rad(A) ⊂ I und darum Rad(A) = I ∩ Rad(A) ⊂ Rad(I) = {0}. Es folgt die Halbeinfachheit von A.

(28) und (29) aus dem graphischen Kalkül der Dartstellungskategorien. Die Relationen (64) und (30) folgen aus der Endlichdimensionalität resp. aus der Irreduzibilität von W.

[figure: ^{B^{2}^{0}}; ^{B^{2}^{1}}; B^{2}_{2}; (·, ·); (□, ·); (·, □); (·, ·); (□, □); (□□, ·); ( {□ \atop □} , ·); (·, {□ \atop □} ); (·, □□)]

Abbildung 7: Das Bratteli Diagramm von B^{2}_{n}

7 Tensordarstellungen

Im Gegensatz zu den oben betrachteten modifizierten Tensordarstellungen bauen echte Tensordarstellungen der Zopfgruppe ZB_{n} nur auf einem Vektorraum auf.

70. Definition. Ein Vierzopf-Paar (B, F) auf einem Vektorraum V besteht aus Isomorphismen F : V → V, B : V ⊗ V → V ⊗ V, so daß gilt

(F ⊗ id)B(F ⊗ id)B = B(F ⊗ id)B(F ⊗ id)
(B ⊗ id)(id ⊗ B)(B ⊗ id) = (id ⊗ B)(B ⊗ id)(id ⊗ B)

Ein Vierzopf-Paar definiert eine Darstellung von ZB_{n} auf V^{⊗n} durch

ϕ : ZB_{n} → End(V^{⊗n})
τ_{0} ↦ F ⊗ 1 ⋯ ⊗ 1
τ_{i} ↦ 1 ⊗ ⋯ ⊗ 1 ⊗ B ⊗ 1 ⋯ ⊗ 1

7.1 Tensordarstellungen zu k = 2

Aus den Arbeiten von Wenzl und tom Dieck ist bekannt, wie sich Tensordarstellungen von B^{2}_{n}(ℂ(q)) gewinnen lassen. Dabei sei im Grundkörper δ = q −q^{−1}. Die Konstruktion des Vierzopf-Paares verwendet die R-Matrix der Quantengruppe U_{q}(so_{N}), N = 2m + 1, m ∈ ℕ. Die N dimensionale definierende Darstellung sei V = span{v_{i} | i ∈ I}. Wir verwenden die Indexmenge I = {−N + 2, −N + 4, …, −3, −1, 0, 1, 3, …, N − 2}. Die permutierende R-Matrix B = τR ist dann

B = ∑_{i≠0}(qf_{i,i} ⊗ f_{i,i} + q^{−1}f_{i,−i} ⊗ f_{−i,i}) + f_{0,0} ⊗ f_{0,0} + ∑_{i≠j,−j} f_{i,j} ⊗ f_{j,i} +

(q − q^{−1}) (∑_{i<j} f_{i,i} ⊗ f_{j,j} − ∑_{j<−i} q^{\frac{i+j}{2}} f_{i,j} ⊗ f_{−i,−j})

Dabei ist f_{i,j} die N × N Matrix, die an der Stelle (i, j) eine 1 und sonst 0 beinhaltet.

Aus E := 1 − (B − B^{−1})/δ bestimmt man

E = ∑_{i,j} q^{\frac{i+j}{2}} f_{i,j} ⊗ f_{−i,−j}

Daraus folgt sofort E^{2} = xE mit x = ∑_{i} q^{i}, und daraus λ = q^{1−N}.

Von tom Dieck stammt die folgende Lösung der 4-Zopf-Relation.

F = −f_{0,0} + q^{−1/2} ∑_{i≠0} f_{−i,i} + (q^{−1} − 1) ∑_{i>0} f_{i,i}  (121)

Diese Matrix erfüllt

F^{2} = (q^{−1} − 1)F + q^{−1}
(F ⊗ 1)B(F ⊗ 1)B = B(F ⊗ 1)B(F ⊗ 1)
E = E(F ⊗ 1)B(F ⊗ 1)

Der reskalierte Generator Ỹ := λ^{1/2}Y = q^{m}Y erfüllt e_{1}ỸX_{1}Ỹ = e_{1}. Eine Darstellung der Algebra B_{n}^{2} ergibt sich deshalb aus dem Vierzopf-Paar (B, F), wenn Ỹ auf F abgebildet wird. Die Parameter der zugehörigen Tensordarstellung sind q̃_{1} = (q^{−1} − 1), λ = q^{1−N}.

Die Markovspur kann als Matrix-Spur verstanden werden. Dazu sei D die Diagonalmatrix D_{i,i} := q^{i}. Damit wird definiert Ψ : End(V^{⊗n}) → K, Ψ(a) := Tr(a(D^{⊗n}))/Tr(D^{⊗n}). Hier ist Tr die gewöhnliche Spur von Matrizen.

71. Lemma. tr = Ψ ∘ ϕ

Beweis: In den Parametern dieser Darstellung ist

tr(Ỹ) = \frac{A_{1}}{x} = \frac{q_{1}}{1 − q_{0}λ} = \frac{q^{−1} − 1}{1 − q^{−1}q^{1−N}} = \frac{q^{−1} − 1}{1 − q^{−N}}

Andererseits ist

Tr(D) = ∑_{I∋i>0} q^{i} + q^{0} + ∑_{I∋i<0} = 1 + q^{−1} ∑_{i=1}^{m}(q^{2})^{i} + q ∑_{i=1}^{m}(q^{−2})^{i}

= 1 + \frac{q − q^{N}}{1 − q^{2}} + \frac{q^{−1} − q^{−N}}{1 − q^{−2}}
Tr(DF) = −1 + ∑_{I∋i>0}(q^{−1} − 1)q^{i} = (q^{−2} − q^{−1}) ∑_{i=1}^{m}(q^{2})^{i} − 1

= \frac{q^{−2} − q^{−1}}{1 − q^{2}} (q^{2} − q^{N+1}) − 1
Ψ(Ỹ) = Tr(DF)/Tr(D) = \frac{−q^{N+1} + q^{2N} − q^{2N−1} + q^{N+2}}{q^{N} − q^{N+2} − q^{2N} + q^{2}} = −\frac{q − 1}{q − q^{−N+1}}

Der Rest des Beweises wird wie im A-Fall [34] geführt. □

7.2 Tensordarstellungen zu k = 3

Eine Zylinder-Zopfmatrix, die die Zopfmatrix der Quantengruppe U_{q}(so_{5}) zu einem Vier-Zopf-Paar ergänzt, ist gegeben durch F := P GP^{−1}. Dabei ist P die Matrix, die das Element π = (5, −4, 3, 1, 2) aus der Coxeter-Gruppe WB_{5} als vorzeichenbehaftete Permutationsmatrix realisiert: P e_{i} = sgn(π(i))e_{π(i)}. Die Matrix G ist gegeben durch

G := q^{2} ( \begin{matrix}\frac{1}{b} + b + \frac{1+q}{q^{2}} & −\frac{a_{2}}{a_{3}q} & \frac{a_{1}}{a_{3}\sqrt{q}} & \frac{a_{1}^{2}b(1+q)}{a_{2}a_{3}(b−1)^{2}\sqrt{q}} & −\frac{a_{1}^{2}b\sqrt{q}}{a_{3}^{2}(b−1)^{2}(1+q)} \\ \frac{a_{3}(1+q)^{2}}{a_{2}q^{2}} & \frac{1}{b} + b − 1 − \frac{1}{q} & \frac{a_{1}(1+q)}{a_{2}\sqrt{q}} & \frac{a_{1}^{2}b(1+q)}{a_{2}^{2}(b−1)^{2}\sqrt{q}} & 0 \\ −\frac{a_{3}(b−1)^{2}(1+q)}{a_{1}bq^{\frac{3}{2}}} & \frac{a_{2}(b−1)^{2}}{a_{1}b\sqrt{q}} & 1 & 0 & 0 \\ −\frac{a_{2}a_{3}(b−1)^{2}(1+q)}{a_{1}^{2}bq^{\frac{3}{2}}} & \frac{a_{2}^{2}(b−1)^{2}}{a_{1}^{2}b\sqrt{q}(1+q)} & 0 & 0 & 0 \\ −\frac{a_{3}^{2}(b−1)^{2}(1+q)}{a_{1}^{2}bq^{\frac{3}{2}}} & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Das charakeristische Polynom ist

(q^{2}b − t)^{2}(t − q^{2}b^{−1})^{2}(1 − t)

Die Parameter der B_{n}^{k}-Darstellung sind

x = q^{−3} + q^{−1} + 1 + q + q^{3}
A_{1} = q^{3}b^{−1}(1 + b^{2} + bq + q^{2} + b^{2}q^{2})
A_{2} = \frac{q^{5} + q^{7} + bq^{2}(q^{4} − 1) + b^{3}q^{2}(q^{4} − 1) + b^{4}(q^{5} + q^{7}) + b^{2}(1 − q − q^{3} + q^{5} + q^{7})}{b^{2}}
q_{0} = q^{4}
q_{1} = b^{−1}q^{2}(1 + b^{2} + bq^{2})
q_{2} = q^{2}b + q^{2}b^{−1} + 1

8 Invarianten von Knoten im Volltorus

Durch das Schließen von Zöpfen entstehen Verschlingungen. Der Äquivalenzbegriff für Verschlingungen induziert damit eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Zöpfe. Das klassische Markov-Theorem beschreibt diese Äquivalenzrelation rein algebraisch.

S. Lambropoulou [22] und A. B. Sossinsky [29] haben Markovs Theorem auf B-Zöpfe verallgemeinert. Zwei Zöpfe β_{1}, β_{2} haben demnach äquivalente Schließungen β̂_{1}, β̂_{2} genau dann, wenn β_{1}, β_{2} durch eine Folge zweier elementarer Züge ineinander überführt werden können: Zug I: Konjugation β ∼ αβα^{−1} und Zug II: α ∼ ατ_{n} für α ∈ ZB_{n}.

Das Theorem impliziert die Existenz einer Erweiterung des Kauffman-Polynoms für B-Verschlingungen. Es bezeichne π : ZB_{n} → B_{n}^{k} den Morphismus τ_{i} ↦ X_{i}. Ohne weiteren Beweis können wir jetzt eine Invariante der B-Verschlingung β̂, die durch Schließen aus dem B-Zopf β ∈ ZB_{n} entsteht, hinschreiben:

72. Definition. Das B-Kauffmanpolynom einer B-Verschlingung β̂ ist definiert als

L(β̂, n) := x^{n−1}λ^{e(β)}tr(β)  β ∈ ZB_{n}  (122)

e : ZB_{n} → ℤ ist die Exponentialsumme mit e(τ_{i}) = 1, e(τ_{0}) = 0.

Auf Typ-A-Verschlingungen reduziert sich das zur Dubrovnik-Variante des Kauffman-Polynoms.

9 Halbeinfachheit im nichtgenerischen Fall

Bisher hatten wir als Grundring stets (einen Quotienten) eines Laurentringes vorausgesetzt. Dies war beim Beweis der Halbeinfachheit entscheidend. Hier soll diskutiert werden, was passiert, wenn ℂ als Grundkörper verwendet wird.

Ein Teilergebnis kann durch direkte Übertragung von Wenzls Analyse der Typ A BMW Algebra erzielt werden (vgl. [34, Chap. 4]). Das Annulatorideal der Spur werde mit J_{n} bezeichnet

J_{n} := J_{n}(λ, x, A_{1}, …) = {a ∈ B_{n}^{k} | ∀b ∈ B_{n}^{k} : tr(ab) = 0}

Lemma 66 impliziert dann J_{n} ⊂ J_{n+1}, und damit ist die GNS-Darstellung π_{tr}^{(n)} des Spurzustandes unabhängig vom Darstellungsraum: π_{tr}^{(n+1)}(B_{n}^{k}) = π_{tr}^{(n)}(B_{n}^{k}).

73. Satz. Die Algebra π_{tr}(B_{n}^{k}) ist halbeinfach, falls

∏_{i=1}^{m} \frac{q^{2i} − q^{−2i}}{q^{2} − q^{−2}} ≠ 0 ∀1 ≤ m ≤ n

q^{2d}p_{i} ≠ p_{j} ∀d ∈ ℤ, |d| < n, i ≠ j, 0 ≤ i, j ≤ k − 1

Beweis: Der Beweis besteht aus einem Neudurchgang durch den Beweis von Satz 69, bei dem die Algebren durch ihre Bilder unter der Darstellung π_{tr} ersetzt sind. Da π_{tr}(B_{n}^{k})/π_{tr}(I_{n}) ein Quotient der Ariki-Koike-Algebra ist, kann die Halbeinfachheit gefolgert werden, wenn alle Ariki-Koike-Algebren mit höchstens n Strängen halbeinfach sind. Die Bedingung dafür ist aber laut [2] gerade die angegebene. □

Bei der Untersuchung von BA_{n} fährt Wenzl fort, indem er Kriterien für J_{n} = 0, d.h. für die Halbeinfachheit von BA_{n} angibt. Dieser Teil seiner Untersuchung kann nicht übertragen werden, da er entscheidend benutzt, daß ein Quotient von BA_{n} als Zentralisator des n-fachen Tensorproduktes der fundamentalen Darstellung der Quantengruppe zu so_{N} auftritt.

10 Die volle Typ B Birman-Murakami-Wenzl-Algebra

Eine ’volle’, d.h. alle heuristischen Erwartungen erfüllende Birman-Wenzl-Algebra vom Typ B sollte graphisch erzeugt werden von allen in Bild 1 vorkommenden Generatoren X_{i}^{(G)}, X_{i}^{(G)−1}, e_{i}^{(G)}, i ≥ 0, die jeweils 4-Term Skeinrelationen genügen. Es sollten dann alle Isotopiebewegungen und Skeinbewegungen erlaubt sein. Wir hatten schon gesehen, daß der Projektor e_{0} auf den p_{0} Eigenraum von Y mit den e_{i}, i ≥ 1 die Relationen der B-Temperley-Lieb-Algebra erfüllt. Damit eine Skeinrelation mit vier Termen gilt, setzen wir k = 3 und betrachten in diesem Fall e_{0} genauer:

e_{0} = α_{0} − α_{0}(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1})Y + α_{0}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}Y^{2}  (123)
q_{0} = p_{0}p_{1}p_{2} q_{1} = −p_{0}p_{1} − p_{1}p_{2} − p_{0}p_{2} q_{2} = p_{0} + p_{1} + p_{2} (124)
Y^{2} = −p_{1}p_{2} + (p_{1} + p_{2})Y + α_{0}^{−1}p_{1}p_{2}e_{0}  (125)
Y^{−1} = p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1} − p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}Y + α_{0}^{−1}p_{0}^{−1}e_{0}  (126)
e_{0} = α_{0}p_{0}Y^{−1} + α_{0}p_{0}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}Y − p_{0}α_{0}(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1})  (127)
e_{0}^{2} = x_{0}e_{0}  x_{0} := α_{0}(1 − p_{0}(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1}) + p_{0}^{2}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1})  (128)
e_{1}e_{0}e_{1} = x′_{0}e_{1}  x′_{0} = α_{0}(x − A_{1}(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1}) + A_{2}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1})  (129)

Relation (125) kann dazu benutzt werden, Y^{2} zu eliminieren.

Die graphische Interpretation suggeriert ferner, daß ein klassischer Limes existieren und zur Algebra der symmetrischen Brauergraphen [28] isomorph sein sollte. Für n = 2 gibt es 25 solche Graphen. Von den 27 Basiselementen von B_{2}^{3} ergeben Y^{2}XY^{2}, XY^{2}XY^{2} nach Anwendung von (125) keine Brauergraphen. Es muß also weitere Relationen geben. Die Überlegungen aus Bild 8 motivieren die folgende Definition.

Als Grundring wählen wir in diesem Abschnitt L_{3}^{−} (resp. dessen Quotientenkörper), denn dann ist ein klassischer Limes mit Y^{2} = 1 möglich. Dabei ist es günstig, die Konsistenzgleichungen nach p_{1}, p_{2}, A_{2} aufzulösen.

74. Definition. Die volle Typ B Birman-Murakami-Wenzl-Algebra VB_{n} ist definiert als der Quotient von B_{n}^{3} nach

X_{1}^{−1}Y^{−1}X_{1}^{−1}e_{0} = (p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1})e_{0} + α_{0}^{−1}p_{0}^{−1}e_{0}e_{1}e_{0} − p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}e_{0}X_{1}Y X_{1}  (130)

Die Parameter sind x, λ, p_{0}, p_{1}, p_{2}, A_{1}, A_{2}, α_{0}. Es müssen drei Konsistenzgleichungen befriedigt werden. Die topologische Interpretation von Y als Band, das stets zur Zylinderachse hin orientiert ist, legt die folgende Wahl nahe:

p_{0} = 1  (131)

Wir werden die weiteren Relationen trotzdem für beliebiges p_{0} hinschreiben. Nach (131) bleiben noch vier freie Parameter. Als weitere, topologisch motivierte Relation kann noch gefordert werden:

x_{0} = x′_{0}

[figure: =; = \frac{−1}{p_{1}p_{2}}; +\frac{p_{1}+p_{2}}{p_{1}p_{2}}; +\frac{1}{p_{0}α_{0}}]

Abbildung 8: X_{1}^{−1}Y^{−1}X_{1}^{−1}e_{0} kann topologisch (aber nicht algebraisch) auf eine symmetrische Form gebracht werden (erste Gleichung). Die Skeinrelation (126) erlaubt dann die weitere Zerlegung. Das motiviert (130).

75. Satz. VB_{n} ist halbeinfach und trägt eine treue Markovspur. Das Bratteli-Diagramm besteht aus dem Unterdiagramm des Bratteli-Diagramms von B_{n}^{3}, das aus denjenigen Tripeln von Young-Diagrammen besteht, die maximal eine Box im ersten Young-Diagramm besitzen.

Beweis: Als Quotient einer halbeinfachen Algebra ist VB_{n} selbst halbeinfach. Damit ist auch sofort klar, daß tr eine treue Spur induziert, von der aber nicht klar ist, ob sie die Markoveigenschaft hat. Ihre Treue zeigt aber, daß das Analogon der Inklusions-Hypothese 61 erfüllt ist. Wenzls Zugang liefert dann eine Markovspur.

Wir zeigen jetzt, daß im Quotienten genau die im Satz beschriebenen Komponenten auftreten. Bis hinauf zu n = 2 läßt sich das mühelos verifizieren. Betrachten wir noch einmal den Induktionsschritt im Beweis von Satz 69. Der Teil der n + 1-Zeile im Bratteli-Diagramm, der der n − 1-Zeile entspricht, ist nach Induktionsannahme von der beschriebenen Form. Es bleibt also nur zu untersuchen, welche der durch Multi-Young-Diagramme mit n + 1 Kästchen indizierten Komponenten, also der Komponenten von AK_{n+1}^{k}, mit der neuen Relation verträglich sind. Es muß also geklärt werden, welche Modulen der Ariki-Koike-Algebra verträglich sind mit der Restklasse der Relation (130) im Quotienten nach dem von e_{1} erzeugten Ideal:

X_{1}^{−1}Y^{−1}X_{1}^{−1}e_{0} = (p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1})e_{0} − p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}X_{1}Y X_{1}e_{0}  (132)

Wir beschreiben kurz die irreduziblen Module der Ariki-Koike-Algebra AK_{n}^{3}. Eine Basis des Moduls, der durch das Tripel von Young-Diagrammen \underline{λ} = (λ_{0}, λ_{1}, λ_{2}) indiziert wird, ist gegeben durch die Menge der Multi-Young-Tableaux (MYT) t = (t_{0}, t_{1}, t_{2}) der Form \underline{λ}, gefüllt mit 1, …, n. Der Generator Y wirkt durch Multiplikation mit p_{i}, falls 1 sich im Tableaux t_{i} befindet. X_{i} wirkt als Multiplikation mit q, falls sich i, i + 1 in der selben Zeile des selben YT befinden, und als Multiplikation mit −q^{−1}, falls sich i, i + 1 in der selben Spalte des selben YT befinden. Um die Wirkung von X_{i} auf den restlichen MYT beschreiben zu können, brauchen wir einige weitere Definitionen. Es sei c_{t}(i) := m − l, wobei m die Spalte und l die Zeile des Kästchens ist, in dem i in seinem YT steht. Ferner sei r_{t}(i, j) := c_{t}(j) − c_{t}(i), Δ(w, z) := 1 − q^{2w}z und m_{t}(i) bezeichne den Index des YT, das i enthält. Die Wirkung von X_{i} ist dann

X_{i}t := (qΔ(r_{t}(i + 1, i), P))^{−1}((q^{2} − 1)t + t′Δ(1 + r_{t}(i + 1, i), P))

mit P := p_{m_{t}(i)}p_{m_{t}(i+1)}^{−1}. Dabei sei t′ das MYT, das aus t durch Vertauschen von i und i + 1 entsteht.

Aus der Beschreibung der Wirkung von Y wird klar, daß e_{0} als Projektor auf diejenigen MYT wirkt, in denen 1 im ersten YT steht. Wir müssen also

X_{1}^{−1}Y^{−1}X_{1}^{−1} = p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1} − p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}X_{1}Y X_{1}

auf solchen MYT testen. Nachdem die linke Seite vollständig expandiert wurde, (X_{1} −δ)Y^{−1}(X_{1} − δ) = X_{1}Y^{−1}X_{1} − δ(X_{1}Y^{−1} + Y^{−1}X_{1}) + δ^{2}Y^{−1}, läßt sich die Relation direkt anwenden. Da 1 in der Position (1, 1) des ersten YT steht, und die Relation außer Y nur X_{1} enthält, gibt es nur drei Fälle zu unterscheiden. Falls die 2 ebenfalls in t_{0} steht, kann sie dort nur auf der Position (1, 2) (Fall A) oder der Position (2, 1) (Fall B) auftreten. Falls die 2 aber nicht in t_{0} steht, muß sie in t_{1} oder t_{2} die Position (1, 1) einnehmen (Fall C). Eine einfache, aber längliche Rechnung zeigt dann, daß die Bedingung in den Fällen A und B verletzt ist, im Fall C aber gilt. Die 2 darf also nie im ersten MYT unter oder rechts von der 1 zu stehen kommen. Da die X_{i} aber beliebige Permutationen generieren, ist das nur dann ausgeschlossen, wenn es überhaupt keine derartigen Kästchen gibt, d. h. wenn das erste YD maximal ein Kästchen enthält. □

Das Bratteli-Diagramm von VB_{n} kann demnach einfacher gezeichnet werden, indem das erste Diagramm weggelassen wird. Die Zahl der Kästchen in den MYD der Algebra B_{n}^{3} ist n, n − 2, . . .. Einem Paar (t_{1}, t_{2}) von Yang-Diagrammen mit einer beliebigen Zahl von Kästchen m ≤ n entspricht also das Diagramm (·, t_{1}, t_{2}), falls m − n = 0mod2, und das Diagramm (□, t_{1}, t_{2}), falls m − n = 1mod2. Die Bratteli-Regel ist so zu ergänzen, daß eine unveränderte Übernahme eines Paares von YD von einer Zeile zur nächsten erlaubt wird. Dies ist genau die Beschreibung des Bratteli-Diagramms der symmetrischen Braueralgebra, die Holger Reich in seiner Diplomarbeit [28] gegeben hat.

Bevor wir den klassischen Limes diskutieren, ist es notwendig, noch einige Relationen bereitzustellen.

e_{1}Y^{−1}X_{1} = e_{1}Y^{−1}X_{1}^{−1}Y^{−1}Y X_{1}^{2} = λe_{1}Y X_{1}^{2}  (133)
= e_{1}Y (λ − δp_{1}^{−1}p_{2}^{−1}) + e_{1}δ(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1} − λ^{2}A_{1}) + e_{1}e_{0}δα_{0}^{−1}p_{0}^{−1}
e_{1}e_{0}X_{1} = α_{0}p_{0}e_{1}(Y^{−1} + p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}Y − p_{1}^{−1} − p_{2}^{−1})X_{1}
= e_{1}Y α_{0}p_{0}(λ − δp_{1}^{−1}p_{2}^{−1} − λ^{−1}p_{1}^{−2}p_{2}^{−2}) + e_{1}e_{0}(δ + λ^{−1}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1})  (134)
+e_{1}α_{0}p_{0}(δp_{1}^{−1} + δp_{2}^{−1} − δλ^{2}A_{1}
+ p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1})λ^{−1} − λp_{1}^{−1} − λp_{2}^{−1})

Mit Hilfe dieser Relationen kann e_{0}X_{1}e_{0} berechnet werden, indem (130) von rechts mit X_{1} multipliziert wird. Die linke Seite ist dann e_{0}X_{1}^{−1}Y^{−1} und kann sofort zu einer Summe von neun Termen expandiert werden. Auf der rechten Seite setze man (134) ein. Dann ergibt sich:

\frac{e_{0}X_{1}e_{0}}{α_{0}p_{0}} = e_{0}e_{1}Y (λ − λ^{−1}p_{1}^{−2}p_{2}^{−2}) + e_{0}e_{1}e_{0}λ^{−1}α_{0}^{−1}p_{0}^{−1}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}  (135)

−e_{0}X_{1}Y X_{1}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}δ + e_{0}(δ(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1}) + δx_{0}α_{0}^{−1}p_{0}^{−1} − p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}δp_{0})
+e_{0}e_{1}(−δλ^{2}A_{1} + (p_{1}^{−1}p_{2}^{−2} + p_{1}^{−2}p_{2}^{−1})λ^{−1} − λ(p_{1}^{−1} + p_{2}^{−1}) +
p_{0}^{−1}p_{1}^{−1}p_{2}^{−1}δ)

In diesem Ausdruck bewährt sich die Wahl p_{0} = 1: Sie bringt die Koefizienten der asymetrischen Terme e_{0}e_{1}, e_{0}e_{1}Y zum Verschwinden.

Wir beschreiben den klasssichen Limes als zweistufigen Prozeß. Im klasssichen Limes soll gelten Y e_{0} = e_{0}, so daß für die erste Stufe L_{0} der Limes p_{0} → 1 durchgeführt werden muß (falls nicht von vornherein mit p_{0} = 1 gearbeitet wird). Dann drücken wir δ durch x aus und definieren L_{1} als den anschließenden Limes λ → 1. Weiter muß α_{0}^{−1} → 0 sein. Um das zu erreichen, führen wir die Substitution S ein, die α_{0} nach (128) durch x_{0} ausdrückt. Der gesamte Limesprozess ist also L := L_{1}SL_{0}. Es ist dann L(α_{0}^{−1}) = 0. Weiter ist L(x′_{0}) = 0/0, so daß im Limes x′_{0} nicht mehr festgelegt ist.

Ein kleiner Schönheitsfehler liegt darin, daß der Koeffizient von e_{0}e_{1}e_{0} in (135) im Limes gegen −1 statt gegen 1 geht. Dessen ungeachtet ist aber sofort klar, daß eine Variante der von H. Reich untersuchten symmetrischen Braueralgebra definiert werden kann, in der eine horizontale Reidemeister-II-Bewegung auf der Symmetrieachse ein Minuszeichen generiert. Dies stört insbesondere nicht die Überlegungen zur Treue der Spur.

Ein anderer Kompromiß ist möglich: Es treten keine Vorzeichenprobleme auf, wenn man nicht fordert, daß der Beitrag von e_{0} zu Y^{2} im Limes verschwinden muß. Dies tritt bei den Tensordarstellungen (die interessanterweise über VB_{n} faktorisieren) aus Abschnitt 7.2 auf.

11 Epilog: Der Weg zu einer kategoriellen Interpretation

Wir sind Versuche, wollen es auch sein. Friedrich Nietzsche

Die Typ-A BMW-Algebra besitzt eine natürliche kategorielle Anwendung: Quotienten von ihr treten als Zentralisatoren (d.h. als Endomorphismenalgebren in den Darstellungskategorien) des n-fachen Tensorproduktes der orthogonalen und symplektischen Quantengruppen auf. Um auch für die Typ-B-Verallgemeinerungen entsprechende Interpretationen zu ermöglichen, muß das Konzept der Tensorkategorie auf den B-Fall verallgemeinert werden. Dieser Epilog unternimmt einige Schritte in diese Richtung. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der Begriffsbildung. Beweise werden nur skizziert oder ganz weggelassen, wenn die Aussage geometrisch plausibel ist.

Die Grundzüge der Theorie, die in diesem Anhang präsentiert wird, wurde in Diskussionen mit Herrn tom Dieck erarbeitet und dann unabhängig weiterentwickelt [9]. Ihre Wurzeln sind zum einen die schon früher von tom Dieck [7] vorgeschlagene Interpretation einer B-Kategorie als Modul über einer A-Kategorie, zum anderen die in [16] aus physikalischen Überlegungen definierten Strukturen.

Unsere Notationen für Tensorkategorien schließen möglichst dicht an Kassels Buch [20] an. Insbesondere ist a_{X,Y,Z} : (X⊗Y)⊗Z → X⊗(Y ⊗Z) der Reassoziations- und c_{X,Y} : X⊗Y → Y ⊗X der Zopfmorphismus.

11.1 Modulpaare von Tensorkategorien

In diesem Abschnitt wird die Idee formalisiert, eine Tensorkategorie auf einer anderen wirken zulassen. Die zweite Kategorie wird damit zu einem Modul der Monoidstruktur der ersten.

76. Definition. Sei B eine beliebige Kategorie und A eine Tensorkategorie. Wir sagen, daß A auf B (von rechts) wirkt, wenn es einen Funktor ∗ : B × A → B gibt, so daß die folgenden Axiome erfüllt sind.

1. Die folgende Gleichung gilt, wann immer beide Seiten definiert sind.

(f ∗ g)(f′ ∗ g′) = (ff′) ∗ (gg′)  (136)

2. Es gibt einen natürlichen Isomorphismus λ ∈ Nat(∗(Id × ⊗), ∗(∗ × Id)), d.h. λ_{Y,X_{1},X_{2}} : Y ∗ X_{1} ⊗ X_{2} → Y ∗ X_{1} ∗ X_{2}, so daß folgendes Pentagondiagramm für alle Objekte Y ∈ Obj(B), X_{i} ∈ Obj(A) kommutiert:

\begin{aligned}Y ∗ (X_{1} ⊗ X_{2}) ⊗ X_{3} & ⟶^{id_{Y} ∗a_{X_{1},X_{2},X_{3}}} & Y ∗ X_{1} ⊗ (X_{2} ⊗ X_{3}) \\ & & λ_{Y,X_{1},X_{2}⊗X_{3}} ↓ \\ ↓ λ_{Y,X_{1}⊗X_{2},X_{3}} & & Y ∗ X_{1} ∗ X_{2} ⊗ X_{3} \\ & & λ_{Y ∗X_{1},X_{2}⊗X_{3}} ↓ \\ Y ∗ (X_{1} ⊗ X_{2}) ⊗ X_{3} & ⟶^{λ_{Y,X_{1},X_{2}} ∗id_{X_{3}}} & Y ∗ X_{1} ∗ X_{2} ∗ X_{3} \end{aligned}  (137)

3. Es gibt einen natürlichen Isomorphismus ρ_{Y} : Y ∗ 1 → Y, so daß

\begin{matrix}Y ∗ 1 ⊗ X & ⟶^{λ_{Y,1,X}} & Y ∗ 1 ∗ X \\ ↓ id_{Y} ∗ l_{X} & & ρ_{Y} ∗ id_{X} ↓ \\ Y ∗ X & ⟶^{id_{Y ∗X}} & Y ∗ X \end{matrix}  (138)

Hier bezeichnet 1 das Einsobjekt in A und l_{X} : 1⊗X → X ist sein Kompatibilitätsmorphismus A.

Das Paar (B, A) (zusammen mit dem Funktor ∗) heißt Modulpaar. Wir sagen auch, A wirke auf B.

77. Beispiele. 1. Jeder Tensorfunktor F : A → B zwischen Tensorkategorien macht (B, A) zu einem Modulpaar durch die Definition X ∗ Y := X ⊗ F (Y), λ_{X,Y_{1},Y_{2}} := a_{X,F (Y_{1}),F (Y_{2})}^{−1}. Insbesondere wirkt jede Tensorkategorie auf sich selbst.

2. Sei A eine Kategorie von Bimoduln über einem Ring R. Diese Kategorie wirkt auf der Kategorie B der R-Rechtsmoduln. Auch dies ist ein Sonderfall des ersten Beispiels. Man wähle für F den Vergißfunktor.

3. Sei A eine Gruppe, die als Kategorie betrachet wird: Die Objekte sind die Gruppenelemente, das Tensorprodukt ist Gruppenmultiplikation. Die Endomorphismenräume sind alle isomorph zu einem Ring R. Zwischen verschiedenen Elementen gibt es nur 0 ∈ R als trivialen Morphismus. A wirke auf einer Menge B, die wir in ähnlicher Weise zu einer Kategorie machen. Dann bilden A und B ein Modulpaar.

Weitere Beispiele werden später gegeben.

78. Definition. Das Modulpaar (B, A) heißt strikt, falls A eine strikte Kategorie ist, und falls für alle Objekte gilt: Y ∗ X_{1} ∗ X_{2} = Y ∗ X_{1} ⊗ X_{2}, λ_{Y,X_{1},X_{2}} = id_{Y ∗X_{1}∗X_{2}} und ρ_{Y} = id_{Y}.

79. Definition. Seien (B, A) und (B′, A′) zwei Modulpaare. Ein Funktor zwischen (B, A) und (B′, A′) besteht aus folgenden Daten:

1. Ein Funktor F_{B} : B → B′

2. Ein Tensorfunktor F_{A} : A → A′ mit funktoriellen Isomorphismen φ_{0}, φ_{2} definiert wie in [20][XI.4.1].

3. Natürliche Isomorphismen ω_{X,Y} : F_{B}(X ∗ Y) → F_{B}(X) ∗ F_{A}(Y), so daß das folgende Diagramm kommutiert.

\begin{matrix}F_{B}(Y ∗ X_{1} ⊗ X_{2}) & ⟶^{λ_{Y,X_{1},X_{2}}} & F_{B}(Y ∗ X_{1} ∗ X_{2}) \\ ↓ ω_{Y,X_{1}⊗X_{2}} & & ω_{Y ∗X_{1},X_{2}} ↓ \\ F_{B}(Y) ∗ F_{A}(X_{1} ⊗ X_{2}) & & F_{B}(Y ∗ X_{1}) ∗ F_{A}(X_{2}) \\ ↓ id ∗ φ_{2}(X_{1}, X_{2})^{−1} & & ω_{Y,X_{1}} ∗ id_{F_{A}(X_{2})} ↓ \\ F_{B}(Y) ∗ F_{A}(X_{1}) ⊗ F_{A}(X_{2}) & ⟶^{λ′_{F_{B}(Y ),F_{A}(X_{1}),F_{A}(X_{2})}} & F_{B}(Y) ∗ F_{A}(X_{1}) ∗ F_{A}(X_{2}) \end{matrix}  (139)

4. Es kommutiert

\begin{matrix}F_{B}(Y ∗ 1) & ⟶^{F_{B}(ρ_{Y} )} & F_{B}(Y) \\ ↓ ω_{Y,1} & & ρ′_{F_{B}(Y)} ↑ \\ F_{B}(Y) ∗ F_{A}(1) & ⟶^{id∗φ_{0}^{−1}} & F_{B}(Y) ∗ 1 \end{matrix}  (140)

Tensorkategorien können mittels eines Verfahrens von MacLane strikt gemacht werden. Ein ähnliches Resultat gilt auch für Modulpaare:

80. Satz. Jedes Modulpaar (B, A) ist äquivalent zu einem strikten Modulpaar (B^{str}, A^{str}).

Beweis: Der Beweis ist eine Erweiterung von MacLanes Beweis: Die Objekte von B^{str} sind definitionsgemäß Tupel bestehend aus einem Objekt aus B und beliebig vielen aus A, d.h.

Obj(B^{str}) := {(Y, X_{1}, …, X_{k}) | Y ∈ Obj(B), X_{i} ∈ Obj(A), k ∈ ℕ_{0}}
Obj(A^{str}) := {(X_{1}, …, X_{k}) | X_{i} ∈ Obj(A), k ∈ ℕ_{0}}

Der Äquivalenzfunktor ist auf Objekten definiert als

F_{A} : A^{str} → A, (X_{1}, …, X_{k}) ↦ X_{1} ⊗ (X_{2} ⊗ (⋯))

und

F_{B} : B^{str} → B, (Y, X_{1}, …, X_{k}) ↦ Y ∗ X_{1} ∗ ⋯ ∗ X_{k}.

Die Morphismenräume werden definiert durch

Mor_{A}^{str}(S_{1}, S_{2}) := Mor_{A}(F_{A}(S_{1}), F_{A}(S_{2}))
Mor_{B}^{str}(S_{1}, S_{2}) := Mor_{B}(F_{B}(S_{1}), F_{B}(S_{2}))

Die Funktoren F_{B}, F_{A} sind wesentlich treu und voll treu (essentially faithful und fully faithful). Also handelt es sich bei ihnen um Äquivalenzen von Kategorien. Ein Rechtsinverses ist gegeben durch Y ↦ (Y).

Tensorprodukte und die Wirkung werden durch das Anhängen von Tupeln gegeben. Es müssen noch die natürlichen Isomorphismen ω_{S,S′} : F_{B}(S ∗ S′) → F_{B}(S) ∗ F_{A}(S′) definiert werden. Das geschieht durch Induktion über die Länge von S′. Man setzt ω_{S,()} := ρ_{F_{B}(S)}^{−1}, ω_{S,(X)} := id, ω_{S,(X)⊗S′} := λ_{F_{B}(S),X,F_{A}(S′)}^{−1}ω_{S∗(X),S′}. Die folgende Gleichung liefert die Grundlage zum Beweis von (139).

λ_{F_{B}(S),F_{A}(S′),F_{A}(S′′)}(id_{F_{B}(S)} ∗ φ_{2}(S′, S′′)^{−1})ω_{S,S′⊗S′′} = (ω_{S,S′} ∗ id_{F_{A}(S′′)})ω_{S∗S′,S′′}

Beweis durch Induktion nach der Länge von S′. □

Die Striktifizierung vereinfacht wesentlich die Aufgabe, Modulpaare durch Generatoren und Relationen zu beschreiben (analog zu [20][XII.1]). Wir starten mit einem strikten Modulpaar (B, A) und zeichnen eine Menge F von B-Morphismen aus. Sie werden benutzt, um formale Worte rekursiv zu definieren: Alle Worte der Länge 1 sind von der Form [f] mit f ∈ F oder von der Form [id_{Y}], Y ∈ Obj(B). Falls a, b Wörter der Länge ≤ n sind, und g ein Morphismus aus A ist, dann sind a∗g und ab Worte der Länge n+1. Jedes Wort definiert einen Morphismus aus B durch die Regeln: \overline{[f]} := f, \overline{a ∗ g} := \overline{a} ∗ g, \overline{ab} := \overline{a} ∘ \overline{b}. Die Menge der Teilwörter eines Wortes ist ebenfalls rekursiv definiert: sub([f]) := {[f]}, sub(a ∗ b) := {b} ∪ sub(a), sub(ab) := sub(a) ∪ sub(b). Zwei Wörter a, b heißen äquivalent a ∼ b, genau dann, wenn es eine Sequenz von Wörtern a_{i} gibt mit a_{0} = a, a_{k} = b, so daß a_{i+1} aus a_{i} erhalten wird durch Anwendung einer der folgenden Transformationen auf ein Teilwort. (ab)c ∼ a(bc), [id]a ∼ a, a[id] ∼ a, a ∗ id_{1} ∼ a, [id_{Y ∗X}] ∼ [id_{Y}] ∗ id_{X}, a ∗ gg′ ∼ a ∗ g ∗ g′, (a ∗ g)(a′ ∗ g′) ∼ (aa′) ∗ (gg′). Es folgt (a ∗ id_{b(g)})([id_{s(\overline{a})}] ∗ g) ∼ ([id_{b(\overline{a})}] ∗ g)(a ∗ id_{s(g)}) und (a_{1} ∗ id) ⋯ (a_{k} ∗ id) ∼ (a_{1} ⋯ a_{k}) ∗ id. Ein einfacher induktiver Beweis zeigt, daß jedes Wort äquivalent ist zu einem der Form h_{1} ⋯ h_{m}, wobei die h_{i} von der Form [f] ∗ id_{X} mit f ∈ F oder von der Form [id_{X}] ∗ g sind.

Das freie Modulpaar, das von F erzeugt wird, ist das Paar (M(F), A). Dabei hat M(F) die selben Objekte wie B, aber die Morphismenräume bestehen aus Äquivalenzklassen von Wörtern.

Weitere Relationen R = {(r_{i}, r′_{i}) | i = 1..k} können benutzt werden, einen anderen Äquivalenzbegriff a ∼_{R} b auf den Worten zu definieren. Man darf dann in einem Schritt zusätzlich ein Teilwort r_{i} durch r′_{i} ersetzen und umgekehrt. Man sagt, das Modulpaar (B, A) sei von F erzeugt mit Relationen R, falls jeder Morphismus aus B als Bild eines Wortes erhalten werden kann und falls a ∼_{R} b ⇔ \overline{a} = \overline{b}.

11.2 Zylinderzopfung

81. Definition. Ein striktes Modulpaar (B, A) heißt zylindrisch gezopft, falls gilt:

1. Obj(B) = Obj(A) und 1 ∗ X = X

2. A ist eine gezopfte Tensorkategorie mit Zopfisomorphismus c_{X,Y} ∈ Mor_{A}(X ⊗ Y, Y ⊗ X)

3. Zu jedem Objekt X gibt es einen Isomorphismus t_{X} ∈ Mor_{B}(X, X) mit folgenden Eigenschaften:

c_{Y,X}(t_{Y} ⊗ id_{X})c_{X,Y} (t_{X} ⊗ id_{Y}) = (t_{X} ⊗ id_{Y})c_{Y,X}(t_{Y} ⊗ id_{X})c_{X,Y} = t_{X⊗Y} (141)
ft_{X} = t_{Y} f ∀f ∈ Mor_{A}(X, Y)  (142)

4. Falls A eine Dualität besitzt (starr ist), soll ferner gelten:

(t_{X} ⊗ id_{X^{∗}})b_{X} = c_{X,X^{∗}}^{−1}(t_{X^{∗}}^{−1} ⊗ id_{X})c_{X^{∗},X}^{−1}b_{X}  (143)
d_{X}(t_{X}^{∗−1} ⊗ id_{X}) = d_{X}c_{X,X^{∗}}(t_{X} ⊗ id_{X^{∗}})c_{X^{∗},X}  (144)

t heißt die Zylinderzopfung. In einer unpräzisen Sprechweise sagen wir auch, B sei eine Zylinderzopf-Tensorkategorie (ZTK).

Aus der Striktheit und den Forderungen des ersten Punktes folgt X ∗ Y = 1 ∗ X ∗ Y = 1 ∗ X ⊗ Y = X ⊗ Y. Ferner bemerke man, daß (143), (144) umgeschrieben werden kann zu

t_{X⊗X^{∗}}b_{X} = b_{X} d_{X}t_{X^{∗}⊗X} = d_{X}

82. Bemerkung. 1. Der Morphismenraum End_{B}(X^{⊗n}) trägt in natürlicher Weise eine Darstellung der Zopfgruppe ZB_{n}.

2. Falls es m verschiedene Morphismen t^{(1)}, …, t^{(m)} gibt, so daß jeder einzelne davon und auch jedes Produkt der Art t^{(i_{1})} ⋯ t^{(i_{s})}, i_{1} < ⋯ < i_{s} das Paar (B, A) zu einem zylindrisch gezopften Modulpaar machen, dann hat man in ähnlicher Weise eine Darstellung der Zopfgruppe eines Henkelkörpers des Geschlechtes m [29].

3. Es sei (B, A) ein Rechtsmodulpaar und (A, B) ein Linksmodulpaar, und beide Paare seien zylindrisch gezopft. Diese Situation liefert Darstellungen der Zopfgruppe des affinen Wurzelsystems mit Coxeter-Diagramm • = • − • − ⋯ − • − • = •.

Das fundamentale geometrische Beispiel der Bandschlingeln im Zylinder wird im nächsten Abschnitt untersucht. Wir geben hier einige einfachere Beispiele.

83. Beispiele. 1. Eine Bandkategorie A, die auf sich selbst wirkt, ist trivialerweise ein zylindrisch gezopftes Modulpaar qua Bandtwist t_{X} = θ_{X}.

2. Eine abelsche Gruppe G mit einer Bilinearform c : G × G → K^{∗}, die Werte in den Einheiten eines kommutativen Ringes K annimmt, kann als gezopfte Tensorkategorie A interpretiert werden [32][p. 29]. Das Paar (A, A) ist dann zylindrisch gezopft, wenn es eine Abbildung t : G → K^{∗} mit t(gg′) = c(g, g′)c(g′, g)t(g)t(g′) gibt. Falls c symmetrisch ist, ist t also ein Charakter der Gruppe.

3. Sei A eine Tensorkategorie und X ∈ Obj(A) ein Objekt darin. Diese Kategorie wirkt auf B, die definitionsgemäß dieselben Objekte hat, aber als Morphismenräume Mor_{B}(X_{1}, X_{2}) := Mor(X⊗X_{1}, X⊗X_{2}). Die Wirkung ist durch das Tensorprodukt gegeben. Die Zylinderzopfung t_{Y} := c_{Y,X}c_{X,Y} macht dann B zu einer ZTK.

Weitere Beispiele können [16] entnommen werden. Der dort verwendete Begriff einer eingeschränkten Coxeter-B-Tensorkategorie ist äquivalent zu dem hier verwendeten eines zylindrisch gezopften Modulpaares. In [16] wird auch die Dualität zu Zylinder-Zopfstrukturen auf Hopfalgebren besprochen.

11.3 Bandschlingel im Zylinder

Das fundamentale Beispiel eines zylindrisch gezopften Modulpaares ist das Paar (CylRib, Rib). Dabei ist Rib Turaevs Kategorie von Bandschlingeln im ℝ^{3} und CylRib ist die Kategorie der Bandschlingel im Zylinder. Diese Kategorie ist ähnlich definiert wie auch Rib. Die Bänder erstrecken sich allerdings im Raum (ℝ^{2} − (0, 0)) × [0, 1]. Wir hatten diese Kategorie bereits im Haupttext verwendet und dort ihre Morphismenräume als C_{n,m} bezeichnet. Die Wirkung einer Verschlingung f aus Rib auf ein g aus CylRib wird dabei durch Nebeneinandersetzen gegeben.

Wie im gewöhnlichen Fall können Schlingel mit den Objekten einer Tensorkategorie A gefärbt werden. Es ergibt sich CylRib_{A} in vollständiger Analogie zu Rib_{A} [32].

[figure: ↓; τ^{↓+} =; ↓; τ^{↓+} =; φ =; =:; φ′ =; =:]

Abbildung 9: Die grundlegenden Generatoren von CylRib und eine neue Notation für Bandtwists.

Wir benutzen weitestgehend Turaevs Notation für die Generatoren von Rib. Die Generatoren von CylRib sind τ^{↓±}τ^{↑±}. Bild 9 zeigt τ^{↓+}, τ^{↓−}. Der Pfeil zeigt die Orientierung an. Hier stehen einfache Linien für Bänder, die flach in der Zeichenebene liegen. Verdrillung des Bandes werden wie in Bild 9 durch Punkte angezeigt.

84. Satz. Die folgenden Relationen gelten in CylRib:

τ^{↓+} = τ^{↓−}^{−1}  (145)

τ^{↑+} = τ^{↑−}^{−1}  (146)
τ^{↓−} = (∩⊗ ↓)(φ′^{↑}⊗ ↓ ⊗ ↓)(τ^{↑+} ⊗ X^{−})(∪^{−}⊗ ↓)  (147)
τ^{↑−} = (∩^{−}⊗ ↑)(φ′⊗ ↑ ⊗ ↑)(τ^{↓+} ⊗ T^{−})(∪⊗ ↑)  (148)
(τ^{↓+}⊗ ↓)X^{+}(τ^{↓+}⊗ ↓)X^{+} = X^{+}(τ^{↓+}⊗ ↓)X^{+}(τ^{↓+}⊗ ↓)  (149)
(τ^{↑+}⊗ ↑)T^{+}(τ^{↑+}⊗ ↑)T^{+} = T^{+}(τ^{↑+}⊗ ↑)T^{+}(τ^{↑+}⊗ ↑)  (150)
(τ^{↓+}⊗ ↑)Y^{−}(τ^{↑+}⊗ ↓)Z^{−} = Y^{−}(τ^{↑+}⊗ ↓)Z^{−}(τ^{↓+}⊗ ↑)  (151)
(τ^{↑+}⊗ ↓)Z^{−}(τ^{↓+}⊗ ↑)Y^{−} = Z^{−}(τ^{↓+}⊗ ↑)Y^{−}(τ^{↑+}⊗ ↓)  (152)
(τ^{↓+}⊗ ↑)∪ = Y^{+}(τ^{↑−}φ^{↑}⊗ ↓) ∪^{−}  (153)
∩(τ^{↑−}⊗ ↓) = ∩^{−}(τ^{↓+}φ′⊗ ↓)Y^{−}  (154)
(↑ ⊗φ)∪^{−} = (τ^{↑+}⊗ ↓)Z^{−}(τ^{↓+}⊗ ↑) ∪  (155)
∩(↑ ⊗φ) = ∩^{−}(τ^{↓+}⊗ ↑)Y^{−}(τ^{↑+}⊗ ↓)  (156)
(↓ ⊗φ^{↑})∪ = (τ^{↓+}⊗ ↑)Y^{−}(τ^{↑+}⊗ ↓) ∪^{−}  (157)
∩^{−}(↓ ⊗φ^{↑}) = ∩(τ^{↑+}⊗ ↓)Z^{−}(τ^{↓+}⊗ ↑)  (158)

[figure: (147):; =; =; (155):; =]

Abbildung 10: Generatoren von CylRib und Abkürzungen für Bandverdrillungen

Nach Hinzeichnen dieser Relationen sind die Beweise augenfällig. Einige Kostproben gibt Bild 10. Wegen (147) und (148) benötigt man lediglich τ^{↓+}, τ^{↑+} als Generatoren. Das reduziert die Zahl der Relationen, denn (147) und (148) verwandeln (153) und (154) in Beziehungen, die nur Typ-A-Schlingel involvieren.

85. Satz. Die Menge F := {τ^{↓+}, τ^{↑+}} erzeugt das Modulpaar (CylRib, Rib) mit den Relationen (149)-(152), (155)-(158).

Beweis: Zylinderschlingel können als gewöhnliche Schlingel betrachtet werden, indem die Zylinderachse als zusätzliche, starre Komponente eingeführt wird. Die Frage der Äquivalenz von Diagrammen von Zylinderschlingeln kann daher durch die Betrachtung der Äquivalenz von gewöhnlichen Schlingeln entschieden werden. Es fehlt dazu aber eine Methode, Zylinderschlingel systematisch so zu deformieren, daß sie aus den Generatoren aufgebaut sind. Eine solche Methode (es gibt noch andere) ist der R-Prozeß (R wie Radar). Er verwendet Diagramme von Zylinderschlingeln, die in die horizontale Ebene projiziert sind. Das Bild der Achse ist dann lediglich ein Punkt. Damit die Anfangs- und Endpunkte von Schlingeln in den oberen und unteren horizontalen Ebenen nicht aufeinander projizieren, bewegen wir die oberen um ϵ in Richtung der zweiten Koordinate und die unteren um −ϵ. Bei der Multiplikation von Schlingeln müssen die Enden dann durch horizontale, in der Verklebungsebene liegende Bänder der Länge 2ϵ verbunden werden. Bild 11 zeigt ein Beispiel eines solchen Diagrammes. Wir nennen sie horizontale Diagramme in Unterscheidung von den bisher verwendeten Standarddiagrammen.

In einer solchen horizontalen Projektion wählen wir jetzt einen Strahl, der sich vom Punkt der Zylinderachse in den linken Halbraum (erste Koordinate negativ) erstreckt, derart, daß er die Kurven des Diagramms nur transversal trifft und Kreuzungspunkte vermeidet. Von diesem Strahl ausgehend wird das Diagramm, wie in Bild 12 gezeigt, verschoben, bis sich alles Nichttriviale im

[figure: ↔; oben; unten]

Abbildung 11: Beispiel einer Projektion in die horizontale Ebene

rechten Halbraum tummelt. Dem Ergebnis dieses Prozesses kann ein Standard-Diagramm zugeordnet werden, indem die Bögen um die Zylinderachse von innen nach außen nacheinander von unten nach oben auf die Zylinderachse in dem Standarddiagramm übertragen werden. Diagramme, die sich durch eine Reidemeisterbewegung unterscheiden, die ober- oder unterhalb des Radarstrahls liegt, werden dabei offensichtlich in solche überführt, die wiederum durch eine derartige Transformation am verschobenen Ort verbunden sind. Es stellt sich also nur die Frage, wie das Ergebnis von der Wahl des Radarstrahls abhängt. Hier gibt es zwei relevante Möglichkeiten, die in Analogie zu Reidemeisterbewegungen der Typen II und III stehen und den Radarstrahl betreffen. Betrachten wir also in Analogie zu Bewegung III zwei Diagramme, die sich nur darin unterscheiden, daß der Radarstrahl einmal oberhalb, das andere mal unterhalb einer Kreuzung verläuft. Bild 13 zeigt Diagramme dieser beiden Fälle. Wir fordern dabei, daß der im rechten Halbraum konzentrierte Schlingel in einen Kasten eingesperrt sei, der diagonal im Raum liege, so daß den Anschlüssen der Bänder in horizontaler und in vertikaler Projektion die gleiche Reihenfolge zukommt. Der Vergleich der beiden Diagramme auf der rechten Seite von Bild 13 liefert sofort die Vierzopfrelation. Eine ähnliche Überlegung im Falle eines Minimus/Maximus, das unter- resp. oberhalb des Radarstrahls liegt, liefert die Extremumsbeziehung. Die orientierten Versionen sind gerade die Beziehungen (149)-(152), (155)-(158). □

[figure: Schlingel; ↓; ↑; ↦]

Abbildung 12: Deformation eines horizontalen Diagrammes: Links der Schlingel mit dem nach links gerichteten Radarstrahl, sowie den Pfeilen der Deformationsrichtung. Rechts das Ergebnis der Deformation

Zylinderbandschlingel können analog zu ihren Geschwistern in S^{3} mit Morphismen einer ZTK eingefärbt werden, und es gilt folgender Satz:

86. Satz. Es gibt einen eindeutigen Tensorfunktor zwischen strikten Modulpaaren F : (CylRib_{A}, Rib_{A}) → (B, A), so daß F_{A} Turaevs Funktor ist, der funktorielle Morphismus ω trivial ist, und daß gilt:

F_{B}(τ_{X}^{↓±}) = t_{X}^{±1}  (159)
F_{B}(τ_{X}^{↑±}) = t_{X^{∗}}^{±1}  (160)

Beweis: Eindeutigkeit ist klar, da F_{B} auf den Generatoren definiert ist. Es bleibt die Verträglichkeit mit den Relationen zu zeigen. Das geschieht durch naheliegende graphische Beweise,

[figure: ↦; ↦; ↦; ↦]

Abbildung 13: Die Bilder der oberen und unteren Reihe unterscheiden sich nur darin, daß der Radarstrahl einmal oberhalb, das andere mal unterhalb einer Kreuzung verläuft. Die irrelevanten Teile der Schlingel werden jeweils weggelassen. Der zweite Übergang ordnet dem horizontalen Diagramm ein Standarddiagramm zu. Nach der Konvention im Text wird dabei der innere Bogen unten plaziert. Da nach der Wahl der Lage des Restschlingels die Anschlußstellen die gleiche Reihenfolge besitzen, liegt fest, wie die weitere Verdrahtung erfolgen muß: Im oberen Bild liegt etwa die innere Schlinge um die Achse unten, so daß die einzige Kreuzung im Standarddiagramm nur wie gezeigt ausfallen kann.

die hier aufzuschreiben aber zuviel Platz beanspruchen würde. □

11.4 Zylinderzopfung mit Punkten

Die bisher definierten zylindrisch gezopften Modulpaare (Zylinderzopf-Tensorkategorien) decken noch nicht alle Anwendungsfälle ab. Es fehlt noch die Möglichkeit, den elementaren Schlingel e_{0} aus V B_{n}^{k} b.z.w aus der Typ-B-Temperley-Lieb-Algebra zu behandeln. In diesem Abschnitt werden Punktmorphismen definiert, die das geforderte leisten. Ihre Definition ist im Rahmen der Begrifflichkeit der Modulpaare einfach, überfordert aber den Apparat aus [16].

87. Definition. Eine Punktstruktur auf einer Zylinderzopf-Tensorkategorie (B, A) mit starrer (also mit einer Dualität versehenen) Kategorie A besteht aus Punkt-Morphismen b^{0}_{X} ∈ Mor_{B}(1, X) und Kopunkt-Morphismen d^{0}_{X} ∈ Mor_{B}(X, 1) für alle Objekte, so daß die folgenden Axiome gelten:

d_{Y}^{0} f = d_{X}^{0} fb_{X}^{0} = b_{Y}^{0}  ∀f ∈ Mor_{A}(X, Y)  (161)
d_{X}(b^{0}_{X^{∗}} ⊗ id_{X}) = d^{0}_{X}  (162)
(d^{0}_{X} ⊗ id_{X^{∗}})b_{X} = b^{0}_{X^{∗}}  (163)
b^{0}_{X⊗Y} = (b^{0}_{X} ⊗ id_{Y})b^{0}_{Y}  (164)
d^{0}_{X⊗Y} = d^{0}_{Y} (d^{0}_{X} ⊗ id_{Y})  (165)
b^{0}_{X} = t_{X}b^{0}_{X}  (166)
d^{0}_{X} = d^{0}_{X}t_{X}  (167)
(t_{Y} ⊗ id_{X})c_{X,Y} (b^{0}_{X} ⊗ id_{Y}) = c_{Y,X}^{−1}(b^{0}_{X} ⊗ id_{Y})t_{Y}  (168)

t_{Y} (d^{0}_{X} ⊗ id_{Y}) = d^{0}_{X}c_{Y,X}(t_{Y} ⊗ id_{X})c_{X,Y}  (169)

Einfache Konsequenzen sind:

d^{0}_{X^{∗}} = d_{X}c_{X,X^{∗}}(θ_{X}b^{0}_{X} ⊗ id_{X^{∗}})  (170)
b^{0}_{X^{∗}} = (d^{0}_{X^{∗}} ⊗ id_{X})(id_{X^{∗}} ⊗ θ_{X}^{−1})c_{X∗,X}^{−1}b_{X}  (171)

Eine Punktstruktur ist das B-Analogon einer Dualität in einer Tensorkategorie.

(CylRib, Rib) besitzt keine Punktstruktur. Wir definieren (P CylRib, Rib) als Erweiterung in der es erlaubt ist, daß Bänder auf der Zylinderachse enden. Bild 14 zeigt dann die Punkt- und Kopunkt-Morphismen dieser Kategorie. Man beachte, daß Punkte, also die Enden von Bändern auf der Zylinderachse, nicht anneinander vorbeigeschoben werden können. Es gibt also keine Möglichkeit, das rechte Diagramm von Bild 14 zu vereinfachen.

[figure: b^{0}; d^{0}; =^{(166)}]

Abbildung 14: Punkt- und Kopunkt-Morphismen in P CylRib

11.5 Skeinrelationen

In der Kategorie P CylRib können Skeinrelationen gefordert werden, die die von Kauffman verallgemeinern.

Wir setzen:

c − c^{−1} = δ(1 − bd)  (172)
cb = λb dc = λd (173)
db = A_{0}  (174)
t^{−1} = αt + β + γb^{0}d^{0}  (175)
d^{0}b^{0} = x_{0}  (176)
db^{0}d^{0}b = x′_{0}  (177)
d(t ⊗ id)b = A_{1}  (178)
d(t^{−1} ⊗ id)b = A_{−1}  (179)
(d^{0} ⊗ id)c(b^{0} ⊗ id) = ϵ + μt + νb^{0}d^{0}  (180)

Dabei sind δ, A_{0}, λ, α, β, γ, A_{1}, A_{−1}, x_{0}, x′_{0}, ϵ, μ, ν Parameter. Die Skeinrelationen sind weitgehend selbsterklärend. (180) ist die kategorielle Fassung von (135). Die Endomorphismenalgebren von n sind volle Typ-B-Birman-Wenzl-Algebren.

Unter der Voraussetzung, daß die Annulatorideale der Generatoren verschwinden, können einige Beziehungen zwischen den Parametern abgeleitet werden. Zunächst folgt wie im Falle der A-Kategorie

A_{0}δ − δ = λ − λ^{−1}

Weiter ist d^{0} = d^{0}t^{−1} = αd^{0} + βd^{0} + γd^{0}b^{0}d^{0} = (α + β + γx_{0})d^{0}. Also:

1 = α + β + γx_{0}

ähnlich gilt

A_{−1} = αA_{1} + βA_{0} + γx′_{0}

Durch Multiplikation von λ^{−1}(t^{−1} ⊗ id)b = c(t ⊗ id)b mit d folgt

A_{1}λ^{2} = A_{−1}

Wir haben γx_{0}b^{0}d^{0} = γb^{0}d^{0}b^{0}d^{0} = b^{0}d^{0}(t^{−1} − αt − β) = b^{0}d^{0}(1 − α − β) und daraus

γx_{0} = 1 − α − β

Ähnlich folgt aus x′_{0} = db^{0}d^{0}b = γ^{−1}(d(t^{−1} ⊗ 1)b − αd(t ⊗ 1)b − βdb):

γx′_{0} = A_{−1} − αA_{1} − βA_{0}

Zuletzt tensorieren wir (175) mit c und multiplizieren von links mit d⊗id und von rechts mit b⊗id. Nach etwas Rechenarbeit ergibt sich dann eine Gleichung der Art (180) aus der abgelesen werden kann:

ν = −αλ
μ = γ^{−1}(αδ − α^{2}λ + λ^{−1})
ϵ = −γ^{−1}(αβλ + αδA_{1} + βλ^{−1})

Von den 13 eingeführten Parametern bleiben also 4 übrig. Die topologisch motivierte Forderung x_{0} = x′_{0} reduziert die Zahl der freien Parameter weiter auf 3. Die volle Typ-B Birman-Wenzl Algebra hängt, wie wir gesehen haben, ebenfalls von 4 b.z.w. 3 Parametern ab. Wir haben also alle Relationen zwischen den Parametern gefunden.

Verschlingungen im Volltorus sind Endomorphismen des 0-Objektes. Durch Anwendung von Kauffmans Theorie [21] können die gewöhnlichen Zopfungen c eliminiert werden. Es bleiben dann nur noch Bänder, die auf der Zylinderachse enden und/oder diese umschlingen. Mit (180) können diese auseinandergezogen und dann einzeln vollständig berechnet werden. Damit hat man – bis auf die Verdrillungsnormalisierung – das zur vollen Typ-B-BMW-Algebra gehörige Kauffman-Polynom ausgerechnet.

12 Appendix A: Turaevs Struktursatz des Kauffman-Skeinmoduls des Volltorus

Der Kauffman-Skeinmodules des Volltorus ist frei. Dieses Theorem von Tuarev hatten wir verwendet, um zu zeigen, daß das Annulatorideal des Elementes e_{1} ⋯ e_{2n−1} ∈ B_{2n}^{k} über geeigneten Grundringen verschwindet. Leider ist kein Beweis des Theorems publiziert. Turaev hat in [31] ausführlich den HOMFLY-Skeinmodul des Volltorus behandelt und sich im Falle des Kauffman-Skeinmoduls auf die Formulierung des Ergebnisses und den Hinweis beschränkt, der Beweis gelinge ’by the same scheme’. In diesem Anhang wird eine Ausarbeitung des Beweises gegeben.

Wesentliches Beweishilfsmittel ist die Konstruktion einer Folge von Invarianten P_{m} von Verschlingungen im Volltorus, die spezielle Evaluationen des Kauffman-Polynoms verallgemeinern. Wir geben zunächst die Definition der Invarianten und beweisen ihre relevanten Eigenschaften. Danach wird Turaevs Theorem formuliert und bewiesen.

Ein anderer Beweis wurde von Hoste und Kidwell erarbeitet, aber ebenfalls nie publiziert. Eine sinngemäße Verallgemeinerungen sollte auch für Henkelkörper gelten. Torsionselemente entstehen aber, falls π_{2} der 3-Mannigfaltigkeit nichttrivial ist [27].

Wie halten uns in Notation und Beweisstruktur möglichst eng an Tuarevs Vorgaben, um Gemeinsamkeiten und Unterschiede deutlich werden zu lassen. Unterschiede ergeben sich an zwei Stellen: Zum einen müssen symmetrische Laurentpolynome anstelle gewöhnlicher Polynome verwendet werden. Zum anderen arbeiten wir von vornherein mit einem etwas anderen Grundring. Das erspart uns eine Ringlokalisierung bei der Anwendung des Theorems.

Darstellungs-Operatoren

In diesem Unterabschnitt werden Operatoren definiert, die in der Konstruktion der Invarianten elementaren Schlingeln zugeordnet werden.

Dazu fixieren wir m ∈ ℕ und verwenden Operatoren aus der Darstellungskategorie von U_{q}(so_{2m+1}). Als Indexmenge dient dabei

I = {−2m + 1, −2m + 3, …, −3, −1, 0, 1, 3, …, 2m − 1} = I_{−} ∪ {0} ∪ I_{+}

Die Partition geschieht dabei nach dem Vorzeichen. Alle im weiteren auftretenden und nicht näher bestimmten Summationsvariablen seien aus I.

Als Grundring wird im folgenden ein Laurent-Ring über dem Körper der rationalen Funktionen über einer Wurzel aus q verwendet:

T_{m} := ℚ(q^{1/2})[{w_{i}^{±1}}_{i∈I_{+}}]

In diesem Ring setzen wir

w_{0} := 1
w_{i} := w_{−i}^{−1}  i ∈ I_{−}

V sei der freie T_{m}-Modul mit Basis {v_{i} | i ∈ I}. Die folgenden Operatoren stammen aus der Darstellungskategorie der Quantengruppe U_{q}(so_{2m+1}):

d : T_{m} → V ⊗ V

1 ↦ ∑_{i∈I} q^{i/2}v_{i} ⊗ v_{−i}

b : v_{i} ⊗ v_{j} ↦ δ_{i,−j}q^{i/2}
B : V ⊗ V → V ⊗ V
B = ∑_{i≠0}(qf_{i,i} ⊗ f_{i,i} + q^{−1}f_{i,−i} ⊗ f_{−i,i}) + f_{0,0} ⊗ f_{0,0} + ∑_{i≠j,−j} f_{i,j} ⊗ f_{j,i} +

(q − q^{−1}) (∑_{i<j} f_{i,i} ⊗ f_{j,j} − ∑_{j<−i} q^{\frac{i+j}{2}} f_{i,j} ⊗ f_{−i,−j})

Dabei ist f_{i,j} die Matrix, die an der Stelle (i, j) eine Eins und sonst überall Nullen hat. Der folgende Operator ist kein Morphismus von U_{q}(so_{2m+1})-Moduln.

Θ : V → V v_{i} ↦ v_{i}w_{i}q^{−i}

88. Lemma. Die oben definierten Operatoren erfüllen die folgenden Relationen:

b(Θ ⊗ Θ) = b
(Θ ⊗ Θ)d = d
(Θ ⊗ Θ)B = B(Θ ⊗ Θ)
bd = ∑_{i∈I} q^{i}
bB = q^{−2m}B
Bd = q^{−2m}B
B − B^{−1} = (q − q^{−1})(1 − db)

Beweis:

(Θ ⊗ Θ)d = ∑_{i∈I} q^{i/2}(v_{i}w_{i}q^{−i}) ⊗ (v_{−i}w_{−i}q^{i}) = d
b(Θ ⊗ Θ)(v_{i} ⊗ v_{j}) = b(v_{i}w_{i}q^{−i} ⊗ v_{j}w_{j}q^{−j})
= δ_{i,−j}q^{i/2}w_{i}w_{j}q^{−i−j} = q^{i/2}δ_{i,−j} = b(v_{i} ⊗ v_{j})

Um die dritte Gleichung zu sehen, lassen wir zunächst B auf v_{i} ⊗ v_{j} wirken. Dabei verwenden wir die boolesche Heaviside-Funktion H(b). Sie ist 0 oder 1 je nach Wahrheitswert ihres Argumentes.

B(v_{i} ⊗ v_{j}) = δ_{i,j}qv_{i} ⊗ v_{j} + δ_{i,−j}q^{−1}v_{j} ⊗ v_{i} + δ_{i,0}δ_{j,0}v_{0} ⊗ v_{0}

+(1 − δ_{i,j})(1 − δ_{i,−j})v_{j} ⊗ v_{i} + H(i < j)(q − q^{−1})v_{i} ⊗ v_{j}

−(q − q^{−1})δ_{i,−j} ∑_{−s>i} q^{(s+i)/2}v_{s} ⊗ v_{−s}

Also ist mit M_{i,j} := w_{i}w_{j}q^{−i−j} = M_{j,i}, M_{s,−s} = 1:

(Θ ⊗ Θ)B(v_{i} ⊗ v_{j}) = δ_{i,j}qM_{i,j}v_{i} ⊗ v_{j} + δ_{i,−j}q^{−1}M_{i,j}v_{j} ⊗ v_{i} + δ_{i,0}δ_{j,0}M_{i,j}v_{0} ⊗ v_{0}

+(1 − δ_{i,j})(1 − δ_{i,−j})M_{i,j}v_{j} ⊗ v_{i} + H(i < j)(q − q^{−1})M_{i,j}v_{i} ⊗ v_{j}

−(q − q^{−1})δ_{i,−j} ∑_{−s>i} q^{(s+i)/2}v_{s} ⊗ v_{−s}

Es ist (Θ⊗Θ)(v_{i}⊗v_{j}) = M_{i,j}(v_{i}⊗v_{j}), d.h. (Θ⊗Θ) wirkt skalar auf v_{i}⊗v_{j}, und B(Θ⊗Θ)(v_{i}⊗v_{j}) ergibt ebenfalls den obigen Ausdruck.

Die vier letzten Gleichungen sind Standard-Resultate. □ Konstruktion der Invarianten Sei L eine Verschlingung im Volltorus. Wir ordnen ihr ein Element P_{m}(L) ∈ T_{m} zu. Dazu sei

der Torus auf die komplexe Ebene gelegt, so daß seine Projektion einen Annulus ergibt. Diesen vergrößern wir zu ℂ^{∗} und projizieren L zu einem regulären Diagramm darin. Regularität soll dabei bedeuten, daß es nur endlich viele singuläre Punkte gibt. Singuläre Punkte sind: Stellen mit Tangente parallel zur reellen Achse, Kreuzungen und Schnittpunkte mit der negativen reellen Achse. Außerdem sollen Kreuzungen transversal sein. Weiter verlangen wir, daß die imaginären Werte der singulären Punkte paarweise verschieden sind. Dann können wir Hilfslinien parallel zur reellen Achse so einzeichnen, daß jeder der entstehenden Streifen entweder genau ein Extremum, genau eine Kreuzung oder alle Schnittpunkte des Diagramms mit der reellen Achse enthält. Wenn eine Hilfslinie das Diagramm n mal schneidet, wird ihr das n-fache Tensorprodukt von V zugeordnet. Dem Streifen zwischen zwei Hilfslinien wird dann ein Operator zugeordnet, der zwischen diesen Moduln vermittelt. Positiven Kreuzungen wird B, negativen Kreuzungen B^{−1}, Maxima d und Minima b zugeordnet. Dem Streifen, der die reelle Achse enthält, wird Θ^{⊗s} ⊗id^{⊗t} zugeordnet, wenn es s (t) Schnittpunkte des Diagrammes mit der negativen (positiven) reellen Achse gibt. Das Produkt aller Operatoren ist eine Abbildung T_{m} → T_{m}. Ihren Wert auf 1 bezeichen wir mit P_{m}(L).

89. Lemma. P_{m} ist eine Invariante der regulären Isotopie im Volltorus. Für disjunkte Verschlingungen L, L′ gilt P_{m}(LL′) = P_{m}(L)P_{m}(L′). P_{m} verallgemeinert das Kauffman-Polynom in dem Sinne, daß es sich auf den (in Bild 3 definierten) Skeintupeln (L_{+}, L_{−}, L_{0}, L_{∞}) und (L_{α}, L_{c}) folgendermaßen verhält:

P_{m}(L_{α}) = q^{−2m}P_{m}(L_{c})  (181)
P_{m}(L_{+}) − P_{m}(L_{−}) = (q − q^{−1})(P_{m}(L_{0}) − P_{m}(L_{∞}))  (182)

Für den leeren Knoten ∅ gilt P_{m}(∅) = 1, und für den einfachen Knoten O, der eine Kreisscheibe berandet, gilt P_{m}(O) = ∑_{i∈I} q^{i}. Falls m > n > 0, gilt für den fundamentalen Knoten L_{n}, der die Zylinderachse n mal positiv umrundet und dabei in der Höhe ansteigt:

P_{m}(L_{n}) = 1 + ∑_{j≠0} w_{j}^{n} + (1 − q^{−2}) ∑_{c=2}^{n}(1 − q^{−2})^{c−2}

∑_{j_{1}<···<j_{c}} ∑_{l_{1}+···l_{c}=n,l_{s}>0} ∏_{s=1}^{c} w_{j_{s}}^{l_{s}}q^{δ_{0,js} (1−l_{s})}  (183)

Beweis: Zum Beweis der ersten Aussage ist Invarianz unter den Reidemeister-Bewegungen II und III zu zeigen. Solange die Sonderrolle der negativen reellen Achse nicht zum Tragen kommt, ist die Invarianz eine bekannte Aussage. Betrachten wir also die negative Achse. Eine Typ II Bewegung bewegt ein Minimum (Maximum) über diese Achse. In dem Operatorprodukt tritt dann einmal b(Θ⊗Θ) (oder (Θ⊗Θ)d) auf, das andere mal b (oder d). Bei der Typ III Bewegung einer Kreuzung über die Achse wird (Θ⊗Θ)B zugeordnet, solange die Kreuzung über der Achse ist, und B(Θ⊗Θ) danach. In allen Fällen folgt die Invarianz von P_{m} aus dem obigen Lemma.

Zur zweiten Aussage: Durch eine reguläre Isotopie kann erreicht werden, daß die beiden Komponenten in verschiedenen Kreisringen liegen. Die Behauptung folgt dann aus der tensoriellen Struktur.

Die Skeinrelationen ergeben sich unmittelbar aus den drei letzten Beziehungen des obigen Lemmas.

Es bleibt, die letzte Behauptung zu zeigen. Wir schreiben B(v_{i} ⊗ v_{j}) = ∑_{μ,ν} B_{i,j}^{μ,ν}v_{μ} ⊗ v_{ν}. Dann ist

P_{m}(L_{n}) = ∑_{i_{1},...,i_{n}} w_{i_{1}}q^{−i_{1}} ⋯ w_{i_{n}}q^{−i_{n}}q^{i_{1}+···+i_{n}}B_{i_{1},i_{2}}^{i_{1},i_{2}}B_{i_{2},i_{3}}^{i_{2},i_{3}} ⋯ B_{i_{n−1},i_{n}}^{i_{n−1},i_{n}}

Man erkennt, daß sich die q^{i_{s}} Faktoren gegenseitig wegheben. Es ist

B_{i,j}^{i,j} = \{ \begin{matrix}1 : & i = j = 0 \\ q : & 0 ≠ i = j ≠ 0 \\ q − q^{−1} : & i < j \\ 0 : & sonst \end{matrix}

Deshalb kann die obige Summe auf i_{1} ≤ ⋯ ≤ i_{n} eingeschränkt werden. In einem derart sortierten n-Tupel zählen wir jetzt die Blöcke, in denen i jeweils konstant ist, d.h. wir setzen

c = c(i) := 1 + #{(i_{s}, i_{s+1}) | i_{s} < i_{s+1}} i = (i_{1} ≤ … ≤ i_{n})

Damit ergibt sich

P_{m}(L_{n}) = ∑_{c=1}^{n}(q − q^{−1})^{c−1} ∑_{j_{1}<···<j_{c}} ∑_{l_{1}+···+l_{c}=n,l_{s}>0} q^{n−c} ∏_{s=1}^{c} w_{j_{s}}^{l_{s}}q^{δ_{0,js} (1−l_{s})}

Zum letzten Ausdruck: n − c entspricht der Zahl der Stellen in einem Tupel (i_{1} ≤ ⋯ ≤ i_{n}) an denen Gleichheit gilt. Gemäß der obigen Formel für B_{i,j}^{i,j} steuern die B dann einen Faktor q^{n−c} bei, falls j_{s} ≠ 0. Falls j_{s} = 0, sind aus q^{n−c} die überzähligen Potenzen von q herauszudividieren. Das geschieht im letzten Faktor. Die im Lemma angebene Form ergibt sich, indem aus der äußersten Summe der Summand zu c = 1 herausgenommen und explizit aufgeschrieben wird. □

Symmetrische Polynome in Laurentringen

Bevor der Beweis von Turaevs Theorem in Angriff genommen werden kann, müssen noch einige Tatsachen über symmetrische Laurentpolynome zusammengetragen werden. Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Wir betrachten den Laurentring P := R[w_{1}^{±}, …, w_{n}^{±}] und denken ihn uns als Quotienten eines Polynomringes P̂ = R[w_{1}, w′_{1}, …, w_{n}, w′_{n}], P =^{∼} P̂/(w_{i}w′_{i} − 1). Ein Polynom p ∈ P heißt symmetrisch, wenn es ein symmetrisches Polynom q ∈ P̂ gibt, so daß p das Bild von q unter der Surjektion π : P̂ → P, w_{i} ↦ w_{i}, w′_{i} ↦ w_{i}^{−1} ist. Symmetrische Laurentpolynome sind also nicht nur invariant unter Permutationen der Varibalen, sondern auch unter ihrer Invertierung.

Es seien E_{0}, …, E_{2n} die elementarsymmetrischen Polynome in P̂. Ihre Bilder seien e_{i} := π(E_{i}). Beispiele in zwei Variablen x, y sind:

e_{0} = e_{4} = 1
e_{1} = e_{3} = x + y + x^{−1} + y^{−1}
e_{2} = 2 + xy + xy^{−1} + x^{−1}y + x^{−1}y^{−1}

Darstellungssätze der Theorie der elementarsymmetrsichen Funktionen übertragen sich sofort: Man nehme ein Urbild, wende den Satz an, und gehe mit π zurück nach P. Die algebraische Unabhängigkeit der E_{i} überträgt sich aber natürlich nicht. Vielmehr hat man folgende Relationen:

e_{i} = e_{2n−i}

Es gilt aber :

90. Lemma. Die elementarsymmetrischen Polynome e_{i}, i = 1, …, n sind im Laurentring in n Variablen algebraisch unabhängig.

Beweis: Sei f ∈ R[y_{1}, …, y_{n}] ein nichttriviales Polynom, so daß f(e_{1}, …, e_{n}) = 0. Die (nichttrivialen) Monome von f können geschrieben werden in die Form ay_{1}^{m_{1}−m_{2}}y_{2}^{m_{2}−m_{3}} ⋯ y_{n}^{m_{n}} mit a ≠ 0. Die Tupel (m_{1}, …, m_{n}) nichttrivialer Monome werden lexikographisch geordnet (mit x_{i}^{s} ≤ x_{i}^{t}, falls s ≥ t). Sei jetzt (m_{1}, …, m_{n}) das erste Tupel in dieser Ordnung. In f(e_{1}, …, e_{n}) gibt es dann genau einen Term ax_{1}^{m_{1}} ⋯ x_{n}^{m_{n}}, und dieser verschwindet offensichtlich nicht. Widerspruch. □

Der Beweis stimmt exakt mit dem Beweis der analogen Aussage im gewöhnlichen Fall (v.d. Waerden, Abschnitt 33) überein. Der Grund dafür ist, daß ein elementarsymmetrisches Polynom in einem Laurentring geschrieben werden kann als e_{i} = ϵ_{i} + r, wobei ϵ_{i} das gewöhnliche, S_{n}- invariante elementarsymmetrische Polynom in den Variablen x_{1}, …, x_{n} ist, und r ein Polynom, dessen Monome Totalgrad < i haben.

Turaevs Theorem

Es sei im Anschluß an die Notation des Haupttextes C_{0,0}(Λ) der Modul, der von den zahmen, ambienten Isotopieklassen von Bandverschlingungen im Volltorus über dem Grundring Λ := ℤ[λ^{±}, q^{±}] frei erzeugt wird, und T bezeichne seinen Quotienten nach den Skeinrelationen des Kauffmanpolynoms (Bild 3 links). Turaev arbeitete über dem Grundring ℤ[λ^{±}, δ^{±}]. Die Formulierung des Theorems ist in beiden Fällen gleich:

91. Satz. T =^{∼} Λ[A_{1}, A_{2}, …]

T ist selbst ein kommutativer Ring und Lemma 89 sagt aus, daß P_{m} als Ringhomomorphismus aufgefaßt werden kann:

P_{m} : T → T_{m}
g(λ, q)[L] ↦ g(q^{−2m}, q)P_{m}(L)  (184)

Dabei ist g ein Laurentpolynom und [L] bezeichnet die Isotopie-Äquivalenzklasse der Verschlingung L. Wir zeigen jetzt, daß die [L_{n}] in T algebraisch unabhängig sind und also mit freien Variablen A_{n} identifiziert werden können. Dies ist die für uns relevante Aussage des Theorems. Die zweite Aussage, daß sich nämlich jede Verschlingung durch die Skeinrelationen auf Linearkombinationen von Produkten dieser elementaren Verschlingungen reduzieren läßt, folgt aus den algebraischen Überlegungen im Haupttext oder alternativ aus der Anwendung von Kauffmans Methode.

Nehmen wir also an, es gäbe ein nichttriviales Polynom f in N Variablen über Λ, so daß 0 = f([L_{1}], …, [L_{N}]). Der Ringwechsel aus (184) bildet dann für unendlich viele m zumindest einen Koeffizienten dieses Polynoms auf ein nichtverschwindendes Element ab. Es reicht also, die algebraische Unabhängigkeit der P_{m}(L_{n}) für geeignet hohe m (konkret: m > N ≥ n) zu zeigen.

Aus Lemma 89 haben wir die Darstellung

P_{m}(L_{n}) = 1 + ∑_{j≠0} w_{j}^{n} + (1 − q^{−2})R_{n}

mit einem symmetrischen Laurentpolynom R_{n} vom Grade n. Bekannte Darstellungssätze der Theorie der symmetrischen Polynome (u.a. [25][(2.11’)]) liefern dann

∑_{j≠0} w_{j}^{n} = c_{n}e_{n} + ψ_{n} mit 0 ≠ c_{n} ∈ ℤ, ψ_{n} ∈ ℚ(q^{1/2})[e_{1}, …, e_{n−1}]
R_{n} = d_{n}e_{n} + ϕ_{n} mit d_{n} ∈ ℤ, ϕ_{n} ∈ ℚ(q^{1/2})[e_{1}, …, e_{n−1}]
P_{m}(L_{n}) = 1 + e_{n}(c_{n} + (1 − q^{−2})d_{n}) + ψ_{n} + (1 − q^{−2})ϕ_{n}

Der Koeffizient von e_{n} in der letzten Zeile verschwindet nicht, da c_{n} ≠ 0. Eine algebraische Abhängigkeit der P_{m}(L_{n}) würde demnach die Abhängigkeit der e_{n} nach sich ziehen. Da wir nach Annahme m > n haben, steht dies aber im Widerspruch zu Lemma 90. Der Beweis des Theorems ist beendet.

[figure: d; id ⊗ d ⊗ id; id ⊗ id ⊗ d ⊗ id ⊗ id; Θ ⊗ Θ ⊗ Θ ⊗ id ⊗ id ⊗ id; id ⊗ B ⊗ id ⊗ id ⊗ id; B ⊗ id ⊗ id ⊗ id ⊗ id; id ⊗ id ⊗ b ⊗ id ⊗ id; b; id ⊗ b ⊗ id]

Abbildung 15: Der elementare Knoten L_{3} in regulärer Projektion und seine Zerlegung mit Hilfslinien. Rechts daneben die den Streifen zugeordneten Operatoren.

Neuformulierung des Theorems

Dieser Abschnitt bringt Turaevs Theorem in die Form, die im Haupttext benötigt wird. Vergleich der Definitionen zeigt, daß sich T von K_{0,0}^{∞} nur um die dritte Skeinrelation unter-

scheiden. Der Isomorphismus in Turaevs Theorem assoziiert die Klasse des Knotens L_{n} mit A_{n}. Deshalb kann das Theorem auch folgendermaßen geschrieben werden:

K_{0,0}^{∞}(Λ[A_{1}, A_{2}, …]) =^{∼} Λ[A_{1}, A_{2}, …]

Über diesem Grundring ist K_{0,0}^{∞} demnach ein freier Modul des Ranges 1. Tensorierung mit ℂ[x^{±}] und Quotientenbildung nach dem Ideal ((x − 1)(q − q^{−1}) − λ^{−1} + λ) liefert einen Morphismus in den Ring R_{0}^{∞}, so daß wir (teilweise mit einer weiteren Tensorierung) haben

92. Satz. K_{0,0}^{∞}(R_{0}^{∞}) =^{∼} R_{0}^{∞} und K_{0,0}^{∞}(R_{0,k}^{∞}) =^{∼} R_{0,k}^{∞}

13 Appendix B: Beweise zu Aussagen aus Abschnitt 2.1.2

(36): Aus (27) folgt X_{1}X_{1}Y X_{1}Y = X_{1}Y X_{1}Y X_{1} und daher kommutiert X_{1}Y X_{1}Y mit X_{1}, und also auch mit X_{1}^{−1}. Wegen(25) kommutiert es auch mit e_{1}.

(37,38): Für j ≥ i + 1 folgt die Kommutativität aus (5,28) und für j ≤ i − 1 handelt es sich um eine einfache Anwendung der Relation (6).

(39) und (40) sind trivial.

(41), (42): werden durch Induktion bewiesen. Der Schritt für (41) lautet:

Y_{i}X_{i}Y_{i}X_{i} = X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}X_{i}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}X_{i}
= X_{i−1}Y_{i−1}X_{i}X_{i−1}X_{i}^{−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}X_{i}
= X_{i−1}X_{i}Y_{i−1}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i}^{−1}X_{i−1}^{−1}X_{i}
= X_{i−1}X_{i}Y_{i−1}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}X_{i}^{−1}X_{i−1}^{−1}
= X_{i−1}X_{i}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i}^{−1}X_{i−1}^{−1}
= X_{i}X_{i−1}X_{i}Y_{i−1}X_{i−1}X_{i}^{−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}
= X_{i}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i}X_{i−1}X_{i}^{−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}
= X_{i}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}X_{i}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}
= X_{i}Y_{i}X_{i}Y_{i}

Der Induktionsschritt für (42) ist fast identisch. Es reicht, die negativen Exponenten der X_{·} zu entfernen, und Y durch Y′ zu ersetzen.

(43,44): Die Induktionsbeweise starten von (29) und der gespiegelten Version λ^{−1}e_{1} = e_{1}Y X_{1}Y, die leicht zu zeigen ist:

λe_{1}Y X_{1}Y = e_{1}X_{1}Y X_{1}Y =^{(36)} X_{1}Y X_{1}Y e_{1} = e_{1}

Im Induktionsschritt für (44) wird (12) genutzt, um e_{i+1} durch e_{i} auszudrücken:

Y′_{i+1}X_{i+1}Y′_{i+1}e_{i+1} = X_{i}Y′_{i}X_{i}X_{i+1}X_{i}Y′_{i}X_{i}X_{i}^{−1}X_{i+1}^{−1}e_{i}X_{i+1}X_{i}
= X_{i}Y′_{i}X_{i+1}X_{i}X_{i+1}Y′_{i}X_{i+1}^{−1}e_{i}X_{i+1}X_{i}
= X_{i}X_{i+1}Y′_{i}X_{i}X_{i+1}X_{i+1}^{−1}Y′_{i}e_{i}X_{i+1}X_{i}
= X_{i}X_{i+1}Y′_{i}X_{i}Y′_{i}e_{i}X_{i+1}X_{i} = λ^{−1}X_{i}X_{i+1}e_{i}X_{i+1}X_{i} = λ^{−1}e_{i+1}

Der Induktionsschritt für (43) lautet:

e_{i+1}Y_{i+1}X_{i+1}Y_{i+1} = e_{i+1}X_{i}Y_{i}X_{i}^{−1}X_{i+1}X_{i}Y_{i}X_{i}^{−1} = e_{i+1}X_{i}Y_{i}X_{i+1}X_{i}X_{i+1}^{−1}Y_{i}X_{i}^{−1}
= e_{i+1}X_{i}X_{i+1}Y_{i}X_{i}Y_{i}X_{i+1}^{−1}X_{i}^{−1} = X_{i}X_{i+1}e_{i}Y_{i}X_{i}Y_{i}X_{i+1}^{−1}X_{i}^{−1}
= λ^{−1}X_{i}X_{i+1}e_{i}X_{i+1}^{−1}X_{i}^{−1} = λ^{−1}e_{i+1}

(45): Der Beweis geschieht durch Induktion:

e_{i}Y_{i}^{m}e_{i} = e_{i}X_{i−1}Y_{i−1}^{m}X_{i−1}^{−1}e_{i} = e_{i}e_{i−1}X_{i}^{−1}Y_{i−1}^{m}X_{i−1}^{−1}e_{i}
= e_{i}e_{i−1}Y_{i−1}^{m}X_{i}^{−1}X_{i−1}^{−1}e_{i} = e_{i}e_{i−1}Y_{i−1}^{m}e_{i−1}X_{i}^{−1}X_{i−1}^{−1}
= A_{m}e_{i}e_{i−1}X_{i}^{−1}X_{i−1}^{−1} =^{(20)} A_{m}e_{i}

(46): [Y, Y′_{1}] = [Y, Y′_{2}] = 0 ist trivial. Für i > 1 folgt die Behauptung durch Induktion: [Y, Y′_{i}] = 0 ⇒ [Y, Y′_{i+1}] = [Y, X_{i}Y′_{i}X_{i}] = 0. Im allgemeinen Fall [Y′_{j}, Y′_{i}] können wir j < i annehmen. Der Induktionsschritt unter Benutzung von (38) lautet: [Y′_{j}, Y′_{i}] = [X_{j−1}Y′_{j−1}X_{j−1}, Y′_{i}] = (47) ist eine Folge von (41). (48):

Y_{i}e_{i−1} = X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}e_{i−1} = λ^{−1}X_{i−1}Y_{i−1}e_{i−1} = λ^{−2}Y_{i−1}^{−1}e_{i−1}

(49):

e_{i−1}Y_{i} = e_{i−1}X_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1} = λe_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1}^{−1}
= λe_{i−1}Y_{i−1}X_{i−1} − δλe_{i−1}Y_{i−1} + δλe_{i−1}Y_{i−1}e_{i−1}
= e_{i−1}Y_{i−1}^{−1} − λδe_{i−1}Y_{i−1} + δλA_{1}e_{1}

(50,51) werden nach folgendem Schema gezeigt:

e_{i−1}Y′_{i} = e_{i−1}X_{i−1}Y′_{i−1}X_{i−1} = λe_{i−1}Y′_{i−1}X_{i−1}Y′_{i−1}Y_{i−1}^{(1)−1} = e_{i−1}Y_{i−1}^{(1)−1}

(52): X_{i}Y_{i+1} = X_{i}^{2}Y_{i}X_{i}^{−1} = Y_{i}X_{i}^{−1} + δY_{i+1} − δλe_{i}Y_{i}X_{i}^{−1} = X_{i}Y_{i} − δY_{i} + δY_{i}e_{i} + δY_{i+1} − δe_{i}Y_{i}^{−1} + δ^{2}λe_{i}Y_{i} − δ^{2}λA_{1}e_{i}

(53) ist trivial. (55) zeigt man wie (54):

e_{i}Y_{i}^{l}X_{i} = e_{i}Y_{i}^{l}X_{i}Y_{i}X_{i}X_{i}^{−1}Y_{i}^{−1} = e_{i}X_{i}Y_{i}X_{i}Y_{i}^{l}X_{i}^{−1}Y_{i}^{−1}
= λe_{i}Y_{i}X_{i}Y_{i}^{l}X_{i}^{−1}Y_{i}^{−1} = e_{i}Y_{i}^{l−1}X_{i}^{−1}Y_{i}^{−1}
= e_{i}Y_{i}^{l−1}X_{i}Y_{i}^{−1} − δe_{i}Y_{i}^{l−1}Y_{i}^{−1} + δe_{i}Y_{i}^{l−1}e_{i}Y_{i}^{−1}
= e_{i}Y_{i}^{l−1}X_{i}Y_{i}^{−1} − δe_{i}Y_{i}^{l−2} + δA_{l−1}e_{i}Y_{i}^{−1}

(56) und (57) ergeben sich wiederum durch Induktion. Damit ist der Beweis aller Aussagen des Lemmas abgeschlossen.

14 Appendix C: Algebraische Hilfsmittel

Dieser Anhang trägt einige algebraische Aussagen zusammen, die im Haupttext gelegentlich benötigt werden.

Zunächst einige Bemerkungen über die Spezialisierung des Grundringes einer Algebra. Seien R und R′ Ringe und π : R → R′ eine Surjektion. Weiter sei S eine Menge von ’Generatoren’, und S^{∗} bezeichne die Menge der aus diesem Alphabet gebildeten Wörter. Der freie R-Modul mit Basis S^{∗}, also die freie R-Algebra über S, werden dann als ⟨S⟩_{R} bezeichnet. Es gibt dann eine induzierte Abbildung

π_{∗} : ⟨S⟩_{R} → ⟨S⟩_{R′},  ∑_{i} r_{i}w_{i} ↦ ∑_{i} π(r_{i})w_{i}, r_{i} ∈ R, w_{i} ∈ S^{∗}.

Eine alternative Beschreibung von π_{∗} ist durch Tensorproduktbildung möglich, indem man R′ mittels π als R-Modul auffaßt. Es gilt dann ⟨S⟩_{R}⊗_{R}R′ = ⟨S⟩_{R′}. Sei nun eine Menge von Relationen M = \{∑_{j} m_{ij}w_{j} | m_{i,j} ∈ R, w_{j} ∈ S^{∗}\} gegeben, und \overline{M} bezeichne das davon erzeugte Ideal in

⟨S⟩_{R}. Die Projektionsabbildung sei p : ⟨S⟩_{R} → ⟨S⟩_{R}/\overline{M}, a ↦ a + \overline{M}. Ferner sei \overline{M}′ das von π_{∗}(M) erzeugte Ideal, und p′ sei die entsprechende Projektionsabbildung. Man sieht dann sofort, daß gilt:

π_{∗}p = p′π_{∗}

Für unsere Situation gewinnen wir folgende Erkenntnis:

B_{n}^{k}(R/I) = B_{n}^{k}(R) ⊗_{R} R/I I Ideal in R

93. Satz. Sei R ein Integritätsbereich. In dem Polynomring A := R[x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{m}] sei ein Ideal I gegeben, das erzeugt wird von n Elementen h_{i} der Form:

h_{i} := g_{i}x_{i} − f_{i} i ∈ {1, …, n}, f_{i}, g_{i} ∈ R[y_{1}, …, y_{m}]

Für jedes i sei f_{i} teilerfremd zu g_{i}. Weiter seien die {f_{1}, …, f_{n}} paarweise teilerfremd, und es seien die g_{i} nicht enthalten in dem Ideal (f_{1}, …, f_{n}). Dann ist I ein Primideal.

Beweis: Über dem Quotientenkörper Q von R sei B der rationale Funktionenkörper B := Q(y_{1}, …, y_{m}). Dann ist B trivialerweise ein Integritätsbereich und {0} ein Primideal darin. Wir definieren einen Morphismus ϕ : A → B durch

ϕ(y_{j}) := y_{j} ϕ(x_{i}) := f_{i}g_{i}^{−1}

Dann ist auch ϕ^{−1}({0}) = Ker(ϕ) =: K ein Primideal. Wegen ϕ(h_{i}) = g_{i}f_{i}g_{i}^{−1} − f_{i} = 0 ist I ⊂ K. Um den Satz zu zeigen, reicht es also K ⊂ I nachzuweisen.

Wir betrachten zuerst den Fall n = 1 und lassen den dann immer gleichen Index i = 1 weg. Sei a = ∑_{i=0}^{l} β_{i}x^{i} mit β_{i} ∈ R[y_{1}, …, y_{m}] ein beliebiges Element aus dem Kern K. Dann ist also

0 = ∑_{i=0}^{l} β_{i}g^{l−i}f^{i}  (185)

Wir wollen die Existenz eines h = ∑_{j=0}^{l−1} α_{j}x^{j}, α_{j} ∈ R[y_{1}, …, y_{m}] nachweisen, so daß a = (gx−f)h, daß also a ∈ I gilt.

a = (gx − f)h ⇔ ∑_{i=0}^{l} β_{i}x^{i} = ∑_{j=0}^{l−1} gα_{j}x^{j+1} − fα_{j}x^{j}
⇔ β_{0} = −fα_{0} ⋯ β_{i} = gα_{i−1} − fα_{i} ⋯ β_{l} = gα_{l−1}

Alle Terme der rechten Seite von (185) bis auf eventuell β_{0}g^{l} sind durch f teilbar. Da die linke Seite duch f teilbar ist, folgt aber auch f | β_{0}g^{l} und damit die Existenz eines α_{0} mit β_{0} = −fα_{0}. Seien nun α_{0}, …, α_{t} schon so berechnet, daß die Darstellung β_{i} = gα_{i−1} − fα_{i} (mit α_{−1} = 0) gilt. Aus (185) folgt dann, daß f^{t+2} die Summe ∑_{i=0}^{t+1} β_{i}g^{l−i}f^{i} teilt. Einsetzen der β_{i} liefert:

f^{t+2} | (∑_{i=0}^{t}(gα_{i−1} − fα_{i})g^{l−i}f^{i} + β_{t+1}g^{l−t−1}f^{t+1})

Die Teleskopsumme reduziert sich bis auf einen Term, so daß bleibt

f^{t+2} | (−fα_{t}g^{l−t}f^{t} + β_{t+1}g^{l−t−1}f^{t+1})

Wegen (f, g) = 1 also weiter f | (−α_{t}g + β_{t+1}). Das liefert die Existenz eines geeigneten α_{t+1}. Damit ist I = K gezeigt.

Sei nun die Aussage schon erwiesen für n − 1. Wir betrachten den Morphismus ϕ′ : A → Q(y_{1}, …, y_{m})[x_{n}], x_{n} ↦ x_{n}, y_{j} ↦ y_{j}, x_{i} ↦ f_{i}g_{i}^{−1}, i ≤ n − 1. Nach Induktionsvoraussetzung ist Ker(ϕ′) = (h_{1}, …, h_{n−1}) = I′. Das Bild von ϕ′ liegt sogar im Unterring B′ := R[x_{n}, y_{1}, …, y_{m}, g_{1}^{−1}, …, g_{n−1}^{−1}] ⊂ Q(y_{1}, …, y_{m})[x_{n}] ⊂ B. Es sei ϕ′′ : B′ → B der Morphismus, der als Identität wirkt, abgesehen von x_{n} ↦ f_{n}g_{n}^{−1}. Dann ist offensichtlich ϕ = ϕ′′ ∘ ϕ′.

Es soll jetzt gezeigt werden, daß der Kern von ϕ′′ das in B′ von x_{n}g_{n} − f_{n} erzeugte Haupideal ist. Dazu nehmen wir ähnlich wie oben ein beliebiges Element a = ∑_{i=0}^{l} β̂_{i}x_{n}^{i} ∈ Ker(ϕ′′) und zeigen die Existenz eines h = ∑_{i=0}^{l−1} α̂_{i}x_{n}^{i} mit a = (g_{n}x_{n} − f_{n})h. Dabei sind α̂_{i}, β̂_{i} ∈ R[y_{1}, …, y_{m}, g_{1}^{−1}, …, g_{n−1}^{−1}]. Mit G := ∏_{i=0}^{n−1} g_{i} kann man schreiben β̂_{i} = β̃_{i}G^{−μ_{i}} mit μ_{i} ∈ ℕ_{0}, β̃_{i} ∈ R[y_{1}, …, y_{m}]. Wir setzen μ := max{μ_{i}}. Die Gleichung a = (g_{n}x_{n} − f_{n})h ist dann äquivalent zu:

0 = ∑_{i=0}^{l} β̃_{i}G^{μ−μ_{i}}g_{n}^{l−i}f_{n}^{i}

Mit der Setzung β_{i} := β̃_{i}G^{μ−μ_{i}} erhalten wir ein Problem, das zu dem oben gelösten äquivalent ist. Es gibt also eine Lösung β̃_{i}G^{μ−μ_{i}} = β_{i} = g_{n}α_{i−1} − f_{n}α_{i}. Folglich ist β̂_{i} = g_{n}α_{i−1}G^{−μ} − f_{n}α_{i}G^{−μ}. Die von uns gesuchten Koeffizienten sind also α̂_{i} = α_{i}G^{−μ}. Damit ist Ker(ϕ′′) = (x_{n}g_{n} − f_{n}) gezeigt.

Der Kern von ϕ ist ϕ^{′−1}(Ker(ϕ′′)) = ϕ^{′−1}((x_{n}g_{n} − f_{n})). Wir betrachten nun den von ϕ′ induzierten injektiven Morphismus ϕ̂′ : A/I′ → B′ von Polynomringen in x_{n}. Ein Element b(x_{n}g_{n}− f_{n}) im Schnitt des Hauptideals (x_{n}g_{n} − f_{n}) mit dem Bild von ϕ′ hat dann genau ein Urbild a + I′ ∈ A/I′. Damit gilt also die Beziehung ϕ̂′(a + I′) = bϕ̂′(g_{n}x_{n} − f_{n} + I′) = g(g_{n}x_{n} − f_{n}). Wenn b im Bild von ϕ̂′ liegt (also ϕ̂′(a′+I′) = b), sind wir fertig, denn dann ist ϕ̂′(a−a′(g_{n}x_{n}−f_{n})+I′) = 0. Wegen der Injektivität von ϕ̂′ ist dann a ∈ I′ + (g_{n}x_{n} − f_{n}) = I.

Es bleibt somit nur noch zu zeigen, daß b im Bild von ϕ̂′ liegt, wenn b(g_{n}x_{n} − f_{n}) darin liegt. Wir schreiben b = ∑_{i=0}^{l} ∑_{ν} c_{i,ν}x_{n}^{i}g_{1}^{−ν_{1}} ⋯ g_{n−1}^{−ν_{n−1}} mit c_{i,ν} ∈ R[y_{1}, …, y_{m}], ν = (ν_{1}, …, ν_{n−1}). Dabei wird vorausgesetzt, daß c_{i,ν} von keinem der g_{i} geteilt wird. Es sei b_{1} die Summe aller Monome c_{i,ν}x_{n}^{i}g_{1}^{−ν_{1}} ⋯ g_{n−1}^{−ν_{n−1}}, die nicht im Bild von ϕ′ liegen. Es ist unter den im Satz genannten Forderungen an die g_{i} möglich, daß verschiedene Exponenten ν zu den selben Nennern führen. Äquivalenzklassen von Multiindizes mit dieser Eigenschaft werden mit [ν] bezeichnet, und wir wählen in jeder Klasse einen Repräsentanten ν̂. Der Nenner jeder Klasse sei G([ν̂]) := ∏_{j=0}^{n−1} g_{j}^{−ν̂_{j}}. Weiter sei i_{0} die niedrigste Potenz in x_{n} eines nicht verschwindenden Monoms von b_{1}. Damit kann b_{1} geschrieben werden als

b_{1} = ∑_{i=i_{0}}^{l} x_{n}^{i} ∑_{[ν̂]} G([ν̂]) ∑_{ν∈[ν̂]} c_{i,ν}^{(1)}

Dabei ist c_{i,ν}^{(1)} = c_{i,ν}, wenn das Monom nicht im Bild liegt, 0 sonst. Der Koeffizient z von x_{n}^{i_{0}} in b_{1}(g_{n}x_{n} − f_{n}) liegt dann im Bild:

z := −f_{n} ∑_{[ν̂]} G([ν̂]) ∑_{ν∈[ν̂]} c_{i_{0},ν}^{(1)}

Nach der Voraussetzung des Satzes liegt keines der g_{i} in dem von f_{n} erzeugten Ideal, so daß keine Kürzung auftritt. Es treten also genau die Nenner auf, die auch in b_{1} vorkommen. Es liegt z im Bild von ϕ′, da dieser Morphismus die durch x_{n} gegebene Graduierung respektiert.

Da keine Kürzung eintritt, liegen sogar für jede Klasse [ν̂] die Summen f_{n}G([ν̂]) ∑_{ν∈[ν̂]} c_{i,ν}^{(1)} im

Bild. Da die f_{i} paarweise teilerfremd sind, folgt, daß bereits G([ν̂]) ∑_{ν∈[ν̂]} c_{i_{0},ν}^{(1)} im Bild liegt. Dann umfaßt b_{1} aber auch, im Widerspruch zu seiner Definition, Monome, die im Bild liegen. Demnach muß b_{1} = 0 sein, b also im Bild von ϕ′ liegen. □

LITERATUR 68

Literatur

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Lebenslauf

Reinhard Häring-Oldenburg, geb. Häring Merkelstr. 14, 37085 Göttingen, 0551 / 55956

27.8.1967  : in Bensheim geboren als zweiter Sohn der kaufmännischen

Angestellten Maria Häring und des Schreiners Anton Häring

1974-78  : Grundschule Zwingenberg
1978-87  : Goethe-Gymnasium Bensheim
Mai 1987  : Abitur
8.87-3.89  : Zivildienst
April 1989  : Beginn des Studiums der Physik und Mathematik in Frankfurt
Jan. 1990  : Aufnahme in die Studienstiftung d. dt. Volkes
Okt. 1990  : Vordiplom in Physik
März 1991  : Vordiplom in Mathematik
April 1991  : Wechsel an die Universität Heidelberg
April 1992  : Wechsel an die Universität Frankfurt und

Beginn der Diplomarbeit bei Prof. Constantinescu

Nov. 1993  : Diplomprüfung in Mathematik
Seit Feb. 1994 : Wissenschaftlicher Mitarbeiter am Math. Institut bei Prof. tom Dieck
Juli 1995  : Einschreibung zum Lehramtsstudiengang der Fächer Mathematik,

Physik mit Erweiterungsfach Informatik

29.9.1995  : Heirat mit Felicitas Oldenburg
6.12.1996  : Geburt von Jakob Felix Oldenburg
9.6. 1998  : Erstes Staatsexamen LG Math/Phys