Reelle Räume

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fachbereiche der Georg-August-Universität zu Göttingen

vorgelegt von Michael Tüxen aus Oldenburg

Göttingen 1996

D7

Referent:  Prof. Grauert
Korreferent:  Prof. Stuhler
Tag der mündl. Prüfung: 20. Juni 1996

Inhaltsverzeichnis

Einleitung 2

1 Analytische Räume 5 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Komplexifizierung reeller Mengenkeime . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Komplexifizierung reeller Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Reguläre Punkte und Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Analytische Modellräume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Analytische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Komplexifizierung 16 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Der Begriff der Komplexifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Komplexifizierung von analytischen Abbildungen . . . . . . . . . . . . . 17 Komplexifizierung von analytischen Räumen . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Komplexifizierung von kohärenten Garben . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Steinsche Schläuche 22 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Differenzierbare Funktionen auf komplexen Räumen . . . . . . . . . . . 22 Plurisubharmonische Funktionen auf komplexen Räumen . . . . . . . . 24 Ein Kriterium für 1-Vollständigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Existenz Steinscher Schläuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Normalisierung analytischer Räume 29 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Normale analytische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Normalisierung analytischer Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5 Der Remmertsche Bildsatz 33 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Semianalytische Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Analytisch endliche Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Analytisch eigentliche Abbildungen vom Rang r . . . . . . . . . . . . . . 35

Literatur 38

Einleitung

Man kann Ergebnisse der komplexen Analysis dazu benutzen, um Ergebnisse über reelle Räume zu gewinnen.

Zuerst untersuchte Cartan in [Ca57] reell-analytische Mengen A ⊆ ℝ^{N}. Das heißt, daß A lokal das Nullstellengebilde von endlich vielen reell-analytischen Funktionen ist. Er zeigte, daß man einer reell-analytischen Menge A genau dann eine Komplexifizierung zuordnen kann, wenn die Garbe ι_{A} der Keime der auf A verschwindenden reell-analytischen Funktionen kohärent ist. Solche Menge nennt er kohärente analytische Mengen. Er gab auch Beispiele an, daß nicht jede analytische Menge kohärent ist. Dann übertrug er Theorem A und Theorem B von Steinschen Räumen auf kohärente analytische Mengen A ⊆ ℝ^{N}.

Anschließend wurden reell-analytische Mannigfaltigkeiten untersucht: So zeigte kurze Zeit später H. Grauert in [Gr58], daß sich jede n-dimensionale analytische Mannigfaltigkeit mit abzählbarer Topologie reell-analytisch in einen ℝ^{N} einbetten läßt. Hierzu wird eine Steinsche Komplexifizierung mit Hilfe der Lösung des Leviproblems konstruiert und ein Einbettungssatz für Steinsche Räume ausgenutzt. Die Existenz einer im allgemeinen nicht Steinschen Komplexifizierung wurde zuerst in [WhBr59] gezeigt. Dies wurde in [Gr58] ausgenutzt.

Später wurden die Begriffe reeller Raum und reelle Varietät eingeführt. Beides sind lokal ℝ-geringte Räume, die sich im Modellraum (A, O_{A}) unterscheiden: Im folgenden bezeichnet O_{ℝ^{N}} die Garbe der Keime von reell-analytischen Funktionen auf dem N-dimensionalen reellen Zahlenraum ℝ^{N}. Für einen Modellraum eines reellen Raumes ist A die Nullstellenmenge N(f_{1}, …, f_{l}) von endlich vielen reellanalytischen Funktionen f_{λ} ∈ O_{B}(B) für λ = 1, …, l in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N}, und die Strukturgarbe O_{A} ist gleich (O_{B}/(f_{1}, …, f_{l}))|_{A}. Bei einem Modellraum für eine reelle Varietät ist die Strukturgarbe O_{A} gleich (O_{B}/ι_{A})|_{A}, wobei ι_{A} die Garbe der Keime der auf A verschwindenen reell-analytischen Funktionen bezeichnet. Man erkennt, daß die reellen Räume analog zu komplexen Räumen und die reellen Varietäten analog zu reduzierten komplexen Räumen definiert sind. Der Hauptunterschied zwischen der reellen und komplexen Theorie liegt nun darin begründet, daß man im Komplexen einen Reduktionsfunktor hat und im Reellen nicht: Man kann jedem komplexen Raum einen komplexen Raum zuordnen, der reduziert ist, das heißt dessen Strukturgarbe eine Untergarbe der Garbe von Keimen von stetigen ℂ-wertigen Funktionen ist. Dies besagt der tiefe Satz über die Kohärenz der Idealgarbe von H. Cartan (siehe [CAS, Chapter 4]). Ein reeller Raum beziehungsweise eine reelle Varietät heißt reduziert, falls die Strukturgarbe eine Untergarbe der Garbe von Keimen von stetigen ℝ-wertigen Funktionen ist. Reelle Räume sind im allgemeinen nicht reduziert, reelle Varietäten sind stets reduziert. Wie im komplexen Fall kann man jedem reellen Raum als Reduktion eine reelle Varietät zuordnen. Diese ist jedoch kein reeller Raum mehr. Dies bedeutet, daß die Strukturgarbe einer reeller Varietät im allgemeinen nicht kohärent ist.

Man zeigt dann, daß jeder reelle Raum einen im allgemeinen nicht reduzierten komplexen Raum als Komplexifizierung besitzt und eine reelle Varietät genau dann eine Komplexifizierung besitzt, wenn die Strukturgarbe kohärent ist. Dies ist dann ein reduzierter komplexer Raum.

Hat man nun als Ziel, Ergebnisse der komplexen Analysis über reduzierte komplexe Räume auf den reellen Fall zu übertragen, so bilden die reellen Räume keine geeignete Kategorie. Betrachtet man kohärente reelle Varietäten, so hat man stets eine reduzierte Komplexifizierung, aber die Klasse dieser Objekte ist nicht die allgemeinste, die eine Komplexifizierung zuläßt.

In dieser Arbeit wird der Begriff des (reell)-analytischen Raumes eingeführt und untersucht. Ein n-dimensionaler analytischer Raum ist ein lokal ℝ-geringter Raum, der lokal isomorph ist zu einem n-dimensionalen analytischen Modellraum (A, O_{A}). Hierbei verlangt man für A nur, daß A abgeschlossen in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} ist. Da die Räume eine reduzierte Komplexifizierung zulassen sollen, muß man als Strukturgarbe O_{A} = (O_{B}/ι_{A})|_{A} setzen. Es wird ein Kriterium angegeben, unter welchen Voraussetzungen genau A eine Komplexifizierung besitzt. Hat man eine Menge A ⊆ B, die eine Komplexifizieung zuläßt, so stellt sich heraus, daß sie in einer Menge A′ ⊆ B enthalten ist, die lokal als Nullstellenmenge von endlich vielen analytischen Funktionen darstellbar ist. A selbst ist dies nicht, sondern erst nach Vereinigung mit einer ”Stachelmenge“ A′ \ A. Um zu einer vernünftigen Theorie zu gelangen, wird man fordern, daß dieser Stachel klein ist im Verhältnis zu A. Dies geschieht mittels der Dimensionstheorie für separable metrische Räume. So erhält man die allgemeinsten reellen Objekte, die eine Komplexifizierung zulassen und bei denen man Ergebnisse von der Komplexifizierung auf die Objekte übertragen kann. Alle obigen anderen Begriffe von reellen Objekten, die eine reduzierte Komplexifizierung zulassen, sind Spezialfälle dieses Begriffs des analytischen Raumes. Eine exakte Einführung dieses Begriff des analytischen Raumes findet man im ersten Abschnitt.

Im zweiten Abschnitt dieser Arbeit wird gezeigt, daß jeder n-dimensionale analytische Raum einen rein n-dimensionalen reduzierten Raum als Komplexifizierung besitzt und dieser als Keim entlang des analytischen Raumes eindeutig bestimmt ist. Ferner kann man analytische Abbildungen und kohärente Moduln komplexifizieren.

Im dritten Abschnitt wird dann eine Umgebungsbasis aus offenen Steinschen Mengen eines analytischen Raumes in seiner Komplexifizierung konstruiert. Damit kann man Ergebnisse der Theorie der Steinschen Räume auf analytische Räume übertragen. Dies wird beispielhaft durchgeführt anhand von Theorem A, Theorem B und der Einbettungsfrage. Die Übertragung anderer Ergebnisse, wie zum Beispiel das Grauert-Oka Prinzip, sind ebenfalls möglich.

Im vierten Abschnitt wird der Begriff der Normalisierung eines analytischen Raumes eingeführt und Existenz und Eindeutigkeit der Normalisierung gezeigt.

Abschließend wird im fünften Abschnitt das Bild unter einer eigentlichen analytischen Abbildung f : X_{1} → X_{2} untersucht. Im komplexen Fall besagt ein Ergebnis von Remmert, daß die Bildmenge eine komplex-analytische Menge ist. Im Reellen ist dies falsch. Man muß den Begriff des semianalytischen Raumes einführen. Dies geschieht anders als bei Lojasiewicz in [Lo65]. Durch die komplex-analytischen Untersuchungen wird die hier gegebene Definition nahegelegt. Dann ist aber immer noch nicht das Bild f(X_{1}) eines analytischen Raumes unter einer eigentlichen Abbildung semianalytisch. Man muß Bedingungen an eine Komplexifizierung f̃: X̃_{1} → X̃_{2} der Abbildung stellen: Gibt es eine endliche Komplexifizierung der Abbildung, so ist die Bildmenge f(X_{1}) semianalytisch. f(X_{1}) ist auch semianalytisch, falls die Abbildung f fast überall den Rang r hat und eine eigentliche Komplexifizierung f̃: X̃_{1} → X̃_{2} besitzt, wobei X̃_{1} glatt ist.

Nun sollen noch einige Konventionen, die in der gesamten Arbeit gelten, angegeben werden. Mit ℕ werden die natürlichen Zahlen {1, 2, … } bezeichnet, mit ℕ_{0} die nicht-negativen ganzen Zahlen. Die reellen und komplexen Zahlen werden wie üblich mit ℝ und ℂ bezeichnet. Alle vorkommenden topologischen Räume haben eine abzählbare Basis der Topologie und sind Hausdorffsch. Ist X ein topologischer Raum und Y ⊆ X, so wird der Abschluß von Y in X mit \overline{Y}^{X} oder auch nur mit \overline{Y} bezeichnet. Ferner sind alle komplexen Räume, die in dieser Arbeit vorkommen, reduziert. Ist f : X → ℂ eine komplexwertige Funktion, so wird mit \overline{f} diejenige komplexwertige Funktion bezeichnet, die man aus f durch Komposition mit der Konjugation auf ℂ erhält. Sind f_{1}, …, f_{l} endlich viele ℝ- oder ℂ-wertige Funktionen auf einer Menge X, so wird die gemeinsame Nullstellenmenge von f_{1}, …, f_{l} in X mit N(f_{1}, …, f_{l}) bezeichnet.

An dieser Stelle möchte ich mich bei Prof. Grauert herzlich bedanken für die sehr interesssante Aufgabenstellung und die anregenden Gespräche während der Betreuung dieser Arbeit.

1 Analytische Räume

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wird der Begriff des analytischen Raumes eingeführt. Dazu muß man im wesentlichen nur analytische Modellräume definieren. Zentral ist in diesem Abschnitt der Begriff der Komplexifizierung. Dieser wird zunächst für beliebige Mengenkeime eingeführt und untersucht. Damit kann man dann Komplexifizierungen von Mengen A definieren, die abgeschlossen in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} sind. Dies sind komplex-analytische Mengen Ã in Bereichen B̃ ⊆ ℂ^{N}, die unter anderem A umfassen. Verlangt man nun, daß A im wesentlichen gleich dem reellen Teil der Komplexifizierung ist, so gelangt man zum Begriff des analytischen Modellraums.

Zum Abschluß werden Beispiele für analytische Räume angegeben.

Komplexifizierung reeller Mengenkeime

Zunächst fixiert man die folgenden

1.1. Bezeichnungen. Sei stets N ∈ ℕ. Fortan wird der ℝ^{N} stets als derjenige topologische Unterraum vom ℂ^{N} aufgefaßt, der aus den komplexen N-Tupeln besteht, die verschwindenden Imaginärteil haben. Mit ω_{ℂ^{N}} wird die antiholomorphe Involution auf dem ℂ^{N} bezeichnet, die man durch komponentenweises Konjugieren erhält. Ferner sei x ∈ ℝ^{N}. Wie üblich wird der Ring der reell-analytischen bzw. holomorphen Funktionskeime bei x mit O_{ℝ^{N} ,x} bzw. O_{ℂ^{N} ,x} bezeichnet. Man hat dann die kanonischen Abbildungen

O_{ℝ^{N} ,x} ⟶ O_{ℝ^{N} ,x} ⊗_{ℝ} ℂ ⟶^{≅} O_{ℂ^{N} ,x}.

Für f_{x} ∈ O_{ℝ^{N} ,x} wird das Bild von f_{x} in O_{ℂ^{N} ,x} mit f̃_{x} bezeichnet. Ist 𝔞 ein Ideal in O_{ℝ^{N} ,x}, so ist 𝔞 ⊗_{ℝ} ℂ ein Ideal in O_{ℝ^{N} ,x} ⊗_{ℝ} ℂ und das Bild in O_{ℂ^{N} ,x} wird mit 𝔞̃ bezeichnet. 𝔞̃ ist ein Ideal in O_{ℂ^{N} ,x}. Ist ferner 𝔞 erzeugt von f_{1,x}, …, f_{l,x}, so ist 𝔞̃ erzeugt von f̃_{1,x}, …, f̃_{l,x}.

Weiterhin werden neben reell-analytischen Mengenkeimen A_{x} ⊆ (ℝ^{N})_{x} und komplex-analytischen Mengenkeimen Ã_{x} ⊆ (ℂ^{N})_{x} auch allgemeine Mengenkeime in (ℂ^{N})_{x} betrachtet. Ein allgemeiner Mengenkeim A_{x} ⊆ (ℂ^{N})_{x} heißt dann reeller Mengenkeim, falls A_{x} ⊆ (ℝ^{N})_{x} gilt. Jeder reell-analytische Mengenkeim ist ein reeller Mengenkeim.

Jedem reellen Mengenkeim A_{x} ordnet man das Ideal ι_{A_{x}} ⊆ O_{ℝ^{N} ,x} der auf A_{x} verschwindenden reell-analytischen Funktionskeime zu. Ferner bezeichne O_{A_{x}} = O_{ℝ^{N} ,x}/ι_{A_{x}} die ℝ-Stellenalgebra des reellen Keimes A_{x}. Analog ordnet man einem komplex-analytischen Mengenkeim Ã_{x} das reduzierte Ideal ιÃ_{x} und die ℂ-Stellenalgebra OÃ_{x} zu. Diese Zuordnung induziert eine Bijektion zwischen den komplex-analytischen Mengenkeimen bei x und den reduzierten Idealen in O_{ℂ^{N} ,x}.

Der Verband der komplex-analytischen Mengenkeime ist Artinsch. Daher ist die folgende Definition sinnvoll.

1.2. Definition. Sei A_{x} ein reeller Mengenkeim bei x ∈ ℝ^{N}. Dann heißt der kleinste komplex-analytische Mengenkeim, der A_{x} umfaßt, die Komplexifizierung von A_{x} und wird mit Ã_{x} bezeichnet.

Nun zeigt man das elementare

1.3. Lemma. Sei A_{x} ein reeller Mengenkeim und f̃_{x} ∈ O_{ℂ^{N} ,x}. Dann sind äquivalent:

(1) f̃_{x}|_{A_{x}} = 0.

(2) f̃_{x} ∈ ι̃_{A_{x}}.

Beweis. Man betrachte die Zerlegung f̃_{x} = f̃′_{x} + i · f̃′′_{x} mit f′_{x}, f′′_{x} ∈ O_{ℝ^{N} ,x}.

(1) ↷ (2): Aus f̃_{x}|_{A_{x}} = 0 folgt f′_{x}|_{A_{x}} = f′′_{x}|_{A_{x}} = 0, also f′_{x}, f′′_{x} ∈ ι_{A_{x}}. Damit ergibt sich f̃′_{x}, f̃′′_{x} ∈ ι̃_{A_{x}} und schließlich f̃_{x} ∈ ι̃_{A_{x}}.

(2) ↷ (1): Aus f̃_{x} ∈ ι̃_{A_{x}} ergibt sich f′_{x}, f′′_{x} ∈ ι_{A_{x}}. Damit folgt f′_{x}|_{A_{x}} = f′′_{x}|_{A_{x}} = 0, also f̃′_{x}|_{A_{x}} = f̃′′_{x}|_{A_{x}} = 0 und damit f̃_{x}|_{A_{x}}.

Hieraus folgt sofort:

1.4. Korollar. Für jeden reellen Mengenkeim A_{x} ist das Ideal ι̃_{A_{x}} reduziert.

Beweis. Sei f̃_{x} ∈ O_{ℂ^{N} ,x} und l ∈ ℕ mit f̃_{x}^{l} ∈ ι̃_{A_{x}}. Dann folgt f̃_{x}^{l}|_{A_{x}} = 0 und damit f̃_{x}|_{A_{x}} = 0, also schließlich f̃_{x} ∈ ι̃_{A_{x}}.

Damit beweist man die

1.5. Proposition. Sei A_{x} ein reeller Mengenkeim bei x ∈ ℝ^{N} und Ã_{x} dessen Komplexifizierung. Dann gelten:

(1) ιÃ_{x} = ι̃_{A_{x}}, insbesondere gilt O_{A_{x}} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ OÃ_{x} als ℂ-Stellenalgebren.

(2) Ã_{x} ∩ (ℝ^{N})_{x} ist der kleinste reell-analytische Mengenkeim, der A_{x} umfaßt, und Ã_{x} ist dessen Komplexifizierung.

(3) Man kann Ã_{x} so durch eine in einer im ℂ^{N} offenen Umgebung Ũ von x analytischen Menge Ã repräsentieren, daß Ũ und Ã invariant sind unter Konjugation.

Beweis. Zu (1): Man zeigt, daß der durch das nach 1.4 reduzierte Ideal ι̃_{A_{x}} gegebene komplex-analytische Mengenkeim Ã_{x} die Komplexifizierung von A_{x} ist. Man wähle f_{1,x}, …, f_{l,x} ∈ O_{ℝ^{N} ,x} mit ι_{A_{x}} = (f_{1,x}, …, f_{l,x}). Dann gilt ι̃_{A_{x}} = (f̃_{1,x}, …, f̃_{l,x}). Aus 1.3 folgt dann für λ = 1, …, l die Gleichung f̃_{λ,x}|_{A_{x}} = 0 und damit A_{x} ⊆ Ã_{x}. Sei ferner Ã′_{x} ein komplex-analytischer Mengenkeim bei x mit A_{x} ⊆ Ã′_{x}. Aus 1.3 folgt dann ιÃ′_{x} ⊆ ιÃ_{x}, also Ã_{x} ⊆ Ã′_{x}. Damit ist Ã_{x} die Komplexifizierung von A_{x}.

Zu (2): Nach Definition gilt A_{x} ⊆ Ã_{x} ∩ (ℝ^{N})_{x}. Daher folgt ι_{Ã_{x}∩(ℝ^{N})_{x}} ⊆ ι_{A_{x}}. Mit 1.3 und (1) ergibt sich auch ι_{A_{x}} ⊆ ι_{Ã_{x}∩(ℝ^{N})_{x}}. Damit gilt ι_{Ã_{x}∩(ℝ^{N})_{x}} = ι_{A_{x}}. Der durch ι_{Ã_{x}∩(ℝ^{N})_{x}} gegebene Mengenkeim bei x ist ein reell-analytischer Mengenkeim, der A_{x} umfaßt und dessen Komplexifizierung nach (1) Ã_{x} ist. Sei ferner A′_{x} ein reell-analytischer Mengenkeim, der A_{x} umfaßt. Dann gilt ι_{A′_{x}} ⊆ ι_{A_{x}} = ι_{Ã_{x}∩(ℝ^{N})_{x}}. Damit folgt Ã_{x} ∩ (ℝ^{N})_{x} ⊆ A′_{x}.

Zu (3): Man wähle f̃_{1,x}, …, f̃_{l,x} wie bei (1) und einen Polyzylinder Ũ, so daß die durch f̃_{λ,x} gegebenen Potenzreihen mit reellen Koeffizienten in Ũ konvergieren und holomorphe Funktionen f̃_{λ} darstellen für λ = 1, …, l. Dann ist Ã = N(f̃_{1}, …, f̃_{l}) eine unter Konjugation invariante komplex-analytische Menge, die Ã_{x} induziert.

Komplexifizierung reeller Mengen

1.6. Definition. Sei B ⊆ ℝ^{N} ein Bereich und A ⊆ B abgeschlossen. Dann heißt eine in einem Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} komplex-analytische Menge Ã eine Komplexifizierung von A, falls für alle x ∈ A der Keim Ã_{x} die Komplexifizierung von A_{x} ist.

Trivial ist die folgende

1.7. Bemerkung. Sei B ⊆ ℝ^{N} ein Bereich, A ⊆ B abgeschlossen, B̃ ⊆ ℂ^{N} ein Bereich und Ã ⊆ B̃ eine komplex-analytische Menge, die eine Komplexifizierung von A ist. Ferner sei B̃′ ⊆ B̃ mit B ∩ B̃′ ≠ ∅. Für Ã′ = Ã ∩ B̃′, B′ = B ∩ B̃′ und A′ = A ∩ B′ ist dann A′ ⊆ B′ im Bereich B′ abgeschlossen und Ã′ ⊆ B̃′ eine komplex-analytische Menge, die eine Komplexifizierung von A′ ist.

Weiterhin hat man das elementare

1.8. Lemma. Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge und Ã ⊆ B̃ eine komplex-analytische Menge in einem Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N}, die eine Komplexifizierung von A ist. Dann gilt nach eventueller Verkleinerung von B, B̃ und Ã:

(1) B = B̃ ∩ ℝ^{N}.

(2) B̃ und Ã sind invariant unter ω_{ℂ^{N}}.

Beweis. Nach 1.5 gibt es zu jedem x ∈ A eine ω_{ℂ^{N}}-invariante offene Umgebung Ũ_{x} von x in B̃, so daß Ã ∩ Ũ_{x} auch ω_{ℂ^{N}}-invariant ist. Setze nun B̃′ = ( ⋃_{x∈A} B̃_{x}) ∩ T_{B},

wobei T_{B} = {z ∈ ℂ^{N} : re z ∈ B} bezeichnet. Dann ist B̃′ invariant unter ω_{ℂ^{N}} und A ⊆ B′ abgeschlossen mit B′ = B̃′ ∩ ℝ^{N}. Ferner ist Ã′ = Ã ∩ B̃′ auch ω_{ℂ^{N}}- invariant. Nach 1.7 ist dann Ã′ ⊆ B̃′ eine Komplexifizierung von A ⊆ B′.

Die Komplexifizierung ist als Keim entlang A eindeutig bestimmt. Dies besagt die folgende

1.9. Proposition (Eindeutigkeit der Komplexifizierung). Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge. Sind dann Ã′ ⊆ B̃′ und Ã′′ ⊆ B̃′′ zwei Komplexifizierungen von A, so gibt es einen Bereich B̃ ⊆ B̃′ ∩ B̃′′ mit A ⊆ B̃ und

Ã′ ∩ B̃ = Ã′′ ∩ B̃.

Beweis. Für x ∈ A gilt Ã′_{x} = Ã′′_{x}. Also gibt es eine offene Umgebung B̃_{x} ⊆ B̃′ ∩B̃′′ von x mit Ã′ ∩ B̃_{x} = Ã′′ ∩ B̃_{x}. Dann besitzt B̃ = ⋃_{x∈A} B̃_{x} ⊆ B̃′ ∩ B̃′′ die gewünschte

Eigenschaft.

Im folgenden benötigt man die garbentheoretische

1.10. Proposition. Sei (X, O_{X}) ein ℝ-geringter Raum und F ein O_{X}-Modul. Dann sind äquivalent:

(1) F ist ein kohärenter O_{X}-Modul.

(2) F ⊗_{ℝ} ℂ ist ein kohärenter O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ-Modul.

Beweis. (1) ↷ (2): Die Endlichkeit von F ⊗_{ℝ} ℂ folgt aus der Endlichkeit von F durch Tensorieren mit ℂ.

Die Relationenendlichkeit von F ⊗_{ℝ} ℂ sieht man so: Sei eine exakte Sequenz von (O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U}-Moduln

(O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U}^{p} ⟶^{π} F|_{U} ⊗_{ℝ} ℂ ⟶ 0

über einer offenen Menge U in X gegeben. Dann hat man ein kommutatives Diagramm von O_{U}-Moduln

0 ⟶ ker π ⟶ (O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U}^{p} ⟶^{π} F|_{U} ⊗_{ℝ} ℂ ⟶ 0
≅↓  ≅↓  ≅↓
0 ⟶ ker π′ ⟶  O_{U}^{2p}  ⟶^{π′} F|_{U} ⊕ F|_{U} ⟶ 0,

wobei die vertikalen Isomorphismen von O_{U}-Moduln durch den Isomorphismus ℂ ≅ ℝ ⊕ ℝ induziert werden. Da F ⊕ F relationenendlich ist, gibt es zu allen x ∈ U eine offene Umgebung V von x in U und eine exakte Sequenz von O_{V} - Moduln:

O_{V}^{q} ⟶ ker π|_{V} ⟶ 0.

Diese induziert eine exakte Sequenz von (O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{V} -Moduln:

(O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{V}^{q} ⟶ ker π|_{V} ⟶ 0.

Damit ist F ⊗_{ℝ} ℂ auch relationenendlich, also kohärent.

(2) ↷ (3): Zuerst zeigt man, daß F endlich erzeugt ist. Sei dazu x ∈ X. Dann gibt es eine offene Umgebung U von x und eine exakte Sequenz

(O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U}^{p} ⟶ (F ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U} ⟶ 0

von (O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U}-Moduln. Hieraus erhält man eine exakte Sequenz von O_{X}|_{U}- Moduln:

O_{X}|_{U}^{2p} ⟶ F|_{U} ⊕ F|_{U} ⟶ 0.

Mit dem Epimorphismus F|_{U} ⊕ F|_{U} → F_{U} erhält man eine exakte Sequenz von O_{X}|_{U}-Moduln:

O_{X}|_{U}^{2p} ⟶ F|_{U} ⟶ 0.

Also ist F endlich erzeugt.

Die Relationenendlichkeit von F sieht man so: Sei eine exakte Sequenz von O_{X}|_{U}-Moduln

0 ⟶ ker π ⟶ O_{X}|_{U}^{p} ⟶ F|_{U} ⟶ 0

gegeben. Weil ℂ eine flache ℝ-Algebra ist, erhält man daraus die exakte Sequenz von (O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{U}-Moduln:

0 ⟶ ker π ⊗_{ℝ} ℂ ⟶ O_{X}|_{U}^{p} ⊗_{ℝ} ℂ ⟶ F|_{U} ⊗_{ℝ} ℂ ⟶ 0.

Weil F ⊗_{ℝ} ℂ relationenendlich ist, gibt es zu x ∈ U eine offene Umgebung V in U von x und eine exakte Sequenz von O_{X}|_{V} -Moduln:

(O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)|_{V}^{q} ⟶ ker π ⊗_{ℝ} ℂ ⟶ 0.

Wie oben erhält man hieraus eine exakte Sequenz von O_{X}|_{V} -Moduln:

O_{X}|_{V}^{2p} ⟶ ker π ⟶ 0.

Also ist F relationenendlich.

Das Problem der Existenz einer Komplexifizierung wird behandelt durch den folgenden

1.11. Satz. Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge. Dann sind äquivalent:

(1) Es gibt eine Komplexifizierung Ã ⊆ B̃ von A.

(2) Zu jedem x ∈ A gibt es eine in ℂ^{N} offene Umgebung Ũ und eine in Ũ komplex-analytische Menge Ã ⊆ Ũ, so daß Ã_{y} die Komplexifizierung von A_{y} für alle y ∈ Ũ ∩ A ist.

(3) Die Idealgarbe ι_{A}|_{A} ist ein kohärenter O_{B}|_{A}-Modul.

(4) Es gibt einen Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} mit A ⊆ B̃ und eine kohärente OB̃-Idealgarbe ι̃_{A}, so daß der kanonische Isomorphismus O_{B}|_{A} ⊗_{ℝ}ℂ ≅ OB̃|_{A} einen Isomorphismus ι_{A}|_{A} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ ι̃_{A}|_{A} induziert.

Beweis. (1) ↷ (2): Die Implikation ist klar: Für alle x ∈ A wähle man B̃ als offene Umgebung und Ã als komplex-analytische Menge in B̃.

(2) ↷ (3): Es reicht zu zeigen, daß es zu jedem x ∈ A eine in B offene Umgebung U von x gibt, so daß ι_{A}|_{A∩U} ein kohärenter O_{B}|_{A∩U}-Modul ist. Sei dazu x ∈ A. Dann wähle man Ã ⊆ Ũ wie in (2) und setze U = Ũ ∩ B. Nun ist ιÃ ein kohärenter OŨ-Modul und es gilt nach 1.5

ι_{A}|_{A∩U} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ ιÃ|_{A∩U}.

Damit ist ιÃ|_{A∩U} ein kohärenter OŨ|_{A∩U} ≅ (O_{B}|_{A∩U} ⊗_{ℝ} ℂ)-Modul. Mit 1.10 ist dann ι_{A}|_{A∩U} ein kohärenter O_{B}|_{A∩U}-Modul.

(3) ↷ (4): Weil ι_{A}|_{A} eine kohärente O_{B}|_{A}-Idealgarbe ist, ist ι_{A}|_{A} ⊗_{ℝ} ℂ eine kohärente (O_{B}|_{A} ⊗_{ℝ} ℂ)-Idealgarbe. Wegen O_{B}|_{A} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ O_{ℂ^{N}}|_{A} ist ι_{A}|_{A} ⊗_{ℝ} ℂ eine kohärente O_{ℂ^{N}}|_{A}-Idealgarbe. Nach 1.10 gibt es einen Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} mit A ⊆ B̃ und eine kohärente OB̃-Idealgarbe ι̃_{A} mit ι_{A}|_{A} ⊗_{ℝ} ℂ ≅ ι̃_{A}|_{A}.

(4) ↷ (1): Diese Implikation ist auch klar: Man wähle als komplex-analytische Menge die durch die kohärente Idealgarbe ι̃_{A} induzierte.

Fortan gilt stets die

1.12. Bemerkung. Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge. Dann bezeichnet O_{A} stets die Garbe (O_{B}/ι_{A})|_{A} von ℝ-Stellenalgebren. Im folgenden wird A stets in dieser Weise als lokal ℝ-geringter Raum aufgefaßt.

Hiermit ergeben sich nun die beiden folgenden Bemerkungen:

1.13. Bemerkung. Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge. Dann ist (A, O_{A}) geometrisch reduziert, das heißt, der kanonische Homomorphismus O_{A} → C_{A} ist ein Monomorphismus, wobei C_{A} die Garbe der Keime von ℝ-wertigen stetigen Funktionen auf A bezeichnet.

1.14. Bemerkung. Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge, die eine Komplexifizierung besitzt. Dann ist O_{A} eine kohärente Ringgarbe.

Reguläre Punkte und Dimension

1.15. Bezeichnungen. Sei 𝕜 ein vollständig bewerteter Körper (im folgenden ist 𝕜 immer ℝ oder ℂ). Ist dann (X, O_{X}) ein lokal 𝕜-geringter Raum und n ∈ ℕ_{0}, so gilt im folgenden stets:

Reg_{n} X = {x ∈ X : O_{X,x} ist eine reguläre n-dimensionale 𝕜-Stellenalgebra}.

Ferner setze man

Reg X = ⋃_{n∈ℕ_{0}} Reg_{n} X und Sing X = X \ Reg X.

Für eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} analytische Menge A ⊆ B gilt x ∈ Reg_{n} A genau dann, wenn A bei x eine n-dimensionale reell-analytische Mannigfaltigkeit ist. Sei f_{1}, …, f_{l} ∈ O_{ℝ^{N}}(B). Dann bezeichnet Reg_{n}(f_{1}, …, f_{l}) die Menge Reg_{n}(N(f_{1}, …, f_{l}), O_{ℝ^{N}}(B)/(f_{1}, …, f_{l})).

Weiterhin wird im folgenden stets der topologische Dimensionsbegriff für separable metrische Räume nach [DimThy] benutzt. Damit ist dann insbesondere auch die topologische Dimension eines reellen Mengenkeims und eines komplexanalytischen Mengenkeims definiert. Für einen reell-analytischen Mengenkeim A_{x} bei x ∈ ℝ^{N} gilt dann nach [Fe66, Satz 2] dim A_{x} = dim O_{A_{x}}, wobei dim A_{x} die topologische Dimension von A_{x} und dim O_{A_{x}} die Krulldimension der ℝ-Stellenal-gebra O_{A_{x}} bezeichnet. Für komplex-analytische Mengenkeime Ã_{x} bei x ∈ ℂ^{N} gilt entsprechend dim Ã_{x} = 2 · dim OÃ_{x}.

1.16. Proposition. Ist A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} komplexifizierbare Menge und Ã ⊆ B̃ eine Komplexifizierung. Dann sind für x ∈ A äquivalent:

(1) x ∈ Reg_{n} A.

(2) x ∈ Reg_{n} Ã.

Beweis. Es gilt x ∈ Reg_{n} A genau dann, wenn Ã_{x} ∩ ℝ_{x}^{N} der Keim einer ndimensionalen reellen Mannigfaltigkeit ist. Mit [ReAnSp, Proposition III.2.4] ist dies äquivalent dazu, daß Ã_{x} der Keim einer komplexen n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist. Dies bedeutet aber x ∈ Reg_{n} Ã.

Damit ergibt sich nun:

1.17. Proposition. Sei A ⊆ B eine komplexifizierbare Menge in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N}. Dann ist die Menge Reg A offen und dicht in A.

Beweis. Sei Ã ⊆ B̃ eine Komplexifizierung von A. Dann gilt mit 1.16 die Gleichung Reg A = A \ Sing Ã. Also ist Reg A offen in A. Angenommen, Reg A ist nicht dicht in A. Dann gibt es eine in B offene Menge U mit ∅ ≠ A∩U ⊆ A\Reg A. Mit obiger Proposition folgt dann A ∩ U ⊆ Sing Ã ∩ U, also A_{x} ⊆ (Sing Ã)_{x} ⫋ Ã_{x} im Widerspruch zur Minimalität von Ã.

Analytische Modellräume

Die für diesen Paragraphen zentrale Definiton lautet:

1.18. Definition. Sei A ⊆ B eine in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} abgeschlossene Menge und n ∈ ℕ_{0}. Dann heißt A eine n-dimensionale analytische Menge, falls gilt:

(1) A ist rein n-dimensional.

(2) Es gibt eine Komplexifizierung Ã ⊆ B̃ von A mit dim((Ã ∩ B) \ A) < n.

Der lokal ℝ-geringte Raum (A, O_{A}) heißt n-dimensionaler analytischer Modellraum.

Damit folgt sofort die

1.19. Proposition. Sei A ⊆ B eine n-dimensionale analytische Menge und Ã ⊆ B̃ eine Komplexifizierung von A. Dann gilt:

(1) Für alle x ∈ Reg A gilt A_{x} = (Ã ∩ B)_{x}.

(2) Es gilt Reg A = Reg_{n} A.

Beweis. Zu (1): Sei x ∈ Reg A und d = dim_{x} Ã. Angenommen, es gilt

A_{x} ⫋ (Ã ∩ B)_{x}.  (∗)

Nach 1.15 und 1.16 gibt es eine in B offene Umgebung U von x, so daß U ∩ Ã rein d-dimensional ist. Nun ist A ∩ U ⊆ Ã ∩ U eine abgeschlossene Teilmenge. Nach (∗) ist die Inklusion echt und damit Ã ∩ U \ A ∩ U = ((Ã ∩ B) \ A) ∩ U rein d-dimensional. Also folgt dim((Ã ∩ B) \ A) ≥ d. Aus A ∩ U ⊆ Ã ∩ U folgt mit der Monotonie der Dimension n ≤ d. Also folgt dim((Ã ∩ B) \ A) ≥ n im Widerspruch zur Definition.

Zu (2): Sei x ∈ Reg_{n′} A. Dann gilt x ∈ Reg_{n′} Ã. Nach 1.16 gibt es eine in B offene Umgebung U von X, so daß Ã ∩ U rein n′-dimensional ist. Mit (1) folgt die Gleichung dim_{x} A = n′ und damit ergibt sich n = n′.

Damit kann man nun die folgende Proposition zeigen:

1.20. Proposition. Sei A ⊆ B eine n-dimensionale analytische Menge. Dann gibt es eine rein n-dimensionale Komplexifizierung von A.

Beweis. Sei Ã ⊆ B̃ eine Komplexifizierung von A und Ã = ⋃_{i∈I} Ã_{i} die Zerlegung

von Ã in irreduzible Komponenten. Man setze dann I_{1} = {i ∈ I : Ã_{i} ∩Reg A ≠ ∅}, I_{2} = I \ I_{1} und Ã′ = ⋃_{i∈I_{1}} Ã_{i}. Dann ist Ã′ ⊆ B̃ komplex-analytisch, und es gilt

Reg A ⊆ Ã′. Da Reg A ⊆ A dicht ist, folgt A ⊆ Ã′, und wegen A ⊆ Ã′ ⊆ Ã ist Ã′ eine Komplexifizierung von A. Nun ist Ã′ = ⋃_{i∈I_{1}} Ã_{i} die Zerlegung von Ã′ in

irreduzible Komponenten. Für i ∈ I_{1} ist Reg A ∩ Ã_{i} ≠ ∅, also wegen 1.19 und 1.16 Reg_{n} Ã ∩ Ã_{i} ≠ ∅ und damit ist Ã_{i} rein n-dimensional. Schließlich ist dann auch Ã′ rein n-dimensional.

Eine lokale Beschreibung n-dimensionaler analytischer Mengen liefert die

1.21. Proposition. Sei A ⊆ B eine n-dimensionale analytische Menge in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N}, Ã ⊆ B̃ eine Komplexifizierung von A und x ∈ A. Dann gibt es eine in B̃ offene Umgebung Ũ von x und holomorphe Funktionen f̃_{1}, …, f̃_{l} ∈ OB̃(Ũ), so daß mit U = Ũ ∩ B, f_{λ} = f̃_{λ}|_{U} für λ = 1, …, l gilt:

(1) f_{λ} ∈ O_{B}(U) für λ = 1, …, l.

(2) (f̃_{1}, …, f̃_{l}) = ιÃ|Ũ.

(3) (f_{1}, …, f_{l})|_{A∩U} = ι_{A}|_{A∩U}.

(4) A ∩ U = \overline{Reg_{n}(f_{1}, …, f_{l})}^{U}.

Beweis. Sei x ∈ A. Dann gibt es f_{1x}, …, f_{lx} ∈ O_{B,x} mit (f_{1x}, …, f_{lx}) = ι_{A,x}. Da ι_{A}|_{A} kohärent ist, gibt es eine in B offene Umgebung U von x und f_{1}, …, f_{l} ∈ O_{B}(U) mit (f_{1}, …, f_{l})|_{A∩U} = ι_{A}|_{A∩U}. Ferner gibt es eine ω_{ℂ^{N}}-invariante offene Menge Ũ in B̃ und holomorphe Funktionen f̃_{1}, …, f̃_{l} ∈ OB̃(Ũ) mit Ũ ∩ B = U und f̃_{λ}|_{U} = f_{λ} für λ = 1, …, l. Nach 1.5 gilt (f̃_{1}, …, f̃_{l})|_{A∩U} = ιÃ|_{A∩U}. Da ιÃ hohärent ist, darf man nach eventueller Verkleinerung von U und Ũ annehmen, daß (f̃_{1}, …, f̃_{l}) = ιÃ|Ũ gilt. Ferner hat man: \overline{Reg_{n}(f_{1}, …, f_{l})}^{U} = \overline{Reg_{n}(A) ∩ U}^{U} = \overline{Reg(A) ∩ U}^{U} = \overline{Reg(A) ∩ U}^{B} ∩ U = \overline{Reg(A)}^{B} ∩ U = A ∩ U

Die Dichtheit der glatten Punkte reicht nicht aus, um die Kohärenz der Idealgarbe zu erzwingen (man vergleiche [Gr93]).

1.22. Beispiel. Man betrachte die Menge

A = N(x_{3} · (x_{1} + x_{2}) · (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) − x_{1}^{4}) ⊆ ℝ^{3}.

Dann gilt Reg A ⊆ {(0, 0, x_{3}) ∈ ℝ^{3}}, und A ist rein 2-dimensional. Insbesondere gilt \overline{Reg A}^{A} = A. Aber A ist kein 2-dimensionaler analytischer Modellraum, denn

Ã = N(z_{3} · (z_{1} + z_{2}) · (z_{1}^{2} + z_{2}^{2}) − z_{1}^{4}) ⊆ ℂ^{3}

induziert die Komplexifizierung von A_{(0,0,0)}, aber nicht die Komplexifizierung von A_{(0,0,x_{3})} für x_{3} ≠ 0. Siehe dazu [ReAnSp, Bemerkung III.2.12].

Den Zusammenhang mit den klassischen Begriffen (siehe [Lo65]) liefert der folgende

1.23. Satz. Sei A ⊆ B eine n-dimensionale analytische Menge. Dann ist A eine abgeschlossene semi-analytische Menge in B im Sinne von Lojasiewicz.

Beweis. Weil A ⊆ B abgeschlossen ist, reicht es zu zeigen, daß es für alle x ∈ A eine in B offene Umgebung U von x gibt, so daß A ∩ U ⊆ U semi-analytisch ist. Sei dazu x ∈ A. Dann wähle man eine in B offene Umgebung U von x und f_{1}, …, f_{l} ∈ O_{B}(U) wie in 1.21. Dann ist

Sing A ∩ U = {x ∈ N(f_{1}, …, f_{l}) : rg(Jac(f_{1}, …, f_{l})(x)) < N − n}

die Nullstellenmenge von f_{1}, …, f_{l} und den (N − n)-Minoren der Jacobimatrix von (f_{1}, …, f_{l}), also semi-analytisch in U. Damit ist auch Reg_{n}(f_{1}, …, f_{l}) = N(f_{1}, …, f_{l})−Sing A∩U semi-analytisch in U. Da U ⊆ B offen ist, gilt \overline{Reg A}^{B} ∩ U = \overline{Reg A ∩ U}^{B} ∩ U. Somit ist auch

\overline{Reg_{n}(f_{1}, …, f_{l})}^{U} = \overline{Reg A ∩ U}^{U} = \overline{Reg A ∩ U}^{B} ∩ U = \overline{Reg A}^{B} ∩ U = A ∩ U

semi-analytisch in U. Damit ist A ⊆ B semi-analytisch in U.

Analytische Räume

Damit kann man schließlich definieren:

1.24. Definition. Ein lokal ℝ-geringter Raum (X, O_{X}) heißt n-dimensionaler analytischer Raum, falls gilt:

(1) X ist ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis der Topologie.

(2) Zu jedem x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U von x, einen n-dimensio-nalen analytischen Modellraum (A, O_{A}) und einen Isomorphismus

(U, O_{X}|_{U}) ≅ (A, O_{A})

von lokal ℝ-geringten Räumen.

Ein Morphismus von lokal-geringten Räumen zwischen zwei analytischen Räumen heißt analytische Abbildung.

1.25. Bemerkung. Die analytischen Räume mit den analytischen Abbildungen als Morphismen bilden eine Kategorie, die Kategorie der analytischen Räume. Die Kategorie der analytischen Räume ist eine volle Unterkategorie der Kategorie der lokal-geringten Räume.

1.26. Bemerkung. Wegen 1.13 ist ein analytischer Raum stets reduziert. Daher ist eine analytische Abbildung durch die stetige Abbildung bestimmt. Der Garbenmorphismus ist das Zurückliften von analytischen Funktionen.

Die elementaren Eigenschaften von analytischen Räumen beschreibt die

1.27. Proposition. Für einen n-dimensionalen analytischen Raum (X, O_{X}) gilt:

(1) Die Menge Reg X ist offen und dicht in X. Ein Punkt x ∈ X ist genau dann regulär, wenn es eine offene Umgebung U von x gibt, die bianalytisch abbildbar ist auf einen Bereich B ⊆ ℝ^{n}.

(2) Die Menge Sing X ist abgeschlossen und nirgends dicht in X sowie höchstens (n − 1)-dimensional. Ferner wird Sing X in X lokal durch endlich viele Gleichungen gegeben.

(3) Die Strukturgarbe O_{X} ist kohärent.

Beweis. Man darf annehmen, daß (X, O_{X}) ein analytischer Modellraum (A, O_{A}) ist.

Zu (1): Dies ist 1.17 mit 1.15.

Zu (2): Aus (1) folgt, daß Sing A abgeschlossen und nirgends dicht ist. Für x ∈ A wähle man Ũ ⊂ ℂ^{N}, f_{1}, …, f_{l} und f̃_{1}, …, f̃_{l} wie in 1.21. Dann gilt:

Sing A ∩ U = {x ∈ N(f_{1}, …, f_{l}) : rg(Jac(f_{1}, …, f_{l})(x)) < N − n}.

Also ist Sing A lokal durch endlich viele Gleichungen gegeben. Nach 1.20 gibt es eine rein n-dimensionale Komplexifizierung Ã ⊆ ℂ^{N} von A. Mit dim Sing Ã < n folgt dann dim Sing A < n.

Zu (3): Dies ist 1.14.

Zum Abschluß dieses Paragraphen sollen noch einige Beispiele analytischer Räume gegeben werden.

1.28. Beispiel. Jede n-dimensionale reell-analytische Mannigfaltigkeit ist ein ndimensionaler analytischer Raum.

1.29. Beispiel. Jede im Sinne von [Ca57] rein n-dimensionale kohärente analytische Menge A ⊆ B in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N} ist ein n-dimensionaler analytischer Modellraum. Allgemeiner ist jede rein n-dimensionale kohärente analytische Varietät im Sinne von [ReAnSp] ein n-dimensionaler Raum.

1.30. Beispiel. Sei X ein rein n-dimensionaler reduzierter komplexer Raum. Dann kann man X genau dann in natürlicher Weise als (2·n)-dimensionalen analytischen Raum auffassen, wenn für jeden Punkt x ∈ X jeder Primkeim von X_{x} in einer Umgebung von x irreduzibel bleibt. Siehe dazu [ReAnSp, Proposition III.2.15]. Insbesondere kann man damit jeden rein n-dimensionalen lokal-irreduziblen komplexen Raum als (2 · n)-dimensionalen analytischen Raum auffassen.

Bei den obigen analytischen Räumen sind die den Modellräumen zugrunde liegenden Mengen stets analytische Mengen in Bereichen des ℝ^{N}. Ein Beispiel bei dem das nicht der Fall ist, ist das abschließende

1.31. Beispiel. Man betrachte N(x_{1}^{2} − x_{2}^{2} · x_{3}) ⊆ ℝ^{3}. Dies ist der reelle Teil von Whitneys umbrella. ι_{N(x_{1}^{2}−x_{2}^{2}·x_{3})} ist nicht kohärent bei (0, 0, 0). Aber A = N(x_{1}^{2} − x_{2}^{2} · x_{3}) ∩ {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : x_{3} ≥ 0} ist ein 2-dimensionaler analytischer Modellraum mit Komplexifizierung Ã = N(z_{1}^{2} − z_{2}^{2} · z_{3}) ⊆ ℂ^{3}. Es gilt Ã∩ℝ^{3} \A = {(0, 0, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : x_{3} < 0}. Dieser ”Stachel“ ist 1-dimensional.

2 Komplexifizierung

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden zuerst Komplexifizierungen von analytischen Räumen und analytischen Abbildungen definiert. Dann wird die Existenz der Komplexifizierung von analytischen Abbildung gezeigt. Die Eindeutigkeit der Komplexifizierung einer analytischen Abbildung erhält man als Keim entlang des Definitonsraumes. Hieraus folgt dann auch die Eindeutigkeit der Komplexifizierung eines analytischen Raumes als Keim entlang des analytischen Raumes.

Um die Existenz der Komplexifizierung eines analytischen Raumes zu zeigen, benutzt man den Beweis von [WhBr59, Theorem 1] für Mannigfaltigkeiten. Er überträgt sich auf den allgemeinen Fall.

Zum Abschluß wird noch die Komplexifizierung von kohärenten Moduln eingeführt und deren Existenz gezeigt.

Der Begriff der Komplexifizierung

Zunächst braucht man die

2.1. Definition. Sei X̃ ein reduzierter komplexer Raum. Dann heißt eine stetige Abbildung ωX̃ : X̃ → X̃ eine Konjugation, falls gilt

(1) ωX̃ ist eine Involution, das heißt, es gilt ω2 ; X̃ = idX̃.

(2) Für alle offenen Mengen Ũ in X̃ gilt \overline{f̃∘ ωX̃} ∈ OX̃(ωX̃(Ũ)) für alle f̃ ∈ OX̃(Ũ).

Sind X̃_{1} und X̃_{2} komplexe Räume mit Konjugationen ωX̃_{1} und ωX̃_{2}, so heißt eine holomorphe Abbildung F̃ : X̃_{1} → X̃_{2} eine Abbildung von komplexen Räumen mit Konjugation, falls das Diagramm topologischer Räume

X̃_{1} ⟶^{F̃} X̃_{2}
ωX̃_{1} ↓  ↓^{ωX̃_{2}}
X̃_{1} ⟶^{F̃} X̃_{2}

kommutiert.

2.2. Bemerkung. Die komplexen Räume mit Konjugation bilden zusammmen mit den Abbildungen von komplexen Räumen mit Konjugation eine Kategorie, die Kategorie der komplexen Räume mit Konjugation.

Man fixiert nun noch die

2.3. Bezeichnungen. Im folgenden bezeichnet ω_{ℂ^{N}} stets die Konjugation auf dem ℂ^{N}, die man durch komponentenweises konjugieren erhält. Ist X̃ ein komplexer Raum mit Konjugation ωX̃ und Ã ⊆ X̃ ein ωX̃-invarianter komplexer Unterraum, so bezeichnet ωÃ die durch Einschränkung gegebene Konjugation auf Ã. Ferner bezeichnet Fix ωX̃ die Fixpunktmenge von ωX̃.

Damit kann man die für diesen Paragraphen zentrale Definition geben:

2.4. Definition. Sei X ein n-dimensionaler analytischer Raum. Ein komplexer Raum X̃ mit Konjugation ωX̃ heißt eine Komplexifizierung von X, falls gilt:

(1) X ⊆ Fix ωX̃ ist abgeschlossen und dim(Fix ωX̃ \ X) < n.

(2) Für alle x ∈ X gibt es eine offene ωX̃-invariante Umgebung Ũ von x, eine in einem ω_{ℂ^{N}}-invarianten Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} ω_{ℂ^{N}}-invariante komplex-analytische Menge Ã ⊆ B̃ und einen Isomorphismus ι̃: Ũ → Ã von komplexen Räumen mit Konjugation, so daß A = ι̃(Ũ ∩ X) ⊆ B = Fix B̃ ein n-dimensionaler analytischer Modellraum und Ã die Komplexifizierung von A ist.

Die Verträglichkeit mit dem schon eingeführten Begriff der Komplexifizierung einer reellen Menge liefert das folgende

2.5. Beispiel. Sei A ⊆ B eine n-dimensionale analytische Menge in einem Bereich B ⊆ ℝ^{N}. Dann ist eine komplex-analytische Menge Ã ⊆ B̃ in einem Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N}, die eine Komplexifizierung im Sinne von 1.6 ist, auch eine Komplexifizierung im Sinne von 2.4.

Ferner definiert man noch

2.6. Definition. Sei F : X_{1} → X_{2} eine Abbildung analytischer Räume. Dann heißt eine Abbildung F̃ : X̃_{1} → X̃_{2} von komplexen Räumen mit Konjugation eine Komplexifizierung von F, falls gilt:

(1) X̃_{ν} ist für ν = 1, 2 eine Komplexifizierung von X_{ν}.

(2) F̃|_{X_{1}} = F.

Komplexifizierung von analytischen Abbildungen

Die Frage der Existenz und Eindeutigkeit der Komplexifizierung von analytischen Abbildungen behandelt der

2.7. Satz. Sei F : X_{1} → X_{2} eine Abbildung analytischer Räume und sei X̃_{ν} für ν = 1, 2 eine Komplexifizierung von X_{ν}. Dann gilt:

(1) Seien Ũ′_{1} und Ũ′′_{1} zwei offene ωX̃_{1}-invariante Umgebungen von X_{1} in X̃_{1} und F̃′ : Ũ′_{1} → X̃_{2} sowie F̃′′ : Ũ′′_{1} → X̃_{2} zwei Komplexifizierungen von F, so gibt es eine offene ωX̃_{1} invariante Umgebung Ũ_{1} von X_{1} in X̃_{1} mit Ũ_{1} ⊆ Ũ′_{1} ∩ Ũ′′_{1} und

F̃′|Ũ_{1} = F̃′′|Ũ_{1}

(2) Es gibt eine offene ωX̃_{1}-invariante Umgebung Ũ_{1} von X_{1} in X̃_{1} und eine Komplexifizierung F̃ : Ũ_{1} → X̃_{2} von F.

(3) Ist F bianalytisch, so gibt es für ν = 1, 2 offene ωX̃_{ν}-invariante Umgebungen Ũ_{ν} von X_{ν} in X̃_{ν} und eine biholomorphe Abbildung F̃ : Ũ_{1} → Ũ_{2}, die eine Komplexifizierung von F ist.

Beweis. Sei X̃_{ν} eine Komplexifizierung von X_{ν} für ν = 1, 2.

Zu (1): Ohne Einschränkung darf man Ũ′_{1} = Ũ′′_{1} annehmen. Sei x_{1} ∈ X_{1} und x_{2} = F (x_{1}). Dann wähle man eine offene Umgebung Ũ_{2}^{(x_{1})} von x_{2}, einen Bereich B̃_{2}^{(x_{1})} ⊆ ℂ^{N_{2}^{(x_{1})}} und eine abgeschlossene Einbettung ι̃_{2}^{(x_{1})} : Ũ_{2}^{(x_{1})} → B̃_{2}^{(x_{1})}. Ferner wähle man eine offene Umgebung Ũ_{1}^{(x_{1})} von x_{1} mit Ũ_{1}^{(x_{1})} ⊆ Ũ′_{1} ∩ F̃′^{−1}(Ũ_{2}^{(x_{1})}) ∩ F̃′′^{−1}(Ũ_{2}^{(x_{1})}), einen Bereich B̃_{1}^{(x_{1})} ⊆ ℂ^{N_{1}^{(x_{1})}} und eine abgeschlossene Einbettung ι̃_{1}^{(x_{1})} : Ũ_{1}^{(x_{1})} → B̃_{1}^{(x_{1})}, so daß Ã_{1}^{(x_{1})} = ι̃_{1}^{(x_{1})}(Ũ_{1}^{(x_{1})}) eine Komplexifizierung von A_{1}^{(x_{1})} = ι̃_{1}^{(x_{1})}(Ũ_{1}^{(x_{1})} ∩ X_{1}) ist. Nach eventuellem Verkleinern von Ũ_{1}^{(x_{1})} und B̃_{1}^{(x_{1})} darf man annehmen, daß es holomorphe Abbildungen

F̃′^{(x_{1})}, F̃′′^{(x_{1})} : B̃_{1}^{(x_{1})} → B̃_{2}^{(x_{1})}

gibt mit

F̃′^{(x_{1})}|Ã_{1}^{(x_{1})} = ι̃_{2}^{(x_{1})} ∘ F̃′ ∘ (ι̃_{1}^{(x_{1})})^{−1} und F̃′′^{(x_{1})}|Ã_{1}^{(x_{1})} = ι̃_{2}^{(x_{1})} ∘ F̃′′ ∘ (ι̃_{1}^{(x_{1})})^{−1}.

Nun ist Ã′_{1}^{(x_{1})} = {z ∈ B̃_{1}^{(x_{1})} : F̃′^{(x_{1})}(z) = F̃′′^{(x_{1})}(z)} eine komplex-analytische Menge in B̃_{1}^{(x_{1})}, die A_{1}^{(x_{1})} umfaßt. Daher kann man nach eventuellem Verkeinern von Ũ_{1}^{(x_{1})} und B̃_{1}^{(x_{1})} erreichen, daß Ã_{1}^{(x_{1})} ⊆ Ã′_{1}^{(x_{1})} gilt. Schließlich ist

Ũ_{1} = ⋃_{x_{1}∈X_{1}} Ũ_{1}^{(x_{1})}

eine offene Umgebung von X_{1} mit F̃′|Ũ_{1} = F̃′′|Ũ_{1}. Die Menge Ũ_{1} ∩ ωX̃_{1}(Ũ_{1}) ist dann auch noch ωX̃_{1}-invariant.

Zu (2): Sei x_{1} ∈ X_{1} und x_{2} = F (x_{1}). Nach Definition der Komplexifizierung wähle man eine offene Umgebung Ũ_{2}^{(x_{1})} von x_{2}, einen Bereich B̃_{2}^{(x_{1})} ⊆ ℂ^{N_{2}^{(x_{1})}} und eine abgeschlossene Einbettung ι̃_{2}^{(x_{1})} : Ũ_{2}^{(x_{1})} → B̃_{2}^{(x_{1})}, so daß Ã_{2}^{(x_{1})} = ι̃_{2}^{(x_{1})}(Ũ_{2}^{(x_{1})}) eine Komplexifizierung von A_{2}^{(x_{1})} = ι̃_{2}^{(x_{1})}(Ũ_{2}^{(x_{1})} ∩ X_{2}) ist. Dann wähle man eine offene Umgebung Ũ_{1}^{(x_{1})} von x_{1} mit Ũ_{1}^{(x_{1})} ∩ X_{1} ⊆ F^{−1}(Ũ_{2}^{(x_{1})} ∩ X_{2}), einen Bereich B̃_{1}^{(x_{1})} ⊆ ℂ^{N_{1}^{(x_{1})}} und eine abgeschlossene Einbettung ι̃_{1}^{(x_{1})} : Ũ_{1}^{(x_{1})} → B̃_{1}^{(x_{1})}, so daß Ã_{1}^{(x_{1})} = ι̃_{1}^{(x_{1})}(Ũ_{1}^{(x_{1})}) eine Komplexifizierung von A_{1}^{(x_{1})} = ι̃_{1}^{(x_{1})}(Ũ_{1}^{(x_{1})} ∩X_{1}) ist. Nach eventuellem Verkleinern von Ũ_{1}^{(x_{1})} und B̃_{1}^{(x_{1})} darf man annehmen, daß es eine mit den Konjugationen verträgliche holomorphe Abbildung

F̃′_{x_{1}} : B̃_{1}^{(x_{1})} → B̃_{2}^{(x_{1})}

gibt mit

F̃′_{x_{1}}|_{A_{1}^{(x_{1})}} = ι_{2}^{(x_{1})} ∘ F ∘ (ι_{1}^{(x_{1})})^{−1}.

Analog zu (1), darf man nach weiterem Verkleinern von Ũ_{1}^{(x_{1})} und B̃_{1}^{(x_{1})} annehmen, daß

F̃′_{x_{1}}(Ã_{1}^{(x_{1})}) ⊆ Ã_{2}^{(x_{1})}

gilt. Man setze nun F̃_{x_{1}} = (ι̃_{2}^{(x_{1})})^{−1} ∘ F̃′_{x_{1}} ∘ ι̃_{1}^{(x_{1})}. Dann ist F̃_{x_{1}} : Ũ_{1}^{(x_{1})} → X̃_{2} eine holomorphe Abbildung mit F̃_{x_{1}}|_{Ũ_{1}^{(x_{1})}∩X_{1}} = F |_{Ũ_{1}^{(x_{1})}∩X_{1}}.

Damit gibt es eine Familie (Ũ_{1}^{(ι)})_{ι∈I} von offenen ωX̃_{1}-invarianten Teilmengen von X̃_{1} mit holomorphen Abbildungen F̃_{ι} : Ũ_{1}^{(ι)} → X̃_{2}, die mit den Konjugationen verträglich sind und für die F̃_{ι}|_{Ũ_{1}^{(ι)}∩X_{1}} = F |_{Ũ_{1}^{(ι)}∩X_{1}} gilt. Ferner darf man

annehmen, daß es zu jedem Punkt x_{1} ∈ X_{1} eine offene Umgebung Ũ_{1}^{(x_{1})} gibt, die nur endlich viele Ũ_{1}^{(ι)} trifft. Nach eventuellem Verkleinern darf man wegen (1) annehmen, daß auf diesen sich die Abbildungen F̃_{ι} verkleben. Damit erhält man eine Komplexifizierung F̃ von F auf Ũ_{1} = ⋃_{x_{1}∈X_{1}} Ũ_{1}^{(x_{1})}. Ersetzt man Ũ_{1} durch Ũ_{1} ∩ ωX̃_{1}(Ũ_{1}), so ist Ũ_{1} auch ωX̃_{1}-invariant.

Zu (3): Es bezeichne G die reell-analytische Abbildung F^{−1} : X_{2} → X_{1}. Nach (2) gibt es eine in X̃_{1} offene ωX̃_{1}-invarinate Umgebung Ũ′′_{1} von X_{1} und eine Abbildung F̃ : Ũ′′_{1} → X̃_{2} von komplexen Räumen mit Konjugation, so daß F̃|_{X_{1}} = F gilt. Analog gibt es die Komplexifizierung G̃ : Ũ′′_{2} → X̃_{1} von G. Nun ist Ũ′′_{1} ∩ F̃^{−1}(Ũ′′_{2}) eine in X̃_{1} offene Umgebung von X_{1} und die Einschränkung der holomorphen Abbildung G̃ ∘ F̃|_{Ũ′′_{1}∩F̃^{−1}(Ũ′′_{2})} : Ũ′′_{1} ∩ F̃^{−1}(Ũ′′_{2}) → X̃_{1} auf X_{1} ist gleich id_{X_{1}}. Also gibt es nach (1) eine in X̃_{1} offene ωX̃_{1}-invariante offene Umgebung Ũ′_{1} von X_{1} mit Ũ′_{1} ⊆ Ũ′′_{1} ∩ F̃^{−1}(Ũ′′_{2}), so daß gilt:

G̃ ∘ F̃|Ũ′_{1} = idŨ′_{1}  (∗)

Entsprechend gibt es eine in X̃_{2} offene ωX̃_{2}-invariante Umgebung Ũ′_{2} von X_{2} mit Ũ′_{2} ⊆ Ũ′′_{2} ∩ G̃^{−1}(Ũ′′_{1}) und

F̃ ∘ G̃|Ũ′_{2} = idŨ′_{2}  (∗∗)

Man setze Ũ_{1} = Ũ′_{1} ∩ F̃^{−1}(Ũ′_{2}) und Ũ_{2} = Ũ′_{2} ∩ G̃^{−1}(Ũ′_{1}). Dann sind Ũ_{ν} für ν = 1, 2 offene ωX̃_{ν} Umgebungen von X_{ν} in X̃_{ν}. Ferner gilt F̃(Ũ_{1}) ⊆ Ũ_{2} und G̃(Ũ_{2}) ⊆ Ũ_{1}. Bezeichnet man die Einschränkungen von F̃ und G̃ auf Ũ_{1} beziehungsweise Ũ_{2} wieder mit F̃ und G̃, so hat man holomorphe Abbildungen

F̃ : Ũ_{1} → Ũ_{2} und G̃ : Ũ_{2} → Ũ_{1}

mit

F̃|_{X_{1}} = F und G̃|_{X_{2}} = G.

Aus (∗) und (∗∗) folgt dann

G̃ ∘ F̃ = idŨ_{1} und F̃ ∘ G̃ = idŨ_{2} .

Also ist F̃ : Ũ_{1} → Ũ_{2} biholomorph mit F̃|_{X_{1}}.

Komplexifizierung von analytischen Räumen

Zunächst zeigt man die Eindeutigkeit der Komplexifizierung als Raumkeim entlang X.

2.8. Satz. Sei X ein analytischer Raum und X̃_{1} und X̃_{2} zwei Komplexifizierungen von X. Dann gibt es für ν = 1, 2 offene ωX̃_{ν}-invariante Umgebungen Ũ_{ν} von X in X̃_{ν} und einen Isomorphismus Ũ_{1} ≅ Ũ_{2} von komplexen Räumen mit Konjugation.

Beweis. Man betrachte die analytische Abbildung id_{X}. Mit 2.7 folgt die Behauptung.

Ferner hat man den wichtigen

2.9. Satz. Jeder n-dimensionale analytische Raum X besitzt eine Komplexifizierung X̃.

Beweis. X ist lokal-kompakt und hat eine abzählbare Basis der Topologie. Daher ist X parakompakt.

Zu jedem x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U_{x}, einen Bereich B̃_{x} ⊆ ℂ^{N_{x}}, eine komplex-analytische Menge Ã_{x} ⊆ B̃_{x} und eine reell-analytische Abbildung ι_{x} : U_{x} → B_{x} mit B_{x} = B̃_{x} ∩ ℝ^{N_{x}}, die einen Isomorphismus auf den n-dimensionalen analytischen Modellraum A_{x} = ι_{x}(U_{x}) induziert und Ã_{x} eine Komplexifizierung von A ist mit dim(Ã ∩ B \ A) < n.

Man wird nun versuchen, eine Komplexifizierung von X durch geeignetes Verkleben der Ã_{x} zu konstruieren. Für reelle Mannigfaltigkeiten ist dies in [WhBr59, Theorem 1] durchgeführt. Der Beweis überträgt sich direkt auf analytische Räume, da nur Aussagen aus 2.7 und die Tatsache, daß offene Unterräume von analytischen Modellräumen analytische Modellräume sind, benutzt werden. Es werden im wesenlichen nur topologische Schlüsse durgeführt. In [Fe66, Satz 6] ist der gleiche Beweis nocheinmal aufgeschrieben worden für kohärente analytische Räume im Sinne von [Fe66], das sind analytische Räume im Sinne dieser Arbeit bei denen bei den Modellräumen der Stachel die leere Menge ist.

2.10. Bemerkung. Wie im Beweis von 1.20 zeigt man, daß jeder n-dimensionale analytische Raum eine rein n-dimensionale Komplexifizierung besitzt.

Komplexifizierung von kohärenten Garben

2.11. Definition. Sei X ein n-dimensionaler Raum und F ein kohärenter O_{X}- Modul. Dann heißt ein kohärenter OX̃-Modul F̃ eine Komplexifizierung von F, falls gilt:

(1) (X̃, OX̃) ist eine Komplexifizierung von X.

(2) F ⊗_{ℝ} ℂ ≅ F̃|_{X} als (O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ)-Moduln.

Für den Beweis der Existenz der Komplexifizierung braucht man die 2.12. Proposition. Sei (X̃, OX̃) ein komplexer Raum und X ⊆ X̃ ein abgeschlossener topologischer Unterraum. Für einen OX̃|_{X}-Modul F sind dann äquivalent:

(1) F ist ein kohärenter OX̃|_{X}-Modul.

(2) Es gibt eine offene Umgebung Ũ von X in X̃ und einen kohärenten OŨ-Modul F̃ mit F ≅ F̃|_{X}.

Beweis. [ReAnSp, Proposition I.2.8]

Damit zeigt man:

2.13. Satz. Sei X ein analytischer Raum. Dann besitzt jeder kohärente O_{X}- Modul F eine Komplexifizierung F̃.

Beweis. Sei X̃ eine Komplexifizierung von X̃. Nach 1.10 ist der O_{X} ⊗_{ℝ} ℂ-Modul F ⊗_{ℝ} ℂ kohärent. Mit 2.12 gibt es dann eine offene Umgebung Ũ von X in X̃ und einen kohärenten OŨ-Modul F̃ mit F ⊗_{ℝ} ℂ ≅ F̃|_{X}. Also ist F̃ eine Komplexifizierung von F.

3 Steinsche Schläuche

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wird mit Hilfe von differenzierbaren streng plurisubharmonischen Funktionen gezeigt, daß jeder analytische Raum in seiner Komplexifizierung eine Umgebungsbasis aus offenen Steinschen Mengen besitzt. Dazu wird der analytische Raum als Nullstellenmenge einer nicht-negativen streng plurisubharmonischen Funktion in einer Umgebung von sich in seiner Komplexifizierung geschrieben.

Zum Abschluß werden Steinsche Schläuche benutzt, um einige Ergebnisse von Steinschen Räumen auf analytische Räume zu übertragen.

Zu Beginn werden die benötigten Tatsachen über differenzierbare und streng plurisubharmonische Funktionen auf komplexen Räumen bereitgestellt. Dabei verallgemeinert man den klassischen Begriff der Differenzierbarkeit, wie er in [Diff2] eingeführt wird, auf komplexe Räume.

Differenzierbare Funktionen auf komplexen Räumen

Zunächst definiert man wie üblich:

3.1. Definition. Sei X̃ ein komplexer Raum und r ∈ ℕ_{0} ∪ {∞}. Dann heißt eine reelle Funktion f : X̃ → ℝ r-mal differenzierbar, falls es zu jedem x̃ ∈ X̃ eine offene Umgebung Ũ von x̃, eine abgeschlossene Einbettung ι̃ : Ũ → B̃ in einen Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} und eine im klassischen Sinne r-mal differenzierbare Funktion F : B̃ → ℝ gibt mit

f|Ũ = F ∘ ι̃.

3.2. Bemerkung. Man überlegt sich leicht, daß die folgenden Aussagen richtig sind:

(1) Ist X̃ ein Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N}, so stimmt der Begriff der r-mal differenzierbaren Funktion im Sinne von 3.1 mit dem klassischen Begriff überein.

(2) Sei f̃: X̃_{1} → X̃_{2} holomorph und f : X̃_{2} → ℝ ein r-differenzierbare Funktion. Dann ist f ∘ f̃: X̃_{1} → ℝ auch r-mal differenzierbar.

(3) Daß f differenzierbar ist, ist unabhängig von der Einbettung. Dies bedeutet: Ist f : X̃ → ℝ r-mal differenzierbar, x̃ ∈ X̃ und ι̃: Ũ → B̃ eine abgeschlossene Einbettung einer offenen Umgebung Ũ von x̃ in einen Bereich B̃ ⊆ ℝ^{N}, so gibt es eine im klassischen Sinne r-mal differenzierbare Funktion F : B̃ → ℝ mit f|Ũ = F ∘ ι̃.

3.3. Bezeichnung. Sei X̃ ein komplexer Raum und r ∈ ℕ_{0} ∪ {∞}. Jede offene Menge Ũ faßt man als offenen komplexen Unterraum auf. Die Menge der r-mal differenzierbaren Funktionen auf Ũ werde mit Cr ; X̃(Ũ) bezeichnet. Ist Ũ′ ⊆ Ũ offen, so ist die offene Einbettung ι̃ : Ũ′ → Ũ holomorph. Ist nun f ∈ Cr ; X̃(Ũ), so ist f ∘ ι̃ ∈ Cr ; X̃(Ũ′). Die dadurch gegebenen Restriktionsabbildungen werden mit ρŨ ; Ũ′ : Cr ; X̃(Ũ) → Cr ; X̃(Ũ′) bezeichnet. Es ist klar, daß das Paar von Familien (Cr ; X̃(Ũ), ρŨ ; Ũ′) eine Garbe definiert, die im folgenden mit Cr ; X̃ bezeichnet wird und die Garbe von Keimen von r-mal differenzierbaren reellen Funtionen heißt.

Nun sollen zwei klassische Resultate über differenzierbare Funktionen über dem ℝ^{N} zitiert werden, die man im folgenden braucht.

3.4. Satz. Sei A ⊆ ℝ^{N} eine abgeschlossene Menge. Dann gibt es eine Funktion F ∈ C_{ℝ^{N}}^{∞}(ℝ^{N}) mit A = N(F).

Beweis. Dies ist [AnFu, Proposition 2.3.4].

3.5. Satz. Sei K eine kompakte und A eine abgeschlossene Teilmenge des ℝ^{N}. Sind dann K und A disjunkt, so gibt es eine Funktion F ∈ C_{ℝ^{N}}^{∞}(ℝ^{N}) mit:

(1) 0 ≤ F (x) ≤ 1 für alle x ∈ ℝ^{N}.

(2) F |_{K} = 1.

(3) F |_{A} = 0.

Beweis. Dies ist [Diff2, Satz III.7.2].

Hiermit zeigt man das folgende

3.6. Lemma. Zu jedem Punkt x̃ ∈ X̃ eines komplexen Raumes X̃ gibt es eine offene Umgebung Ũ von x̃, so daß gilt: Zu je zwei disjunkten und in X̃ abgeschlossenen Teilengen Ã_{1} und Ã_{2} von Ũ gibt es eine Funktion f ∈ C∞ ; X̃(Ũ) mit:

(1) 0 ≤ f(x̃) ≤ 1 für alle x̃ ∈ Ũ.

(2) f|Ã_{1} = 1.

(3) f|Ã_{2} = 0.

Beweis. Sei x̃ ∈ X̃. Dann gibt es eine offene Umgebung Ũ′ von x̃ und eine abgeschlossene Einbettung ι̃ : Ũ′ → B̃ in einen Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N}. Da X̃ lokalkompakt ist, gibt es eine offene Umgebung Ũ von x̃ mit Ũ ⊂⊂ Ũ′. Seien nun Ã_{1} und Ã_{2} zwei disjunkte und in X̃ abgeschlossene Teilmengen von Ũ. Dann sind sie auch kompakt. Damit sind ι̃(Ã_{1}) und ι̃(Ã_{2}) kompakte und disjunkte Teilmengen des ℂ^{N}. Man wähle nun F wie in 3.5. Dann hat f = F ∘ ι̃ die gewünschten Eigenschaften.

Damit folgt nun:

3.7. Satz. Sei X̃ ein komplexer Raum. Dann ist (X̃, Cr ; X̃) für r ∈ ℕ_{0} ∪ {∞} ein lokal ℝ-geringter Raum. Ferner ist jeder Cr ; X̃-Modul weich.

Beweis. Es ist klar, daß Cr ; X̃ eine Garbe von ℝ-Stellenalgebren ist. Mit [TF, Théorème II.3.7.1] folgt aus 3.6 die Weichheit von Cr ; X̃. Nach [TF, Théorème II.3.7.1] folgt auch die Weichheit jeder Cr ; X̃-Modulgarbe.

Als leichte Folgerung ergibt sich: 3.8. Korollar. Sei 𝔘̃ eine offene Überdeckung des komplexen Raumes X̃. Dann gibt es eine 𝔘̃ untergeordnete Teilung der 1 ∈ C∞ ; X̃(X̃). Beweis. Nach 3.7 ist C∞ ; X̃ weich. Aus [TF, Théorème II.3.6.1] folgt dann die Aussage.

Plurisubharmonische Funktionen auf komplexen Räumen

Man braucht für die Ergebnisse in diesem Abschnitt nur differenzierbare reellwertige plurisubharmonische Funktionen. Daher betrachtet man: 3.9. Definition. Sei B̃ ⊆ ℂ^{N} ein Bereich und P ∈ C_{ℝ^{2·N}}^{2}(B̃). Dann bezeichne

Levi(P) = (\begin{matrix}\frac{∂^{2}P}{∂z̄_{1}∂z_{1}} & … & \frac{∂^{2}P}{∂z̄_{1}∂z_{N}} \\ ⋮ & ... & ⋮ \\ \frac{∂^{2}P}{∂z̄_{N} ∂z_{1}} & … & \frac{∂^{2}P}{∂z̄_{N} ∂z_{N}} \end{matrix} )

die Leviform von P. P heißt plurisubharmonisch, falls die hermitesche Matrix Levi(P)(z) positiv-semidefinit ist für alle z ∈ B̃. Ist sie sogar positiv-definit für alle z ∈ B̃, so heißt P streng plurisubharmonisch.

Man rechnet leicht die folgenden Rechenregeln nach: 3.10. Lemma (Produktregel). Für einen Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} und Funktionen P_{1}, P_{2} ∈ C_{ℝ^{2·N}}^{2}(B̃) gilt

Levi(P_{1} · P_{2}) = P_{1} · Levi(P_{2}) + P_{2} · Levi(P_{1})
+ (grad P_{1}) · (\overline{grad P_{2}}^{T}) + (grad P_{2}) · (\overline{grad P_{1}}^{T})

mit

grad P_{ν} = (\frac{∂P_{ν}}{∂z_{1}} … \frac{∂P_{ν}}{∂z_{N}} )^{T} .

Beweis. Anwendung der Produktregel für Wirtingerableitungen. 3.11. Lemma (Transformationsformel). Seien B̃_{ν} ⊆ ℂ^{N_{ν}} für ν = 1, 2 Bereiche, F̃ : B̃_{1} → B̃_{2} holomorph und P ∈ C_{ℝ^{2·N_{2}}}^{2}(B̃_{2}). Dann gilt:

Levi(P ∘ F̃) = \overline{JF̃}^{T} · Levi(P) ∘ F̃ · JF̃,

wobei JF̃ die holomorphe Funktionalmatrix bezeichnet. Beweis. Anwendung der Rechenregeln für Wirtingerableitungen.

Nun überträgt man den Begriff der plurisubharmonischen Funktion auf komplexe Räume.

3.12. Definition. Eine reelle Funktion p : X̃ → ℝ heißt (streng) plurisubharmonisch, wenn es zu jedem x̃ ∈ X̃ eine offene Umgebung Ũ von x̃, eine abgeschlossene Einbettung ι̃: Ũ → B̃ in einen Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} und eine (streng) plurisubharmonische Funktion P : B̃ → ℝ gibt mit

p|Ũ = P ∘ ι̃.

3.13. Bemerkung. Die plurisubharmonischen beziehungsweise streng plurisubharmonischen Funktionen auf einem komplexen Raum bilden jeweils einen reellen Kegel. Ferner ist die Summe einer plurisubharmonischen und einer streng plurisubharmonischen Funktion eine streng plurisubharmonische Funktion.

Ein Kriterium für 1-Vollständigkeit

3.14. Definition. Ein komplexer Raum X̃ heißt 1-vollständig, falls es eine streng plurisubharmonische Funktion p : X̃ → ℝ gibt, so daß

(X̃)_{r} = {x̃ ∈ X̃ : p(x̃) < r}

für alle r ∈ ℝ relativ-kompakt ist. p heißt dann Ausschöpfungsfunktion.

Für das folgende Kriterium braucht man noch die

3.15. Bezeichnungen. Sei X̃ ein komplexer Raum, p : X̃ → ℝ eine nichtnegative streng plurisubharmonische Funktion und X = N(p). Dann bezeichnet 𝔈_{p} die Menge der ϵ ∈ C∞ ; X̃(X̃) mit

(1) ϵ > 0.

(2) ϵ verschwindet im Unendlichen.

(3) (p − ϵ) ist streng plurisubharmonisch.

Ferner gelten für ϵ ∈ 𝔈_{p} die Bezeichnungen

Ũ_{p} = {x̃ ∈ X̃ : (p − ϵ)(x̃) < 0},
p_{ϵ} = \frac{1}{−(p − ϵ)} : Ũ_{p} → ℝ.

Damit gilt nun der folgende

3.16. Satz. Sei X̃ ein komplexer Raum, p : X̃ → ℝ eine nicht-negative streng plurisubharmonische Funktion und X = N(p). Dann gilt

(1) {Ũ_{ϵ}}_{ϵ∈𝔈_{p}} ist eine Umgebungsbasis von X in X̃.

(2) Für alle ϵ ∈ 𝔈_{p} ist Ũ_{ϵ} 1-vollständig und p_{ϵ} : Ũ_{ϵ} → ℝ eine Ausschöpfungsfunktion.

Beweis. Für den Fall, das X̃ eine Mannigfaltigkeit ist, ist die Aussage [HaWe72, Satz]. Der gleiche Beweis geht auch für komplexe Räume durch.

Ein klassisches Resultat für Steinsche Räume ist die Lösung des Leviproblems:

3.17. Satz. Für einen komplexen Raum sind äquivalent:

(1) X̃ ist Steinsch.

(2) X̃ ist 1-vollständig.

Beweis. Dies ist [Na61, Satz 4].

Damit folgt sofort:

3.18. Satz. Sei X̃ ein komplexer Raum, p : X̃ → ℝ eine nicht-negative streng plurisubharmonische Funktion und X = N(p). Dann hat X eine Umgebungsbasis aus offenen Steinschen Mengen.

Beweis. Nach 3.16 gibt es eine offene Umgebungsbasis aus 1-vollständigen Mengen. Diese sind mit 3.17 Steinsch.

Existenz Steinscher Schläuche

Für analytische Räume gilt die

3.19. Proposition. Sei X ein analytischer Raum und X̃ eine Komplexifizierung von X. Dann gibt es eine offene Umgebung Ũ von X in X̃ und eine nirgends negative streng-plurisubharmonische Funktion p : Ũ → ℝ mit X = N(p).

Beweis. Sei 𝔘̃ = (Ũ_{j})_{j∈J} eine Koordinatenüberdeckung und gemäß 3.8 (g_{j})_{j∈J} eine differenzierbare Teilung der 1, die 𝔘̃ untergeordnet ist. Es gibt also für jedes j ∈ J eine abgeschlossene Einbettung ι̃_{j} : Ũ_{j} → B̃_{j} in einen Bereich B̃_{j} ⊆ ℂ^{N_{j}}, so daß ι̃_{j}(Ũ_{j}) = Ã_{j} eine in B̃_{j} komplex-analytische Menge, ι̃_{j}(Ũ_{j} ∩ X) = A_{j} eine in B_{j} = B̃_{j} ∩ ℝ^{N_{j}} analytische Menge und Ã_{j} eine Komplexifizierung von A_{j} ist. Ferner wähle man G_{j} ∈ C_{ℝ^{2·N_{j}}}^{∞}(B̃_{j}) mit g_{j}|Ũ_{j} = G_{j} ∘ ι̃_{j}.

Zu jedem j ∈ J gibt es nach 3.4 eine Funktion F_{j} ∈ C_{ℝ^{N_{j}}}^{∞}(ℝ^{N_{j}}) mit N(F_{j}) =

\overline{A_{j}}^{ℝ^{N_{j}}}. Sei nun P′_{j} : B̃_{j} → ℝ die durch

(z_{1}, …, z_{N_{j}}) ↦ ∑_{ν=1}^{N_{j}} y_{ν}^{2} + F_{j}^{2}(x_{1}, …, x_{N_{j}})

gegebene Funktion. Hierbei ist z_{ν} = x_{ν} + i · y_{ν} für ν = 1, …, N_{j} die Zerlegung von z_{ν} in Real- und Imaginärteil. Dann gilt P′_{j} ∈ C_{ℝ^{2·N_{j}}}^{∞}(B̃_{j}), P′_{j} ist nicht negativ, es gilt N(P′_{j}) = A_{j}, und P′_{j} verschwindet mit allen partiellen Ableitungen erster Ordnung auf A_{j}. Nun berechnet man:

Levi(P_{j}) = \frac{1}{2} · (E_{N_{j}} + grad F · (grad F)^{T} + F · Hess F )

mit

grad F = ( ⋮_{\frac{∂F}{∂x_{N_{j}}}}^{\frac{∂F}{∂x_{1}}} ) und Hess F = (\begin{matrix}\frac{∂^{2}F}{∂x_{1}∂x_{1}} & … & \frac{∂^{2}F}{∂x_{1}∂x_{N_{j}}} \\ ⋮ & & ⋮ \\ \frac{∂^{2}F}{∂x_{N_{j}} ∂x_{1}} & … & \frac{∂^{2}F}{∂x_{N_{j}} ∂x_{N_{j}}} \end{matrix} ) .

Ferner bezeichnet dabei E_{N_{j}} die N_{j}-dimensionale Einheitsmatrix. Also ist die Leviform von P′_{j} auf A_{j} streng positiv-definit.

Nun setze man P_{j} = G_{j} · P′_{j} ∈ C_{ℝ^{2·N_{j}}}^{∞}(B̃_{j}). Dann ist auch P_{j}|Ã_{j} nicht-negativ. Wegen 3.10 ist Levi(P_{j}) auf A_{j} positiv-semidefinit und in allen Punkten x ∈ A_{j} mit G_{j}(x) > 0 sogar positiv-definit. Schließlich bezeichne p_{j} die triviale Fortsetzung von P_{j} ∘ ι̃_{j} durch Null. Dann gilt p_{j} ∈ C∞ ; X̃(X̃) und p_{j} ist nicht negativ. Setze nun p = (∑_{j∈J} p_{j}) ∈ C∞ ; X̃(X̃). Damit ist p nicht negativ und es gilt N(p) = X. Ist nun x̃ ∈ X. Dann gibt es ein j ∈ J mit g(x̃) > 0 und eine Funktion Px̃ ∈ C_{ℝ^{2·N_{j}}}^{∞}(B̃_{j}) mit p|Ũ_{j} = Px̃ ∘ ι̃_{j}. Mit 3.11 ist die Leviform Levi(Px̃) im Punkt ι̃(x̃) positivdefinit. Daher gibt es eine offene Umgebung Ũ von X in X̃, so daß p|Ũ strengplurisubharmonisch ist. Damit ist p|Ũ die gesuchte Funktion.

Damit erhält man den

3.20. Satz. Sei X ein analytischer Raum und X̃ eine Komplexifizierung von X. Dann gibt es eine Umgebungsbasis von X in X̃ aus offenen Steinschen Mengen.

Beweis. Dies folgt aus 3.18 mit 3.19.

Anwendungen

Zunächst braucht man den folgenden

3.21. Satz. Sei X̃ ein parakompakter topologischer Raum, X ⊆ X̃ abgeschlossen und F̃ eine Garbe von abelschen Gruppen über X̃. Dann ist für alle n ∈ ℕ_{0} der kanonische Morphismus

\underrightarrow{lim} \begin{matrix}Ũ⊇X \\ Ũ & offen \end{matrix} H^{n}(Ũ, F̃) → H^{n}(X, F̃)

ein Isomorphismus.

Beweis. Dies ist [TF, Théorème II.4.11.1].

Nun kann man Sätze über Steinsche Räume auf analytische Räume übertragen. Als Beispiel dafür mögen die folgenden Sätze gelten.

3.22. Satz (Theorem B). Sei X ein analytischer Raum und F ein kohärenter O_{X}-Modul. Dann gilt für alle n ∈ ℕ die Gleichung

H^{n}(X, F) = 0.

Beweis. Nach 2.13 gibt es eine Komplexifizierung X̃ von X und eine kohärente OX̃-Modulgarbe F̃ mit

F ⊗_{ℝ} ℂ = F̃|_{X}.

Sei n ∈ ℕ_{0}. Da das System der Steinschen offenen Mengen kofinal in der Menge der offenen Umgebungen von X bezüglich Inklusion ist, folgt

\underrightarrow{lim} \begin{matrix}Ũ⊇X \\ Ũ & offen \end{matrix} H^{n}(Ũ, F̃) = \underrightarrow{lim} Ũ⊇X Ũ offen, Steinsch H^{n}(Ũ, F̃).

Mit Theorem B für Steinsche Räume ergibt sich für n ∈ ℕ:

\underrightarrow{lim} \begin{matrix}Ũ⊇X \\ Ũ & offen \end{matrix} H^{n}(Ũ, F̃) = 0.

Aus 3.21 folgt damit

0 = H^{n}(X, F̃) = H^{n}(X, F ⊗_{ℝ} ℂ) = H^{n}(X, F ⊕ F) = H^{n}(X, F) ⊕ H^{n}(X, F)

und hieraus die Behauptung.

3.23. Satz (Theorem A). Sei X ein analytischer Raum und F ein kohärenter O_{X}-Modul. Dann ist für alle x ∈ X der O_{X,x}-Modul F_{x} durch globale Schnitte erzeugt.

Beweis. Dies folgt aus Theorem B analog zu [TSR, Satz IV.1.2]. Analog zum Beweis von 3.22 kann man diesen Satz auch aus Theorem A für Steinsche Räume durch Übergang zur Komplexifizierung gewinnen.

Zur Formulierung des nächsten Satzes braucht man die

3.24. Bezeichnungen. Sei (X, O_{X}) ein lokal 𝕜-geringter Raum, dessen lokale Ringe alle noethersch sind. Dann bezeichnet für x ∈ X

embdim_{x} X = dim_{𝕜}(𝔪_{x}/𝔪_{x}^{2})

die Einbettungsdimension von X in x, wobei 𝔪_{x} das maximale Ideal in O_{X,x} ist. Ferner heißt X vom Typ N ∈ ℕ_{0}, falls embdim_{x} X ≤ N für alle x ∈ X gilt.

Damit kann man nun zitieren:

3.25. Satz. Sei X̃ ein n-dimensionaler Steinscher Raum vom Typ N > n. Dann gibt es eine abgeschlossene Einbettung X̃ → ℂ^{n+N}.

Beweis. Nach [Na60, Theorem 6] ist die Menge der abgeschlossenen Einbettungen dicht in OX̃(X̃)^{n+N}, also insbesondere nicht leer.

Daraus folgt:

3.26. Satz. Sei X ein n-dimensionaler analytischer Raum vom Typ N > n. Dann gibt es eine analytische injektive abgeschlossene Abbildung X → ℝ^{2·(n+N)}.

Beweis. Nach 2.9 gibt es eine n-dimensionale Komplexifizierung X̃ von X. Für die Einbettungsdimension von X̃ in einen Punkt x̃ ∈ X gilt wegen O_{X̃,x̃} = O_{X,x̃} ⊗_{ℝ}ℂ die Gleichung

embdimx̃ X̃ = embdimx̃ X.

Damit gilt

embdimx̃ X̃ ≤ N für alle x̃ ∈ X.

Aufgrund der Halbstetigkeit der Einbettungsdimension embdim : X̃ → ℕ_{0} gibt es eine offene Umgebung Ũ′ ⊆ X̃ von X vom Typ N. Nach 3.20 gibt es dann eine Steinsche offene Umgebung Ũ ⊆ Ũ′ vom Typ N. Mit 3.25 gibt es dann eine abgeschlossene Einbettung Ũ → ℂ^{n+N}. Schränkt man diese Abbildung auf X ein, so erhält man eine injektive abgeschlossene analytische Abbildung X → ℝ^{2·(n+N)}.

4 Normalisierung analytischer Räume

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt wird der Begriff des normalen analytischen Raumes und der Normalisierung eingeführt. Beide Begriffe führt man mittels Komplexifizierung auf den komplexen Fall zurück. Man zeigt dann, daß jeder analytische Raum eine Normalisierung besitzt.

Normale analytische Räume

Zunächst trifft man die folgende

4.1. Definition. Ein analytischer Raum X heißt normal, falls es eine Komplexifizierung X̃ von X gibt, die ein normaler komplexer Raum ist.

Nun gilt aber das folgende

4.2. Lemma. Sei x ∈ ℝ^{N} und A_{x} ein reeller Mengenkeim bei x. Dann sind äquivalent:

(1) O_{A_{x}} ist eine normale ℝ-Stellenalgebra.

(2) OÃ_{x} ist eine normale ℂ-Stellenalgebra.

Beweis. Sei ι_{A_{x}} das A_{x} zugeordnete Ideal und A′_{x} der ι_{A_{x}} zugeordnete reellanalytische Mengenkeim. Dann gelten mit 1.5 die Gleichungen Ã′_{x} = Ã_{x} und O_{A′_{x}} = O_{A_{x}}. Nun folgt die behauptete Äquivalenz aus [ReAnSp, Lemma IV.3.7], angewendet auf den reell-analytischen Mengenkeim A′_{x}.

Damit erhält man nun leicht die

4.3. Proposition. Sei X ein analytischer Raum. Dann sind äquivalent:

(1) X ist ein normaler analytischer Raum.

(2) Für alle x ∈ X ist O_{X,x} eine normale ℝ-Stellenalgebra.

Beweis. Sei X̃ eine Komplexifizierung von X.

(1) ↷ (2): Man darf annehmen, daß X̃ normal ist. Dann ist für alle X ∈ X die ℂ-Stellenalgebra normal. Mit 4.2 folgt dann (2).

(2) ↷ (1): Mit 4.2 ergibt sich, daß für alle x̃ ∈ X die ℂ-Stellenalgebra O_{X̃,x̃} normal ist. Da die Menge N(X̃) der nicht-normalen Punkte von X̃ analytisch ist, ist Ũ = X̃ \ N(X̃) eine offene Umgebung von X. Nach Verkeinern von U, darf man Ũ als ωX̃ invariant annehmen. Damit ist Ũ eine normale Komplexifizierung von X.

Normalisierung analytischer Räume

4.4. Definition. Sei X ein analytischer Raum. Eine analytische Abbildung ν : X̂ → X heißt Normalisierung, falls es eine Komplexifizierung ν̃ : ˜ X̂ → X̃ von ν gibt, so daß ν̃ eine Normalisierung von X̃ ist.

Im folgenden braucht man die

4.5. Proposition. Sei X̃ ein komplexer Raum mit Konjugation und ν̃ : ˆ X̃ → X̃ die Normalisierung von X̃. Dann gibt es auf ˆ X̃ genau eine Konjugation ω_{ˆX̃}, so daß das Diagramm von topologischen Räumen

ˆX̃ ⟶^{ω_{ˆX̃}} ˆ X̃
ν̃↓  ↓ν̃
X̃ ⟶^{ωX̃} X̃

kommutativ ist, das heißt ν̃ ist eine Abbildung von komplexen Räumen mit Konjugation.

Beweis. Dies ist [ReAnSp, Lemma IV.3.10].

Damit zeigt man nun die Eindeutigkeit der Normalisierung:

4.6. Proposition. Sei X ein analytischer Raum und seien ν′ : X̂′ → X, ν′′ : X̂′′ → X zwei Normalisierungen von X. Dann gibt es eine bianlytische Abbildung F̂ : X̂′ → X̂′′, so daß das Diagramm von analytischen Räumen

X̂′ ⟶^{F} X̂′′
ν′↓  ↓_{ν′′}
X ⟶^{id_{X}} X

kommutativ ist.

Beweis. Seien ν′ : X̂′ → X, ν′′ : X̂′′ → X zwei Normalisierungen von X. Dann gibt es zwei Normalisierungen ν̃′ : ˜ X̂′ → X̃′, ν̃′′ : ˜ X̂′′ → X̃′′, wobei X̃′ und X̃′′ Komplexifizierungen von X sind. Nach 2.8 gibt es eine offene ωX̃′-invariante Umgebung Ũ′ von X in X̃′, eine ωX̃′′-invariante offene Umgebung von X in X̃′′ und einen Isomorphismus F̃ : Ũ′ → Ũ′′ von komplexen Räumen mit Konjugation. Sei ˆ Ũ′ = ν̃′^{−1}(Ũ′) und ˆ Ũ′′ = ν̃′^{−1}(Ũ′′). Dann sind ν̃′|_{ˆŨ_{′}} : ˆ Ũ′ → Ũ′ und ν̃′′|_{ˆŨ_{_{′}_{′}}} :

ˆŨ′ → Ũ′′ Normalisierungen und wegen der Eindeutigkeit der Normalisierung gibt es eine biholomorphe Abbildung ˆ F̃ : ˆ Ũ′ → ˆ Ũ′′, so daß das folgende Diagramm kommutiert:

ˆŨ′ ⟶^{ˆF̃} ˆ Ũ′′
ν̃′|_{ˆŨ_{′}} ↓  ↓^{ν̃′′|_{ˆŨ_{′}_{′}}}
Ũ′ ⟶^{F̃} Ũ′′

ˆF̃ ist mit den Konjugationen verträglich. Daher induziert ˆ F̃ einen analytischen Isomorphismus F̂ : X̂′ → X̂′′ mit der geforderten Eigenschaft.

Man braucht nun das leicht zu beweisende

4.7. Lemma. Sei X̃ ein komplexer Raum mit Konjugation ωX̃ und x̃ ∈ Fix ωX̃. Dann gibt es eine offene ωX̃-invariante Umgebung Ũ von x̃, einen ω_{ℂ^{N}} invarianten Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} und eine abgeschlossene Einbettung ι̃: Ũ → B̃, die eine Abbildung zwischen komplexen Räumen mit Konjugation ist.

Beweis. Dies wird im Beweis von [ReAnSp, Lemma II.4.8] bewiesen.

Schließlich zeigt man damit:

4.8. Satz. Sei X ein n-dimensionaler analytischer Raum. Dann gibt es bis auf Isomorphie genau eine Normalisierung ν : X̂ → X von X.

Beweis. Wegen 4.6 braucht man nur die Existenz der Normalisierung zu zeigen. Sei X̃ eine rein n-dimensionale Komplexifizierung von X und ν̃ : ˆ X̃ → X̃ die Normalisierung von X̃. Ferner bezeichne ω_{ˆX̃} die Konjugation auf ˆ X̃ gemäß 4.5. Nun setze man

X̂ = \overline{ν̃^{−1}(Reg X)}.

Dann ist X̂ ⊆ ˆ X̃ abgeschlossen und es gilt ν̃(X̂) = X. Daher induziert ν̃ eine surjektive endliche Abbildung ν : X̂ → X. Da X rein n-dimensional ist, folgt dim X̂ ≤ n. Weil ν̃^{−1}(Reg X) dicht in X̂ liegt, ist X̂ sogar rein n-dimensional.

Weil X̃ rein n-dimensional gewählt ist, folgt

Fix ωX̃ \ Reg X = Sing X̃ ∩ Fix ωX̃.

Hieraus ergibt sich dim(Fix ωX̃ \ Reg X) < n. Da ν̃ eine endliche Abbildung

Fix ω_{ˆX̃} \ ν̃^{−1}(Reg X) → Fix ωX̃ \ Reg X.

induziert, folgt dim(Fix ω_{ˆX̃} \ ν̃^{−1}(Reg X)) < n. Hieraus ergibt sich schließlich

dim(Fix ω_{ˆX̃} \ X̂) < n.

Nun definiert man eine Garbe von ℝ-Stellenalgebren auf X̂: Für eine offene Menge Û ⊆ X̂ bezeichne OX̂(Û) die ℝ-Algebra derjenigen reellwertigen Funktio-

nen f : Û → ℝ, für die es eine offene ω_{ˆX̃}-invariante Menge ˆ Ũ mit Û = ˆ Ũ∩X̂ und ei-

ne holomorphe Funktion f̃ ∈ O_{ˆX̃}( ˆX̃) gibt mit f̃ = \overline{f̃∘ ω_{ˆŨ}} und f = f̃|Û. Hierdurch wird mit den üblichen Restriktionsabbildungen eine Garbe von ℝ-Stellenalgebren auf X̂ gegeben.

Sei nun x̂ ∈ X̂. Dann gibt es nach 4.7 eine offene ω_{ˆX̃}-invariante Umgebung, einen ω_{ℂ^{N}}-invarianten Bereich B̃ ⊆ ℂ^{N} und eine abgeschlossene Einbettung ι̃ :

ˆŨ → B̃, die eine Abbildung von komplexen Räumen mit Kojugation ist. Man setze Ã = ι̃( ˆŨ), A = ι̃( ˆŨ ∩ X̂) und B = B̃ ∩ ℝ^{N}. Dann ist A eine rein n-dimensionale abgeschlossene Teilmenge von B, Ã ist eine normale rein n-dimensionale komplexanalytische Teilmenge von B̃ und es gilt dim((Ã ∩ B) \ A) < n. Nun ist Ã eine Komplexifizierung von A: Wegen A ⊆ Ã gilt für alle x ∈ A die Inklusion A_{x} ⊆ Ã_{x}. Angenommen, es gibt für ein x ∈ A einen komplex-analytischen Mengenkeim Ã′_{x} mit A_{x} ⊆ Ã′_{x} ⫋ Ã_{x}. Weil Ã_{x} irreduzibel ist, folgt dim Ã′_{x} < n. Hieraus ergibt sich dim A_{x} < n, im Widerspruch dazu, daß A rein n-dimensional ist. Also ist Ã eine Komplexifizierung von A. Damit ist (A, O_{A}) ein n-dimensionaler analytischer Modellraum und ι̃ induziert einen Isomorphismus ι : (X̂ ∩ ˆ Ũ, OX̂|_{X̂∩ ˆŨ}) → (A, O_{A}) von lokal ℝ-geringten Räumen.

Damit ist (X̂, OX̂) ein n-dimensionaler analytischer Raum, ν : X̂ → X ist

analytisch und ν̃ : ˆ X̃ → X̃ ist eine Komplexifizierung von ν. Ferner gilt: ˜ X̂ = ˆ X̃. Damit ist ν eine Normalisierung von X.

Abschließend betrachte man noch das folgende

4.9. Beispiel. Wie in 1.31 sei A = N(x_{1}^{2} − x_{2}^{2} · x_{3}) ∩ {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∈ ℝ^{3} : x_{3} ≥ 0} der 2-dimensionale analytische Modellraum und Ã = N(z_{1}^{2} − z_{2}^{2} · z_{3}) ⊆ ℂ^{3} die Komplexifizierung von A. Nun induziert die holomorphe Abbildung ℂ^{2} → ℂ^{3}, gegeben durch (w_{1}, w_{2}) ↦ (w_{1} · w_{2}, w_{2}, w_{1}^{2}), die Normalisierung ν̃ : ℂ^{2} → Ã von Ã. Damit ist die durch die Abbildung ℝ^{2} → ℝ^{3}, die gegeben wird durch (y_{1}, y_{2}) ↦ (y_{1} · y_{2}, y_{2}, y_{1}^{2}), induzierte Abbildung ν : ℝ^{2} → A die Normalisierung von A.

5 Der Remmertsche Bildsatz

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt werden die Bildmengen von analytischen Abbildungen f : X_{1} → X_{2} untersucht. Diese sind im allgemeinen keine analytischen Räume. Daher führt man den Begriff des semi-analytischen Raumes ein. Dann wird gezeigt, daß das Bild eines analytischen Raumes unter einer endlichen analytischen Abbildung ein semianalytischer Raum ist. Die gleiche Aussage gilt auch, falls die Abbildung eine eigentliche Komplexifizierung f̃: X̃_{1} → X̃_{2} zuläßt, wobei X̃_{1} glatt ist und f den Rang r hat auf einer offenen dichten Teilmenge von X_{1}.

Semianalytische Räume

Im Komplexen gilt der folgende

5.1. Satz (Remmerts Bildsatz). Sei f̃: X̃_{1} → X̃_{2} eine eigentliche holomorphe Abbildung zwischen komplexen Räumen. Dann ist f̃(X̃_{1}) ⊆ X̃_{2} eine komplexanalytische Menge.

Beweis. Dies ist [CAS, Theorem 10.6.1].

Im Reellen gilt ein entsprechender Satz nicht einmal für endliche Abbildungen zwischen Mannigfaltigkeiten:

5.2. Beispiel. Sei X_{1} die durch N(x_{2}^{2} − x_{1}) gegebene Untermannigfaltigkeit des ℝ^{2}, X_{2} = ℝ und f : X_{1} → X_{2} die durch die Projektion auf die erste Komponente gegebene analytische Abbildung. f ist endlich und es gilt

f(X_{1}) = ℝ_{0}^{+}.

Damit ist das Bild also nicht analytisch. ℝ_{0}^{+} ist aber ein semianalytischer Unterraum von X_{2} im Sinne der folgenden Definition.

5.3. Definition. Sei X ein analytischer Raum. Ferner sei Y′ ⊆ X eine abgeschlossene, lokal durch endlich viele analytische Gleichungen gegebene Teilmenge. Schließlich sei T ⊆ Y′ eine weitere in X abgeschlossene, lokal durch endlich viele analytische Gleichungen gegebene Teilmenge. Sei dann

Y′ \ T = ⋃_{ι∈I′} Y_{ι}

die Zerlegung von Y′ \T in Zusammenhangskomponenten. Dann ist für ∅ ≠ I ⊆ I′ mit

Y = \overline{⋃_{ι∈I} Y_{ι}}^{X} und O_{Y} = (O_{X}/ι_{Y})|_{Y}

der lokal ℝ-geringte Raum (Y, O_{Y}) ein semianalytischer Raum beziehungsweise ein semianalytischer Unterraum von X.

Analytisch endliche Abbildungen

Zunächst trifft man die

5.4. Definition. Eine analytische Abbildung f : X_{1} → X_{2} heißt analytisch endlich, falls es eine endliche Komplexifizierung f̃: X̃_{1} → X̃_{2} von f gibt.

5.5. Bemerkung. Eine analytisch endliche Abbildung f : X_{1} → X_{2} ist endlich als stetige Abbildung.

Nun zeigt man den

5.6. Satz. Sei f X_{1} → X_{2} eine analytisch endliche Abbildung. Dann ist f(X_{1}) ein semianalytischer Unterraum von X_{2}.

Beweis. Nach Voraussetzung gibt es eine endliche Komplexifizierung f̃ : X̃_{1} → X̃_{2} von f. Es sei X̃_{1} rein n_{1}-dimensional. Das Bild f̃(X̃_{1}) wird mit 5.1 als reduzierter komplexer Unterraum von X̃_{2} aufgefaßt und ist rein n_{1}-dimensional. Da X̃_{1} reduziert ist, gibt es eine Faktorisierung

X̃_{1} ⟶^{f̃′} f̃(X̃_{1}) ⟶ X̃_{2}

von f̃. Die Abbildung f̃′ ist eine endliche holomorphe Surjektion. Sei X̃_{1} = ⋃_{ι∈I} X̃_{1}^{(ι)} die Zerlegung von X̃_{1} in irreduzible Komponenten. Für alle ι ∈ I ist dann f̃′(X̃_{1}^{(ι)}) ⊆ f̃(X̃_{1}) eine n_{1}-dimensionale irreduzible analytische Menge. Also ist f̃′(X̃_{1}^{(ι)}) sogar eine irreduzible Komponente von f̃(X̃_{1}). Nach [CAS, Theorem 9.3.3] ist f̃′ eine verzweigte Überlagerung.

Damit gibt es eine dünne Menge T̃_{2} ⊂ f̃(X̃_{1}), so daß gilt:

(1) T̃_{1} = f̃^{−1}(T̃_{2}) ⊂ X̃_{1} ist dünn.

(2) f̃′|_{X̃_{1}\T̃_{1}} : X̃_{1} \ T̃_{1} → f̃(X̃_{1}) \ T̃_{2} ist lokal biholomorph.

Nach eventueller Vergrößerung von T̃_{2} darf man annehmen, daß weiterhin gilt:

(3) T̃_{1} und T̃_{2} sind komplex-analytische Mengen mit dim T̃_{ν} < n_{1} für ν = 1, 2.

(4) Für ν = 1, 2 ist T̃_{ν} invariant unter ωX̃_{ν}.

(5) Sing X̃_{1} ⊆ T̃_{1}.

Man setze T_{ν} = T̃_{ν}∩X_{ν} für ν = 1, 2. Dann folgt dim T_{1} < n_{1}, also insbesondere, daß T_{1} in X_{1} nirgends dicht ist. Ferner gilt T_{1} = f^{−1}(T_{2}). Mit f : X_{1} → X_{2} ist auch die induzierte Abbildung X_{1} \ T_{1} → X_{2} \ T_{2} endlich. (f̃(X̃_{1}) ∩ X_{2}) \ T_{2} ist ein abgeschlossener topologischer Unterraum von X_{2} \ T_{2}, der f(X_{1} \ T_{1}) enthält. Daher induziert f eine Abbildung

f|_{X_{1}\T_{1}} : X_{1} \ T_{1} → (f̃(X̃_{1}) ∩ X_{2}) \ T_{2},

die mit f|_{X_{1}\T_{1}} bezeichnet wird und endlich ist. Daher ist sie abgeschlossen. Sie ist auch offen, denn sie ist lokal-topologisch:

Sei dazu x_{1} ∈ X_{1} \ T_{1}. Nach (2) gibt es dann offene Umgebungen Ũ_{1} in X̃_{1} \ T̃_{1} von x_{1}, Ũ_{2} in f̃(X̃_{1}) \ T̃_{2} von x_{2} = f(x_{1}), so daß f̃′|Ũ_{1} : Ũ_{1} → Ũ_{2} biholomorph ist. Nach eventuellem Verkleinern von Ũ_{1} und Ũ_{2} darf man annehmen, daß Ũ_{ν} invariant unter ωX̃_{ν} sind für ν = 1, 2. Nun setze man U_{ν} = Ũ_{ν} ∩ X_{ν} für ν = 1, 2. Dann ist U_{1} eine offene Umgebung von x_{1} in X_{1} \T_{1} und U_{2} eine offene Umgebung von x_{2} in (f̃(X̃_{1}) ∩ X_{2}) \ T_{2}. Wegen f|_{X_{1}\T_{1}}(U_{1}) = f̃(Ũ_{1} ∩ X_{1}) ⊆ Ũ_{2} ∩ X_{2} = U_{2} induziert f|_{X_{1}\T_{1}} eine stetige Abbildung (f|_{X_{1}\T_{1}})|_{U_{1}} U_{1} → U_{2}. Sei g̃ = (f̃′)^{−1} : Ũ_{2} → Ũ_{1}. Dann gilt ωŨ_{1} ∘ g̃ = g̃ ∘ ωŨ_{2}. Insbesondere folgt g̃(Fix ωŨ_{2}) ⊆ Fix ωŨ_{1}. Hiermit ergibt sich: g̃(U_{2}) = g̃(Ũ_{2} ∩ X_{2}) ⊆ g̃(Ũ_{2} ∩ Fix ωX̃_{2}) = g̃(Ũ_{2} ∩ Fix ωŨ_{2}) = g̃(Ũ_{2}) ∩ g̃(Fix ωŨ_{2}) ⊆ Ũ_{1} ∩ Fix ωŨ_{1} = U_{1} wobei Ũ_{1} ∩ Fix ωŨ_{1} = U_{1} aus (5) folgt. Also induziert g̃ eine stetige Abbildung g : U_{2} → U_{1}. Aus der Wahl von g̃ folgt g ∘ (f_{X_{1}\T_{1}})|_{U_{1}} = id_{U_{1}} und (f_{X_{1}\T_{1}})|_{U_{1}} ∘ g = id_{U_{2}}. Also ist (f_{X_{1}\T_{1}})|_{U_{1}} : U_{1} → U_{2} eine topologische Abbildung und damit f|_{X_{1}\T_{1}} als lokal-topologisch erkannt.

Sei schließlich

(f̃(X̃_{1}) ∩ X_{2}) \ T_{2} = ⋃_{ι∈I′} Y_{2}^{(ι)}

die Zerlegung von (f̃(X̃_{1}) ∩ X_{2}) \ T_{2} in Zusammenhangskomponenten. Da f|_{X_{1}\T_{1}} offen und abgeschlossen ist, gibt es eine Menge I mit ∅ ≠ I ⊆ I′ und

f(X_{1} \ T_{1}) = ⋃_{ι∈I} Y_{2}^{(ι)}.

Weil f abgeschlossen und T_{1} nirgends dicht in X_{1} ist, folgt schließlich:

f(X_{1}) = f(\overline{X_{1} \ T_{1}}) = \overline{f(X_{1} \ T_{1})} = \overline{⋃_{ι∈I} Y_{2}^{(ι)}}

Damit hat f(X_{1}) die gewünschte Gestalt.

Analytisch eigentliche Abbildungen vom Rang r

Im folgenden braucht man die

5.7. Bezeichnungen. Sei X_{1} eine n_{1}-dimensionale analytische Mannigfaltigkeit, X_{2} ein n_{2}-dimensionaler analytischer Raum und f : X_{1} → X_{2} eine analytische Abbildung. Ferner sei x_{1} ∈ X_{1} und x_{2} = f(x_{1}). Nun wähle man eine offene Umgebung U_{2} von x_{2} in X_{2} und eine analytische Abbildung ι_{2} : U_{2} → B_{2} in einen Bereich B_{2} ⊆ ℝ^{N_{2}}, die einen Isomorphismus von U_{2} auf eine n_{2}-dimensionale analytische Menge A_{2} ⊆ B_{2} induziert. Ferner wähle man eine offene Umgebung U_{1} von x_{1} in X_{1} und einen Isomorphismus ι_{1} : U_{1} → B_{1} in einen Bereich B_{1} ⊆ ℝ^{n_{1}} mit f(U_{1}) ⊆ U_{2}. Dann ist f_{12} = ι_{2} ∘ f|_{U_{1}} ∘ ι_{1}^{−1} : B_{1} → B_{2} eine reell-analytische Abbildung zwischen Bereichen. Man setzt wie üblich:

rg_{x_{1}} f = rg J_{f_{12}}(x_{1}) und corg_{x_{1}} f = n_{1} − rg J_{f_{12}}(x_{1}),

wobei J_{f_{12}} die Jacobimatrix von f_{12} und rg J_{f_{12}}(x_{1}) der Rang der Jacobimatrix an der Stelle x_{1} ist. Der Rang und Corang von f in x_{1} sind wohldefiniert, das heißt unabhängig von den gewählten Einbettungen.

Sei nun f̃ : X̃_{1} → X̃_{2} eine holomorphe Abbildung zwischen komplexen Räumen. Hier definiert man den Rang rgx̃_{1} f̃ und Corang corgx̃_{1} f̃ von f̃ in einem Punkt x̃_{1} ∈ X̃_{1} über die Jacobiabbildung von f̃ (siehe [CAG, 2.17]). Ferner setzt man rg f̃ = sup_{x̃_{1}∈X̃_{1}} rgx̃_{1} f̃ ∈ ℕ_{0} ∪ {∞}. Ist X̃_{1} von endlichem Typ, so gilt rg f̃ < ∞. Falls X̃_{1} eine rein n_{1}-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit ist, so ist f̃(X̃_{1}) (rg f̃)-dimensional. Sei k ∈ ℕ_{0}. Dann bezeichnet

Sing^{k} f̃ = {x̃_{1} ∈ X̃_{1} : corgx̃_{1} f̃ > k}

den singulären k-Ort. Sing^{k} f̃ ⊆ X̃_{1} ist eine komplex-analytische Menge (siehe [CAG, 2.17].

Diese Bezeichnungen sind mit Komplexifizierung verträglich:

5.8. Bemerkung. Ist f : X_{1} → X_{2} wie in 5.7 und f̃: X̃_{1} → X̃_{2} eine Komplexifizierung von f, so gilt für alle x_{1} ∈ X_{1}:

rg_{x_{1}} f = rg_{x_{1}} f̃ und corg_{x_{1}} f = corg_{x_{1}} f̃.

Damit defininiert man nun:

5.9. Definition. Sei X_{1} eine analytische Mannigfaltigkeit, X_{2} ein analytischer Raum und f : X_{1} → X_{2} eine analytische Abbildung. Dann heißt f analytisch eigentlich vom Rang r, falls gilt:

(1) f hat den Rang r in einer offenen dichten Teilmenge von X_{1}.

(2) Es gibt eine eigentliche Komplexifizierung f̃ : X̃_{1} → X̃_{2} von f, wobei X̃_{1} eine komplexe Mannigfaltigkeit ist.

5.10. Bemerkung. Sei f : X_{1} → X_{2} eine analytisch eigentliche Abbildung vom Rang r. Dann ist f auch als stetige Abbildung eigentlich. Die Umkehrung gilt jedoch nicht.

Für den Beweis des folgenden Satzes braucht man das

5.11. Lemma. Sei f̃ : X̃_{1} → X̃_{2} eine eigentliche holomorphe Abbildung einer komplexen Mannigfaltigkeit X̃_{1} in einen komplexen Raum X̃_{2}. Dann gibt es eine dünne analytische Menge T̃_{2} in X̃_{2}, so daß gilt:

(1) Sing X̃_{2} ⊆ T̃_{2}.

(2) Die Abbildung f̃|_{X̃_{1}\f̃^{−1}(T̃_{2})} : X̃_{1} \ f̃^{−1}(T̃_{2}) → X̃_{2} \ T̃_{2} ist eine Submersion.

Beweis. Dies ist [Ga76, Lemme 3.3].

Damit zeigt man nun:

5.12. Satz. Sei X_{1} eine analytische Mannigfaltigkeit, X_{2} ein analytischer Raum und f : X_{1} → X_{2} eine analytisch eigentliche Abbildung vom Rang r. Dann ist f(X_{1}) ein semianalytischer Unterraum von X_{2}.

Beweis. Sei f̃: X̃_{1} → X̃_{2} eine eigentliche Komplexifizierung von f, wobei X̃_{1} eine komplexe Mannigfaltigkeit ist. Dann bezeichne

X̃_{1} = ⋃_{ι∈I} X̃_{1}^{(ι)}

die Zerlegung von X̃_{1} in Zusammenhangskomponenten. Ohne Einschränkung darf man annehmen, daß jede Zusammenhangskomponente X_{1} trifft. Dann ist X̃_{1} rein n_{1}-dimensional, wobei n_{1} die Dimension von X_{1} ist. Wie im Beweis von 5.6 hat man die Faktorisierung

X̃_{1} ⟶^{f̃′} f̃(X̃_{1}) ⟶ X̃_{2}.

Dann folgt für alle ι ∈ I die Gleichung

rg f̃′|X̃_{1}^{(ι)} = r.

Nach Voraussetzung gilt nämlich rg f̃′|X̃_{1}^{(ι)} ≥ r. Angenommen, es gilt rg f̃′|X̃_{1}^{(ι)} =

r′ > r. Dann ist Sing^{n_{1}−r′} f̃′|X̃_{1}^{ι} = {x̃_{1} ∈ X̃_{1}^{(ι)} : rgx̃_{1} f̃ < r′} ⫋ X̃_{1}^{(ι)} eine komplex-

analytische Menge. Also folgt dim(Sing^{n_{1}−r′} f̃′|X̃_{1}^{ι}) < n_{1}. Hieraus folgt dim{x_{1} ∈

X_{1}∩X̃_{1}^{(ι)} : rg_{x_{1}} f = r} < n_{1} im Widerspruch zur Voraussetzung, daß f den Rang r auf einer offenen dichten Menge von X_{1} hat. Also gilt: rg f̃′|X̃_{1}^{(ι)} = r. Insbesondere

ist f̃(X̃_{1}) rein r-dimensional.

Ist T̃_{2} ⊆ f̃(X̃_{1}) eine dünne komplex-analytische Menge, so ist auch T̃_{1} = f̃^{−1}(T̃_{2}) ⊆ X̃_{1} eine dünne komplex-analytische Menge, das heißt, es gilt dim T̃_{1} < n_{1}. Denn sonst gibt es ein ι ∈ I mit X̃_{1}^{(ι)} ⊆ T̃_{1}. Hieraus folgt f̃(X̃_{1}^{(ι)}) ⊆ T̃_{2} und damit wegen obiger Ranggleichung dim T̃_{2} ≥ r im Widerspruch zur Annahme, daß T̃_{2} dünn ist.

Sei nun T̃_{2} wie in 5.11. Ohne Einschränkung darf man annehmen, daß T̃_{2} invariant unter ωX̃_{2} ist. Mit T̃_{2} ist auch T̃_{1} = f̃′^{−1}(T̃_{2}). Nun setze man T_{ν} = T̃_{ν} ∩ X_{ν} für ν = 1, 2. Dann ist T_{1} nirgends dicht in X_{1}. Nun ist Fix ω_{f̃(X̃_{1})\T̃_{2}} eine r-dimensionale analytische Mannigfaltigkeit und f induziert eine Submersion

X_{1} \ T_{1} → Fix ω_{f̃(X̃_{1})\T̃_{2}}.

Deshalb ist diese Abbildung offen und damit auch die von f induzierte Abbildung

f|_{X_{1}\T_{1}} : X_{1} \ T_{1} → (f̃(X̃_{1}) ∩ X_{1})) \ T_{2},

die wieder mit f|_{X_{1}\T_{1}} bezeichnet wird. f|_{X_{1}\T_{1}} ist auch abgeschlossen, da f eigentlich ist.

Damit ist f|_{X_{1}\T_{1}} offen und abgeschlossen und mit dem Schluß am Ende des Beweises von 5.6 ergibt sich, daß f(X_{1}) die gewünschte Gestalt hat.

Literatur

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Lebenslauf

Name Michael Tüxen

Geburtsdatum 8. Dezember 1966

Geburtsort Oldenburg

Schulbildung 1973–1977 Herrmann-Ehlers-Schule, Oldenburg 1977–1979 Orientierungsstufe Marschweg, Oldenburg 1979–1986 Hindenburgschule, Oldenburg 1986 Abitur

Wehrdienst  1986–1987  Grundwehrdienst
Studium  1987–1993  Diplomstudiengang Mathematik an der

Universität Göttingen

Ende WS 92/93 Diplomhauptprüfung 1993–1996 Promotionsstudiengang Mathematik an der

Universität Göttingen

wiss. Tätigkeit April 1993 – wiss. Mitarbeiter am Dezember 1995 SFB 170 Geometrie und Analysis Januar 1996 – wiss. Mitarbeiter an Juli 1996 einem DFG Projekt