Verallgemeinerte Garben über einer algebraischen Kurve

Norbert Hoffmann MPI für Mathematik Vivatsgasse 7 D-53111 Bonn, Germany email: hoffmann@mpim-bonn.mpg.de

8. Juli 1999

0 Einleitung

Diese Arbeit beruht auf dem in [HJS98] eingeführten Begriff des verallgemeinerten Vektorbündels über einer glatten algebraischen Kurve X. Ein solches verallgemeinertes Vektorbündel E besteht aus einem generischen Halm E_{η}, der zu jedem abgeschlossenen Punkt x auf X mit einer nichtarchimedischen Norm ∥ . ∥_{x} versehen ist. ∥s∥_{x} gibt die Null- bzw. Polstellenordnung des rationalen Schnittes s ∈ E_{η} in x an; der Unterschied zu herkömmlichen Vektorbündeln besteht nur darin, dass diese Ordnungen nicht ganze, sondern reelle Zahlen sind.

In gewissem Sinne stehen diese Objekte zwischen der Theorie der algebraischen Zahlkörper und der parallelen Theorie der Funktionenkörper glatter Kurven: In der Reduktionstheorie der Gl_{n} betrachtet man bekanntlich im Zahlkörperfall symmetrische Mannigfaltigkeiten, deren Punkte lokal freien Moduln über dem Ring ganzer Größen zusammen mit Normen an den unendlichen Stellen entsprechen. Das Analogon zur symmetrischen Mannigfaltigkeit im Funktionenkörperfall ist ein simplizialer Komplex, das Bruhat-Tits-Gebäude, dessen Ecken Vektorbündeln über der Kurve entsprechen. Genauso entsprechen Punkte in der topologischen Realisierung dieses Gebäudes verallgemeinerten Vektorbündeln.

In der vorliegenden Arbeit werden in analoger Weise quasikohärente Garben über X und ihre Zariski-Kohomologie verallgemeinert. Ein zentraler Teil ist die Konstruktion der abelschen Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X der verallgemeinerten Garben über X und dabei insbesondere die Bereitstellung geeigneter Torsionsobjekte als Kokerne. Naheliegenderweise enthält 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X die Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥/X der quasikohärenten O_{X}-Moduln, von denen allerdings aus technischen Gründen eine schwache Endlichkeitsbedingung verlangt wird; bemerkenswert erscheint, dass diese Einbettung einen exakten rechtsadjungierten Funktor ⌊ . ⌋ : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥/X besitzt. Mit seiner Hilfe wird die Kohomologie der verallgemeinerten Garben auf die quasikohärenter Garben zurückgeführt, und als Anwendung werden Ext-Gruppen verallgemeinerter Vektorbündel berechnet.

Dieser Text ist folgendermaßen gegliedert: Der erste Abschnitt stellt kategorientheoretische Hilfsmittel dafür bereit, einer gegebenen additiven Kategorie geeignete Kokerne hinzuzufügen. Im zweiten Abschnitt werden die benötigten Informationen über nichtarchimedische Seminormen zusammengetragen. Nach diesen technischen Vorarbeiten werden im dritten Abschnitt lokal seminormierte Räume als Verallgemeinerung flacher Garben eingeführt. Sie unterscheiden sich von verallgemeinerten Vektorbündeln vor allem dadurch, dass statt Normen nur Seminormen verlangt werden. In provisorischer Form findet man hier auch schon den “abrundenden” Funktor ⌊ . ⌋.

Der vierte Abschnitt ist das technische Herzstück. Hier werden verallgemeinerte Garben als Quotienten lokal seminormierter Räume eingeführt. Die zugehörigen Morphismen werden durch lokale Daten und eine Rationalitätsbedingung definiert, und mit Hilfe des ersten Abschnitts wird gezeigt, dass die resultierende Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X abelsch ist. Die nächsten beiden Abschnitte sind kurz: Der fünfte zeigt, wie man aus einer kohärenten Garbe eine verallgemeinerte Garbe macht, und der sechste ordnet verallgemeinerte Vektorbündel als lokal freie verallgemeinerte Garben und lokal seminormierte Räume als flache verallgemeinerte Garben ein.

Der siebte Abschnitt widmet sich der Kohomologie. Es wird eine Definition der Kohomologiegruppen einer verallgemeinerten Garbe vorgeschlagen. Dann wird der abrundende Funktor ⌊ . ⌋ : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥/X definiert und bewiesen, dass die Kohomologie einer verallgemeinerten Garbe S gleich der Zariski-Kohomologie von ⌊S⌋ ist. Es folgt noch ein Ansatz zu einer Kohomologietheorie, die mehr neue Phänomene bieten könnte. Im achten Abschnitt werden Extensionen verallgemeinerter Vektorbündel klassifiziert. Mittels eines internen Hom-Funktors wird aus dem vorigen Abschnitt gefolgert, dass die einschlägigien Ext-Gruppen Garbenkohomologien herkömmlicher Vektorbündel sind. Als Anwendung wird gezeigt, dass der Grothendiecksche Zerlegungssatz für Vektorbündel über der projektiven Gerade für verallgemeinerte Vektorbündel nicht gilt.

Bis hierhin ist der vorliegende Text eine etwas umgearbeitete und ergänzte Version meiner 1998 in Göttingen unter dem gleichen Titel eingereichten Diplomarbeit. Nach der Abgabe habe ich Zusammenhänge zu Arbeiten von J.-P. Schneiders und C. S. Seshadri kennengelernt, die hier in zwei Anhängen erläutert werden. Im Anhang A wird Schneiders’ rein kategorientheoretische Methode zur Adjunktion von Kokernen erläutert, und es wird gezeigt, dass sowohl die verallgemeinerten Vektorbündel als auch die lokal seminormierten Räume Schneiders’ Voraussetzungen genügen. Das liefert eine alternative Beschreibung der Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X.

Der Begriff der verallgemeinerten Vektorbündels ist äquivalent mit dem des Vektorbündels mit parabolischer Struktur im Sinne Seshadris. Das wird im Anhang B erläutert. Zur Illustration wird ein Resultat Seshadris als Korrespondenz zwischen unitären Darstellungen der Fundamentalgruppe einer Kurve X über ℂ und verallgemeinerten Vektorbündeln über der glatten Kompaktifizierung X^{+} von X reformuliert.

Mein besonderer Dank gilt Professor Stuhler. Seine Anregungen und seine Unterstützung sind weit über die Betreuung dieser Diplomarbeit hinausgegangen. Der Studienstiftung des deutschen Volkes bin ich für ihre nicht allein finanzielle Förderung meines Studiums zu Dank verpflichtet. Ich danke auch Professor Faltings, der mich auf die Äquivalenz von verallgemeinerten Vektorbündeln und Vektorbündeln mit parabolischer Struktur hinwies. Ein Teil dieser Arbeit wurde im Max-Planck-Institut für Mathematik in Bonn angefertigt.

1 Formale Kokerne einer additiven Kategorie

Zunächst sei an den allgemeinen Begriff der kurzen exakten Sequenz erinnert. Weitere Informationen dazu findet man zum Beispiel in [McL63], Chapter IX, §1.

Definition 1.1 Eine Folge von Objekten und Morphismen in einer additiven Kategorie A

0 ⟶ A ⟶^{i} B ⟶^{p} C ⟶ 0  (1)

heißt (kurze) exakte Sequenz, falls (A, i) ein Kern von p und (C, p) ein Kokern von i ist.

Bemerkung 1.2 Man sagt, dass die kurze exakte Sequenz (1) zerfällt, wenn ein Morphismus s : C → B existiert mit ps = id_{C}. Dann gilt p(id_{B} − sp) = p − psp = 0, so dass die universelle Eigenschaft des Kerns einen Morphismus t : B → A liefert mit it + sp = id_{B}. Es folgt iti = (it + sp)i = i = i · id_{A}, also, da i ein Monomorphismus ist, ti = id_{A}. Diese drei Relationen zwischen i, p, s und t bedeuten gerade, dass B die direkte Summe aus A und C ist.

In diesem Abschnitt geht es nun darum, eine gegebene additive Kategorie A geeignet in eine abelsche Kategorie einzubetten. Der Leser mag sich vorstellen, dass A ähnlich wie die Kategorie der torsionsfreien abelschen Gruppen hauptsächlich deshalb nicht abelsch sei, weil es in A nicht die richtigen Kokerne gibt. Dieser Defekt soll durch Adjunktion von Kokernen behoben werden.

Definition 1.3 Sei A eine additive Kategorie. Die Kategorie K_{1}(A) der formalen Kokerne von A ist folgendermaßen definiert:

i) Ein Objekt A_{•} = [A_{1} ⟶^{∂} A_{0}] aus K_{1}(A) besteht aus zwei Objekten A_{0}, A_{1} aus A und einem Monomorphismus ∂ = ∂_{A} : A_{1} → A_{0} in A. (Falls dadurch keine Mißverständnisse entstehen, wird A_{•} auch mit A_{0}/A_{1} bezeichnet.)

ii) Ein Morphismus f : A_{•} → B_{•} in K_{1}(A) ist eine Homotopieklasse, die aus Paaren (f_{0}, f_{1}) von Morphismen f_{i} : A_{i} → B_{i} in A mit der Eigenschaft f_{0}∂_{A} = ∂_{B}f_{1} besteht. Dabei ist ein solches Paar (f_{0}, f_{1}) nullhomotop, falls ein Morphismus h : A_{0} → B_{1} existiert mit f_{0} = ∂_{B}h. (Daraus folgt dann automatisch f_{1} = h∂_{A}.)

\xymatrix{A_{1} \ar[r]^{∂_{A}} \ar[d]_{f_{1}} & A_{0} \ar[d]^{f_{0}} \ar@{.>}[dl]_{h} \\ B_{1} \ar[r]_{∂_{B}} & B_{0}}

Bemerkungen 1.4 Um die Bezeichnung ’formaler Kokern’ zu rechtfertigen, vergleichen wir mit echten Kokernen in abelschen Kategorien.

i) Wir nehmen an, A sei schon eine volle Teilkategorie einer abelschen Kategorie C. 0 → A_{1} →^{∂_{A}} A_{0} → A → 0 und 0 → B_{1} →^{∂_{B}} B_{0} → B → 0 seien exakte Sequenzen in C mit A_{0}, A_{1}, B_{0}, B_{1} ∈ A. Dann induziert jedes Paar (f_{0}, f_{1}) von Morphismen f_{i} : A_{i} → B_{i} mit f_{0}∂_{A} = ∂_{B}f_{1} einen Morphismus f : A → B in C. Es ist f = 0 genau dann, wenn (f_{0}, f_{1}) nullhomotop ist. Also haben wir eine kanonische Einbettung Hom_{K_{1}(A)}(A_{•}, B_{•}) ↪ Hom_{C}(A, B). Diese ist im allgemeinen leider nicht bijektiv. Dieser Defekt wird als nächstes intrinsisch beschrieben.

ii) Sei jetzt A wieder eine beliebige additive Kategorie. Man prüft leicht, dass für jede kurze exakte Sequenz 0 → A → B → C → 0 in A der induzierte Morphismus f : B/A → C/0 in K_{1}(A) ein Mono- und Epimorphismus ist, der aber nur dann ein Inverses besitzt, wenn es einen Schnitt s : C → B gibt. Also kann K_{1}(A) bestenfalls dann abelsch sein, wenn jede kurze exakte Sequenz in A zerfällt.

Proposition 1.5 Sei K_{1}(A) die Kategorie der formalen Kokerne einer additiven Kategorie A.

i) K_{1}(A) ist eine additive Kategorie.

ii) Der Funktor A ↦ A/0 ist eine linksexakte, volltreue Einbettung von A nach K_{1}(A). iii) Zu jedem Monomorphismus A → B in A hat man eine kurze exakte Sequenz

0 → A → B → B/A → 0 in K_{1}(A).

Beweis: i ist leicht. Bei ii handelt es sich offenbar um einen additiven, volltreuen Funktor. Mit Linksexaktheit ist hier gemeint, dass für jeden Morphismus f : A → B in A, der einen Kern K → A besitzt, K/0 → A/0 ein Kern von A/0 → B/0 in K_{1}(A) ist. Auch das ist einfach nachzuprüfen. iii ist ein Spezialfall des folgenden Lemmas. □

Lemma 1.6 Zu je zwei Monomorphismen ∂_{1} : A_{1} → A_{∼} und ∂_{0} : A_{∼} → A_{0} in A hat man eine kurze exakte Sequenz 0 → A_{∼}/A_{1} → A_{0}/A_{1} → A_{0}/A_{∼} → 0 in K_{1}(A).

Beweis: Das kommutative Diagramm in A

\xymatrix{A_{1} \ar[r]^{id} \ar[d]_{∂_{1}} & A_{1} \ar[r]^{∂_{1}} \ar[d]_{∂_{0}∂_{1}} & A_{∼} \ar[d]_{∂_{0}} \\ A_{∼} \ar[r]_{∂_{0}} & A_{0} \ar[r]_{id} & A_{0}}

repräsentiert zwei Morphismen A_{∼}/A_{1} ⟶^{i} A_{0}/A_{1} ⟶^{p} A_{0}/A_{∼} in K_{1}(A). Die Homotopie id : A_{∼} → A_{∼} liefert pi = 0. Es bleiben zu überprüfen:

• i ist ein Monomorphismus.

Gegeben sei ein Morphismus formaler Kokerne f : B_{0}/B_{1} → A_{∼}/A_{1}, repräsentiert durch ein kommutatives Diagramm in A

\xymatrix{B_{1} \ar[r]^{∂_{B}} \ar[d]_{f_{1}} & B_{0} \ar@{.>}[dl]_{h} \ar[d]^{f_{0}} \\ A_{1} \ar[r]_{∂_{1}} & A_{∼} \ar[r]_{∂_{0}} & A_{0}.}

Ist if = 0 : B_{0}/B_{1} → A_{0}/A_{1}, so haben wir eine Homotopie h : B_{0} → A_{1} mit ∂_{0}f_{0} = ∂_{0}∂_{1}h. Da ∂_{0} ein Monomorphismus ist, folgt daraus f_{0} = ∂_{1}h, also f = 0.

• i hat die Faktorisierungseigenschaft des Kerns. Gegeben sei f : B_{0}/B_{1} → A_{0}/A_{1} in K_{1}(A), repräsentiert durch

\xymatrix{B_{1} \ar[r] \ar[d]_{f_{1}} & B_{0} \ar@{.>}[d]_{h} \ar[dr]^{f_{0}} \\ A_{1} \ar[r] & A_{∼} \ar[r] & A_{0}.}

Ist pf = 0 : B_{0}/B_{1} → A_{0}/A_{∼}, so kann dieses Diagramm kommutativ ergänzt werden durch eine Homotopie h : B_{0} → A_{∼}. Es folgt, dass das Paar (h, f_{1}) einen Morphismus f̃: B_{0}/B_{1} → A_{∼}/A_{1} repräsentiert mit if̃ = f. f̃ ist durch if̃ = f eindeutig bestimmt, da i ein Monomorphismus ist.

• p ist ein Epimorphismus.

Gegeben sei f : A_{0}/A_{∼} → B_{0}/B_{1}, repräsentiert durch

\xymatrix{A_{1} \ar[r]^{∂_{1}} & A_{∼} \ar[d]_{f_{1}} \ar[r]^{∂_{0}} & A_{0} \ar@{.>}[dl]_{h} \ar[d]^{f_{0}} \\  & B_{1} \ar[r]_{∂_{B}} & B_{0}.}

Ist fp = 0 : A_{0}/A_{1} → B_{0}/B_{1}, so haben wir eine Homotopie h : A_{0} → B_{1} mit f_{0} = ∂_{B}h. Es folgt sofort f = 0.

• p hat die Faktorisierungseigenschaft des Kokerns. Gegeben sei f : A_{0}/A_{1} → B_{0}/B_{1}, repräsentiert durch

\xymatrix{A_{1} \ar[r] \ar[dr]_{f_{1}} & A_{∼} \ar[r] \ar@{.>}[d]^{h} & A_{0} \ar[d]^{f_{0}} \\  & B_{1} \ar[r] & B_{0}.}

Ist fi = 0 : A_{∼}/A_{1} → B_{0}/B_{1}, so kann dieses Diagramm kommutativ ergänzt werden durch h : A_{∼} → B_{1}. Dann hat die Homotopieklasse f̃ : A_{0}/A_{∼} → B_{0}/B_{1} des Paares (f_{0}, h) die Eigenschaft f̃p = f. Die Eindeutigkeit von f̃ wurde schon gezeigt. □

Definition 1.7 Der Abbildungskegel C(f) eines Morphismus formaler Kokerne f : A_{0}/A_{1} → B_{0}/B_{1} ist der folgende Komplex in A:

0 ⟶ A_{1} \underrightarrow{\binom{f_{1}}{−∂_{A}}} B_{1} ⊕ A_{0} ⟶^{(∂_{B},f_{0})} B_{0} ⟶ 0.  (2)

Bemerkung 1.8 Jeder andere Repräsentant der Homotopieklasse f ist von der Form (f_{0} + ∂_{B}h, f_{1} + h∂_{A}), dabei h : A_{0} → B_{1} eine Homotopie. Dann haben wir Isomorphismen von Komplexen

[figure: 0; A_{1}; ^{\binom{f_{1}}{−∂_{A}}}; B_{1}⊕A_{0}; (∂_{B},f_{0}); _{\binom{1 −h}{0 1}}; B_{0}; 0; 0; A_{1}; _{\binom{f_{1}+h∂_{A}}{−∂_{A}}}; B_{1}⊕A_{0}; (∂_{B},f_{0}+∂_{B}h); _{\binom{1 h}{0 1}}; B_{0}; 0.]

Deshalb hängt C(f) bis auf Isomorphie von Komplexen nicht von der Wahl des Repräsentanten der Homotopieklasse f ab.

Proposition 1.9 Ein Morphismus formaler Kokerne f : A_{0}/A_{1} → B_{0}/B_{1}, dessen Abbildungskegel C(f) eine zerfallende exakte Sequenz ist, ist ein Isomorphismus.

Beweis: Wir nehmen an, der Abbildungskegel (2) sei kurz exakt und zerfalle. Dann haben wir Morphismen s : B_{0} → B_{1} ⊕ A_{0} und t : B_{1} ⊕ A_{0} → A_{1} mit den Eigenschaften

(∂_{B}, f_{0})s = id_{B_{0}} und \binom{f_{1}}{−∂_{A}}t + s(∂_{B}, f_{0}) = id_{B_{1}⊕A_{0}}.  (3)

Es seien h : B_{0} → B_{1} und g_{0} : B_{0} → A_{0} die Komponenten von s, g_{1} : B_{1} → A_{1} und k : A_{0} → A_{1} die Komponenten von t. Dann besagen die Gleichungen (3) insbesondere

(∂_{B}, f_{0})\binom{h}{g_{0}} = id_{B_{0}} und − ∂_{A}(g_{1}, k) + g_{0}(∂_{B}, f_{0}) = (0, id_{A_{0}}),

also speziell ∂_{A}g_{1} = g_{0}∂_{B}, id_{B_{0}} − f_{0}g_{0} = ∂_{B}h und g_{0}f_{0} − id_{A_{0}} = ∂_{A}k. Das bedeutet, dass die Homotopieklasse g des Paares (g_{0}, g_{1}) ein zweiseitiges Inverses von f in K_{1}(A) ist. □

2 Nichtarchimedische Seminormen

F sei ein diskret bewerteter Körper. Damit ist gemeint, dass noch eine Abbildung | . | : F → ℝ_{≥0} gegeben ist mit den Eigenschaften |a + b| ≤ max(|a|, |b|) und |ab| = |a| · |b| für alle a, b ∈ F sowie |0| = 0 und {|a| : 0 ≠ a ∈ F } = {c^{d} : d ∈ ℤ} für eine reelle Konstante c > 1.

Definition 2.1 i) Eine Seminorm auf einem F -Vektorraum V ist eine Abbildung ∥ . ∥ : V → ℝ_{≥0} mit der Eigenschaft, dass für alle v, w ∈ V, a ∈ F gilt:

∥v + w∥ ≤ max(∥v∥, ∥w∥) und ∥av∥ = |a| · ∥v∥.

∥ . ∥ heißt Norm, falls zusätzlich noch ∥v∥ ≠ 0 für alle v ∈ V, v ≠ 0 gilt.

ii) Sei (V, ∥ . ∥) ein seminormierter F -Vektorraum. Eine Basis B von V heißt Orthogonalbasis, falls für alle v_{1}, …, v_{n} ∈ B und a_{1}, …, a_{n} ∈ F gilt:

∥a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}∥ = max(∥a_{1}v_{1}∥, …, ∥a_{n}v_{n}∥).

B heißt Orthonormalbasis, wenn außerdem noch ∥v∥ = 1 für alle v ∈ B gilt.

iii) Seien (V, ∥ . ∥_{V}) und (W, ∥ . ∥_{W}) seminormierte Vektorräume. Eine lineare Abbildung f : V → W heißt kontrahierend, falls gilt:

∥f(v)∥_{W} ≤ ∥v∥_{V} für alle v ∈ V.

f heißt Isometrie, falls f zusätzlich noch bijektiv ist und f^{−1} kontrahierend.

Beispiele 2.2 i) Man kann eine Norm auf V definieren, indem man eine Basis auswählt und sie zur Orthonormalbasis erklärt.

ii) Sind (V, ∥ . ∥_{V}) und (W, ∥ . ∥_{W}) seminormierte Vektorräume, so hat man auf der direkten Summe V ⊕W die Seminorm ∥(v, w)∥_{V ⊕W} := max(∥v∥_{V} , ∥w∥_{W}).

iii) Sei (V, ∥ . ∥_{V}) ein seminormierter Vektorraum. Ist i : U → V eine injektive lineare Abbildung, so hat man eine Teilraum-Seminorm auf U, gegeben durch ∥u∥_{U} = ∥i(u)∥_{V} für u ∈ U. Ist p : V → W eine surjektive lineare Abbildung, so hat man eine Quotienten-Seminorm auf W, gegeben durch ∥w∥_{W} = inf{∥v∥_{V} : v ∈ V, p(v) = w} für w ∈ W.

Proposition 2.3 Sei F′ ⊆ F ein dichter Teilkörper und (V′, ∥ . ∥_{V′}) ein seminormierter F′-Vektorraum.

i) Es gibt genau eine Seminorm ∥ . ∥_{V} auf V := V′ ⊗_{F′} F, die ∥ . ∥_{V′} fortsetzt. V′ liegt in V dicht bezüglich dieser Seminorm. Jede Orthogonalbasis von V′ ist auch Orthogonalbasis von V.

ii) Ist diese Fortsetzung ∥ . ∥_{V} eine Norm, und besitzt V eine endliche Orthogonalbasis {v_{1}, …, v_{n}}, so besitzt auch V′ eine endliche Orthogonalbasis.

Beweis: Wir wählen eine Basis B′ von V′.

i) Jeder Vektor v ∈ V besitzt eine eindeutige Darstellung der Form v = a_{1}v′_{1} + ⋯ + a_{n}v′_{n} mit a_{i} ∈ F und v′_{i} ∈ B′. Wir wählen zu jedem a_{i} eine Folge (a_{i}^{(k)})_{k∈ℕ} von Elementen aus F′, die gegen a_{i} konvergiert, und setzen

∥v∥_{V} := lim_{k→∞} ∥v^{(k)}∥_{V′} mit v^{(k)} := a_{1}^{(k)}v′_{1} + ⋯ + a_{n}^{(k)}v′_{n} ∈ V′.  (4)

Da die (a_{i}^{(k)})_{k∈ℕ} Cauchy-Folgen sind, existiert dieser Limes. Er verschwindet, wenn die (a_{i}^{(k)})_{k∈ℕ} Nullfolgen sind, und hängt deshalb nicht von der Wahl der a_{i}^{(k)} ab.

Damit ist klar, dass durch (4) eine Seminorm auf V definiert wird, die ∥ . ∥_{V′} fortsetzt. Bezüglich jeder Seminorm auf V konvergiert die Folge (a_{i}^{(k)}v′_{i})_{k∈ℕ} gegen a_{i}v′_{i} und damit auch die Folge (v^{(k)})_{k∈ℕ} gegen v. Das zeigt, dass V′ bezüglich jeder Seminorm dicht in V liegt und dass jede Fortsetzung ∥ . ∥_{V} von ∥ . ∥_{V′} der Gleichung (4) genügt, also die behauptete Eindeutigkeit. Ist B′ sogar Orthogonalbasis von V′, so offenbar auch von V.

ii) Da V′ in V dicht liegt, findet man Vektoren v′_{i} ∈ V′ mit ∥v_{i} − v′_{i}∥ < ∥v_{i}∥. Daraus folgt mit der Dreiecksungleichung ∥v′_{i}∥ = ∥v_{i}∥. Seien jetzt a_{1}, …, a_{n} ∈ F, nicht alle Null. Wir vergleichen die Normen von v := a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n} und v′ := a_{1}v′_{1} + ⋯ + a_{n}v′_{n}. Es gilt

∥v − v′∥ ≤ max(|a_{1}| · ∥v_{1} − v′_{1}∥, …, |a_{n}| · ∥v_{n} − v′_{n}∥)
< max(|a_{1}| · ∥v_{1}∥, …, |a_{n}| · ∥v_{n}∥)
= ∥v∥,

also wieder wegen der Dreiecksungleichung auch ∥v∥ = ∥v′∥. Deshalb erben die Vektoren v′_{1}, …, v′_{n} die Orthogonalitätseigenschaft

∥a_{1}v′_{1} + ⋯ + a_{n}v′_{n}∥ = max (∥a_{1}v′_{1}∥, …, ∥a_{n}v′_{n}∥)

von v_{1}, …, v_{n}. Insbesondere ist die Menge {v′_{1}, …, v′_{n}} linear unabhängig, also aus Dimensionsgründen eine Basis von V. □

Bemerkung 2.4 Seminormierte F -Vektorräume und kontrahierende lineare Abbildungen bilden eine additive Kategorie. Man sieht leicht, dass eine Folge 0 → U → V → W → 0 von seminormierten F -Vektorräumen und kontrahierenden linearen Abbildungen genau dann eine kurze exakte Sequenz in dieser Kategorie ist, wenn die zugrundeliegende Folge von Vektorräumen und linearen Abbildungen eine kurze exakte Sequenz ist und außerdem U und W die von ∥ . ∥_{V} induzierten Seminormen 2.2.iii tragen.

Lemma 2.5 Ist

\xymatrix{0 \ar[r] & U \ar[r] \ar[d]^{e} & V \ar[r] \ar[d]^{f} & W \ar[r] \ar[d]^{g} & 0 \\ 0 \ar[r] & U′ \ar[r] & V′ \ar[r] & W′ \ar[r] & 0}

ein kommutatives Diagramm kontrahierender Abbildungen mit exakten Zeilen, und sind e und g Isometrien, so ist auch f eine Isometrie.

Beweis: Nach dem Fünferlemma für Vektorräume ist f bijektiv. Sei v ∈ V. Dann gilt für jedes u ∈ U

∥v∥ ≤ max(∥v + u∥, ∥u∥) und ∥e(u)∥ ≤ max(∥f(v + u)∥, ∥f(v)∥),

woraus mit den Voraussetzungen an e und f

∥v∥ ≤ max(∥v + u∥, ∥f(v + u)∥, ∥f(v)∥) = max(∥v + u∥, ∥f(v)∥)

folgt. Nun gilt für das Bild w ∈ W von v aber ∥w∥_{W} = inf{∥v + u∥ : u ∈ U}, also haben wir sogar

∥v∥ ≤ max(∥w∥_{W} , ∥f(v)∥).

Aber ∥w∥_{W} = ∥g(w)∥_{W′} ≤ ∥f(v)∥, also ergibt sich ∥v∥ ≤ ∥f(v)∥, das heißt f^{−1} ist kontrahierend. □

Proposition 2.6 Ist F vollständig, so besitzt jeder endlichdimensionale seminormierte F -Vektorraum V eine Orthogonalbasis.

Beweis: Wir wählen eine Basis {v_{1}, …, v_{r}} von rad(V) := {v ∈ V : ∥v∥ = 0} und einen Untervektorraum U ⊆ V mit U ∩ rad(V) = 0 und U + rad(V) = V. Dann ist U normiert und besitzt deshalb laut [BGR84], Propositionen 2.3.3.4 und 2.4.2.3 eine Orthogonalbasis {v_{r+1}, …, v_{n}}. Für a_{1}, …, a_{n} ∈ F gilt nun

∥a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}∥ = ∥a_{r+1}v_{r+1} + ⋯ + a_{n}v_{n}∥
= max (∥a_{r+1}v_{r+1}∥, …, ∥a_{n}v_{n}∥)
= max (∥a_{1}v_{1}∥, …, ∥a_{n}v_{n}∥).

Also ist die Basis {v_{1}, …, v_{n}} von V eine Orthogonalbasis. □

Bemerkung 2.7 Ist V ein endlichdimensionaler seminormierter Vektorraum über einem nicht vollständigen Körper F, so setzt sich seine Seminorm ∥ . ∥_{V} zwar auf den entsprechenden Vektorraum V̂ := V ⊗_{F} F̂ über der Vervollständigung F̂ von F fort. Aber auch wenn ∥ . ∥_{V} eine Norm ist, braucht die Fortsetzung ∥ . ∥V̂ keine Norm zu sein. (Beispiel: V ⊆ F̂ irgendein Untervektorraum mit 1 < dim(V) < ∞, versehen mit der vom Betrag auf F̂ induzierten Norm) Nur dann, wenn sogar ∥ . ∥V̂ eine Norm ist, können wir mit 2.3.ii schließen, dass auch V eine Orthogonalbasis besitzt.

Proposition 2.8 Ist F vollständig, so zerfällt jede kurze exakte Sequenz 0 → U →^{i} V →^{p} W → 0 endlichdimensionaler seminormierter F -Vektorräume.

Beweis: Wir passen den Beweis der Proposition 2.4.1.5 aus [BGR84] an unsere Situation an und verwenden Induktion nach dim(U). Ist dim(U) > 1, so wählen wir einen echten Untervektorraum U′ von U und erhalten diverse induzierte Semi-

normen, die 0 → U′ → V →^{p′} V/U′ → 0 und 0 → U/U′ → V/U′ →^{p̄} W → 0 zu

kurzen exakten Sequenzen seminormierter Vektorräume machen. Laut Induktionsvoraussetzung besitzen p′ und p̄ ein Rechtsinverses, also gilt dasselbe auch für ihre Komposition p. Deshalb reicht es, die Behauptung im Fall dim(U) = 1 zu beweisen.

Laut 2.6 besitzt V eine Orthogonalbasis {v_{1}, …, v_{n}}. Sei 0 ≠ u ∈ U, und seien a_{1}, …, a_{n} ∈ F die Koordinaten von u, also i(u) = a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}. Wir finden einen Index k ≤ n mit a_{k} ≠ 0 und ∥a_{k}v_{k}∥_{V} ≥ ∥a_{i}v_{i}∥_{V} für alle i. Da der von v_{1}, …, v_{k−1}, v_{k+1}, …, v_{n} erzeugte Vektorraum V′ ⊂ V orthogonal zu F · v_{k} ist, gilt für v′ ∈ V′ und a ∈ F

∥au∥_{V} = max(∥au′∥_{V} , ∥aa_{k}v_{k}∥_{V}) und
∥v′ + au∥_{V} = max(∥v′ + au′∥_{V} , ∥aa_{k}v_{k}∥_{V})

mit u′ := u − a_{k}v_{k} ∈ V′. Nach Wahl von k ist ∥u′∥_{V} ≤ ∥a_{k}v_{k}∥_{V}, so dass

∥au∥_{V} ≤ ∥v′ + au∥_{V}

folgt. Mit der Dreiecksungleichung ∥v′∥ ≤ max(∥au∥, ∥v′ + au∥) ergibt sich daraus

∥v′∥_{V} ≤ ∥v′ + au∥_{V} .

Also hat v′ unter den Urbildern von p(v′) die kleinste Seminorm. Nach Definition der Quotienten-Seminorm bedeutet das ∥v′∥_{V} = ∥p(v′)∥_{W}, d. h. die nach Wahl von k bijektive Abbildung p|_{V′} : V′ → W ist sogar eine Isometrie. s := (p|_{V′})^{−1} : W → V′ ⊂ V ist der gesuchte Schnitt. □

Folgerung 2.9 Sei A ein vollständiger diskreter Bewertungsring, und seien M_{1}, M_{2} Unter-A-Moduln endlichdimensionaler Vektorräume V_{1}, V_{2} über dem Quotientenkörper F von A. Dann verschwindet Ext_{A}^{1}(M_{1}, M_{2}).

Beweis: Wir können ohne Einschränkung F ·M_{i} = V_{i} annehmen. Dann trägt V_{i} eine Seminorm ∥ . ∥_{i}, nämlich ∥v∥_{i} := inf{|a| : a ∈ F, v ∈ a·M_{i}}. Jede kontrahierende F - lineare Abbildung von V_{1} nach V_{2} bildet M_{1} nach M_{2} ab, und umgekehrt setzt sich jede A-lineare Abbildung von M_{1} nach M_{2} kanonisch fort zu einer kontrahierenden F -linearen Abbildung von V_{1} nach V_{2}. Sei nun 0 → M_{2} → M → M_{1} → 0 eine kurze exakte Sequenz von A-Moduln. Dann ist M ein Unter-A-Modul des F -Vektorraums V := F ⊗_{A} M und induziert auf ihm eine Seminorm wie M_{i} auf V_{i}. 0 → V_{2} → V → V_{1} → 0 ist damit eine kurze exakte Sequenz seminormierter F -Vektorräume. Laut 2.8 gibt es einen Schnitt s : V_{1} → V und damit auch einen Schnitt M_{1} → M. Also zerfällt jede kurze exakte Sequenz 0 → M_{2} → M → M_{1} → 0 von A-Moduln. □

3 Lokal seminormierte Räume

Im folgenden bezeichnet X eine glatte, irreduzible algebraische Kurve über einem Konstantenkörper k (oder etwas allgemeiner ein Dedekindschema, d. h. ein eindimensionales, reguläres, integeres, separiertes, noethersches Schema). η sei der generische Punkt und |X| die Menge der abgeschlossenen Punkte auf X. Für jeden Punkt x ∈ |X| ist der Ring O_{X,x} der Keime regulärer Funktionen in x ein diskreter Bewertungsring, und sein Quotientenkörper ist jeweils der Körper F := O_{X,η} der rationalen Funktionen auf X. Damit haben wir Bewertungen | . |_{x} : F → ℝ_{≥0} und Vervollständigungen F_{x} von F.

Definition 3.1 Die additive Kategorie 𝔉𝔩^{∗}/X der lokal seminormierten Räume über X wird folgendermaßen definiert:

i) Ein lokal seminormierter Raum V über X ist ein endlichdimensionaler F - Vektorraum V_{η}, bei dem für jeden Punkt x ∈ |X| der F_{x}-Vektorraum V_{x} := V_{η} ⊗_{F} F_{x} mit einer Seminorm ∥ . ∥_{x} versehen ist, und für den gilt: Für jeden Vektor v ∈ V_{η} ist die Menge {x ∈ |X| : ∥v∥_{x} > 1} endlich.

ii) Ein Morphismus lokal seminormierter Räume f : V → W ist eine F -lineare Abbildung f_{η} : V_{η} → W_{η}, die über allen x ∈ |X| kontrahierend ist, d. h. die induzierte Abbildung f_{x} := f_{η} ⊗ id : V_{x} → W_{x} ist jeweils kontrahierend.

Notiz 3.2 Es gibt eine additive, volltreue Einbettung I : 𝔉𝔩/X → 𝔉𝔩^{∗}/X der additiven Kategorie 𝔉𝔩/X aller generisch endlichen, flachen, quasikohärenten O_{X}-Moduln in die Kategorie 𝔉𝔩^{∗}/X.

Beweis: Sei F ein flacher, quasikohärenter O_{X}-Modul. F heißt generisch endlich, falls sein generischer Halm F_{η} als F -Vektorraum endlichdimensional ist. In diesem Fall definieren wir den lokal seminormierten Raum I(F) durch

I(F)_{η} := F_{η} und
∥v∥_{x} := inf{|a|_{x} : a ∈ F, v ∈ a · F_{x}} für x ∈ |X| und v ∈ I(F)_{η}.

Dabei bezeichnet F_{x} ⊆ F_{η} den Halm von F in x. Die Formel definiert zu jedem Punkt x eine Seminorm auf I(F)_{η}, die sich laut 2.3.i jeweils kanonisch fortsetzt zur benötigten Seminorm auf I(F)_{x} := I(F)_{η} ⊗_{F} F_{x}. Die Endlichkeitsbedingung in der Definition 3.1 ist automatisch erfüllt, so dass I(F) tatsächlich ein lokal seminormierter Raum ist. Man sieht leicht, dass I ein additiver, volltreuer Funktor ist. □

Eine weitere Klasse von Beispielen für lokal seminormierte Räume sind die verallgemeinerten Vektorbündel. In [HJS98] wird ein verallgemeinertes Vektorbündel E über X definiert als endlichdimensionaler F -Vektorraum E_{η} zusammen mit je einer Norm ∥ . ∥_{x} auf E_{x} = E_{η} ⊗_{F} F_{x}, x ∈ |X|, so dass jede Basis e_{1}, …, e_{n} von E_{η} nur für endlich viele dieser Normen keine Orthonormalbasis ist. Offenbar ist jedes solche verallgemeinerte Vektorbündel auch ein lokal seminormierter Raum.

Lemma 3.3 Sei E ein verallgemeinertes Vektorbündel über X. Dann hat jeder Punkt x ∈ |X| eine offene Umgebung U in X, für die die Einschränkung E|_{U} eine direkte Summe verallgemeinerter Geradenbündel ist.

Beweis: Laut 2.7 gibt es eine Basis {e_{1}, …, e_{n}} von E_{η}, die bezüglich ∥ . ∥_{x} eine Orthogonalbasis ist. Die Menge aller abgeschlossenen Punkte, über denen diese Basis keine Orthogonalbasis ist, ist automatisch endlich. Deshalb ist ihr Komplement U eine offene Umgebung von x. Über U ist E die direkte Summe der verallgemeinerten Geradenbündel F e_{1}, …, F e_{n}. □

Folgerung 3.4 E sei ein verallgemeinertes Vektorbündel und V ein lokal seminormierter Raum über X. Dann wird durch

Hom^{∗}(E, V)_{η} := Hom_{F} (E_{η}, V_{η}) und
∥f∥_{x} := inf{C ∈ ℝ_{≥0} : ∥f(e)∥_{V,x} ≤ C · ∥e∥_{E,x} für alle e ∈ E_{η}}
für x ∈ |X| und f ∈ Hom_{F} (E_{η}, V_{η})

ein lokal seminormierter Raum Hom^{∗}(E, V) über X definiert. Ist V sogar ein verallgemeinertes Vektorbündel, so auch Hom^{∗}(E, V).

Beweis: Zunächst ist zu zeigen, dass ∥f∥_{x} immmer endlich und bei festem f nur für endlich viele x ∈ |X| größer als 1 ist. Das ist trivial, wenn E ein verallgemeinertes Geradenbündel ist. Deshalb gilt es dank des Lemmas für alle E. Damit ist gezeigt, dass Hom^{∗}(E, V) tatsächlich ein lokal seminormierter Raum ist. Sind E und V verallgemeinerte Geradenbündel, so offenbar auch Hom^{∗}(E, V). Daraus folgt wieder mit dem Lemma, dass für verallgemeinerte Vektorbündel E und V auch Hom^{∗}(E, V) Zariski-lokal direkte Summe verallgemeinerter Geradenbündel und damit ein verallgemeinertes Vektorbündel ist. □

Definition 3.5 Sei V ein lokal seminormierter Raum über X.

i) Sei U ⊆ X offen. Die Menge der Schnitte von V über U ist Γ(U; V) := {v ∈ V_{η} : ∥v∥_{x} ≤ 1 für alle x ∈ |U|}.

ii) Die O_{X}-Modulgarbe ⌊V ⌋ der Schnitte von V wird definiert durch die Vorschrift Γ(U; ⌊V ⌋) := Γ(U; V) für U ⊆ X offen.

Proposition 3.6 i) Für jeden lokal seminormierten Raum V ist der O_{X}-Modul ⌊V ⌋ quasikohärent, flach und generisch endlich.

ii) ⌊ . ⌋ : 𝔉𝔩^{∗}/X → 𝔉𝔩/X ist ein additiver Funktor. Er ist linksinvers und rechtsadjungiert zur Einbettung I : 𝔉𝔩/X → 𝔉𝔩^{∗}/X

iii) Ist E ein verallgemeinertes Vektorbündel, so ist ⌊E⌋ lokal frei vom Rang n = dim_{F} (E_{η}).

Beweis: i) Wir dürfen ohne Einschränkung annehmen, X sei affin, also X = Spec(A) für einen Dedekindring A. Sei U = Spec(A_{a}), a ∈ A \ {0}, eine standard-offene Teilmenge von X. Wir betrachten die kanonische Abbildung

Γ(X; V) ⊗_{A} A_{a} → Γ(U; V).  (5)

Da beide Seiten sich in den Vektorraum V_{η} einbetten, ist (5) injektiv. Um die Surjektivität zu zeigen, geben wir einen Schnitt v ∈ Γ(U; V) vor. Für jeden Punkt x ∈ |X| \ U gilt |a|_{x} < 1, also ∥a^{N}v∥_{x} ≤ 1 für hinreichend große N. Da die Menge |X| \ U endlich ist, folgt a^{N}v ∈ Γ(X; V) für N ≫ 0, also liegt v im Bild von (5), und diese Abbildung ist bijektiv. Mit Théorème 1.4.1 aus [EGA I] folgt die Quasikohärenz von ⌊V ⌋. Deshalb gehört ⌊V ⌋ zum A-Modul M := Γ(X; ⌊V ⌋). M ist als Untermodul von V_{η} generisch endlich und torsionsfrei, also nach Voraussetzung an A automatisch flach.

ii) Jeder Morphismus lokal seminormierter Räume f : V → W induziert in offensichtlicher Weise eine O_{X}-lineare Abbildung von ⌊V ⌋ nach ⌊W ⌋. Das macht ⌊ . ⌋ zu einem additiven Funktor. Unmittelbar aus den Definitionen folgt, dass jeder Modul F ∈ 𝔉𝔩/X in kanonischer Weise zu seinem Bild ⌊I(F)⌋ isomorph ist. Umgekehrt erhält man das Bild I(⌊V ⌋) eines lokal seminormierten Raumes V durch Runden seiner Seminormen: Die Definitionen liefern I(⌊V ⌋)_{η} = V_{η} und ∥v∥_{I(⌊V ⌋),x} = inf{|a|_{x} : a ∈ F, ∥v∥_{V,x} ≤ |a|_{x}}. Der Adjunktionsmorphismus I(⌊V ⌋) → V ist einfach die Identität auf V_{η}.

iii) Wegen des Lemmas 3.3 können wir ohne Einschränkung annehmen, dass E ein verallgemeinertes Geradenbündel ist. Wir wählen 0 ≠ e ∈ E_{η} und betrachten den zugehörigen verallgemeinerten Divisor D := ∑_{x∈|X|} ord_{x}(e) · (x) ∈ Div^{∗}(X) = ⨁_{x∈|X|} ℝ · (x). Dabei ist die Ordnung ord_{x}(e) von e in x durch die Gleichung

∥e∥_{E,x} = |π|_{x}^{ord_{x}(e)} für ein in x uniformisierendes Element π ∈ F definiert. Wir können jeden Schnitt von E durch e dividieren und erhalten dadurch einen Isomorphismus ⌊E⌋ ≅ O_{X}(⌊D⌋) auf die invertierbare Garbe O_{X}(⌊D⌋), die zum abgerundeten Divisor ⌊D⌋ := ∑_{x∈|X|}⌊ord_{x}(e)⌋ · (x) ∈ Div(X) gehört. □

4 Verallgemeinerte Garben

Wie im vorigen Abschnitt wird vorausgesetzt, dass ein Dedekindschema X gegeben ist. Es geht jetzt darum, Quotienten lokal seminormierter Räume einzuführen.

Definition 4.1 Eine verallgemeinerte Garbe S = S_{0}/S_{1} = [S_{1} ⟶^{∂} S_{0}] über X besteht aus zwei lokal seminormierten Räumen S_{0} und S_{1} über X sowie einem Monomorphismus ∂ = ∂_{S} : S_{1} → S_{0}. Der generische Halm S_{η} einer verallgemeinerten Garbe S ist der Quotientenvektorraum S_{0,η}/S_{1,η}.

Definition 4.2 i) Seien V und W lokal seminormierte Räume über X. Ein lokaler Morphismus f : V → W ist eine Familie (f_{x})_{x∈|X|} von jeweils kontrahierenden F_{x}-linearen Abbildungen f_{x} : V_{x} → W_{x}.

ii) Seien S = [S_{1} ⟶^{∂_{S}} S_{0}] und T = [T_{1} ⟶^{∂_{T}} T_{0}] verallgemeinerte Garben über X. Ein lokaler Morphismus f : S → T ist eine Homotopieklasse von Paaren (f_{0}, f_{1}) lokaler Morphismen f_{i} : S_{i} → T_{i}, i = 0, 1, mit der Eigenschaft f_{0}∂_{S} = ∂_{T} f_{1}. Dabei ist ein solches Paar (f_{0}, f_{1}) nullhomotop, falls ein lokaler Morphismus h : S_{0} → T_{1} existiert mit f_{0} = ∂_{T} h.

Bemerkungen 4.3 i) Lokal seminormierte Räume über X und lokale Morphismen bilden eine additive Kategorie A. Damit haben wir auch die in 1.3 definierte Kategorie K_{1}(A) der formalen Kokerne von A. Per Definition ist die Kategorie der verallgemeinerten Garben und lokalen Morphismen eine volle Teilkategorie von K_{1}(A).

ii) Warum wird 1.3 nur lokal benutzt? Wie in 1.4 angedeutet, verhalten sich formale Kokerne nur dann gut, wenn jede kurze exakte Sequenz zerfällt. Dies gilt laut 2.8 lokal, aber global ist es falsch.

Definition 4.4 i) Sei V ein lokal seminormierter Raum über X. Ein V -Adel ist eine Familie (v_{x})_{x∈|X|} von Vektoren v_{x} ∈ V_{x} mit der Eigenschaft, dass die Menge {x ∈ |X| : ∥v_{x}∥_{x} > 1} endlich ist. Das Bild eines Adels unter einem lokalen Morphismus lokal seminormierter Räume ist in offensichtlicher Weise definiert. Ein V -Adel der Form (v ⊗ 1)_{x∈|X|} mit v ∈ V_{η} heißt Hauptadel, und ein V -Adel (v_{x})_{x∈|X|} mit ∥v_{x}∥_{x} ≤ 1 für alle x ∈ |X| heißt ganz.

ii) Sei f : S → T ein lokaler Morphismus verallgemeinerter Garben, repräsentiert durch ein Paar (f_{0}, f_{1}) lokaler Morphismen f_{i} : S_{i} → T_{i}. f heißt rational, falls zu jedem Hauptadel s ∈ S_{0,η} ein Hauptadel t ∈ T_{0,η} existiert, für das das T_{0}- Adel f_{0}(s) − t sogar ein T_{1}-Adel ist.

iii) Ein Morphismus verallgemeinerter Garben f : S → T ist ein lokaler Morphismus, der rational ist. 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗} = 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X ist die additive Kategorie der verallgemeinerten Garben über X mit diesen Morphismen.

Bemerkung 4.5 Ob ein lokaler Morphismus verallgemeinerter Garben f : S → T rational ist, hängt nicht von der Wahl des Repräsentanten (f_{0}, f_{1}) von f ab, denn wenn zwei Paare (f_{0}, f_{1}) und (f′_{0}, f′_{1}) lokaler Morphismen f_{i}, f′_{i} : S_{i} → T_{i} homotop sind, gilt f_{0} −f′_{0} = ∂_{T} h für einen lokalen Morphismus h : S_{0} → T_{1}, und die T_{0}-Adele f_{0}(s) und f′_{0}(s) unterscheiden sich dann nur um das T_{1}-Adel h(s).

Lemma 4.6 Ein lokaler Morphismus verallgemeinerter Garben f : S → T induziert über jedem Punkt x ∈ |X| eine F_{x}-lineare Abbildung f̄_{x} : S_{η} ⊗_{F} F_{x} → T_{η} ⊗_{F} F_{x}. Ist f rational, so gibt es eine F -lineare Abbildung f_{η} : S_{η} → T_{η} mit den folgenden beiden Eigenschaften :

i) Für alle Punkte x ∈ |X| gilt f̄_{x} = f_{η} ⊗ id : S_{η} ⊗_{F} F_{x} → T_{η} ⊗_{F} F_{x}.

ii) Für alle s ∈ S_{0,η} und t ∈ T_{0,η}, deren Restklassen s̄ ∈ S_{η}, t̄ ∈ T_{η} der Gleichung f_{η}(s̄) = t̄ genügen, und jedes Paar (f_{0}, f_{1}) lokaler Morphismen, das f repräsentiert, ist f_{0}(s) − t ein T_{1}-Adel.

Beweis: Wir wählen ein Paar (f_{0}, f_{1}) lokaler Morphismen, das f repräsentiert. Dann haben wir zu jedem Punkt x ∈ |X| ein kommutatives Diagramm F_{x}-linearer Abbildungen mit exakten Zeilen

\xymatrix{0 \ar[r] & S_{1,x} \ar[r] \ar[d]^{f_{1,x}} & S_{0,x} \ar[r] \ar[d]^{f_{0,x}} & S_{η}⊗_{F} F_{x} \ar[r] \ar@{.>}[d]^{f̄_{x}} & 0 \\ 0 \ar[r] & T_{1,x} \ar[r] & T_{0,x} \ar[r] & T_{η}⊗_{F} F_{x} \ar[r] & 0.}

Es folgt, dass f_{0,x} eine F_{x}-lineare Abbildung f̄_{x} : S_{η} ⊗_{F} F_{x} → T_{η} ⊗_{F} F_{x} induziert. Ist (f_{0}, f_{1}) nullhomotop, so ist f̄_{x} = 0. Deshalb hängt f̄_{x} nicht von der Wahl des Repräsentanten (f_{0}, f_{1}) der Homotopieklasse f ab.

Um f_{η} zu konstruieren, betrachten wir ein beliebiges Element s ∈ S_{0,η}. Dazu existiert t ∈ T_{0,η}, für das f_{0}(s) − t ein T_{1}-Adel ist. Hat auch t′ ∈ T_{0,η} diese Eigenschaft, so folgt t − t′ ∈ T_{1,η}, die Restklasse t̄∈ T_{η} von t ist also eindeutig bestimmt. Ist s ∈ S_{1,η}, so ist schon f_{0}(s) = f_{1}(s) ein T_{1}-Adel, so dass sich dann t̄ = 0 ergibt. Auch wenn f_{0} = ∂_{T} h nullhomotop ist, wird schon f_{0}(s) = h(s) ein T_{1}-Adel, und t̄ verschwindet. Deshalb hängt t̄ nur von der Homotopieklasse f von (f_{0}, f_{1}) und der Restklasse s̄ ∈ S_{η} von s ab, und f_{η}(s̄) := t̄ definiert eine lineare Abbildung, die ii erfüllt. Nach Konstruktion der f̄_{x} folgt i aus ii. □

Warnung 4.7 Nicht jeder lokale Morphismus verallgemeinerter Garben f : S → T, zu dem es eine lineare Abbildung f_{η} : S_{η} → T_{η} mit der Eigenschaft 4.6.i gibt, ist rational.

Gegenbeispiel: Wir fassen die flachen O_{X}-Moduln O_{X} und F als lokal seminormierte Räume auf und setzen S := O_{X}/0 und T := F/O_{X}. Zu jedem Punkt x ∈ |X| wählen wir a_{x} ∈ F_{x} mit |a_{x}|_{x} > 1 und definieren f_{0,x} : F_{x} → F_{x} durch f_{0,x}(1) := a_{x}. Das Paar lokaler Morphismen (f_{0} : O_{X} → F, f_{1} : 0 → O_{X}) repräsentiert einen lokalen Morphismus f : S → T. Hat X unendlich viele Punkte, so ist für s = 1 ∈ O_{X,η} das F -Adel f_{0}(s) kein O_{X}-Adel, während alle F -Hauptadele t auch O_{X}-Adele sind. Also ist f dann nicht rational. Trotzdem gilt 4.6.i für f_{η} = 0.

Proposition 4.8 Zu je zwei Monomorphismen lokal seminormierter Räume ∂_{1} : S_{1} → S_{∼} und ∂_{0} : S_{∼} → S_{0} hat man eine kurze exakte Sequenz verallgemeinerter Garben 0 → S_{∼}/S_{1} → S_{0}/S_{1} → S_{0}/S_{∼} → 0.

Beweis: Die Paare (∂_{0}, id_{S_{1}}) und (id_{S_{0}}, ∂_{1}) repräsentieren zwei lokale Morphismen verallgemeinerter Garben i : S_{∼}/S_{1} → S_{0}/S_{1} und p : S_{0}/S_{1} → S_{0}/S_{∼}, die offenbar rational sind. Die Homotopie id : S_{∼} → S_{∼} zeigt pi = 0. Wir prüfen, ob p die universelle Eigenschaft des Kokerns von i besitzt. Sei also f : S_{0}/S_{1} → T_{0}/T_{1} ein Morphismus verallgemeinerter Garben mit fi = 0. Laut 1.6 gibt es genau einen lokalen Morphismus f̃: S_{0}/S_{∼} → T_{0}/T_{1} mit f = f̃p. Wir wählen lokale Morphismen f̃_{0} : S_{0} → T_{0} und f̃_{1} : S_{∼} → T_{1}, die f̃ repräsentieren. Dann kann f repräsentiert werden durch f_{0} := f̃_{0} : S_{0} → T_{0} und f_{1} := f̃_{1}∂_{1} : S_{1} → T_{1}. Für s ∈ S_{0,η} ist f̃_{0}(s) dasselbe T_{0}-Adel wie f_{0}(s), so dass mit f automatisch auch f̃ rational ist. Das beweist, dass p ein Kokern von i in 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X ist.

Es bleibt noch zu zeigen, dass i auch ein Kern von p ist. Sei dazu jetzt f : T_{0}/T_{1} → S_{0}/S_{1} ein Morphismus verallgemeinerter Garben mit pf = 0. Laut 1.6 gibt es genau einen lokalen Morphismus f̃ : T_{0}/T_{1} → S_{∼}/S_{1} mit f = if̃, für den wir wieder Repräsentanten f̃_{0} : T_{0} → S_{∼} und f̃_{1} : T_{1} → S_{1} wählen. Dann sind f_{0} := ∂_{0}f̃_{0} : T_{0} → S_{0} und f_{1} := f̃_{1} zusammen ein Repräsentant von f̃. Deshalb ist das Bild von f̄_{x} : T_{0,x}/T_{1,x} → S_{0,x}/S_{1,x} jeweils enthalten in S_{∼,x}/S_{1,x}. Mit 4.6.i folgt, dass das Bild von f_{η} : T_{0,η}/T_{1,η} → S_{0,η}/S_{1,η} in S_{∼,η}/S_{1,η} liegt. Das bedeutet laut 4.6.ii, dass zu jedem t ∈ T_{0,η} sogar ein s ∈ S_{∼,η} existiert, für das das S_{0}-Adel f_{0}(t) − s ein S_{1}-Adel (s_{x})_{x∈|X|} ist. Genaugenommen ist damit f_{0}(t)−∂_{0}(s) = ∂_{0}∂_{1}((s_{x})) gemeint, woraus mit der Injektivität von ∂_{0} die Gleichung f̃_{0} − s = ∂_{1}((s_{x})) folgt. Sie bedeutet gerade, dass f̃ rational ist. □

Proposition 4.9 Sei f : S → T ein Morphismus verallgemeinerter Garben, des-

sen Abbildungskegel 0 ⟶ S_{1} \underrightarrow{\binom{f_{1}}{−∂_{S}}} T_{1} ⊕ S_{0} ⟶^{(∂_{T} ,f_{0})} T_{0} ⟶ 0 als Sequenz lokaler Morphismen zwischen lokal seminormierten Räumen kurz exakt ist. Dann ist f ein Isomorphismus in 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}.

Beweis: Wegen 2.8 zerfällt der Kegel C(f) automatisch. Mit 1.9 findet man dann einen lokalen Morphismus g : T → S mit fg = id_{T} und gf = id_{S}. Laut 4.6 besitzt f̄_{x} : S_{η} ⊗_{F} F_{x} → T_{η} ⊗_{F} F_{x} dann das zweiseitige Inverse ḡ_{x}, ist also bijektiv. Mit 4.6.i folgt, dass auch f_{η} : S_{η} → T_{η} bijektiv ist. Nun wählen wir Repräsentanten (f_{0}, f_{1}) von f, (g_{0}, g_{1}) von g und geben t ∈ T_{0,η} vor. Da die Restklasse t̄ ∈ T_{η} von t im Bild von f_{η} liegt, gibt es laut 4.6.ii ein s ∈ S_{0,η} und ein T_{1}-Adel (t_{x})_{x∈|X|} mit f_{0}(s) = t + ∂_{T} ((t_{x})). Durch Anwenden von g_{0} erhalten wir daraus

g_{0}(t) = g_{0}f_{0}(s) − ∂_{S}g_{1}((t_{x})).

Wegen gf = id_{S} gilt g_{0}f_{0} = id_{S_{0}} + ∂_{S}h für einen lokalen Morphismus h : S_{0} → S_{1}. Damit ergibt sich

g_{0}(t) = s + ∂_{S}[h(s) − g_{1}((t_{x}))].

Als Bild von Adelen unter lokalen Morphismen ist h(s) − g_{1}((t_{x})) ein S_{1}-Adel, also ist g rational. □

Satz 4.10 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X ist eine abelsche Kategorie.

Beweis: Sei f : S → T ein Morphismus verallgemeinerter Garben, repräsentiert durch zwei lokale Morphismen f_{0} : S_{0} → T_{0} und f_{1} : S_{1} → T_{1}. Wir konstruieren zunächst zwei weitere lokal seminormierte Räume S_{f} und T_{f}.

• Es sei S_{f,η} der F -Vektorraum aller s ∈ S_{0,η}, deren Restklasse s̄ ∈ S_{η} im Kern von f_{η} : S_{η} → T_{η} liegt. Für jedes s ∈ S_{f,x} := S_{f,η} ⊗_{F} F_{x} liegt die Restklasse s̄ ∈ S_{0,x}/S_{1,x} laut 4.6.i im Kern von f̄_{x}, d. h. f_{0,x}(s) liegt in T_{1,x}. Wir setzen

∥s∥_{S_{f} ,x} := max (∥f_{0,x}(s)∥_{T_{1},x}, ∥s∥_{S_{0},x}).  (6)

Das ist bei festem s ∈ S_{f,η} nur für endlich viele x ∈ |X| gröser als 1, da f_{0}(s) laut 4.6.ii ein T_{1}-Adel ist.

• T_{f,η} sei der F -Vektorraum aller t ∈ T_{0,η}, deren Restklasse t̄ ∈ T_{η} im Bild von f_{η} : S_{η} → T_{η} liegt. Für jedes t ∈ T_{f,x} := T_{f,η} ⊗_{F} F_{x} liegt die Restklasse t̄∈ T_{0,x}/T_{1,x} laut 4.6.i im Bild von f̄_{x}, d. h. es gibt s ∈ S_{0,x} und t′ ∈ T_{1,x} mit t = f_{0,x}(s) + t′. Wir setzen

∥t∥_{T_{f} ,x} := inf { max (∥s∥_{S_{0},x}, ∥t′∥_{T_{1},x}) : t = f_{0,x}(s) + t′}.  (7)

Das ist bei festem t ∈ T_{f,η} nur für endlich viele x ∈ |X| gröser als 1, da t laut 4.6.ii bis auf ein T_{1}-Adel das Bild eines S_{0}-Hauptadels unter f_{0} ist.

Aus der Konstruktion von S_{f} und T_{f} folgt, dass sich f_{0} zu zwei lokalen Morphismen k : S_{0} → T_{f} und h : S_{f} → T_{1} einschränkt. Die Inklusionen S_{f,η} ↪ S_{0,η} und T_{1,η} ↪ T_{f,η} sind offenbar über allen x ∈ |X| kontrahierend, und die anderen beiden Inklusionen S_{1,η} ↪ S_{f,η} und T_{f,η} ↪ T_{0,η} sind es auch: Für s ∈ S_{1,x} gilt ∥s∥_{S_{1},x} ≥ max (∥f_{1}(s)∥_{T_{1},x}, ∥s∥_{S_{0},x}) = ∥s∥_{S_{f} ,x}. Ist t ∈ T_{f,x} die Summe aus t′ ∈ T_{1,x} und f_{0,x}(s) mit s ∈ S_{0,x}, so gilt ∥t∥_{T_{0},x} ≤ max (∥f_{0,x}(s)∥_{T_{0},x}, ∥t′∥_{T_{0},x}) ≤ max (∥s∥_{S_{0},x}, ∥t′∥_{T_{1},x}), und daraus folgt ∥t∥_{T_{0},x} ≤ ∥t∥_{T_{f} ,x}.

\xymatrix{S_{1} \ar[d]_{f_{1}} \ar@{^{(}->}[r] & S_{f} \ar[dl]_{h} \ar@{^{(}->}[r] & S_{0} \ar[dl]_{k} \ar[d]^{f_{0}} \\ T_{1} \ar@{^{(}->}[r] & T_{f} \ar@{^{(}->}[r] & T_{0}}

Mit 4.8 erhalten wir aus diesem Diagramm zwei kurze exakte Sequenzen verallgemeinerter Garben.

\xymatrix{0 \ar[r] & S_{f}/S_{1} \ar[r]^{i_{S}} & S \ar[r]^{p_{S}} \ar[d]^{f} & S_{0}/S_{f} \ar[r] \ar@{.>}[d]^{g} & 0 \\ 0 & T_{0}/T_{f} \ar[l] & T \ar[l]^{p_{T}} & T_{f}/T_{1} \ar[l]^{i_{T}} & 0 \ar[l]}  (8)

Vermöge der Homotopie h ist fi_{S} nullhomotop, und vermöge k ist p_{T} f nullhomotop. Deshalb induziert f einen Morphismus verallgemeinerter Garben g vom Kokern von i_{S} in den Kern von p_{T}. Wir zeigen gleich, dass g ein Isomorphismus ist. Dass jeder Morphismus f in der additiven Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X so faktorisiert werden kann, bedeutet gerade, dass 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X abelsch ist ([McL63], Chapter IX, Theorem 2.1), denn i_{S} ist dann ein Kern, p_{T} ein Kokern und g der kanonische Morphismus vom Kobild ins Bild von f.

Es bleibt noch zu zeigen, dass g ein Isomorphismus ist. Dem Beweis von 1.6 entnimmt man, dass g durch die lokalen Morphismen h und k repräsentiert wird, also lautet sein Abbildungskegel C(g)

0 ⟶ S_{f} \underrightarrow{\binom{h}{−id}} T_{1} ⊕ S_{0} ⟶^{(id,k)} T_{f} ⟶ 0.

Wir betrachten diesen Kegel lokal über einem Punkt x ∈ |X|. Die Wahl der Vektorräume S_{f,η} und T_{f,η} sowie 4.6 implizieren, dass f̄_{x} : S_{0,x}/S_{1,x} → T_{0,x}/T_{1,x} den Kern S_{f,x}/S_{1,x} und das Bild T_{f,x}/T_{1,x} hat. Das bedeutet, dass die induzierte F_{x}- lineare Abbildung ḡ_{x} : S_{0,x}/S_{f,x} → T_{f,x}/T_{1,x} bijektiv ist, und daraus folgt mit Linearer Algebra, dass der lokale Kegel

0 → S_{f,x} → T_{1,x} ⊕ S_{0,x} → T_{f,x} → 0

zumindest eine kurze Sequenz von F_{x}-Vektorräumen ist. Aber die Seminorm (6) auf S_{f,x} ist gerade die durch diese Sequenz induzierte Teilraum-Seminorm, und die Seminorm (7) auf T_{f,x} ist gerade die Quotienten-Seminorm. Also ist C(g) tatsächlich im seminormierten Sinn kurz exakt, und mit 4.9 folgt, dass g ein Isomorphismus ist. □

Folgerung 4.11 (aus dem Beweis) Jedes Unterobjekt S′ ↪^{i} S einer verallge-

meinerten Garbe S = [S_{1} ↪^{∂} S_{0}] kommt von einem Monomorphismus lokal semi-

normierter Räume S′_{0} ↪^{i_{0}} S_{0} her.

Beweis: Gegeben seien die beiden verallgemeinerten Garben S′ und S = [S_{1} ↪^{∂} S_{0}] sowie der Monomorphismus i : S′ ↪ S. Behauptet wird, dass es dann einen lokal

seminormierten Raum S′_{0} und Monomorphismen S_{1} ↪^{∂′} S′_{0} ↪^{i_{0}} S_{0} mit ∂ = i_{0}∂′ gibt, so dass der durch i_{0} gegebene Monomorphismus verallgemeinerter Garben ī_{0} : S′_{0}/S_{1} ↪ S dasselbe Unterobjekt von S ist wie i : S′ ↪ S, d. h. ī_{0} und i unterscheiden sich nur um einen Isomorphismus S′_{0}/S_{1} ≅ S′.

Da 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗} abelsch ist, ist (S′, i) ein Kern eines geeigneten Morphismus verallgemeinerter Garben f : S → T. Im Beweis von 4.10 wurden ein lokal seminormierter Raum S_{f} und Monomorphismen S_{1} ↪ S_{f} ↪ S_{0} konstruiert, für die S_{f}/S_{1} auch ein Kern von f ist. Also sind S′ und S_{f}/S_{1} dasselbe Unterobjekt von S, und S′_{0} := S_{f} leistet das Behauptete. □

5 Einbettung der kohärenten Garben

Definition 5.1 Ein quasikohärenter O_{X}-Modul F heißt fast kohärent, wenn es eine Garbe F_{0} aus 𝔉𝔩/X und einen Epimorphismus F_{0} ↠ F gibt.

Notiz 5.2 i) Jeder kohärente O_{X}-Modul ist fast kohärent.

ii) Die Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥/X der fast kohärenten O_{X}-Moduln ist abelsch.

Beweis: Da X regulär ist, ist jeder kohärente O_{X}-Modul sogar Quotient eines geeigneten Vektorbündels (für einen Beweis siehe z. B. [Fa92], Theorem 1.1). Das zeigt i. Da die Kategorie aller quasikohärenten O_{X}-Moduln abelsch ist, reicht es für ii zu zeigen, dass jede quasikohärente Untergarbe und jeder quasikohärente Quotient einer fast kohärenten Garbe wieder fast kohärent ist. Letzteres ist trivial. Sei also G eine quasikohärente Untergarbe einer fast kohärenten Garbe F. Ist F ein Quotient von F_{0}, so ist G ein Quotient der Untergarbe G_{0} := F_{0} ×_{F} G von F_{0}. Quasikohärenz und generische Endlichkeit vererben sich unmittelbar von F_{0} auf G_{0}, aber auch die Flachheit, denn über Dedekindringen ist jeder Untermodul eines flachen Moduls wieder flach. Also ist G fast kohärent. □

Proposition 5.3 Die unter 3.2 eingeführte Einbettung I : 𝔉𝔩/X → 𝔉𝔩^{∗}/X setzt sich fort zu einem exakten, volltreuen Funktor I : 𝔑𝔠𝔬𝔥/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X.

Beweis: Wir wählen zu jedem fast kohärenten O_{X}-Modul F eine Auflösung 0 → F_{1} → F_{0} → F → 0, in der F_{0} und F_{1} quasikohärent, generisch endlich und flach sind, und betrachten die verallgemeinerte Garbe I(F) := [I(F_{1}) ↪ I(F_{0})]. Das folgende Lemma liefert eine funktorielle Bijektion zwischen Hom_{𝔑𝔠𝔬𝔥}^{∗}(I(F), I(G)) und Hom_{𝔑𝔠𝔬𝔥}(F, G), wenn auch 0 → G_{1} → G_{0} → G → 0 eine generisch endliche, flache Auflösung einer fast kohärenten Garbe G ist. Insbesondere erhalten wir für G = F kanonische Isomorphismen zwischen den verallgemeinerten Garben [I(F_{1}) ↪ I(F_{0})] und [I(G_{1}) ↪ I(G_{0})], so dass I(F) nicht von der Wahl der Auflösung von F abhängt. Deshalb ist I ein wohldefinierter, volltreuer Funktor. Da jede kurze exakte Sequenz fast kohärenter O_{X}-Moduln von der Form 0 → F_{∼}/F_{1} → F_{0}/F_{1} → F_{0}/F_{∼} → 0 für drei generisch endliche, flache, quasikohärente O_{X}-Moduln F_{1} ↪ F_{∼} ↪ F_{0} ist, folgt die Exaktheit von I aus 4.8. □

Lemma 5.4 Seien F_{1} ↪ F_{0} und G_{1} ↪ G_{0} Monomorphismen generisch endlicher, flacher, quasikohärenter O_{X}-Moduln. Wir vergleichen die fast kohärenten Kokerne F := F_{0}/F_{1} und G := G_{0}/G_{1} mit den verallgemeinerten Garben S := [I(F_{1}) ↪ I(F_{0})] und T := [I(G_{1}) ↪ I(G_{0})].

i) Man hat einen Isomorphismus

[figure: Hom_{local}(S, T); Hom_{local}(F, G); f; | ⋃; (\overline{⌊f_{0,x}⌋} : F̂_{x} → Ĝ_{x})_{x∈|X|}; | ⋃]

von der abelschen Gruppe Hom_{local}(S, T) der lokalen Morphismen f : S → T auf Hom_{local}(F, G) := ∏_{x∈|X|} HomÔ_{X,x}(F̂_{x}, Ĝ_{x}). Dabei bezeichnet M̂_{x} jeweils

den vervollständigten Halm M ⊗_{O_{X}} Ô_{X,x} eines O_{X}-Moduls M über x.

ii) Ist der lokale Morphismus f : S → T rational, so kommt die entsprechende Familie (φ_{x} : F̂_{x} → Ĝ_{x})_{x∈|X|} von einer O_{X}-linearen Abbildung φ : F → G her, d. h. φ_{x} = φ ⊗ idÔ_{X,x} für alle x.

iii) Umgekehrt ist jeder lokale Morphismus f : S → T, dessen entsprechende Familie (φ_{x} : F̂_{x} → Ĝ_{x})_{x∈|X|} von einer O_{X}-linearen Abbildung φ : F → G herkommt, rational.

Beweis: i) Sei f_{0} : I(F_{0}) → I(G_{0}) ein lokaler Morphismus lokal seminormierter Räume. Dann induziert die kontrahierende F_{x}-lineare Abbildung f_{0,x} : I(F_{0})_{x} → I(G_{0})_{x} jeweils eine Ô_{X,x}-lineare Abbildung ⌊f_{0,x}⌋ : F̂_{0,x} → Ĝ_{0,x}, denn F̂_{0,x} = {v ∈ I(F_{0})_{x} : ∥v∥ ≤ 1} und entsprechend für G. Das definiert eine Bijektion zwischen Hom_{local}(I(F_{0}), I(G_{0})) und Hom_{local}(F_{0}, G_{0}). Besitzt f_{0} eine überall kontrahierende Einschränkung f_{1} : I(F_{1}) → I(G_{1}), so bildet ⌊f_{0,x}⌋ jeweils F̂_{1,x} nach Ĝ_{1,x} ab und induziert deshalb \overline{⌊f_{0,x}⌋} : F̂_{x} → Ĝ_{x}. Genau dann, wenn (f_{0}, f_{1}) nullhomotop ist, bildet ⌊f_{0,x}⌋ jeweils F̂_{0,x} nach Ĝ_{1,x} ab, und \overline{⌊f_{0,x}⌋} verschwindet. Das zeigt, dass die angegebene Abbildung wohldefiniert und injektiv ist. Aus 2.9 folgt, dass Hom_{local}(F_{0}, G_{0}) → Hom_{local}(F_{0}, G) surjektiv ist; deshalb kann jede Familie (φ_{x})_{x∈|X|} ∈ Hom_{local}(F, G) hochgehoben werden zu (φ_{0,x}) ∈ Hom_{local}(F_{0}, G_{0}) und kommt daher von einem lokalen Morphismus f_{0} : I(F_{0}) → I(G_{0}) her. Da φ_{0,x} jeweils F̂_{1,x} nach Ĝ_{1,x} abbildet, besitzt f_{0} eine Einschränkung f_{1} ∈ Hom_{local}(I(F_{1}), I(G_{1})). Die Homotopieklasse von (f_{0}, f_{1}) ist gerade ein Urbild der Familie (φ_{x}). Das zeigt die Surjektivität.

ii) Sei s ∈ F(U) ein Schnitt von F über einer offenen Menge U ⊆ X und ŝ_{x} ∈ F̂_{x}, x ∈ |U|, jeweils der Keim von s. Wir zeigen, dass die Bilder φ_{x}(ŝ_{x}) ∈ Ĝ_{x} jeweils Keim t̂_{x} eines Schnittes t ∈ G(U) sind; dann definiert φ_{U}(s) := t eine O_{X}-lineare Abbildung φ : F → G, von der die Familie (φ_{x})_{x∈|X|} herkommt. Jeder Punkt x ∈ |U| hat eine Umgebung U(x) ⊆ U, über der die Einschränkung s ∈ F(U(x)) zu einem Schnitt s_{0} ∈ F_{0}(U(x)) hochgehoben werden kann. s_{0} ist ein I(F_{0})-Hauptadel, also finden wir ein t_{0} ∈ I(G_{0})_{η}, für das das I(G_{0})-Adel f_{0}(s_{0}) − t_{0} sogar ein I(G_{1})-Adel (t_{1,y})_{y∈|X|} ist. Da I(G_{1})_{η} in I(G_{1})_{x} dicht liegt, existiert t_{1} ∈ I(G_{1})_{η} mit ∥t_{1,x} − t_{1}∥_{I(G_{1}),x} ≤ 1, und indem wir t_{0} um t_{1} abändern, erreichen wir ∥t_{1,x}∥_{I(G_{1}),x} ≤ 1. Dann ist das I(G_{1})-Adel (t_{1,y}) nach eventuellem Verkleinern von U(x) ganz über U(x). Da s_{0} in F_{0}(U(x)) liegt, ist es als I(F_{0})-Adel ebenfalls ganz über U(x). Beides zusammen impliziert, dass auch t_{0} ganz über U(x) ist, d. h. t_{0} liegt in G_{0}(U(x)) und hat ein Bild t_{U(x)} ∈ G(U(x)). Per Konstruktion sind dessen Keime t̂_{y} ∈ Ĝ_{y}, y ∈ |U(x)|, gerade die Bilder φ_{y}(ŝ_{y}) der Keime von s. Deshalb verkleben sich die Schnitte t_{U(x)}, x ∈ |U|, zum benötigten Schnitt t ∈ G(U).

iii) Sei s_{0} ∈ F_{0,η}, s ∈ F_{η} das Bild von s_{0} und t := φ_{η}(s) ∈ G_{η}. Wir zeigen, dass für jeden Lift t_{0} ∈ G_{0,η} von t das I(G_{0})-Adel f_{0}(s_{0}) − t_{0} sogar ein I(G_{1})- Adel ist. Dazu reicht es, dass jeder Punkt x ∈ |X| eine Umgebung U besitzt, über der f_{0}(s_{0}) − t_{0} ein I(G_{1})-Adel ist. Indem wir s_{0} und t_{0} mit einem geeigneten Skalar 0 ≠ a ∈ F multiplizieren, erreichen wir dabei ohne Einschränkung der Allgemeinheit ∥s_{0}∥_{I(F_{0}),x} ≤ 1. Dann ist s_{0} automatisch ganz über einer Umgebung U von x, d. h. wir können s_{0} ∈ F_{0,η} kanonisch ausdehnen zu s_{0} ∈ F_{0}(U). Dessen Bild s ∈ F(U) liefert eine Ausdehnung t := φ_{U}(s) ∈ G(U) von t ∈ G_{η}. Indem wir U verkleinern, können wir t hochheben zu t_{0} ∈ G_{0}(U). Nun haben wir Keime ŝ_{0,y} ∈ F̂_{0,y} und t̂_{0,y} ∈ Ĝ_{0,y}, y ∈ |U|, mit der Eigenschaft, dass φ_{y} = \overline{⌊f_{0,y}⌋} die Restklasse ŝ_{y} ∈ F̂_{y} von ŝ_{0,y} auf die Restklasse t̂_{y} ∈ Ĝ_{y} von t̂_{0,y} abbildet. Deshalb ist f_{0,y}(ŝ_{0,y}) − t̂_{0,y} jeweils ein Element von Ĝ_{1,y} = {v ∈ I(G_{1})_{y} : ∥v∥ ≤ 1}, d. h. f_{0}(s_{0}) − t_{0} ist über U sogar ein ganzes I(G_{1})-Adel. Wir haben jetzt die Behauptung für einen speziellen Lift t_{0} von t ∈ G_{η} gezeigt. Alle anderen Lifts unterscheiden sich von diesem nur um ein I(G_{1})-Hauptadel, haben also auch die behauptete Eigenschaft über U. □

6 Flach und lokal frei

Notiz 6.1 i) Die Zuordnung V ↦ V/0 definiert einen volltreuen, additiven Funktor 𝔉𝔩^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X.

ii) Ist 0 → U →^{i} V →^{p} W → 0 eine kurze exakte Sequenz in 𝔉𝔩^{∗}/X, so ist 0 → U/0 → V/0 → W/0 → 0 kurz exakt in 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X.

Beweis: i) Es handelt sich offenbar um einen treuen, additiven Funktor. Jeder lokale Morphismus verallgemeinerter Garben f : V/0 → W/0 wird durch einen eindeutig bestimmten lokalen Morphismem lokal seminormierter Räume f_{0} : V → W repräsentiert, und wenn f rational ist, so kommt f_{0} automatisch von einer F - linearen Abbildung V_{η} → W_{η} her. Deswegen ist der genannte Funktor auch voll.

ii) Laut 4.8 ist 0 → U/0 → V/0 → V/U → 0 eine kurze exakte Sequenz verallgemeinerter Garben. p repräsentiert einen Morphismus verallgemeinerter Garben von V/U nach W/0, dessen Abbildungskegel der Komplex lokal seminormierter Räume 0 → U →^{−i} V →^{p} W → 0 ist. Mit 4.9 folgt V/U ≅ W/0. □

Definition 6.2 Sei S eine verallgemeinerte Garbe über X.

i) S heißt flach, falls ein lokal seminormierter Raum V existiert mit S ≅ V/0. ii) S heißt lokal frei, falls ein verallgemeinertes Vektorbündel E existiert mit

S ≅ E/0.

Proposition 6.3 Sei S′ ↪ S ein Monomorphismus verallgemeinerter Garben.

i) Ist S flach, so ist auch S′ flach.

ii) Ist S lokal frei, so ist auch S′ lokal frei.

Beweis: i ist ein Sezialfall von 4.11. Wegen i und 6.1.i ist für ii nur noch zu zeigen, dass bei jedem Monomorphismus lokal seminormierter Räume V ↪ E, bei dem E ein verallgemeinertes Vektorbündel ist, auch V ein verallgemeinertes Vektorbündel ist. Zunächst einmal sind die Seminormen ∥ . ∥_{V,x} dann Normen, denn für 0 ≠ v ∈ V_{x} gilt ∥v∥_{V,x} ≥ ∥v∥_{E,x} > 0. Sei nun {v_{1}, …, v_{n}} eine F -Basis von V_{η}. Wir ergänzen sie zu einer Basis von E_{η} und betrachten einen Punkt x ∈ |X|, über dem diese Basis von E_{η} orthonormal ist und ∥v_{i}∥_{V,x} ≤ 1 für i = 1, …, n gilt. Dort haben wir für beliebige Skalare a_{1}, …, a_{n} ∈ F_{x}

∥a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}∥_{V,x} ≥ ∥a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}∥_{E,x} = max (|a_{1}|_{x}, …, |a_{n}|_{x}) ≥ max (∥a_{1}v_{1}∥_{V,x}, …, ∥a_{n}v_{n}∥_{V,x}) ≥ ∥a_{1}v_{1} + ⋯ + a_{n}v_{n}∥_{V,x},

also überall Gleichheit. Das zeigt, dass {v_{1}, …, v_{n}} über fast allen x ∈ |X| orthonormal ist. □

Proposition 6.4 Sei 0 → S′ → S → S′′ → 0 eine kurze exakte Sequenz verallgemeinerter Garben.

i) Sind S′ und S′′ flach, so ist auch S flach.

ii) Sind S′ und S′′ lokal frei, so ist auch S lokal frei.

Beweis: i) Sei S = [S_{1} ↪^{∂} S_{0}], und seien S′ = S′/0 und S′′ = S′′/0 schon lokal seminormierte Räume. Aus 4.11 folgt, dass unsere exakte Sequenz von der unter 4.8 angegebenen Form ist, d. h. es gibt Monomorphismen lokal seminormierter Räume

S_{1} ↪^{∂_{1}} S_{∼} ↪^{∂_{0}} S_{0} mit S′ ≅ S_{∼}/S_{1} und S′′ ≅ S_{0}/S_{∼}. Mit 4.8 folgt daraus, dass

0 → S_{1}/0 → S_{∼}/0 → S′/0 → 0 eine kurze exakte Sequenz verallgemeinerter Garben ist, und weil 𝔉𝔩^{∗} eine volle Teilkategorie von 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗} ist, bedeutet das, dass 0 → S_{1} → S_{∼} → S′ → 0 eine kurze exakte Sequenz lokal seminormierter Räume ist. Deshalb gilt für s ∈ S_{1,x} stets ∥s∥_{S_{1},x} = ∥∂_{1}(s)∥_{S_{∼},x}. Ebenso ist 0 → S_{∼} → S_{0} → S′′ → 0 eine kurze exakte Sequenz lokal seminormierter Räume, und deshalb gilt für s ∈ S_{∼,x} stets ∥s∥_{S_{∼},x} = ∥∂_{0}(s)∥_{S_{0},x}. Damit wissen wir, dass S_{1,x} jeweils die Teilraum-Seminorm bezüglich ∂ = ∂_{0}∂_{1} : S_{1,x} ↪ S_{0,x} trägt. Wir setzen V_{η} := S_{0,η}/S_{1,η} und versehen V_{x} := V_{η} ⊗_{F} F_{x} jeweils mit der Quotienten-Seminorm. Dann ist 0 → S_{1} → S_{0} → V → 0 eine kurze exakte Sequenz lokal seminormierter Räume und damit auch verallgemeinerter Garben. Laut 4.8 ist 0 → S_{1}/0 → S_{0}/0 → S → 0 ebenfalls exakt, so dass S ≅ V/0 folgt, d. h. S ist flach.

ii) Zu zeigen ist noch, dass in jeder kurzen exakten Sequenz lokal seminormierter Räume 0 → E′ → V →^{p} E′′ → 0, in der E′ und E′′ verallgemeinerte Vektorbündel sind, auch V ein verallgemeinertes Vektorbündel ist. Zunächst ist für jeden Punkt x ∈ |X| die Seminorm auf V_{x} eine Norm, denn für v ∈ V_{x} mit ∥v∥_{V,x} = 0 gilt automatisch auch ∥p(v)∥_{E′′,x} = 0, also p(v) = 0 und damit v ∈ E′_{x}. Weil E′_{x} die Teilraum-Seminorm trägt, verschwindet dann auch ∥v∥_{E′,x} und damit v. Es bleibt noch zu zeigen, dass jeder Vektorraumisomorphismus F^{n} ≅ V_{η} über fast allen x ∈ |X| isometrisch ist. Dazu ergänzen wir eine F -Basis von E′_{η} zu einer F -Basis von V_{η} und erhalten einen Isomorphismus von kurzen exakten Sequenzen F -linearer Abbildungen

\xymatrix{0 \ar[r] & F^{n′} \ar[d]^{f′} \ar[r] & F^{n} \ar[d]^{f} \ar[r] & F^{n′′} \ar[d]^{f′′} \ar[r] & 0 \\ 0 \ar[r] & E′_{η} \ar[r] & V_{η} \ar[r] & E′′_{η} \ar[r] & 0.}

Über fast allen x ∈ |X| sind f′ und f′′ isometrisch sowie f kontrahierend. Mit dem Fünferlemma 2.5 folgt, dass f über fast allen x ∈ |X| isometrisch ist. Das gilt dann auch für alle anderen Vektorraumisomorphismen F^{n} ≅ V_{η}, denn die unterscheiden sich von f nur um ein Element aus Gl(n, F), und das liegt automatisch in fast allen lokalen Isometriegruppen Gl(n, Ô_{X,x}). □

7 Wie Kohomologie definieren?

Definition 7.1 Eine verallgemeinerte Garbe über X heißt teilbar, falls sie isomorph ist zu einer verallgemeinerten Garbe T = [T_{1} ↪ T_{0}] mit der Eigenschaft ∥t∥_{T_{0,x}} = 0 für alle x ∈ |X| und alle t ∈ T_{0,x}.

Proposition 7.2 Jede teilbare verallgemeinerte Garbe T über X ist ein injektives Objekt in 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X.

Beweis: Gegeben seien ein Monomorphismus verallgemeinerter Garben i : S′ ↪ S und ein Morphismus f′ : S′ → T. Es ist das folgende Fortsetzungsproblem zu lösen:

\xymatrix{S′ \ar@{^{(}->}[r]^{i} \ar[d]_{f′} & S \ar@{.>}[dl]^{f} \\ T}

Dabei können wir ohne Einschränkung annehmen, dass T = [T_{1} ↪^{∂_{T}} T_{0}] die Eigenschaft ∥t∥_{T_{0,x}} = 0 für alle x und alle t besitzt. Dank 4.11 können wir außerdem annehmen, dass i von der Form ī_{0} : S′_{0}/S_{1} ↪ S_{0}/S_{1} für einen Monomorphismus lokal seminormierter Räume i_{0} : S′_{0} ↪ S_{0} ist. Wir wählen nun ein Paar lokaler Morphismen (f′_{0}, f′_{1}), das f′ repräsentiert, und eine F -lineare Abbildung p : S_{0,η} → S′_{0,η}

mit pi_{0,η} = id. Die zusammengesetzte Abbildung f_{0,x} : S_{0,x} ⟶^{p⊗id} S′_{0,x} ⟶^{f′_{0,x}} T_{0,x} ist nach Wahl von T_{0} für alle x ∈ |X| kontrahierend, so dass wir einen lokalen Morphismus f_{0} : S_{0} → T_{0} erhalten. Per Konstruktion kommutiert das Diagramm

\xymatrix{S_{1} \ar@{^{(}->}[r]^{∂′} \ar[d]^{f′_{1}} & S′_{0} \ar@{^{(}->}[r]^{i_{0}} \ar[d]^{f′_{0}} & S_{0} \ar[dl]^{f_{0}} \\ T_{1} \ar@{^{(}->}[r]_{∂_{T}} & T_{0} & ,}

so dass das Paar (f_{0}, f′_{1}) einen lokalen Morphismus f : S → T repräsentiert mit f′ = fi. Für jedes s ∈ S_{0,η} ist f_{0}(s) das Bild des Hauptadels p(s) ∈ S′_{0,η} unter f′_{0}. Da f′ rational ist, ist deshalb auch f rational. □

Notiz 7.3 Jede verallgemeinerte Garbe S besitzt eine teilbare Auflösung 0 → S → T^{0} → T^{1} → 0 der Länge Eins. Insbesondere hat 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X genügend viele injektive Objekte.

Beweis: Sei S = [S_{1} ↪ S_{0}], und sei V der durch V_{η} := S_{0,η} und ∥v∥_{V,x} := 0 für alle x ∈ |X| und v ∈ V_{x} gegebene lokal seminormierte Raum. Dann sind T^{0} := V/S_{1} und T^{1} := V/S_{0} teilbare verallgemeinerte Garben, und laut 4.8 gibt es eine kurze exakte Sequenz 0 → S → T^{0} → T^{1} → 0. □

Man kann nun den globalen Schnittfunktor Γ(X; .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥/X → 𝔄𝔟 nach 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X fortsetzen durch Γ(X; S) := Hom_{𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X}(O_{X}, S) und dann die Kohomologiefunktoren H^{i}(X; .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔄𝔟 als Rechtsableitungen von Γ(X; .) definieren. Wie wir gleich sehen werden, erhält man so allerdings nichts Neues.

Definition 7.4 Sei S eine verallgemeinerte Garbe über X. Dann ist die Garbe von O_{X}-Moduln ⌊S⌋ definiert durch

Γ(U; ⌊S⌋) := Hom_{𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/U}(O_{U}, S|_{U}) für U ⊆ X offen.

Proposition 7.5 Ist 0 → S′ → S →^{p} S′′ → 0 eine kurze exakte Sequenz verallgemeinerter Garben, so ist die Sequenz von O_{X}-Moduln 0 → ⌊S′⌋ → ⌊S⌋ → ⌊S′′⌋ → 0 ebenfalls exakt.

Beweis: Unmittelbar aus den Definitionen folgt, dass 0 → ⌊S′⌋ → ⌊S⌋ → ⌊S′′⌋ exakt ist. Laut 4.11 ist die gegebene exakte Sequenz bis auf Isomorphie von der unter 4.8 angegebenen Form, d. h. es gibt zwei Monomorphismen lokal seminormierter Räume S_{1} ↪ S_{∼} ↪ S_{0} mit S′ ≅ S_{∼}/S_{1} und S′′ ≅ S_{0}/S_{∼}. Wir identifizieren jeden lokalen Morphismus f von O_{X} in einen dieser drei lokal seminormierten Räume jeweils mit dem ganzen Adel (f_{x}(1))_{x∈|X|}. Auf diese Weise können wir jeden lokalen Morphismus verallgemeinerter Garben f′′ : O_{X} → S′′ durch ein ganzes S_{0}-Adel (s_{0,x})_{x∈|X} repräsentieren. Wenn f′′ rational ist, bedeutet das gerade, dass (s_{0,x}) die Summe aus einem Hauptadel s_{0} ∈ S_{0,η} und einem S_{∼}-Adel (s_{∼,x}) ist. Sei nun x ∈ |X| fest. Indem wir s_{∼} ∈ S_{∼,η} wählen mit ∥s_{∼} − s_{∼,x}∥_{S_{∼},x} ≤ 1 und s_{0} um s_{∼} abändern, erreichen wir ohne Einschränkung der Allgemeinheit ∥s_{∼,x}∥_{S_{∼},x} ≤ 1. Daraus folgt dann auch ∥s_{0}∥_{S_{0},x} ≤ 1. Also sind das S_{∼}-Adel (s_{∼,x}) und das Hauptadel s_{0} ∈ S_{0,η} über einer Umgebung U ⊆ X von x ganz. s_{0} definiert einen Morphismus verallgemeinerter Garben f : O_{U} → S|_{U}. Die Komposition pf : O_{U} → S′′|_{U} ist homotop zur Einschränkung f′′|_{U} vermöge der Homotopie h : O_{U} → S_{∼}|_{U}, die durch das ganze Adel (s_{∼,x})_{x∈|U|} gegeben ist. Damit ist gezeigt, dass f′′ ∈ Γ(X; ⌊S′′⌋) nahe x hochgehoben werden kann zu f ∈ Γ(U; ⌊S⌋). Entsprechendes gilt, wenn wir X überall durch eine offene Teilmenge von X ersetzen. Deshalb ist ⌊S⌋ → ⌊S′′⌋ eine Surjektion von Garben. □

Folgerung 7.6 Für jede verallgemeinerte Garbe S über X ist der O_{X}-Modul ⌊S⌋ fast kohärent. Der Funktor ⌊ . ⌋ : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥/X ist linksinvers und rechtsadjungiert zur Einbettung I : 𝔑𝔠𝔬𝔥/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X.

Beweis: Es gibt eine exakte Sequenz 0 → S_{1} → S_{0} → S → 0, in der S_{0} und S_{1} flach sind. Mit 7.5 folgen alle Behauptungen über S aus den entsprechenden Aussagen über S_{0} und S_{1}. Für flache verallgemeinerte Garben V/0 stimmt ⌊V/0⌋ mit der schon unter 3.5 definierten Garbe ⌊V ⌋ überein, und diese hat laut 3.6 die gewünschten Eigenschaften. □

Proposition 7.7 H^{i}(X; S) = H^{i}(X; ⌊S⌋) für alle verallgemeinerten Garben S über X und alle i ≥ 0

Beweis: Wir nehmen zunächst an, S ≅ [T_{1} ↪ T_{0}] sei teilbar, also ∥t∥_{T_{0},x} = 0 für alle x ∈ |X| und t ∈ T_{0,x}. Dann ist ⌊T_{0}⌋ die konstante Garbe mit Halm T_{0,η}, insbesondere welk. Deshalb verschwindet H^{i}(X; ⌊T_{0}⌋) für i > 0 ([Ha77], Proposition III.2.5). Da X eindimensional ist, liefert ein Verschwindungssatz von Grothendieck ([Ha77], Theorem III.2.7) H^{i+1}(X; ⌊T_{1}⌋) = 0 für i > 0. Mit der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Sequenz 0 → ⌊T_{1}⌋ → ⌊T_{0}⌋ → ⌊S⌋ → 0 folgt daraus H^{i}(X; ⌊S⌋) = 0 für i > 0. Auch H^{i}(X; S) verschwindet für i > 0, da S injektiv ist. Γ(X; S) = Γ(X; ⌊S⌋) ist ohnehin für alle S klar. Damit ist die Behauptung gezeigt, wenn S teilbar ist.

Laut 7.3 besitzt jedes S eine teilbare Auflösung 0 → S → S^{0} →^{p} S^{1} → 0. Wir vergleichen die zugehörige lange exakte Kohomologiesequenz mit der zur kurzen exakten Sequenz 0 → ⌊S⌋ → ⌊S^{0}⌋ → ⌊S^{1}⌋ → 0 von Garben über X. Bei H^{0} stimmen beide überein, und für i > 0 verschwindet sowohl H^{i}(X; S^{j}) als auch H^{i}(X; ⌊S^{j}⌋), j = 0, 1, wie gerade gesehen. Daraus folgt H^{i}(X; S) = H^{i}(X; ⌊S⌋) = 0 für i > 1 und H^{1}(X; S) = Γ(X; S^{1})/p_{∗}Γ(X; S^{0}) = H^{1}(X; ⌊S⌋). □

Bemerkungen 7.8 i) Dieser Beweis und auch der analoge Beweis von 8.8 können als simple Spezialfälle der Grothendieck-Spektralfolge ([Gr57], Théorème 2.4.1) angesehen werden. Die beiden beteiligten Funktoren sind hier ⌊ . ⌋ : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥/X und Γ(X; .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥/X → 𝔄𝔟.

ii) Aus der Proposition folgt, dass die durch χ(E) := ∑_{i} dim(H^{i}(X; E)) definierte Euler-Charakteristik eines verallgemeinerten Vektorbündels E über einer Kurve X in Riemann-Rochscher Weise nicht vom Grad von E, sondern vom Grad von ⌊E⌋ abhängt.

Diese Kohomologietheorie bietet also gegenüber herkömmlicher Garbenkohomologie nichts Neues. Eine interessantere Kohomologietheorie für verallgemeinerte Garben sollte vielleicht von einem globalen Schnittfunktor Γ^{∗}(X; .) ausgehen, dessen Wert von S und nicht nur von ⌊S⌋ abhängt, aber durch einen abrundenden Funktor wieder Γ(X; S) liefert.

\xymatrix{𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X \ar@{.>}[r]^{Γ^{∗}(X; . )} \ar[d]_{⌊ . ⌋} & ? \ar@{.>}[d]^{⌊ . ⌋} \\ 𝔑𝔠𝔬𝔥/X \ar[r]^{Γ(X; . )} & 𝔄𝔟}

Auf der Kategorie 𝔉𝔩^{∗}/X der lokal seminormierten Räume über X kann man einen solchen Funktor Γ^{∗}(X; .) definieren durch

Γ^{∗}(V) := (V_{η}, ∥ . ∥_{X}) mit ∥v∥_{X} := sup{∥v∥_{x} : x ∈ |X|} für v ∈ V_{η}.

Das Paar (V_{η}, ∥ . ∥_{X}) ist dabei ein seminormierter Vektorraum über dem durch |a|_{X} := sup{|a|_{x} : x ∈ |X|} normierten Körper F, wenn diese Begriffe im Sinne von [BGR84], Definitionen 1.2.1.1 und 2.1.1.1 benutzt werden. Ist X eine Kurve über einem Körper k, so kann (V_{η}, ∥ . ∥_{X}) auch als unendlichdimensionaler seminormierter Vektorraum über dem trivial bewerteten Körper k angesehen werden. In beiden Fällen hat man einen abrundenden Funktor, der einem seminormierten Vektorraum (V, ∥ . ∥_{X}) die abelsche Gruppe {v ∈ V : ∥v∥_{X} ≤ 1} zuordnet. Die beiden Kategorien der seminormierten Vektorräume über (F, | . |_{X}) und über k sind zwar nicht abelsch, aber immerhin quasi-abelsch im Sinne von J.-P. Schneiders. Mir scheint, dass man mit den Methoden aus [Sch99] Γ^{∗}(X; .) ableiten und eine interessantere Kohomologietheorie zumindest für flache verallgemeinerte Garben definieren kann. Im Anhang A wird eine weitere Verbindung zu Schneiders’ Arbeit erläutert.

8 Extensionen verallgemeinerter Vektorbündel

Definition 8.1 Sei S eine verallgemeinerte Garbe über X. Dann ist der Funktor Ext(S, .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔄𝔟 definiert als erste Rechtsableitung des linksexakten Funktors Hom_{𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X}(S, .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔄𝔟.

Bemerkung 8.2 Laut [Mi65], VII, §7 klassifiziert Ext(S′′, S′) Extensionen verallgemeinerter Garben 0 → S′ → S → S′′ → 0 von S′′ durch S′. Mit 6.4.ii und 6.1 folgt insbesondere, dass Ext(E′′, E′) kurze exakte Sequenzen verallgemeinerter Vektorbündel 0 → E′′ → E → E′ → 0 klassifiziert. Das Ziel dieses Abschnittes ist es, solche Ext-Gruppen zu berechnen. Dazu werden die folgenden internen Hom-Funktoren benutzt.

Definition 8.3 Seien E ein verallgemeinertes Vektorbündel und S = [S_{1} ↪^{∂} S_{0}] eine verallgemeinerte Garbe über X. Die verallgemeinerte Garbe Hom^{∗}(E, S) ist

Hom^{∗}(E, S) := [Hom^{∗}(E, S_{1}) ↪^{∂_{∗}} Hom^{∗}(E, S_{0})].

Proposition 8.4 Hom^{∗}(E, .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X ist für jedes verallgemeinerte Vektorbündel E über X ein exakter Funktor.

Beweis: Jeder lokale Morphismus verallgemeinerter Garben f : S → T induziert offenbar einen lokalen Morphismus f_{∗} : Hom^{∗}(E, S) → Hom^{∗}(E, T). Wir zeigen, dass f_{∗} rational ist, wenn f rational ist. Das kann auf einer offenen Überdeckung von X überprüft werden und ist trivial, wenn E ein verallgemeinertes Geradenbündel ist. Deshalb gilt es laut 3.3 für alle E, d. h. Hom^{∗}(E, .) ist ein Funktor. Wegen 4.11 ist jede kurze exakte Sequenz in 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X bis auf Isomorphie von der Form

0 → S_{∼}/S_{1} → S_{0}/S_{1} → S_{0}/S_{∼} → 0

für zwei Monomorphismen lokal seminormierter Räume S_{1} ↪ S_{∼} ↪ S_{0}. Dank 4.8 ist auch die Sequenz

0 → Hom^{∗}(E, S_{∼}/S_{1}) → Hom^{∗}(E, S_{0}/S_{1}) → Hom^{∗}(E, S_{0}/S_{∼}) → 0

exakt. □

Definition 8.5 Seien S und T verallgemeinerte Garben über X. Die Garbe von O_{X}-Moduln Hom(S, T) ist gegeben durch

Γ(U; Hom(S, T)) := Hom_{𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/U}(S|_{U}, T |_{U}) für ∅ ≠ U ⊆ X offen.

Notiz 8.6 Für jedes verallgemeinerte Vektorbündel E und jede verallgemeinerte Garbe S über X gilt

Hom(E, S) = ⌊Hom^{∗}(E, S)⌋.

Beweis: Sei U ⊆ X offen, und sei f : E|_{U} → S|_{U} ein Schnitt von Hom(E, S) über U. Wir wählen einen lokalen Morphismus f_{0} : E|_{U} → S_{0}|_{U}, der f repräsentiert, fassen f_{0} als ganzes Adel des lokal seminormierten Raumes Hom^{∗}(E, S)|_{U} auf und definieren den lokalen Morphismus f_{0,∗} : O_{U} → Hom^{∗}(E, S_{0})|_{U} durch f_{0,∗}(1) := f_{0}. f_{0,∗} repräsentiert einen lokalen Morphismus verallgemeinerter Garben f_{∗} : O_{U} → Hom^{∗}(E, S)|_{U}. Gilt f_{0} = ∂_{S}h für eine Homotopie h : E|_{U} → S_{1}|_{U}, so ist f_{0} sogar ein ganzes Hom^{∗}(E, S_{1})|_{U}-Adel, und f_{∗} verschwindet. Deshalb hängt f_{∗} nicht von der Wahl von f_{0} ab. Wir zeigen, dass mit f : E|_{U} → S|_{U} auch f_{∗} : O_{U} → Hom^{∗}(E, S)|_{U} rational ist. Das ist leicht zu sehen, wenn E ein verallgemeinertes Geradenbündel ist, und folgt deshalb für alle E aus 3.3. Also definiert f ↦ f_{∗} eine O_{X}-lineare Abbildung von Hom(E, S) nach ⌊Hom^{∗}(E, S)⌋.

Ist f_{0,∗} : O_{U} → Hom^{∗}(E, S_{0})|_{U} nullhomotop vermöge einer Homotopie k : O_{U} → Hom^{∗}(E, S_{1})|_{U}, so hat die Familie (h_{x})_{x∈|U|} := k(1) linearer Abildungen h_{x} : E_{x} → S_{1,x} die Eigenschaft ∥h_{x}∥_{Hom^{∗}(E,S_{1})} ≤ 1 für alle x ∈ |U|, also jeweils ∥e∥_{E,x} ≤ (1 + ε) · ∥h_{x}(e)∥_{S_{1},x} für alle e ∈ E_{η} und ε > 0. Daraus folgt, dass h_{x} kontrahierend ist. f_{0} ist dann vermöge der Homotopie h nullhomotop, also f = 0. Das zeigt die Injektivität unserer Abbildung.

Für die Surjektivität bemerken wir, dass jeder lokale Morphismus lokal seminormierter Räume O_{U} → Hom^{∗}(E, S_{0})|_{U} von einem lokalen Morphismus f_{0} : E|_{U} → S_{0}|_{U} herkommt. (Der offensichliche Kandidat für f_{0} ist aus demselben Grund kontrahierend wie eben h.) Es bleibt zu zeigen, dass die Homotopieklasse f : E|_{U} → S|_{U} von f_{0} rational ist, wenn die Homotopieklasse f_{∗} : O_{U} → Hom^{∗}(E, S)|_{U} des gegebenen lokalen Morphismus f_{0,∗} rational war. Das ist wieder leicht, wenn E ein verallgemeinertes Geradenbündel ist, und folgt deshalb aus 3.3. □

Folgerung 8.7 Sei E ein verallgemeinertes Vektorbündel über X.

i) Für jede verallgemeinerte Garbe S über X ist der O_{X}-Modul Hom(E, S) fast kohärent. Ist S lokal frei, so auch Hom(E, S).

ii) Der Funktor Hom(E, .) : 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X → 𝔑𝔠𝔬𝔥/X ist exakt. Insbesondere ist E ein projektives Objekt in 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X, wenn X affin ist.

Satz 8.8 Ist E ein verallgemeinertes Vektorbündel und S eine verallgemeinerte Garbe über X, so gilt

Ext(E, S) = H^{1}(X; Hom(E, S)).

Beweis: Wir wählen wieder eine teilbare Auflösung

0 → S → S^{0} →^{p} S^{1} → 0  (9)

der Länge Eins. Der Funktor Hom(E, .) produziert daraus eine kurze exakte Sequenz von Garben, aus deren langer exakter Kohomologiesequenz wir den Ausschnitt

Hom(E, S^{0}) →^{p_{∗}} Hom(E, S^{1}) → H^{1}(X; Hom(E, S)) → H^{1}(X; Hom(E, S^{0}))

betrachten. Unmittelbar aus den Definitionen folgt, dass mit S^{0} auch Hom^{∗}(E; S^{0}) teilbar ist; deshalb verschwindet die höhere Kohomologie von ⌊Hom^{∗}(E; S^{0})⌋ = Hom(E; S^{0}), wie unter 7.7 gezeigt. Damit haben wir

H^{1}(X; Hom(E, S)) ≅ Hom(E, S^{1})/p_{∗}Hom(E, S^{0}).

Letzteres ist aber auch der mit der injektiven Auflösung (9) berechnete Wert von Ext(E, S). □

Bemerkung 8.9 Ein anderer Beweis dafür, dass H^{1}(X; Hom(E′′, E′)) Extensionen verallgemeinerter Vektorbündel 0 → E′ → E → E′′ → 0 klassifiziert, verwendet Čech-Koketten:

Sei 𝔘 = {U_{i} : i ∈ I} eine feste affine Überdeckung von X. Wir geben eine Extension E von E′′ durch E′ vor. Über U_{i} ist diese Extension jeweils trivial, so dass wir einen Schnitt s_{i} : E′′|_{U_{i}} → E|_{U_{i}} wählen können. Damit haben wir zu jedem i, j ∈ I einen Morphismus φ_{ij} := s_{i} − s_{j} : E′′|_{U_{i}∩U_{j}} → E′|_{U_{i}∩U_{j}}, also eine Čech-Kokette φ ∈ C^{1}(X, 𝔘; Hom(E′′, E′)). Man prüft leicht, dass φ der Kozykelrelation dφ = 0 genügt und die Kohomologieklasse [φ] ∈ Ȟ^{1}(X, 𝔘; Hom(E′′, E′)) nicht von der Wahl der Schnitte s_{i} abhängt. Damit ist eine Abbildung

Ext(E′′, E′) → Ȟ^{1}(X, 𝔘; Hom(E′′, E′))  (10)

definiert. Ist ein 1-Kozyklus φ gegeben, so können die verallgemeinerten Vektorbündel E′|_{U_{i}} ⊕ E′′|_{U_{i}}, i ∈ I, durch die Isomorphismen ({1 \atop 0} {φ_{ij} \atop 1} ) ∈ Aut(E′|_{U_{i}∩U_{j}} ⊕ E′′|_{U_{i}∩U_{j}}) verklebt werden und liefern eine Extension E von E′′ durch E′, die von (10) auf die Kohomologieklasse von φ abgebildet wird. Also ist (10) surjektiv. Gehören zu zwei Extensionen E^{1}, E^{2} zwei Kozykel φ^{1}, φ^{2}, die sich nur um einen Korand dψ, ψ ∈ C^{0}(X, 𝔘; Hom(E′′, E′)), unterscheiden, so setzen sich die Abbil-

dungen E^{1}|_{U_{i}} ≅ E′|_{U_{i}} ⊕ E′′|_{U_{i}} \underrightarrow{({1 \atop 0} {ψ_{i} \atop 1} )} E′|_{U_{i}} ⊕ E′′|_{U_{i}} ≅ E^{2}|_{U_{i}} zusammen zu einem Isomorphismus von E^{1} auf E^{2}. Mithin ist (10) auch injektiv.

Beispiel 8.10 Es sei X = ℙ_{k}^{1} die projektive Gerade über dem Grundkörper k. Wir finden drei verschiedene k-rationale Punkte 0, 1, ∞ ∈ |X|. Sei E′ = O_{X}(D) das verallgemeinerte Geradenbündel zu D = \frac{3}{4} ·(∞)− \frac{1}{4} ·(0)− \frac{1}{4} ·(1) ∈ Div^{∗}(X) und E′′ = O_{X} das triviale Geradenbündel. Dann ist Hom(E′′, E′) die invertierbare Garbe O_{X}(⌊D⌋) zum abgerundeten Divisor ⌊D⌋ = −(0) − (1) ∈ Div(X). H^{1}(X; O_{X}(⌊D⌋)) ist Serre-dual zu H^{0}(X; O_{X}(K − ⌊D⌋)) für einen kanonischen Divisor K auf X. K und ⌊D⌋ haben beide den Grad −2. Da jeder Divisor vom Grad 0 auf X = ℙ_{k}^{1} ein Hauptdivisor ist, folgt O_{X}(K − ⌊D⌋) ≅ O_{X}, also H^{1}(X; O_{X}(⌊D⌋)) ≅ k. Laut 8.8 existiert deshalb eine nichttriviale Extension verallgemeinerter Vektorbündel

0 → E′ → E → E′′ → 0.  (11)

Wir zeigen, dass E nicht direkte Summe zweier verallgemeinerter Geradenbündel sein kann:

Angenommen, es wäre E = L^{1} ⊕ L^{2} für zwei Unterbündel L^{1}, L^{2} ⊂ E vom Rang 1. Da (11) nicht zerfällt, sind L^{1} und L^{2} keine Unterbündel von E′ und bilden sich deshalb nichttrivial nach E′′ ab. Damit gilt für den in [HJS98], Definition 2.6 definierten Grad verallgemeinerter Vektorbündel deg(L^{1}), deg(L^{2}) ≤ deg(E′′) = 0, also auch deg(L^{1} ⊕L^{2}) ≤ 0. Andererseits folgt aus der Exaktheit von (11) deg(E) = deg(E′) + deg(E′′) = \frac{1}{4} + 0 > 0, so dass wir insgesamt deg(L^{1} ⊕ L^{2}) < deg(E) erhalten im Widerspruch zur Annahme.

Dieses Beispiel zeigt, dass nicht jedes verallgemeinerte Vektorbündel über X = ℙ_{k}^{1} eine direkte Summe verallgemeinerter Geradenbündel ist.

A Schneiders’ quasi-abelsche Kategorien

Die kategorientheoretischen Hilfsmittel des ersten Abschnitts befriedigen nicht. Sie liefern nur bei additiven Kategorien, in denen jede kurze exakte Sequenz zerfällt, brauchbare Ergebnisse. Deswegen war es im vierten Abschnitt nötig, stets generische Endlichkeit vorauszusetzen und sich mühsam auf den ”lokalen” Fall zurückzuziehen, um 2.8 anwenden zu können. In [Sch99] hat J.-P. Schneiders weitergehende kategorientheoretische Hilfsmittel entwickelt, die im Folgenden kurz erläutert werden, um dann anzudeuten, wie man mit ihrer Hilfe bequemer eine Theorie verallgemeinerter Garben aufbauen könnte.

Sei A eine additive Kategorie. Was hindert K_{1}(A) daran, abelsch zu sein? Wir betrachten einen Morphismus

f = \overline{(f_{0}, f_{1})} : A_{0}/A_{1} ⟶ B_{0}/B_{1}

in K_{1}(A). Wir brauchen zunächst einen Kern und einen Kokern von f. Dazu setzen wir voraus, dass

φ := (f_{0}, ∂_{B}) : A_{0} ⊕ B_{1} ⟶ B_{0}

einen Kern und ein Kobild in A besitzt und dass φ̄ : coim(φ) → B_{0} ein Monomorphismus ist. Dann ist ker(φ)/A_{1} ein Kern und B_{0}/coim(φ) ein Kokern von f in K_{1}(A), wie man leicht nachprüft. Das letzte nun noch fehlende Axiom abelscher Kategorien besagt, dass der von f induzierte Morphismus f̄ von coim(f) = A_{0}/ ker(φ) nach im(f) = coim(φ)/B_{1} invertierbar sein soll. Tatsächlich ist f̄ jedoch nur ein Quasi-Isomorphismus, d. h. sein Abbildungskegel

0 ⟶ ker(φ) ⟶ A_{0} ⊕ B_{1} ⟶ coim(φ) ⟶ 0

ist eine kurze exakte Sequenz in A. Um K_{1}(A) abelsch zu machen, müssen also noch die Quasi-Isomorphismen invertierbar gemacht werden. In [Sch99] wird gezeigt, dass das tatsächlich funktioniert, und zwar unter den folgenden noch etwas stärkeren Voraussetzungen an A:

Definition A.1 ([Sch99], Definition 1.1.3) Eine additive Kategorie A heißt quasi-abelsch, wenn sie die folgenden drei Eigenschaften hat:

i) Jeder Morphismus besitzt in A einen Kern und einen Kokern.

ii) In jedem pushout-Diagramm in A

\xymatrix{A \ar[r] \ar[d]_{f} & A′ \ar[d]^{f′} \\ B \ar[r] & B′,}

in dem f ein Kern des eigenen Kokerns ist, ist auch f′ ein Kern des eigenen Kokerns.

ii)^{∗} In jedem pullback-Diagramm in A

\xymatrix{B′ \ar[r] \ar[d]_{f′} & B \ar[d]^{f} \\ A′ \ar[r] & A,}

in dem f ein Kokern des eigenen Kerns ist, ist auch f′ ein Kokern des eigenen Kerns.

Beispiele A.2 Die Kategorie der Vektorbündel über dem Dedekindschema X ist quasi-abelsch. Ebenso die Kategorie 𝔉𝔩/X der generisch endlichen, flachen, quasikohärenten O_{X}-Moduln.

Satz A.3 Sei A eine quasi-abelsche Kategorie und S die Klasse der Quasi-Isomor-phismen in K_{1}(A). Dann ist S ein multiplikatives System, und die Lokalisierung D_{1}(A) von K_{1}(A) nach S ist eine abelsche Kategorie.

Beweis: In [Sch99], 1.2.2 wird die derivierte Kategorie D(A) zu A konstruiert und mit einer t-Struktur versehen. Das Herz LH(A) dieser t-Struktur ist automatisch eine abelsche Kategorie ([KS90], Proposition 10.1.11.i). Laut [Sch99], Corollary 1.2.21 ist die lokalisierte Kategorie D_{1}(A) äquivalent zu LH(A), also auch abelsch. □

Beispiel A.4 Sei A eine additive Kategorie mit Kernen und Kokernen, in der jede kurze exakte Sequenz zerfällt. Dann ist A automatisch quasi-abelsch, weil jeder Morphismus, der Kern des eigenen Kokerns ist, dann ein Linksinverses besitzt und dual. Außerdem hat jeder Quasi-Isomorphismus in K_{1}(A) ein zweiseitiges Inverses (1.9). Deshalb ist in diesem Fall schon K_{1}(A) eine abelsche Kategorie.

Angewandt auf die Kategorie der endlichdimensionalen seminormierten Vektorräume über einem vollständigen diskret bewerteten Körper beweist das Theorem 1.6 (4) aus [HJS98] ein zweites Mal.

Definition A.5 Sei A eine volle, additive Teilkategorie einer abelschen Kategorie C. C heißt abelsche Hülle von A, falls

i) zu jedem Objekt C in C ein Epimorphismus p : A ↠ C mit A ∈ A existiert und

ii) zu jedem Monomorphismus i : C ↪ A in C mit A ∈ A ein Objekt A′ ∈ A mit C ≅ A′ in C existiert.

Beispiele A.6 i) Die Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥/X der fast kohärenten Modulgarben über dem Dedekindschema X ist eine abelsche Hülle von 𝔉𝔩/X.

ii) Die Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X ist eine abelsche Hülle von 𝔉𝔩^{∗}/X

Proposition A.7 Sei A eine quasi-abelsche Kategorie.

i) Die Kategorie D_{1}(A) ist eine abelsche Hülle von A.

ii) Ist C eine weitere abelsche Hülle von A, so ist C äquivalent zu D_{1}(A).

Beweis: [Sch99], Corollary 1.2.28 liefert eine volltreue, additive Einbettung von A nach D_{1}(A). Laut [Sch99], Proposition 1.2.29.b ist dabei jedes Unterobjekt eines Objektes aus A wieder isomorph zu einem Objekt aus A. Es bleibt zu zeigen, dass jedes Objekt A_{•} = [A_{1} ⟶^{∂} A_{0}] in D_{1}(A) Quotient eines Objektes aus A ist. Dazu betrachten wir die drei Komplexe A_{0} = [...0 → A_{0} → 0...], A_{1} = [...0 → A_{1} → 0...] und A_{•}. Sie bilden ein ausgezeichnetes Dreieck A_{0} ⟶ A_{1} ⟶ A_{•} ⟶^{+1} in der Kategorie K(A) der Komplexe modulo Homotopie und deshalb auch ein exaktes Dreieck in der derivierten Kategorie D(A). Die zugehörige lange exakte Sequenz im Herz der t-Struktur ([KS90], Proposition 10.1.12) zeigt, dass A_{0} → A_{•} ein Epimorphismus in LH(A), also auch in D_{1}(A) ist. Damit ist i gezeigt. ii ist Proposition 1.2.36 in [Sch99]. □

Proposition A.8 Die Kategorie 𝔉𝔩^{∗}/X der lokal seminormierten Räume über X ist quasi-abelsch. Ebenso die Kategorie der verallgemeinerten Vektorbündel über X.

Beweis: Beide Kategorien sind offenbar additiv. Wir behandeln nur die lokal seminormierten Räume, denn für die verallgemeinerte Vektorbündel gelten dieselben Argumente.

Sei f : V → W ein Morphismus lokal seminormierter Räume. Dann ist der lokal seminormierte Raum, der aus dem Vektorraum ker(f_{η}) und den von V induzierten Teilraum-Seminormen besteht, tatsächlich ein Kern von f, und dual dazu erhält man einen Kokern von f aus dem Vektorraum coker(f_{η}) und den von W induzierten Quotienten-Seminormen.

Sei nun f : V → W Kern des eigenen Kokerns, und sei

\xymatrix{V \ar[r]^{φ} \ar[d]_{f} & V′ \ar[d]^{f′} \\ W \ar[r]^{ψ} & W′}

ein pushout-Diagramm. Die universelle Eigenschaft dieses Quadrats bedeutet gerade, dass

(ψ, f′) : W ⊕ V′ ⟶ W′

ein Kokern von

\binom{f}{−φ} : V ⟶ W ⊕ V′

ist. Daraus folgt zweierlei: Erstens gilt Entsprechendes auf dem Niveau der generischen Halme, und deshalb impliziert die Injektivität von f_{η} mit einem kleinen elementaren Argument die Injektivität von f′_{η}. Zweitens folgt für x ∈ |X| und v′ ∈ V′_{x}

∥f′(v′)∥_{W′,x} = inf{∥(f(v), v′ − φ(v))∥_{W ⊕V′,x} : v ∈ V_{x}}.

Nach Voraussetzung an f ist dabei die rechte Seite gleich

inf{max (∥v∥_{V,x}, ∥v′ − φ(v)∥_{V′,x}) : v ∈ V_{x}}.

Aber dieses Infimum wird bei v = 0 angenommen, denn laut Dreiecksungleichung gilt

∥v′∥_{V′,x} ≤ max (∥φ(v)∥_{V′,x}, ∥v′ − φ(v)∥_{V′,x}),

und ∥φ(v)∥ ist noch kleiner als ∥v∥, weil φ kontrahierend ist. Wir haben also

∥f′(v′)∥_{W′,x} = ∥v′∥_{V′,x} für alle x ∈ |X| und v′ ∈ V′_{x}.

Zusammen mit der Injektivität von f′_{η} bedeutet das gerade, dass f′ Kern des eigenen Kokerns ist.

Ähnliche Argumente beweisen die duale Aussage. Sei dazu f : V → W diesmal Kokern des eigenen Kerns, und sei

\xymatrix{V′ \ar[r]^{φ} \ar[d]_{f′} & V \ar[d]^{f} \\ W′ \ar[r]^{ψ} & W}

ein pullback-Diagramm. Wir geben x ∈ |X|, w′ ∈ W′_{x} und ϵ > 0 vor. Dazu gibt es nach Voraussetzung an f einen Vektor v ∈ V_{x} mit den Eigenschaften

f(v) = −ψ(w′)  und  ∥v∥_{V,x} < ∥ − ψ(w′)∥_{W,x} + ϵ,
also erst recht ∥v∥_{V,x} < ∥w′∥_{W′,x} + ϵ.

Weil \binom{f′}{−φ} : V′ → W′ ⊕ V ein Kern von (ψ, f) : W′ ⊕ V → W ist, ist dann v′ := (w′, v) ein Element von V′_{x}, das von f′ auf w′ abgebildet wird und die Norm

∥v′∥_{V′,x} = max (∥w′∥_{W′,x}, ∥v∥_{V,x}) < ∥w′∥_{W′,x} + ϵ

besitzt. Dass zu jedem x, w′ und ϵ ein solches v′ existiert, bedeutet gerade, dass f′ Kokern des eigenen Kerns ist. □

Folgerung A.9 Die Kategorie 𝔑𝔠𝔬𝔥^{∗}/X ist äquivalent zur lokalisierten Kategorie D_{1}(𝔉𝔩^{∗}/X).

B Seshadris parabolische Strukturen

Sei X jetzt eine glatte, zusammenhängende algebraische Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. In [MS80] wird der Begriff der parabolischen Struktur auf einem Vektorbündel E über X definiert. Eine solche parabolische Struktur besteht demnach aus einer endlichen Menge S von abgeschlossenen Punkten auf X und je einer gewichteten Fahne in der Faser E(x) über x für jeden Punkt x ∈ S. Dabei ist mit einer gewichteten Fahne in einem endlichdimensionalen k-Vektorraum V eine Kette von Untervektorräumen

V = F_{1}V ⫌ F_{2}V ⫌ … ⫌ F_{r}V ⫌ 0 mit 1 ≤ r ≤ dim(V)

zusammen mit einer Folge von reellen Gewichten

0 ≤ α_{1} < α_{2} < … < α_{r} < 1

gemeint. Im folgenden Abschnitt wird der Zusammenhang zwischen diesen parabolischen Strukturen und verallgemeinerten Vektorbündeln über X dargestellt.

Proposition B.1 Sei E ein verallgemeinertes Vektorbündel über X. Dann induziert E eine parabolische Struktur auf dem herkömmlichen Vektorbündel ⌊E⌋.

Beweis: Sei x ∈ |X| ein abgeschlossener Punkt, und sei π = π_{x} ∈ F ein an der Stelle x uniformisierendes Element des Funktionenkörpers F von X. Weil E_{x} eine Orthogonalbasis besitzt, ist die Menge {∥e∥_{x} : 0 ≠ e ∈ E_{x}} der Normen aller Elemente von E_{x} von der Form

{|π|_{x}^{d+α_{i,x}} : d ∈ ℤ, 1 ≤ i ≤ r_{x}}

für eine endliche Folge von Gewichten 0 ≤ α_{1,x} < … < α_{r_{x},x} < 1. Wir erhalten eine Fahne

E(x) = F_{1}E(x) ⫌ F_{2}E(x) ⫌ … ⫌ F_{r_{x}}E(x) ⫌ 0

in der Faser E(x) := ⌊E⌋ ⊗_{O_{X}} k(x) des Bündels ⌊E⌋, indem wir

F_{i}E(x) := \frac{\{e ∈ E_{η} : ∥e∥_{x} ≤ |π|_{x}^{α_{i,x}}\}}{\{e ∈ E_{η} : ∥e∥_{x} ≤ |π|_{x}\}}

setzen. Für alle x ∈ |X| bis auf endlich viele sind diese gewichteten Fahnen in dem Sinne trivial, dass r_{x} = 1 und α_{1,x} = 0 gilt. Die übrigen Punkte mit ihren gewichteten Fahnen bilden die parabolische Struktur auf ⌊E⌋. □

Bemerkungen B.2 i) Diese Konstruktion ist funktoriell und liefert eine Kategorienäquivalenz zwischen der Kategorie der verallgemeinerten Vektorbündel über X und der Kategorie aller Vektorbündel mit parabolischer Struktur über X. Den inversen Funktor erhält man, indem man die unter 3.2 angegebene Konstruktion durch die parabolische Struktur modifiziert. Genauer gesagt ordnet der inverse Funktor einem Vektorbündel E mit einer parabolischen Struktur, die in der endlichen Punktmenge S ⊆ |X| konzentriert ist und dort aus den Gewichten

0 ≤ α_{1,x} < … < α_{r_{x},x} < 1, x ∈ S

und den Fahnen

E(x) = F_{1}E(x) ⫌ F_{2}E(x) ⫌ … ⫌ F_{r_{x}}E(x) ⫌ 0, x ∈ S

besteht, das folgende verallgemeinerte Vektorbündel E zu:

E_{η} := E_{η}, und für e ∈ E_{η} setzen wir
∥e∥_{E,x} := inf{|a|_{x} : a ∈ F, e ∈ a · E_{x}}, wenn x nicht in S liegt, bzw.
∥e∥_{E,x} := inf{|a| · |π_{x}|^{α_{i,x}} : a ∈ F, e ∈ a · F_{i}E_{x}} für x ∈ S

Dabei bezeichnet E_{x} ⊆ E_{η} jeweils den Halm von E in x, π_{x} ∈ F ist ein in x uniformisierendes Element, und für x ∈ S ist mit F_{i}E_{x} ⊆ E_{x}, 1 ≤ i ≤ r_{x}, jeweils das Urbild von F_{i}E(x) ⊆ E(x) gemeint.

ii) Wenn X projektiv ist, hat ein verallgemeinertes Vektorbündel über X einen Grad, und ein Vektorbündel mit parabolischer Struktur über X hat einen parabolischen Grad. Unter der eben angegebenen Kategorienäquivalenz gehen diese beiden Gradbegriffe ineinander über. Insbesondere ist die unter Proposition 2.11 in [HJS98] konstruierte Harder-Narasimhan-Filtrierung identisch mit der schon in [Se82], Troisième Partie, Théorème 8 angegebenen.

iii) Die Beschränkung auf algebraisch abgeschlossene Grundkörper ist nur deshalb nötig, weil in [MS80] gefordert wird, dass parabolische Strukturen in rationalen Punkten konzentriert sein sollen.

Sei X jetzt eine glatte, zusammenhängende algebraische Kurve über k = ℂ, und sei G = π_{1}(X) die (topologische) Fundamentalgruppe der zugrundeliegenden Riemannschen Fläche. Wenn X kompakt ist, hat man bekanntlich eine Korrespondenz zwischen irreduziblen unitären Darstellungen von G und stabilen Vektorbündeln vom Grad 0 über X (Narasimhan, Seshadri). In [MS80] wird dies auf den nicht kompakten Fall verallgemeinert. Dabei treten Vektorbündel über der (eindeutig bestimmten) glatten, projektiven Kurve X^{+}, die X als offenes Unterschema enthält, auf, die an den Punkten außerhalb X parabolische Strukturen tragen. Im Folgenden werden diese Resultate in die Sprache der verallgemeinerten Vektorbündel übersetzt. Dazu bezeichnen wir mit F^{+} den Körper der rationalen Funktionen auf X^{+} und mit | . |_{x} : F^{+} → ℝ_{≥0} die zum Punkt x ∈ X^{+} gehörende Bewertung. Wir nehmen an, X^{+} habe Geschlecht g ≥ 2.

Gegeben sei eine endlichdimensionale unitäre Darstellung V von G. Dann ist E := (V × X̃)/G ein holomorphes Vektorbündel über X. Dabei bezeichnet X̃ die universelle Überlagerung von X, und die G-Operation auf V × X̃ ist durch die Formel g · (v, x̃) := (g · v, g · x̃) gegeben. E trägt eine hermitesche Metrik ⟨ . , . ⟩_{E}, die vom Skalarprodukt auf V herrührt. Mit der Metrik können wir Holomorphie und Meromorphie auch über X^{+} \ X definieren:

Definition B.3 Sei U ⊆ X eine punktierte Umgebung von x^{+} ∈ X^{+} (in der komplexen Topologie), und sei s : U → E ein holomorpher Schnitt.

i) s heißt holomorph in x^{+}, falls \sqrt{⟨s, s⟩_{E}} = O(1) nahe x^{+} gilt.

ii) s heißt meromorph in x^{+}, falls \sqrt{⟨s, s⟩_{E}} = O(|f|_{ℂ}) nahe x^{+} gilt für eine rationale Funktion f ∈ F^{+}.

Dabei bedeutet das Landau-Symbol α = O(β) nahe x^{+} für zwei Funktionen α, β : U → ℝ_{≥0}, dass es eine Konstante C > 0 und eine punktierte Umgebung U′ ⊆ U von x^{+} gibt, so dass α(x) ≤ C · β(x) gilt für alle x ∈ U′. Wir können E nun zu einem lokal seminormierten Raum E^{+} über X^{+} fortsetzen durch

E_{η}^{+} := {s : s ist meromorpher Schnitte von E über X^{+}} und
∥s∥_{E^{+},x} := inf\{|f|_{x}^{d} : f ∈ F^{+}, d ∈ ℝ, \sqrt{⟨s, s⟩_{E}} = O(|f|_{ℂ}^{d}) nahe x^{+}\}
für s ∈ E_{η}^{+} und x ∈ X^{+}.

Proposition B.4 i) Der eben konstruierte lokal seminormierte Raum E^{+} über X^{+} ist sogar ein verallgemeinertes Vektorbündel.

ii) Die Zuordnung V ↦ E^{+} definiert einen volltreuen Funktor auf der Kategorie der endlichdimensionalen unitären Darstellungen von G.

iii) E^{+} ist semistabil vom Grad 0. Ist V irreduzibel, so ist E^{+} sogar stabil.

Beweis: Diese Aussagen folgen durch Anwendung der Kategorienäquivalenz B.2 aus den in [MS80], Section 1 bewiesenen Resultaten über Vektorbündel mit parabolischer Struktur über ℂ. □

Satz B.5 (Seshadri) Jedes stabile verallgemeinerte Vektorbündel E^{+} vom Grad 0 über X^{+}, dessen Einschränkung auf X ein herkömmliches Vektorbündel ist, entsteht auf diese Weise aus einer unitären Darstellung V.

Beweis: [MS80], Theorem 4.1.2 oder [Se82], Troisième Partie, Théorème 36.b □

Literatur

[BGR84] S. Bosch, U. Güntzer, R. Remmert: Non-Archimedean Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 261. Springer, Berlin-Heidelberg-New York-Tokyo (1984)

[Fa92] G. Faltings: Lectures on the Arithmetic Riemann-Roch Theorem. Annals of Mathematics Studies Number 127. Princeton University Press, Princeton, New Jersey (1992)

[EGA I] A. Grothendieck, J. Dieudonné: Éléments de Géométrie Algébrique. I) Le langage des schémas. Publications Mathématiques IHES 4 (1960)

[Ha77] R. Hartshorne: Algebraic Geometry. Graduate Texts in Mathematics 52. Springer, New York-Heidelberg-Berlin (1977)

[HJS98] N. Hoffmann, J. Jahnel, U. Stuhler: Generalized vector bundles on curves. Journal für die reine und angewandte Mathematik 495 (1998), 35–60

[KS90] M. Kashiwara, P. Schapira: Sheaves on Manifolds. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 292. Springer, Berlin-Heidelberg (1990)

[McL63] S. MacLane: Homology. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 114. Springer, Berlin-Göttingen-Heidelberg (1963)

[MS80] V. B. Mehta, C. S. Seshadri: Moduli of Vector Bundles on Curves with Parabolic Structures. Mathematische Annalen 248 (1980), 205–239

[Mi65] B. Mitchell: Theory of Categories. Academic Press, New York-London (1965)

[Sch99] J.-P. Schneiders: Quasi-Abelian Categories and Sheaves. Mémoires de la Société Mathématique de France 76 (1999)

[Se82] C. S. Seshadri: Fibrés vectoriels sur les courbes algébriques. Astérisque 96 (1982)

[Gr57] A. Grothendieck: Sur quelque points d’algèbre homologique. Tôhoku Mathematical Journal 9 (1957), 119–221