𝔐𝔞𝔱𝔥𝔢𝔪𝔞𝔱𝔦𝔠𝔞 𝔊𝔬𝔱𝔱𝔦𝔫𝔤𝔢𝔫𝔰𝔦𝔰
𝔖𝔠𝔥𝔯𝔦𝔣𝔱𝔢𝔫𝔯𝔢𝔦𝔥𝔢 𝔡𝔢𝔰
𝔐𝔞𝔱𝔥𝔢𝔪𝔞𝔱𝔦𝔰𝔠𝔥𝔢𝔫 ℑ𝔫𝔰𝔱𝔦𝔱𝔲𝔱𝔰
𝔡𝔢𝔯
𝔘𝔫𝔦𝔳𝔢𝔯𝔰𝔦𝔱𝔞𝔢𝔱 𝔊𝔬𝔢𝔱𝔱𝔦𝔫𝔤𝔢𝔫

Wolfgang Bauer

Der Thetalift reell-analytischer Eisenstein- und Poincaréreihen

Heft 4 (1996) 15. Mai 1996

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Siegels Thetafunktion 7 2.1 Die quadratische Form Q und der Raum der Majoranten Q^{+} . . . . . . . . 7 2.2 Die Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Das Multiplikatorsystem χ, Transformation der Thetafunktion . . . . . . . . 9 2.4 Integration und Differentiation der Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Spektraltheorie, Eisensteinreihen 14 3.1 Automorphe Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Die Eisensteinreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 Spektralzerlegung von H_{IH} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Thetalift der Eisensteinreihen 19 4.1 Definition von E(z, Q^{+}) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 4.2 Rankin-Selberg-Methode für die Thetafunktion . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5 Poincaréreihen 26 5.1 Definition und meromorphe Fortsetzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.2 Exkurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Thetalift der Poincaréreihen 31 6.1 Meromorphe Fortsetzung der Dirichletreihen D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) . . . . . . . . 31 6.2 Die Integraloperatoren S und T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6.3 Hilfssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 6.4 Abschätzung der Dirichletreihe D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) in vertikalen Streifen …. 38

7 Asymptotische Verteilung der Gitterpunkte auf der Quadrik Q[λ] = m 41

A Berechnung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihen 45 A.1 Basen für V_{𝔄} . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 A.2 Eulerproduktzerlegung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe . . . . . 49

A.2.1 Hilfssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

A.2.2 Beweis von Satz A.3 und Korollar A.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 A.3 Berechnung der X_{M}(c, m) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

A.3.1 Hilfssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 A.3.2 Beweis von Satz A.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

A.4 Die Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 A.4.1 Hilfssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 A.4.2 Beweis von Satz A.15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

Literatur 71

1 Einleitung

Zum Studium ganzzahliger quadratischer Formen und insbesondere ihrer Darstellungsanzahlen haben sich den quadratischen Formen zugeordnete Thetafunktionen als wertvolles und anschauliches Hilfsmittel erwiesen: Im Fall positiv definiter Formen lassen sich die zugeordneten Thetafunktionen in ihrer Eigenschaft als Modulformen der oberen Halbebene zu gewissen Kongruenzuntergruppen (unter weiteren Voraussetzungen) aus holomorphen Eisensteinreihen und Spitzenformen linear kombinieren und die Darstellungsanzahlen der quadratischen Formen ergeben sich entsprechend aus den Fourierkoeffizienten dieser Eisensteinreihen und Spitzenformen.

Im Fall einer indefiniten quadratischen Form hängt die Thetafunktion nicht nur von dem Parameter der oberen Halbebene ab, sondern auch von einem zweiten Parameter, der im Raum der “Majoranten” der betrachteten indefiniten Form lebt. Die Mannigfaltigkeit der Majoranten zu einer vorgegebenen indefiniten quadratischen Form bildet einen symmetrischen Raum, worauf die Einheitengruppe der indefiniten Form diskontinuierlich und koendlich operiert. Die Thetafunktion ist invariant unter dieser Gruppenoperation. Unter gewissen Voraussetzungen läßt sich nun die Thetafunktion über die Majoranten “mitteln”: die Thetafunktion wird über einen Fundamentalbereich, dessen Volumen auf eins normiert angenommen werden darf, integriert. Unter weiteren Voraussetzungen konnte C.L. Siegel zeigen, daß die daraus resultierende Funktion eine reell-analytische Eisensteinreihe ist. Der entsprechende Mittelungsprozeß der einzelnen Fourierkoeffizienten der Thetafunktion liefert die Siegelschen “Darstellungsmaße”. Die Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe wiederum sind im wesentlichen Produkte über sämtliche ganzzahligen Primstellen der lokalen Darstellungsmaße, so daß C.L. Siegel sein bekanntes Ergebnis aus [24] – zumindest für die Darstellung von Zahlen durch indefinite Formen in fünf oder mehr Variablen – durch einen neuen, konzeptionell einfacheren Beweis nochmals zeigen und sogar verschärfen konnte: In diesen Fällen sind die Darstellungsmaße Geschlechtsinvarianten und nicht, wie man es in Analogie zum definiten Fall erwarten sollte, nur Klasseninvarianten der quadratischen Form. Diese Tatsache läßt sich analytisch erklären: die “gemittelte” Thetafunktion ist jedenfalls Eigenfunktion des Laplace-Operators auf der oberen Halbebene. Die Differenz zur Eisensteinreihe mit demselben Eigenwert ergibt eine quadratintegrierbare Eigenfunktion, welche identisch verschwinden muß, da der Eigenwert im Fall von fünf oder mehr Variablen der quadratischen Form außerhalb des Spektrums des Laplace-Operators liegt. Diese Argumentation läßt sich (mit gewissen Einschränkungen) auch auf den Fall quaternärer Formen übertragen.

Die Siegelschen Darstellungsmaße haben – zumindest in den eben beschriebenen Fällen – eine sehr anschauliche Interpretation: sie geben im wesentlichen an, wie (asymptotisch) “dicht” Gitterpunkte auf den durch die gegebene indefinite Form definierten nichtkompakten Quadriken liegen. Dies wurde schon in mehreren Arbeiten (in verschiedenen Allgemeinheiten und mit verschiedenen Methoden) gezeigt (siehe z.B. [1], [4], [15] oder [18]. Implizit bekommt man eine solche Interpretation auch schon aus Theorem 4 in [24].)

In [1] wurden zu diesem Zweck bei fest gewählter Majorante Peterssonsche innere Produkte der – in einer gewissen Weise regularisierten – Thetafunktion mit reell-analytischen Poincaré- und – ebenfalls in einer gewissen Weise regularisierten – Eisensteinreihen der oberen Halbebene gebildet. Die daraus resultierenden Funktionen sind bis auf einen Gammafaktor Dirichletreihen der Form

D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) := ∑_{{\underline{λ}∈𝔞\\underline{0} \atop Q[\underline{λ}]=m}}(Q^{+}[\underline{λ}] + |m|)^{1−s− \frac{n}{4}} .  (1.1)

Dabei ist Q die betrachtete indefinite quadratische Form in n Veränderlichen, Q^{+} eine Majorante von Q, s ein komplexer Parameter mit hinreichend großem Realteil, m eine rationale Zahl und 𝔞 = 𝔞_{0} + ZZ^{n}, wobei 𝔞_{0} ∈ (2Q)^{−1}ZZ^{n} und Q[𝔞_{0}] − m ∈ ZZ ist. (Die Bedeutung von v_{𝔞} wird später erklärt.) Man beachte, daß im Gegensatz zur Epstein-Zetafunktion nur über Gitterpunkte einer vorgegebenen Quadrik summiert wird. Aus der analytischen Fortsetzung der Poincaré- und Eisensteinreihen folgt die meromorphe Fortsetzung dieser Dirichletreihen (als Funktion des komplexen Parameters s). Ein einfaches Tauber-Argument lieferte die gewünschte Asymptotik – der ganz “rechts” liegende Pol dieser Dirichletreihen hat im wesentlichen Siegels Darstellungsmaß als Residuum.

In der vorliegenden Arbeit sollen diese Dirichletreihen für den Fall n ≥ 3 näher untersucht werden. Das Ziel ist im wesentlichen, zu zeigen, daß die Dirichletreihen im Bereich der meromorphen Fortsetzung in vertikalen Streifen höchstens polynomial schnell mit dem Argument wachsen. Ist dies der Fall, so lassen sich als Anwendung die asymptotischen Formeln für die Gitterpunkte durch Angabe eines Restgliedes verschärfen.

Das “Peterssonsche innere Produkt” der Eisensteinreihe mit der Thetafunktion erhält man als Anwendung der Rankin-Selberg-Methode, wie sie etwa in [31] beschrieben wurde, auf die Thetafunktion. Für diesen Fall ist m = 0 in (1.1). Die Funktionalgleichung der Eisensteinreihe überträgt sich direkt auf die Dirichletreihe. Das gemäßigte Wachstum in vertikalen Streifen der meromorphen Fortsetzung folgt in einfacher Weise aus dieser Funktionalgleichung und dem Satz von Phragmén-Lindelöf.

Im Fall m ≠ 0 in (1.1) wird das innere Produkt mit der (m, v_{𝔞})-ten Poincaréreihe genommen. Um auch für diesen Fall gemäßigtes Wachstum der meromorphen Fortsetzung der Dirichletreihen (1.1) in Streifen links von ihrer Konvergenzabszisse zeigen zu können, benötigt man “gute” Abschätzungen für die Koeffizienten der Spektralentwicklung der Thetafunktion: Werden durch (1/2+it_{k})(1/2−it_{k}) die Eigenwerte eines maximalen Orthonormalsystems {ϕ_{k} | k ∈ K} von Laplace-Eigenfunktionen ϕ_{k} parametrisiert und mit b_{k}(m, v_{𝔞}) die (m, v_{𝔞})- ten Fourierkoeffizienten von ϕ_{k} bezeichnet, so ist im wesentlichen zu zeigen, daß das innere Produkt von ϕ_{k} mit der Thetafunktion (bei fest gewählter Majorante), multipliziert mit b_{k}(m, v_{𝔞}), als Funktion von t_{k} → ∞ betragsmäßig höchstens polynomial wächst. (Für die Koeffizienten b_{k}(m, v_{𝔞}) ist bekannt (siehe [11] oder [16]), daß ∑_{|t_{k}|<T} |b_{k}(m, v_{𝔞})|^{2}/ cosh(π|t_{k}|) sich asymptotisch wie ≍ T^{2} verhält und die Verteilung der Eigenwerte (mit Multiplizitäten) durch ∑_{|t_{k}|<T} 1 ≍ T^{2} gegeben ist, so daß die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung bestenfalls exponentielles Wachstum liefern würde.)

Der Angelpunkt des Beweis hierzu ist folgende Differentialgleichung für die Thetafunktion:

−LΘ(z, Q^{+}) = (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) Θ(z, Q^{+}).  (1.2)

Dabei bezeichnet −L den Laplace-Operator auf dem Majorantenraum, −Δ_{κ} den Laplace-Beltrami-Operator auf der oberen Halbebene (κ ist das Gewicht der Thetafunktion), z den Parameter auf der oberen Halbebene, Q^{+} den Parameter im Majorantenraum und Θ die Thetafunktion der betrachteten indefiniten Form.

Wir konstruieren zunächst eine Funktion E(z, Q^{+}), welche derselben Differentialgleichung genügt, die eine “einfache” Spektralzerlegung hat und die als Funktion von z in den Spitzen das gleiche asymptotische Verhalten hat. Die Differenz mit der Thetafunktion, d.h. die “regularisierte Thetafunktion”, ist dann als schwach automorphe Form der oberen Halbebene quadratintegrierbar.

Die regularisierte Thetafunktion läßt sich – wir beschränken uns dabei auf anisotrope Formen Q – in zweifacher Weise als Integralkern für quadratintegrierbare Funktionen betrachten. Zum einen “liftet” sie schwach automorphe Formen der oberen Halbebene bezüglich der Modulgruppe zu Funktionen auf dem Majorantenraum, die invariant unter Wirkung der Einheitengruppe von Q sind. Wir werden diese Liftung mit S bezeichnen. Zum andern liftet sie unter der Einheitengruppe von Q invariante Funktionen auf dem Majorantenraum in schwach automorphe Funktionen der oberen Halbebene. Es stellt sich heraus, daß die Hintereinanderausführung dieser Liftungen ein symmetrischer Operator T ist, der mit dem Laplace-Operator −Δ_{κ} der oberen Halbebene kommutiert. Daher gibt es eine gemeinsame L^{2}-Eigenbasis für T und −Δ_{κ}. Die Liftung S ist außerdem orthogonal auf den Eigenfunktionen von −Δ_{κ}, d.h. die Bilder je zweier bezüglich des Peterssonschen Skalarproduktes orthogonaler automorpher Formen auf der oberen Halbebene sind wieder orthogonal, diesmal als Funktionen auf dem Majorantenraum. Desweiteren bildet die Liftung S Eigenfunktionen von −Δ_{κ} zum Eigenwert λ in Eigenfunktionen des Laplace-Operators −L zum Eigenwert λ − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}) ab. All diese Eigenschaften von S und T folgen aus der Differentialgleichung (1.2).

Da man die Spektralzerlegung der Poincaréreihen explizit kennt (jedenfalls soweit man die Eigenfunktionen von −Δ_{κ} kennt), läßt sich die L^{2}-Norm der S-Liftung der Poincaréreihe in einfacher Weise aus den Koeffizienten dieser Spektralzerlegung und aus den L^{2}-Normen der S-Liftungen der Eigenfunktionen ϕ_{k} berechnen.

Andererseits gilt in einem Bereich absolut gleichmäßiger Konvergenz der Dirichletreihe (1.1) eine triviale Abschätzung, woraus folgt, daß die L^{2}-Norm der Funktionen Sϕ_{k}, multipliziert mit b_{k}(m, v_{𝔞}), höchstens polynomial schnell mit |t_{k}| wächst. Da die Funktionen Sϕ_{k} nun aber auch Eigenfunktionen des Laplace-Operators L sind, kann man ihre Supremumsnormen nach oben durch das Produkt ihrer Quadratnormen mit einer höchstens polynomial mit den Eigenwerten wachsenden Funktion abschätzen, was schließlich eine Abschätzung der gesuchten Art liefert.

Als Nebenprodukt erhalten wir eine weitere schöne Eigenschaft der Dirichletreihen D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}): sie erfüllen die Differentialgleichung

−LD_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) = (s(1 − s) − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) + 4π|m|D_{m}(Q^{+}, s + 1, v_{𝔞}).

Insbesondere ist D_{0}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) Eigenfunktion des Laplace-Operators −L zum Eigenwert s(1− s)−\frac{n}{4}(1−\frac{n}{4}). Diese Eigenschaft legt nahe, die Dirichletreihen D_{0}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) im Zusammenhang mit Eisensteinreihen auf dem Majorantenraum zu betrachten.

Es stellt sich die Frage, inwieweit die Einschränkung auf anisotrope Formen notwendig ist: Diese Eigenschaft ist äquivalent mit der Kompaktheit des Majorantenraums modulo der Operation der Einheitengruppe von Q. Diese Kompaktheit wird im Verlauf dieser Arbeit mehrfach verwendet: zum einen, wenn die Integralkerne des Operators T und der Liftung S gebildet werden. Ist die quadratische Form anisotrop, so existieren diese Integralkerne und sind (in offensichtlicher Weise) quadratintegierbar. Im isotropen Fall hingegen ist diese Quadratintegrierbarkeit und auch die Existenz des Integralkerns von T nicht offensichtlich (und im allgemeinen sogar falsch). Sie kann aber gezeigt werden, wenn der Witt-Index der rationalen Form Q im Vergleich zu ihrem Rang hinreichend klein ist. (Den Beweis für diese Behauptung kann man in ähnlicher Weise führen wie etwa den Beweis für die Sätze 4 und 5 in Kapitel IV, §4 in [26].) In den anderen Fällen – dies schließt isotrope Formen in drei, vier oder fünf Variablen ein – kann man vermutlich dieses Problem umgehen, indem man die Definition der regularisierenden Funktion E(z, Q^{+}) unter Beibehaltung ihrer anderen Eigenschaften so verändert, daß in der Differenz Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}) als Funktion von z der Anteil des kontinuierlichen Spektrums wegfällt. Die Kompaktheit des Majorantenraums modulo der Operation der Einheitengruppe von Q wird desweiteren bei der Abschätzung der Supremumsnormen von Laplace-Eigenfunktionen durch die Quadratnormen verwendet. Hierzu wird ein Satz von P. Li zitiert, in dem die Kompaktheit der zugrundeliegenden Mannigfaltigkeit vorausgesetzt wird. Vermutlich gilt eine entsprechende Aussage auch noch für nicht-kompakte Mannigfaltigkeiten des hier vorkommenden Typs, wenn die betrachteten Funktionen nur “hinreichend schnell” in der Nähe des “nichtkompakten Teils” der Mannigfaltigkeit verschwinden. ^{1} Unabhängig davon ließe sich der Satz von Li unter Verwendung des Satzes von der monotonen Konvergenz von B. Levi umgehen; allerdings bekäme man dann nur noch für “Lebesgue-fast-alle Q^{+}” die Aussage, daß die Dirichletreihe D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) in vertikalen Streifen ihrer meromorphen Fortsetzung höchstens polynomial wächst.

Herrn Prof. S.J. Patterson danke ich sehr herzlich für seine in jeder Hinsicht großzügige Betreuung und Unterstützung, und Herrn Dr. habil. R. Matthes für viele anregende und hilfreiche Diskussionen während der Entstehungszeit dieser Arbeit.

1Ist der Majorantenraum zweidimensional, so gilt das tatsächlich, wie H. Iwaniec und P. Sarnak in [9] zeigten. Die dort erzielten Supremumsabschätzungen der Eigenfunktionen des Laplace-Operators sind außerdem stärker als in dem zitierten Satz von Li. Unter Verwendung der Ergebnisse von Iwaniec und Sarnak kann man im Fall ternärer Formen die Einschränkung auf anisotrope Formen vollständig weglassen. Darüber soll an anderer Stelle ausführlicher berichtet werden.

2 Siegels Thetafunktion

2.1 Die quadratische Form Q und der Raum der Majoranten Q^{+}

Sei Q die Gram-Matrix einer ganzzahligen, regulären quadratischen Form in n Veränderlichen, also eine symmetrische n-reihige rationale Matrix mit nichtverschwindender Determinante, so daß die Matrix 2Q ganzzahlig ist und geradzahlige Diagonaleinträge hat.

Sei ẐZ^{n} := \{\underline{λ} ∈ Q^{n} | 2Q\underline{λ} ∈ ZZ^{n}\} das bezüglich der Bilinearform (\underline{λ}, \underline{μ}) ↦ ^{t}\underline{λ}2Q\underline{μ} zu ZZ^{n} duale Gitter. Sei 𝔄 die Menge der Restklassen ẐZ^{n}/ZZ^{n}. Die Menge 𝔄 ist in natürlicher Weise eine abelsche Gruppe der Ordnung | det(2Q)|.

Unser Hauptinteresse gilt den Lösungen \underline{λ} ∈ 𝔞 gewisser quadratisch diophantischer Gleichungen der Form

Q[\underline{λ}] = m,

wobei 𝔞 ∈ 𝔄 und m ∈ Q[𝔞] = \{Q[\underline{μ}] | \underline{μ} ∈ 𝔞\} ist.

Um Maße für die “Größe” solcher Lösungen zu bekommen, definieren wir den Raum Q^{+} der Majoranten von Q als die reelle Mannigfaltigkeit

Q^{+} := {Q^{+} ∈ IR^{n×n} | ^{t}Q^{+} = Q^{+}, Q^{+} > 0, Q^{+}Q^{−1}Q^{+} = Q},

also den Raum aller symmetrischen, positiv definiten, reellen n × n-Matrizen, die der Gleichung Q^{+}Q^{−1}Q^{+} = Q (als Matrizengleichung) genügen. Jedes Q^{+} ∈ Q^{+} definiert in der üblichen Weise eine euklidische Norm auf dem IR^{n}. Wir geben eine weitere Beschreibung des Raumes Q^{+}. Zunächst geometrisch: Ist U^{+} ⊂ IR^{n} ein Untervektorraum maximaler Dimension, so daß die Einschränkung der quadratischen Form Q auf U^{+} positiv definit ist, und ist U^{−} ⊂ IR^{n} der bezüglich der symmetrischen Bilinearform (\underline{λ}, \underline{μ}) ↦ ^{t}\underline{λ}Q\underline{μ} orthogonale Untervektorraum zu U^{+}, so ist die orthogonale Summe

Q^{+} := Q|_{U^{+}} ⊕ (−Q)|_{U^{−}}

Element von Q^{+}, wobei wir wie üblich (unter Auswahl einer “Standardbasis”) positiv definite quadratische Formen auf IR^{n} mit den entsprechenden positiv definiten symmetrischen n × n-Matrizen identifizieren. Jedes Element Q^{+} ∈ Q^{+} läßt sich auf diese Weise konstruieren.

Nun gruppentheoretisch: ist Q^{+} ∈ Q^{+} eine fest gewählte Majorante (Q^{+} ist nicht leer, wie die geometrische Beschreibung zeigt) und

O(Q) := {T : IR^{n} → IR^{n} | T linear, Q[T] = Q}

die (reelle) orthogonale Gruppe von Q, so ist auch Q^{+}[T] ∈ Q^{+}. Die Abbildung T ↦ Q^{+}[T] induziert offensichtlich eine Gruppenoperation von O(Q) auf Q^{+}. Aus der geometrischen Beschreibung erkennt man sofort, daß diese Gruppenoperation transitiv auf Q^{+} wirkt. Die Isotropiegruppe eines Punktes Q^{+} ist

O(Q) ∩ O(Q^{+}) = O(Q|_{U^{+}}) × O(Q|_{U^{−}}),

wenn wir Q^{+} wie oben geometrisch durch U^{+} konstruiert annehmen. Wir können also identifizieren

Q^{+} = O(Q)/ (O(Q|_{U^{+}}) × O(Q|_{U^{−}}))  (2.1)

Bezeichnet (n_{+}, n_{−}) die Signatur von Q, so folgt daraus

dim_{IR}(Q^{+}) = n_{+} · n_{−}.

Ist insbesondere Q (positiv oder negativ) definit, so ist Q^{+} = {(sgn(Q)) · Q} einelementig. Wir werden uns vor allem mit dem Fall indefiniter quadratischer Formen Q beschäftigen.

2.2 Die Thetafunktion

Sei V_{𝔄} ein | det(2Q)|-dimensionaler hermitescher Vektorraum mit unitärer Basis {v_{𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄}.

Definition 2.1. Ist z = x + iy ∈ IH, Q^{+} ∈ Q^{+}, 𝔞 ∈ 𝔄, so setze

Θ_{𝔞}(z, Q^{+}) := y^{\frac{n}{4}} ∑_{\underline{λ}∈𝔞}e(Q[\underline{λ}]x + Q^{+}[\underline{λ}]iy).  (2.2)

Siegels Thetafunktion ist die vektorwertige Abbildung

IH × Q^{+} → V_{𝔄}
(z, Q^{+}) ↦ Θ(z, Q^{+}) := ∑_{𝔞∈𝔄}Θ_{𝔞}(z, Q^{+})v_{𝔞}.

Bemerkung.

(i) Die gleichmäßige Konvergenz der Reihe (2.2) sowie beliebiger partieller Ableitungen (wenn man entsprechende lokale Koordinaten auf Q^{+} einführt) auf kompakten Bereichen von IH × Q^{+} ist leicht zu sehen. Die Thetafunktion ist daher eine beliebig oft differenzierbare (und sogar reell-analytische) Abbildung.

(ii) Offensichtlich ist

Θ_{𝔞}(z, Q^{+}) = Θ_{−𝔞}(z, Q^{+}).  (2.3)

(iii) Sei

Ω := O(Q) ∩ GL_{n}(ZZ),
Ω(𝔞) := {T ∈ Ω | T 𝔞 = 𝔞},  (𝔞 ∈ 𝔄)
Ω(𝔄) := ⋂_{𝔞∈𝔄}Ω(𝔞).

Ω(𝔞) und Ω(𝔄) haben endlichen Index in Ω, da Ω(𝔄) Kern des Gruppenhomomorphismus

\begin{matrix}Ω & → & Aut(𝔄) \\ T & ↦ & (𝔞 ↦ T 𝔞) \end{matrix}

ist, wobei Aut(𝔄) die Automorphismengruppe der (endlichen (!)) Gruppe 𝔄 bezeichne.

Für T ∈ Ω ist offensichtlich

Θ_{T 𝔞}(z, Q^{+}) = Θ_{𝔞}(z, Q^{+}[T])

und für T ∈ Ω(𝔄)

Θ(z, Q^{+}[T]) = Θ(z, Q^{+}).

Mit anderen Worten: Θ(z, Q^{+}) ist als Funktion von Q^{+} schwach automorph bezüglich der diskreten Gruppe Ω(𝔄).

2.3 Das Multiplikatorsystem χ, Transformation der Thetafunktion

Bekanntlich operiert die Gruppe SL_{2}(IR) auf der oberen Halbebene IH: Für (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) = g ∈

SL_{2}(IR) und z ∈ IH ist

gz := \frac{az + b}{cz + d}.

Definiere κ := \frac{n_{+}−n_{−}}{2} , für γ = (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ∈ SL_{2}(ZZ) und z ∈ IH das Faktorsystem j_{κ}(γ, z) :=

(\frac{cz+d}{c\overline{z}+d})^{\frac{κ}{2}} und für 𝔞, 𝔟 ∈ 𝔄

χ_{𝔞,𝔟}(γ) := \begin{cases}e(−\frac{κ}{2})| det(2cQ)|^{− \frac{1}{2}} ∑_{𝔤(c)}e(\frac{aQ[𝔤+𝔞]−2 ^{t}𝔟Q(𝔤+𝔞)+dQ[𝔟]}{c} ) & falls c ≠ 0 \\ e(abQ[𝔞]) & falls c = 0, a · 𝔞 = 𝔟 \\ 0 & falls c = 0, a · 𝔞 ≠ 𝔟 \end{cases} (2.4)

In der Summe ∑_{𝔤(c)} durchlaufe dabei 𝔤 ∈ ZZ^{n} ein vollständiges Repräsentantensystem modulo

dem Untergitter c·ZZ^{n}. Für 𝔞 und 𝔟 sind in der rechten Seite von (2.4) jeweils feste Repräsentanten 𝔞_{0} und 𝔟_{0} innerhalb ihrer Klassen 𝔞 und 𝔟 zu wählen. χ_{𝔞,𝔟}(γ) ist unabhängig von der Wahl dieser Repräsentanten. Diese Konvention der Wahl von Repräsentanten in solchen oder ähnlichen Ausdrücken wie der Summe in (2.4) soll auch für den Rest dieser Arbeit gelten.

Definiere weiter die Matrix

χ(γ) := (χ_{𝔞,𝔟}(γ))_{𝔞,𝔟∈𝔄}.  (2.5)

Wir betrachten χ(γ) als Endomorphismus des Vektorraums V_{𝔄} bezüglich der Basis {v_{𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄}, also

v_{𝔟} ↦ χ(γ)v_{𝔟} = ∑_{𝔞∈𝔄}χ_{𝔞,𝔟}(γ)v_{𝔞}

Satz 2.1. (Siegel) Die Thetafunktion Θ(z, Q^{+}) ist als Funktion der Variablen z ∈ IH schwach automorph vom Gewicht κ bezüglich der Gruppe SL_{2}(ZZ) und dem Multiplikatorsystem χ. Genauer:

(i) Für γ ∈ SL_{2}(ZZ) ist χ(γ) unitär.

(ii) Für γ_{1}, γ_{2} ∈ SL_{2}(ZZ) gilt

j_{κ}(γ_{1}γ_{2}, z)χ(γ_{1}) = j_{κ}(γ_{1}, γ_{2}z)χ(γ_{1})j_{κ}(γ_{2}, z)χ(γ_{2}).

(iii) Es gilt

Θ(γz, Q^{+}) = j_{κ}(γ, z)χ(γ)Θ(z, Q^{+}),

d.h. für 𝔞 ∈ 𝔄 ist

Θ_{𝔞}(γz, Q^{+}) = j_{κ}(γ, z) ∑_{𝔟∈𝔄}χ_{𝔞,𝔟}(γ)Θ_{𝔟}(z, Q^{+}).

Beweis. Siehe Siegel [26], chapter IV, §3. ■

2.4 Integration und Differentiation der Thetafunktion

IH und Q^{+} sind Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Die Konstruktion der Riemannschen Struktur beruht für beide Räume auf demselben Schema: Zunächst kann man IH und Q^{+} jeweils als homogene Räume einer halbeinfachen zusammenhängenden Liegruppe G nach einer maximal kompakten Untergruppe K betrachten. Für Q^{+} wurde das im wesentlichen in Abschnitt 2.1 gezeigt; (Es ist einfach zu sehen, daß die Identifizierung (2.1) auch noch stimmt, wenn rechts die Gruppen jeweils durch die Zusammenhangskomponenten ihrer 1 ersetzt werden!) IH kann

man bekanntlich vermöge der Abbildung SL_{2}(IR) ∋ (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix}) ↦ \frac{ai+b}{ci+c} mit SL_{2}(IR)/SO_{2}(IR)

identifizieren. Die Riemannsche Struktur auf G/K leitet sich dann aus der Killing-Form der Lie-Algebra 𝔤 von G ab; diese ist eine nichtentartete symmetrische Bilinearform auf 𝔤. Daher gibt es eine “Cartan-Zerlegung” von 𝔤 als direkte Summe 𝔨 ⊕ 𝔭, so daß die Killing-Form negativ definit auf 𝔨 und positiv definit auf 𝔭 ist und 𝔨 über die Exponentialabbildung mit K korrespondiert. Durch Rücktransport über die Tangentialabbildung der Gruppenoperation von G auf G/K kann man dann jeden Tangentialvektor auf G/K als Element von 𝔭 auffassen. Die Einschränkung der Killing-Form auf 𝔭 liefert dann die gesuchte Metrik. Die Wohldefiniertheit dieser Konstruktion folgt aus der Invarianz der Killing-Form unter Ad(k) (k ∈ K). Für die Details sei auf [29], p. 269f und die dort zitierte Literatur verwiesen. Aus der Konstruktion folgt insbesondere, daß G als Gruppe von Isometrien auf G/K operiert. Mit Hilfe der Riemannschen Struktur lassen sich nun auch ein Volumenmaß und der Laplace-Beltrami-Operator auf G/K konstruieren, die beide ebenfalls G-invariant sind. Im Fall von Q^{+} bezeichnen wir mit dQ^{+} ein invariantes Volumenmaß und mit L den Laplace-Beltrami-Operator (von einem konstanten Normierungsfaktor abgesehen, den wir erst in dem weiter unten folgenden Satz 2.5 festlegen wollen). dQ^{+} ist natürlich nur bis auf positive Vielfache eindeutig bestimmt. Wir halten ein für allemal eine solche Normierung fest. L ist auch der “richtige” Laplace-Operator für unsere Zwecke, da die Thetafunktion Θ(z, Q^{+}) invariant unter der Wirkung der Gruppe Ω(𝔞) ist, also schon auf der Riemannschen Mannigfaltigkeit Q^{+}/Ω(𝔞) “lebt”. Das invariante Volumenmaß auf der oberen Halbebene ist dσ(z) = \frac{dxdy}{y^{2}} (und die Normierung ist dadurch festgelegt!).

Definiere den “Laplace-Beltrami-Operator zum Gewicht κ”

−Δ_{κ} := −y^{2} (\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) + iκy \frac{∂}{∂x}.

Für κ = 0 erhalten wir den durch die Riemannsche Metrik auf IH definierten Laplace-Operator. Für allgemeines κ ∈ IR läßt sich Δ_{κ} aus dem Casimir-Operator für Funktionen, die auf der universellen Überlagerung der Gruppe SL_{2}(IR) definiert sind, herleiten (siehe z.B. Kubota [10], Theorem 7.5.1). Auf die für unsere Zwecke relevanten Eigenschaften dieses Operators wird in Kapitel 3 näher eingegangen.

Wir formulieren nun einige weitere Ergebnisse C.L. Siegels aus [26], die für das Verständnis dieser Arbeit grundlegend sind.

Satz 2.2. (Siegel) Ist Q indefinit und keine binäre Nullform, so folgt die Endlichkeit von

vol(Q^{+}/Ω) := ∫_{Q^{+}/Ω} dQ^{+}.

Beweis. Siegel [26], chapter IV, §4. ■

Satz 2.3. (Siegel) Sei Q indefinit und gelte einer der folgenden Fälle:

• n ≥ 5

• n = 4, Q von der Signatur (1, 3) oder (3, 1)

• n = 2, 3 oder 4 und Q anisotrop.

Dann konvergiert das Integral

∫_{Q^{+}/Ω(𝔞)} Θ_{𝔞}(z, Q^{+}) dQ^{+}

und es ist

∫_{Q^{+}/Ω(𝔞)} Θ_{𝔞}(z, Q^{+}) dQ^{+} = y^{\frac{n}{4}} ∑_{\underline{λ}∈𝔞} ∫_{Q^{+}/Ω(𝔞)} e(Q[\underline{λ}]x + Q^{+}[\underline{λ}]iy)dQ^{+}.

Beweis. Siegel [26], chapter IV, §4.■

Siegels Hauptergebnis in [26] läßt sich in der folgenden Weise formulieren:

Satz 2.4. (Siegel) Sei Q indefinit, n ≥ 4 und im Falle n = 4 die quadratische Form Q keine Null-Normform einer Quaternionenalgebra. Dann ist

E(z) := \frac{1}{vol(Q^{+}/Ω(𝔄))} ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} Θ(z, Q^{+})dQ^{+}

Eigenfunktion des Operators −Δ_{κ} zum Eigenwert \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}) und daher insbesondere als Eisensteinreihe darstellbar.

Beweis. Siegel [26], §§4 -9. ■

Bemerkung.

(i) In den Beweisen der Sätze 2.2 und 2.3 konstruierte Siegel mit Hilfe der Reduktionstheorie (indefiniter) quadratischer Formen einen Fundamentalbereich (bzw., was nur “ein klein wenig” größer ist, einen “Siegel-Bereich”) für die Wirkung der Gruppe Ω(𝔞) auf Q^{+}. Zum Beweis von Satz 2.3 zeigte Siegel für y > 0 die Konvergenz der Reihe

∑_{\underline{λ}∈𝔞} ∫_{Q^{+}/Ω(𝔞)} e(Q^{+}[\underline{λ}]iy) dQ^{+}.

(ii) Für den Begriff der Eisensteinreihe sei auf Kapitel 3 verwiesen. Im Fall n = 4 konvergiert die Eisensteinreihe nicht absolut und die Summation muß in diesem Fall näher spezifiziert werden (vgl. [26]).

Satz 2.5. (Siegel - Maaß - Shintani):

(−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) Θ(z, Q^{+}) = −LΘ(z, Q^{+})

Beweis. Vgl. Maaß [13], Formeln (57) und (63) oder Shintani [23], Lemma 1.5 und Beweis von Proposition 1.7.■

Bemerkung.

(i) Wir “normieren” durch die Formel von Satz 2.5 den Operator −L (vgl. die Einleitung zu diesem Abschnitt).

(ii) Sehen wir von Konvergenzfragen ab, ergibt sich mit Satz 2.5 die Behauptung von Satz 2.4 aus der Selbstadjungiertheit des Laplace-Operators L:

(−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} Θ(z, Q^{+})dQ^{+}

= ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) Θ(z, Q^{+})dQ^{+}

= ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} −LΘ(z, Q^{+})dQ^{+}

= ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} Θ(z, Q^{+})(−L1)dQ^{+}

= 0.

3 Spektraltheorie, Eisensteinreihen

In diesem Kapitel stellen wir die für uns wichtigen Ergebnisse der Spektraltheorie reellanalytischer automorpher Formen der oberen Halbebene zusammen. Reell-analytische automorphe Eigenfunktionen des Laplace-Operators der oberen Halbebene (“Maaßsche Wellenformen”) wurden erstmals Ende der vierziger Jahre von H. Maaß systematisch untersucht. A. Selberg entwickelte dann in den fünfziger Jahren seine “Spurformel”, die einen Zusammenhang zwischen dem Spektrum des Laplace-Operators und dem “Längenspektrum” der Riemannschen Mannigfaltigkeit Γ\IH quantitativ und qualitativ beschreibt (siehe [21]). Hierbei wurde auch insbesondere die Existenz der meromorphen Fortsetzung reell-analytischer Eisensteinreihen nachgewiesen. In der für unsere Zwecke nötigen Allgemeinheit wurde die Theorie erstmals ausführlich von W. Roelcke [19] beschrieben, wobei man auch dort, wie Roelcke in der Einleitung schreibt, “viele Resultate von A. Selberg” findet. Roelckes Arbeit und Hejhals “Vol. 2” [8] sind die Hauptquellen für den größten Teil dieses Kapitels.

3.1 Automorphe Formen

Sei V ein endlichdimensionaler unitärer Vektorraum. Das innere Produkt zweier Vektoren v, w ∈ V werde mit ^{t}\overline{v}w bezeichnet (antilinear in v, linear in w). Sei χ ein unitäres Multiplikatorsystem einer Untergruppe Γ ⊂ SL_{2}(IR) zum reellen Gewicht κ mit Werten im Raum der (unitären) Automorphismen von V, d.h. für γ_{1}, γ_{2} ∈ Γ, z ∈ IH, ist

j_{κ}(γ_{1}γ_{2}, z)χ(γ_{1}γ_{2}) = j_{κ}(γ_{1}, γ_{2}z)j_{κ}(γ_{2}, z)χ(γ_{1})χ(γ_{2})

und

χ(−I) = e(−\frac{κ}{2})I_{V} .  (3.1)

Bis auf eine kleine Ausnahme in Kapitel 5.2 werden wir stets voraussetzen, daß Γ = SL_{2}(ZZ) ist, V = V_{𝔄}^{+} := der von den Vektoren {v_{𝔞} + v_{−𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄} aufgespannte Untervektorraum von V_{𝔄} und χ die Einschränkung auf V_{𝔄}^{+} des in Kapitel 2.3 durch das Transformationsverhalten der Thetafunktion beschriebenen Multiplikatorsystems ist (siehe auch Abschnitt A.1 im Anhang).

Eine Funktion f : IH → V heißt schwach automorphe Form (bezüglich (κ, χ, Γ)), wenn für alle γ ∈ Γ

f(γz) = j_{κ}(γ, z)χ(γ)f(z)

erfüllt ist. Ist f schwach automorph und zweimal differenzierbar, so ist auch −Δ_{κ}f schwach automorph.

Sei H_{IH} der Hilbertraum der schwach automorphen, quadratintegrierbaren Formen bezüglich des inneren Produkts

⟨f, g⟩ := ∫_{Γ\IH} ^{t}\overline{f(z)}g(z) dσ(z).

Sei H_{IH}^{∗} der Vektorraum schwach automorpher Formen, der aus H_{IH} durch Hinzunahme der in der Spitze i∞ höchstens polynomial wachsender, meßbarer Funktionen f entsteht. Für f ∈ H_{IH}^{∗} gibt es also ein c > 0, so daß f(z) = O(y^{c}) für y → ∞ gleichmäßig in x gilt.

Der Operator −Δ_{κ} ist wesentlich selbstadjungiert auf H_{IH} (vgl. [19], §3), d.h. der lineare Unterraum der zweimal stetig differenzierbaren Funktionen ist dicht (bezüglich der durch ⟨·, ·⟩ definierten Norm). −Δ_{κ} ist symmetrisch darauf (d.h. ⟨−Δ_{κ}f, g⟩ = ⟨f, −Δ_{κ}g⟩) und die Abschließung von −Δ_{κ} ist selbstadjungiert. Wir bezeichnen diese Abschließung ebenfalls mit −Δ_{κ}.

Eine schwach automorphe Form f ∈ H_{IH}^{∗} heißt automorph (zum Eigenwert λ), wenn

−Δ_{κ}f = λf

ist. f ist dann schon reell-analytisch.

Für 𝔪 ∈ IR/ZZ sei V^{(𝔪)} eine unitäre Basis von V^{(𝔪)} := \{v ∈ V | χ (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) v = e(m)v, m ∈ 𝔪\}.

Sei V := ⋃_{𝔪}V^{(𝔪)}.

Satz 3.1. (Fourierentwicklung automorpher Formen):

Sei f : IH → V automorphe Form zum Eigenwert s(1 − s), Re(s) ≥ \frac{1}{2}. Dann besitzt f eine Darstellung als Fourierreihe der Form

f(z) = ∑_{𝔪} ∑_{m∈𝔪} ∑_{v∈V^{(𝔪)}} a(y, m, v)e(mx)v,

wobei

a(y, m, v) := \{ \begin{matrix}b(m, v)W_{\frac{κ}{2} sgn(m),s− \frac{1}{2}} (4π|m|y) & für m ≠ 0 \\ c(0, v)y^{s} + d(0, v)y^{1−s} & für m = 0, s ≠ \frac{1}{2} \\ c(0, v)y^{\frac{1}{2}} + d(0, v)y^{\frac{1}{2}} log(y) & für m = 0, s = \frac{1}{2} \end{matrix}

und die Koeffizienten b(m, v), c(m, v), d(m, v) komplexwertig sind. Die Konvergenz ist absolut und für alle δ > 0 gleichmäßig in IH_{Im>δ}. Insbesondere gilt für geeignetes c > 0

f(z) = ∑_{v∈V^{(0)}} a(y, 0, v)v + O(e^{−cy}).

Beweis. Vgl. Roelcke [19], §2; Hejhal [8] p. 348 f. ■

Bemerkung.

(i) Eine automorphe Form f heißt Spitzenform, falls gilt

∑_{v∈V^{(0)}} a(y, 0, v) ≡ 0.

(ii) Eine automorphe Form ist genau dann quadratintegrierbar, wenn in ihrer Fourierentwicklung die Koeffizienten c(0, v) (und im Fall s = \frac{1}{2} auch noch d(0, v)) sämtlich gleich Null sind. Insbesondere sind Spitzenformen quadratintegrierbar.

3.2 Die Eisensteinreihe

Die einfachsten Beispiele für automorphe Formen liefern die Eisensteinreihen:

Definition 3.1. Für v ∈ V^{(0)}, s ∈ C_{Re>1} und z ∈ IH sei

E(z, s, v) := \frac{1}{2} ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} Im(γz)^{s}j_{κ}(γ, z)^{−1}χ(γ)^{−1}v.

Die Eisensteinreihe des Multiplikatorsystems χ zum Gewicht κ ist die Abbildung

\begin{matrix}E : IH × C_{Re>1} × V^{(0)} & → & V \\ (z, s, v) & ↦ & E(z, s, v). \end{matrix}

Bemerkung.

(i) Es wird immer klar sein, welches Gewicht und Multiplikatorsystem verwendet wird, so daß wir diese in der Notation unterdrücken können.

(ii) Die Summation “ ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ}” soll bedeuten, daß γ ein Repräsentantensystem der Rechts-

nebenklassen der Untergruppe Γ_{∞} = ⟨(\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix})⟩ von Γ durchläuft. Aus den Transforma-

tionseigenschaften des Multiplikatorsystems und der Eigenschaft “v ∈ V^{(0)}” folgt, daß die einzelnen Reihenglieder unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten sind. Da mit γ auch γ_{0} · γ (mit festem γ_{0}) ein vollständiges Repräsentantensystem der Rechtsnebenklassen durchläuft, ist die Eisensteinreihe schwach automorph (absolute Konvergenz vorausgesetzt).

(iii) Die Eisensteinreihe und ihre partiellen Ableitungen konvergieren lokal absolut gleichmäßig. Die Eisensteinreihe genügt der Eigenwertgleichung

−Δ_{κ}E(z, s, v) = s(1 − s)E(z, s, v),

was aus

−Δ_{κ}y^{s} = s(1 − s)y^{s}

und der Tatsache folgt, daß die Operatoren −Δ_{κ} und (f ↦ f ∘ γ), γ ∈ SL_{2}(IR), vertauschen. Als Funktion von v ist die Eisensteinreihe offensichtlich linear.

Der folgende Satz ist eine partielle Spezialisierung von Satz 3.1.

Satz 3.2. (Fourierentwicklung und meromorphe Fortsetzung der Eisensteinreihe) Für 𝔪 ∈ IR/ZZ, m ∈ 𝔪, w ∈ V^{(𝔪)}, v ∈ V^{(0)}, s ∈ C_{Re>1} sei

φ(s, m, v, w) := e(\frac{κ}{4}) ∑_{c>0} c^{−2s} ∑_{d^{∗}(c)} ^{t}\overline{w}χ (\begin{matrix}−d & b \\ c & −a \end{matrix}) v e(\frac{dm}{c}),

φ_{v,w}(s, m) := \frac{π^{s}|m|^{s−1}}{Γ(s + \frac{κ}{2}sgn(m))}φ(s, m, v, w),

φ_{v,w}(s) := \frac{π^{s}Γ(2s − 1)(4π)^{1−s}}{Γ(s + \frac{κ}{2})Γ(s − \frac{κ}{2})} φ(s, 0, v, w).

Dann gilt:

(i) Die Eisensteinreihe hat eine Entwicklung als Fourierreihe der Variablen x:

E(z, s, v) =y^{s}v + y^{1−s} ∑_{w∈V^{(0)}} φ_{v,w}(s)w

+ ∑_{𝔪∈IR/ZZ} ∑_{w∈V^{(𝔪)}} ∑_{{m∈𝔪 \atop m≠0}} φ_{v,w}(s, m)W_{\frac{κ}{2} sgn(m),s− \frac{1}{2}} (4π|m|y)e(mx)w (3.2)

(ii) Es gibt eine (von m, v, w unabhängige und nicht trivial verschwindende) holomorphe Funktion g : C → C, so daß g(s) · φ(s, m, v, w) als Funktion von s eine holomorphe Fortsetzung in die ganze komplexe Ebene hat.

Die mit g(s) multiplizierte rechte Seite von (3.2) konvergiert in IH × C × V^{(0)} lokal gleichmäßig, ist analytisch in (z, s, v) und holomorph in s.

(iii) Für Re(s) ≥ \frac{1}{2} hat die Eisensteinreihe höchstens endlich viele Polstellen, die alle einfach sind und in dem Intervall (\frac{1}{2}, 1] liegen.

Beweis. Z.B. in Hejhal [8], p. 128, p. 295 f., p. 374 oder in Roelcke [19] Sätze 10.3, 10.4. ■

Satz 3.3. (Funktionalgleichung der Eisensteinreihe): Sei

\begin{aligned}Φ : & C & → & End(V^{(0)}) \\ & s & ↦ & (Φ(s) : v ↦ ∑_{w∈V^{(0)}} φ_{v,w}(s)w) \end{aligned}

die durch den nullten Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe gegebene meromorphe Abbildung. Dann gilt für s ∈ C, v ∈ V^{(0)}:

(i)

Φ(s)Φ(1 − s) = Id_{V^{(0)}}

(ii)

E(z, 1 − s, v) = E(z, s, Φ(1 − s)v) = ∑_{w∈V^{(0)}} φ_{v,w}(1 − s)E(z, s, w)  (3.3)

Beweis. Roelcke [19], Formeln (10.19), (10.23), Satz 10.2, Hejhal [8] p. 372, p. 283 f., p. 76 ff. ■

Bemerkung. Der Beweis dieser Funktionalgleichung ergibt sich relativ einfach aus der Existenz der meromorphen Fortsetzung der Eisensteinreihe (vgl. Roelcke [19], Satz 10.2). Durch Vergleich der Fourierkoeffizienten auf beiden Seiten von (3.3) erhält man Funktionalgleichungen für die Funktionen φ(s, m, v, w).

3.3 Spektralzerlegung von H_{IH}

Satz 3.4. (Spektralzerlegung von H_{IH}):

(i) Es gibt ein abzählbares Orthonormalsystem {ϕ_{k} | k ∈ K} automorpher Formen ϕ_{k} ∈ H_{IH} zu Eigenwerten λ_{k} = s_{k}(1 − s_{k}) (mit Re(s_{k}) ≥ \frac{1}{2}), so daß sich jede Funktion f ∈ H_{IH} darstellen läßt durch

f(z) = ∑_{k∈K}⟨ϕ_{k}, f⟩ϕ_{k}(z) + \frac{1}{4πi} ∑_{v∈V^{(0)}} ∫_{( \frac{1}{2} )} ⟨E(·, s, v), f⟩E(z, s, v)ds,  (3.4)

wobei wir abkürzend ∫_{( \frac{1}{2} )} an Stelle von lim_{T →∞} ∫_{\frac{1}{2} −iT}^{\frac{1}{2} +iT} geschrieben haben.

(ii) Für f, g ∈ H_{IH} gilt die Parseval-Gleichung

⟨f, g⟩ = ∑_{k∈K} \overline{⟨ϕ_{k}, f⟩}⟨ϕ_{k}, g⟩ + \frac{1}{4πi} ∑_{v∈V^{(0)}} ∫_{( \frac{1}{2} )} \overline{⟨E(·, s, v), f⟩}⟨E(·, s, v), g⟩ds.

(iii) Die Eigenwerte (λ_{k})_{k∈K} sind reell und bis auf endlich viele Ausnahmen positiv. Sie haben keinen (endlichen) Häufungspunkt. Setzt man s_{k} = \frac{1}{2} + it_{k}, so gilt

#{k | T − 1 ≤ |t_{k}| ≤ T + 1} = O(T) für T → ∞.

Beweis. Roelcke [19], Satz 7.2, Satz 12.3. Hejhal [8],p. 458, Theorem 2.24.■

Bemerkung.

(i) Die Konvergenz der Reihe und der Integrale in (3.4) ist zunächst nur im L^{2}-Sinne zu verstehen. Liegt f im Definitionsbereich (der selbstadjungierten Abschließung) von −Δ_{κ}, so konvergiert die Darstellung (3.4) sogar gleichmäßig absolut auf Kompakta

von IH. (Für die Integrale in (3.4) heißt das: lim_{T →∞} ∫_{\frac{1}{2} −iT}^{\frac{1}{2} +iT} | … |ds existiert gleichmäßig auf

jedem vorgegebenen Kompaktum in IH.)

Da die ϕ_{k}(k ∈ K) und die Eisensteinreihen reell-analytisch sind und auch die bei uns vorkommenden f hinreichend oft differenzierbar sind mit −Δ_{κ}f ∈ H_{IH}, ist die Konvergenz in (3.4) sogar punktweise.

(ii) Die Eisensteinreihe E(·, s, v) ist auch für Re(s) = \frac{1}{2} nicht quadratintegrierbar, so daß der Ausdruck ⟨E(·, s, v), f⟩ noch Erläuterung braucht: man kann zeigen, daß für f ∈ H_{IH} und F_{T} := \{z ∈ IH | |z| ≥ 1, Re(z) ≤ \frac{1}{2}, Im(z) ≤ T \} der Grenzwert

lim_{T →∞} ∫_{F_{T}} ^{t}\overline{E(z, s, v)}f(z)dσ(z)

existiert. ⟨E(·, s, v), f⟩ sei in diesem Sinne zu verstehen.

4 Thetalift der Eisensteinreihen

Unsere Ergebnisse basieren auf einer Spektralzerlegung für die Thetafunktion Θ(z, Q^{+}) bezüglich −Δ_{κ}. Es wird sich herausstellen, daß sich diese Spektralzerlegung gleichzeitig als Spektralzerlegung bezüglich −L interpretieren läßt.

4.1 Definition von E(z, Q^{+})

Θ(z, Q^{+}) ist als Funktion von z nicht quadratintegrierbar:

Θ(z, Q^{+}) = y^{\frac{n}{4}} v\underline{0} + O(e^{−c(Q^{+})y}).

Die “einfachste” Funktion mit dem gleichen asymptotischen Verhalten in der Spitze i∞ ist die Eisensteinreihe E(z, s, v\underline{0}) im Punkt s = \frac{n}{4}, vorausgesetzt sie ist dort holomorph. Um auch den singulären Fall einzuschließen sei

E_{−1}(z) := Res_{s= \frac{n}{4}} E(z, s, v\underline{0})

und

E_{0}(z) := lim_{s→ \frac{n}{4}} (E(z, s, v\underline{0}) − \frac{E_{−1}(z)}{s − \frac{n}{4}})

Lemma 4.1.

(i) E_{−1}(z) und E_{0}(z) sind schwach automorph.

(ii) (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) E_{−1}(z) = 0

(iii) (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) E_{0}(z) = (1 − \frac{n}{2})E_{−1}(z)

Beweis. (i) und (ii) sind klar.

Zu (iii): es ist in einer kleinen Umgebung von s = \frac{n}{4}

E(z, s, v\underline{0}) = (s − \frac{n}{4})^{−1}E_{−1}(z) + E_{0}(z) + (s − \frac{n}{4})Ẽ_{1}(z, s, v\underline{0}),  (4.1)

wobei Ẽ_{1}(z, s, v\underline{0}) eine durch diese Gleichung definierte und in s = \frac{n}{4} holomorphe Funktion ist. Wende auf beiden Seiten von (4.1) den Operator −Δ_{κ} an:

s(1 − s)E(z, s, v\underline{0}) = \frac{\frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})}{s − \frac{n}{4}}E_{−1}(z) + (−Δ_{κ})E_{0}(z) + (−Δ_{κ})(s − \frac{n}{4})Ẽ_{1}(z, s, v\underline{0}).

Für s → \frac{n}{4} verschwindet der letzte Term auf der rechten Seite und man bekommt

−Δ_{κ}E_{0}(z) = lim_{s→ \frac{n}{4}} (s(1 − s)E(z, s, v\underline{0}) − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})E_{−1}(z)/(s − \frac{n}{4}))
= E_{0}(z) (\frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) + E_{−1}(z)(1 − \frac{n}{2}). ■

Für spätere Zwecke wollen wir die Fourierentwicklung von E_{0}(z) notieren. Im folgenden Lemma verwenden wir die Bezeichnungen von Satz 3.2 (i).

Lemma 4.2.

E_{0}(z) = y^{\frac{n}{4}} v\underline{0} + y^{1− \frac{n}{4}} ∑_{w∈V^{(0)}} Res_{s= \frac{n}{4}} (\frac{φ_{v\underline{0},w}(s))}{s − \frac{n}{4}}) w

−y^{1− \frac{n}{4}} log(y) ∑_{w∈V^{(0)}} Res_{s= \frac{n}{4}} (φ_{v\underline{0},w}(s)) w

+ ∑_{𝔪∈IR/ZZ} ∑_{w∈V^{(𝔪)}} ∑_{{m∈𝔪 \atop m≠0}} Res_{s= \frac{n}{4}} (\frac{φ_{v\underline{0},w}(s, m))}{s − \frac{n}{4}}) W_{\frac{κ}{2} sgn(m), \frac{n}{4} − \frac{1}{2}} (4π|m|y)e(mx)w

+ ∑_{𝔪∈IR/ZZ} ∑_{w∈V^{(𝔪)}} ∑_{{m∈𝔪 \atop m≠0}} Res_{s= \frac{n}{4}} (φ_{v\underline{0},w}(s, m)) \frac{∂}{∂s_{0}} |_{s= \frac{n}{4}} (W_{\frac{κ}{2} sgn(m),s− \frac{1}{2}} (4π|m|y)) e(mx)w.

Beweis. Sind g(s) und h_{1}(s) in s = s_{0} holomorph, h(s) := h_{−1}(s_{0})(s − s_{0})^{−1} + h_{0}(s_{0}) + h_{1}(s)(s − s_{0}), so ist

Res_{s=s_{0}} (g(s)h(s)) = g(s_{0})h_{−1}(s_{0})

und

lim_{s→s_{0}} (g(s)h(s) − \frac{Res_{s=s_{0}}(g(s)h(s))}{s − s_{0}}) = g′(s_{0})h_{−1}(s_{0}) + g(s_{0})h_{0}(s_{0}).

Wende dies mit s = \frac{n}{4} auf die Definition von E_{0}(z) an und verwende dabei die Fourierentwicklung von E(z, s, v\underline{0}) aus Satz 3.2 (i).■

Es folgt, daß Θ(z, Q^{+}) − E_{0}(z) auf Γ\IH quadratintegrierbar ist.

Definition 4.1.

E(z, Q^{+}) := E_{0}(z) + ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ϕ_{k}(z)⟨ϕ_{k}(·), Θ(·, Q^{+}) − E_{0}(·)⟩.

Wir betrachten zunächst das Wachstumsverhalten von E(z, Q^{+}) für z → i∞. Für automorphe Formen wird dieses durch den nullten Fourierkoeffizienten (bis auf einen exponentiell schnell in y → ∞ verschwindenen Term) bestimmt. Man überlegt sich schnell, daß das auch für E_{0}(z) und daher auch E(z, Q^{+}) gilt; genauer:

E(z, Q^{+}) = y^{\frac{n}{4}} v\underline{0} + y^{1− \frac{n}{4}} ∑_{w∈V^{(0)}} Res_{s= \frac{n}{4}} (\frac{φ_{v\underline{0},w}(s)}{s − \frac{n}{4}}) w

−y^{1− \frac{n}{4}} log(y) ∑_{w∈V^{(0)}} Res_{s= \frac{n}{4}} (φ_{v\underline{0},w}(s)) w

+y^{1− \frac{n}{4}} ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ∑_{w∈V^{(0)}} b_{k}(0, w)⟨ϕ_{k}(·), Θ(·, Q^{+}) − E_{0}(·)⟩w

+O(e^{−cy}), wobei für die auftretenden Koeffizienten im wesentlichen die Notation der Sätze 3.2 und 3.1 übernommen wurde. Wir schreiben dafür abkürzend

E(z, Q^{+}) = y^{\frac{n}{4}} v\underline{0} − y^{1− \frac{n}{4}} log(y) ∑_{w∈V^{(0)}} R_{−1,w}w + y^{1− \frac{n}{4}} ∑_{w∈V^{(0)}} R_{0,w}(Q^{+})w + O(e^{−cy})

und bemerken, daß c und die in dem Fehlerglied implizit auftretende Konstante als stetig von Q^{+} abhängig gewählt werden können.

Die Funktion E(z, Q^{+}) hat nicht nur ein zur Thetafunktion Θ(z, Q^{+}) analoges Wachstumsverhalten, sondern erfüllt auch dieselbe Differentialgleichung:

Proposition 4.3.

(−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) E(z, Q^{+}) = −LE(z, Q^{+})

Beweis. Unter Verwendung von Satz 2.5 berechnet man

−LE(z, Q^{+}) = ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ϕ_{k}(z)⟨ϕ_{k}(·), −L (Θ(·, Q^{+}) − E_{0}(·))⟩  (4.2)

= ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ϕ_{k}(z)⟨ϕ_{k}(·), (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) Θ(·, Q^{+})⟩.  (4.3)

Wegen der Definition von E(z, Q^{+}) und nach Lemma 4.1 (iii) erhalten wir dafür

= ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ϕ_{k}(z)⟨ϕ_{k}(·), (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) (Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}))⟩

+ ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ϕ_{k}(z)⟨ϕ_{k}(·), (1 − \frac{n}{2})E_{−1}(·)⟩.

Da Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}) als Funktion von z quadratintegrierbar ist, kann man in der ersten Summe den Operator −Δ_{κ}− \frac{n}{4}(1− \frac{n}{4}) wegen seiner Selbstadjungiertheit auf den ersten Faktor des inneren Produkts verschieben, so daß dieser verschwindet. Da E_{−1}(z) nach Lemma 4.1 (ii) (quadratintegrierbare!) Eigenfunktion zum Eigenwert \frac{n}{4}(1− \frac{n}{4}) ist, vereinfacht sich dieser Ausdruck zu

= (1 − \frac{n}{2})E_{−1}(z)

und mit Lemma 4.1 (iii) zu

= (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) E_{0}(z)
= (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) (E_{0}(z) + ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} ϕ_{k}(z)⟨ϕ_{k}(·), Θ(·, Q^{+}) − E_{0}(·)⟩)

= (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) E(z, Q^{+}) ■

4.2 Rankin-Selberg-Methode für die Thetafunktion

Für m ∈ Q sei 𝔄^{(m)} := {𝔞 ∈ 𝔄 | Q[𝔞] ≡ m (mod ZZ)} und V_{𝔄}^{(m)} der von der Menge von Vektoren {v_{𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄^{(m)}} aufgespannte Teilraum (siehe auch Abschnitt A.1). Hat ein Vektor v ∈ V^{(m)} bezüglich der Basis {v_{𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄^{(m)}} die Darstellung v = ∑_{𝔞∈𝔄^{(m)}} r_{𝔞}v_{𝔞} mit komplexen Koeffizienten r_{𝔞}, so sei

D_{m}(Q^{+}, s, v) := ∑_{𝔞∈𝔄^{(m)}} r_{𝔞}D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}).  (4.4)

Offensichtlich ist diese Definition (4.4) mit (1.1) verträglich. Wegen D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) = D_{m}(Q^{+}, s, v_{−𝔞}) kann man sich stets schon auf v ∈ V_{𝔄}^{(m)} ∩ V_{𝔄}^{+} = V^{(m)} beschränken. Desweiteren sei

D_{m}^{∗}(Q^{+}, s, v) := Γ(s + \frac{n}{4} − 1)(2π)^{1−s− \frac{n}{4}} D_{m}(Q^{+}, s, v).

Wir wenden uns nun dem Hauptresultat dieses Kapitels zu. Für T > 1 sei F_{T} := {z ∈ IH | |z| ≥ 1, Re(z) ≤ \frac{1}{2}, Im(z) ≤ T \} und F^{T} := \{z ∈ IH | Re(z) ≤ \frac{1}{2}, Im(z) > T \}. Dann ist F_{T} ∪ F^{T} ein (abgeschlossener) Fundamentalbereich für Γ\IH.

Satz 4.4. Sei v ∈ V^{(0)} und Q^{+} ∈ Q^{+}. Dann folgt:

(i) Die Dirichletreihe D_{0}(Q^{+}, s, v) hat Re(s) = \frac{n}{4} als Konvergenzabszisse. Für Re(s) > \frac{n}{4} gilt die Rankin-Selberg-Identität:

D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) = ∫_{F_{T}} ^{t}\overline{(Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}))}E(z, s, v) dσ(z)

+ ∫_{F^{T}} ^{t}\overline{(Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}))}E(z, s, v)

+ ^{t} (−y^{1− \frac{n}{4}} log y ∑_{w∈V^{(0)}} \overline{R_{−1,w}w} + y^{1− \frac{n}{4}} ∑_{w∈V^{(0)}} \overline{R_{0,w}(Q^{+})w})

· (y^{s}w + y^{1−s} ∑_{w∈V^{(0)}} φ_{v,w}(s)w) dσ(z)

+ ∑_{w∈V^{(0)}} φ_{v,w}(s)\overline{R_{0,w}(Q^{+})}\frac{T^{1−s− \frac{n}{4}}}{1 − s − \frac{n}{4}} + \overline{R_{0,v}(Q^{+})}\frac{T^{s− \frac{n}{4}}}{s − \frac{n}{4}}

− ∑_{w∈V^{(0)}} φ_{v,w}(s)\overline{R_{−1,w}} (\frac{T^{1−s− \frac{n}{4}} log(T)}{1 − s − \frac{n}{4}} − \frac{T^{1−s− \frac{n}{4}}}{(1 − s − \frac{n}{4})^{2}} )

−\overline{R_{−1,v}} (\frac{T^{s− \frac{n}{4}} log(T)}{s − \frac{n}{4}} − \frac{T^{s− \frac{n}{4}}}{(s − \frac{n}{4})^{2}} )

(ii) Die rechte Seite der Gleichung (i) ist als Funktion von s meromorph auf C und definiert daher für D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) eine meromorphe Fortsetzung nach C.

(iii) Im Bereich 1 − \frac{n}{4} < Re(s) < \frac{n}{4} gilt sogar

D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) = ⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), E(·, s, v)⟩.

(iv) Die durch

D_{0}^{∗}(Q^{+}, s) := ∑_{v∈V^{(0)}} D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v)v

definierte vektorwertige Abbildung genügt der Funktionalgleichung

D_{0}^{∗}(Q^{+}, 1 − s) = Φ(1 − s)D_{0}^{∗}(Q^{+}, s),

wobei Φ die durch die nullten Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihen gegebene Abbildung ist.

(v) Es gilt die Eigenwertgleichung

−LD_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) = (s(1 − s) − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}))D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v)

(vi) Setze d_{n} := \{ \begin{matrix}\frac{n}{2} − 1 & falls n gerade \\ \frac{3}{2}(\frac{n}{2} − 1) & falls n ungerade \end{matrix} \} und sei ϵ > 0. Dann gilt die Abschätzung

|D_{0}(Q^{+}, s, v)| ≪_{ϵ} (1 + |Im(s)|)^{d_{n}( \frac{n}{4} −σ+ϵ)/( \frac{n}{4} − \frac{1}{2} )}

für s ∈ C_{\frac{1}{2} ≤Re≤ \frac{n}{4} +ϵ} und s außerhalb einer ϵ-Umgebung der (reellen) Polstellen von D_{0}(Q^{+}, s, v).

Beweis.

(i) Von einer leicht geänderten Notation abgesehen kann der Beweis fast wörtlich von [1], Kapitel 4.2, übernommen werden. Damals hatte ich den Fall einer in s = \frac{n}{4} singulären Eisensteinreihe E(z, s, v) ausgeschlossenen, weshalb dort die R_{−1,w}-Terme nicht vorkommen. Formel (i) ist das Analogon zu [1], (4.24) - (4.27). Als Grundlage für [1], Kapitel 4.2 diente mir damals D. Zagiers Artikel [31]. (i) entspricht dort Formel (27).

(ii) Beide Integrale in (i) konvergieren und hängen meromorph von s ∈ C ab: für das erste Integral ist das klar, da F_{T} kompakt ist; der Integrand im zweiten Integral verschwindet (lokal gleichmäßig in s) exponentiell schnell in Im(z).

(iii) Betrachte in (i) lim_{T →∞}.

(iv) In den Koordinaten {v | v ∈ V^{(0)}} lautet die Behauptung

D_{0}^{∗}(Q^{+}, 1 − s, v) = D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, Φ(1 − s)v).

Im Bereich C_{1− \frac{n}{4} <Re< \frac{n}{4}} folgt dies aber schon aus (iii) und der Funktionalgleichung der Eisensteinreihen (vgl. Satz 3.3)

E(z, 1 − s, v) = E(z, s, Φ(1 − s)v).

Für “allgemeines” s folgt die Behauptung dann aus der analytischen Fortsetzung (ii).

(v) Für 1 − \frac{n}{4} < Re(s) < \frac{n}{4} ist mit (iii) und Proposition 4.3:

−LD_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) = ⟨−L(Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+})), E(·, s, v)⟩
= ⟨(−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}))(Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+})) , E(·, s, v)⟩
= ⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·Q^{+}) , (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}))E(·, s, v)⟩
= (s(1 − s) − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v).

Die Integrale (d.h. inneren Produkte ⟨·, ·⟩) sind dabei alle absolut konvergent.

Für “allgemeines” s = s_{0}, wobei s_{0} Holomorphiestelle von E(z, s, v) sei, folgt aus der Darstellung (i), daß D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) sogar reell-analytisch in (Q^{+}, s) lokal um s_{0} ist. Daher ist auch −LD_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) holomorph in s_{0} und die Behauptung folgt durch meromorphe Fortsetzung. In den Polstellen s = s_{0} ersetze man in der eben geführten Argumentation D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v) durch (s − s_{0})^{k}D_{0}^{∗}(Q^{+}, s, v), wobei k die Ordnung der Polstelle ist.

(vi) Sei w_{𝔯,φ} ∈ W^{(0)} wie in (A.6) definiert. Es reicht dann, die Behauptung für D_{0}(Q^{+}, s, w_{𝔯,φ}) zu zeigen, da W^{(0)} eine Basis von V^{(0)} bildet und D_{0}(Q^{+}, s, v) linear in v ist.

Rechts der Abszisse Re(s) = \frac{n}{4} + ϵ ist D_{0}(Q^{+}, s, w_{𝔯,φ}) als endliche Linearkombination absolut konvergenter Dirichletreihen nach oben durch O_{ϵ}(1) abschätzbar. Wendet man die Funktionalgleichung (iv) an, so ist

D_{0}(Q^{+}, 1 − s, w_{𝔯,φ}) = \frac{Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}{Γ(\frac{n}{4} − s)}D_{0}(Q^{+}, s, Φ(1 − s)w_{𝔯,φ}).  (4.5)

Nach den Sätzen 3.2 und A.15 ist Φ(1 − s)w_{𝔯,φ} endliche Summe von Ausdrücken der Form

\frac{π^{1−s}Γ(1 − 2s)(4π)^{s}}{Γ(1 − s − \frac{κ}{2})Γ(1 − s + \frac{κ}{2})}h′(1 − s)w_{r′,\overline{φ}} · \{ \begin{matrix}\frac{L(χ′_{φ},1−2s)}{L(χ_{φ},2−2s)} & n gerade \\ \frac{L(χ′_{φ},2−4s)}{L(χ_{φ},3−4s)} & n ungerade, \end{matrix}  (4.6)

wobei sich in den einzelnen Summanden nur die gestrichten Ausdrücke unterscheiden. Multipliziere die Gleichung (4.5) mit

\{ \begin{matrix}L(χ_{φ}, 2 − 2s) & falls n gerade \\ L(χ_{φ}, 3 − 4s) & falls n ungerade \end{matrix} \} .

Dann ist

D_{0}(Q^{+}, 1 − s, w_{𝔯,φ}) · \{ \begin{matrix}L(χ_{φ}, 2 − 2s) & falls n gerade \\ L(χ_{φ}, 3 − 4s) & falls n ungerade \end{matrix} \}

mit Ausnahme höchstens endlich vieler Polstellen in \frac{n}{4} +ϵ ≥ 1−s ≥ 1− \frac{n}{4} −ϵ holomorph.

Für s = \frac{n}{4} + ϵ + it bekommt man mit (4.5) und (4.6) sowie unter Anwendung der Stirlingschen Formel für die Γ-Funktion und den Standardabschätzungen für Dirichletsche L-Reihen längs vertikaler Achsen

|D_{0}(Q^{+}, 1 − (\frac{n}{4} + ϵ + it), w_{𝔯,φ}) · \{ \begin{matrix}L(χ_{φ}, 2 − 2(\frac{n}{4} + ϵ + it)) \\ L(χ_{φ}, 3 − 4(\frac{n}{4} + ϵ + it)) \end{matrix} \} |

≪_{ϵ} \frac{(1 + |t|)^{\frac{n}{4} +ϵ+ \frac{n}{4} −1− \frac{1}{2}} (1 + |t|)^{1−2( \frac{n}{4} +ϵ)− \frac{1}{2}}}{(1 + |t|)^{\frac{n}{4} −( \frac{n}{4} +ϵ)− \frac{1}{2}} (1 + |t|)^{1−( \frac{n}{4} +ϵ)− \frac{κ}{2}} (1 + |t|)^{1−( \frac{n}{4} +ϵ)+ \frac{κ}{2} − \frac{1}{2}}}

· \{ \begin{matrix}(1 + |t|)^{2( \frac{n}{4} +ϵ)− \frac{1}{2}} & falls n gerade \\ (1 + |t|)^{(n−1+4ϵ)− \frac{1}{2}} & falls n ungerade \end{matrix} \}

≪_{ϵ} \{ \begin{matrix}(1 + |t|)^{n−2+4ϵ} & (n gerade) \\ (1 + |t|)^{\frac{3}{2} n−3+6ϵ} & (n ungerade) \end{matrix}

Für s = 1 − \frac{n}{4} − ϵ + it ist trivialerweise

|D_{0}(Q^{+}, 1 − s, w_{𝔯,φ}) · \{ \begin{matrix}L(χ_{φ}, 2 − 2s) \\ L(χ_{φ}, 3 − 4s) \end{matrix} \} |

= |D_{0}(Q^{+}, \frac{n}{4} + ϵ − it, w_{𝔯,φ}) · \{ \begin{matrix}L(χ_{φ}, \frac{n}{2} + 2ϵ − 2it) \\ L(χ_{φ}, n + 4ϵ − 1 − 4it) \end{matrix} \} | ≪_{ϵ} 1.

und daher folgt mit dem Phragmén-Lindelöf-Prinzip (die Funktion D_{0}(Q^{+}, s, w_{𝔯,φ}) ist mit der Darstellung in (i) von endlicher Ordnung) längs der Achse Re(s) = \frac{1}{2} die Abschätzung

|D_{0}(Q^{+}, \frac{1}{2} − it, w_{𝔯,φ}) · \{ \begin{matrix}L(χ_{φ}, 1 − 2it) \\ L(χ_{φ}, 1 − 4it) \end{matrix} \} | ≪_{ϵ} (1 + |t|)^{d_{n}+ϵ} für |t| → ∞

wobei

d_{n} = \{ \begin{matrix}\frac{n}{2} − 1 & falls n gerade \\ \frac{3}{2}(\frac{n}{2} − 1) & falls n ungerade \end{matrix} \}

ist. Da längs der Abzisse der absoluten Konvergenz Dirichletscher L-Reihen die Abschätzung

|L(χ_{φ}, 1 + it)|^{−1} ≪_{ϵ} (1 + |t|)^{ϵ} (für |t| → ∞)

für jedes ϵ > 0 gilt, folgt

|D_{0}(Q^{+}, \frac{1}{2} + it, w_{𝔯,φ})| ≪_{ϵ} (1 + |t|)^{d_{n}+ϵ}.

Unter nochmaliger Anwendung des Phragmén-Lindelöf-Prinzips, diesmal auf die Funktion D_{0}(Q^{+}, s, w_{𝔯,φ}) im Streifen \frac{1}{2} ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + ϵ, folgt die Behauptung. ■

5 Poincaréreihen

5.1 Definition und meromorphe Fortsetzung

Für Re(z) = x und Im(z) = y sei e(m, z) := e(mx + i|m|y).

Definition 5.1. Sei m ∈ Q, 𝔪 := m + ZZ. Für v ∈ V^{(𝔪)}, s ∈ C_{Re>1}, z ∈ IH sei

P_{m}(z, s, v) := \frac{1}{2} ∑_{γ∈Γ_{∞}\Γ} Im(γz)^{s}e(m, γz)j_{κ}(γ, z)^{−1}χ(γ)^{−1}v.

Die m-te Poincaréreihe (zum Multiplikatorsystem χ und Gewicht κ) ist die Abbildung

\begin{aligned}P_{m} : & IH × C_{Re>1} × V^{(𝔪)} & → & V \\ & (z, s, v) & ↦ & P_{m}(z, s, v). \end{aligned}

Bemerkung.

(i) P_{0}(z, s, v) = E(z, s, v). Ist der Fall m = 0 nicht explizit eingeschlossen, so wollen wir im Zusammenhang mit den Poincaréreihen immer m ≠ 0 annehmen.

(ii) Die Bemerkung (i), (ii) und (iii) nach der Definition der Eisensteinreihe auf Seite 16 ist auf die Poincaréreihe sinngemäß übertragbar. Allerdings sind die Poincaréreihen im allgemeinen keine Eigenfunktionen des Laplace-Operators −Δ_{κ} mehr. Dafür gilt aber

−Δ_{κ}P (z, s, v) = s(1 − s)P_{m}(z, s, v) + 4π|m|(s − \frac{κ}{2}sgn(m))P_{m}(z, s + 1, v), (5.1)

was aus

−Δ_{κ}y^{s}e(i|m|y) = s(1 − s)y^{s}e(i|m|y) + 4π|m|(s − \frac{κ}{2}sgn(m))y^{s+1}e(i|m|y)

folgt.

(iii) Die Poincaréreihen sind quadratintegrierbar:

P_{m}(·, s, v) ∈ H_{IH},

genauer:

P_{m}(z, s, v) = O(y^{1−s}) für y → ∞.

Sei R_{λ} := (−Δ_{κ} − λ)^{−1} der Resolventenoperator von −Δ_{κ}. Er ist für λ ∈ C_{Im≠0} ein beschränkter Operator auf H_{IH} und hängt holomorph von λ ab. Mit (5.1) bekommen wir für s(1 − s) ∉ IR

P_{m}(·, s, v) = 4π|m|(s − \frac{κ}{2}sgn(m))R_{s(1−s)}(P_{m}(·, s + 1, v))

und damit eine holomorphe Fortsetzung von P_{m}(z, s, v) in den Bereich {s ∈ C | Re(s) > \frac{1}{2}, s(1 − s) ∉ R\}.

Darüberhinaus gilt der

Satz 5.1. (Spektralzerlegung und meromorphe Fortsetzung der Poincaréreihen): Sei {ϕ_{k} | k ∈ K} wie in Satz 3.4. Sei die Fourierentwicklung der ϕ_{k} durch

ϕ_{k}(z) = ∑_{𝔪∈IR/ZZ} ∑_{{m∈𝔪 \atop m≠0}} ∑_{w∈V^{(𝔪)}} b_{k}(m, w)W_{\frac{κ}{2} sgn(m),s_{k}− \frac{1}{2}} (4π|m|y)e(mx)w

+ ∑_{w∈V^{(0)}} b_{k}(0, w)y^{1−s_{k}}w

und die Fourierentwicklung der Eisensteinreihe wie in Satz 3.2 gegeben.

Dann ist für m ∈ 𝔪, m ≠ 0, v ∈ V^{(𝔪)}

P_{m}(z, s, v) = ∑_{k∈K} \overline{b_{k}(m, v)}(4π|m|)^{1−s} \frac{Γ(s − \overline{s}_{k})Γ(s − (1 − \overline{s}_{k}))}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))}ϕ_{k}(z)

+\frac{1}{4π} ∑_{w∈V^{(0)}} ∫_{−∞}^{∞} \overline{φ_{w,v}(\frac{1}{2} + it, m)}(4π|m|)^{1−s} \frac{Γ(s − \frac{1}{2} + it)Γ(s − \frac{1}{2} − it)}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))}E(z, \frac{1}{2} + it, w)dt.

(5.2)

Mit Hilfe dieser Spektralentwicklung folgt die Existenz einer meromorphen Fortsetzung der Poincaréreihe als Funktion von s in die ganze komplexe Ebene. Bezüglich der Variablen z ist sie auch in dem fortgesetzten Bereich quadratintegrierbar auf Γ\IH.

Beweis. Vgl. [1], Korollar 3.1 und Abschnitt 4.2. ■

Bemerkung.

(i) Die Koeffizienten der Spektralentwicklung werden mit dem “Rankin-Trick” berechnet:

∫_{Γ\IH} ^{t}\overline{f(z)}P_{m}(z, s, v) dσ(z) = ∫_{Γ_{∞}\IH} ^{t}\overline{f(z)}e(m, z)y^{s}dσ(z)

= ∫_{0}^{∞} ^{t}\overline{(m-ter Fourierkoeffizient von f_{v})} e(i|m|y)y^{s−2} dy,

vgl. auch [5].

(ii) Sind K_{C} ⊂ C und K_{IH} ⊂ IH kompakt, so kann man s_{0} ∈ C_{Re>1} finden, so daß (Stirlings Formel für die Γ-Funktion!)

|Γ(s − \overline{s}_{k})Γ(s − (1 − \overline{s}_{k}))| < const(K_{C}, K_{IH}) |Γ(s_{0} − s_{k})Γ(s − (1 − s_{k}))|

für fast alle k ∈ K und alle s ∈ K_{C} gilt. Daher folgt die absolut gleichmäßige Konvergenz der Reihe (5.2) aus der absolut gleichmäßigen Konvergenz der Reihe (5.2) auf {s_{0}} × K_{IH}. Für die Integrale in (5.2) argumentiert man entsprechend, wobei allerdings für Re(s) = \frac{1}{2} − ZZ_{≥0} die Integrationswege ein klein wenig geändert werden müssen, da der Integrand in (5.2) in it = s − \frac{1}{2} und it = −(s − \frac{1}{2}) singulär ist. Für die Details verweise ich auf [1].

(iii) Die Spektralzerlegung der meromorphen Fortsetzung der Poincaréreihe ist nur für Re(s) > \frac{1}{2} durch (5.2) gegeben. Bedingt durch die in (ii) erwähnten Singularitäten des Integranden haben die Integrale in (5.2) Sprungeigenschaften, wenn s die Wege \{\frac{1}{2} − n + it | t ∈ IR\}, n ∈ ZZ_{≥0}, überquert. Entsprechend müssen in Bereichen s ∈ C_{n− \frac{1}{2} <Re<n+ \frac{1}{2}} für die meromorphe Fortsetzung von P_{m}(z, s, v) Korrekturterme in (5.2) hinzugefügt werden. Für die Details siehe [1].

5.2 Exkurs

Die Poincaréreihen spielen in dieser Arbeit eine zentrale Rolle. Ihre Bedeutung liegt letztlich darin begründet, daß das lineare Funktional

\begin{matrix}H_{IH} & → C \\ f & ↦ ⟨f, P_{m}(·, s, v)⟩ \end{matrix}  (5.3)

gerade den (m, v)-ten Fourierkoeffizienten von f “extrahiert” (vgl. die vorangehende Bemerkung (i)), und zudem meromorph von dem Parameter s abhängt, was im Prinzip der Untersuchung von Fourierkoeffizienten automorpher Formen klassische Methoden der analytischen Zahlentheorie zugänglich macht. Allerdings gibt es bislang kein allgemeines Rezept, Dirichletreihen, die durch (5.3) gegeben werden und deren meromorphe Fortsetzung durch diese Darstellung auch unmittelbar folgt, in dem fortgesetzten Bereich längs vertikaler Streifen vernünftig abzuschätzen.

Die zwei folgenden Beispiele stammen (explizit bzw. implizit) aus A. Selbergs Artikel [22], in dem er erstmals die reell-analytische Poincaréreihe definierte und die “Methode” (5.3) vorschlug. Diese beiden Beispiele beschreiben auch die bislang einzigen Fälle, für die polynomiales Wachstum in vertikalen Streifen der meromorphen Fortsetzung gezeigt worden ist – im ersten Beispiel von A. Good, im zweiten von D. Goldfeld und P. Sarnak. Einen neuen solchen Fall will ich in Kapitel 6 behandeln.

1. Beispiel: Sei Γ′ eine koendliche Isometriegruppe der oberen Halbebene, ±I ∈ Γ′. Seien f(z) = ∑_{n>0} a_{n}e(nz) und g(z) = ∑_{n>0} b_{n}e(nz) holomorphe Spitzenformen der Typen (κ_{1}, χ_{1}, Γ′)

bzw. (κ_{2}, χ_{2}, Γ′) und P_{m}(z, s) die Poincaréreihe bezüglich (κ_{1} − κ_{2}, χ · \overline{χ}_{2}, Γ′). Dann ist das innere Produkt

⟨Im(·)^{\frac{κ_{1}+κ_{2}}{2}} f(·)\overline{g(·)}, P_{m}(·, s)⟩ = Γ(s + \frac{κ_{1} + κ_{2}}{2} − 1) ∑_{{k,l>0 \atop k−l=m}} \frac{\overline{a_{k}}b_{l}}{(4πk)^{s+ \frac{κ_{1}+κ_{2}}{2} −1}} .  (5.4)

Aus dieser Darstellung lassen sich unmittelbar meromorphe Fortsetzung sowie Lage und Ordnung von Polstellen der rechtsstehenden Dirichtletreihe ablesen. Diese korrespondieren mit den Eigenwerten des Laplace-Operators −Δ_{κ_{1}−κ_{2}}. Für den Fall geradzahliger Gewichte > 2 konnte A. Good Anfang der achtziger Jahre zeigen, daß die meromorphe Fortsetzung der rechtsstehenden Dirichletreihe nur polynomial mit Im(s) wächst und damit (beispielsweise) folgern, daß für die Ramanujan-τ-Funktion

∑_{1≤l≤X} τ(l)τ(l + m) ≪_{m} X^{12− \frac{1}{3}}

gilt (vgl. A. Good [7]).

Good benutzte in seinem Beweis, daß jede Spitzenform geradzahligen Gewichtes > 2 endliche Linearkombination holomorpher Poincaréreihen der Form

∑_{γ∈Γ′_{∞}\Γ′}(cz + d)^{−κ}e(mγz)

ist und konnte den Rankin-Trick so auch auf den ersten Faktor in dem inneren Produkt in (5.4) anwenden.

2. Beispiel: Sei Γ′ wie im ersten Beispiel und χ ein Multiplikatorsystem vom Gewicht κ für Γ′. Für natürliche Zahlen m, n, c wird die Kloostermansumme durch

S(m, n, c, χ) = ∑_{ad≡1(c)} \overline{χ (\begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix})}e (\frac{ma + nd}{c})

gegeben. Selbergs Kloosterman-Zetafunktion ist

Z_{m,n}(s, χ) = ∑_{c>0} \frac{S(m, n, c, χ)}{c^{2s}}.

Der n-te Fourierkoeffizient der Poincaréreihe P_{m}(z, s) läßt sich durch die Funktion Z_{m,n}(s, χ) darstellen (vgl. [22]). Aus der meromorphen Fortsetzung und Kenntnis der Lage und Ordnung der Postellen der Poincaréreihen folgt die meromorphe Fortsetzung von Z_{m,n}(s, χ), sowie Kenntnis ihrer Singularitäten. Selberg verwendete diese Kloosterman-Zetafunktion in [22], um das Verhalten der Summe

∑_{c≤X} \frac{S(m, n, c, χ)}{c}  (5.5)

für große X zu untersuchen. Ist χ ≡ 1 und Γ′ = Γ, so besagt die bislang immer noch unbewiesene “Linnik-Selberg-Vermutung”, daß der Ausdruck in (5.5) durch O_{ϵ}(X^{ϵ}) abgeschätzt werden kann. Selberg zeigte für gewisse (Γ′, χ) ein “negatives” Ergebnis: für die von ihm betrachteten (Γ′, χ) hat Z_{m,n}(s, χ), bedingt durch die Existenz “kleiner” Eigenwerte von −Δ_{κ}, Polstellen, die nicht existieren könnten, wenn die Linnik-Selberg-Vermutung für diese (Γ′, χ) wahr wäre. Er schreibt in [22]: “… we are far from being able to deduce anything like [… Linnik-Selberg-Vermutung …] for lack of good estimates of Z for s = σ + it, σ > \frac{1}{2} and t large.” Solch eine Abschätzung für Z_{m,n}(s, χ) wurde 1983 von D. Goldfeld und P. Sarnak [5] mit einem überraschend einfachen Trick gezeigt: sie berechneten für Re(s) > \frac{1}{2} das innere Produkt

⟨P_{m}(·, \overline{s}), P_{n}(·, s + 2)⟩ = (−i)^{κ}4^{−s−1}π^{−1}n^{−2} \frac{Γ(2s + 1)}{Γ(s + \frac{κ}{2})Γ(s − \frac{κ}{2})}Z_{m,n}(s, χ) + R(s), (5.6)

wobei die Funktion R(s) für Re(s) > \frac{1}{2} holomorph ist und dort einfach durch O(|Re(s)− \frac{1}{2}|^{−1}) abschätzbar ist. Andererseits gewinnt man unmittelbar aus der Resolventenabschätzung

|R_{λ}| ≪ |dist(λ, Spektrum(−Δ_{κ}))|^{−1}

und einer im Bereich Re(s) > 1 trivialen L^{2}-Abschätzung für die Poincaréreihe die L^{2}- Abschätzung

⟨P_{m}(·, s), P_{m}(·, s)⟩^{\frac{1}{2}} = O (\frac{s − \frac{κ}{2}}{|Im(s)|(2Re(s) − 1)})

in einem Bereich der meromorphen Fortsetzung. Zusammen mit (5.6)) und der Stirlingschen Formel für die Γ-Funktion folgt das polynomiale Wachstum von Selbergs Kloosterman-Zetafunktion in Im(s) für Re(s) > \frac{1}{2} + ϵ. Damit konnten dann, wenn auch nicht die Linnik-Selberg-Vermutung bewiesen, so doch Selbergs “negative” Ergebnisse durch asymptotische Formeln mit Restglied für (5.5) verschärft werden. Obere Abschätzungen für das asymptotische Verhalten von (5.5) waren zuvor von verschiedenen Autoren (u.a. N.V. Kuznecov, J.M. Deshouillers und H. Iwaniec, N.V. Proskurin) unter Verwendung der Kuznecov-Bruggemanschen Summationsformel gezeigt worden.

6 Thetalift der Poincaréreihen

6.1 Meromorphe Fortsetzung der Dirichletreihen D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞})

Der folgende Satz wurde für den Fall n ≥ 5 teilweise schon in [1], Kapitel 4, bewiesen. Für n ≥ 3 unterscheidet sich der Beweis nur unwesentlich. Da er aber die Grundlage für den Rest dieses Kapitels bildet, welches das Kernstück dieser Arbeit darstellt, soll er nicht unterschlagen werden.

Satz 6.1. (Meromorphe Fortsetzung von D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}).) Sei Q indefinit, n ≥ 3, Q^{+} ∈ Q^{+}, m ∈ Q \ {0}, 𝔞 ∈ 𝔄^{(𝔪)} und v = v_{𝔞} + v_{−𝔞}.

(i) Die Dirichletreihe

D_{m}(Q^{+}, s, v) = 2 ∑_{{\underline{λ}∈𝔞 \atop Q[\underline{λ}]=m}}(Q^{+}[\underline{λ}] + |m|)^{1−s− \frac{n}{4}}

hat Re(s) = \frac{n}{4} als Konvergenzabszisse und besitzt eine meromorphe Fortsetzung nach ganz C.

(ii) Im Bereich Re(s) > \frac{1}{2} hat D_{m}(Q^{+}, s, v) nur reelle Polstellen. Diese werden vollständig durch die Hauptteile der Laurententwicklungen von

E_{m}(Q^{+}, s, v) := \frac{⟨E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩}{Γ(s + \frac{n}{4} − 1)(2π)^{1−s− \frac{n}{4}}}

beschrieben und sind einfache Pole, falls E(z, s, v\underline{0}) in s = \frac{n}{4} holomorph ist. Falls E(z, s, v\underline{0}) in s = \frac{n}{4} einen Pol hat, ist die Polordnung von D_{m}(Q^{+}, s, v) in s = \frac{n}{4} höchstens zwei.

(iii) Der führende Term in der Laurententwicklung von D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) in s = \frac{n}{4} läßt sich vollständig durch den Fourierkoeffizienten φ_{v\underline{0},v}(s, m) in s = \frac{n}{4} (bzw. dessen Residuum, falls φ_{v\underline{0},v}(s, m) dort einen Pol hat) beschreiben und ist damit unabhängig von Q^{+}. Ist φ_{v\underline{0},v}(s, m) in s = \frac{n}{4} singulär, so ist das Residuum von D_{m}(Q^{+}, s, v) in s = \frac{n}{4} im allgemeinen von Q^{+} abhängig.

Beweis. Die Funktion Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}) ist auf Γ\IH quadratintegrierbar. Mit Satz 5.1 folgt, daß

⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩

= ∑_{k∈K} \overline{b_{k}(m, v)}(4π|m|)^{1−s} \frac{Γ(s − \overline{s}_{k})Γ(s − (1 − \overline{s}_{k}))}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))}⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), ϕ_{k}⟩

+ \frac{1}{4π} ∑_{w∈V^{(0)}} ∫_{−∞}^{∞} \overline{φ_{w,v}(\frac{1}{2} + it, m)}(4π|m|)^{1−s} \frac{Γ(s − \frac{1}{2} + it)Γ(s − \frac{1}{2} − it)}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))}

⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), E(·, \frac{1}{2} + it, w)⟩dt

(6.1) als Funktion von s meromorph auf ganz C ist. Ist λ_{k} = \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}), so ist ⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), ϕ_{k}⟩ = 0 (so wurde E(z, Q^{+}) konstruiert!). Daher gibt es in Re(s) > \frac{1}{2} allenfalls noch Pole, die durch Summanden der Reihe ∑_{k∈K}(…) in (6.1) entstehen, für die

\frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}) < λ_{k} = s_{k}(1 − s_{k}) < \frac{1}{4} gilt. Diese Pole sind reell und endlich an Zahl.

Für Re(s) > max\{\frac{n}{4}, 1\} sind aber auch die durch

⟨Θ(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩ und ⟨E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩

definierten Integrale absolut konvergent und lassen sich mit dem Rankin-Trick berechnen: mit den Bezeichnungen von Lemma 4.2 ist

E_{m}^{∗}(Q^{+}, s, v) := ⟨E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩
= ⟨E_{0}(·), P_{m}(·, s, v)⟩

+ ∑_{{k∈K \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} \overline{b_{k}(m, v)} (4π|m|)^{1−s} \frac{Γ(s − \frac{n}{4})Γ(s − (1 − \frac{n}{4}))}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))} ⟨Θ(·, Q^{+}) − E_{0}(·), ϕ_{k}⟩

= ( \overline{φ_{v\underline{0},v,0}(\frac{n}{4}, m)} + ∑_{{k \atop λ_{k}= \frac{n}{4} (1− \frac{n}{4} )}} \overline{b_{k}(m, v)}⟨Θ(·, Q^{+}) − E_{0}(·), ϕ_{k}⟩)

· (4π|m|)^{1−s} \frac{Γ(s − \frac{n}{4})Γ(s − (1 − \frac{n}{4}))}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))}

+ \overline{φ_{v\underline{0},v,−1}(\frac{n}{4}, m)} (4π|m|)^{1−s} \frac{∂}{∂s_{0}} |_{s_{0}= \frac{n}{4}} \frac{Γ(s − s_{0})Γ(s − (1 − s_{0}))}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))},

wobei wir mit φ_{v\underline{0},v,j}(\frac{n}{4}, m) den zu (s − \frac{n}{4})^{j} gehörenden Koeffizienten in der Laurententwicklung von φ_{v\underline{0},v}(s, m) um s = \frac{n}{4} bezeichnet haben. Desweiteren ist

⟨Θ(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩ = D_{m}^{∗}(Q^{+}, s, v).

Wegen

D_{m}(Q^{+}, s, v) = \frac{(2π)^{\frac{n}{4} +s−1}}{Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}(⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩ + ⟨E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩)

ergeben sich die Behauptungen (i), (ii) und (iii) aus diesen Darstellungen. ■

Bemerkung. Im Streifen \frac{1}{2} ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + 1 ist für ϵ > 0

\frac{(2π)^{s+ \frac{n}{4} −1}}{Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}⟨E(·, Q^{+}), P_{m}(·, s, v)⟩ ≪_{ϵ} t^{\frac{κ}{2} sgn(m)− \frac{n}{4} +ϵ}

für 1 < |Im(s)| → ∞. Dies folgt aus Stirlings Formel und der bekannten Abschätzung für die logarithmische Ableitung der Γ-Funktion

|\frac{Γ′(z)}{Γ(z)}| ≪ log(z)

für |z| → ∞, |arg(z)| < π.

6.2 Die Integraloperatoren S und T

Für den Rest dieses Kapitels sei Q indefinit und anisotrop, d.h. ist Q[\underline{λ}] = 0 mit \underline{λ} ∈ ZZ^{n}, so folgt schon \underline{λ} = \underline{0}. Da jede ganzzahlige indefinite quadratische Form in fünf Veränderlichen isotrop ist, schränken wir uns damit insbesondere auf die Fälle n = 3 oder n = 4 ein. Aus der Anisotropie von Q folgt die Kompaktheit der Mannigfaltigkeit Q^{+}/Ω (vgl. etwa Siegel [26], Kapitel IV, §4 oder Borel [2], §8.6). Da Ω(𝔄) in Ω von endlichem Index ist, ist auch Q^{+}/Ω(𝔄) kompakt. Desweiteren impliziert die Anisotropie von Q, daß E(z, s, v\underline{0}) im Punkt s = \frac{n}{4} holomorph ist und der nullte Fourierkoeffizient allein aus dem Term y^{s}v\underline{0} besteht, die Koeffizienten φ_{v\underline{0},v_{𝔞}}(s) in s = \frac{n}{4} also verschwinden. Daher verschwindet

Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+})

gleichmäßig auf Q^{+} exponentiell schnell für Im(z) → ∞.

Definiere für (z_{1}, z_{2}) ∈ IH × IH den Integralkern

t(z_{1}, z_{2}) := ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} (Θ(z_{1}, Q^{+}) − E(z_{1}, Q^{+})) ^{t}\overline{(Θ(z_{2}, Q^{+}) − E(z_{2}, Q^{+}))} dQ^{+}  (6.2)

und für f ∈ H_{IH}^{∗} den Integraloperator

T f(z_{1}) := ∫_{Γ\IH} t(z_{1}, z_{2})f(z_{2})dσ(z_{2}).

Da Q^{+}/Ω(𝔄) kompakt ist und der Integrand in (6.2) stetig ist und invariant unter Transformationen Q^{+} ↦ Q^{+}[T] (mit T ∈ Ω(𝔄)), existiert t(z_{1}, z_{2}) stets.

Satz 6.2.

(i) Für γ_{1}, γ_{2} ∈ Γ ist

t(γ_{1}z_{1}, γ_{2}z_{2}) = j_{κ}(γ_{1}, z_{1})χ(γ_{1})t(z_{1}, z_{2}) ^{t}\overline{χ(γ_{2})}j_{κ}(γ_{2}, z_{2})^{−1}.

(ii) t(z_{1}, z_{2}) ist hermitesch und quadratintegrierbar auf Γ\IH × Γ\IH.

(iii) T bildet schwach automorphe Formen in schwach automorphe Formen ab, d.h. für

γ ∈ Γ, z ∈ IH ist

T f(γz) = j_{κ}(γ, z)χ(γ)T f(z).

(iv) Ist f schwach automorph und von höchstens polynomialem Wachstum in Im(s), so ist T f quadratintegrierbar.

(v) T ist symmetrisch:

⟨T f, g⟩ = ⟨f, T g⟩.

(vi) T kommutiert mit −Δ_{κ}:

−Δ_{κ}T f = T (−Δ_{κ})f.

(vii) T ist ein positiver Operator:

⟨T f, f⟩ ≥ 0.

Zum Beweis von Satz 6.2 ist es günstig, erst noch einen mit T in enger Beziehung stehenden Operator zu definieren:

Für f ∈ H_{IH}^{∗} sei

Sf(Q^{+}) := ∫_{Γ\IH} ^{t}\overline{(Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}))} f(z) dσ(z).  (6.3)

Sei H_{Q^{+}} der L^{2}-Raum der Ω(𝔄)-invarianten meßbaren Funktionen F : Q^{+} → C bezüglich des inneren Produkts

\{F, G\} := ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} \overline{F (Q^{+})} G(Q^{+}) dQ^{+}.

Satz 6.3.

(i) Für T ∈ Ω(𝔄) ist

Sf(Q^{+}[T]) = Sf(Q^{+}).

(ii) Ist f(x) von höchstens polynomialen Wachstum in Im(z), so ist Sf(Q^{+}) (beliebig oft) differenzierbar und die Differentiation kann mit dem Sf(Q^{+}) definierenden Integral (6.3) vertauscht werden.

(iii) Für f ∈ H_{IH}^{∗} ist Sf ∈ H_{Q^{+}}.

(iv) Für f, g ∈ H_{IH}^{∗} ist

{Sf, Sg} = ⟨f, T g⟩

(v) Sind f, g ∈ H_{IH}^{∗} mit ⟨f, g⟩ = 0 und ist g Eigenfunktion von T , so folgt {Sf, Sg} = 0.

(vi) Ist v ∈ V^{(0)}, so ist

SE(·, s, v) ≡ 0.

Ist λ_{k} = \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}), so ist

Sϕ_{k} ≡ 0.

(vii)

S (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})) = −LS

Ist insbesondere ϕ Eigenfunktion von −Δ_{κ} zum Eigenwert λ, so ist Sϕ Eigenfunktion von −L zum Eigenwert λ − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}).

Beweis von Satz 6.3.

(i) ist klar, da Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}) invariant unter der Operation von Ω(𝔄) ist. (ii) folgt aus dem (lokal gleichmäßig in Q^{+}) exponentiell schnellen Verschwinden von

Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}) in der Spitze i∞. (iii) verwende (ii) und die Tatsache, daß Q^{+}/Ω(𝔄) kompakt ist. (iv)

\{Sf, Sg\} = ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} ^{t}\overline{Sf(Q^{+})}Sg(Q^{+})dQ^{+}
= ∫_{Q^{+}/Ω(𝔄)} ∫_{Γ\IH} ^{t}\overline{f(z_{1})}(Θ(z_{1}, Q^{+}) − E(z_{1}, Q^{+})) dσ(z_{1})

∫_{Γ\IH} ^{t}\overline{(Θ(z_{2}, Q^{+}) − E(z_{2}, Q^{+}))}g(z_{2})dσ(z_{2}) dQ^{+}

= ∫_{Γ\IH} ∫_{Γ\IH} ^{t}\overline{f(z_{1})}t(z_{1}, z_{2})g(z_{2}) dσ(z_{2}) = ⟨f, T g⟩,

wobei die Vertauschungen der Integrale wegen des schnellen Abfalls der Integranden in der Spitze i∞ und der Kompaktheit von Q^{+}/Ω(𝔄) erlaubt sind.

(v) Folgt aus (iv). (vi) Folgt aus der Anisotropie von Q und aus der Konstruktion von Θ(z, Q^{+}) − E(z, Q^{+}). (vii) Sei f ∈ H_{IH}^{∗} hinreichend oft differenzierbar. Wegen der Selbstadjungiertheit von −Δ_{κ} −

\frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}), Proposition 4.3 und (ii) erhält man

S(−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}))f(Q^{+}) = ⟨Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+}), (−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}))f⟩
= ⟨(−Δ_{κ} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}))(Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+})), f⟩
= ⟨−L(Θ(·, Q^{+}) − E(·, Q^{+})), f⟩
= −LSf  ■

Der Beweis von Satz 6.2 ist in den einzelnen Punkten nun entweder offensichtlich oder eine Wiederholung der Argumente des Beweises von Satz 6.3 und soll deswegen nicht weiter ausgeführt werden.

6.3 Hilfssätze

Zur Erinnerung sei erwähnt, daß wir mit λ_{k} = s_{k}(1 − s_{k}) die Eigenwerte von ϕ_{k} (k ∈ K) bezüglich −Δ_{κ} bezeichnet hatten. Sei t_{k} := (s_{k} − \frac{1}{2})/i für k ∈ K.

Lemma 6.4. Sei σ > \frac{1}{2}, β ≥ 0, 0 ≤ α < \frac{1}{2}, s = σ + it mit t ∈ IR. Dann gilt für t → ∞

∑_{{k∈K \atop 1≤|t_{k}|≤2t}} |\frac{(s − \frac{κ}{2}sgn(m)) (s + \frac{n}{4} − 1)}{(s − (1 − \overline{s_{k}})) (s − \overline{s_{k}})}|^{2α} |\overline{s_{k}}(1 − \overline{s_{k}}) − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})|^{2β} ≪_{α,β,σ} t^{4β+2}.

Beweis. Die Behauptung des Lemmas ist identisch mit

∑_{{k∈K \atop 1≤|t_{k}|≤2t}} \frac{|\frac{1}{4} + t_{k}^{2} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4})|^{2β}}{|(σ − \frac{1}{2})^{2} + (t − t_{k})^{2}|^{α} |(σ − \frac{1}{2})^{2} + (t + t_{k})^{2}|^{α}} ≪_{α,β,σ} t^{4β−4α+2}

für t → ∞. Wir spalten diese Summe auf:

(I) + (II) + (III) := ∑_{{k∈K \atop 1≤|t_{k}|<t−1}} + ∑_{{k∈K \atop t−1≤|t_{k}|≤t+1}} + ∑_{{k∈K \atop t+1<|t_{k}|≤2t}} .

Für die folgenden Abschätzungen werden wir mehrmals die Dichteverteilung der Eigenwerte λ_{k} brauchen:

#\{k | t − \frac{1}{2} ≤ |t_{k}| ≤ t + \frac{1}{2}\} = O(t)  (6.4)

für t → ∞ (vgl. Satz 3.4 (iii)). Wegen (6.4) ist

(I) ≪_{α,β,σ} ∑_{1≤|t_{k}|<t−1} \frac{|t_{k}|^{4β}}{|t − t_{k}|^{2α} |t_{k}|^{2α}} ≪_{α,β,σ} ∫_{1}^{t−1}\frac{u^{4β−2α+1}}{|t − u|^{2α}} du

≪_{α,β,σ} t^{4β−4α+2} ∫_{1}^{t−1}(\frac{u}{t})^{4β−2α+1}(1 − \frac{u}{t})^{−2α} \frac{du}{t}

≪_{α,β,σ} t^{4β−4α+2} B(4β − 2α + 2, 1 − 2α),

wobei für die Abschätzung durch das Beta-Integral die aus den Voraussetzungen folgenden Ungleichungen 4β − 2α + 2 > 0 und 1 − 2α > 0 verwendet wurden. Weiterhin gilt

(II) ≪_{α,β,σ} ∑_{t−1≤|t_{k}|≤t+1} |t_{k}|^{4β−2α} ≪_{α,β,σ} t^{4β−2α+1}

und

(III) ≪_{α,β,σ} ∑_{t+1≤|t_{k}|≤2t} \frac{|t_{k}|^{4β−2α}}{(|t_{k}| − t)^{2α}} ≪_{α,β,σ} ∫_{t+1}^{2t} \frac{u^{4β−2α+1}}{(u − t)^{2α}} du

≪_{α,β,σ} t^{4β−2α+1} ∫_{t+1}^{2t} \frac{du}{(u − t)^{2α}} ≪ t^{4β−4α+2},

da 2α < 1. ■

Lemma 6.5. Sei σ > \frac{1}{2}, γ ∈ IR, s = σ + it, t > 1. Dann ist

∑_{k: |t_{k}|≥2t} |\frac{Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}| t_{k}^{γ} ≪_{σ,γ} 1 , t → ∞

wobei die ≪-Konstante stetig von σ abhängt. Beweis: Stirlings Formel für die Γ-Funktion liefert eine Abschätzung

|\frac{Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}| ≪_{σ,γ} exp(−π(|t_{k}| − t))\frac{(|t_{k}|^{2} − t^{2})^{σ−1}}{t^{2σ− \frac{κ}{2} sgn(m)+ \frac{n}{4} −2}} ,

womit folgt:

∑_{k: |t_{k}|≥2t} |\frac{Γ(s − (1 − \overline{s_{k}})) Γ(s − \overline{s_{k}})}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m)) Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}| |t_{k}|^{γ}

≪_{σ} ∑_{k: |t_{k}|≥2t} exp(−π(|t_{k}| − t)) |t_{k}|^{2σ+γ} t^{2−2σ+ \frac{κ}{2} sgn(m)− \frac{n}{4}}

≪_{σ} ∑_{k: |t_{k}|≥2t} exp(−\frac{π}{3} |t_{k}|) exp(−\frac{2π}{3} |t_{k}| + πt) |t_{k}|^{2σ+γ} t^{2−2σ+ \frac{κ}{2} sgn(m)− \frac{n}{4}}

≪_{σ} ∑_{k: |t_{k}|≥2t} exp(−\frac{π}{3} |t_{k}|) |t_{k}|^{2σ+γ} exp(−\frac{π}{3} t) t^{2−2σ+ \frac{κ}{2} sgn(m)− \frac{n}{4}}

Die Summe in der letzten Zeile konvergiert wegen

#{t_{k}| |t_{k}| < u} = O(u^{2}) ,

womit die Behauptung des Lemmas folgt. ■ Außerdem brauchen wir eine Abschätzung der Supremumsnorm einer Eigenfunktion des Laplace-Operators L durch ihre Quadratnorm: Satz 6.6. (Li) Sei β := 1 falls n_{+} · n_{−} = 2 und β := (n_{+} · n_{−})/4 falls n_{+} · n_{−} > 2. Dann gilt

∥F ∥_{∞} ≪ μ^{β}∥F ∥_{2}.  (6.5)

für alle Eigenfunktionen F ∈ H_{Q^{+}} des Laplace-Operators −L zu Eigenwerten μ ≠ 0. ^{2} Beweis: vgl. Li, [12], Theoreme 7, 9, 10. ■

2In speziellen Fällen lassen sich die Werte für β wesentlich verbessern: siehe Iwaniec und Sarnak [9] oder Seeger und Sogge [20].

6.4 Abschätzung der Dirichletreihe D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) in vertikalen Streifen

Satz 6.7. Sei Q anisotrop, m ≠ 0, 𝔞 ∈ 𝔄^{(m)}, β erfülle eine Ungleichung der Form (6.5) für alle Eigenfunktionen F ∈ H_{Q^{+}} des Laplace-Operators −L zu Eigenwerten μ ≠ 0 , und sei ϵ > 0. Für \frac{1}{2} + ϵ ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + ϵ und Im(s) > 1 ist:

D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) = O(t^{(2β+1)( \frac{n}{4} −σ+ϵ)/( \frac{n}{4} − \frac{1}{2} )}),

wobei die O-Konstante unabhängig von Q^{+} ∈ Q^{+} gewählt werden kann.

Beweis: Wie im Beweis von Satz 6.1 sei v = v_{𝔞} + v_{−𝔞} und wir dürfen uns wieder auf D_{m}(Q^{+}, s, v) beschränken. Wir wählen einen festen Fundamentalbereich F_{Q^{+}} ⊂ Q^{+} für die Operation von Ω(𝔄), von dem wir annehmen dürfen, daß er kompakt ist. Daher gibt es eine positiv definite quadratische Form H^{+}[\underline{λ}] auf IR^{n}, so daß für alle Q^{+} ∈ F_{Q^{+}} und alle \underline{λ} ∈ IR^{n} gilt

Q^{+}[\underline{λ}] ≥ H^{+}[\underline{λ}].

Für Re(s) > \frac{n}{4} und gleichmäßig für Q^{+} ∈ Q^{+} bekommen wir damit die triviale Abschätzung

| ∑_{{\underline{λ}∈𝔞 \atop Q[\underline{λ}]=m}}(Q^{+}[\underline{λ}] + |m|)^{1−s− \frac{n}{4}} | ≤ ∑_{{\underline{λ}∈𝔞 \atop Q[\underline{λ}]=m}}(H^{+}[\underline{λ}] + |m|)^{1−Re(s)− \frac{n}{4}} ,  (6.6)

wobei zu bemerken ist, daß die rechte Seite dieser Abschätzung für Re(s) > \frac{n}{4} konvergiert, denn es gibt ein c = c(Q^{+}) > 0 mit H^{+}[\underline{λ}] ≥ cQ^{+}[\underline{λ}] und D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) konvergiert für Re(s) > \frac{n}{4}, wie schon in Satz 6.1 festgestellt wurde. Es ist

\begin{matrix}S(P_{m}(., s, v))(Q^{+}) = & ⟨Θ(., Q^{+}), P_{m}(., s, v)⟩ − ⟨E(., Q^{+}), P_{m}(., s, v)⟩ \\ = & D_{m}^{∗}(Q^{+}, s, v) − E_{m}^{∗}(Q^{+}, s, v). \end{matrix}  (6.7)

Für die rechte Seite von (6.7) gilt wegen Bemerkung in Abschnitt 6.1 und (6.6) gleichmäßig auf F_{Q^{+}} und für \frac{n}{4} + ϵ ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + 1

|D_{m}(Q^{+}, s, v) − E_{m}(Q^{+}, s, v)| ≪_{ϵ} 1.

Da SP_{m}(., s, v) auf Q^{+}/Ω(𝔄) quadratintegrierbar ist, folgt für \frac{n}{4} + ϵ ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + 1

\frac{\{SP_{m}(., s, v), SP_{m}(., s, v)\}}{|Γ(s + \frac{n}{4} − 1)(2π)^{1−s− \frac{n}{4}} |^{2}} ≪_{ϵ} 1.  (6.8)

Vermöge Satz 6.2 (vi) kann man nun das Orthonormalsystem {ϕ_{k}}_{k∈K}, so wählen, daß die ϕ_{k} zusätzlich Eigenfunktionen des Operators T sind. Nach Satz 6.3 (v) und (vii) ist dann {Sϕ_{k}}_{k∈K} ein Orthogonalsystem von Eigenfunktionen von −L in H_{Q^{+}}, woraus mit (6.8) und (6.1) für \frac{n}{4} + ϵ ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + 1 die Abschätzung

∑_{k∈K} |b_{k}(m, v)\frac{(4π|m|)^{1−s}Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{(2π)^{1−s− \frac{n}{4}} Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}|^{2} \{Sϕ_{k}, Sϕ_{k}\} ≪_{ϵ} 1.  (6.9)

folgt. Diese Abschätzung gilt dann natürlich auch für die einzelnen Summanden in der Reihe, und mit Stirlings Formel folgt insbesondere (setze s = \frac{n}{4} + ϵ + it_{k})

|b_{k}(m, v)t_{k}^{\frac{κ}{2} sgn(m)− \frac{n}{2} −ϵ+1}|^{2} \{Sϕ_{k}, Sϕ_{k}\}

≍ |b_{k}(m, v)\frac{Γ(\frac{n}{4} + ϵ − \frac{1}{2})Γ(\frac{n}{4} + ϵ − \frac{1}{2} + 2it_{k})}{Γ(\frac{n}{4} + ϵ − \frac{κ}{2}sgn(m) + it_{k})Γ(\frac{n}{4} + ϵ + \frac{n}{4} − 1 + it_{k})}|^{2} \{Sϕ_{k}, Sϕ_{k}\}

≪_{ϵ} 1,

also

|b_{k}(m, v)| ∥Sϕ_{k}∥_{2} ≪_{ϵ} t_{k}^{− \frac{κ}{2} sgn(m)+ \frac{n}{2} +ϵ−1}.  (6.10)

Für k ∈ K setze μ_{k} := λ_{k} − \frac{n}{4}(1 − \frac{n}{4}). Es ist nach Satz 6.6 (verwende die dortige Definition von β) und Satz 6.3 (vii)

|Sϕ_{k}(Q^{+})| ≤ ∥Sϕ_{k}∥_{∞} ≪ μ_{k}^{β} ∥Sϕ_{k}∥_{2}  (6.11)

und mit (6.10) folgt

|b_{k}(m, v) Sϕ_{k}(Q^{+})| ≪_{ϵ} |t_{k}|^{2β− \frac{κ}{2} sgn(m)+ \frac{n}{2} +ϵ−1}  (6.12)

gleichmäßig auf Q^{+}.

Nun endlich zum Beweis des Satzes: wegen (6.1) ist

\begin{matrix}D_{m}(Q^{+}, s, v)− & E_{m}(s, Q^{+}, v) \\ = ∑_{k∈K} \overline{b_{k}(m, v)}\frac{|4πm|^{1−s}Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{(2π)^{1−s− \frac{n}{4}} Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}Sϕ_{k}(Q^{+}), \end{matrix} (6.13)

wobei die rechte Seite (zumindest bei fest gewähltem Q^{+} ∈ Q^{+}) für s ∈ C lokal gleichmäßig konvergiert. Jeder einzelne Summand in dieser Reihe hat in vertikalen Streifen ein Wachstumsverhalten, das besser ist als das, welches wir für D_{m}(Q^{+}, s, v) beweisen wollen (verwende wieder Stirlings Formel, t ≫ t_{k}):

|\frac{Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}| ≪ \frac{(t^{2} − t_{k}^{2})^{σ−1}}{t^{2σ− \frac{κ}{2} sgn(m)+ \frac{n}{4} −2}} ≪ t^{\frac{κ}{2} sgn(m)− \frac{n}{4}} .  (6.14)

Dasselbe gilt für E_{m}(s, Q^{+}, v) (vgl. die Bemerkung in Abschnitt 6.1). Es reicht daher, die für D_{m}(Q^{+}, s, v) zu zeigende Abschätzung für die Reihe in (6.13) zu zeigen, wobei jedoch endlich viele Summanden weggelassen werden können, etwa die Summanden zu Indices k, für welche |t_{k}| ≤ 1 ist. Die resultierende Reihen spalten wir weiter in zwei Teile auf:

∑_{|t_{k}|>1} = ∑_{1<|t_{k}|≤2t} + ∑_{2t<|t_{k}|} .  (6.15)

Auf die zweite Teilreihe können wir die Abschätzung (6.12) und dann Lemma 6.5 anwenden, womit wir

∑_{2t<|t_{k}|} |\overline{b_{k}(m, v)}\frac{|4πm|^{1−s}Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{(2π)^{1−s− \frac{n}{4}} Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}Sϕ_{k}(Q^{+})| ≪ 1

gleichmäßig auf Q^{+} und für \frac{1}{2} + ϵ ≤ Re(s) ≤ \frac{n}{4} + 1 erhalten.

Für die erste Summe in (6.15) beachten wir zunächst, daß mit Hilfe von Stirlings Formel bei vorgegebenen a < b ∈ IR, ϵ > 0, für alle s ∈ C, α ∈ IR mit a < Re(s) − α < b, und a < Re(s) < b, |s + IN| > ϵ, |s − α + IN| > ϵ gilt:

|Γ(s − α)| ≍_{a,b,ϵ} |Γ(s)| |s|^{−α}.  (6.16)

Sei nun a := \frac{1}{2}, b := \frac{n}{4} + 1. Dann bekommt man mit (6.16), (6.11) und der Schwarzschen Ungleichung:

( ∑_{1≤|t_{k}|≤2t} |b_{k}(m, v)\frac{Γ(s − α − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − α − \overline{s_{k}})}{Γ(s − α − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s − α + \frac{n}{4} − 1)}| |Sϕ_{k}(Q^{+})|)^{2}

≍_{a,b,ϵ} ( ∑_{k:1≤|t_{k}|≤2t} |b_{k}(m, v)\frac{Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}| ∥Sϕ_{k}∥_{2}

|\frac{(s − (1 − \overline{s_{k}}))(s − \overline{s_{k}})}{(s − \frac{κ}{2}sgn(m))(s + \frac{n}{4} − 1)}|^{−α} \frac{|Sϕ_{k}(Q^{+})|}{∥Sϕ_{k}∥_{2}})^{2}

≪_{a,b,ϵ} ( ∑_{1≤|t_{k}|≤2t} |b_{k}(m, v)\frac{Γ(s − (1 − \overline{s_{k}}))Γ(s − \overline{s_{k}})}{Γ(s − \frac{κ}{2}sgn(m))Γ(s + \frac{n}{4} − 1)}|^{2} ∥Sϕ_{k}∥_{2}^{2})

( ∑_{1≤|t_{k}|≤2t} |\frac{(s − \frac{κ}{2}sgn(m))(s + \frac{n}{4} − 1)}{(s − (1 − \overline{s_{k}}))(s − \overline{s_{k}})}|^{2α} μ_{k}^{2β})

Die Ausdrücke in den letzten beiden Zeilen kann man mit (6.9) und Lemma 6.4 abschätzen und bekommt somit:

≪_{a,b,ϵ} t^{4β+2+ϵ}.

Damit folgt die Behauptung mit dem Prinzip von Phragmén-Lindelöf. ■

7 Asymptotische Verteilung der Gitterpunkte auf der Quadrik Q[λ] = m

Die Vorgehensweise ist wie beim Beweis des Primzahlsatzes. Lemma 7.1. Sei ψ : IR → [0, 1] eine C^{∞}-Funktion mit

ψ(ρ) = \{ \begin{matrix}1 & falls ρ ≤ −1 \\ 0 & falls ρ ≥ 1. \end{matrix}

Sei Y ≥ 2. Sei

Ψ_{Y} (ρ) := ψ(Y (ρ − 1))

(i) Dann ist

∥Ψ_{Y}^{(k)}∥_{∞} ≪_{k} Y^{k}∥ψ^{(k)}∥_{∞}.  (7.1)

(ii) Für Re(s) > 0 sei

K_{Y} (s) := ∫_{0}^{∞}Ψ_{Y} (ρ)ρ^{s} \frac{dρ}{ρ}

die Mellin-Transformierte von Ψ_{Y}. Dann ist für 0 < a ≤ Re(s) ≤ b, k ∈ IN

|K_{Y} (s)| = O_{k} (\frac{Y^{k}}{1 + |t|^{k+1}} )  (7.2)

und

K_{Y} (s) = \frac{1}{s} + O(\frac{1}{Y})  (7.3)

und

\frac{d}{ds}K_{Y} (s) = −\frac{1}{s^{2}} + O(\frac{1}{Y}).  (7.4)

(iii) Weiter gilt

\frac{1}{2πi} ∫_{(c)} K_{Y} (s)X^{−s}ds = Ψ_{Y} (X)

wobei (c) = {c + it | −∞ < t < ∞}, c > 0, in Richtung wachsenden Imaginärteils durchlaufen wird.

Beweis.

(i) ist klar. (ii) durch k-malige partielle Integration bekommt man

K_{Y} (s) = (−1)^{k} \frac{1}{s(s + 1) ⋯ (s + k − 1)} ∫_{0}^{∞}Ψ_{Y}^{(k)}(ρ)ρ^{s+k} \frac{dρ}{ρ}.

Damit folgt (7.2) aus (i). Wegen

|K_{Y} (s) − \frac{1}{s}| = | ∫_{1− \frac{1}{Y}}^{1} (Ψ_{Y} (ρ) − 1)ρ^{s−1}dρ + ∫_{1}^{1+ \frac{1}{Y}} Ψ_{Y} (ρ)ρ^{s−1}dρ| ≪_{a,b} \frac{1}{Y} + \frac{1}{Y}

folgt (7.3) und wegen

\frac{d}{ds}K_{Y} (s) = \frac{d}{ds} (\frac{−1}{s} ∫_{0}^{∞}Ψ_{Y}^{(1)}(ρ)ρ^{s+1} \frac{dρ}{ρ})
= \frac{1}{s^{2}} ∫_{0}^{∞}Ψ_{Y}^{(1)}(ρ)ρ^{s+1} \frac{dρ}{ρ} − \frac{s + 1}{s} ∫_{0}^{∞}Ψ_{Y}^{(1)}(ρ)ρ^{s} \frac{dρ}{ρ}
= \frac{−1}{s}K_{Y} (s) + O_{a,b}(\frac{1}{Y})

und (7.3) folgt (7.4). (iii) ist die Mellin-Inversionsformel.■

Satz 7.2. Sei m ∈ Q, Q^{+} ∈ Q^{+}, 𝔞 ∈ 𝔄^{(m)}. Sei R die Menge der Polstellen von D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) im Bereich C_{Re> \frac{1}{2}} . Seien für r ∈ R

d_{m,−1}(r, Q^{+}, v_{𝔞}) und d_{m,−2}(r, v_{𝔞})

so gewählt, daß

D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) − ∑_{r∈R} (\frac{d_{m,−1}(r, Q^{+}, v_{𝔞})}{s − r} + \frac{d_{m,−2}(r, v_{𝔞})}{(s − r)^{2}})

für Re(s) > \frac{1}{2} holomorph fortsetzbar ist.

(i) Dann ist

#\{\underline{λ} ∈ 𝔞 \ \{\underline{0}\} | Q[\underline{λ}] = m, Q^{+}[\underline{λ}] + (m) ≤ X\}

∼ \frac{X^{\frac{n}{2} −1}}{\frac{n}{2} − 1} (d_{m,−1}(\frac{n}{4}, Q^{+}, v_{𝔞}) + d_{m,−2}(\frac{n}{4}, v_{𝔞})(log X − \frac{1}{\frac{n}{2} − 1}))

für X → ∞.

(ii) Sei 0 ≤ ϵ < \frac{1}{4}. Gibt es ein γ ≥ 0, so daß

|D_{m}(Q^{+}, \frac{1}{2} + ϵ + it, v_{𝔞})| ≪ (1 + |t|)^{γ},

so gilt

#\{\underline{λ} ∈ 𝔞 \ \{\underline{0}\} | Q[\underline{λ}] = m, Q^{+}[\underline{λ}] = m, Q^{+}[\underline{λ}] + |m| ≤ X\}

= ∑_{r∈R} X^{r+ \frac{n}{4} −1} (d_{m,−1}(r, Q^{+}, v_{𝔞}) + d_{m,−2}(r, v_{𝔞})(log X − \frac{1}{r + \frac{n}{4} − 1}))

+O (X^{\frac{n}{2} −1+ϵ−( \frac{n}{4} − \frac{1}{2} )/(γ+1)})

Beweis.

(i) Dies ist eine Anwendung des Tauberschen Satzes von Wiener-Ikehara (vgl. [30]), bzw. im Falle einer doppelten Polstelle einer Verallgemeinerung dieses Satzes (vgl. [28], Korollar 2).

(ii) Sei Y ≥ 2, X ≥ 2. Sei ϵ > 0 so klein gewählt, daß \frac{1}{2} + ϵ < r − ϵ für alle r ∈ R gelte.

Wir wenden Lemma 7.1 (iii) auf D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞}) an:

\frac{1}{2πi} ∫_{( \frac{n}{4} +ϵ)} D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞})K_{Y} (s + \frac{n}{4} − 1)X^{s+ \frac{n}{4} −1}ds  (7.5)

= \frac{1}{2πi} ∑_{{\underline{λ}∈𝔞\\{\underline{0}\} \atop Q[\underline{λ}]=m}} ∫_{( \frac{n}{4} +ϵ)} (\frac{Q^{+}[\underline{λ}] + (m)}{X})^{1−s− \frac{n}{4}} K_{Y} (s + \frac{n}{4} − 1)ds

= ∑_{{\underline{λ}∈𝔞\\{\underline{0}\} \atop Q[\underline{λ}]=m}} Ψ_{Y} (\frac{Q^{+}[\underline{λ}] + (m)}{X}).  (7.6)

Durch geeignetes ψ in Lemma 7.1 läßt sich (7.6) wahlweise nach oben oder nach unten durch

#\{\underline{λ} ∈ 𝔞\\{\underline{0}\} | Q[λ] = m, Q^{+}[λ] + |m| ≤ X\}

abschätzen.

Wir ändern nun den Integrationsweg in (7.5) und bekommen mit dem Residuensatz

\begin{aligned}(7.5) & =∑_{r∈R}(d_{m,−1}(r, Q^{+}, v_{𝔞})K_{Y} (r + \frac{n}{4} − 1)X^{r+ \frac{n}{4} −1} \\ & + d_{m,−2}(r, v_{𝔞}) \frac{d}{ds}|_{s=r} (K_{Y} (s + \frac{n}{4} − 1)X^{s+ \frac{n}{4} −1})) \\ + & lim_{T →∞}( ∫_{\frac{n}{4} +ϵ−iT}^{\frac{1}{2} +ϵ−iT}+ ∫_{\frac{1}{2} +ϵ−iT}^{\frac{1}{2} +ϵ+iT}+ ∫_{\frac{1}{2} +ϵ+iT}^{\frac{n}{4} +ϵ+iT})D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞})K_{Y} (s + \frac{n}{4} − 1)X^{s+ \frac{n}{4} −1}ds. \end{aligned} (7.7)

Die Integrale in (7.7) werden nun nach oben abgeschätzt. Sei k > γ, dann folgt unter Verwendung von (7.2):

\begin{matrix}|( ∫_{\frac{n}{4} +ϵ−iT}^{\frac{1}{2} +ϵ−iT}+ ∫_{\frac{1}{2} +ϵ+iT}^{\frac{n}{4} +ϵ+iT})D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞})K_{Y} (s + \frac{n}{4} − 1) & X^{s+ \frac{n}{4} −1}ds| \\ ≪ (1 + T)^{γ} \frac{Y^{k}}{(1 + T)^{k+1}} X^{\frac{n}{2} −1}. \end{matrix}

Der Ausdruck auf der rechten Seite verschwindet für T → ∞.

Für das dritte Integral verwenden wir (7.2) und (7.3):

| ∫_{( \frac{1}{2} +ϵ)} D_{m}(Q^{+}, s, v_{𝔞})K_{Y} (s + \frac{n}{4} − 1)X^{s+ \frac{n}{4} −1}ds|

≪ X^{\frac{1}{2} +ϵ+ \frac{n}{4} −1}( ∫_{|t|<Y} + ∫_{|t|>Y} )(1 + |t|)^{γ} |K_{Y} (\frac{1}{2} + ϵ + \frac{n}{4} − 1)|dt

≪ X^{\frac{1}{2} +ϵ+ \frac{n}{4} −1}( ∫_{|t|<Y} (1 + |t|)^{γ}((1 + |t|)^{−1} + Y^{−1})dt + ∫_{|t|>Y} (1 + |t|)^{γ} \frac{Y^{k}}{(1 + |t|)^{k+1}} dt)

≪ X^{\frac{1}{2} +ϵ+ \frac{n}{4} −1} Y^{γ}.

Mit (7.3) und (7.4) bekommen wir dann zusammengefaßt

(7.5) = ∑_{r∈R}(d_{m,−1}(r, Q^{+}, v_{𝔞})\frac{X^{r+ \frac{n}{4} −1}}{r + \frac{n}{4} − 1}

+d_{m,−2}(r, v_{𝔞}) (\frac{X^{r+ \frac{n}{4} −1} log X}{r + \frac{n}{4} − 1} − \frac{X^{r+ \frac{n}{4} −1}}{(r + \frac{n}{4} − 1)^{2}} ))

+O(X^{\frac{n}{2} −1}Y^{−1} + X^{\frac{1}{2} +ϵ+ \frac{n}{4} −1}Y^{γ})

Mit Y = X^{( \frac{n}{4} − \frac{1}{2} )/(γ+1)} folgt die Behauptung. ■

A Berechnung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihen

Die meromorphe Fortsetzbarkeit der Eisensteinreihe wurde von A. Selberg mit spektraltheoretischen Methoden bewiesen (vgl. etwa [21]). Im Fall arithmetischer Gruppen lassen sich die Fourierkoeffizienten φ(s, m, v, w) (vgl. Satz 3.2) im wesentlichen durch Dirichletsche L-Reihen ausdrücken, womit auch schon die Existenz der meromorphen Fortsetzung der Eisensteinreihe folgt. Andererseits erhält man mit Selbergs Vorgehensweise einen Beweis für die meromorphe Fortsetzbarkeit der L-Reihen. Selbergs Beweis hat (für uns) allerdings den Nachteil, daß seine Abschätzungen für φ(s, m, v, w) – infolge der gewählten Allgemeinheit – für unsere Anwendungen zu schlecht sind (vgl. etwa [21], Formel 8.15 mit Satz A.14 und den bekannten Abschätzungen für Dirichletsche L-Reihen in vertikalen Streifen). In diesem Kapitel sollen die Fourierkoeffizienten φ(s, m, v, w) für Multiplikatorsysteme χ, die durch die Transformationseigenschaften der Thetafunktion definiert sind, berechnet werden. Diese Berechnungen sind allem Anschein nach in der von uns erzielten Allgemeinheit in der Literatur bislang nicht durchgeführt worden.

A.1 Basen für V_{𝔄}

Wir spezialisieren uns ab jetzt auf das Multiplikatorsystem χ, welches durch die Transformationsformel der Thetafunktion in Satz 2.1 gegeben wird. χ erfüllt nicht die Voraussetzung

(3.1): falls −𝔞 ≠ 𝔞 ist, folgt χ_{𝔞,𝔞} (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) = 0, und daher ist sicher χ (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) ≠

e(−\frac{κ}{2})Id_{V}. Wir werden gleich einen Untervektorraum V^{+} von V angeben, der unter χ inva-

riant ist, für den χ (\begin{matrix}−1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix}) |_{V^{+}} = e(−\frac{κ}{2})Id_{V^{+}} und Bild(Θ(z, Q^{+})) ⊂ V^{+} gilt, so daß die

unitäre Projektion V → V^{+} keinen Verlust an Informationen darstellt.

Wir hatten mit 𝔄 die Menge der Restklassen

{𝔞 ∈ Q^{n} | 2Q𝔞 ∈ ZZ^{n}} /ZZ^{n}

bezeichnet. Diese Menge bildet in naheliegender Weise eine endliche abelsche Gruppe und damit einen ZZ-Modul. Ist M eine natürliche Zahl, so sei 𝔄_{M} die Untergruppe der M-Torsionspunkte von 𝔄, oder mit anderen Worten, die Menge der Elemente aus 𝔄, deren Nenner M teilt.

Ist M = M_{0} ⋯ M_{r} Produkt paarweise teilerfremder Faktoren, so ist der Modul 𝔄 = 𝔄_{M} direkte Summe seiner Untermoduln 𝔄_{M_{i}}, genauer: die Einbettungsabbildung

𝔄_{M_{0}} × … × 𝔄_{M_{r}} ⟶ 𝔄_{M}
(𝔞_{1}, …, 𝔞_{r}) ⟼ 𝔞_{1} + … + 𝔞_{r}

ist ein Isomorphismus.

Für eine rationale Zahl m sei

𝔄^{(m)} := {𝔞 ∈ 𝔄|Q[𝔞] − m ∈ ZZ}

und

𝔄_{M}^{(m)} := 𝔄_{M} ∩ 𝔄^{(m)}.

Dann ist jedes Element 𝔞 ∈ 𝔄_{M}^{(m)} in eindeutiger Weise als Summe von Elementen 𝔞_{i} ∈ 𝔄_{M_{i}}^{(m_{i})} darstellbar, wobei die Restklassen m_{i} (mod ZZ) eindeutig durch die Kongruenz m ≡ m_{0} + ⋯ + m_{r} für m_{i} ∈ ZZ [\frac{1}{M_{i}^{2}} ] bestimmt sind.

Zu 𝔄 hatten wir in Kapitel 2 einen hermiteschen Vektorraum V_{𝔄} mit einer unitären Basis {v_{𝔞}|𝔞 ∈ 𝔄} assoziiert. Ist 𝔅 ⊂ 𝔄 eine Teilmenge, so sei V_{𝔅} der von den Elementen v_{𝔟}, 𝔟 ∈ 𝔅, aufgespannte Untervektorraum.

Wir schreiben auch einfacher V_{M} an Stelle von V_{A_{M}} und V_{M}^{(m)} an Stelle von V_{𝔄_{M}^{(m)}}. Sind M_{0}, …, M_{r} paarweise teilerfremde natürliche Zahlen und M deren Produkt, so definieren wir eine C-multilineare Abbildung

V_{M_{0}} × … × V_{M_{r}} ⟶ V_{M}

vermöge

(v_{𝔞_{0}}, …, v_{𝔞_{r}}) ⟼ v_{𝔞_{0}+...+𝔞_{r}}.

Diese Abbildung faktorisiert durch das Tensorprodukt V_{M_{0}} ⊗ … ⊗ V_{M_{r}}, welches aus Dimensionsgründen isomorph zu V_{M} ist. Man überzeugt sich schnell, daß die (durch die auf den Räumen V_{M_{i}} gegebenen hermiteschen Strukturen) auf V_{M_{1}} ⊗…⊗V_{M_{r}} definierte hermitesche Struktur mit der auf V_{M} gegebenen übereinstimmt, so daß wir sogar einen isometrischen Isomorphismus haben. In diesem Sinne betrachten wir Elemente v ∈ V_{M_{0}···M_{r}} als solche in V_{M_{0}} ⊗ … ⊗ V_{M_{r}}, vice versa.

Ist d eine zu M teilerfremde ganze Zahl, so werden die Elemente von 𝔄_{M} durch Multiplikation mit d^{−1} (mod M) permutiert. Dies induziert eine Gruppenoperation der primen Restklassengruppe (ZZ/MZZ)^{∗} =: ^{∗}(M). Diese wiederum induziert eine unitäre Darstellung der Gruppe ^{∗}(M) auf V_{M}, die wir mit ϕ_{M} bezeichnen:

ϕ_{M} : ^{∗}(M) ⟶ U(V_{M})  (A.1)
d ⟼ (v_{𝔞} ↦ Φ_{M}(d)v_{𝔞} = v_{𝔞d^{−1}}) .  (A.2)

Man sieht sofort, daß für teilerfremde M_{1}, M_{2} im Sinne der obigen Identifizierung gilt:

ϕ_{M_{1}M_{2}} = ϕ_{M_{1}} ⊗ ϕ_{M_{2}}.  (A.3)

Wir geben nun eine Basis an, welche die Darstellungen (ϕ_{M}, V_{M}) diagonalisiert: Wir teilen 𝔄 = 𝔄_{M} in Bahnen unter der Operation der Gruppe ^{∗}(M) und bilden ein Repräsentantensystem ℜ_{M} für diese Bahnen, also

𝔄_{M} = ⋃_{𝔯∈ℜ_{M}}^{•}{d𝔯 | d ∈ ^{∗}(M)} (disjunkte Vereinigung)

Wir wollen ein für allemal annehmen, daß für alle vorkommenden teilerfremden M_{1}, M_{2} stets gilt

{𝔯_{1} + 𝔯_{2} | 𝔯_{1} ∈ ℜ_{M}, 𝔯_{2} ∈ ℜ_{M_{2}}} = ℜ_{M_{1}M_{2}}  (A.4)

und für Teiler M_{1} von M_{2} stets gilt

ℜ_{M_{1}} ⊂ ℜ_{M_{2}}.  (A.5)

Das ist möglich, indem man etwa zunächst unter Beachtung von (A.5) für jede Primzahl p sukzessiv ℜ_{p}, ℜ_{p^{2}}, … und anschließend für zusammengesetzte M = M_{1} · M_{2} sukzessiv die rechte Seite von (A.4) durch die linke Seite definiert.

Ist 𝔯 ∈ ℜ_{M} und N (𝔯) der Nenner von 𝔯, so ist die Länge der durch 𝔯 bestimmten Bahn unter ϕ_{M} gleich |^{∗}(N (𝔯))|.

Wir bezeichnen die zu ^{∗}(M) duale Gruppe (d.h. die Gruppe der Homomorphismen φ : ∗(M) → C^{∗}) mit { \atop ^{∗}(M)}. Für 𝔯 ∈ ℜ_{M} und φ ∈ { \atop ^{∗}(M)} definiere

w_{𝔯,φ} := \frac{|^{∗}(N (𝔯))|^{\frac{1}{2}}}{|^{∗}(M)|} ∑_{d^{∗}(M)} φ(d)ϕ_{M}(d)^{−1}v_{𝔯}.  (A.6)

Man überzeugt sich leicht, daß w_{𝔯,φ} unabhängig von dem gewählten Vielfachen M von N (𝔯) ist und genau dann nicht verschwindet, wenn φ durch die Gruppe ^{∗}(N (𝔯)) faktorisiert.

Die Menge W_{M} := \{w_{𝔯,φ} | 𝔯 ∈ ℜ_{M}, φ ∈ { \atop ^{∗}(N (𝔯))}\} stellt eine Basis von V_{M} dar. Sind M_{1}, M_{2} teilerfremd und w_{𝔯_{i},φ_{i}} ∈ W_{M_{i}}(i = 1, 2), so folgt aus den von uns getroffenen Vereinbarungen (A.4) und (A.5)

V_{M_{1}·M_{2}} ∋ w_{𝔯_{1}+𝔯_{2},φ_{1}·φ_{2}} = w_{𝔯_{1},φ_{1}} ⊗ w_{𝔯_{2},φ_{2}} ∈ V_{M_{1}} ⊗ V_{M_{2}}.

Im Gegensatz zu den v_{𝔞} sind die Vektoren w_{𝔯,φ} Eigenvektoren der Operatoren ϕ_{M}(d):

Proposition A.1. Sei M eine natürliche Zahl und d_{0} eine zu M teilerfremde ganze Zahl, 𝔯 ∈ ℜ_{M} und φ ∈ { \atop ^{∗}(M)}. Dann ist

ϕ_{M}(d_{0})w_{𝔯,φ} = φ(d_{0})w_{𝔯,φ}.

Beweis.

ϕ^{M}(d^{0})w^{𝔯,φ} = ^{\frac{|^{∗}(N (𝔯))|^{\frac{1}{2}}}{|^{∗}(M)|}} ∑_{d^{∗}(M)} φ(d)ϕ^{M}(d^{0})ϕ^{M}(d)^{−1}v^{𝔯} = φ(d^{0})w^{𝔯,φ}. ■

Für γ ∈ Γ und M ∈ IN definiere

χ_{M}(γ) := π_{V_{M}}^{V} ∘ χ(γ) ∘ ι_{V_{M}}^{V} ,

wobei

ι_{V_{M}}^{V} : V_{M} → V

die kanonische Einbettung und

π_{V_{M}}^{V} : V → V_{M}

die kanonische (orthogonale) Projektion sei.

Lemma A.2. Sei

\begin{aligned}V_{M}^{+} & := \{v_{𝔞} + v_{−𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄_{M}\}, \\ V_{M}^{−} & := \{v_{𝔞} − v_{−𝔞} | 𝔞 ∈ 𝔄_{M}\}, \\ W_{M}^{+} & := \{w_{𝔯,φ} | 𝔯 ∈ ℜ_{M}, φ ∈ { \atop ^{∗}(N (𝔯))}, φ(−1) = +1\}, \\ W_{M}^{−} & := \{w_{𝔯,φ} | 𝔯 ∈ ℜ_{M}, φ ∈ { \atop ^{∗}(N (𝔯))}, φ(−1) = −1\}. \end{aligned}

(i) Dann ist

V_{W_{M}^{+}} = V_{V_{M}^{+}} =: V_{M}^{+}

und

V_{W_{M}^{−}} = V_{V_{M}^{−}} =: V_{M}^{−}.

V_{M}^{+} ⊕ V_{M}^{−} ist eine unitäre Zerlegung von V_{M}. (ii) Für γ ∈ Γ bilden die Endomorphismen χ_{M}(γ) von V_{M} die Untervektorräume V_{M}^{+} und

V_{M}^{−} jeweils in sich ab.

Beweis.

(i) Die Inklusionen V_{W_{M}^{+}} ⊂ V_{V_{M}^{−}} und V_{W_{M}^{−}} ⊂ V_{V_{M}^{−}} folgen unmittelbar aus der Definition

der w_{𝔯,φ} in (A.6). Aus

V_{W_{M}^{+} ∪W_{M}^{−}} = V_{M} = V_{V_{M}^{+} ∪V_{M}^{−}}

folgen damit auch schon die Umkehrungen dieser Inklusionen. (ii) Es gilt (vgl. die Definition von χ_{𝔞,𝔟}(γ) auf Seite 9) für 𝔞 ∈ 𝔄_{M}

χ_{M} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) v_{𝔞} = e(Q[𝔞])v_{𝔞}

und daher folgt (verwende jeweils überall entweder “+” oder “−” statt “±”)

χ_{M} (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) (v_{𝔞} ± v_{−𝔞}) = e(Q[𝔞])(v_{𝔞} ± v_{−𝔞}) ∈ V_{M}^{±}.

Mit c := e(−\frac{κ}{2})| det 2Q|^{− \frac{1}{2}} erhält man

χ_{M} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) v_{𝔞} = c ∑_{𝔟∈𝔄_{M}} e(−2 ^{t}𝔟Q𝔞)v_{𝔟}

und daher ergibt sich

χ_{M} (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (v_{𝔞} ± v_{−𝔞}) = c ∑_{𝔟∈𝔄_{M}} e(−2 ^{t}𝔟Q𝔞)(v_{𝔟} ± v_{−𝔟}) ∈ V_{M}^{±}.

Da (\begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix}) und (\begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) schon SL_{2}(ZZ) erzeugen, folgt die Behauptung mit (i). ■

Bemerkung: Wegen (2.3) liegt das Bild der Thetafunktion schon ganz in V^{+}. Bezeichnet man mit χ^{+} die Einschränkung von χ auf V^{+}, so ist die Thetafunktion schwach automorph bezüglich χ^{+} zum Gewicht κ und χ^{+} genügt den Eigenschaften (3.1). Damit sind insbesondere die Voraussetzungen von Kapitel 3 für das dortige Multiplikatorsystem gegeben, sofern wir uns stets auf den Raum V^{+} einschränken.

In diesem Kapitel ist es jedoch rechentechnisch vorteilhaft, ganz V statt nur V^{+} zuzulassen.

A.2 Eulerproduktzerlegung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe

Wir wenden uns jetzt der Berechnung der Funktionen φ(s, m, v, w) zu, die in Satz 3.2 definiert wurden.

Sei für M ∈ IN, c ∈ IN, m ∈ Q, 𝔪 := m + ZZ die lineare Abbildung

X_{M}(c, m) : V_{M}^{(0)} → V_{M}^{(𝔪)}

gegeben durch

v ↦ ∑_{w} w ∑_{d^{∗}(c)} e(\frac{−md}{c}) e(\frac{κ}{2}) | det 2Q|^{\frac{1}{2}} |c|^{\frac{n}{2}} ^{t}\overline{w}χ_{M}(γ)v,

wobei in der äußeren Summation w eine unitäre Basis von V_{M}^{(𝔪)} durchlaufe. Sind 𝔞 ∈ 𝔄_{M}^{(m)} und 𝔟 ∈ 𝔄_{M}^{(0)}, so sei

X_{𝔞,𝔟}(c, m) := ^{t}\overline{v_{𝔞}}X_{M}(c, m)v_{𝔟},

also

X_{𝔞,𝔟}(c, m) = ∑_{d^{∗}(c)} ∑_{𝔤(c)}e (\frac{d(Q[𝔤 + 𝔞] − m) − 2^{t}t𝔟Q(𝔤 + 𝔞) + aQ[b]}{c}) .  (A.7)

Dann ist für v ∈ V_{N}^{(0)}, w ∈ V_{N}^{(𝔪)}, N = die Stufe von 2Q,

φ(s, m, v, w) = e(−\frac{κ}{4})| det 2Q|^{− \frac{1}{2}} ∑_{c>0} c^{−2s− \frac{n}{2}} ^{t}\overline{w}X_{N}(c, m)v.

X_{M}(c, m) ist in dem folgenden Sinne multiplikativ: Seien c = c_{0}c_{1} … c_{r} und M = M_{0}M_{1} … M_{r} mit c_{i}, M_{i} ∈ IN, so daß (c_{i}M_{i}, c_{j}M_{j}) = 1 für alle i ≠ j gelte.

Satz A.3. Seien für i = 0, …, r ganze Zahlen M̃_{i} Lösungen der simultanen Kongruenzen M̃_{i} ≡ 0 (mod M/M_{i}) und M̃_{i} ≡ 1 (mod M_{i}). Dann gilt

X_{M}(c, m) = X_{M_{0}}(c_{0}, mM̃_{0}^{2})ϕ_{M_{0}}(c/c_{0})^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ X_{M_{r}}(c_{r}, mM̃_{r}^{2})ϕ_{M_{r}}(c/c_{r})^{−1}.

Speziell für m = 0 folgt damit:

X_{M}(c) = X_{M_{0}}(c_{0})ϕ_{M_{0}}(c/c_{0})^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ X_{M_{r}}(c_{r})ϕ_{M_{r}}(c/c_{r})^{−1}.

Korollar A.4. (Eulerproduktzerlegung der Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe) Sei N = N_{0} ⋯ N_{r} eine Zerlegung der Stufe von 2Q in Potenzen N_{i} der paarweise verschiedenen Primzahlen p_{i}, (1 ≤ i ≤ r), wobei wir (der Notation wegen) p_{r} = 2 voraussetzen wollen und N_{i} = 1 nur für i = r zulassen. Sei N_{0} = 1. Seien weiter Ñ_{i} Lösungen der simultanen Kongruenzen Ñ_{i} ≡ 1 (mod N_{i}), Ñ_{i} ≡ 0 (mod \frac{N}{N_{i}}). Dann ist

\begin{matrix}∑_{c=1}^{∞} & \frac{X_{N}(c, m)}{c^{s}} \\ = ∑_{i=1}^{r} ∑_{k_{i}=0}^{∞} \frac{1 ⊗ X_{N_{1}}(p_{1}^{k_{1}}, mÑ_{1}^{2})ϕ_{N_{1}}(p_{2}^{k_{2}} ⋯ p_{r}^{k_{r}}) ⊗ ⋯ ⊗ X_{N_{r}}(p_{r}^{k_{r}}, mÑ_{r}^{2})ϕ_{N_{r}}(p_{1}^{k_{1}} ⋯ p_{r−1}^{k_{r−1}})}{p_{1}^{k_{1}s} ⋯ p_{r}^{k_{r}s}} \\ ∏_{p∤2N} (∑_{k=0}^{∞} \frac{X_{1}(p^{k}, mÑ_{0}^{2}) ⊗ ϕ_{N_{1}}(p)^{k} ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{r}}(p)^{k}}{p^{ks}} ) . \end{matrix} (A.8)

Ist m = 0, so läßt sich diese Dirichletreihe wie folgt weiter vereinfachen:

\begin{aligned}∑_{c=1}^{∞} \frac{X_{N}(c)}{c^{s}} & = ∑_{k_{r}=0}^{∞} \frac{1 ⊗ ϕ_{N_{1}}(p_{r})^{−k_{r}} ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{r−1}}(p_{r})^{−k_{r}} ⊗ X_{N_{r}}(p_{r}^{k_{r}})}{p_{r}^{k_{r}s}} \\ & … \\ ∑_{k_{1}=0}^{∞} & \frac{1 ⊗ X_{N_{1}}(p_{1}^{k_{1}}) ⊗ ϕ_{N_{2}}(p_{1})^{k_{1}} ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{r}}(p_{1})^{k_{1}}}{p_{1}^{k_{1}s}} \\ ∏_{p∤2N} & (∑_{k=0}^{∞} \frac{X_{1}(p^{k}) ⊗ ϕ_{N_{1}}(p)^{k} ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{r}}(p)^{k}}{p^{ks}} ) \end{aligned}  (A.9)

Bemerkung.

(i) Die Reihen und unendlichen Produkte sind zunächst nur formal zu verstehen. Für Re(s) > \frac{n}{2} + 2 und im Sinne der üblichen Abbildungsnormen (z.B. ∥ A ∥= sup_{x≠0} \frac{|Ax|}{|x|})

sind die im Korollar vorkommenden Ausdrücke alle absolut konvergent.

(ii) Man beachte die Reihenfolge der Faktoren.

A.2.1 Hilfssätze

Proposition A.5. Sei m ∈ Q, M, c ∈ IN, 𝔞 ∈ 𝔄_{M}^{(𝔪)} und 𝔟 ∈ 𝔄_{M}^{(0)}. Ist p eine zu c teilerfremde ganze Zahl, so gilt

X_{𝔞,p𝔟}(c, m) = X_{p𝔞,𝔟}(c, mp^{2}).

Ist p teilerfremd zu Mc, so gilt insbesondere

X_{M}(c, m)ϕ_{M}(p) = ϕ_{M}(p)^{−1}X_{M}(c, mp^{2}).

Beweis. Sei q ≡ p^{−1} (mod c). Dann gilt

X_{𝔞,𝔟p}(c, m) = ∑_{d^{∗}(c)} ∑_{𝔤(c)}e (\frac{1}{c} (−d(Q[𝔤 + 𝔞] − m) − 2p^{t}𝔟Q(𝔤 + 𝔞) − a(Q[p𝔟])))

= ∑_{d^{∗}(c)} ∑_{𝔤(c)}e (\frac{1}{c} (−dq^{2}(Q[p𝔤 + p𝔞] − p^{2}m) − 2^{t}𝔟Q(p𝔤 + p𝔞) − ap^{2}(Q[𝔟])))

= X_{𝔞p,𝔟}(c, mp^{2}),

da mit d (und dazu Inversem a) auch dq^{2} (und dazu Inversem ap^{2}) ein primes Restesystem modulo c durchläuft.■

Bemerkung. Für m = 0, (c, d) = 1, 𝔯 ∈ ℜ_{M} und φ ∈ { \atop ^{∗}(M)} ergibt sich aus Proposition A.5 insbesondere

ϕ_{M}(d)^{−1}X_{M}(c)w_{𝔯,φ} = X_{M}(c)ϕ_{M}(d)w_{𝔯,φ} = φ(d)X_{M}(c)w_{𝔯,φ}.

Somit liegt X_{M}(c)w_{𝔯,φ} in dem von \{w_{𝔰,\overline{φ}} | 𝔰 ∈ ℜ_{M}\} aufgespannten Raum.

Lemma A.6. Sei m ∈ Q, M ∈ ZZ_{>0}, 𝔞 ∈ 𝔄_{M}^{(𝔪)} und 𝔟 ∈ 𝔄_{M}^{(0)}. Seien c_{1}, c_{2} teilerfremde natürliche Zahlen. Seien weiter k_{1}, k_{2} ganze Zahlen, welche die Gleichung k_{1}c_{1}^{2} + k_{2}c_{2}^{2} = 1 erfüllen. Dann gilt

X_{𝔞,𝔟}(c_{1}c_{2}, m) = X_{𝔞,𝔟k_{2}c_{2}}(c_{1}, m) X_{𝔞,𝔟k_{1}c_{1}}(c_{2}, m).

Beweis. Wir können zur Berechnung von X_{𝔞,𝔟}(c_{1}c_{2}, m) die Restklassen 𝔤, a, d (mod c_{1}c_{2}) in (A.7) jeweils so wählen, daß

𝔤 = c_{1}𝔤_{2} + c_{2}𝔤_{1},
d = c_{1}d_{2} + c_{2}d_{1},
a = c_{1}k_{1}a_{2} + c_{2}k_{2}a_{1},

wobei (für i = 1, 2) 𝔤_{i} ein Restklassensystem ganzzahliger Vektoren modulo c_{i} und a_{i} und d_{i} ein primes Restklassensystem modulo c_{i} durchlaufen mit a_{i}d_{i} ≡ 1 (mod c_{i}) (chinesischer Restsatz).

Dann ist

X_{𝔞,𝔟}(c_{1}c_{2}, m)

= ∑_{d_{1}^{∗}(c_{1})} ∑_{d_{2}^{∗}(c_{2})} ∑_{𝔤_{1}(c_{1})} ∑_{𝔤_{2}(c_{2})}e (\frac{−(c_{1}d_{2} + c_{2}d_{1})(Q[𝔞 + c_{1}𝔤_{2} + c_{2}𝔤_{1}] − m)}{c_{1}c_{2}})

e (\frac{−2^{t}𝔟Q(c_{1}g_{2} + c_{2}𝔤_{1} + c_{1}^{2}k_{1}𝔞 + c_{2}^{2}k_{2}𝔞)}{c_{1}c_{2}}) e (\frac{−(c_{1}k_{1}a_{2} + c_{2}k_{2}a_{1})Q[b]}{c_{1}c_{2}})

= ∑ ∑ ∑ ∑ e (\frac{−d_{2}(Q[𝔞 + c_{1}𝔤_{2}] − m)}{c_{2}}) e (\frac{−d_{1}(Q[𝔞 + c_{2}𝔤_{1}] − m)}{c_{1}})

e (\frac{−2^{t}𝔟Q(c_{1}k_{1}𝔞 + 𝔤_{2})}{c_{2}}) e (\frac{−2^{t}𝔟Q(c_{2}k_{2}𝔞 + 𝔤_{1})}{c_{1}}) e (\frac{−k_{1}a_{2}Q[𝔟]}{c_{2}}) e (\frac{−k_{2}a_{1}Q[𝔟]}{c_{1}})

Da nach Voraussetzung gilt, daß c_{1}^{2}k_{1} ≡ 1 (mod c_{2}) und c_{2}^{2}k_{2} ≡ 1 (mod c_{1}) sind, und ferner Q[𝔟] und 2^{t}𝔟Q ganzzahlig sind, folgt weiter:

= ∑_{d_{2}^{∗}(c_{2})} ∑_{𝔤_{2}(c_{2})}e (\frac{−d_{2}(Q[𝔞 + c_{1}𝔤_{2}] − m)}{c_{2}}) e (\frac{−2^{t}(c_{1}k_{1}𝔟)Q(𝔞 + c_{1}𝔤_{2})}{c_{2}}) e (\frac{−a_{2}Q[c_{1}k_{1}𝔟]}{c_{2}})

· ∑_{d_{1}^{∗}(c_{1})} ∑_{𝔤_{1}(c_{1})}e (\frac{−d_{1}(Q[𝔞 + c_{2}𝔤_{1}] − m)}{c_{1}}) e (\frac{−2^{t}(c_{2}k_{2}𝔟)Q(𝔞 + c_{2}𝔤_{1})}{c_{1}}) e (\frac{−a_{1}Q[c_{2}k_{2}𝔟]}{c_{1}})

Da mit 𝔤_{1} auch c_{2}𝔤_{1} ein vollständiges Restesystem modulo c_{1} durchläuft, erhält man schließlich

= X_{𝔞,𝔞k_{1}c_{1}}(c_{2}, m)X_{𝔞,𝔟k_{2}c_{2}}(c_{1}, m) ■

Lemma A.7. Sei c eine natürliche Zahl, M ∈ ZZ_{>0}, m ∈ Q, 𝔞 ∈ 𝔄_{M}^{(𝔪)} und 𝔟 ∈ 𝔄_{M}^{(0)}. Seien c = c_{0}c_{1}c_{2} und M = M_{0}M_{1}M_{2} Zerlegungen in paarweise teilerfremde Faktoren, so daß auch noch die Produkte c_{i}M_{i} paarweise teilerfremd sind (i = 0, 1, 2). Dann gilt

X_{𝔞,𝔟 \frac{M}{M_{1}M_{2}} ( \frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1}M_{2})}}(c_{1}c_{2}, m)
= X_{𝔞,𝔟 \frac{M}{M_{1}} ( \frac{c}{c_{1}} \frac{M}{M_{1}} )^{−1(M_{1})}}(c_{1}, m) · X_{𝔞,𝔟 \frac{M}{M_{2}} ( \frac{c}{c_{2}} \frac{M}{M_{2}} )^{−1(M_{2})}}(c_{2}, m).

(Wir verwenden die Schreibweise a^{−1(b)} für eine ganzzahlige Lösung x der Kongruenz ax ≡ 1 (mod b).

Beweis. Da M_{1}c_{1}^{2} und M_{2}c_{2}^{2} teilerfremd sind, kann man ganze Zahlen k_{1} und k_{2} finden, so daß M_{1}k_{1}c_{1}^{2} + M_{2}k_{2}c_{2}^{2} = 1 ist. Mit Lemma A.6 folgt dann:

\begin{matrix}X_{𝔞,𝔟 \frac{M}{M_{1}M_{2}} ( \frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1}M_{2})}}(c_{1}c_{2}, m) = & X_{𝔞,𝔟 \frac{M}{M_{1}M_{2}} ( \frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1}M_{2})}k_{2}M_{2}c_{2}}(c_{1}, m) \\ · X_{𝔞,𝔟 \frac{M}{M_{1}M_{2}} ( \frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1}M_{2})}k_{1}M_{1}c_{1}}(c_{2}, m). \end{matrix} (A.10)

Der zweite Index des ersten Faktors der rechten Seite darf ganzzahlig abgeändert werden, d.h.

𝔟\frac{M}{M_{1}M_{2}} (\frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1}M_{2})} k_{2}M_{2}c_{2} ≡ ⋯ (mod ZZ^{n})

Der Nenner von

𝔟\frac{M}{M_{1}M_{2}} (\frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1}M_{2})} M_{2}

ist ein Teiler von M_{1}, so daß man erhält:

⋯ ≡ 𝔟\frac{M}{M_{1}} (\frac{c}{c_{1}c_{2}} \frac{M}{M_{1}M_{2}} )^{−1(M_{1})} k_{2}c_{2} (mod ZZ^{n})

Da nach Konstrukion k_{2}c_{2} ≡ (M_{2}c_{2})^{−1} (mod M_{1}) ist:

⋯ ≡ 𝔟\frac{M}{M_{1}} (\frac{c}{c_{1}} \frac{M}{M_{1}} )^{−1(M_{1})} (mod ZZ^{n})

Entsprechendes gilt für den zweiten Index des zweiten Faktors von (A.10), womit die Behauptung folgt.■

A.2.2 Beweis von Satz A.3 und Korollar A.4

Beweis von Satz A.3. Wir beweisen die Aussage des Satzes für den Fall r = 1. Der Fall r > 1 folgt dann induktiv mit Proposition A.5 aus den allgemeinen Eigenschaften von Tensorprodukten.

Für i ∈ {0, 1} seien m_{i} := mM̃_{i}^{2}, 𝔞_{i} ∈ 𝔄_{M_{i}}^{(m_{i})} und 𝔟_{i} ∈ 𝔄_{M_{i}}^{(0)}. Wir haben ‘koordinatenweise’ zu zeigen:

\begin{aligned}^{t}\overline{v_{𝔞_{0}+𝔞_{1}}}X_{M}(c, m)v_{𝔟_{0}+𝔟_{1}} & = ( ^{t}\overline{v_{𝔞_{0}}}X_{M_{0}}(c_{0}, mM̃_{0}^{2})ϕ_{M_{0}}(c_{1})^{−1}v_{𝔟_{0}}) \\ & ( ^{t}\overline{v_{𝔞_{1}}}X_{M_{1}}(c_{1}, mM̃_{1}^{2})ϕ_{M_{1}}(c_{0})^{−1}v_{𝔟_{1}}) , \end{aligned}  (A.11)

Die linke Seite von (A.11) ist nichts anderes als

X_{𝔞_{0}+𝔞_{1},𝔟_{0}+𝔟_{1}}(c_{0}c_{1}, m).

Die rechte Seite von (A.11) ist nach der Definition von ϕ_{M} gleich

X_{𝔞_{0},𝔟_{0}c_{1}^{−1(M_{0})}}(c_{0}, m_{0}) X_{𝔞_{1},𝔟_{1}c_{0}^{−1(M_{1})}}(c_{1}, m_{1}) = …

Nach Definition der m_{i} und da man die Indices 𝔞_{i}, 𝔟_{i} ganzzahlig abändern darf, sowie nach Proposition A.5 bekommen wir

… = X_{𝔞_{0}M̃_{0},𝔟_{0}M̃_{0}c_{1}^{−1(M_{0})}}(c_{0}, mM̃_{0}^{2}) X_{𝔞_{1}M̃_{1},𝔟_{1}M̃_{1}c_{0}^{−1(M_{1})}}(c_{1}, mM̃_{1}^{2})
= X_{(𝔞_{0}+𝔞_{1})M̃_{0},(𝔟_{0}+𝔟_{1})M̃_{0}c_{1}^{−1(M_{0})}}(c_{0}, mM̃_{0}^{2}) X_{(𝔞_{0}+𝔞_{1})M̃_{1},(𝔟_{0}+𝔟_{1})M̃_{1}c_{0}^{−1(M_{1})}}(c_{1}, mM̃_{1}^{2})
= X_{𝔞_{0}+𝔞_{1},(𝔟_{0}+𝔟_{1})M̃_{0}c_{1}^{−1(M_{0})}}(c_{0}, m) X_{𝔞_{0}+𝔞_{1},(𝔟_{0}+𝔟_{1})M̃_{1}c_{0}^{−1(M_{1})}}(c_{1}, m).

Daher folgt die zu zeigende Identität (A.11) aus Lemma A.7 und der Definition der M̃_{i}.■

Korollar A.4 folgt aus Satz A.3 mit Proposition A.5.■

A.3 Berechnung der X_{M}(c, m)

Satz A.3 und Korollar A.4 gestatten nun, die Berechnung der Fourierkoeffizienten im wesentlichen auf die Berechnung der X_{𝔞,𝔟}(c, m) zurückzuführen, wobei c = p^{k} und die Nenner von 𝔞, 𝔟 und m Potenzen derselben Primzahl p sind. Für unsere Zwecke wird es reichen, diese Ausdrücke bei festem m für alle bis auf endlich viele Kombinationen (p, k) zu berechnen.

Sind a, b ganze Zahlen, a ≠ 0, so sei a_{(b)} der kleinste positive Teiler t von a, so daß \frac{a}{t} teilerfremd zu b ist.

Sind a, b ganze Zahlen, a ≠ 0, so sei a_{≠b} := a_{(≠b)} := \frac{a}{a_{(b)}} .

Ist a eine rationale Zahl oder ein rationaler Vektor, so sei N (a) der Nenner von a, also die kleinste natürliche Zahl t, so daß t · a ganzzahlig ist.

N sei die Stufe von 2Q, also die kleinste positive ganze Zahl t, so daß t · (2Q)^{−1} ganzzahlig ist.

Ferner sei D := det(Q) und D_{4Q,2} := (det(4Q))_{(2)}.

Für c ∈ ZZ_{≠0} sei

G(Q, c) := ∑_{𝔤 (mod c)}e (\frac{Q[𝔤]}{c}) .

die Gaußsche Summe der quadratische Form Q zum Modul c.

Satz A.8. Sei p prim und m ∈ ZZ[\frac{1}{p}].

(i) Ist k ∈ ZZ_{>0} so groß, daß

p^{k} ∤ 8N_{(p)}mp,

so ist X_{N_{(p)}}(p^{k}, m) die Nullabbildung.

(ii) Ist p ∤ 2N und p ∤ m, so ist

X_{1}(p, m) = \{ \begin{matrix}− (\frac{(−1)^{\frac{n}{2}} det(4Q)}{p}) p^{\frac{n}{2}} & (n gerade) \\ (^{\frac{(−1)^{\frac{n−1}{2}} m det(4Q)}{p}}) p^{\frac{n+1}{2}} & (n ungerade) \end{matrix}

(iii) Ist p ≠ 2, 𝔯 ∈ ℜ_{N_{(p)}} und φ ∈ { \atop ^{∗}(N_{(p)})}, k so groß, daß N_{(p)} | p^{k}, so ist

X_{N_{(p)}}(p^{k})w_{𝔯,φ} = \{ \begin{matrix}|^{∗}(p^{k})| G(Q, p^{k}) w_{𝔯,φ} & falls φ = (\frac{·}{p^{nk}D_{(p)}} ) \\ 0 & sonst \end{matrix}

(iv) Ist p = 2, 𝔯 ∈ ℜ_{N_{(2)}}, φ ∈ { \atop ^{∗}(N_{(2)})} und k so groß, daß (2N)_{(2)} | 2^{k}, so ist

X_{N_{(2)}}(2^{k})w_{𝔯,φ} = \{ \begin{matrix}|^{∗}(2^{k})| Re(G(Q, 2^{k})) w_{𝔯,φ} & falls φ = (\frac{2^{nk}D_{4Q,2}}{·} ) \\ |^{∗}(2^{k})| i Im(G(Q, 2^{k})) w_{𝔯,φ} & falls φ = (\frac{−2^{nk}D_{4Q,2}}{·} ) \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Bemerkung. Aus den Punkten (i) und (ii) des Satzes folgt, daß im Falle m ≠ 0 sämtliche Eulerfaktoren von Korollar A.4 Dirichletsummen sind.

A.3.1 Hilfssätze

Der folgende Satz über Normalformen regulärer p-adischer quadratischer Formen ist alt und wohlbekannt.

Satz A.9. Sei p prim und Q[𝔵] eine p-adisch ganzzahlige reguläre quadratische Form in n Variablen. Dann gilt:

• Ist p ≠ 2, dann ist Q[𝔵] ZZ_{p}-äquivalent zu einer Diagonalform; genauer: es gibt ganz rationale, relativ zu p prime Zahlen a_{1}, …, a_{n} und nichtnegative ganze Exponenten e_{1}, …, e_{n}, sowie eine Transformation T_{0} ∈ GL(n, ZZ_{p}), so daß

Q[T_{0}𝔵] = ∑_{i=1}^{n} a_{i}p^{e_{i}}x_{i}^{2}.

• Ist p = 2, dann ist Q[𝔵] ZZ_{2}-äquivalent zu einer Summe von quadratischen Formen der folgenden Typen:

2^{e}ax^{2}  mit a ∈ {1, 3, 5, 7}, e ∈ ZZ_{≥0},
2^{e}(x^{2} + xy + y^{2})  mit e ∈ ZZ_{≥0} oder
2^{e}xy  mit e ∈ ZZ_{≥0},

genauer: es gibt nichtnegative ganze Zahlen e_{1}, …,e_{r+s+t} (wobei r + 2s + 2t = n), a_{1}, …, a_{r} ∈ {1, 3, 5, 7}, sowie eine Transformation T_{0} ∈ GL(n, ZZ_{2}), so daß

Q[T_{0}𝔵] = ∑_{i=1}^{r} a_{i}2^{e_{i}}x_{i}^{2} + ∑_{i=r+1}^{r+s} 2^{e_{i}}(x_{i}^{2} + x_{i}y_{i} + y_{i}^{2}) + ∑_{i=r+s+1}^{r+s+t} 2^{e_{i}}x_{i}y_{i},

wobei y_{i} := x_{i+s+t}.

Beweis. siehe z.B. Cassels [3], chapter 8. ■

Satz A.10. Sei p prim und a ∈ ZZ relativ prim zu p. Seien e, k ganze nichtnegative Zahlen. Dann gilt:

• für p ≠ 2

∑_{g(p^{k})} e (\frac{ap^{e}g^{2}}{p^{k}} ) = \begin{cases}p^{k} & falls k ≤ e \\ (\frac{a}{p^{k+e}} ) p^{\frac{k+e}{2}} \sqrt{(\frac{−1}{p^{k+e}} )} & falls k ≥ e \end{cases}

• für p = 2

∑_{g(2^{k})} e (\frac{a2^{e}g^{2}}{2^{k}} ) = \begin{cases}2^{k} & falls k < e + 1 \\ 0 & falls k = e + 1 \\ (\frac{2^{k+e+1}}{a} ) 2^{\frac{k+e+1}{2}} e ((\frac{−1}{a}) \frac{1}{8}) & falls k > e + 1 \end{cases}

∑_{g_{1},g_{2}(2^{k})} e (\frac{2^{e}g_{1}g_{2}}{2^{k}} ) = \begin{cases}2^{2k} & falls k ≤ e \\ 2^{k+e} & falls k ≥ e \end{cases}

∑_{g_{1},g_{2}(2^{k})} e (\frac{2^{e}(g_{1}^{2} + g_{1}g_{2} + g_{2}^{2})}{2^{k}}) = \begin{cases}2^{2k} & falls k ≤ e \\ (−1)^{k+e}2^{k+e} & falls k ≥ e \end{cases}

Beweis. vgl. Minkowski, pp 51-53, [17]. ■

Korollar A.11. Sei p prim und k ∈ ZZ_{>0} so groß, daß p^{k} von (2N)_{(p)} geteilt wird. Sei Q p-adisch äquivalent zu

∑_{i_{1}}^{n} a_{i}p^{e_{i}}x_{i}^{2}

bzw., falls p = 2 ist, zu

∑_{i=1}^{r} a_{i}2^{e_{i}}x_{i}^{2} + ∑_{i=r+1}^{r+s} 2^{e_{i}}(x_{i}^{2} + x_{i}y_{i} + y_{i}^{2}) + ∑_{i=r+s+1}^{r+s+t} 2^{e_{i}}(x_{i}y_{i}),

wobei die Notation von Satz A.9 übernommenen wurde.

Dann ist

G(Q, p^{k}) = \begin{cases}D(p)^{\frac{1}{2}}p^{\frac{n}{2} k} (∏_{i=1}^{n} (\frac{a_{i}}{p^{k+e_{i}}} ) (\frac{−1}{p^{k+e_{i}}} )^{\frac{1}{2}} ) & falls p ≠ 2 \\ D(2)^{\frac{1}{2}}2^{\frac{n}{2} k} (∏_{i=1}^{r} e ((\frac{−1}{a_{i}}) \frac{1}{8}) (\frac{2^{k+e_{i}}}{a_{i}} )) (∏_{i=r+1}^{r+s} (−1)^{k+e_{i}}) & falls p = 2 \end{cases}

Für (d, p^{k}) = 1 folgt insbesondere:

G(dQ, p^{k}) = \begin{cases}(\frac{d^{n}}{p^{k}} ) G(Q, p^{k}) & falls p ≠ 2 \\ (\frac{2^{k}}{d^{n}} ) G(Q, 2^{k}) & falls p = 2, d ≡ 1 (mod 4) \\ (\frac{2^{k}}{d^{n}} ) G(−Q, 2^{k}) & falls p = 2, d ≡ 3 (mod 4) \end{cases}

Beweis. Wir können die durch Satz A.9 gegebene p-adische Transformation T_{0} durch ganzzahlige lineare Abbildungen T : ZZ^{n} → ZZ^{n} in der p-adischen Norm approximieren. Ist T hinreichend nahe an T_{0}, so ist det(T) nicht durch p teilbar (und damit G(Q[T], p^{k}) = G(Q, p^{k})) und für alle \underline{λ} ∈ ZZ^{n} ist Q[T \underline{λ}] ≡ Q[T_{0}\underline{λ}] mod p^{k} (und damit G(Q[T], p^{k}) = G(Q[T_{0}], p^{k}). Da Gaußsche Summen sich unter der orthogonalen Addition quadratischer Formen multiplikativ verhalten, können wir Satz A.10 anwenden. Die Bedingung, daß p^{k} ein Teiler von (2N)_{(p)} sei, impliziert jeweils den “unteren” Fall in den geschweiften Klammern von Satz A.10. ■

Proposition A.12. Sei c ∈ IN so, daß |2N|_{(c)} ein Teiler von c ist. Sei 𝔣 ∈ 𝔄_{N_{(c)}}, 𝔣 ∉ ZZ^{n}. Sei d teilerfremd zu c. Dann ist

∑_{𝔤(c)}e (\frac{dQ[𝔤 + 𝔣_{0}]}{c}) = 0.

Beweis. Sei für diesen Beweis 𝔄̃ := 𝔄_{N_{(c)}}. Wir betrachten

∑_{𝔣∈𝔄̃} |∑_{𝔤(c)}e (\frac{dQ[𝔤 + 𝔣]}{c})|^{2} = ∑_{𝔣∈𝔄̃} ∑_{𝔤_{1}(c)} ∑_{𝔤_{2}(c)}e (\frac{dQ[𝔤_{1} + 𝔣] − dQ[𝔤_{2} + 𝔣]}{c}) = …,  (A.12)

wobei wir annehmen dürfen, daß die ganzzahligen Repräsentanten 𝔤_{1} und 𝔤_{2}, über die summiert wird, sämtlich durch \frac{N}{|N|_{(c)}} teilbar sind. Setze 𝔤 := 𝔤_{1} und 𝔥 := 𝔤_{2} − 𝔤_{1}. Dann erhalten wir

… = ∑_{𝔣∈𝔄̃}e (\frac{dQ[𝔤 + 𝔣] − dQ[𝔥 + 𝔤 + 𝔣]}{c})

= ∑_{𝔣∈𝔄̃} ∑_{𝔥(c)} ∑_{𝔤(c)}e (\frac{−dQ[𝔥] − 2d ^{t}𝔥Q(𝔤 + 𝔣)}{c}) .

Wegen

∑_{𝔤(c)}e (\frac{−2d ^{t}𝔥Qg}{c} ) = \{ \begin{matrix}0 & falls c ∤ 2 ^{t}𝔥Q \\ c^{n} & falls c | 2 ^{t}𝔥Q \end{matrix}

ist

… = c^{n} ∑_{𝔣∈𝔄̃} ∑_{{𝔥(c) \atop c|2Q𝔥}}e (\frac{−dQ[𝔥] − 2d^{𝔥}Q𝔥}{c}) .

Entsprechend gilt für einen ganzzahligen Vektor 𝔥̃, daß

∑_{𝔣∈𝔄̃}e( ^{t}𝔥̃𝔣) = \{ \begin{matrix}0 & falls ^{t}𝔥̃𝔣 ∉ ZZ für ein 𝔣 ∈ 𝔄̃ \\ |𝔄̃| = | det 2Q|_{(c)} & sonst. \end{matrix}

Damit folgt

… = |𝔄̃|c^{n} ∑_{𝔥}^{∗}e (\frac{−dQ[𝔥]}{c}) ,  (A.13)

wobei in der Summe ∑^{∗} über die Menge ℌ := \{𝔥(modc)|c teilt 2Q𝔥 und ^{t}(\frac{2Q𝔥}{c})𝔣 ∈ ZZ für alle 𝔣 ∈ 𝔄̃\} summiert wird. Ist nun 𝔥̃ ein ganzzahliger und durch \frac{N}{|N|_{(c)}} teilbarer Vektor und t𝔥̃𝔣 ∈ ZZ für alle 𝔣 ∈ 𝔄̃, so ist ^{t}𝔥̃𝔣 ∈ ZZ sogar für alle 𝔣 ∈ 𝔄, woraus 𝔥̃ ∈ 2QZZ^{n} folgt. Wir wenden diese Eigenschaft auf 𝔥̃ = \frac{2Q𝔥}{c} in der Beschreibung der Menge ℌ an; dies ist möglich, da wir oben vorausgesetzt hatten, daß 𝔤_{1} und 𝔤_{2} und damit 𝔥 durch \frac{N}{|N|_{(c)}} teilbar sind. Wir bekommen also

\frac{1}{c} · 2Q𝔥 ∈ 2QZZ^{n}

und daher ist 𝔥 ∈ cZZ^{n}. Folglich ist ℌ einelementig und daher

… = |𝔄̃|c^{n}.

Wir betrachten nun im ersten Teil der obigen Rechnung den nur zu 𝔣 = \underline{0} + ZZ^{n} gehörenden Term

|∑_{𝔤(c)}e (\frac{dQ[𝔤]}{c})|^{2} = c^{n} ∑_{{𝔥(c) \atop c|2Q𝔥}}e (\frac{−dQ[𝔥]}{c}) = …  (A.14)

Aus der Eigenschaft c | 2Q𝔥 folgt schon, daß c ein Teiler von Q[𝔥] ist (Beweis: falls 2 ∤ c ist das klar; falls 2 | c, so gilt wegen (2N)_{(c)}|c auch (2N)_{(c)}|2Q𝔥. Da N · (2Q)^{−1} ganzzahlig ist (so ist N definiert!), folgt daraus 2 | h. Zusammen mit c | 2Q𝔥 bekommen wir c | ^{t}𝔥Q𝔥 = Q[𝔥]). Die Anzahl der Restklassen 𝔥(modc), so daß 2Q𝔥 von c geteilt wird, ist aber gerade | det 2Q|_{(c)} = |𝔄̃|, und daher folgt

… = c^{n}|𝔄̃|.

Daher stimmen die Werte von (A.12) und (A.14) überein, womit die Behauptung folgt. ■

Lemma A.13. Sei 𝔞 ∈ 𝔄_{N_{(c)}}^{(𝔪)} und 𝔟 ∈ 𝔄_{N_{(c)}}^{(0)}. Definiere D_{𝔞,𝔟}(c) := {d mod ^{∗}c | d𝔞 ≡ 𝔟 mod ZZ^{n}}. Dann gilt

X_{𝔞,𝔟}(c, m) = ∑_{d∈D_{𝔞,𝔟}(c)} e (\frac{−md}{c}) G(dQ, c).

Beweis. Wegen (A.7) ist

X_{𝔞,𝔟}(c, m) = ∑_{d^{∗}(c)} e (\frac{−dm}{c}) e (\frac{dQ[𝔞] − 2 ^{t}𝔟Q𝔞 + aQ[𝔟]}{c})∑_{𝔤(c)}e (\frac{dQ[𝔤] + 2 ^{t}(d𝔞 − 𝔟)Q𝔤}{c}) .

Für die innere Summe auf der rechten Seite erhalten wir unter Verwendung von Proposition A.12

\{ \begin{matrix}0 & falls d ∉ D_{𝔞,𝔟}(c) \\ G(dQ, c)e (\frac{−a^{2}dQ[d𝔞−𝔟]}{c}) & falls d ∈ D_{𝔞,𝔟}(c). \end{matrix}

Ist d ∈ D_{𝔞,𝔟}(c), so folgt aus der Ganzzahligkeit von Q[𝔟] ∈ ZZ, daß auch Q[𝔞] und 2 ^{t}𝔟Q𝔞 ganzzahlig sind. Daher ist

e (\frac{a^{2}dQ[d𝔞 − 𝔟]}{c}) = e (\frac{dQ[𝔞] − 2 ^{t}𝔟Q𝔞 + aQ[𝔟]}{c})

und die Behauptung folgt. ■

A.3.2 Beweis von Satz A.8

Nach diesen Vorbereitungen sind wir nun in der Lage, uns dem Beweis von Satz A.8 zuzuwenden.

Beweis von Satz A.8. Sei 𝔟 ∈ 𝔄_{N_{(p)}}^{(0)} und 𝔞 ∈ 𝔄_{N_{(p)}}^{(𝔪)}. Sei D_{𝔞,𝔟}(c) wie in Lemma A.13 definiert. Mit Lemma A.13 und Korollar A.11 bekommen wir für p ≠ 2

X_{𝔞,𝔟}(p^{k}, m) = G(Q, p^{k}) ∑_{d∈D_{𝔞,𝔟}(p^{k})} e (\frac{−dm}{p^{k}}) (\frac{d}{p^{nk}D_{(p)}} )  (A.15)

und für p = 2

X_{𝔞,𝔟}(2^{k}, m) =G(Q, 2^{k}) ∑_{{d∈D_{𝔞,𝔟}(2^{k}) \atop d≡1(4)}} e (\frac{−dm}{2^{k}}) (\frac{2^{nk}D_{4Q,2}}{c} )

+ G(−Q, 2^{k}) ∑_{{d∈D_{𝔞,𝔟}(2^{k}) \atop d≡3(4)}} e (\frac{−dm}{2^{k}}) (\frac{2^{nk}D_{4Q,2}}{d} ) .

(A.16)

(i) Wir wollen zeigen, daß

X_{𝔞,𝔟}(p^{k}, m) = 0  (A.17)

gilt. Falls D_{𝔞,𝔟}(p^{k}) = ∅ ist, so folgt (A.17) aus (A.15) und (A.16) und wir sind fertig. Ist D_{𝔞,𝔟}(p^{k}) ≠ ∅, so folgt

0 ≡ Q[𝔟] ≡ Q[𝔞] ≡ m (modZZ),

m ist also ganzzahlig. Da k so groß ist, daß

p^{k} ∤ 8N_{(p)}mp,

verschwinden dann in (A.15) und (A.16) die rechts stehenden Summen. (Beweis: sei ι so gewählt, daß

p^{ι} = \{ \begin{matrix}max \{p, N (𝔞)\} & falls p ≠ 2 \\ max \{8, N (𝔞)\} & falls p = 2. \end{matrix}

Zerlegt man D_{𝔞,𝔟}(p^{k}) in Teilmengen der Form {d_{0} + r · p^{ι} | r = 0, …, p^{k−2}} =: D_{0}, so ist schon

∑_{d∈D_{0}} e (\frac{−dm}{p^{k}}) = 0

und (\frac{d}{p^{nk}d_{(p)}} ) (bzw. (\frac{2^{nk}D_{4Q,2}}{d} )) ist konstant für d ∈ D_{0}.)

(ii) Da p ∤ 2N und p ∤ m bekommen wir mit (A.15)

X_{1}(p, m) = X_{\underline{0},\underline{0}}(p, m) = G(Q, p) ∑_{d=1}^{p−1} e (\frac{−dm}{p}) (\frac{d}{p^{nk}} ) = …

Ist n gerade, also (\frac{d}{p^{nk}} ) = 1, so folgt

… = −G(Q, p)

und mit Korollar A.11 die Behauptung. Ist n ungerade, so ist

… = G(Q, p) (∑_{d=0}^{p−1} e (\frac{−md^{2}}{p} ) − ∑_{d=0}^{p−1} e (\frac{−md}{p})) ,

und mit Satz A.10 und Korollar A.11

\begin{aligned}… & = & p^{\frac{n}{2}} (\frac{det 4Q}{p}) ((\frac{−1}{p})^{\frac{1}{2}} )^{n} (\frac{−m}{p}) (\frac{−1}{p})^{\frac{1}{2}} \\ & = & p^{\frac{n+1}{2}} (\frac{(−1)^{\frac{n−1}{2}} m det(4Q)}{p}) . \end{aligned}

(iii) Sei d ∈ ^{∗}(N_{(p)}). Nach Definition von X_{N_{(p)}}(p^{k}) und wegen (A.15) ist

X_{N_{(p)}}(p^{k})v_{d𝔯} = ∑_{𝔞∈𝔄_{(p)}} X_{𝔞,d𝔯}(p^{k})v_{𝔞} = ∑_{𝔞∈𝔄_{N_{(p)}}} G(Q, p^{k}) ∑_{d_{1}∈D_{𝔞,d𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) v_{𝔞}.

Wegen D_{𝔞,d𝔯}(p^{k}) = d · D_{𝔞,𝔯}(p^{k}) und der Definition von w_{𝔯,φ} (vgl. (A.6)) erhalten wir

X_{N_{(p)}}(p^{k})w_{𝔯,φ} = \frac{|^{∗}(N (𝔯))|^{\frac{1}{2}}}{|^{∗}(N_{(p)})|} G(Q, p^{k}) ∑_{d^{∗}(N_{(p)})} φ(d) (\frac{d}{p^{nk}D_{(p)}} )

· ∑_{𝔞∈𝔄_{N_{(p)}}} ∑_{d_{1}∈D_{𝔞,𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) v_{𝔞}

= …

Ist φ(·) ≠ (\frac{·}{p^{nk}D_{(p)}} ), so folgt … = 0 und wir sind fertig. Sei also φ(·) = (\frac{·}{p^{nk}D_{(p)}} ). In diesem Fall gilt

… = |^{∗}(N (𝔯))|^{\frac{1}{2}} G(Q, p^{k}) ∑_{𝔞∈𝔄_{N_{(p)}}} ∑_{d_{1}∈D_{𝔞,𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) v_{𝔞}.

Es ist

{𝔞 ∈ 𝔄_{N_{(p)}} | D_{𝔞,𝔯}(p^{k}) ≠ ∅} = {d_{0} · 𝔯 | d_{0} ∈ ^{∗}(N (𝔯))}

und d_{0}D_{d_{0}𝔯,𝔯}(p^{k}) = D_{𝔯,𝔯}(p^{k}) für (d_{0}, p) = 1. Daher ist

\begin{matrix}∑_{𝔞∈𝔄_{N_{(p)}}} ∑_{d_{1}∈D_{𝔞,𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) v_{𝔞} = ∑_{d_{0}^{∗}(N (𝔯))}(\frac{d_{0}}{p^{nk}D_{(p)}} ) ∑_{d_{1}∈D_{𝔯,𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) v_{d_{0}𝔯} \\ = ∑_{d_{1}∈D_{𝔯,𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) ∑_{d_{0}^{∗}(N (𝔯))}φ(d_{0})v_{d_{0}𝔯} \end{matrix}

Nun ist aber

∑_{d_{1}∈D_{𝔯,𝔯}(p^{k})} (\frac{d_{1}}{p^{nk}D_{(p)}} ) = #D_{𝔯,𝔯}(p^{k}) oder w_{𝔯,φ} = 0.

(Beweis: Ist N (𝔯) > 1, so gilt d_{1} ≡ 1(modp) für alle d_{1} ∈ D_{𝔯,𝔯}(p^{k}); ist N (𝔯) = 1, so ist φ Hauptcharakter (modp) oder w_{𝔯,φ} = 0 (vgl. den Absatz nach (A.6).))

Wegen #D_{𝔯,𝔯}(p^{k}) = \frac{|^{∗}(p^{k})|}{|^{∗}(N (𝔯))|} folgt in beiden Fällen

… = |^{∗}(p^{k})|G(Q, p^{k})w_{𝔯,φ}.

(iv) Der Beweis verläuft ähnlich wie der zu (iii) und soll daher nicht weiter ausgeführt werden.■

A.4 Die Fourierkoeffizienten der Eisensteinreihe

Speziell für die Eisensteinreihe E(z, s, v\underline{0}), die (oder deren Residuum) im Punkt s = \frac{n}{4} in Hinblick auf Satz 2.4 oder die Konstruktion der Funktion E(z, Q^{+}) in Kapitel 4 eine zentrale Rolle spielt, haben die Fourierkoeffizienten eine besonders schöne Interpretation: Bezeichnet man mit A_{q}(Q, 𝔞, m) die Anzahl der Lösungen \underline{λ} (mod q) der quadratischen Kongruenz Q[\underline{λ} + 𝔞] ≡ m (mod q), so ist für Primzahlpotenzen c = p^{k}, wie man einfach nachrechnet,

\frac{X_{𝔞,\underline{0}}(p^{k}, m)}{p^{kn}} = \frac{A_{p^{k}}(Q, 𝔞, m)}{p^{k(n−1)}} − \frac{A_{p^{k−1}}(Q, 𝔞, m)}{p^{(k−1)(n−1)}}.

Daher exisitiert (zumindest für n > 2) die ‘p-adischen Lösungsdichte’

δ_{p}(Q, 𝔞, m) := lim_{k→∞} \frac{A_{p^{k}}(Q, 𝔞, m)}{p^{k(n−1)}}  (A.18)

und im Fall m ≠ 0 ist für hinreichend große k der unter dem Limes stehende Ausdruck in (A.18) sogar unabhängig von k (vgl. Satz A.8 und Korollar A.11). δ_{p}(Q, 𝔞, m) verschwindet genau dann nicht, wenn die Gleichung Q[\underline{λ}+𝔞] = m p-adisch ganzzahlig (und im Fall m = 0, 𝔞 = \underline{0} nichttrivial) lösbar ist.

Desweiteren ist X_{𝔞,\underline{0}}(c, m) multiplikativ in c (vgl. Lemma A.7) und es folgt

∑_{c>0} \frac{X_{𝔞,\underline{0}}(c, m)}{c^{2s+ \frac{n}{2}}} = ∏_{p} (1 + ∑_{k>0} \frac{A_{p^{k}}(Q, 𝔞, m) − p^{n−1}A_{p^{k−1}}(Q, 𝔞, m)}{p^{k(2s+ \frac{n}{2} −1)}}) .  (A.19)

Für s = \frac{n}{4} sind die einzelnen Eulerfaktoren auf der rechten Seite von (A.19) gleich δ_{p}(Q, 𝔞, m). All diese Eulerfaktoren lassen sich mit Satz A.8 explizit berechnen. (vgl. Siegel [26], p. 177ff oder auch Siegel [27], Lecture No.17, Lemma 5).

Satz A.14. (Fourierkoeffizienten zum Index m ≠ 0) Sei m ∈ Q\{0} und w_{𝔯,φ} ∈ W_{N}^{(𝔪)}. Dann ist

∑_{c=1}^{∞} \frac{X_{N}(c, m)}{c^{2s+ \frac{n}{2}}}w_{𝔯,φ}

eine endliche Summe von Ausdrücken der Form

\frac{1}{L(χ, 2s)}  h′(s)w′ (n gerade)

\frac{L(χ, 2s − 1)}{L(χ^{2}, 4s − 1)} h′(s)w′ (n ungerade).

Hierbei ist w′ ∈ W_{N}, h′(s) eine Dirichletsumme und

χ(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{(−1)^{\frac{n}{2}} det(4Q)m^{2}N (m)^{4}}{·} ) φ(·) & (n gerade) \\ (\frac{(−1)^{\frac{n−1}{2}} det(4Q)mN (m)^{2}}{·} ) φ(·) & (n ungerade) \end{matrix}

Dirichletcharakter modulo 8NmN (m)^{2}. Die einzelnen Summanden unterscheiden sich nur in den gestrichten Termen.

Beweis. Wir übernehmen die Bezeichnungen von Korollar A.4. Dann ist

w_{𝔯,φ} = w_{𝔯_{0},φ_{0}} ⊗ …, ⊗w_{𝔯_{r},φ_{r}}

mit 𝔯_{i} ∈ ℜ_{N_{i}} und φ_{i} ∈ { \atop ^{∗}(N_{i})}.

Nach Satz A.8 (ii) ist für p ∤ 2NmN (m)

∑_{k=0}^{∞} \frac{X_{N_{0}}(p^{k}, mÑ_{0}) ⊗ ϕ_{N_{1}}(p^{k}) ⊗ ⋯ ⊗ ϕN_{r}(p^{k})}{p^{k(2s+ \frac{n}{2} )}}w_{𝔯,φ}

= \{ \begin{matrix}(1 − (\frac{(−1)^{\frac{n}{2}} det(4Q)}{p}) φ_{1}(p) ⋯ φ_{r}(p)p^{−2s}) w_{𝔯,φ} & (n gerade) \\ (1 + (\frac{(−1)^{\frac{n−1}{2}} det(4Q)m · N (m)^{2}}{p} ) φ_{1}(p) ⋯ φ_{r}(p)p^{\frac{1}{2} −2s}) w_{𝔯,φ} & (n ungerade) \end{matrix}

= \{ \begin{matrix}(1 − χ(p)p^{−2s}) w_{𝔯,φ} & (n gerade) \\ \frac{(1 − χ^{2}(p)p^{−4s+1})}{(1 − χ(p)p^{−2s+ \frac{1}{2}} )}w_{𝔯,φ} & (n ungerade) \end{matrix}

Wir setzen dies in die Formel (A.8) von Korollar A.4 ein und erhalten

∑_{c=1}^{∞} \frac{X_{N}(c, m)}{c^{2s+ \frac{n}{2}}}w_{𝔯,φ} = \underbrace{(∑_{i=1}^{r} ∑_{k_{i}=0}^{∞}(⋯)) ∏_{{p∤2N \atop p|mN (m)^{2}}}(⋯)}_{(∗)} \{ \begin{matrix}L(χ, 2s)^{−1} & (n gerade) \\ \frac{L(χ,2s− \frac{1}{2} )}{L(χ,4s−1)} & (n ungerade) \end{matrix}

wobei für (⋯) jeweils die entsprechenden Terme von (A.8) einzusetzen sind. Die restlichen Eulerterme (∗) liefern nach Satz A.8 (i) ein endliches Produkt von Dirichletsummen (vgl. Bemerkung (A.3)), deren Koeffizienten Endomorphismen von V (bzw. V^{(+)}) sind. Es folgt die Behauptung. ■

Satz A.15. (Die nullten Fourierkoeffizienten) Sei w_{𝔯,φ} ∈ W_{N}^{(0)}. Dann ist

∑_{c=1}^{∞} \frac{X_{N}(c)}{c^{2s+ \frac{n}{2}}}w_{𝔯,φ}  (A.20)

eine endliche Summe von Ausdrücken der Form

\{ \begin{matrix}\frac{L(χ′, 2s − 1)}{L(χ, 2s)}h′(s)w′ & (n gerade) \\ \frac{L(χ′, 4s − 2)}{L(χ, 4s − 1)}h′(s)w′ & (n ungerade) \end{matrix} .

Hierbei ist w′ ∈ W_{N}, h′(s) eine Dirichletsumme,

χ(·) = \{ \begin{matrix}φ(·) (\frac{(−1)^{\frac{n}{2}} det(4Q)}{·}) & (n gerade) \\ φ(·)^{2} & (n ungerade) \end{matrix}

und χ′ ein Dirichletcharakter ist, der χ induziert.

Bemerkung. Insbesondere folgt aus Satz A.15, daß der Ausdruck in (A.20) im Bereich Re(s) ≥ \frac{1}{2} für gerades (bzw. ungerades) n allenfalls im Punkt s = 1 (bzw. s = \frac{3}{4}) einen (einfachen!) Pol hat, und zwar nur dann, wenn χ′ Hauptcharkater ist.

A.4.1 Hilfssätze

Lemma A.16. Sei p prim und sei k so groß, daß p^{k} von (2N)_{(p)} geteilt wird. Ist p ≠ 2, so gilt für gerade n

G(Q, p^{k+1}) = p^{\frac{n}{2}} (\frac{(−1)^{\frac{n}{2}} (det 4Q)_{≠p}}{p} ) (\frac{−1}{D_{(p)}} ) G(Q, p^{k})

und für beliebige n

G(Q, p^{k+2}) = p^{n}G(Q, p^{k}).

Für alle n ist

G(Q, 2^{k+1}) = 2^{\frac{n}{2}} (\frac{2}{(det 4Q)_{≠2}} ) G(Q, 2^{k}).

Beweis. Folgt unmittelbar aus Korollar A.11 ■ Lemma A.17. Sei n gerade und sei k so groß, daß 2^{k} von (2N)_{(2)} geteilt wird. Dann ist

G(Q, 2^{k}) \{ \begin{matrix}reell \\ rein imaginär \end{matrix} \} , wenn (\frac{−1}{| det 2Q|_{≠2}} ) (−1)^{κ} \{ \begin{matrix}positiv \\ negativ \end{matrix} \} .

Beweis. Wir können Q[\underline{λ}] in der 2-adischen Normalform von Satz A.9 gegeben voraussetzen. Sei r_{1} := #{a_{i} | a_{i} ≡ 1(mod4), 1 ≤ i ≤ r} und r_{3} := #{a_{i} | a_{i} ≡ 3(mod4), 1 ≤ i ≤ r}. Mit Korollar A.11 folgt mit den gegebenen Voraussetzungen, daß G(Q, 2^{k}) reell ist, wenn r_{1} − r_{3} ≡ 0(mod4) und rein imaginär, wenn r_{1} − r_{3} ≡ 2 (mod4) ist. Weiter ist

(det 2Q)_{(≠2)} = (−1)^{n_{−}}| det 2Q|_{(≠2)} = (−1)^{\frac{n}{2} +κ}| det 2Q|_{(≠2)}.

Wegen

(\frac{−1}{| det 2Q|_{(≠2)}} ) ≡ | det(2Q)|_{(≠2)} (mod4)

folgt dann

(det(2Q))_{(≠2)} ≡ (−1)^{\frac{n}{2} +κ} (\frac{−1}{| det 2Q|_{(≠2)}} ) (mod4).

Andererseits läßt sich

(−1)^{r_{3}+s+t} ≡ (det 2Q)_{(≠2)} (mod4)

auch unmittelbar aus der Normalform ablesen. Folglich ist

(−1)^{r_{3}+s+t} ≡ (−1)^{\frac{n}{2} +κ} (\frac{−1}{| det 2Q|_{(≠2)}} ) (mod4).

Wegen n = r_{1} + r_{3} + 2s + 2t bekommen wir

(\frac{−1}{| det 2Q|_{(≠2)}} ) (−1)^{κ} = (−1)^{\frac{r_{1}−r_{3}}{2}} .

Daher ist r_{1} − r_{3} ≡ 0 (mod 4) (bzw. r_{1} − r_{3} ≡ 2 (mod 4)) genau dann erfüllt, wenn gilt

(\frac{−1}{| det 2Q|_{(≠2)}} ) (−1)^{κ} positiv (bzw. negativ). ■

A.4.2 Beweis von Satz A.15

Beweis. Wir verwenden wieder die Bezeichnungen von Korollar A.4. Sei

w_{𝔯,φ} = w_{𝔯_{0},φ_{0}} ⊗ ⋯ ⊗ w_{𝔯_{r},φ_{r}}

mit r_{i} ∈ ℜ_{N_{i}} und φ_{i} ∈ { \atop ^{∗}(N_{i})}. Mit (A.9) aus Korollar A.4 bekommen wir eine Darstellung

∑ \frac{X_{N}(c)}{c^{2s+ \frac{n}{2}}}w_{𝔯,φ} = (∑_{k_{r}=0}^{∞}(⋯)) ⋯ \underbrace{(∑_{k_{j}=0}^{∞}(⋯)) ⋯ (∑_{k_{1}=0}^{∞}(⋯)) ∏_{p∤2N} (∑_{k=0}^{∞}(⋯)) w_{𝔯,φ},}_{=:w_{j}(s)}(A.21)

wobei für (⋯) die entsprechenden Terme aus (A.9) einzusetzen sind.

Wir werden im folgenden sagen, eine vektorwertige Funktion v(s) (s ∈ C_{Re≫0}) habe die Eigenschaft E(j), wenn sie die folgenden Kriterien (a) bis (e) erfüllt:

(a) v(s) läßt sich als endliche Summe von Ausdrücken der Form

\frac{L(χ′, 2s − 1)}{L(χ, 2s)}h′(s)w′ (n gerade)
\frac{L(χ′, 4s − 2)}{L(χ, 4s − 1)}h′(s)w′ (n ungerade)

darstellen, wobei

(b) w′ = w_{𝔰_{0},\overline{φ}_{0}} ⊗ ⋯ ⊗ w_{𝔰_{j},\overline{φ}_{j}} ⊗ w_{𝔰_{j+1},φ_{j+1}} ⊗ ⋯ ⊗ w_{𝔰_{r},φ_{r}} mit 𝔰_{i} ∈ ℜ_{N_{i}}.

(c) h′(s) eine Dirichletsumme ist,

(d) der Dirichletcharakter χ′ den Charakter χ induziert

(e) χ′ Dirichletcharakter zu einem Erklärungsmodul ist, der von den Primzahlen p_{r}, …, p_{j+1} geteilt wird.

Wir zeigen nun induktiv nach j, daß w_{j}(s) die Eigenschaft E(j) hat. Für j = r folgt dann die Behauptung des Satzes.

Induktionsanfang. Ist p ∤ 2N, so erhalten wir mit Satz A.8 und Proposition A.1, daß

X_{N}(p^{k})w_{𝔯,φ} = (X_{N_{0}}(p^{k}) ⊗ ϕ_{N_{1}}(p^{k}) ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{r}}(p^{k}))·(w_{𝔯_{0},φ_{0}} ⊗ ⋯ ⊗ w_{𝔯_{r},φ_{r}})
= \{ \begin{matrix}|^{∗}(p^{k})| G(Q, p^{k})φ_{1}(p^{k}) ⋯ φ_{r}(p^{k})w_{𝔯_{0},φ_{0}} ⊗ ⋯ ⊗ w_{𝔯_{r},φ_{r}} & falls p^{nk} = □ \\ 0 & falls p^{nk} ≠ □ \end{matrix}
= \{ \begin{matrix}|^{∗}(p^{k})| G(Q, p^{k})φ(p^{k})w_{𝔯,φ} & falls p^{nk} = □ \\ 0 & falls p^{nk} ≠ □ \end{matrix}

wobei das Symbol □ hier und im folgenden für “Quadrat einer natürlichen Zahl” steht. Wegen G(Q, 1) = 1 und unter Verwendung von Lemma A.16 folgt dann

∑_{k=0}^{∞} \frac{X_{N}(p^{k})}{p^{(2s+ \frac{n}{2} )k}} w_{𝔯,φ} = \{ \begin{matrix}\frac{1 − χ(p)p^{−2s}}{1 − χ(p)p^{1−2s}} w_{𝔯,φ} & (n gerade) \\ \frac{1 − χ^{2}(p)p^{1−4s}}{1 − χ^{2}(p)p^{2−4s}} w_{𝔯,φ} & (n ungerade) \end{matrix}

Daher ist

w_{0}(s) = \{ \begin{matrix}\frac{L(χ, 2s − 1)}{L(χ, 2s)}w_{𝔯,φ} & (n gerade) \\ \frac{L(χ^{2}, 4s − 2)}{L(χ^{2}, 4s − 1)}w_{𝔯,φ} & (n ungerade) \end{matrix}

und w_{0}(s) hat offensichtlich die Eigenschaft E(0).

Induktionsschritt von j − 1 nach j. w_{j−1} erfülle die Eigenschaft E(j − 1). Zur Abkürzung sei p := p_{j} und

L(χ′, χ, s) := \{ \begin{matrix}\frac{L(χ′, 2s − 1)}{L(χ, 2s)} & (n gerade) \\ \frac{L(χ′, 4s − 2)}{L(χ, 4s − 1)} & (n ungerade) \end{matrix}

Sei ferner L(χ′, χ, s)h′(s)w′ einer der durch die Induktionsvoraussetzung gegebenen Summanden von w_{j−1}(s). Es reicht zu zeigen, daß

\begin{matrix}L(χ′, χ, s) & h′(s) \\ · ∑_{k≥0} \frac{ϕ_{N_{0}}(p^{k})^{−1} ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{j−1}}(p^{k})^{−1} ⊗ X_{N_{j}}(p^{k}) ⊗ ϕ_{N_{j+1}}(p^{k}) ⊗ ⋯ ⊗ ϕ_{N_{r}}(p^{k})}{p^{k(2s+ \frac{n}{2} )}}w′ \end{matrix} (A.22)

die Eigenschaft E(j) erfüllt.

Da für 𝔰 ∈ ℜ_{M} und ψ ∈ { \atop ^{∗}(M)}

ϕ_{M}(d)w_{𝔰,ψ} ∈ V_{{w_{𝔰,ψ}}}

und

X_{M}(d)w_{𝔰,ψ} ∈ V_{\{w_{𝔱,\overline{ψ}}|𝔱∈ℜ_{M} \}}

erfüllt sind (vgl. Proposition A.1 und Bemerkung in Abschnitt A.2.1) ist schon jedes Glied der Reihe in (A.22) von der verlangten Form (b). Wir brauchen also nur noch (a) und (c) – (e) nachzuweisen. Wir spalten die Reihe in (A.22) auf:

L(χ′, χ, s)h′(s) ∑_{k=0}^{∞}(⋯)w′ = \underbrace{L(χ′, χ, s)h′(s) ∑_{k=0}^{K}(⋯)w′}_{(∗)} + \underbrace{L(χ′, χ, s)h′(s) ∑_{k>K}(⋯)w′}_{(∗∗)} .(A.23)

Dabei sei K so groß gewählt, daß die Voraussetzungen von Satz A.8 (iii) (bzw. (iv) für p = p_{j} = p_{r} = 2) für alle k > K gelten. Die Eigenschaft E(j) ((a) und (c) – (e)) ist für (∗) offensichtlich erfüllt, muß also nur noch für (∗∗) gezeigt werden. Nach Satz A.8 (iii) (bzw. (iv) für p = 2) ist aber

X_{N}(p^{k})w_{𝔰_{j},φ_{j}} = 0 für alle k > K

(dann ist auch (∗∗) identisch Null und wir sind fertig!) oder es liegt einer der folgenden Fälle vor:

φ_{j}(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{·}{D_{p_{j}}} ) & (n gerade) \\ (\frac{·}{p_{j}} ) oder (\frac{·}{p_{j}^{2}} ) & (n ungerade) \end{matrix}  (A.24)

bzw., falls p = 2

φ_{j}(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{D_{4Q,2}}{·} ) oder (\frac{−D_{4Q,2}}{·} ) & (n gerade) \\ (\frac{2}{·}) oder (\frac{4}{·}) oder (\frac{−2}{·}) oder (\frac{−4}{·}) & (n ungerade) \end{matrix}  (A.25)

Wir untersuchen zunächst den Fall (A.24), also p ≠ 2: Wir berechnen (∗∗) in (A.23) mit Hilfe von Satz A.8 (iii) und Lemma A.16. Nach einer einfachen Rechnung erhalten wir

(∗∗) = L(χ′, χ, s)h′(s) ∑_{k>K}^{∗} (∏_{i≠j} φ_{i}(p^{k})) |^{∗}(p^{k})| G(Q, p^{k}) p^{−k(2s+ \frac{n}{2} )}

= L(χ′, χ, s)h′(s)h̃(s)w′ \{ \begin{matrix}(1 − χ̃(p)p^{1−2s})^{−1} & (n gerade) \\ (1 − χ̃(p)p^{2−4s})^{−1} & (n ungerade), \end{matrix}

wobei in der ersten Zeile das Sternchen ∗ über dem Summenzeichen bedeute, daß nur über diejenigen k summiert werden soll, für die

(\frac{·}{p^{nk}D_{p}} ) = φ_{j}(·)

ist, und in der zweiten Zeile die Abkürzungen

h̃(s) := (∏_{i≠j} φ_{i}(pK̃)) |^{∗}(pK̃)|G(Q, pK̃)p^{−K̃(2s+ \frac{n}{2} )}

K̃ := \{ \begin{matrix}K + 1 & (n gerade) \\ min \{ ˜K̃ > K | φ_{j}(·) = (\frac{·}{p ˜K̃} )\} & (n ungerade) \end{matrix}

χ̃(·) := \{ \begin{matrix}(∏_{i≠j} φ_{i}(·)) (\frac{(−1)^{\frac{n}{2}} det(4Q)_{≠p_{j}}}{·} ) (\frac{(\frac{−1}{D_{(p)}} )}{·}) & (n gerade) \\ ∏_{i≠j} φ_{i}(·)^{2} & (n ungerade) \end{matrix}

verwendet wurden.

Damit (∗∗) in (A.23) die Eigenschaft E(j) erfüllt, reicht es nun offensichtlich zu zeigen, daß

L(χ′, χ, s) \{ \begin{matrix}(1 − χ̃(p)p^{1−2s})^{−1} & (n gerade) \\ (1 − χ̃(p)p^{2−4s})^{−1} & (n ungerade) \end{matrix}

wieder von der Form L(χ′′, χ, s) ist, mit einem Dirichlet-Charakter χ′′, der (d) und (e) erfüllt.

Sei χ′ = ∏_{q} χ′_{q} Produktzerlegung des Charakters χ′ in Charaktere χ′_{q} zu q^{k}-Moduln (q prim,

k ≥ 1). Nach Induktionsvoraussetzung (e) kommen unter diesen q’s auch die Primteiler p_{j}, …, p_{r} vor. Da nach Induktionsvoraussetzung χ′ den Charakter

χ(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{(−1)^{κ}(\frac{−1}{| det(4Q)_{≠2}|})| det(4Q)|_{2}}{·} ) φ_{r}(·) ∏_{i=1}^{r−1} ((\frac{·}{D_{p_{i}}} ) φ_{i}(·)) & (n gerade) \\ ∏_{i=1}^{r} φ_{i}(·)^{2} & (n ungerade) \end{matrix}

induziert, ist notwendigerweise

χ′_{p_{j}}(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{·}{D_{p_{j}}} ) φ_{j}(·) & (n gerade) \\ φ_{j}(·)^{2} & (n ungerade). \end{matrix}

Mit der Voraussetzung (A.24) folgt, daß χ′_{p_{j}} Hauptcharakter modulo p_{j} ist.

Damit induziert

χ′′ := ∏_{q≠p_{j}} χ′_{q}

den Charakter χ′ und, nach Induktionsvoraussetzung (d), auch χ. Da χ̃ gleichfalls den Charakter χ induziert und die Erklärungsmoduln von χ′′ und χ̃ nicht von p_{j} geteilt werden, folgt

χ′′(p_{j}) = χ̃(p_{j}).

χ′′ erfüllt daher (d) und (e) und es ist

L(χ′′, χ, s) = L(χ′, χ, s) · \{ \begin{matrix}(1 − χ̃(p)p^{1−2s})^{−1} & (n gerade) \\ (1 − χ̃(p)p^{2−4s})^{−1} & (n ungerade). \end{matrix}

Wir kommen nun zu dem letzten zu betrachtenden Fall, nämlich j = r, also p = p_{j} = p_{r} = 2. Wir wollen wieder für (∗∗) in (A.23) die Eigenschaft E(j) nachweisen, wobei diesmal φ_{j} = φ_{r} durch (A.25) gegeben sei. Wir imitieren dabei so weit wie möglich die Vorgehensweise des oben behandelten Falles p ≠ 2.

Mit Hilfe von Satz A.8 (iv) und Lemma A.16 bekommen wir für (A.23) nach einer einfachen Rechnung

(∗∗) = L(χ′, χ, s)h̃_{±}(s)h′(s)w′ \{ \begin{matrix}(1 − χ̃(2)2^{1−2s})^{−1} & (n gerade) \\ (1 − χ̃(2)2^{2−4s})^{−1} & (n ungerade), \end{matrix}

wobei wir folgenden Abkürzungen verwenden:

h̃_{±}(s) := (∏_{i<r} φ_{i}(2K̃)) |^{∗}(2K̃)|G_{±}(Q, 2K̃)2^{−K̃(2s+ \frac{n}{2} )}

χ̃(·) := \begin{cases}(∏_{i<r} φ_{i}(·)) (\frac{·}{(det 4Q)_{≠2}} ) & (n gerade) \\ ∏_{i<r} φ_{i}(·)^{2} & (n ungerade) \end{cases}

G_{+}(Q, 2^{K}) := Re (G(Q, 2^{K}))
G_{−}(Q, 2^{K}) := i · Im (G(Q, 2^{K})) ,

und

K̃ := \begin{cases}K + 1 & (n gerade) \\ min \{ ˜K̃ > K | (\frac{2 ˜K̃D_{4Q,2}}{·} ) = φ_{r}(·) oder (\frac{−2 ˜K̃D_{4Q,2}}{·} ) = φ_{r}(·)\} & (n ungerade) \end{cases}

Dabei ist überall jeweils entweder “+” oder “−” statt “±” zu nehmen ist, je nachdem, ob φ_{r}(·) = (\frac{+2^{e}}{·} ) oder φ_{r}(·) = (\frac{−2^{e}}{·} ) für geeignetes e ∈ ZZ_{>0} ist.

Sei χ′ = ∏_{q} χ′_{q} eine Produktzerlegung des Charakters χ′ in Charaktere χ′_{q} zu q^{k}-Moduln (q

prim, k > 1). Nach Induktionsvoraussetzung (e) kommt unter diesen q’s auch der Primteiler p_{r} = 2 vor. Da χ′ nach Induktionsvoraussetzung den Charakter

χ(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{(−1)^{κ} (\frac{−1}{| det(4Q)|_{≠2}} ) | det(4Q)|_{2}}{·} ) φ_{r}(·) ∏_{i=1}^{r−1} ((\frac{·}{D_{p_{i}}} ) φ_{i}(·)) & (n gerade) \\ ∏_{i=1}^{r} φ_{i}(·)^{2} & (n ungerade) \end{matrix}

induziert, ist notwendigerweise

χ′_{p_{r}}(·) = \{ \begin{matrix}(\frac{(−1)^{κ}(\frac{−1}{| det(4Q)|_{≠2}} )D_{4Q,2}}{·} ) φ_{r}(·) & (n gerade) \\ φ_{r}(·)^{2} & (n ungerade). \end{matrix}

Falls χ′_{p_{r}} der Haupcharakter ist, können wir die für den Fall p ≠ 2 geführte Argumentation ohne Änderungen übernehmen und sind fertig. Dies trifft wegen der Voraussetzung (A.25) für ungerade n stets zu, für gerade n allerdings nur, wenn

(\frac{(−1)^{κ} (\frac{−1}{| det(4Q)|_{≠2}} ) D_{4Q,2}}{·} ) = φ_{r}(·)

ist.

Es bleibt noch der Fall, daß n gerade ist und entweder

(−1)^{κ} (\frac{−1}{| det(4Q)|_{≠2}} ) = −1 und φ_{r}(·) = (\frac{+D_{4Q,2}}{·} )

oder

(−1)^{κ} (\frac{−1}{| det(4Q)|_{≠2}} ) = +1 und φ_{r}(·) = (\frac{−D_{4Q,2}}{·} ) .

Nach Lemma A.17 ist aber dann entweder

Re (G(Q, 2K̃)) = 0 und φ_{r}(·) = (\frac{+D_{4Q,2}}{·} )

oder

Im (G(Q, qK̃)) = 0 und φ_{r}(·) = (\frac{−D_{4Q,2}}{·} ) .

In beiden Fällen ist damit h̃_{±}(s) ≡ 0, so daß Satz A.15 bewiesen ist. ■

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