Kausale Kompaktifizierung kompakt-kausaler Räume

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fachbereiche der Georg-August-Universität zu Göttingen

vorgelegt von Frank Betten

aus Menden (Kreis Iserlohn)

Göttingen 1996

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Voraussetzungen 7

3 Kausale Kompaktifizierung der Räume vom Cayley-Typ 14 3.1 Die Kompaktifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.2 Die Zerlegung in Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Kausale Kompaktifizierung kausaler Unterräume von Cayleyräumen 21 4.1 Die Kompaktifizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Zur Zerlegung in Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 Kausale Kompaktifizierung für weiter eingeschränkte Unterräume . . 29

5 Kausale Kompaktifizierung kausaler Unterräume kompakt-kausal-er Räume 33

6 Kausale Kompaktifizierung vonSO(2, n)/SO(1, n) und restliche Räume 38 6.1 Die Kompaktifizierung von SO(2, n)/SO(1, n) . . . . . . . . . . . . . 38 6.2 Die Zerlegung in Bahnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 6.3 Die verbleibenden kompakt-kausalen Räume . . . . . . . . . . . . . . 42

7 Anhang A 46 7.1 Die Kompaktifizierung von S(U(p, q) × U(q, p))/SU(p, q) . . . . . . . 46 7.2 Die Kompaktifizierung von U(2p, 2q)/Sp(p, q) . . . . . . . . . . . . . 48 7.3 Die Kompaktifizierung von SO(2, n−1)×SO(2)/S(O(1)×O(1, n−1)) 50 7.4 Die Kompaktifizierung von SO^{∗}(2n) × SO^{∗}(2n)/SO^{∗}(2n) . . . . . . 50

8 Anhang B 52 8.1 Modifizierte Kompaktifizierung von SU(p, p)/SL(p, C) · IR^{+}I . . . . . 52 8.2 Die Kompaktifizierung von Sp(2p, IR)/Sp(p, C) . . . . . . . . . . . . . 54 8.3 Kompaktifizierung von SO(2, q)/SO(1, q) × SO(p + 1)/S(O(p) × O(1)) 55

Literaturverzeichnis 57

1 Einleitung

Die Arbeit beschäftigt sich mit der Kompaktifizierung der von ’Olafsson und Ørsted eingeführten Hermiteschen oder kompakt-kausalen symmetrischen Räume [’OØ 88]. Ein infinitesimal-kausaler symmetrischer Raum (G, H, τ), wobei wie üblich H eine offene Untergruppe in der Fixpunktgruppe G^{τ} ist, ist dadurch definiert, daß auf dem Tangentialraum ein translationsinvariantes Kegelfeld G/H ∋ gH ↦ C_{gH} ⊂ T_{gH}G/H abgeschlossener, konvexer und regulärer Kegel — d.h. C_{gH} ∩ −C_{gH} = {0} und C_{gH} − C_{gH} = T_{gH}G/H — existiert. Da wir nur mit infinitesimal-kausalen Räumen arbeiten, sprechen wir der Kürze halber von kausalen Räumen, wobei aber immer infinitesimal-kausale gemeint sind. Für halbeinfaches G sind diese vollständig klassifiziert [’Ol, H’O] und wir beschränken uns im folgenden auf diese. Sei Θ eine mit τ kommutierende Cartaninvolution und 𝔤 = 𝔨+𝔭 die zugehörige Cartanzerlegung der Liealgebra von G. Sei 𝔥 die Liealgebra von H in 𝔤 und 𝔮 der (−1)-Eigenraum der Involution τ, so daß 𝔤 = 𝔥 + 𝔮. Für ein irreduzibles Tripel (𝔤, 𝔥, τ) sind dann die kompakt-kausalen Tripel und entsprechend die kompakt-kausalen Räume als dazu assoziierte Räume diejenigen mit 𝔮 ∩ 𝔷(𝔨) ≠ {0}, wobei 𝔷(𝔨) das Zentrum der reduktiven Algebra 𝔨 ist. Unser Ziel ist es, für diese Räume einen Hermiteschen symmetrischen Raum G_{1}/K_{1} vom Tubentyp, d.h. G_{1}/K_{1} ist biholomorph äquivalent zu einem Tubengebiet oder genauer zu einem Siegelschen Gebiet erster Art D(V) = {x+iy | x ∈ IR^{n}, y ∈ V } mit offenem konvexen Kegel V ⊂ IR^{n}, und eine Einbettung d̃: G/H → Š_{1} in den Bergman-Šilov-Rand des Gebiets zu finden, so daß das Bild d̃(G/H) offen und dicht ist. Dabei ist Š_{1} ein kausaler symmetrischer Raum [Ka 89], und wir fordern zusätzlich von unserer Abbildung, daß sie kausal ist, d.h. einen Kegel C_{gH} in den durch die kausale Struktur von Š_{1} definierten Kegel in T_{d̃(gH)}Š_{1} abbildet.

Motiviert wird diese Konstruktion dadurch, daß man eine Abbildung zwischen dem zu (G, H, τ) gehörenden Hardyraum und dem ,,klassischen“ Hardyraum des Tubengebiets G_{1}/K_{1} konstruieren will. Um dies etwas näher auszuführen sei an die Konstruktion des zu (G, H, τ) gehörenden Hardyraums erinnert [H’OØ]. Sei 𝔤_{C} := 𝔤 ⊗ C die Komplexifizierung der Liealgebra 𝔤 — allgemein bezeichne 𝔯_{C} immer die Komplexifizierung eines reellen Vektorraums 𝔯 — und G_{C} die zugehörige einfach zusammenhängende komplexe Liegruppe. Um technische Details zu vermeiden, nehmen wir für G die Fixpunktgruppe der komplexen Konjugation bezüglich 𝔤 auf G_{C} — G ist dann zusammenhängend — und für H die ganze Fixpunktgruppe H = G ∩ G_{C}^{τ}, wobei wir τ als Involution auf G_{C} betrachten. Diese spezielle Wahl erlaubt es uns, G/H als Teilmenge von G_{C}/G_{C}^{τ} aufzufassen. Für kompakt-kausales oder allgemeiner für Hermitesches 𝔤 existieren G-invariante, abgeschlossene, konvexe und reguläre Kegel in 𝔤, und C sei ein solcher, fest gewählt. Die Invarianz des Kegels macht Γ(C) := G exp(iC) ⊂ G_{C} zu einer (abgeschlossenen) Unterhalbgruppe. Ist π : G_{C} → G_{C}/G_{C}^{τ} die kanonische Projektion und Ξ(C) := π(Γ(−C)), so operiert Γ(C) durch γ · f(z) = f(γ^{−1}z), mit γ ∈ Γ(C) und z aus dem Inneren Ξ^{0}(C) von Ξ(C), auf dem Raum der holomorphen Funktionen f : Ξ^{0}(C) → C. Für γ ∈ Γ^{0}(C), dem Inneren von Γ(C), ist γ^{−1}G/H ⊂ Ξ^{0}(C), so daß man die L^{2}-Norm ∥γ · f∥^{2} = ∫_{G/H} |γ · f(gH)|^{2}dgH mit G-invariantem Maß dgH definieren kann. Der Hardyraum H(C) zu (G, H, τ) wird dann von den Funktionen mit endlicher Hardynorm, ∥f∥_{H} := sup_{γ∈Γ^{0}(C)}∥γ · f∥ < ∞, gebildet. Wie in der zitierten Arbeit gezeigt, ist H(C) ein Hilbertraum und man hat eine Isometrie I : H(C) → L^{2}(G/H), f ↦ lim_{γ_{i}→e} γ_{i} · f, wobei (γ_{i})_{i∈IN} eine beliebige gegen das Einselement e konvergierende Folge in Γ^{0}(C) ist. Der ,,klassische“ Hardyraum H(G_{1}/K_{1}) über G_{1}/K_{1} wird als der des zu G_{1}/K_{1} biholomorphen Tubengebiets definiert [FK]. Er wird also von holomorphen Funktionen auf G_{1}/K_{1} gebildet und wir haben auch hier eine analog zu I definierte isometrische Abbildung I′ : H(G_{1}/K_{1}) → L^{2}(Š_{1}).

Um eine Isometrie zwischen diesen Hilberträumen zu konstruieren, nutzen wir die Abbildung d̃^{∗}, welche Funktionen auf Š_{1} — als Nullformen — in Funktionen auf G/H überführt. Es ist daher kanonisch eine Funktion α : G/H → C zu suchen, so daß αd̃^{∗} : L^{2}(Š_{1}) → L^{2}(G/H), f ↦ αd̃^{∗}f, eine Isometrie ist. Mit I(H(C)) ⊂ L^{2}(G/H) hat man, falls αd̃^{∗}(I′(H(G_{1}/K_{1})) ⊂ I(H(C)), somit eine Abbildung φ : H(C) → H(G_{1}/K_{1}). Im allgemeinen wird φ natürlich nur auf einem Unterraum H ⊂ H(C) definiert sein — vgl. [KØ] für einen solches Beispiel — und die folgende Diskussion ist entsprechend zu modifizieren.

Ist d̃ : G/H → Š_{1} kausal, so läßt sich d̃ lokal zu einer holomorphen Abbildung D̃ : Ξ^{0}(C) → G_{1}/K_{1} fortsetzen. Dazu identifizieren wir den Tangentialraum T_{eG_{C}^{τ}}G_{C}/G_{C}^{τ} des homogenen Raums G_{C}/G_{C}^{τ} wie üblich mit 𝔮_{C}. Mit dieser Identifikation wird dann infinitesimal Ξ^{(0)}(C) durch 𝔮 + ipr_{𝔥}C^{(0)} beschrieben, wobei hier mit pr_{𝔥} die Projektion in 𝔤 längs 𝔥 bezeichnet wird. Der Unteraum T_{eH}G/H entspricht bei unserer Identifizierung 𝔮, und bei geeigneter Wahl von C ist pr_{𝔥}C ⊂ C_{eH}. Arbeiten wir mit der unbeschränkten Realisierung D(V) von G_{1}/K_{1}, so wird die kausale Struktur auf dem Bergman-Šilov-Rand Š_{1}^{c} = {x + i0 | x ∈ IR^{n}} ⊂ ∂(D(V)) durch \overline{V}, den Abschluß des offenen Kegels \overline{V}, definiert [Ka 89], d.h. identifizieren wir hier den Tangentialraum von Š_{1}^{c} ≃ IR^{n} in jedem Punkt mit IR^{n}, so gibt uns \overline{V} ⊂ T_{0}Š_{1}^{c} die invariante kausale Struktur auf Š_{1}^{c} durch Translation. Durch lineare Fortsetzung der Tangentialabbildung erhalten wir somit aufgrund der Kausalität, was uns T_{eH} d̃(C_{eH}) ⊂ \overline{V} sichert, lokal in eH und wegen der G-Invarianz in allen Punkten eine lokale Abbildung D̃ : Ξ(C) → \overline{D(V)}. Ist D̃ global definiert, so kann man nach einer Fortsetzung von α suchen derart, daß φ dann durch φ(f)(gH_{C}) = α(gH_{C})f(D̃(gH_{C})) gegeben wird. Diese Einbettung in den ,,klassischen“ Hardyraum ermöglicht dann ein detailiertes Studium von H(C), insbesondere kann man z.B. explizit denn Cauchy-Szegö-Kern von H(C) bestimmen.

Dieses Programm ist bisher für Cayleyräume — für irreduzibles kompaktkausales (𝔤, 𝔥, τ) durch die Bedingung 𝔷(𝔥) ≠ {0} definiert— sowie für den Raum (S(U(1, 1)×U(1, 1)), SU(1, 1)) ausgeführt [’OØ, KØ]. Die vorliegende Arbeit liefert für den allgemeinen Fall als ersten Schritt die Konstruktion der kausalen Kompaktifizierung d̃. Das Vorgehen dabei sei an einem einfachen Beispiel veranschaulicht.

Beispiel 1.1 Sei G_{1} := SU(1, 1) = \{( \begin{matrix}a & b \\ \overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) ∈ SL(2, C) | |a|^{2} − |b|^{2} = 1\} und die

Cartaninvolution Θ(g) =^{t} \overline{g}^{−1}. In diesem Fall wird G_{1}/K_{1} in der Harish-Chandra-Realisierung durch D_{1} = {z ∈ C | |z| < 1} gegeben und der Bergman-Šilov-Rand dieses Gebiets ist offensichtlich Š_{1} = {z ∈ C | |z| = 1}. Es ist auch klar, daß ein rotationsinvariantes Kegelfeld der geforderten Art auf dem Einheitskreis existiert und bis auf die Wahl des Vorzeichens der Kegel eindeutig ist. Bekanntlich operiert

G_{1} hier durch ( \begin{matrix}a & b \\ \overline{b} & \overline{a} \end{matrix} ) · z := \frac{az+b}{\overline{b}z+\overline{a}} auf D_{1} bzw. Š_{1} und eine triviale Rechnung liefert

für den Stabilisator von i ∈ Š_{1} dann die Bedingungsgleichung Im a = Re b bzw.

Stab_{G_{1}}(i) = \{ϵI ( \begin{matrix}cosh t & i sinh t \\ −i sinh t & cosh t \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 + is & s \\ s & 1 − is \end{matrix} ) | ϵ ∈ \{±1\}; s, t ∈ IR\} .

Tatsächlich ist diese Untergruppe eine maximale parabolische Untergruppe, wobei die angegebenen einzelnen Faktoren der Langlandszerlegung entsprechen. Mit

τ(g) = \overline{g} ist G_{1}^{τ} = \{( \begin{matrix}a & b \\ b & a \end{matrix} ) ∈ SL(2, IR) | a^{2} − b^{2} = 1\} und (G_{1}, G_{1}^{τ}, τ) kompakt-

kausal, denn 𝔨_{1} ⊂ 𝔮_{1} ist eindimensional.

σ (( \begin{matrix}a & b \\ \overline{b} & \overline{a} \end{matrix} )) := ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\overline{a} & \overline{b} \\ a & b \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} )^{−1}

definiert dann eine Involution auf G_{1} mit Fixpunktgruppe G := G_{1}^{σ} =

\{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & \overline{a} \end{matrix} ) | |a|^{2} = 1\} = K_{1}. G ist dabei Θ- und τ-invariant und mit H := G^{τ} =

\{±1\} ist auch (G, H, τ) offensichtlich kausal, wenn wir in 𝔤 = \{t ( \begin{matrix}i & 0 \\ 0 & −i \end{matrix} ) | t ∈ IR\}

den durch die nichtpositiven Zahlen gegebenen Kegel als definierenden Kegel der

kausalen Struktur wählen. Mit dieser Wahl ist Γ(C) = \{( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) | |a| ≥ 1\} ⊂

G_{1C} = SL(2, C). Da G ⊂ G_{1} ist, operiert G in kanonischer Weise auf Š_{1} und mit G ∩ Stab_{G_{1}}(i) = H faktorisiert diese Operation zu einer Einbettung

d̃ : G/H → Š_{1}, ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & \overline{a} \end{matrix} ) ↦ a^{2}i, welche (bei richtiger Vorzeichenwahl der Kegel-

felder) auch kausal ist. Die Fortsetzung auf Ξ(C) ergibt sich dann zu D̃ : Ξ(C) →

\overline{D}_{1}, ( \begin{matrix}a & 0 \\ 0 & a^{−1} \end{matrix} ) H ↦ a^{2}i, so daß D̃(Ξ^{0}(C)) = D_{1}\\{0\} ist.

Dieses triviale Beispiel zeigt dabei schon fast alle Punkte unseres Vorgehens: Ein kompakt-kausaler Raum (G_{1}, G_{1}^{τ}, τ) wird so gewählt, daß (G_{1}, K_{1}, Θ) Hermiteschsymmetrisch vom Tubentyp ist, wobei Θ als Cartaninvolution auf G_{1} mit τ kommutiere. Wir konstruieren dann eine mit τ und Θ kommutierende Involution σ, so daß die Fixpunktgruppe G := G_{1}^{σ} durch Einschränkung der kausalen Struktur von (G_{1}, G_{1}^{τ}, τ) ⊃ (G, G^{τ}, τ) ein kompakt-kausaler Raum wird. Es ist an dieser Stelle aber anzumerken, daß G bzw. 𝔤 := 𝔤_{1}^{σ} im allgemeinen nur reduktiv ist. Wir definieren deshalb:

Definition 1.2 Sei (G, H, τ) ein symmetrischer Raum mit reduktiver Gruppe G, dann heißt (G, H, τ) schwach kompakt-kausal, wenn ein H-invarianter, abgeschlossener, konvexer und regulärer Kegel C ⊂ 𝔮 existiert, so daß C ∩ 𝔨 ≠ {0} und C ∩ 𝔭 = {0} ist.

Für (𝔤_{1}, 𝔥_{1}, τ) kompakt-kausal existiert in 𝔮_{1} ein Kegel C_{1} mit den geforderten Eigenschaften [H’O, Kapitel 3] zu (G_{1}, G_{1}^{τ}, τ), d.h. kompakt-kausale Räume sind schwach kompakt-kausal. Wie sich zeigt, wird die durch Einschränkung definierte kausale Struktur auf (G, G^{τ}, τ) von C = C_{1} ∩ 𝔤 = pr_{𝔤}C_{1} erzeugt, und dieser Kegel hat offensichtlich die geforderten Eigenschaften. Es ist auch bekannt, daß für einen irreduziblen Raum (G, H, τ) schwach kompakt-kausal äquivalent zu kompakt-kausal ist [H’O, Theorem 3.1.18].

Der Bergman-Šilov-Rand Š_{1} des beschränkten Hermiteschen Gebiets G_{1}/K_{1} ist als G-Bahn isomorph zu G/P′ mit einer parabolischen Untergruppe P′ als Stabilisator zu x ∈ Š_{1} [Wo]. Es zeigt sich, daß bei geeigneter Wahl von x dann G^{τ} = G ∩ P′ ist und wir eine Submersion d̃: G/G^{τ} → Š_{1} erhalten. Die Abbildung ist auch kausal, da P′ ≃ G_{1}^{τ} × N′ und die kanonische Projektion G_{1}/G_{1}^{τ} → G_{1}/P′ ≃ Š_{1} kausal ist.

Es bleibt dann noch zu zeigen, daß das Bild von d̃dicht ist. Im Beispiel und allgemeiner für einen kompakten Quotienten G/H ist allein aus topologischen Gründen d̃ surjektiv; im allgemeinen ist aber ein (schwach) kompakt-kausaler Raum nicht kompakt. Wir vervollständigen den Beweis unter Verwendung der von Matsuki gegebenen Doppelrestklassenzerlegung G_{1} = ⋃_{j∈I(P)} G_{1}^{σ}g_{j}P für einen symmetrischen Raum (G_{1}, G_{1}^{σ}, σ) und eine parabolische Untergruppe P [Ma 79, Ma 82]. Wir wissen, daß P′ eine — für einfaches 𝔤 maximale — parabolische Untergruppe ist. Für eine minimale parabolische Untergruppe P ⊂ P′ ist daher GP′ = ⋃_{j∈J} G_{1}^{σ}g_{j}P, mit J ⊂ I(P), und wir sind fertig, wenn alle die Untermannigfaltigkeiten Gg_{j}P, welche offen in G_{1} sind, auch in GP′ liegen. Allgemeiner noch gibt eine Zerlegung G_{1} = ⋃_{j∈I(P′)} Gg_{j}P′ sofort die Zerlegung des Bergman-Šilov-Randes in G-Bahnen.

Die Arbeit ist dabei wie folgt aufgebaut. In Abschnitt 2 werden die benötigten Resultate über die kausale Struktur von Š_{1} und zur Doppelrestklassenzerlegung nach Matsuki zusammengestellt. Im nächsten Abschnitt geben wir eine kausale Kompaktifizierung für Cayleyräume ausgehend von der Diagonaleinbettung d : G → G × G, g ↦ (g, g), im Bergman-Šilov-Rand Š_{1} von G/K × G/K und die Zerlegung in G-Bahnen für Š_{1}. Die Resultate in diesem Abschnitt sind bekannt [’OØ, Ko, Ka 87]; der von uns gegebene Beweis läßt aber eine Verallgemeinerung für andere kompakt-kausale Räume zu. In Abschnitt 4 konstruieren wir dazu für einen irreduziblen Cayleyraum (G_{1}, G_{1}^{τ}, τ) eine Familie von Involutionen σ und die entsprechenden Kompaktifizierungen für (G_{1}^{σ}, (G_{1}^{σ})^{τ}, τ); im folgenden Abschnitt geben wir hinreichende Kriterien für kompakt-kausales (G_{1}, G_{1}^{τ}, τ), welche die Existenz einer Involution σ und der zugehörigen Kompaktifizierung sichern. Die mit den Resultaten dieser beiden Abschnitte zu konstruierenden Kompaktifizierungen sind für die klassischen irreduziblen kompakt-kausalen Tripel (𝔤_{1}, 𝔥_{1}, τ) in den Anhängen A bzw. B im Detail ausgeführt. Schließlich wird im letzten Abschnitt die Kompaktifizierung der Lorentzmannigfaltigkeiten SO(2, n)/SO(1, n) diskutiert und gezeigt, daß für die in den vorhergehenden Abschnitten nicht erfaßten irreduziblen kompaktkausalen Räume keine kausale Kompaktifizierung der gesuchten Art existiert.

Am Ende dieser Einleitung bleibt mir noch, meinen Dank allen den abzustatten, die mir bei der Erstellung dieser Arbeit geholfen haben. Namentlich erwähnen darf ich zuerst meinen Doktorvater Prof. Holdgrün und Prof. ’Olafsson, besonders auch für die während meines Aufenthalts an der Lousiana State University gewährte Gastfreundschaft. T. Brüggemann hat freundlicherweise für Teile der Arbeit das TEX-en ausgeführt.

2 Voraussetzungen

Sei (𝔤, 𝔨, Θ) eine irreduzible orthogonale Liealgebra von nichtkompaktem Hermiteschen Typ und (G, K, Θ) eine ihr assoziierte Gruppe. Wenn nicht anders vermerkt, nehmen wir dabei G ⊂ G_{C} an, wobei G_{C} die einfach zusammenhängende komplexe Liegruppe zur Algebra 𝔤_{C} := 𝔤 ⊗ C ist. Bei dieser Wahl entspricht einem Algebrenendomorphismus φ : 𝔤 → 𝔤 ein Endomorphismus von G bzw. G_{C} und umgekehrt, wobei wir alle diese Abbildungen mit demselben Buchstaben bezeichnen werden. Es sei r der reelle Rang von 𝔤, 𝔱 ⊂ 𝔨 eine Cartanalgebra und Δ(𝔤_{C}, 𝔱_{C}) das entsprechende Wurzelsystem, so daß 𝔤_{C} = 𝔱_{C} + ∑_{γ∈Δ(𝔤_{C},𝔱_{C})} 𝔤_{C,γ}. Wir wählen ein System stark-orthogonaler Wurzeln Γ = {γ_{1}, …, γ_{r}} ⊂ Δ(𝔤_{C}, 𝔱_{C}) und dazugehörende Wurzelvektoren E_{j} ∈ 𝔤_{C,γ_{j}} bzw. E_{−j} ∈ 𝔤_{C,−γ_{j}}, normalisiert durch die Bedingung [E_{j}, E_{−j}] = H_{j}, wobei H_{j} ∈ i𝔱 durch

⟨H_{j}, H⟩ = 2\frac{γ_{j}(H)}{⟨γ_{j}, γ_{j}⟩} für H ∈ 𝔱

definiert ist. Bis auf Normalisierung können diese Vektoren als Elemente einer Weyl-Basis mit Bezug auf 𝔲 = 𝔨 + i𝔭 gewählt werden, so daß X_{j} := E_{j} + E_{−j} und Y_{j} := i(E_{j}−E_{−j}) Elemente von 𝔭 sind und der Unterraum 𝔞 = ∑_{j=1}^{r} IRX_{j} maximal abelsch in

𝔭 ist [He, S. 387, S. 421]. Die möglichen Wurzelsysteme ρ(Δ) := {γ|_{𝔱^{−}} | γ ∈ Δ, γ|_{𝔱^{−}} ≠ 0}, mit 𝔱^{−} := ∑ IRiH_{j}, der durch Restriktion definierten Wurzeln beschreibt dann folgendes Theorem.

Theorem 2.1 (Moore) Sei 𝔤_{C} einfach und bezeichne ρ die Einschränkung von Wurzeln von 𝔱_{C} auf 𝔱^{−}. Wenn man jedes Element von γ_{1}, …, γ_{r} mit seinem ρ-Bild identifiziert, so können als Wurzelsysteme

(i) ρ(Δ) ∪ \{0\} = \{±\frac{1}{2}γ_{s} ± \frac{1}{2}γ_{t} | 1 ≤ s, t ≤ r\} oder

(ii) ρ(Δ) ∪ \{0\} = \{±\frac{1}{2}γ_{s} ± \frac{1}{2}γ_{t}, ±\frac{1}{2}γ_{s} | 1 ≤ s, t ≤ r\} auftreten. Weiterhin haben die ρ-Bilder der γ_{s} alle dieselbe Länge.

Da wir symmetrische Räume in den Bergman-Šilov-Rand von G/K einbetten wollen, zitieren wir hier die von uns benötigten Resultate [KW, Wo]^{1}:

Definiere die (vollständige) Cayley-Transformierende durch

c = ∏_{j=1}^{r} c_{j}, c_{j} = exp \frac{π}{4} iY_{j}.

1Es sei bemerkt, daß die beiden Arbeiten z.B. in der Definition der Harish-Chandra-Realisierung von G/K oder der Cayley-Transformierenden differieren. Bei unseren Definitionen folgen wir in der Regel [Wo].

Es sei 𝔤_{C} = 𝔭^{+} + 𝔨_{C} + 𝔭^{−} die übliche Zerlegung für Hermitesche Algebren, P^{±} bzw. K_{C} die zu den Unteralgebren gehörenden analytischen Untergruppen und x_{0} = eK_{C}P^{−} ∈ G_{C}/K_{C}P^{−} =: M^{∗} die Nebenklasse des Einselements in der Borel-Realisierung des kompakten Hermiteschen symmetrischen Raumes dual zu G/K. Dann ist der Bergman-Šilov-Rand Š von G/K die abgeschlossene Bahn G(cx_{0}) im topologischen Rand von G/K ⊂ M^{∗}. Wir bemerken, daß auch c^{−1}x_{0} in dieser Bahn enthalten ist. Tatsächlich zeigt eine 𝔰𝔩(2)-Rechnung c_{j} = exp(−E_{j}) exp(log \sqrt{2}H_{j}) exp(E_{−j}) und damit ist c^{−1}x_{0} = Θ(c)^{−1}x_{0} = exp(∑ E_{j})·x_{0}. Dies ist aber ein Element des Bergman-Šilov-Randes, da die Bilder unter der Exponentialabbildung exp(λZ^{0}) der reellen Vielfachen von Z^{0} ∈ 𝔷(𝔨), welches die komplexe Struktur auf 𝔭 definiert, als komplexe Rotationen (z ↦ e^{iλ}z) auf 𝔭^{+} operieren.

Der Normalisator N von cK_{C}P^{−} bestimmt sich wie folgt. Sei X^{0} := ∑_{j=1}^{r} X_{j}, dann

sind ±2, ±1 und 0 die einzig möglichen Eigenwerte von ad X^{0}. Definieren wir 𝔫_{C} als Summe aller Eigenräume zu nichtpositiven Eigenwerten von ad X^{0} in 𝔤_{C} und N_{C} als die zugehörige analytische Untergruppe von G_{C}, so erhalten wir mit N = N_{C} ∩ G:

Satz 2.2 Der Normalisator des Randpunktes cK_{C}P^{−} von G/K in G_{C}/K_{C}P^{−} bzw. in 𝔭^{+} ist N. Für einfaches G ist dabei N eine maximale parabolische Untergruppe.

Da unsere Einbettungen kausale Abbildungen werden sollen, wiederholen wir hier auch die Definition der kausalen Struktur von Š für Räume vom Tubentyp, d.h. solche für die G/K biholomorph äquivalent zu einem Tubengebiet ist. Mit Š = G(c^{−1}x_{0}) definieren wir den Cayley-transformierten Rand Š^{c} = cG(c^{−1}x_{0}) = Ad(c)Gx_{0}. Wir bemerken, daß die Linksmultiplikation L_{c} in M^{∗} einen Diffeomorphismus von Š^{c} auf Š gibt. Tatsächlich ist die Eigenschaft vom Tubentyp zu sein äquivalent zu Ad(c^{2})𝔨 = 𝔨, womit dann Ad(c^{2})𝔤 = 𝔤 und weiter L_{c}Š^{c} = Ad(c^{2})G(cx_{0}) = G(cx_{0}) = Š ist, was unsere Behauptung beweist.

Identifizieren wir den Tangentialraum T_{x_{0}}M^{∗} und 𝔭^{+} mittels der Abbildung ξ : 𝔭^{+} → M^{∗} X ↦ exp X · x_{0} miteinander, so entspricht dem Unterraum T_{x_{0}} Š^{c} die Algebra 𝔰^{+} = 𝔭^{+} ∩ Ad(c)𝔤 und diesem Raum kann die Struktur einer Euklidischen bzw. formal reellen Jordan Algebra gegeben werden [KW, Abschnitt 6]. Der die kausale Struktur von Š^{c} definierende Kegel im Tangentialraum wird jetzt von der Menge aller Quadrate in 𝔰^{+} [Ka 89] oder — äquivalent dazu — durch den Abschluß der K^{c}-Bahn durch den Punkt E = −iξ^{−1}(cx_{0}) gebildet, wobei K^{c} = K_{C} ∩ Ad(c)G. Die kausale Struktur von Š wird dann durch das Bild dieses Kegels unter der Tangentialabbildung T_{x_{0}}L_{c} gegeben, so daß L_{c} ein kausaler Diffeomorphismus wird. Wir identifizieren im folgenden mittels ξ^{c} : Ad(c)𝔭^{+} → M^{∗} Ad(c)X ↦ exp(Ad(c)X)cx_{0} wie oben die Räume Ad(c)𝔭^{+} und T_{cx_{0}}M^{∗}. Da Räume vom Tubentyp auch durch Z^{0} = −\frac{i}{2} ∑_{j=1}^{r} H_{j} charakterisiert werden, ist Ad(c)(iZ^{0}) = \frac{1}{2}X^{0} und somit das Bild von 𝔭^{+} der (+2)-Eigenraum von ad X^{0} in 𝔤_{C}. Weiterhin haben wir dann Ad(c)𝔰^{+} = Ad(c)𝔭^{+} ∩ Ad(c^{2})𝔤 = Ad(c)𝔭^{+} ∩ 𝔤 =: 𝔮^{+} und diese Unteralgebra ist die Summe der Eigenräume zu positiven Eigenwerten von ad X^{0} in 𝔤. Tatsächlich ist für Räume vom Tubentyp +2 der einzige positive Eigenwert.

Mit dem Diffeomorphismus η : Š → G/N gcx_{0} ↦ gN erhalten wir jetzt das kommutative Diagramm

T_{x_{0}} Š^{c} ⟶^{T L_{c}} T_{cx_{0}} Š ⟶^{T η} T_{eN}G/N
T ξ ↑  T ξ^{c} ↑  ↑  T (π ∘ exp)
𝔰^{+}  ⟶^{Ad(c)} 𝔮^{+}  \underrightarrow{id}  𝔮^{+}

Sei H_{C} die analytische Untergruppe zu 𝔥_{C}, der Komplexifizierung des Zentralisators von ad X^{0} in 𝔤, so gilt H := H_{C} ∩ G = Ad(c)K_{C} ∩ G = Ad(c)K^{c}. Mit Ad(c)E = Ad(c)i ∑ E_{j} = \frac{1}{2} ∑(Y_{j} − iH_{j}) =: Y_{+} ist der die kausale Struktur definierende Kegel C_{+} in 𝔮^{+} jetzt der Abschluß der H-Bahn durch Y_{+}, also C_{+} = \overline{Ad(H)Y_{+}}.

Bemerkung. Alternativ zu unserem Vorgehen wird in [H’O, Kapitel 1.6] bewiesen, daß C_{+} = \overline{conv Ad(H_{0})IR^{+}Y_{+}} ein regulärer H-invarianter Kegel in 𝔮^{+} ist. Wie man dann leicht zeigen kann, ist dieser Kegel auch invariant unter der linearen Isotropiedarstellung von N in T_{eN}G/N und definiert damit eine kausale Struktur für G/N, welche eindeutig bis auf die Wahl des Vorzeichens ist.

Wir benötigen im folgenden auch einige Resultate von Matsuki zur Zerlegung einer reellen halbeinfachen Gruppe G in Doppelrestklassen G = ⋃_{j∈I(P)} Hg_{j}P, wo-

bei (G, H, σ) ein affiner symmetrischer Raum und P eine parabolische Untergruppe von G ist. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit seien σ und Θ dabei kommutierend gewählt.

Wenn wir uns zuerst auf minimale parabolische Untergruppen beschränken, so können diese in der üblichen Weise durch Angabe eines maximalen abelschen Unterraums 𝔞 ⊂ 𝔭 und eines Systems positiver Wurzeln Σ^{+} ⊂ Σ(𝔞) parametisiert werden. Hier und im folgenden bezeichne dabei Σ bzw. Σ(𝔞) das Wurzelsystem der Algebra 𝔤 bezüglich der abelschen Unteralgebra 𝔞. Wir verdeutlichen diese Beschreibung, indem wir gegebenenfalls P (𝔞, Σ^{+}) oder 𝔭(𝔞, Σ^{+}) für die Liealgebra schreiben. Für eine beliebige Teilmenge 𝔯 von 𝔞 definieren wir dann eine Menge (positiver) Wurzeln durch Σ(𝔯)^{(+)} := {γ ∈ Σ^{(+)}|H_{γ} ∈ 𝔯}. H_{γ} ist hierbei der γ unter der üblichen Identifizierung — sei B( , ) die Killingform, so definiert man H_{γ} durch B(H_{γ}, H) = γ(H) — von 𝔞 und 𝔞^{∗} entsprechende Vektor. Eine Verwechselung mit den weiter oben definierten (eingeschränkten) Wurzeln γ ∈ Δ(𝔤_{C}, 𝔱_{C}) bzw. H_{i} ist aus dem jeweiligen Kontext heraus ausgeschlossen. Tatsächlich beschreibt Theorem 2.1 auch das Wurzelsystem Σ(𝔞), denn es gilt Ad(c)^{∗}(Σ(∑ IRX_{j})) = ρ(Δ) [Wo, He, S. 528] und alle anderen 𝔞 sind zu dem maximalen abelschen Unterraum ∑ IRX_{j} dann Ad(K)-konjugiert, die Wurzelsysteme also isomorph. Da alle minimalen parabolischen Untergruppen konjugiert und ihr eigener Normalisator sind, können wir auch den Quotienten G/P mit der Menge aller minimalen parabolischen Unteralgebren von 𝔤 identifizieren.

Sei jetzt 𝔞 ein σ-stabiler maximaler abelscher Unterraum von 𝔭 und W (𝔞) := N_{K}(𝔞)/Z_{K}(𝔞) die zugehörige Weylgruppe. Wir definieren zwei Untergruppen

W_{σ}(𝔞) := {w ∈ W (𝔞) | w(𝔞 ∩ 𝔥) = 𝔞 ∩ 𝔥}

und

W (𝔞, K ∩ H) := N_{K∩H}(𝔞)/Z_{K∩H}(𝔞) ⊂ W_{σ}(𝔞).

Sei 𝔮 ⊂ 𝔤 der (−1)-Eigenraum der Involution σ, so daß 𝔤 = 𝔥 + 𝔮. Die offenen Doppelrestklassen bzw. äquivalent dazu die offenen H-Bahnen in G/P werden dann wie folgt bestimmt.

Proposition 2.3 [Ma 79] Eine minimale parabolische Unteralgebra 𝔭(𝔞, Σ^{+}), welche mit einem Punkt in G/P identifiziert sei, ist dann und nur dann in einer offenen H-Bahn enthalten, wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind:

(i) 𝔞 ∩ 𝔮 ist maximal abelsch in 𝔭 ∩ 𝔮,

(ii) Σ^{+} ist σΘ-verträglich (d.h. γ ∈ Σ^{+}\Σ^{+}(𝔞 ∩ 𝔥) ⇒ σΘ(γ) ∈ Σ^{+}\Σ^{+}(𝔞 ∩ 𝔥)).

Die Anzahl der offenen Bahnen ist |W_{σ}(𝔞)| / |W (𝔞, K ∩ H)|.

Bemerkung. Mit Lemma 7 in [Ma 79] legt Bedingung (i) eindeutig die Ad(K ∩ H)_{0}-Konjugationsklasse von 𝔞 fest.

Im nächsten Schritt lassen wir beliebige parabolische Untergruppen P′ ⊃ P zu und bestimmen die offenen Doppelrestklassen HgP (𝔞, Σ^{+}) ⊂ HP′. Dazu sei 𝔭′ = 𝔪′ + 𝔞′ + 𝔫′ die Langlandszerlegung der Liealgebra von P, so daß 𝔞′ ⊂ 𝔞. Definiere 𝔞′_{+} := {X ∈ 𝔞′ | γ(X) > 0 für alle γ mit 𝔤_{γ} ⊂ 𝔫′}, dann haben wir zunächst für minimale parabolische Unteralgebren in 𝔭′.

Satz 2.4 [Ma 82] Jede minimale parabolische in 𝔭′ enthaltene Unteralgebra von 𝔤 ist H ∩ P′-konjugiert zu einer minimalen parabolischen Unteralgebra 𝔭_{1} von der Form 𝔭_{1} = 𝔭(𝔞_{1}, Σ(𝔞_{1})^{+}), wobei 𝔞_{1} ein σ-stabiler maximaler abelscher Unterraum von 𝔭 mit 𝔞_{1} ⊃ 𝔞′ ist und Σ(𝔞_{1})^{+} der Bedingung ⟨Σ(𝔞_{1})^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+} genügt.

Definieren wir 𝔪′′ := {X ∈ 𝔷_{𝔤}(𝔞′ + σ𝔞′) | B(X, 𝔷 ∩ 𝔞) = 0}, wobei 𝔷 das Zentrum des Zentralisators 𝔷_{𝔤}(𝔞′ + σ𝔞′) ist, und weiter

Σ(𝔞_{1})_{𝔪′} := {γ ∈ Σ(𝔞_{1}) | ⟨γ, 𝔞′⟩ = {0}}
Σ(𝔞_{1})_{𝔪′′} := {γ ∈ Σ(𝔞_{1}) | ⟨γ, 𝔞′ + σ𝔞′⟩ = {0}},

so lassen sich die gesuchten offenen Doppelrestklassen oder H-Bahnen in HP′/P damit einfach beschreiben.

Korollar 2.5 [Ma 82] Eine minimale parabolische Unteralgebra 𝔭_{1} = 𝔭(𝔞_{1}, Σ(𝔞_{1})^{+}), welche den Voraussetzungen des Satzes 2.4 genügt, liegt in einer offenen H-Bahn von HP′/P dann und nur dann, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind:

(i) ⟨Σ(𝔞_{1})_{𝔪′}^{+}, σΘ𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+},

(ii) Σ(𝔞_{1})_{𝔪′′}^{+} ist σΘ-verträglich (d.h. γ ∈ Σ(𝔞_{1})_{𝔪′′}^{+}\Σ(𝔞_{1} ∩ 𝔥)_{𝔪′′}^{+} ⇒ σΘγ ∈ Σ(𝔞_{1})_{𝔪′′}^{+}\Σ(𝔞_{1} ∩ 𝔥)_{𝔪′′}^{+})^{2},

(iii) 𝔪′′ ∩ 𝔞_{1} ∩ 𝔮 ist maximal abelsch in 𝔪′′ ∩ 𝔭 ∩ 𝔮.

Sind wir nicht nur an den offenen Doppelrestklassen, sondern der vollständigen Zerlegung von G interessiert, so sind zunächst die K ∩ H-Konjugationsklassen der σ-stabilen maximalen abelschen Unterräume 𝔞 von 𝔭 zu bestimmen. Dazu benötigt wird der Begriff des 𝔮-orthogonalen Systems.

Definition 2.6 Sei 𝔞_{1} ⊂ 𝔭 σ-stabil, maximal abelsch und 𝔞_{1,+} := 𝔞_{1} ∩ 𝔥 maximal abelsch in 𝔥 ∩ 𝔭. Seien α_{i} ∈ Σ(𝔞_{1,+}) und X_{α_{i}} ∈ 𝔤_{α_{i}}\{0} Wurzelvektoren für i = 1, …, k, so heißt {X_{α_{1}}, …, X_{α_{k}}} ein 𝔮-orthogonales System von Σ(𝔞_{1,+}), falls

(i) X_{α_{i}} ∈ 𝔮 für i = 1, …, k,

(ii) [X_{α_{i}}, X_{α_{j}}] = 0 und [X_{α_{i}}, ΘX_{α_{j}}] = 0 für 1 ≤ i < j ≤ k.

Zwei derartige Systeme {X_{α_{1}}, …, X_{α_{k}}} und {Y_{β_{1}}, …, Y_{β_{k}}} heißen dabei W (𝔞_{1}, K ∩ H)-konjugiert oder äquivalent, wenn es ein w ∈ W (𝔞_{1}, K ∩ H) gibt mit w(∑ IRH_{α_{i}}) = ∑ IRH_{β_{i}}. Wie man sofort sieht, definiert dies tatsächlich eine Äquivalenzrelation. Jetzt gilt:

2Die in [Ma 82] gegebene Definition der Bedingung der σΘ-Verträglichkeit bzw. der σ-Verträglichkeit im Fall der abgeschlossenen Bahnen ist fehlerhaft. Mit 𝔞′_{1} + σ𝔞′_{1} = 𝔞′_{1} ⊕ 𝔞′′_{1} — in der Notation des Artikels — läßt sich aber die korrekte Bedingung leicht aus den Propositionen 1 und 2 in [Ma 79] ableiten.

Theorem 2.7 [Ma 79] Es gibt eine bijektive Abbildung zwischen K ∩ H-Konju-gationsklassen σ-stabiler maximaler abelscher Unterräume von 𝔭 und W (𝔞_{1}, K ∩H)- Konjugationsklassen 𝔮-orthogonaler Systeme von Σ(𝔞_{1,+}). Sei Q = {X_{α_{1}}, …, X_{α_{k}}} 𝔮-orthogonal, 𝔯 = ∑ IRH_{α_{i}}, 𝔞_{Q,+} = {H ∈ 𝔞_{1,+} | B(H, 𝔯) = 0} und 𝔞_{Q} = 𝔞_{1} ∩ 𝔮 + ∑ IR(X_{α_{i}} − X_{−α_{i}}) + 𝔞_{Q,+}, wobei X_{−α_{i}} = ΘX_{α_{i}}, dann entsprechen sich die Klassen von Q und 𝔞_{Q}. Sind die X_{α_{i}} mit 2α_{i}(H_{α_{i}})B(X_{α_{i}}, X_{−α_{i}}) = −1 normiert, ist 𝔞_{Q} = Ad(exp \frac{π}{2}(X_{α_{1}} + X_{−α_{1}}) · . . . · exp \frac{π}{2}(X_{α_{k}} + X_{−α_{k}}))𝔞_{1}.

Sind diese Konjugationsklassen erst einmal bekannt, so läßt sich die Zerlegung von G leicht angeben.

Satz 2.8 [Ma 79] Sei {Q_{1}, …, Q_{m}} ein vollständiges Vertretersystem von W (𝔞_{1}, K ∩ H)-Konjugationsklassen 𝔮-orthogonaler Systeme in Σ(𝔞_{1,+}) und sei Q_{j} = \{X_{α_{1j}}, …, X_{α_{kj}}\} wie in Theorem 2.7 normiert. Mit c(Q_{j}) = exp \frac{π}{2}(X_{α_{1j}} + X_{−α_{1j}}) · . . . · exp \frac{π}{2}(X_{α_{kj}} + X_{−α_{kj}}) ist dann

G = ⋃_{i=1}^{m} ⋃_{v∈W (𝔞_{i},K∩H)\W (𝔞_{i})} Hw_{v}c(Q_{i})P

die disjunkte Vereinigung von Doppelrestklassen, wobei P = P (𝔞_{1}, Σ^{+}) eine minimale parabolische Untergruppe, 𝔞_{i} = Ad(c(Q_{i}))𝔞_{1} und w_{v} ∈ N_{K}(𝔞_{i}) jeweils ein Repräsentant für v ∈ W (𝔞_{i}, K ∩ H)\W (𝔞_{i}) ist.

Sei jetzt P′ ⊃ P wieder eine beliebige parabolische Untergruppe, so benötigen wir noch eine Beschreibung der in HP′ liegenden Doppelrestklassen. Wir führen zuerst eine modifizierte Definition der 𝔮-orthogonalen Systeme ein. Sei dazu 𝔞̂_{1} ein σ-stabiler maximaler abelscher Unterraum von 𝔭, so daß 𝔞̂_{1} ⊃ 𝔞′ und 𝔪′′ ∩ 𝔞̂_{1} ∩ 𝔥 maximal abelsch in 𝔪′′ ∩ 𝔭 ∩ 𝔥. Sei Σ(𝔞̂_{1})^{+} derart gewählt, daß ⟨Σ(𝔞̂_{1})^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+}, dann ist gemäß Satz 2.4 𝔭_{1} = 𝔭(𝔞̂_{1}, Σ(𝔞̂_{1})^{+}) ⊂ 𝔭′ bzw. P_{1} ⊂ P′.

Definition 2.9 Sei Σ_{𝔥}(𝔞̂_{1})_{𝔪′′} = {α ∈ Σ(𝔞̂_{1})_{𝔪′′}|H_{α} ∈ 𝔪′′ ∩ 𝔞̂_{1} ∩ 𝔥}, so heißt eine Menge Q = {X_{α_{1}}, …, X_{α_{k}}} von Wurzelvektoren X_{α_{i}} ∈ 𝔤_{α_{i}}, wobei α_{i} ∈ Σ_{𝔥}(𝔞̂_{1})_{𝔪′′}, ein 𝔮-orthogonales System von Σ_{𝔥}(𝔞̂_{1})_{𝔪′′}, falls

(i) X_{α_{i}} ∈ 𝔮\{0} für i = 1, …, k,

(ii) [X_{α_{i}}, X_{α_{j}}] = [X_{α_{i}}, ΘX_{α_{j}}] = 0 für 1 ≤ i < j ≤ k.

Auch für diese Systeme ist eine Äquivalenzrelation definiert. Dazu sei 𝔞̃_{1} ein σstabiler maximaler abelscher Unterraum von 𝔭, so daß 𝔞̃_{1}∩𝔥 maximal abelsch in 𝔭∩𝔥, 𝔞̃_{1} ∩ 𝔥 ⊃ 𝔞̂_{1} ∩ 𝔥 und 𝔞̃_{1} ∩ 𝔮 ⊂ 𝔞̂_{1} ∩ 𝔮. Mit 𝔯 = {Y ∈ 𝔞̃_{1} ∩ 𝔥 | B(Y, 𝔞̂_{1} ∩ 𝔥) = 0} heißen dann {X_{α_{1}}, …, X_{α_{k}}} und {Y_{β_{1}}, …, Y_{β_{k}}} äquivalent, falls ein w ∈ W (𝔞̃_{1}, K ∩ H) existiert, so daß w(𝔯 + ∑ H_{α_{i}}) = 𝔯 + ∑ H_{β_{i}} ist. Aus den vorhergehenden Resultaten folgt damit:

Korollar 2.10 [Ma 82] Sei {Q_{1}, …, Q_{n}} ein vollständiges Vertretersystem der Klassen 𝔮-orthogonaler Systeme von Σ_{𝔥}(𝔞̂_{1})_{𝔪′′}. Sind diese wie in Theorem 2.7 normiert und c(Q_{i}) sowie 𝔞̂_{i} wie in Satz 2.8 definiert, dann gilt

HP′ = ⋃_{i=1}^{n} ⋃_{v∈W (𝔞̂_{i},K∩H)∩W (𝔞̂_{i})_{𝔪′}\W (𝔞̂_{i})_{𝔪′}} Hw_{v}c(Q_{i})P_{1},

wobei W (𝔞̂_{i})_{𝔪′} = N_{K∩M′}(𝔞̂_{i})/Z_{K∩M′}(𝔞̂_{i}) und P_{1} ⊂ P′ minimal parabolisch wie in Satz 2.4 gewählt ist.

3 Kausale Kompaktifizierung der Räume vom Cayley-Typ

Wir konstruieren in diesem Abschnitt kausale Kompaktifizierungen für die irreduziblen Cayleyräume. Außerdem geben wir für einen solchen Raum (G, H, τ) die G-Bahnen der Kompaktifizierung.

3.1 Die Kompaktifizierung

Sei (G, H, τ) ein irreduzibler kompakt-kausaler symmetrischer Raum vom Cayley-Typ und Θ eine mit τ kommutierende Cartaninvolution auf G. Wir definieren (G_{1}, G_{1}^{σ}, σ) := (G × G, ΔG, σ), wobei σ : G × G → G × G (g, h) ↦ (h, g) und die Diagonale ΔG = {(g, g) | g ∈ G} die Fixpunktmenge der Involution σ ist. Offensichtlich ist G_{1}/K_{1}, K_{1} := K × K, vom Tubentyp, da G/K vom Tubentyp ist [H’O, Thm. 3.1.18].

Lemma 3.1 Die Abbildung d : G → G × G g ↦ (g, g) faktorisiert zu einer Abbildung d̃: G/H → G × G/\overline{P} × P, wobei P eine gemäß Satz 2.2 gewählte maximale parabolische Untergruppe von G und \overline{P} = ΘP ist. d̃ ist dann ein Diffeomorphismus auf eine offene und dichte Teilmenge von G × G/\overline{P} × P.

Beweis: Nach Satz 2.2 wird die Liealgebra Lie(P) von P von den zu nichtpositiven Eigenwerten gehörenden Eigenräumen von ad X^{0} gebildet; außerdem ist τ = Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0}) und H = Z_{G}(X^{0}) [H’O, S. 24]. Da X^{0} ∈ 𝔭, erhalten wir ΘP ∩P = H und d̃ist wohldefiniert und injektiv. Weiter ist das Bild eine Untermannigfaltigkeit [Va, Thm. 2.9.7] und offen, da dim G/P = dim G/\overline{P} = dim(Summe aller ,,negativen“ Eigenräume von ad X^{0}) = dim(Summe aller ,,positiven“ Eigenräume von ad X^{0}) und dim G/H = dim(Summe aller Eigenräume mit Eigenwert ungleich Null).

Da 𝔭 der (−1)-Eigenraum zu Θ ist, ist 𝔭_{1} := 𝔭 × 𝔭 der entsprechende zu Θ_{1} := Θ × Θ. Ist 𝔞 ⊂ 𝔭 maximal abelsch, so ist 𝔞_{1} = {(X, Y) | X, Y ∈ 𝔞} ein σ-stabiler maximaler abelscher Unterraum von 𝔭_{1} und offensichtlich ist 𝔞_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ} (𝔞_{1} ∩ 𝔮_{1σ}), wobei 𝔮_{1σ} der (−1)-Eigenraum der Involution σ in 𝔤_{1} ist, dann maximal abelsch in 𝔭_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ}(𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ}).

Wir nutzen jetzt Proposition 2.3 um die offenen Doppelrestklassen G_{1}^{σ}gP_{min} zu bestimmen, wobei P_{min} eine minimale parabolische Untergruppe ist. Für die Weylgruppe gilt W (𝔞_{1}) = W (𝔞) × W (𝔞) und (w, w′) ∈ W_{σ}(𝔞_{1}) heißt nach Definition (w, w′)(X, X) = (wX, wX′) ∈ 𝔞_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ} für beliebige X ∈ 𝔞, was sofort w = w′ impliziert. Aber die Elemente der Form (w, w) bilden gerade auch W (𝔞_{1}, K_{1} ∩ G_{1}^{σ}) und somit ist W_{σ}(𝔞_{1}) = W (𝔞_{1}, K_{1} ∩ G_{1}^{σ}), d.h. es gibt genau eine offene Doppelrestklasse.

Für die Menge aller Wurzeln haben wir ∑(𝔞_{1}) = {(γ, 0), (0, γ) | γ ∈ ∑(𝔞)} und damit ∑(𝔞_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ}) = {γ ∈ ∑(𝔞_{1}) | H_{γ} ∈ 𝔞_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ}} = ∅. Die Bedingung der σΘ-Verträglichkeit — d.h. γ ∈ ∑^{+}(𝔞_{1}) ⇒ σΘγ ∈ ∑^{+}(𝔞_{1}) — bestimmt dann P_{min} = P (𝔞, Θ ∑^{+}(𝔞)) × P (𝔞, ∑^{+}(𝔞)) eindeutig (bis auf K_{1} ∩ G_{1}^{σ}-Konjugation) als diejenige parabolische Untergruppe, für welche G_{1}^{σ}P_{min} offen ist.

Da ohne Einschränkung P (𝔞, ∑^{+}(𝔞)) ⊂ P angenommem werden kann, haben wir G_{1}^{σ}P_{min} ⊂ ΔG(\overline{P} × P) und das Bild ist damit auch dicht. □

Da wir eine kausale Abbildung in den Bergman-Šilov-Rand suchen, bleibt noch zu zeigen, daß G×G/\overline{P} ×P der Bergman-Šilov-Rand Š_{1} = Š×Š von G×G/K ×K ist und daß d̃zu einer kausalen Abbildung wird, wenn wir G/H mit seiner kompaktkausalen Struktur und Š × Š mit der durch die kausale Struktur der Faktoren definierten Produktstruktur versehen.

Lemma 3.2 η : Š × Š → G/\overline{P} × G/P (gc^{−1}x_{0}, hcx_{0}) ↦ (g\overline{P} , hP) ist ein Diffeomorphismus.

Beweis: Definiere Θ_{r}(g) = Ad(exp(πZ^{0}))(g), dann sind Θ_{r} und Θ identisch auf G und \overline{P} = Θ_{r}P normalisiert exp(πZ^{0})cx_{0} = Θ_{r}(c)x_{0} = c^{−1}x_{0}, wobei die letzte Identität mit c ∈ exp(i𝔭) folgt. □

Eine σ-invariante kausale Struktur auf Š × Š wird durch C_{+} + C_{+} ⊂ 𝔮^{+} ⊕ 𝔮^{+} ≃ T_{(cx_{0},cx_{0})}Š × Š gegeben, wobei T_{cx_{0}} Š bzw. T_{eP} G/P wie in Abschnitt 2 mit 𝔮^{+} identifiziert werden.

Proposition 3.3 Die Abbildung d̃: G/H → G_{1}/P′, P′ := \overline{P} × P, gibt eine kausale Kompaktifizierung des kompakt-kausalen Raumes G/H im Bergman-Šilov-Rand von G_{1}/K_{1}.

Beweis: Es ist nur noch die Kausalität der Abbildung nachzuweisen. Um den Kegel in T_{(e\overline{P} ,eP)}(G × G/\overline{P} × P) zu bestimmen, benutzen wir das Diagramm

T_{cx_{0}} Š  ⟶^{T L_{exp πZ^{0}}}  T_{c^{−1}x_{0}} Š ↑≃  ↑≃ 𝔮^{+}  ⟶^{Ad(exp πZ^{0})=Θ_{r}} Ad(exp πZ^{0})𝔮^{+} = 𝔮^{−} ,

wobei 𝔮^{−} der (−2)-Eigenraum von ad X^{0} ist. Mit ΘC_{+} =: −C_{−}, wie in [H’O, Kapitel 1.6] definiert, ist der Kegel der kausalen Struktur im Tangentialraum an (c^{−1}x_{0}, cx_{0}) dann −C_{−}+C_{+} = C_{k}. Identifiziert man T_{eH}G/H über die Exponentialabbildung mit 𝔮^{−} ⊕ 𝔮^{+}, so ist die Tangentialabbildung T_{eH} d̃ die Identität und da d̃∘ L_{g} = L_{(g,g)} ∘ d̃ sowie die kompakt-kausale Struktur von G/H durch C_{k} definiert ist [H’O], folgt die Kausalität von d̃. □

Beispiel 3.4 (Die Kompaktifizierung von Sp(n, IR)/GL(n, IR)):

Wir arbeiten mit der Realisierung von Sp(n, IR) in SU(n, n)

Sp(n, IR) = \{( \begin{matrix}A & B \\ \overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ∈ SU(n, n) | \begin{matrix}A, B ∈ M(n × n, C), \\ ^{t}\overline{A}A −^{t} B\overline{B} = 1, ^{t}A\overline{B} =^{t} \overline{B}A \end{matrix} \}

Mit der üblichen Cartaninvolution Θ(g) = ^{t}\overline{g}^{−1} erhalten wir dann als maximale kom-

pakte Unteralgebra 𝔨 = \{( \begin{matrix}Z & 0 \\ 0 & \overline{Z} \end{matrix} ) | Z ∈ 𝔲(n)\} und 𝔷(𝔨) = IR ( \begin{matrix}iI & 0 \\ 0 & −iI \end{matrix} ). Als Car-

tanalgebra 𝔱 wählen wir die Menge der Diagonalmatrizen in 𝔰𝔭(n, IR) und als stark-

orthogonale Wurzelvektoren E_{j} = ( \begin{matrix}0 & E_{jj} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) bzw. E_{−j} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ E_{jj} & 0 \end{matrix} ); j = 1, …, n.

Damit ist X^{0} = ∑_{j=1}^{n}(E_{j} + E_{−j}) = ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} ) und die Cayley-Transformierende

c = exp (\frac{π}{4} ∑_{j=1}^{n}(E_{−j} − E_{j})) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}I & −I \\ I & I \end{matrix} ). Darüber hinaus reduziert sich τ =

Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0}) auf Sp(n, IR) einfach auf komplexe Konjugation und daher ist

Sp(n, IR)^{τ} = \{( \begin{matrix}A & B \\ B & A \end{matrix} ) ∈ SU(n, n) | \begin{matrix}A, B ∈ M(n × n, IR), \\ ^{t}AA −^{t} BB = 1,^{t} AB =^{t} BA \end{matrix} \} ,

wobei diese Untergruppe unter der Abbildung ( \begin{matrix}A & B \\ B & A \end{matrix} ) ↦ A + B isomorph

zu GL(n, IR) ist. Allgemein ist für ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ SU(n, m) die Harish-Chandra-

Zerlegung in P^{+} × K_{C} × P^{−} (bei entsprechender Wahl der positiven Wurzeln) durch

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}I & BD^{−1} \\ 0 & I \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A − BD^{−1}C & 0 \\ 0 & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I & 0 \\ D^{−1}C & I \end{matrix} )

gegeben und weiter ist

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}I & Z \\ 0 & I \end{matrix} ) K_{C}P^{−} = ( \begin{matrix}I & (AZ + B)(CZ + D)^{−1} \\ 0 & I \end{matrix} ) K_{C}P^{−}.

Nun ist P der Normalisator von cK_{C}P^{−} = ( \begin{matrix}I & −I \\ 0 & I \end{matrix} ) K_{C}P^{−} und da hier die Car-

taninvolution ein innerer Automorphismus ist, Θ(g) = ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & −I \end{matrix} ) g ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & −I \end{matrix} ) für g ∈ SU(n, n), normalisiert ΘP folglich ( \begin{matrix}I & 0 \\ 0 & −I \end{matrix} ) c K_{C}P^{−} = ( \begin{matrix}I & I \\ 0 & I \end{matrix} ) K_{C}P^{−} im

Bergman-Šilov-Rand von Sp(n, IR)/U(n).

Der Bergman-Šilov-Rand in der Harish-Chandra-Realisierung wird dabei durch Š = {Z ∈ M(n×n, C) | Z^{∗}Z = I_{n},^{t} Z = Z} gegeben [Wo] und die Kompaktifizierung ist dann

\begin{matrix}Sp(n, IR)/Sp(n, IR)^{τ} → Š × Š \\ ( \begin{matrix}A & B \\ \overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) Sp(n, IR)^{τ} ↦ ((A + B)(\overline{B} + \overline{A})^{−1}, (−A + B)(−\overline{B} + \overline{A})^{−1}) . \end{matrix}

Bemerkung. Man kann einen invarianten, abgeschlossenen, konvexen und regulären Kegel in T_{(cx_{0},cx_{0})}Š × Š und damit eine kausale Struktur auch durch −C_{+} + C_{+} (mit der schon oben benutzten Identifizierung des Tangentialraums) definieren. In diesem Fall ist d̃ eine kausale Kompaktifizierung des nichtkompaktkausalen Raums G/H, wobei dessen Struktur durch C_{p} = C_{−} + C_{+} gegeben wird.

3.2 Die Zerlegung in Bahnen

Wir verwenden weiter die schon in Abschnitt 2 eingeführte Notation mit einer kleinen Abänderung: Wir verwenden statt des Tripels (G, H, σ) hier (G_{1}, G_{1}^{σ}, σ). Dementsprechend kennzeichnen wir die Größen, welche sich auf G_{1} bzw. 𝔤_{1} beziehen durch einen Index 1. Der im Beweis von Lemma 3.1 eingeführte Unterraum 𝔞_{1} erfüllt die in Definition 2.6 aufgestellten Bedingungen und somit ist — wie oben bereits ausgeführt — Σ(𝔞_{1,+}) = ∅. Damit läßt sich aus Theorem 2.7 und Satz 2.8

G_{1} = ∪_{v∈W (𝔞)}ΔG(w_{v}, 1)P_{min}

als Zerlegung in disjunkte Doppelrestklassen ableiten, wobei hier wieder wie schon in Lemma 3.1 P_{min} = P (𝔞, ΘΣ^{+}(𝔞)) × P (𝔞, Σ^{+}(𝔞)) ⊂ P′ sein soll. Die Indexmenge ergibt sich daraus, daß W (𝔞_{1}) = W (𝔞) × W (𝔞) und W (𝔞_{1}, K_{1} ∩ G_{1}^{σ}) gerade von den Elementen der Diagonale in dieser Gruppe gebildet wird.

Bemerkung. Da G/K ein Hermitescher symmetrischer Raum vom Tubentyp ist, ist das Wurzelsystem Σ(𝔞) vom Typ 𝔠_{r} [KW] und die Weylgruppe isomorph dem semidirekten Produkt (ZZ/2ZZ)^{r}×S_{r}, wobei die Permutationen aus S_{r} durch Permutation der Indices und (ZZ/2ZZ)^{r} ≃ {(ϵ_{1}, …, ϵ_{r})|ϵ_{i} ∈ {±1}} durch Vorzeichenänderung auf (X_{1}, …, X_{r}) wirken.

Im nächsten Schritt bestimmem wir diejenigen Doppelrestklassen, welche ΔG(\overline{P} ×P) ausmachen. Mit 𝔭′ = Lie(\overline{P})×Lie(P) ist 𝔞′ = IR(X^{0}, 0)+IR(0, X^{0}) = σ𝔞′, 𝔷_{𝔤_{1}}(𝔞′ + σ𝔞′) = 𝔥 × 𝔥 und das Zentrum 𝔷 dieser Algebra gleich 𝔞′ [H’O, Thm. 3.1.15]. Damit folgt sofort aus den Eigenschaften der Langlandszerlegung 𝔪′′ = 𝔪′ und 𝔪′′ ∩ 𝔞_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ} ist maximal abelsch in 𝔪′′ ∩ 𝔭_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ}, so daß ohne Einschränkung die Algebren 𝔞̂_{1} und 𝔞̃_{1} gleich 𝔞_{1} gewählt werden können. Mit dieser Wahl ist Σ_{𝔥_{1}}(𝔞̂_{1})_{𝔪′′} ⊂ Σ(𝔞_{1,+}) = ∅ und W (𝔞̂_{1})_{𝔪′} besteht aus denjenigen Elementen, welche (X^{0}, X^{0}) fest lassen. Da wir P_{min} ⊂ P′ gewählt haben, erhalten wir mit Korollar 2.10

ΔGP′ = ∪_{v∈W (𝔞)_{𝔪′}}ΔG(w_{v}, 1)P_{min},

wobei W (𝔞)_{𝔪′} ≃ {(1, …, 1)}×S_{r} ist. Ferner ist 𝔞′_{+} = {(sX^{0}, tX^{0}) | s > 0, t < 0}, wie sich unmittelbar aus der Definition von 𝔞′_{+} und Lie(P) als Summe der Eigenräume von ad X^{0} zu nichtpositiven Eigenwerten ergibt.

Zur Bestimmung der anderen G-Bahnen genügt es jetzt, weitere zu P′ G_{1}- konjugierte Gruppen P′_{ν} zu finden, derart daß diese Stabilisatoren zu Punkten s̃_{ν} = s_{ν}(c^{−1}x_{0}, cx_{0}) im Bergman-Šilov-Rand Š_{1} sind und die Vereinigung der Zerlegungen ΔGP′_{ν}s_{ν} = ∪_{j}ΔGw_{νj}P_{min,ν}s_{ν} disjunkt ist und gerade die oben gegebene Zerlegung von G_{1} ausmacht. Man erhält so:

Satz 3.5 Die Zerlegung des Bergmann-Šilov-Randes von G_{1}/K_{1} in G-Bahnen wird durch

Š_{1} = ⋃_{ν=0}^{r} ΔG (( ∏_{j=1}^{r−ν} c_{j}^{−1})( ∏_{j=r+1−ν}^{r} c_{j})x_{0}, cx_{0})

gegeben.

Beweis: Wie schon in Abschnitt 2 erwähnt, liefert eine 𝔰𝔩(2)-Rechnung c_{j}^{±1} = exp(∓E_{j}) exp(log \sqrt{2}H_{j}) exp(±E_{−j}) und mit eine ebensolchen zeigt man

Ad(exp \frac{π}{2} iH_{j})E_{±k} = \{ \begin{matrix}−E_{±k} & für k = j \\ E_{±k} & für k ≠ j. \end{matrix}

Da iH_{j} ∈ 𝔨 und da in der Harish-Chandra-Realisierung von G_{1}/K_{1} die Untergruppe K_{1} durch die adjungierte Darstellung auf 𝔭_{1}^{+} operiert, so liegt damit s̃_{ν} := ((∏_{j=1}^{r−ν} c_{j}^{−1})(∏_{j=r+1−ν}^{r} c_{j})x_{0}, cx_{0}) in Š_{1} und ist das Bild von (c^{−1}x_{0}, cx_{0}) ∈ Š_{1}

unter s_{ν} := (∏_{j=r+1−ν}^{r} exp \frac{π}{2}iH_{j}, 1). Nach Satz 2.2 ist P′_{0} := P′ der Stabilisator

von s̃_{0} und folglich P′_{ν} = Ad (∏_{j=r+1−ν}^{r} exp \frac{π}{2}iH_{j}) \overline{P} × P derjenige von s̃_{ν}. Damit ist dann 𝔞′_{ν} = Ad (s_{ν}) 𝔞′ = IR(X_{ν}^{0}, 0) + IR(0, X^{0}) ⊂ Ad (s_{ν}) 𝔞_{1} = 𝔞_{1}, wobei X_{ν}^{0} := ∑_{j=1}^{r−ν} X_{j} − ∑_{j=r+1−ν}^{r} X_{j}, und allgemeiner 𝔭′_{ν} = Ad (s_{ν}) 𝔪′ + 𝔞′_{ν} + Ad ((s_{ν}) 𝔫′ die Langlandszerlegung der Liealgebra von P′_{ν}. Dadurch daß die Liealgebren 𝔭′_{ν} und 𝔭′ konjugiert sind, erhält man auch die Teilmenge 𝔞′_{ν,+} durch Konjugation 𝔞′_{ν,+} = Ad (s_{ν}) 𝔞′_{+} = {(sX_{ν}^{0}, tX^{0}) | s > 0, t < 0}, wie unmittelbar aus der Definition von 𝔞′_{ν,+} folgt.

Für ν = r ist 𝔞′_{r} = 𝔞′ und wie im schon diskutierten Fall ν = 0 ist dann 𝔪′′_{r} = 𝔪′_{r} = 𝔪′ und ohne Einschränkung 𝔞̂_{r} = 𝔞̃_{r} = 𝔞_{1}. Für 0 < ν < r ist dagegen 𝔞′_{ν} + σ𝔞′_{ν} = 𝔞′ ⊕ 𝔞̃′_{ν}, mit 𝔞̃′_{ν} = IR(X_{ν}^{0}, 0) + IR(0, X_{ν}^{0}), und

𝔷_{𝔤_{1}}(𝔞′_{ν} + σ𝔞′_{ν}) = 𝔪_{1} + 𝔞′ + 𝔞̃′_{ν} + 𝔞̂′_{ν} + ∑_{α∈Σ(𝔞_{1}), α(X^{0},X^{0})=α(X_{ν}^{0},X_{ν}^{0})=0} 𝔤_{1α},

wobei 𝔪_{1} := 𝔷_{𝔨_{1}}(𝔞_{1}) und 𝔞_{1} = 𝔞′ ⊕ 𝔞̃′_{ν} ⊕ 𝔞̂′_{ν} die orthogonale Zerlegung bezüglich der Killingform ist. Ist M ∈ 𝔪_{1}, A ∈ 𝔞_{1}, N ∈ ∑ 𝔤_{1α} und M + A + N ∈ 𝔷, dem Zentrum der Zentralisatoralgebra 𝔷_{𝔤_{1}}(𝔞′_{ν} + σ𝔞′_{ν}), so folgt aus 0 = [𝔞_{1}, M + A + N] = [𝔞_{1}, N] sofort N = 0 und da 𝔷 mit 𝔷_{𝔤_{1}}(𝔞′_{ν} + σ𝔞′_{ν}) auch Θ_{1}-invariant ist, M, A ∈ 𝔷. Dann ist aber A ∈ 𝔞′ + 𝔞̃′_{ν}, da für pr𝔞̂′_{ν}A ≠ 0 immer eine Wurzel α aus der Indexmenge existiert, so daß α(A) ≠ 0. Damit ist 𝔷 ∩ 𝔞_{1} = 𝔞′ + 𝔞̃′_{ν} und 𝔪′′_{ν} = 𝔪_{1} + 𝔞̂′_{ν} + ∑ 𝔤_{1α}. Da 𝔪_{1} ⊂ 𝔨_{1} und [M + N, 𝔞̂′_{ν}] ≠ 0 für nichtverschwindendes N, ist 𝔞̂′_{ν} ∩ 𝔤_{1}^{σ} maximal abelsch in 𝔪′′_{ν} ∩ 𝔭_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ}, so daß wir auch hier 𝔞̂_{ν} = 𝔞̃_{ν} = 𝔞_{1} wählen können.

Mit ⟨Ad (s_{ν}) Σ(𝔞_{1})^{+}, 𝔞′_{ν,+}⟩ = ⟨Σ(𝔞_{1})^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+} ist nach Satz 2.4 P_{min,v} := Ad (s_{ν}) P_{min} = P (𝔞_{1}, Ad (s_{ν}) Σ(𝔞_{1})^{+}) ⊂ P′_{ν} und W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}} = Ad (s_{ν}) W (𝔞̂_{1})_{𝔪′} ist der Zentralisator von (X_{ν}^{0}, X^{0}) in W (𝔞_{1}), da M′_{ν} = Ad (s_{ν}) M′ und (X_{ν}^{0}, X^{0}) = Ad (s_{ν}) (X^{0}, X^{0}). Wir identifizieren jetzt die Weylgruppe W (𝔞) mit (ZZ/2ZZ)^{r} × S_{r} wie in der Bemerkung oben und entsprechend W (𝔞_{1}) = W (𝔞) × W (𝔞). Mit der angegebenen Wirkung von Ad(exp \frac{π}{2}iH_{j}) auf E_{±k} bzw. X_{k} = E_{k} + E_{−k} sieht man, daß dann das Produkt ∏_{j=r+1−ν}^{r} exp(\frac{π}{2}iH_{j}) dem Element ((1, …, −1), id) entspricht und W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}}s_{ν} = ({(1, …, 1, −1, …, −1)} × S_{r})×({(1, …, 1)} × S_{r}) ist, wobei im ersten Faktor an den letzten r Positionen jeweils −1 steht. Wir haben jetzt

ΔGP′_{ν} = ⋃_{v∈W (𝔞_{1},K_{1}∩G_{1}^{σ})∩W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}} \W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}}} ΔGw_{v}P_{min,ν}
= ⋃_{v∈W (𝔞_{1},K_{1}∩G_{1}^{σ})∩W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}} s_{ν}\W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}} s_{ν}} ΔGw_{v}P_{min}s_{ν}^{(−1)}

Die Elemente in W (𝔞_{1}, K_{1}∩G_{1}^{σ}) sind diejenigen der Form (w_{v}, w_{v}). Ein vollständiges Vetretersystem für W (𝔞̂_{ν}, K_{1} ∩ G_{1}^{σ}) ∩ W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}}s_{ν}\W (𝔞̂_{ν})_{𝔪′_{ν}}s_{ν} wird daher durch die Elemente der Form (w_{v}, 1), w ∈ W (𝔞), gegeben, wobei in unserer Identifizierung w ∈ S_{r} · (1, …, 1, −1, …, −1) × S_{r}. Damit ist klar, daß

G_{1} = ⋃_{ν=0}^{r} ΔGP′_{ν}s_{ν}

eine disjunkte Zerlegung ist und die Behauptung des Satzes folgt unmittelbar. □

Bemerkung. Die duale Aussage zu Proposition 2.3 für abgeschlossene Bahnen in [Ma 79] zeigt sofort, daß ΔG(cx_{0}, cx_{0}) abgeschlossen ist. Allgemeiner lassen sich z.B. mit Lemma 13 in [Ma 79] die Dimensionen der einzelnen Bahnen vergleichen — dim(ΔGs_{ν}) ≥ dim(ΔGs_{μ}) für ν < μ — und um die Zerlegung des Abschlusses einer gegebenen Bahn in Bahnen — wie in [Ka 87] gegeben — zu erhalten, reicht es dann zu zeigen, daß die niederdimensionalen Bahnen im Abschluß der Bahnen größerer Dimension liegen.

Anmerkungen zu Abschnitt 3. Cayleyräume wurden schon länger studiert und die Ergebnisse in diesem Abschnitt sind alle bekannt. Die kausale Kompaktifizierung wurde von ’Olafsson und Ørsted zuerst gefunden [’OØ] und von Koufany mit Jordanalgebramethoden studiert [Ko]. Die Kompaktifizierung von G/H als nichtkompakt-kausaler Raum geht zurück auf allgemeinere Resultate von Hilgert und Neeb, vgl. [H’O], und die Zerlegung des Bergman-Šilov-Randes in G-Bahnen auf Kaneyuki [Ka 87].

4 Kausale Kompaktifizierung kausaler Unterräume von Cayleyräumen

Sei (G_{1}, H_{1}, τ) vom Cayley-Typ, so konstruieren wir eine Familie von Involutionen σ mit kausaler Kompaktifizierung für (G_{1}^{σ}, H_{1}^{σ}, τ). Außerdem geben wir einige Resultate zur Zerlegung der Kompaktifizierung in G_{1}^{σ}-Bahnen und die Konstruktion der kausalen Kompaktifizierung für (G_{1}σ′, H_{1}^{σ′}, τ) ⊂ (G_{1}^{σ}, H_{1}^{σ}, τ) in G′_{1}/P′′ ⊂ G_{1}/P′ für eine geeignete Untergruppe G′_{1} ⊂ G_{1}.

4.1 Die Kompaktifizierung

Sei (G_{1}, H_{1}, τ) ein irreduzibler Raum vom Cayley-Typ, Θ eine mit τ kommutierende Cartaninvolution von G_{1}, {γ_{1}, …, γ_{r}} ein System stark-orthogonaler Wurzeln und die E_{±j}, X_{j}, Y_{j} wie in Abschnitt 2 gewählt. Wir behalten auch die übrige Notation dieses Abschnitts bei. Sofern sie sich auf G_{1} bzw. 𝔤_{1} bezieht, schreiben wir die entsprechenden Größen wie in Abschnitt 3 mit einem zusätzlichen Index 1. Für den Stabilisator P′ von cK_{C}P^{−} hat man die Langlandszerlegung P′ = M′A′N′, wobei A′ = exp IRX^{0}, N′ die zu der Algebra 𝔫′ — der Summe der Eigenräume von ad X^{0} zu negativen Eigenwerten — gehörende analytische Untergruppe und MA = Z_{G_{1}}(X^{0}) ist. Weiter ist τ = Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0}) und H_{1} = Z_{G_{1}}(X^{0}) [H’O], so daß P′ ≃ H_{1} × N′.

Wir definieren σ(g) := Ad(exp \frac{π}{2}i ∑_{j=1}^{r} ϵ_{j}Y_{j})τ(g), wobei die ϵ_{j} ∈ \{±1\}

für j = 1, …, r beliebig gewählt werden können. Mit σ^{2}(g) = Ad (exp \frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}(Y_{j} + τY_{j})) τ^{2}(g) = g ist σ eine Involution und mit Θ(Y_{j}) = −Y_{j} ist ebenfalls unmittelbar klar, daß σ und Θ kommutieren. Eine 𝔰𝔩(2)-Rechnung zeigt exp(\frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}Y_{j}) exp(\frac{π}{2}i ∑ X_{j}) = exp(−\frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}H_{j}) und somit können wir σ auch durch σ(g) = Ad(exp −\frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}H_{j})(g) = Ad(exp \frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}H_{j})(g) definieren.

Wenn wir σ auf X_{j} anwenden, so ist σ(X_{j}) = e^{ad\frac{π}{2} iϵ_{j}Y_{j}}X_{j} = cos(ϵ_{j}π) X_{j} − sin(ϵ_{j}π) H_{j} = −X_{j} und daher ist 𝔞 = ∑ IRX_{j} ein maximaler abelscher Unterraum sowohl in 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ} als auch in 𝔭_{1}, wobei 𝔮_{1σ} der (−1)-Eigenraum der Involution σ ist. Außerdem ist aufgrund dieser Rechnung Ad (exp \frac{π}{2}iϵ_{j}Y_{j}) (exp(\frac{π}{2}iX_{j})) =

exp (Ad(exp \frac{π}{2}iϵ_{j}Y_{j}) (\frac{π}{2}iX_{j})) = exp (−\frac{π}{2}iX_{j}). Mit Einsetzen der Defini-

tionen erhalten wir damit στ(g) = ∏_{j=1}^{r} Ad (exp(\frac{π}{2}ϵ_{j}Y_{j}) exp(\frac{π}{2}iX_{j})) τ(g) =

∏_{j=1}^{r} Ad (exp(−\frac{π}{2}iX_{j}) exp(\frac{π}{2}ϵ_{j}Y_{j})) τ(g) = τσ(g), da τ Involution und somit τ^{−1} = τ

ist, d.h. auch σ und τ sind kommutierende Involutionen.

Als dritte Folgerung aus unsere Definition ergibt sich σ(𝔫′) = Θ(𝔫′) =: \overline{𝔫}′, da ja 𝔫′ die Summe der Eigenräume von ad X^{0} zu negativen Eigenwerten ist. Damit ist auch N′ ∩ G_{1}^{σ} = {e} und G_{1}^{σ} ∩ P′ = G_{1}^{σ} ∩ H_{1} =: H, so daß wir mit G := G_{1}^{σ} eine wohldefinierte und injektive Abbildung d̃: G/H → G_{1}/P′ erhalten. Es ist jetzt 𝔤_{1} = 𝔭′ + \overline{𝔫}′ und 𝔤_{1}^{σ} = 𝔭′ ∩ 𝔤_{1}^{σ} + φ(\overline{𝔫}′), wobei φ : 𝔤_{1} → 𝔤_{1} X ↦ \frac{1}{2}(X + σX) die Projektion auf 𝔤_{1}^{σ} gibt. Identifizieren wir daher wieder die Tangentialräume in eH bzw. eP′ mit φ(\overline{𝔫}′) und \overline{𝔫}′, so erhalten wir als Tangentialabbildung T_{eH} d̃: φ(\overline{𝔫}′) → \overline{𝔫}′, X + σX ↦ X, X ∈ \overline{𝔫}′. Damit ist d̃ eine Submersion [Va, Theorem 2.9.7].

Proposition 4.1 Sei σ(g) := Ad(exp \frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}H_{j})(g), so ist (G, H, τ) := (G_{1}^{σ}, (G_{1}^{σ})^{τ}, τ) ein schwach kompakt-kausaler symmetrischer Unterraum von (G_{1}, H, τ) und d̃: G/H → G_{1}/P′ eine kausale Kompaktifikation dieses Raums.

Beweis: Wir zeigen zunächst, daß das Bild d̃(G/H) dicht in G_{1}/P′ ist. Wie im letzten Abschnitt beweisen wir dieses, indem wir nachweisen, daß alle offenen Doppelrestklassen G_{1}^{σ}gP_{min}, wobei P_{min} eine noch geeignet zu wählende minimale parabolische Untergruppe ist, in G_{1}^{σ}P′ liegen.

Zuerst bestimmen wir mit Proposition 2.3 die offenen Mengen. Ein geeigneter maximaler abelscher Unterraum ist 𝔞 = ∑ IRX_{j}, da ja wie schon gezeigt 𝔞 ⊂ 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ} ist. Mit σΘ|_{𝔭_{1}∩𝔮_{1σ}} = id_{𝔭_{1}∩𝔮_{1σ}} gibt Bedingung (ii) keine Einschränkung und mit 𝔞 ∩ 𝔤_{1}^{σ} = {0} ist außerdem W_{σ}(𝔞) = W (𝔞), wobei die Weylgruppe wieder isomorph dem semidirekten Produkt (ZZ/2ZZ)^{r} × S_{r} ist.

Die Gruppe W (𝔞, K), wobei K := K_{1} ∩ G, kann als Weylgruppe der assoziierten Gruppe G_{a} := G_{1}^{σΘ} mit Liealgebra 𝔤_{a} = 𝔨_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σ} + 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ} berechnet werden. Wie sich aber zeigen wird, wird nur die Kenntnis einiger spezieller Elemente gebraucht. Die Doppelrestklassen, welche offenen Bahnen in G_{1}/P (𝔞, ∑^{+}) entsprechen, sind jetzt durch Gw_{v}P (𝔞, Σ^{+}) gegeben, wobei w_{v} ein Repräsentant der Restklasse v ∈ W (𝔞, K)\W (𝔞) ist.

Wir nutzen als nächstes Korollar 2.5 und Satz 2.4 um die offenen Doppelrestklassen in GP′ zu finden. Da 𝔞′ = IRX^{0}, ist 𝔷_{𝔤_{1}}(𝔞′ + σ𝔞′) = 𝔷_{𝔤_{1}}(X^{0}) = 𝔥_{1}. Nach Voraussetzung ist (𝔤_{1}𝔥_{1}, τ) vom Cayley-Typ und in diesem Fall ist 𝔷(𝔥_{1}) = 𝔞′ [H’O]. Da 𝔥_{1} auch der Leviteil der parabolischen Unteralgebra 𝔭′ ist, folgt aus den Eigenschaften der Langlandszerlegung auch 𝔪′′ = 𝔪′.

Sei 𝔞_{1} jetzt entsprechend der Bedingung (iii) von Korollar 2.5 gewählt. Mit 𝔞′ ⊂ 𝔞_{1} und der σ-Invarianz von 𝔞_{1} ist 𝔞_{1} = 𝔞′+𝔞_{1}∩𝔪′, wobei 𝔞_{1}∩𝔪′ ebenfalls σ-invariant ist. Lemma 7 aus [Ma 79], angewendet auf die halbeinfache zusammenhängende Liegruppe [M′, M′]_{0} mit Involution σ zeigt dann, daß Bedingung (iii) 𝔞_{1} ∩ 𝔪′′ schon eindeutig bis auf Ad(K ∩ [M′, M′]_{0})-Konjugiertheit bestimmt und somit a priori bis auf G ∩ P′-Konjugiertheit. Daher können wir ohne Einschränkung 𝔞_{1} = 𝔞 wählen.

Die Bedingungen (i) und (ii) desselben Korollars sind dann leer, da σΘ|_{𝔞} = id_{𝔞}. Mit 𝔭′ als Summe der Eigenräume von ad X^{0} zu nichtpositiven Eigenwerten ist 𝔞′_{+} = −IR^{+}X^{0}. Erfüllt jetzt Σ(𝔞)^{+} die in Satz 2.4 gegebene Bedingung, d.h. ist ⟨Σ(𝔞)^{+}, X^{0}⟩ < 0, dann tut dies w ∑(𝔞)^{+}, w ∈ W (𝔞), dann und nur dann auch, wenn

⟨wΣ(𝔞)^{+}, 𝔞′_{+}⟩ = −IR^{+}⟨Σ(𝔞)^{+}, wX^{0}⟩ > 0

oder äquivalent dazu wX^{0} = X^{0} ist. Dies zeigt, daß die zu offenen Bahnen gehörenden parabolischen Unteralgebren durch W (𝔞)_{𝔪′} und diese Bahnen selbst durch W (𝔞)_{𝔪′} ∩ W (𝔞, K)\W (𝔞)_{𝔪′} parametrisiert werden, wobei W (𝔞)_{𝔪′} := N_{K_{1}∩M′}(𝔞)/Z_{K_{1}∩M′}(𝔞) die Untergruppe der Weylgruppe ist, welche X^{0} fest läßt. Mit dem kommutativen Diagramm

W (𝔞)_{𝔪′} → W (𝔞) → W (𝔞, K)\W (𝔞)
↓ ↑ φ
W (𝔞)_{𝔪′} ∩ W (𝔞, K)\W (𝔞)_{𝔪′}

ist dann das Bild unter d̃ dicht, falls φ surjektiv ist.

Lemma 4.2 φ ist bijektiv.

Beweis: Identifizieren wir 𝔞 und den Dualraum dazu mittels der Killingform, so sind die uns interessierenden Wurzeln bis auf einen normierenden Faktor durch X_{j} = E_{j} + E_{−j} gegeben und die Weylgruppe wird durch die Permutationen und Vorzeichenänderungen dieser Elemente erzeugt. Da die Permutationen X^{0} = ∑_{j=1}^{r} X_{j}

fest lassen, ist unsere Behauptung bewiesen, wenn die die Vorzeichenänderungen gebenden Gruppenelemente in W (𝔞, K) liegen. Dies folgt aber aus X_{j}, Y_{j} ∈ 𝔭_{1} ∩𝔮_{1σ}, da damit [X_{j}, Y_{j}] = −2iH_{j} ∈ 𝔨_{1} ∩ 𝔤 und weiter mit einer 𝔰𝔩(2)-Rechnung

Ad(exp \frac{π}{2} iH_{j})X_{k} = \{ \begin{matrix}X_{k} & für k ≠ j \\ −X_{k} & für k = j \end{matrix}

ist. □

Als nächstes beweisen wir, daß G/H ein schwach kompakt-kausaler Unterraum des kompakt-kausalen Raums G_{1}/H_{1} ist. Wir erinnern an die Definition der kausalen Struktur auf G_{1}/H_{1} [H’O, Kapitel 1.6]: Indem man Y^{0} = ∑_{j=1}^{r} Y_{j} in

die (±2)-Eigenvektoren Y_{±} von ad X^{0} zerlegt, kann man die H_{1}-invarianten Kegel C_{±} = \overline{conv Ad(H_{1})_{0}IR^{+}Y_{±}} definieren. Dann ist C_{k} := C_{+} − C_{−} ein H_{1}-invarianter, abgeschlossener, konvexer und regulärer Kegel in 𝔮_{1}, dem (−1)-Eigenraum der Involution τ in 𝔤_{1}, mit C_{k} ∩ 𝔭_{1} = {0} und dieser definiert die kompakt-kausale Struktur von G_{1}/H_{1}. Es ist jetzt trivial zu verifizieren, daß Y_{+} = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{r}(Y_{j} − iH_{j})

und Y_{−} = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{r}(Y_{j} + iH_{j}) und mit σ(Y_{j}) = −Y_{j} bzw. σ(iH_{j}) = iH_{j} erhält man

σ(Y_{+}) = −Y_{−}. Damit ist dann σ(C_{±}) = −C\overline{+} und die σ-Invarianz von C_{k} bewiesen.

Lemma 4.3 Sei C ⊂ 𝔮_{1} ein konvexer, erzeugender — d.h. C − C = 𝔮_{1} — und σinvarianter Kegel und sei 𝔮_{1} = 𝔤_{1}^{σ} ∩ 𝔮_{1} + 𝔮_{1σ} ∩ 𝔮_{1} die Zerlegung in (±1)-Eigenräume von σ. Dann ist C ∩ 𝔤_{1}^{σ} ∩ 𝔮_{1} = pr_{𝔤_{1}^{σ}∩𝔮_{1}}C und dieser Kegel ist erzeugend in 𝔤_{1}^{σ} ∩ 𝔮_{1}.

Beweis: Zu v ∈ pr_{𝔤_{1}^{σ}∩𝔮_{1}}C existiert w ∈ 𝔮_{1σ} ∩ 𝔮_{1}, so daß v + w ∈ C. Wegen der σ-Invarianz ist v − w ∈ C und daher auch v = \frac{1}{2}(v + w) + \frac{1}{2}(v − w) ∈ C, womit pr C ⊂ C ∩ 𝔤_{1}^{σ} ∩ 𝔮_{1} gezeigt ist. Die ander Inklusion ist trivial und schließlich ist 𝔤_{1}^{σ} ∩ 𝔮_{1} = pr (C − C) = pr C − pr C. □

Da C_{k} konvex, abgeschlossen, regulär und H_{1}-invariant ist, ist nach dem eben Bewiesenen C_{k} ∩ 𝔤 ∩ 𝔮_{1} ein konvexer, abgeschlossener, H-invarianter und regulärer Kegel in 𝔤 ∩ 𝔮_{1} und damit G/H schwach kompakt-kausal, da Y_{+} − Y_{−} ∈ C_{k} ∩ 𝔨 ∩ 𝔮_{1} und C_{k} ∩ 𝔤 ∩ 𝔭_{1} = {0} ist.

Bemerkung. Nach dem Gezeigten ist klar, daß C_{p} := C_{+} + C_{−} durch σ auf −C_{p} abgebildet wird und daher ist G/H kein kausaler Unterraum des Cayleyraums G_{1}/H_{1}, wenn wir die kausale Struktur auf diesem durch C_{p} definieren. Dagegen zeigt man für den zu G/H assoziierten Raum G_{a}/H_{1} ∩ G_{a} mit derselben Argumentation wie oben, daß er ein kausaler Unterraum für beide Strukturen ist.

Wir kommen jetzt zum Schluß des Beweises von Proposition 4.1. Zunächst folgt aus den in Abschnitt 2 zitierten Resultaten, daß die Abbildung d̃_{1} : G_{1}/H_{1} → G_{1}/P kausal ist. Tatsächlich wird die Tangentialabbildung an der Restklasse der Identität durch die Projektion von 𝔮^{−} + 𝔮^{+} auf 𝔮^{+} gegeben und diese Abbildung wirft C_{k} auf C_{+}. Da aber wie gezeigt G/H ⊂ G_{1}/H_{1} ein kausaler Unterraum ist, so ist klar, daß die Abbildung d̃ als Einschränkung von d̃_{1} ebenfalls kausal ist. □

Beispiel 4.4 (Kausale Kompaktifizierung von U(p, q)/O(p, q)):

Mit G_{1} = Sp(n, IR) benutzen wir die schon in Beispiel 3.4 eingeführten Größen und haben dann

σ(g) = Ad (exp −\frac{π}{2} ∑_{j=1}^{n} ϵ_{j} ( \begin{matrix}0 & E_{jj} \\ −E_{jj} & 0 \end{matrix} )) (\overline{g}) = Ad (∑_{j=1}^{n} ( \begin{matrix}0 & −ϵ_{j}E_{jj} \\ ϵ_{j}E_{jj} & 0 \end{matrix} )) (\overline{g}).

Wählen wir ϵ_{j} = −1, j = 1, …, p, und ϵ_{j} = 1, j = p + 1, …, n, so erhalten wir als Fixpunktgruppe

G := G_{1}^{σ} = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & 0 & B_{2} \\ 0 & A_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & \overline{B}_{2} & \overline{A}_{1} & 0 \\ \overline{B}_{3} & 0 & 0 & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) | \begin{matrix}A_{1} ∈ M(p × p, C), A_{4} ∈ M(q × q, C), \\ B_{2} ∈ M(p × q, C), B_{3} ∈ M(q × p, C), \\ ^{t}\overline{A}A −^{t} B\overline{B} = 1, \\ ^{t}A\overline{B} =^{t} \overline{B}A \end{matrix} \} .

Lemma 4.5 φ : G → U(p, q) ( \begin{matrix}A & B \\ \overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ↦ ( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ \overline{B}_{3} & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) ist ein Gruppenisomorphismus.

Beweis: Durch direkte Rechnung zeigt man sofort, daß die Abbildung ein Monomorphismus ist und für die Liealgebren einen Isomorphismus definiert. Die Gleichungen ^{t}\overline{A}A −^{t} B\overline{B} = 1 und ^{t}A\overline{B} =^{t} \overline{B}A sind dann äquivalent zu den definierenden Relationen ^{t}\overline{A}_{1}A_{1} −^{t} B_{3}\overline{B}_{3} = I, ^{t}\overline{A}_{4}A_{4} −^{t} B_{2}\overline{B}_{2} = I und ^{t}A_{1}\overline{B}_{2} =^{t} \overline{B}_{3}A_{4} für U(p, q). □

τ ist hier durch komplexe Konjugation gegeben und somit ist H := G^{τ} die Untergruppe aller reellen Matrizen, wobei diese Untergruppe durch φ auf O(p, q) abgebildet wird. Bezeichnet Š_{1} den Bergman-Šilov-Rand von Sp(n, IR)/GL(n, IR) in der Harish-Chandra-Realisierung [Wo, He], so erhalten wir die Kompaktifizierung

\begin{matrix}U(p, q)/O(p, q) & → & Š_{1} \\ ( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ \overline{B}_{3} & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) O(p, q) & ↦ & ( \begin{matrix}−A_{1} & B_{2} \\ B_{3} & −A_{4} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\overline{A}_{1} & −\overline{B}_{2} \\ −\overline{B}_{3} & \overline{A}_{4} \end{matrix} )^{−1}. \end{matrix}

Bemerkung. Wählen wie alle ϵ_{j} gleich 1 oder −1, so ist dann σ = Ad(exp \frac{π}{2}i ∑ H_{j})) = Ad(exp πZ^{0}) = Θ_{r}, da für Räume vom Tubentyp Z^{0} = −\frac{i}{2} ∑ H_{j} ist, und G = K_{1} kompakt. Da der Bergman-Šilov-Rand zusammenhängend ist, wird in diesem Fall unsere ,,Kompaktifizierung“ ein kausaler Diffeomorphismus. In dem Beispiel erhält man damit z.B. Š_{1} ≃ U(n)/O(n).

Allgemein läßt sich noch etwas mehr über die Struktur von 𝔤 und 𝔥_{1} sagen, wenn wir das folgende einfache Lemma anwenden.

Lemma 4.6 Sei (𝔤, 𝔨, Θ) irreduzibel, Hermitesch und nichtkompakt. Sei φ eine mit Θ kommutierende Involution, dann ist dim 𝔷(𝔤^{φ}) ≤ 1.

Beweis: Die Riemannsche duale Algebra 𝔤^{r} zu (𝔤, 𝔤^{φ}, φ) ist einfach mit einfacher Komplexifizierung 𝔤_{C}^{r} = 𝔤_{C}. Damit ist 𝔤^{r} irreduzibel orthogonal symmetrisch vom Typ III [He, S. 379] und die maximale kompakte Unteralgebra (𝔤^{φ}∩𝔨)⊕i(𝔤^{φ}∩𝔭) von 𝔤^{r} hat ein Zentrum 𝔠 mit Dimension kleiner oder gleich Eins. Θ ist eine Involution dieser Unteralgebra, so daß 𝔠 = 𝔤^{φ} ∩ 𝔨 ∩ 𝔠 + i(𝔤^{φ} ∩ 𝔭) ∩ 𝔠 und somit 𝔷(𝔤^{φ}) = 𝔤^{φ} ∩ 𝔨 ∩ 𝔠 + i(i(𝔤^{φ} ∩ 𝔭) ∩ 𝔠) ist. □

Wenden wir dies auf die Involutionen σ und τ an, so folgt

Korollar 4.7 𝔷(𝔤) = IR(∑ ϵ_{j}iH_{j}) ⊂ 𝔮 ∩ 𝔨 und 𝔷(𝔥_{1}) = IRX^{0} ⊂ 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1} ∩ 𝔮_{1σ}.

Zu dem symmetrischen Raum (𝔨_{1}, σ) definiert man mit der Eigenraumzerlegung 𝔨_{1} = 𝔨+𝔨_{1}∩𝔮_{1σ} den c-dualen Raum 𝔨_{1}^{c} = 𝔨+i(𝔨_{1}∩𝔮_{1σ}), für den σ eine Cartaninvolution ist. Es gilt dann:

Lemma 4.8 (𝔤, Θ) ≃ (𝔨_{1}^{c}, σ)

Beweis: Sei B := \frac{π}{2}i (∑_{\{j|ϵ_{j}=1\}} H_{j} − ∑_{\{j|ϵ_{j}=−1\}} Y_{j}), so ist Ad(exp B)(H_{j}) = ϵ_{j}H_{j} und Ad(exp B)^{2} = id, wie jeweils eine 𝔰𝔩(2)-Rechnung zeigt. Mit Z^{0} = −\frac{i}{2} ∑ H_{j} ist Θ_{r} := Ad(exp πZ^{0}) = Ad(exp \frac{π}{2}i ∑ H_{j}) und mit σ = Ad(exp \frac{π}{2}i ∑ ϵ_{j}H_{j}) folgt dann unmittelbar Ad(exp B) ∘ Θ_{r} = σ ∘ Ad(exp B). Ad(exp B) gibt damit einen Isomorphismus zwischen den Fipunktmengen beider Involutionen in 𝔤_{1C}, Ad(exp B) : 𝔤_{C} = (𝔤_{1}^{σ})_{C} → 𝔨_{1C}. Mit B ∈ 𝔨_{1} + i𝔭_{1} ist trivialerweise die Unteralgebra 𝔨_{1} + i𝔭_{1} Ad(exp B)-invariant, so daß 𝔨_{1} = 𝔨_{1C} ∩ (𝔨_{1} + i𝔭_{1}) auf 𝔤_{C} ∩ (𝔨_{1} + i𝔭_{1}) = 𝔨 + i𝔭 abgebildet wird. Da durch Ad(exp B) auch der (−1)-Eigenraum von σ in den (−1)- Eigenraum von Θ überführt wird, womit Ad(exp B)(𝔨_{1} ∩ 𝔮_{1σ}) = i𝔭 folgt, erhalten wir den gesuchten Isomorphismus mit Ad(exp B) : 𝔨_{1}^{c} = 𝔨 + i(𝔨_{1} ∩ 𝔮_{1σ}) → 𝔨 + 𝔭 = 𝔤. □

Mit 𝔤_{C} ≃ (𝔨_{1}^{c})_{C} zeigt die Klassifikation der irreduziblen Algebren (𝔤_{1}, 𝔥_{1}, τ) vom Cayley-Typ bzw. der entsprechenden Hermiteschen symmetrischen Algebren (𝔤_{1}, 𝔨_{1}, Θ) [He, S. 518], daß für irreduzibles 𝔤_{1} mit Ausnahme von 𝔤_{1} = 𝔰𝔲(n, n) dann 𝔤 = 𝔷(𝔤) + [𝔤, 𝔤] mit einfacher Kommutatoralgebra, also ([𝔤, 𝔤], 𝔥, τ) irreduzibel ist. Für 𝔤_{1} = 𝔰𝔲(n, n) liefert direkte Rechnung — vgl. Abschnitt 7.1 —, ([𝔤, 𝔤], 𝔥, τ) ≃ (𝔤̃ × 𝔤̃, Δ𝔤̃, τ̃) mit einfachem 𝔤̃ und τ̃ : 𝔤̃ × 𝔤̃ → 𝔤̃ × 𝔤̃ (X, Y) ↦ (Y, X), so daß dieser Raum ebenfalls irreduzibel ist.

4.2 Zur Zerlegung in Bahnen

Bei einer Bestimmung der Bahnen analog zu dem Vorgehen in Abschnitt 3 sind zuerst die G ∩ K_{1}-Konjugationsklassen σ-stabiler maximaler abelscher Unterräume von 𝔭_{1} zu finden. Da G_{1}^{σ} ∩ K_{1} = G_{1}^{σΘ} ∩ K_{1}, sind diese auch die G_{a} ∩ K_{1}- Konjugationsklassen σΘ-stabiler Unterräume und nach Theorem 2.7 genügt es, die nichtäquivalenten 𝔮_{1a}-orthogonalen Systeme von Σ(𝔞) zu finden, wobei 𝔮_{1a} für den (−1)-Eigenraum der Involution σΘ steht.

Der Vollständigkeit halber geben wir hier den Zusammenhang zwischen 𝔮_{1a}- und 𝔮_{1σ}-orthogonalen Systemen an. Dazu wählen wir zuerst ein entsprechend der Bedingung in Theorem 2.7 normiertes 𝔮_{1a}-orthogonales System Q_{a,max} mit |Q_{a,max}| maximal, so daß nach Theorem 2.7 und mit den dort eingeführten Notationen

𝔞_{1} = Ad ( ∏_{X_{α}∈Q_{a,max}} exp \frac{π}{2} (X_{α} + X_{−α})) 𝔞 = ∑_{X_{α}∈Q_{a,max}} IR(X_{α} − X_{−α}) + 𝔞_{Q_{a,max},+}

σΘ- bzw. σ-stabil und 𝔞_{1} ∩ 𝔭 maximal abelsch in 𝔭 ist. Nach Lemma 7 in [Ma 79] ist dabei Q_{a,max} durch die Mächtigkeitsbedingung bis auf W (𝔞, G_{a}∩K_{1})-Konjugiertheit, d.h. Äquivalenz, eindeutig.

Lemma 4.9 Sei Q_{a} ⊂ Q_{a,max}, dann ist Q = Ad(c(Q_{a}))Q_{a} ein q_{1σ}-orthogonales System von Σ(𝔞_{1,+}) und 𝔞_{Q} := Ad(c(Q))𝔞_{1} = Ad(c(Q_{a}))𝔞_{1}.

Beweis: Mit der in Theorem 2.7 gegebenen Normierung ist für X_{α} ∈ Q_{a,max} [X_{α}, X_{−α}] = −\frac{1}{2⟨α,α⟩}H_{α}, so daß für X_{α} ∈ Q_{a} dann Ad(c(Q_{a}))X_{α} = exp(ad\frac{π}{2}(X_{α} + X_{−α}))X_{α} = \frac{1}{2}(X_{α} + X_{−α}) + \frac{1}{2⟨α,α⟩}H_{α} =: X̃_{α} ist. Mit X_{α} ∈ 𝔮_{1a} und H_{α} ∈ 𝔤_{a} ∩ 𝔭_{1} folgt sofort σ(X̃_{α}) = −X̃_{α} und auch Bedingung (ii) aus Definition 2.6 ist für die transformierten Elemente X̃_{α} offensichtlich erfüllt. Für X_{β} ∈ Q_{a,max} ist [X_{β} − X_{−β}, X̃_{α}] = −δ_{αβ}X̃_{α} und nach der Definition von 𝔞_{Q_{a,max},+} ist weiter [𝔞_{Q_{a,max},+}, X̃_{α}] = 0, so daß X̃_{α} ein Wurzelvektor zu α̃ ∈ Σ(𝔞_{1}) mit Hα̃ ∈ Σ(𝔞_{1,+}) ist, was die erste Behauptung beweist. Mit X̃_{α}+ΘX̃_{α} = X_{α}+X_{−α} ist die zweite Aussage jetzt trivial. □

Lemma 4.10 Sei 𝔤_{1} = 𝔪_{1}+𝔞+∑_{γ∈Σ(𝔞)} 𝔤_{1,γ} die Wurzelraumzerlegung, wobei Σ(𝔞) = \{±γ_{j} | 1 ≤ j ≤ r\} ∪ \{(±\frac{1}{2}γ_{s}) + (±\frac{1}{2}γ_{t}) | 1 ≤ s < t ≤ r\} und 𝔪_{1} = 𝔷_{𝔨_{1}}(𝔞) ist, dann gilt

1) 𝔤_{a} ⊃ 𝔪_{1} + 𝔞 + ∑_{j=1}^{r}(𝔤_{1,γ_{j}} + 𝔤_{1,−γ_{j}})

2) 𝔤_{1,γ} = 𝔤_{1,γ} ∩ 𝔤_{a} + 𝔤_{1,γ} ∩ 𝔮_{1a}.

Beweis: Da [𝔨_{1C}, 𝔭_{1}^{±}] ⊂ 𝔭_{1}^{±} folgt mit X_{j} = E_{j} +E_{−j} für X ∈ 𝔪_{1} erst [X, E_{±j}] = 0 und somit [X, Y_{j}] = 0. Mit der Definition von σ ist dann σΘ(X) = σ(X) = X. Die Wurzelräume 𝔤_{1,±γ_{j}} sind eindimensional, wie Arakis Klassifikation der reellen halbeinfachen Liealgebren zeigt [He, S. 532ff], und mit [X_{k}, Y_{j} ∓ iH_{j}] = δ_{kj}2(−iH_{j} ± Y_{j}) ist offensichtlich 𝔤_{1,±γ_{j}} = IR(Y_{j} ∓ iH_{j}). Da σΘ(Y_{j}) = Y_{j} und σΘ(iH_{j}) = iH_{j} ist, folgt die erste Aussage. Die zweite gilt trivialerweise, da σΘ|_{𝔞} = id_{𝔞}. □

Wie der Beweis des Lemmas zeigt, sind X_{j}, Y_{j} ∈ 𝔤_{a} ∩ 𝔭_{1}. Damit sind — vgl. den Beweis von Lemma 4.2 — die Wurzeln \frac{1}{2}γ_{s}+ \frac{1}{2}γ_{t}, \frac{1}{2}γ_{s}− \frac{1}{2}γ_{t}, −\frac{1}{2}γ_{s}+ \frac{1}{2}γ_{t} und −\frac{1}{2}γ_{s}− \frac{1}{2}γ_{t} alle W (𝔞, G_{a} ∩ K_{1})-konjugiert. Bei der Bestimmung der 𝔮_{1a}-orthogonalen Systeme kann man sich also z.B. auf die Wurzelräume 𝔤_{1,γ} mit γ ∈ \{\frac{1}{2}γ_{s}− \frac{1}{2}γ_{t} | 1 ≤ s < t ≤ r\} beschränken.

Beispiel 4.11 (𝔮_{1a}-orthogonalen Systeme für (𝔤_{1}, 𝔤) = (𝔰𝔭(n, IR), 𝔲(p, q))): Wir behalten die Notation von Beispiel 4.4 bei. Sei

X_{s,t} := ( \begin{matrix}E_{s,t} − E_{t,s} & E_{s,t} + E_{t,s} \\ E_{s,t} + E_{t,s} & E_{s,t} − E_{t,s} \end{matrix} ) ∈ 𝔤_{1},

1 ≤ s < t ≤ n. Mit [∑ r_{j}X_{j}, X_{s,t}] = 2(r_{s} − r_{t})X_{s,t} ist dann 𝔤_{1, \frac{1}{2} γ_{s}− \frac{1}{2} γ_{t}} = IRX_{s,t}, da für 𝔰𝔭(n, IR) als normale reelle Form von 𝔰𝔭(n, C) alle Wurzelräume eindimensional sind. Wir haben außerdem

𝔤_{a} = \{( \begin{matrix}Z_{1} & 0 & W_{1} & 0 \\ 0 & Z_{4} & 0 & W_{4} \\ \overline{W}_{1} & 0 & \overline{Z}_{1} & 0 \\ 0 & \overline{W}_{4} & 0 & \overline{Z}_{4} \end{matrix} ) | \begin{matrix}Z_{1}, W_{1} ∈ M(p × p, C) \\ Z_{4}, W_{4} ∈ M(q × q, C) \\ Z_{j} schiefhermitesch \\ W_{j} symmetrisch \end{matrix} \} ≃ 𝔰𝔭(p, IR) × 𝔰𝔭(q, IR)

und

𝔮_{1a} = \{( \begin{matrix}0 & Z_{2} & 0 & W_{2} \\ −^{t}\overline{Z}_{2} & 0 & ^{t}W_{2} & 0 \\ 0 & \overline{W}_{2} & 0 & \overline{Z}_{2} \\ ^{t}\overline{W}_{2} & 0 & −^{t}Z_{2} & 0 \end{matrix} ) | Z_{2}, W_{2} ∈ M(p × q, C) \} .

Damit liegen die 𝔤_{1, \frac{1}{2} γ_{s}− \frac{1}{2} γ_{t}} mit 1 ≤ s ≤ p und p + 1 ≤ t ≤ n in 𝔮_{1a}, während diejenigen mit 1 ≤ s < t ≤ p oder p + 1 ≤ s < t ≤ n in 𝔮_{1} liegen. Für die Wurzelraumzerlegung von 𝔰𝔭(n, IR) als normale reelle Form von 𝔰𝔭(n, C) gilt [He, Thm. 4.3, S. 168] entsprechend, so daß [X_{s,t}, X_{k,l}] = [X_{s,t}, ΘX_{k,l}] = 0 genau dann, wenn {s, t} ∩ {k, l} = ∅. Außerdem ist die Weylgruppe W (𝔞, G_{a} ∩ K_{1}) als Weylgruppe der assoziierten Gruppe G_{a} ⊂ G_{1} isomorph zu (ZZ/2ZZ)^{n} × (S_{p} × S_{q}), wobei die Permutationen nur die p ersten bzw. q letzten Indices von (X_{1}, …, X_{n}) untereinander vertauschen. Die Äquivalenzklassen 𝔮_{1a}-orthogonaler Systeme Q_{a,j} werden daher allein durch die Mächtigkeit |Q_{a,j}| bestimmt und als Vertretersystem können wir z.B. ∅, {X_{1,p+1}}, …, {X_{1,min(p,q)+1}, X_{2,min(p,q)+2}, …, X_{min(p,q),2 min(p,q)}} wählen.

Das Auftreten mehrerer Konjugationsklassen erschwert ein weiteres Vorgehen analog zu dem Beweis von Satz 3.5. Eine vollständige Bestimmung der G-Bahnen des Bergman-Šilov-Randes liegt daher im Moment noch nicht vor. An dieser Stelle sei daher nur die folgende Vermutung aufgestellt:

Vermutung. Sei Q_{a,ν}, ν = 1, …, m, ein vollständiges Vertretersystem der 𝔮_{1a}- orthogonalen Systeme, dann existieren s_{ν} ∈ W (𝔞), so daß die Zerlegung in G-Bahnen durch Š_{1} = ⋃_{ν=1}^{m} G (s_{ν}c(Q_{a,ν}))^{−1} cx_{0} gegeben wird.

4.3 Kausale Kompaktifizierung für weiter eingeschränkte Unterräume

Sei G′_{1} ⊂ G_{1} eine abgeschlossene Untergruppe, invariant unter σ, τ und Θ, und so gewählt, daß G′_{1}/K′_{1}, wobei K′_{1} := K_{1} ∩ G′_{1}, Hermitesch symmetrisch vom Tubentyp ist. Wie in Abschnitt 4.1 gezeigt, ist G/H kompakt-kausal und d̃: G/H → G_{1}/P′ eine kausale Kompaktifizierung. Unser Ziel ist es jetzt zu zeigen, daß wir durch geeignete Wahl von G′_{1} und anderer relevanter Größen einen kausalen Unterraum G′/H′ ⊂ G/H und dessen kausale Kompaktifizierung d̃′ : G′/H′ → G′_{1}/P′′ erhalten, wenn die Gruppen bzw. die Abbildung durch Schneiden mit G′_{1} bzw. Einschränkung definiert werden. Für unsere Diskussion nehmen wir auch an, daß G′_{1} als Fixpunktgruppe einer Involution ρ, also G′_{1} = G_{1}^{ρ}, gegeben ist.

Proposition 4.12 Sei ρ eine mit σ kommutierende Involution von G_{1}. Sei G′_{1} := G_{1}^{σ} die Fixpunktgruppe von ρ mit Liealgebra 𝔤′_{1} derart, daß G′_{1}/K′_{1} Hermiteschsymmetrisch vom Tubentyp ist. Es seien die Wurzelvektoren E_{±j} ∈ 𝔤_{1C} und λ_{j′j} ∈ IR, j = 1, …, r und j′ = 1, …, s, so gewählt, daß sie folgende Bedingungen erfüllen:

(i) Die Elemente E′_{±j′} := ∑_{j=1}^{r} λ_{j′j}E_{±j}, j′ = 1, …, s, sind Wurzelvektoren für ein

System stark-orthogonaler Wurzeln γ′_{j′}, j′ = 1, …, r′, von 𝔤′_{1}.

(ii) Mit X′_{j′} := E′_{j′} + E′_{−j′} und Y′_{j′} := iE′_{j′} − iE′_{−j′} ist X^{0} = ∑_{j′=1}^{s} X′_{j′} und Y^{0} :=

∑_{j=1}^{r} Y_{j} = ∑_{j′=1}^{s} Y′_{j′}.

(iii) ∑_{j′=1}^{s} IRX′_{j′} ist maximal abelsch in 𝔭′_{1} ∩ 𝔮_{1σ}.

Dann ist G′/H′ schwach kompakt-kausal und d̃′ : G′/H′ → G′_{1}/P′′ ist eine kausale Kompaktifizierung dieses Raums.

Bemerkung. Da 𝔤_{1} vom Tubentyp ist, ist Z^{0} = \frac{1}{4}[X^{0}, Y^{0}] und wegen Bedingung (ii) sind X^{0}, Y^{0} ∈ 𝔤′_{1}. Daher ist 𝔤′_{1} τ- und Θ_{(r)}-invariant. Analog ist die Liealgebra 𝔤′_{1} σ-invariant, falls ∑_{j=1}^{r} ϵ_{j}Y_{j} ∈ 𝔤′_{1}. Für G′_{1} als Fixpunktgruppe der Involution ρ reichen dieselben Bedingungen für die Invarianz der Gruppe und (iii) ist äquivalent zu der Bedingung, daß 𝔤′_{a} := 𝔤′_{1} ∩ 𝔤_{1}^{σΘ} reellen Rang s hat.

Beweis: Da Z^{0} ∈ 𝔤′_{1}, erhalten wir K′_{1C} und P^{±}′, indem wir die ungestrichenen Gruppen jeweis mit G′_{1C} schneiden. Somit ist G′_{1C}/K′_{1C}P^{−}′ ⊂ G_{1C}/K_{1C}P^{−} eine abgeschlossene Teilmenge und, mit c ∈ G′_{1C}, ist Š′ := G′_{1}cx_{0} = Š ∩ G′_{1C}/K′_{1C}P^{−}′, womit dann auch Š′ ein abgeschlossene G′_{1}-Bahn ist. Nun liegt cx_{0} im Komplement von G′_{1}/K′_{1}, da cx_{0} ja im topologischen Rand der offenen Menge G_{1}/K_{1} liegt, und (exp(nX^{0})x_{0})_{n∈IN} ist eine gegen cx_{0} konvergierende Folge in G′_{1}/K′_{1} [He, Kor. 7.18, S. 396]. Somit ist Š′ eine G′_{1}-Bahn im topologischen Rand von G′_{1}/K′_{1} und aufgrund der Abgeschlossenheit gleich dem Bergman-Šilov-Rand von G′_{1}/K′_{1}. Wir haben damit eine injektive Abbildung

d̃′ : G′/H′ → G′_{1}/P′′

in den Bergman-Šilov-Rand von G′_{1}/K′_{1}, welche auch eine Submersion ist, wie man bei Betrachtung der Tangentialabbildung sofort sieht.

Im nächsten Schritt zeigen wir die dichte Lage des Bildes mit dem schon bekannten Vorgehen. Zunächst ist 𝔭′′ = 𝔭′ ∩ 𝔤′_{1} = 𝔪′ ∩ 𝔤′_{1} + 𝔞′ + 𝔫′ ∩ 𝔤′_{1} maximal parabolisch mit einer Langlandszerlegung, die sich — wie angegeben — aus derjenigen von 𝔭′ durch Schneiden mit 𝔤′_{1} ergibt. Dann ist (𝔪′′)′ := 𝔪′′ ∩ 𝔤′_{1} = 𝔪′ ∩ 𝔤′_{1} =: (𝔪′)′ und wir wählen 𝔞′_{1} = ∑_{j′=1}^{r′} IRX′_{j′} ⊃ ∑_{j′=1}^{s} IRX′_{j′} ⊃ 𝔞′ als maximalen abelschen Unterraum in 𝔭′_{1}. Allgemein ist mit (iii) solch ein Unterraum 𝔞′_{1} σ-invariant und erfüllt jeweils Bedingung (iii) in Proposition 2.3 — wodurch seine Ad(K′_{1}∩G′)-Konjugationsklasse bestimmt ist — bzw. Korollar 2.5. Bedingung (i) in Korollar 2.5 ist hier leer, da σΘ|_{𝔞′} = id_{𝔞′}. Sei Σ(𝔞′_{1})^{+} jetzt σΘ-verträglich, dann ist wΣ(𝔞′_{1})^{+} dann und nur dann ebenfalls σΘ-verträglich, wenn w ∈ W_{σ}(𝔞′_{1}), da ja — unter Identifizierung von 𝔞′_{1} und seinem Dualraum — 𝔞′_{1} ∩ 𝔤′_{1} von Σ(𝔞′_{1} ∩ 𝔤′_{1})^{(+)} aufgespannt wird. Dieselbe Einschränkung erhält man durch Bedingung (ii) in Korollar 2.5, da ein H ∈ 𝔞′_{1} ∩ 𝔤′_{1} immer senkrecht auf 𝔞′_{1} ∩ 𝔮′_{1} steht und so Σ(𝔞′_{1} ∩ 𝔤′_{1}) ⊂ Σ(𝔞′_{1})_{(𝔪′′)′} ist. Wie im Beweis von Proposition 4.1 sehen wir unter Verwendung von Satz 2.4, daß die 𝔭(𝔞′_{1}, Σ(𝔞′_{1})^{+}) in 𝔭′′ durch W (𝔞′_{1})_{(𝔪′)′} := {w ∈ W (𝔞′_{1})|w(X^{0}) = X^{0}} parametrisiert werden. Entsprechend erhalten wir für die parametrisierenden Mengen der offenen Bahnen ein Diagramm

W (𝔞′_{1})_{(𝔪′)′} ∩ W_{σ}(𝔞′_{1}) → W_{σ}(𝔞′_{1}) → W (𝔞′_{1}, K_{1} ∩ G′)\W_{σ}(𝔞′_{1})
↓ ↑ φ
W (𝔞′_{1})_{(𝔪′)′} ∩ W (𝔞′_{1}, K_{1} ∩ G′)\W (𝔞′_{1})_{(𝔪′)′} ∩ W_{σ}(𝔞′_{1}),

wobei wiederum die Surjektivität von φ zu zeigen bleibt.

Dazu bemerken wir, daß die Weylgruppe W (𝔞′_{1}) ≃ (ZZ/2ZZ)^{r′} × S_{r′} aus den durch Permutation und Vorzeichenwechsel der X′_{j′} definierten Abbildungen besteht. Da 𝔞′_{1} ∩ 𝔮′_{1} = ∑_{j′=1}^{s} IRX′_{j′} und nach Voraussetzung X^{0} = ∑_{j′=1}^{s} X′_{j′}, erhalten wir W_{σ}(𝔞′_{1}) ≃ (ZZ/2ZZ)^{r′} × (S_{s} × S_{r′−s}) bzw. W (𝔞′_{1})_{(𝔪′)′} ≃ ({e_{(ZZ/2ZZ)^{s}}} × (ZZ/2ZZ)^{r′−s}) × (S_{s} × S_{r′−s}). Es ist aber X_{j}, Y_{j} ∈ 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ}, so daß wegen Bedingung (i) X′_{j′}, Y′_{j′} ∈ 𝔭′_{1} ∩ 𝔮_{1σ}, für j′ ≤ s, und dann ist [X′_{j′}, Y′_{j′}] = −2iH′_{j′} ∈ 𝔨_{1} ∩ 𝔤′_{1}. Jetzt folgt die Surjektivität von φ wie im Beweis von Lemma 4.2.

Es bleibt noch die Kausalität von G′/H′ und d̃′ zu zeigen. Um die Verträglichkeit unserer Einschränkungen mit den gegebenen kausalen Strukturen auf G/H bzw. G_{1}/P′ nachzuweisen, genügt es gemäß Lemma 4.3 die ρ-Invarianz von C_{k} ⊂ 𝔮_{1} bzw. C_{+} ⊂ 𝔮_{1}^{+} zu überprüfen. Mit C_{±} = \overline{conv Ad(H_{1})_{0}IR^{+}Y_{±}} und C_{k} = C_{+} − C_{−} reicht es dazu aus ρ(Y_{±}) = Y_{±} zu zeigen. Es ist aber Y_{±} = \frac{1}{2} ∑_{j=1}^{r}(Y_{j} ∓ iH_{j}) = \frac{1}{2}Y^{0} ± Z^{0} ∈ 𝔤′_{1} und zusätzlich gilt Y_{+} − Y_{−} = 2Z^{0} ∈ 𝔷(𝔨′_{1}), so daß G′/H′ auch schwach kompaktkausal ist. □

Bemerkung. Da C_{p} = C_{+} + C_{−} auch ρ-invariant ist, läßt sich wie schon in Abschnitt 4.1 sowohl die durch C_{k} als auch die durch C_{p} definierte kausale Struktur von G_{1}/H_{1} auf den dualen Raum G′_{a}/H_{1} ∩ G′_{a} einschränken.

Beispiel 4.13 (Die kausale Kompaktifizierung für Sp(n, IR) × Sp(n, IR)/Sp(n, IR): Mit G_{1} = SU(2n, 2n) sei G′_{1} = \{( \frac{A}{B} \frac{B}{A} ) ∈ SU(2n, 2n)\} ≃ Sp(2n, IR), die Fix-

punktgruppe von ρ(g) = Ad ( \begin{matrix}0 & I_{2n} \\ I_{2n} & 0 \end{matrix} ) (\overline{g}). Als Wurzelvektoren wählen wir abwei-

chend von den in Beispiel 4.4 benutzten E_{j} = ( \begin{matrix}0 & E_{j,j+n} \\ 0 & 0 \end{matrix} ), E_{−j} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ E_{j+n,j} & 0 \end{matrix} ),

E_{j+n} = ( \begin{matrix}0 & E_{j+n,j} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) und E_{−j−n} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ E_{j,j+n} & 0 \end{matrix} ), für j = 1, …, n, und dann E′_{±j′} =

E_{±j′} +E_{±(j′+n)}. Direkte Rechnung zeigt sofort, daß E′_{j′+n} = ( \begin{matrix}0 & E_{j′j′} + E_{j′+n,j′+n} \\ 0 & 0 \end{matrix} )

zusammen mit E′_{−j′−n} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ E_{j′j′} + E_{j′+n,j′+n} & 0 \end{matrix} ), j′ = 1, …, n, unser System ge-

strichener Vektoren zu einem System stark-orthogonaler Vektoren vervollständigt, welches den Bedingungen (i) und (ii) aus Proposition 4.12 genügt. Mit ϵ_{j} =

1 bzw. ϵ_{j+n} = −1 für j = 1, …, n ist σ(g) = Ad ( \begin{matrix}I_{n,n} & 0 \\ 0 & I_{n,n} \end{matrix} ) (g) und da

[( \begin{matrix}I_{n,n} & 0 \\ 0 & I_{n,n} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & I_{2n} \\ I_{2n} & 0 \end{matrix} )] = 0 ist, so ist die Untergruppe G′_{1} auch σ-invariant,

wobei die eingeschränkte Fixpunktgruppe von σ durch

G′ = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & B_{1} & 0 \\ 0 & A_{4} & 0 & B_{4} \\ \overline{B}_{1} & 0 & \overline{A}_{1} & 0 \\ 0 & \overline{B}_{4} & 0 & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) | \begin{matrix}^{t}A_{i}\overline{A_{i}} −^{t} \overline{B_{i}}B_{i} = I, \\ ^{t}A_{i}\overline{B_{i}} =^{t} \overline{B_{i}}A_{i}, i ∈ \{1, 4\} \end{matrix} \} ≃ Sp(n, IR) × Sp(n, IR)

gegeben ist. Weiter ist die dazu assoziierte Gruppe

G′_{a} = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & 0 & B_{2} \\ 0 & A_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & \overline{B}_{2} & \overline{A}_{1} & 0 \\ \overline{B}_{3} & 0 & 0 & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) | … \} ≃ U(n, n)

und da n der reelle Rang von U(n, n) ist, ist damit nach der nach Proposition 4.12 gemachten Bemerkung auch die dritte Voraussetzung erfüllt. Wir haben τ(g) =

Ad (exp(\frac{π}{2}iX^{0}))(g) = Ad ( \begin{matrix}0 & L_{n} \\ L_{n} & 0 \end{matrix} ) (g), mit L_{n} := ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} ), und somit ist

H′ = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & B_{1} & 0 \\ 0 & \overline{A}_{1} & 0 & \overline{B}_{1} \\ \overline{B}_{1} & 0 & \overline{A}_{1} & 0 \\ 0 & B_{1} & 0 & A_{1} \end{matrix} ) | \begin{matrix}^{t}A_{1}\overline{A_{1}} −^{t} \overline{B_{1}}B_{1} = I, \\ ^{t}A_{1}\overline{B_{1}} =^{t} \overline{B_{1}}A_{1} \end{matrix} \} ≃ Sp(n, IR).

Mit c = exp(\frac{π}{2}iY^{0}) = cos \frac{π}{4} I − sin \frac{π}{4} Y^{0} und der Harish-Chandra-Realisierung von Sp(2n, IR)/U(2n) ⊂ SU(2n, 2n)/S(U(2n)×U(2n)) [He, S. 527] erhalten wir, ähnlich wie bei dem in Abschnitt 7.1 behandelten Beispiel, als Kompaktifizierung

Sp(n, IR) × Sp(n, IR)/Sp(n, IR) → Š

(( \begin{matrix}A_{1} & B_{1} \\ \overline{B}_{1} & \overline{A}_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}\overline{A}_{4} & \overline{B}_{4} \\ B_{4} & A_{4} \end{matrix} )) Δ(Sp(n, IR) × Sp(n, IR)) ↦ ( \begin{matrix}B_{1} & −A_{1} \\ −A_{4} & B_{4} \end{matrix} )( \begin{matrix}\overline{A}_{1} & −\overline{B}_{1} \\ −\overline{B}_{4} & \overline{A}_{4} \end{matrix} )^{−1}.

Hierbei ist Š = {Z ∈ M(2n × 2n, C) | Z^{∗}Z = I_{2n}, ^{t}Z = Z} und Δ(Sp(n, IR) × Sp(n, IR)) = {(g, g) | g ∈ Sp(n, IR)} ≃ Sp(n, IR) die Diagonale in Sp(n, IR) × Sp(n, IR).

5 Kausale Kompaktifizierung kausaler Unterräume kompakt-kausaler Räume

Im Gegensatz zum letzten Abschnitt, wo wir von (G_{1}, H_{1}, τ) vom Cayley-Typ ausgingen, fordern wir hier nur, daß der Raum kompakt-kausal ist. Wir geben dann ein hinreichendes Kriterium zur Konstruktion eines kausalen Unterraums und seiner kausalen Kompaktifizierung sowie die Konstruktion selbst.

Sei (G_{1}, H_{1}, τ), wobei H_{1} := G_{1}^{τ} die ganze Fixpunkgruppe ist, ein irreduzibler kompakt-kausaler Raum, so daß (G_{1}, K_{1}, Θ) vom Tubentyp ist, und seien die E_{±j} wie üblich gewählt.

Definition 5.1 Sei (𝔤_{1}, 𝔨_{1}, Θ) eine irreduzible orthogonale Liealgebra von nichtkompaktem Hermiteschen Typ. Seien E_{±j}, j = 1, …, r, Wurzelvektoren zu einem System stark-orthogonaler Wurzeln {γ_{1}, …, γ_{r}}, so daß E_{+j} +E_{−j}, i(E_{+j} −E_{−j}) ∈ 𝔤_{1}. Sei τ eine mit Θ kommutierende Involution, dann bilden die Vektoren {E_{±j} | 1 ≤ j ≤ r} ein System erster Art (bezüglich τ), falls τ(E_{±j}) = −E_{∓j} für alle j. Die Wurzelvektoren heißen ein System von zweiter Art (bezüglich τ), falls der reelle Rang r gerade ist, r = 2r′, und für die E_{±j} dann τ(E_{±j}) = −E_{∓(j+r′)} bzw. τ(E_{±(j+r′)}) = −E_{∓j}, für j = 1, …, r′, gilt.

Wie nehmen im folgenden an, daß unsere E_{±j} von erster bzw. zweiter Art sind. Mit X^{0} = ∑ X_{j} sei σ(g) := Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0})τ(g). Wir wissen, daß der erste Faktor dieses Produkts allein eine Involution definiert und mit τ(X^{0}) = Θ(X^{0}) = −X^{0} kommutieren alle diese Involutionen. Damit ist dann auch σ^{2} = id und σ kommutiert ebenfalls mit τ und Θ.

Für den Normalisator P′ von cK_{C}P^{−} als parabolische Untergruppe gilt P′ ≃ Z_{G_{1}}(X^{0}) × N′ und σ(N′) = \overline{N}′, wobei \overline{N}′ die analytischen Untergruppe zum (+2)-Eigenraum von ad X^{0} ist. Für z ∈ Z_{G_{1}}(X^{0}) ist σ(z) = τ(z) ∈ Z_{G_{1}}(X^{0}), da Ad(τ(z))X^{0} = −Ad(τ(z))τ(X^{0}) = −τ(Ad(z)X^{0}) = X^{0}. Somit folgt für z ∈ Z_{G_{1}}(X^{0}), n ∈ \overline{N} und zn ∈ P′ ∩ G_{1}^{σ} aus der Gleichung σ(z)σ(n) = zn sofort n = e und τ(z) = z, d.h. P′ ∩ G_{1}^{σ} ⊂ H_{1} ∩ G_{1}^{σ} =: H. Tatsächlich handelt es sich hier nicht nur um eine Inklusion sondern eine Identität. Unsere Voraussetzungen machen (G_{1}, G_{1}^{ρ}, ρ), wobei ρ(g) := Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0})(g) ist, zu einem Cayleyraum und damit ist G_{1}^{ρ} = Z_{G_{1}}(X^{0}). Da σ = ρτ und H_{1} = G_{1}^{τ}, folgt jetzt H ⊂ G_{1}^{ρ} und somit die Gleichheit beider Mengen: P′ ∩ G_{1}^{σ} = H.

Proposition 5.2 Sei {E_{±j}} ein System stark-orthogonaler Wurzelvektoren erster oder zweiter Art bezüglich τ. Sei σ(g) := Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0})τ(g), (G, H, τ) := (G_{1}^{σ}, (G_{1}^{σ})^{τ}, τ) und 𝔞 := ∑ IRX_{j}. Für ein System zweiter Art sei 𝔞 ∩ 𝔮_{1σ} maximal abelsch in 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ}. Dann ist G/H schwach kompakt-kausal und d̃: G/H → G_{1}/P′ eine kausale Kompaktifizierung dieses Raums.

Beweis: Wie in Abschnitt 4 ist die Abbildung d̃: G/H → G_{1}/P′ eine injektive Submersion und wir zeigen zunächst wieder mit der bekannten Vorgehensweise, daß das Bild auch dicht in G_{1}/P′ ist.

Für Systeme erster Art ist 𝔞 = ∑ IRX_{j} ⊂ 𝔭 ∩ 𝔮_{1σ} und W_{σ}(𝔞) = W (𝔞). Wie im Abschnitt 4.1 sind dann die offenen Doppelrestklassen Gw_{v}P (𝔞, Σ^{+}) durch die v ∈ W (𝔞, K)\W (𝔞) parametrisiert, wobei K := K_{1} ∩ G und die w_{v} Repräsentanten für v sind.

Im Gegensatz dazu zeigt Bedingung (i) von Proposition 2.3 für Systeme zweiter

Art, daß 𝔞 ∩ 𝔮_{1σ} = ∑_{j=1}^{r′} IR(X_{j} + X_{j+r′}) maximal abelsch in 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ} sein — oder

äquivalent dazu — der reelle Rang der assoziierten Gruppe G_{a} := G_{1}^{σΘ} gleich r′ sein muß, wenn wie weiter mit 𝔞 als maximaler abelscher Unteralgebra arbeiten wollen. Dies erklärt die zusätzliche Bedingung für Systeme zweiter Art in unsere Proposition. Mit 𝔞 ∩ 𝔤 = ∑ IR(X_{j} − X_{j+r′}) und indem wir die Weylgruppe wieder mit (ZZ/2ZZ)^{r} × S_{r} identifizieren, sehen wir in diesem Fall, daß W_{σ}(𝔞) von allen Permutationen von Paaren (X_{1}, X_{1+r′}), …, (X_{r′}, X_{r′+r′}), den Transpositionen ⟨X_{j}, X_{j+r′}⟩ — welche zusammen ein semidirektes Produkt (ZZ/2ZZ)^{r′} × S_{r′} erzeugen — und den Spiegelungen, die X_{j} + X_{j+r′} in −(X_{j} + X_{j+r′}) abbilden und alle Vektoren senkrecht zu diesem fest lassen, erzeugt wird.

Mit dem Theorem von Moore und indem wir wieder 𝔞^{∗} und 𝔞 identifizieren, erhalten wir Σ(𝔞)\Σ(𝔞 ∩ 𝔤) = \{±\frac{1}{2}(X_{s} + X_{t}), ±\frac{1}{2}(X_{u} − X_{v}) | 1 ≤ s, t, u, v ≤ r, u ≠ v, |u − v| ≠ r′} und eine σΘ-verträgliche Teilmenge positiver Wurzeln gemäß der Bedingung in Proposition 2.3 kann durch die lexikographische Ordnung X_{1} > X_{1+r′} > X_{2} > X_{2+r′} > … > X_{r′+r′} definiert werden. Alle anderen σΘverträglichen positiven Teilmengen sind dann W_{σ}(𝔞)-konjugiert zu der so definierten.

Unter Verwendung von Korollar 2.5 ist jetzt zu zeigen, daß die diesen Teilmengen entsprechenden Doppelrestklassen in GP′ liegen. Zunächst ist 𝔷_{𝔤_{1}}(𝔞′+σ𝔞′) = 𝔷_{𝔤_{1}}(X^{0}) der Leviteil von 𝔭′ und das Zentrum 𝔷 dieser Unteralgebra ist eine direkte Summe 𝔷 = 𝔷 ∩ 𝔨_{1} ⊕ 𝔞′ [Wa, Lemma 1.2.4.4], was 𝔪′′ = 𝔪′ impliziert, da ja 𝔞 ⊂ 𝔭_{1} ist. Jetzt legt die dritte Bedingung aus Korollar 2.5 wie in Abschnitt 4.1 𝔞 als einzig mögliche Wahl für 𝔞_{1} bis auf G ∩ P′-Konjugation fest — hierbei ist wiederum notwendig, daß wir für Systeme zweiter Art 𝔞 ∩ 𝔮_{1σ} als maximal abelsch in 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ} annehmen. Nach Satz 2.4 liegt eine minimale parabolische Unteralgebra 𝔭(𝔞, wΣ(𝔞)^{+}), falls ⟨Σ(𝔞)^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+}, wieder genau dann in 𝔭′, wenn w ∈ W (𝔞)_{𝔪′} ist. Die ersten zwei in Korollar 2.5 aufgestellten Bedingungen bestimmen dann die Teilmenge derjenigen Unteralgebren, welche auch in offenen Bahnen liegen. Bei Systemen erster Art ist σΘ|_{𝔞} = id_{𝔞} und somit sind diese Bedingungen leer, wogegen im anderen Fall Bedingung (ii) eine Einschränkung liefert. Hier ist Σ(𝔞)_{𝔪′′}\Σ(𝔞 ∩ 𝔤)_{𝔪′′} = \{±\frac{1}{2}(X_{u} − X_{v}) | 1 ≤ u, v ≤ r, u ≠ v, |u − v| ≠ r′\} und eine σΘ-verträgliche Teilmenge kann wieder mit der oben angegebenen lexikographischen Ordnung definiert werden. Konjugieren mit einem Element aus W_{σ}(𝔞) bewahrt dann die σΘ-Verträglichkeit und umgekehrt sind alle σΘ-verträgliche Teilmengen von positiven Wurzeln W_{σ}(𝔞)-konjugiert. Somit sind die Unteralgebren zu offenen Bahnen durch W (𝔞)_{𝔪′} ∩W_{σ}(𝔞) parametrisiert. Beschränken wir uns auf die Bestimmung der offenen Doppelrestklassen und dividieren die Unteralgebren bzw. die ihnen entsprechenden Elemente der Indexmenge, welche in denselben Doppelrestklassen liegen, heraus, so erhalten wir das Diagramm

W (𝔞)_{𝔪′} ∩ W_{σ}(𝔞) → W_{σ}(𝔞) → W (𝔞, K)\W_{σ}(𝔞)
↓ ↑ φ
W (𝔞)_{𝔪′} ∩ W (𝔞, K)\W (𝔞)_{𝔪′} ∩ W_{σ}(𝔞).

Es bleibt wieder die Surjektivität von φ zu zeigen. Für Systeme starkorthogonaler Wurzelvektoren der ersten Art ist Y_{j} ∈ 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ} und der Beweis von Lemma 4.2 ist dann ohne Änderungen übertragbar. Für Systeme zweiter Art ist zu zeigen, daß die Spiegelung an der Ebene senkrecht zu X_{j} + X_{j+r′} in W (𝔞, K) liegt, wobei j beliebig ist. Hier gilt aber X_{j} + X_{j+r′}, Y_{j} + Y_{j+r′} ∈ 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ}, so daß [X_{j} + X_{j+r′}, Y_{j} + Y_{j+r′}] = −2i(H_{j} + H_{j+r′}) ∈ 𝔨_{1} ∩ 𝔤 und Ad(exp \frac{π}{2}i(H_{j} + H_{j+r′})) ein Repräsentant der gesuchten Spiegelung in AdK ist.

Zur Vervollständigung des Beweises ist jetzt nur noch die Kausalität des Raums G/H und der Abbildung d̃ zu beweisen. Für Systeme erster Art ist τ(Y_{j}) = Y_{j}, für die zweiter Art τ(Y_{j}) = Y_{j+r′} und τ(Y_{j+r′}) = Y_{j}, so daß in beiden Fällen τ(Y^{0}) = Y^{0} ist. Mit Z^{0} = \frac{1}{4}[X^{0}, Y^{0}] haben wir dann τ(Y_{±}) = τ(\frac{1}{2}Y^{0}∓Z^{0}) = Y_{∓}. Weiter folgt mit Ad(exp \frac{π}{2}iX^{0})(Y^{0}) = −Y^{0} dann sofort σ(Y_{±}) = −Y_{∓} und somit ist C_{k} σ-invariant. Die kompakt-kausale Struktur auf G_{1}/H_{1} ist aber durch C_{k} definiert [H’O, Thm. 3.1.18] und damit ist mit denselben Argumenten wie im letzten Abschnitt G/H schwach kompakt-kausal und d̃ eine kausale Abbildung. □

Beispiel 5.3 Die in Abschnitt 4.1 definierten Systeme stark-orthogonaler Wurzelvektoren können zu einem System erster Art modifiziert werden. Es ist τ(E_{±j}) = E_{±j} und indem man die positiven Wurzelvektoren mit i multipliziert, also Ẽ_{+j} = iE_{+j} und Ẽ_{−j} = −iE_{−j} setzt, erhält man das Gewünschte. In diesem Fall ist dann σ(g) = Ad(exp(\frac{π}{2}iY^{0}) exp(\frac{π}{2}iX^{0}))(g) = Θ_{r}(g), wie eine 𝔰𝔩(2)-Rechnung zeigt. Somit ist G_{1}^{σ} = K_{1} und wir finden den schon bekannten kausalen Diffeomorphismus d̃: K_{1}/H → Š wieder.^{3}

Beispiel 5.4 Für kompakt-kausale Räume vom Gruppentyp existiert immer ein System zweiter Art: Diese Räume bzw. genauer ihre Liealgebren sind dabei von der Form (𝔤_{1}, 𝔥_{1}, τ) ≃ (𝔤̃×𝔤̃, Δ(𝔤̃×𝔤̃), τ), wobei τ : 𝔤̃×𝔤̃ → 𝔤̃×𝔤̃, (X, Y) ↦ (Y, X), und Δ(𝔤̃×𝔤̃) := {(X, X) | X ∈ 𝔤̃} ist. (G_{1}, K_{1}, Θ_{1}), mit Θ_{1} := Θ×Θ, ist vom Tubentyp, wenn (G̃, K̃, Θ) es ist. Wie die Klassifikation zeigt [’Ol, H’O], sind dann 𝔰𝔲(n, n), 𝔰𝔬^{∗}(4n), 𝔰𝔬(2, n), 𝔰𝔭(n, IR) und 𝔢_{7(−25)} die möglichen Algebren 𝔤̃ mit (𝔤̃, 𝔨̃, Θ) vom Tubentyp, welche zu irreduziblen Räumen vom Gruppentyp gehören.

Seien Ẽ_{±j}, j = 1, …, r′, jetzt stark-orthogonale Wurzelvektoren für 𝔤̃ mit den üblichen Eigenschaften, so definieren wir E_{±j} := (Ẽ_{±j}, 0) und E_{±(j+r′)} := (0, −Ẽ_{∓j}). Trivialerweise ist dieses System dann von zweiter Art und 𝔞 = 𝔞̃ × 𝔞̃, mit 𝔞̃ = ∑ IRX̃_{j} und X̃_{j} = Ẽ_{+j} + Ẽ_{−j}. Wir erhalten σ(g, h) = (σ̃(h), σ̃(g)), wobei σ̃(g) := Ad(exp \frac{π}{2}iX̃^{0})(g) eine Involution auf G̃ ist, so daß 𝔞 ∩ 𝔮_{1σ} = ∑ IR(X̃_{j}, −X̃_{j}). Da 𝔞̃ maximal abelsch in 𝔭̃ ist, gilt dies auch für 𝔞∩𝔮_{1σ} in 𝔭_{1} ∩𝔮_{1σ} = {(X, −X) | X ∈ 𝔭̃ ∩ 𝔤̃σ̃} ∪ {(X, X) | X ∈ 𝔭̃ ∩ 𝔮̃σ̃}, mit 𝔮̃σ̃ dem (−1)-Eigenraum der Involution σ̃ in 𝔤̃. Damit sind alle Voraussetzungen von Proposition 5.2 erfüllt. Wir erhalten G := G_{1}^{σ} = {(g, σ̃(g)) | g ∈ G̃} ≃ G̃ und H := G^{τ} = {(g, g) | g ∈ G}, so daß (G, H, τ) ≃ (G̃, G̃σ̃, σ̃) ist. Tatsächlich ist nach unseren Voraussetzungen (G̃, G̃σ̃, σ̃) ein Cayleyraum und wir erhalten so eine Modifikation der in Abschnitt 3 konstruierten kausalen Kompaktifizierung. In Anhang B, Abschnitt 8.1, geben wir eine vergleichende Diskussion beider Möglichkeiten für 𝔤̃ = 𝔰𝔲(n, n).

Beispiel 5.5 (Kausale Kompaktifizierung von SO^{∗}(2p)/O(p, C)):

In Beispiel 4.4 ist für p = q der halbeinfache Anteil der Fixpunktgruppe [G_{1}^{σ}, G_{1}^{σ}] ein irreduzibler kompakt-kausaler Raum und [G_{1}^{σ}, G_{1}^{σ}]/K_{1} ∩[G_{1}^{σ}, G_{1}^{σ}] ist vom Tubentyp. Das System stark-orthogonaler Wurzelvektoren

E_{+j} = ( \begin{matrix}0 & iE_{j,j+p} + iE_{j+p,j} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , E_{−j} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ −iE_{j,j+p} − iE_{j+p,j} & 0 \end{matrix} ) ,

j = 1, …, p, in [G_{1}^{σ}, G_{1}^{σ}] ist dann von erster Art. Wir vereinfachen im folgenden die Notation mit dem in Lemma 4.5 gegebenen Diffeomorphismus. Die Gruppe G_{1} ist dann SU(p, p) und τ einfach durch komplexe Konjugation gegeben. Außerdem wird unser System stark-orthogonaler Wurzelvektoren auf E_{+j} = iE_{j,j+p} und E_{−j} = −iE_{j+p,j} abgebildet. Damit ist σ(g) = Ad(J_{p})(\overline{g}), die Fixpunktgruppe dieser Involution

3Ist G_{1C} nicht einfach zusammenhängend, so ist H durch Z_{G_{1}}(X^{0}) ∩ K_{1} zu ersetzen, da dann G_{1}^{ρ} ⊃ Z_{G_{1}}(X^{0}) eine echte Inklusion sein kann. Wir verweisen auf die entsprechenden Ausführungen in Abschnitt 6.1 und die Diskussion der einzelnen Fälle in Anhang A.

G = \{( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ⊂ SL(2p, C) | \begin{matrix}^{t}\overline{A}A −^{t} B\overline{B} = I \\ ^{t}A\overline{B} +^{t} \overline{B}A = 0 \end{matrix} \} ≃ SO^{∗}(2p)

[He, S. 527] und H ist als Untergruppe aller reellen Matrizen isomorph zu O(p, C)

via ( \begin{matrix}A & B \\ −B & A \end{matrix} ) ↦ A + iB. Schließlich liefert eine triviale Rechnung die Cayley-

Transformierende c = exp(\frac{π}{4}i ∑ Y_{j}) = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}I & −iI \\ −iI & I \end{matrix} ) und als Kompaktifizierung

erhalten wir

\begin{matrix}SO^{∗}(2p)/O(p, C) → Š \\ ( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) H ↦ (−iA + B)(i\overline{B} + \overline{A})^{−1}, \end{matrix}

wobei der Bergman-Šilov-Rand von SU(p, p)/S(U(p) × U(p)) hier durch Š = {Z ∈ M(p × p, C) | Z^{∗}Z = I} gegeben ist.

6 Kausale Kompaktifizierung von SO(2, n)/SO(1, n) und restliche Räume

Wir konstruieren in diesem Abschnitt eine kausale Kompaktifizierung der Lorentzmannigfaltigkeit SO(2, n)/SO(1, n) und die Zerlegung in SO(2, n)-Bahnen für diese. Außerdem zeigen wir für die irreduziblen kompakt-kausalen Räume, für welche wir keine kausale Kompaktifizierung konstruiert haben, daß eine solche — in der von uns gesuchten Form — nicht existiert.

6.1 Die Kompaktifizierung von SO(2, n)/SO(1, n)

Wir wählen

G_{1} = SO(2, n+1) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | \begin{matrix}^{t}AA −^{t}CC = I, ^{t}DD −^{t}BB = I \\ ^{t}AB = ^{t}CD \end{matrix} \}

mit der üblichen Cartaninvolution Θ. Der reelle Rang hier ist min(2, n + 1) und wir beschränken uns auf den Fall n ≥ 2, da 𝔰𝔬(2, 1) ≃ 𝔰𝔲(1, 1) und 𝔰𝔬(2, 2) ≃ 𝔰𝔲(1, 1) × 𝔰𝔲(1, 1) ist.

Als Liealgebra haben wir dann

𝔤_{1} = 𝔰𝔬(2, n+1) = \{( \begin{matrix}X_{1} & X_{2} \\ ^{t}X_{2} & X_{3} \end{matrix} ) | \begin{matrix}X_{1} ∈ M(2 × 2, IR), X_{3} ∈ M(n + 1 × n + 1, IR) \\ ^{t}X_{1} = −X_{1}, ^{t}X_{3} = −X_{3}, X_{2} beliebig \end{matrix} \}

und für das System stark-orthogonaler Wurzelvektoren mit den den üblichen Eigenschaften wählen wir

E_{1} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & … & −i & −1 \\ ⋮ & & −1 & i \\ −i & −1 & & ⋮ \\ −1 & i & … & 0 \end{matrix} ) , E_{−1} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & … & i & −1 \\ ⋮ & & −1 & −i \\ i & −1 & & ⋮ \\ −1 & −i & … & 0 \end{matrix} )

und

E_{2} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & … & i & −1 \\ ⋮ & & 1 & i \\ i & 1 & & ⋮ \\ −1 & i & … & 0 \end{matrix} ) , E_{−2} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & … & −i & −1 \\ ⋮ & & 1 & −i \\ −i & 1 & & ⋮ \\ −1 & −i & … & 0 \end{matrix} ) .

Damit ist dann X^{0} = −2(E_{n+3,1} + E_{1,n+3}) und weiter exp i\frac{π}{2}X^{0} = 1 + (cos π − 1) diag(1, 0, …, 0, 1) + \frac{i}{2} sin π X^{0} = diag(−1, 1, …, 1, −1), so daß wir für die Involution τ = Ad(exp i\frac{π}{2}X^{0}) als Fixpunktgruppe

H_{1} := G_{1}^{τ} = \{( \begin{matrix}a_{1} & 0 & 0 & b_{2} \\ 0 & a_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & C_{2} & D_{1} & 0 \\ c_{3} & 0 & 0 & d_{4} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | … \} ≃

\{(( \begin{matrix}a_{1} & b_{1} \\ c_{3} & d_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}a_{4} & B_{3} \\ C_{2} & D_{1} \end{matrix} )) | \begin{matrix}a_{1}a_{1} − c_{3}c_{3} = 1, d_{4}d_{4} − b_{2}b_{2} = 1, a_{1}b_{2} = c_{3}d_{4}, \\ a_{4}a_{4} −^{t}C_{2}C_{2} = I, ^{t}D_{1}D_{1} −^{t}B_{3}B_{3} = 1, a_{4}B_{3} = ^{t}C_{2}D_{1}, \\ Produkt der Determinanten Eins \end{matrix} \}
= S(O(1, 1) × O(1, n))

erhalten.

Bemerkung. Die Komplexifizierung SO(n + 3, C) von G_{1} = SO(2, n + 1) ist nicht einfach zusammenhängend und G_{1} selber ist nicht einmal zusammenhängend. Änderungen bei einer Komplexifizierung mit nichttrivialer Fundamentalgruppe gegenüber unseren Ergebnissen ergeben sich nur daraus, daß einige oder alle der Inklusionen (G_{1})_{0} ⊂ \{g ∈ G_{1C} | \overline{g} = g\}, wobei hier \overline{g} Konjugation bezüglich der reellen Form 𝔤_{1} meint, und (G_{1}^{τ})_{0} ⊂ Z_{G_{1}}(X^{0}) ⊂ G_{1}^{τ} echt sein können [H’O, Kapitel 1.6]. Da wir letztlich nur an Quotienten wie z.B. G/H oder G_{1}/P′ interessiert sind, ist es im ersten Fall — der nur für G_{1} = SO(p, q) auftritt — egal, ob wir mit der Gruppe aller ,,reellen“ Matrizen oder nur deren Einskomponente arbeiten. Fallen die Fixpunktgruppe von τ und der Zentralisator von X^{0} nicht zusammen, so ist überall H_{(1)} durch Z_{G_{(1)}}(X^{0}) zu ersetzen und alle bisher gegeben Argumente bleiben richtig. Auch dieser Fall tritt wieder nur für G_{1} = SO_{(0)}(p, q) ein. Wegen der einfacheren Beschreibung einzelner der auftretenden Untergruppen arbeiten wir hier mit G_{1} = SO(2, n + 1) und nicht mit deren Einskomponente.

Entsprechend der Bemerkung fallen hier H_{1} und Z_{G_{1}}(X^{0}) nicht zusammen. Wie man sofort nachrechnet, sind genau diejenigen Elemente aus H_{1} auch im Zentralisator von X^{0}, für welche a_{1}d_{4} − b_{2}c_{3} = 1 ist. Für beliebige Elemente h aus H_{1} ergibt sich dagegen aus der Determinantenbedingung det(h) = 1 nur a_{1}d_{4} − b_{2}c_{3} ∈ {±1}. Offensichtlich treten beide Möglichkeiten auf, so daß also H_{1}/Z_{G_{1}}(X^{0}) ≃ ZZ/2ZZ.

Mit σ(g) = Ad(I_{2+n,1})(g) ist dann

G = \{( \begin{matrix}A & B′ & 0 \\ C′ & D′_{1} & 0 \\ 0 & 0 & d_{4} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | … \} ≃ S(O(2, n) × O(1))

und

H := G∩H_{1} = \{( \begin{matrix}a_{1} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & C_{2} & D_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{4} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | … \} ≃ S(O(1)×O(1, n)×O(1)).

Der Zentralisator Z_{G}(X^{0}) wird wieder nur von den Elementen mit a_{1}d_{4} = 1 gebildet. Wir bemerken an dieser Stelle , daß σ hier nicht eine Involution mit den in Proposition 4.12 geforderten Eigenschaften ist, da σ(X_{1}) = −X_{2} und σ(X_{2}) = −X_{1}, also σ(X^{0}) = −X^{0} ist und damit nicht in 𝔤 liegt. Der hier behandelte Fall läßt sich also nicht auf diese Proposition zurückführen.

Die assoziierte Gruppe G_{a} := G^{σΘ} hat die Liealgebra

𝔤_{a} = \{( \begin{matrix}X_{1} & 0 & X′_{2} \\ 0 & X′_{3} & 0 \\ ^{t}X′_{2} & 0 & 0 \end{matrix} ) | \begin{matrix}X_{1} ∈ M(2 × 2, IR), X′_{2} ∈ M(2 × 1, IR) \\ X_{3} ∈ M(n × n, IR) \\ X_{1}, X_{3} schiefsymmetrisch \end{matrix} \} ≃ 𝔰𝔬(2, 1)×𝔰𝔬(n)

mit reellem Rang 1. Definieren wir wieder 𝔞 = ∑ IRX_{j}, so ist damit 𝔞∩𝔮_{1σ} maximal abelsch in 𝔭_{1} ∩ 𝔮_{1σ}.

Mit σ(X^{0}) = −X^{0} ist σ(N′) = \overline{N}′, andererseits Z_{G_{1}}(X^{0}) aber σ-invariant, so daß mit P′ ≃ Z_{G_{1}}(X^{0}) × N′, wobei P′ wieder der Normalisator von cK_{C}P^{−} ist, sofort P′∩G = Z_{G_{1}}(X^{0})∩G folgt und wir eine injektive Abbildung d̃: G/Z_{G}(X^{0}) → G_{1}/P′ erhalten.

Die Algebra 𝔞 erfüllt Bedingung (i) von Proposition 2.3 und wir zeigen weiter, daß es nur eine offene Doppelrestklasse GP_{min} gibt und diese in GP′ enthalten ist, womit dann d̃(G/Z_{G}(X^{0})) offen und dicht in G_{1}/P′ ist. Zunächst ist

N_{K_{1}}(𝔞) ⊂ \{( \begin{matrix}A & 0 & 0 \\ 0 & D̃_{1} & 0 \\ 0 & 0 & D̃_{4} \end{matrix} ) ∈ K_{1} | \begin{matrix}A, D̃_{4} ∈ O(2) \\ D̃_{1} ∈ O(n − 1) \end{matrix} \}, wie man durch direkte Rech-

nung zeigt. Mit A(t, ϵ_{a}) := ( \begin{matrix}cos t & − sin t \\ sin t & cos t \end{matrix} ) ( \begin{matrix}±1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ), ϵ_{a} ∈ \{±1\}, und entsprechen-

der Definition von D̃_{4}(s, ϵ_{d}) erhält man

Ad ( \begin{matrix}A(t, ϵ_{a}) & 0 & 0 \\ 0 & D̃_{1} & 0 \\ 0 & 0 & D̃_{4}(s, ϵ_{d}) \end{matrix} ) (\frac{α}{2}X^{0} + \frac{β}{2} (X_{1} − X_{2})) =

( \begin{matrix}0 & … & ϵ_{a} cos t sin s α + ϵ_{d} sin t cos s β & −ϵ_{a} cos t cos s α + ϵ_{d} sin t sin s β \\ ⋮ & & ϵ_{a} sin t sin s α − ϵ_{d} cos t cos s β & −ϵ_{a} sin t cos s α + ϵ_{d} cos t sin s β \\ ⋮ & & & ⋮ \\ −ϵ_{a} cos t cos s α + … & & … & 0 \end{matrix} ) ,

so daß für ein Element aus N_{K_{1}}(𝔞) entweder sin t = sin s = 0 oder cos s = cos t = 0 ist. Für v ∈ W_{σ}(𝔞), d.h. hier w_{v}(X_{1} − X_{2}) ⊂ IR(X_{1} − X_{2}), muß notwendigerweise immer der erste Fall eintreten und man sieht sofort, daß diese Elemente v auch durch ein w_{v} ∈ W (𝔞, K_{1} ∩ G) repräsentiert werden können, also W (𝔞, K_{1} ∩ G) = W_{σ}(𝔞) ist.

Es bleibt damit nach Satz 2.4 nur noch ein σΘ-verträgliches System Σ(𝔞)^{+} positiver Wurzeln so zu wählen, daß ⟨Σ(𝔞)^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+}. Da σΘ(X_{1}) = X_{2} und σΘ(X_{2}) = X_{1}, 𝔞′_{+} = −IR^{+}X^{0} und bis auf Normierung γ_{i}(X_{j}) = δ_{ij} ist — das Wurzelsystem ist wie in Theorem 2.1 (i) beschrieben vom Typ 𝔠_{2} —, kann man \{−γ_{1}, −γ_{2}, −\frac{1}{2}(γ_{1} + γ_{2}), −\frac{1}{2}(γ_{1} − γ_{2})\} als positives System wählen, welches allen Bedingungen genügt.

Proposition 6.1 d̃: SO(2, n)/SO(1, n) → SO(2, n + 1)/P′ ist eine kausale Kompaktifizierung des kompakt-kausalen Raums SO(2, n)/SO(1, n).

Beweis: Es ist G/Z_{G}(X^{0}) = SO(2, n)/SO(1, n), so daß nur noch die Kausalität dieses Quotientenraums und der Abbildung zu zeigen ist. Da aber G/Z_{G}(X^{0}) ⊂ G_{1}/Z_{G_{1}}(X^{0}) und Z^{0} = E_{1,2} − E_{2,1} ∈ C_{k} ∩ 𝔤 sowie Y^{0} ∈ 𝔮_{1σ}, ist mit der σ-Invarianz von H_{1} und Y_{±} = \frac{1}{2}Y^{0}±Z^{0} auch C_{k} = C_{+}−C_{−} σ-invariant, so daß die Behauptungen mit Lemma 4.3 folgt. □

6.2 Die Zerlegung in Bahnen

Mit Lemma 7 in [Ma 79] sind jeweils die maximalen abelschen Unterräume 𝔞 von 𝔭_{1}, für welche 𝔞∩𝔮_{1σ} bzw. 𝔞∩𝔤 maximal abelsch in 𝔭_{1} ∩𝔮_{1σ} bzw. 𝔭_{1} ∩𝔤 ist, Ad(K_{1} ∩G)_{0}- konjugiert, so daß hier insgesamt nur zwei Konjugationsklassen σ-stabiler maximaler abelscher Unterräume auftreten. Als Vertreter wählen wir die schon eingeführte Algebra 𝔞 und 𝔞_{1} = IRX_{11} + IRX_{12}, mit X_{11} := −(E_{1,n+1} + E_{2,n+2} + E_{n+1,1} + E_{n+2,2}) und X_{12} := E_{1,n+1} − E_{2,n+2} + E_{n+1,1} − E_{n+2,2}. Man kann 𝔞_{1} konstruieren, indem man die E_{±j} durch ±iE_{±j} ersetzt und dann aus diesen Matrizen durch ,,verschieben“ der nichtverschwindenden Einträge nach rechts oben ein System stark-orthogonale Wurzelvektoren in 𝔤 ⊂ 𝔤_{1} erhält. 𝔞_{1} ist dann wieder wie üblich mit diesem System definiert.

Nach Theorem 2.7 existiert neben dem trivialen bis auf Äquivalenz genau ein weiteres 𝔮_{1σ}-orthogonales System in Σ(𝔞_{1}) und man findet mit demselbem Theorem zu der Wurzel α ∈ Σ(𝔞_{1}) definiert durch α(aX_{11} + bX_{12}) = a − b das System Q = \{X_{α} := \frac{1}{2}(E_{1,n+3} − E_{n+1,n+3} + E_{n+3,1} + E_{n+3,n+1})\}. X_{α} ist dabei entsprechend der Bedingung aus Theorem 2.7 normiert, so daß 𝔞 = Ad(exp \frac{π}{2}(X_{α} + ΘX_{α}))𝔞_{1} ist. Tatsächlich erhält man mit c(Q) = exp \frac{π}{2}(X_{α} + ΘX_{α}) allgemeiner Ad(c(Q))(aX_{11} + bX_{12}) = aX_{1} − bX_{2}. Unmittelbar aus Satz 2.8 erhält man jetzt die disjunkte Zerlegung

G_{1} = GP (𝔞_{1}, Σ(𝔞_{1})^{+})∪GP (𝔞, Ad(c(Q))Σ(𝔞_{1})^{+})c(Q)∪GwP (𝔞, Ad(c(Q))Σ(𝔞_{1})^{+})c(Q),

wobei w ein Repräsentant eines Elements aus W (𝔞)\W (𝔞, K_{1} ∩G) ist, da mit 𝔞_{1} ⊂ 𝔤 offensichtlich W (𝔞_{1}) = W (𝔞_{1}, K_{1} ∩ G) und |W (𝔞, K_{1} ∩ G)\W (𝔞)| = 2.

Proposition 6.2 Ist Š_{1} der Bergman-Šilov-Rand von SO_{0}(2, n + 1)/(SO(2) × SO(n + 1)), so zerfällt dieser in zwei G-Bahnen: Š_{1} = G(s_{1}c(Q))^{−1}cx_{0} ˙∪Gcx_{0}, mit s_{1} = exp(\frac{π}{2}iH_{2}).

Beweis: Wir gehen wieder wie im Beweis von Satz 3.5 vor. Sei dazu s_{1} = exp(\frac{π}{2}iH_{2}) und P′_{1} = Ad(s_{1}c(Q))^{−1}P′, so erhält man mit der Langlandszerlegung 𝔭′ = 𝔪′ + IRX^{0} + 𝔫′ diejenige von 𝔭′_{1} durch Konjugation, so daß mit X_{1} − X_{2} = X_{11} + X_{12} dann 𝔞′_{1} = IR(X_{11} + X_{12}) ist. Damit ist auch klar, daß 𝔞̂_{1} = 𝔞̃_{1} = 𝔞_{1}, 𝔪′′_{1}∩𝔞̂′_{1}∩𝔤 = IR(X_{11}−X_{12}) und Σ_{𝔤}(𝔞̂_{1})_{𝔪′′_{1}} = \{±\frac{1}{2}α\} ist. Ein vollständiges Vertretersystem von 𝔮_{1σ}-orthogonalen Systemen wird also wieder durch {∅, Q} gegeben und die Zerlegung von GP′_{1} ist jetzt sofort aus Korollar 2.10 abzuleiten. Wie schon ausgeführt ist W (𝔞_{1}) = W (𝔞_{1}, K_{1} ∩ G) und wie im Beweis von Satz 3.5 ist W (𝔞)_{𝔪′_{1}} = Ad(s_{1}c(Q))^{−1}W (𝔞)_{𝔪′} ≃ {((1, 1), id) , ((−1, −1), ⟨1 2⟩)}, wobei wir wieder W (𝔞) mit (ZZ/2ZZ)^{2} × S_{2} identifizieren. Es ist aber ((−1, −1), ⟨1 2⟩) ∈ W_{σ}(𝔞) = W (𝔞, K_{1} ∩ G), so daß

GP′_{1} = GP (𝔞_{1}, Σ(𝔞_{1})^{+}) ∪ GP (𝔞, Ad(c(Q))Σ(𝔞_{1})^{+})c(Q),

wobei die Menge der positiven Wurzeln Σ(𝔞_{1})^{+} gemäß der Bedingung ⟨Σ(𝔞_{1})^{+}, 𝔞′_{1,+}⟩ ⊂ IR^{+} gewählt ist.

Mit genau demselben Vorgehen erhält man auch die in GP′ liegenden Doppelrestklassen GgP_{min}. Es folgt nacheinander 𝔪′′ = 𝔪′ und 𝔞̂ = 𝔞, 𝔞̃ = 𝔞_{1} und mit 𝔪′′ ∩ 𝔞̂ ∩ 𝔤 = IR(X_{1} − X_{2}) dann — wieder mit der Identifikation von 𝔞 und dem Dualraum 𝔞^{∗} — Σ_{𝔤}(𝔞̂)_{𝔪′′} = \{±\frac{1}{2}(X_{1} − X_{2})\}. Die Frage nach der Existenz eines nichttrivialen 𝔮_{1σ}-orthogonalen Systems von Σ_{𝔤}(𝔞̂)_{𝔪′′} reduziert sich damit auf die nichttriviale Lösbarkeit von [X_{1} − X_{2}, X] = λX mit X ∈ 𝔮. Wie eine einfache Rechnung aber zeigt, ist X = 0 die einzige Lösung. Außerdem ist aus Abschnitt 6.1 bekannt, daß W (𝔞)_{𝔪′} = W (𝔞, K_{1} ∩ G), und somit folgt GP′ = GP (𝔞, Σ(𝔞)^{+}), wobei ⟨Σ(𝔞)^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ⊂ IR^{+} erfüllt sein muß. Mit ⟨Σ(𝔞_{1})^{+}, 𝔞′_{1,+}⟩ = ⟨Ad(s_{1}c(Q))Σ(𝔞_{1})^{+}, Ad(s_{1}c(Q))𝔞′_{1,+}⟩ = ⟨Ad(s_{1}c(Q))Σ(𝔞_{1})^{+}, 𝔞′_{+}⟩ ist folglich GP′ = Gs_{1}P (𝔞, Ad(c(Q))Σ(𝔞_{1})^{+})s_{1}^{−1} und G_{1} = GP′_{1} ˙∪GP′s_{1}c(Q), was die Behauptung beweist. □

6.3 Die verbleibenden kompakt-kausalen Räume

Die kompakt-kausalen Räume sind vollständig klassifiziert [H’O, Thm. 3.3.7] und wir haben kausale Kompaktifizierungen für alle, mit Ausnahme der in der folgenden Tabelle gegebenen, konstruiert.

𝔤  𝔥  Parameter
𝔰𝔬(2, p + q)  𝔰𝔬(p, 1) ⊕ 𝔰𝔬(1, q) min(p, q) ≥ 2
𝔢_{6(−14)}  𝔰𝔭(2, 2)
𝔢_{7(−25)}  𝔰𝔲^{∗}(8)
𝔰𝔬(2, n) ⊕ 𝔰𝔬(2, n) 𝔰𝔬(2, n)  n ≥ 1
𝔢_{6(−14)} ⊕ 𝔢_{6(−14)}  𝔢_{6(−14)}
𝔢_{7(−25)} ⊕ 𝔢_{7(−25)}  𝔢_{7(−25)}

Wir zeigen im folgenden, daß für keinen — mit Ausnahme einiger ,,niederdimensionaler“ Sonderfälle — zu einer dieser Algebren assoziierten kompakt-kausalen Raum G/H eine Einbettung in den Bergman-Šilov-Rand Š_{1} eines Hermiteschen symmetrischen Raums G_{1}/K_{1} vom Tubentyp als symmetrischer Unterraum existiert. Wir verwenden dazu die Klassifikation der offenen symmetrischen Bahnen reduktiver Gruppen in symmetrischen R- oder Nagano-Räumen [M]^{4}. Dabei ist ein R- oder Nagano-Raum als homogener Raum G_{1}/P′ einer halbeinfachen Liegruppe G_{1} mit parabolischem P′ definiert. Der Raum heißt weiter symmetrisch, falls er eine unter einer maximalen kompakten Untergruppe invariante Riemannsche Metrik besitzt. In unserem Fall ist Š_{1} ein solcher symmetrischer R-Raum. Tatsächlich folgt mit P′ ≃ H_{1} × N′, h ∈ H und n ∈ N′ aus Θ(hn) = hn für hn ∈ K_{1} ∩ P′ sofort n = e, d.h. (K_{1}, K_{1} ∩ P′, τ) bzw. Š_{1} = K_{1}/K_{1} ∩ P′ ist ein Riemannscher symmetrischer Raum [KW, Thm. 4.9] und mit Satz 2.2 dann ein symmetrischer R-Raum. Die G-Bahn durch eP′ ist dann ein symmetrischer Unterraum, wenn G τ-invariant ist. Abweichend davon ist für die in Abschnitt 3 konstruierten Kompaktifizierungen die Involution mit isoliertem Fixpunkt (eΘP′, eP′) durch τ̃ = σΘ gegeben und entsprechend ist die zugehörige G-Bahn genau dann symmetrisch, wenn σΘ(G) = (G) ist. Es ist damit klar, daß alle Abbildungen der von uns gesuchten Art d̃: G_{1}^{σ}/H_{1}^{σ} → G_{1}/P′ in der Klassifikation enthalten sein müssen.

Ist G/P′ = M_{1} × … × M_{n} ein Produkt irreduzibler symmetrischer R-Räume und hat G = G_{1}^{σ} offene Bahn in G/P′, so zerfällt G ebenfalls in ein Produkt von Gruppen G = G_{1} ×…×G_{m}, wobei jeder Faktor entweder eine offene Bahn in einem irreduziblen M_{j} oder in einem Produkt M_{j} × M_{j+1} hat und dabei M_{j} ≃ M_{j+1} ist [He, M]. Beschränken wir uns zunächst auf den irreduziblen Fall, so sind die möglichen M_{j}, welche als Bergman-Šilov-Ränder von Gruppen vom Tubentyp auftreten, und die möglichen Einbettungen in [M, §5] unter den Fällen I.1., II.1., III.1. IV. und V.1. klassifiziert. Der Vergleich zeigt sofort, daß für keinen zu einer der oben aufgelisteten Algebren assoziierten kompakt-kausalen Raum eine Einbettung mit offener Bahn existiert, mit folgenden Ausnahmen: Für einige kleine n ist 𝔰𝔬(2, n) isomorph zu anderen halbeinfachen Liealgebren [He, S.

4Nach persönlicher Mitteilung von W. Bertram ist die Klassifikation nicht vollständig. Der von uns benötigte Teil dieser Klassifikation ist davon aber nicht betroffen.

519]. Man findet z.B. (𝔰𝔬(2, 2 + 2), 𝔰𝔬(1, 2) ⊕ 𝔰𝔬(1, 2)) ≃ (𝔰𝔲(2, 2), 𝔰𝔬(2, 2)) und (𝔰𝔬(2, 3 + 3), 𝔰𝔬(1, 3) ⊕ 𝔰𝔬(1, 3)) ≃ (𝔰𝔬^{∗}(8), 𝔰𝔬(4, C)), so daß in diesen Fällen assoziierte kompakt-kausale Räume und kausale Kompaktifizierungen existieren. Analog können die Fälle (𝔰𝔬(2, n)⊕𝔰𝔬(2, n), 𝔰𝔬(2, n)) für n ∈ {1, 2, 3, 4, 6} behandelt werden, womit die ,,niederdimensionalen“ Ausnahmen vollständig erfaßt sind, wie eine systematische Überprüfung der möglichen Isomorphien zeigt. Das Ergebnis ändert sich auch nicht, wenn man offene Bahnen für reduktives G̃ mit G ⊂ G̃ und G/H ⊂ G̃/H̃ zuläßt. Für die drei letzten Fälle unserer obigen Tabelle ist G = G_{0} × G_{0} und man kann nach einer Kompaktifizierung als Produkt von Abbildungen G_{0} → M_{i} und G_{0} → M_{j} suchen. In diesem Fall ist aber 𝔥 = 𝔤_{0} ebenfalls nicht einfach, was nur für 𝔰𝔬(2, 2) ≃ 𝔰𝔩(2, IR) ⊕ 𝔰𝔩(2, IR) auftritt. Das Argument schließt dabei offensichtlich auch den Fall einer Kompaktifizierung von G̃/H̃, mit G ⊂ G̃ und H ⊂ H̃, aus.

Proposition 6.3 Zu den folgenden kompakt-kausalen Liealgebren (𝔤, 𝔥) existieren keine assoziierten Räume, welche eine Kompaktifizierung durch Einbettung in den Bergman-Šilov-Rand eines Hermiteschen symmetrischen Raumes vom Tubentyp besitzen:

𝔤  𝔥  Parameter
𝔰𝔬(2, p + q)  𝔰𝔬(p, 1) ⊕ 𝔰𝔬(1, q) min(p, q) ≥ 2, (p, q) ≠ (2, 2), (3, 3)
𝔢_{6(−14)}  𝔰𝔭(2, 2)
𝔢_{7(−25)}  𝔰𝔲^{∗}(8)
𝔰𝔬(2, n) ⊕ 𝔰𝔬(2, n) 𝔰𝔬(2, n)  n = 5 oder n ≥ 7
𝔢_{6(−14)} ⊕ 𝔢_{6(−14)}  𝔢_{6(−14)}
𝔢_{7(−25)} ⊕ 𝔢_{7(−25)}  𝔢_{7(−25)}

Beweis: Zum Beweis ist nach dem bisher gezeigten nur noch die Möglichkeit einer Einbettung in das Produkt Š_{1} = Š × Š zweier Bergman-Šilov-Ränder auszuschliessen. Da die Dimension von Š_{1} hier \frac{1}{2} dim(G_{1}/K_{1}) ist, gilt in diesem Fall notwendigerweise dim 𝔤 − dim 𝔥 = \frac{1}{2}(dim 𝔤_{1} − dim 𝔨_{1}). Außerdem kann für einfaches G dieses nur durch eine Abbildung G → ΔG ⊂ G × G oder eine Modifikation einer solchen, wie in Beispiel 5.4, erfolgen [M], so daß dann dim 𝔥 = dim 𝔨 gelten muß. Für die ersten drei Fälle liefert dies \frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n+q^{2}−nq = \frac{1}{2}(n^{2}−n+2) ⇔ n(1−q) = (1−q^{2}), äquivalent zu q = 1 oder n = q + 1, d.h. p = 1 — in diesem Fall ist der betrachtete Raum vom Cayleytyp und wie in Abschnitt 3 gezeigt existiert eine Einbettung durch Diagonaleinbettung —, 36 ≠ 46 und 63 ≠ 79.

Für die drei verbleibenden Fälle suchen wir einen injektiven Homomorphismus von Liealgebren φ : 𝔤_{0} ⊕ 𝔤_{0} → 𝔤_{1} ⊕ 𝔤_{1}, derart daß die Diagonale Δ(𝔤_{0} ⊕ 𝔤_{0}) in die direkte Summe zweier maximaler parabolischer Unteralgebren 𝔭̃′ ⊕ 𝔭′, wobei 𝔭̃′ ≃ 𝔭′, abgebildet wird. Dabei ist 𝔤_{0} eine der Algebren 𝔰𝔬(2, n), 𝔢_{6(−14)} oder 𝔢_{7(−25)} und die möglichen (𝔤_{1}, 𝔭′) werden durch die irreduziblen Hermiteschen symmetrischen Räume vom Tubentyp bestimmt. Ist 𝔭′ = 𝔪′ + IRX^{0} + 𝔫′ wieder die Langlandszerlegung, so impliziert die Existenz von φ sofort eine Einbettung 𝔤_{0} → 𝔪′ [Va, Cor. 3.14.3] und das Bild ist ohne Einschränkung Θ-invariant [Wa, Lemma 1.1.5.5], so daß Rang und reeller Rang von 𝔪′ durch die entsprechenden Größen für 𝔤_{0} von unten beschränkt sind. Dies schließt 𝔪′ = 𝔰𝔬(1, k) bzw. 𝔤_{1} = 𝔰𝔬(2, n) aus und der Dimensionsvergleich, welcher hier dim 𝔤_{0} = dim 𝔤_{1} − dim 𝔨_{1} liefert, läßt dann nur noch die Möglichkeit 𝔤_{0} = 𝔰𝔬(2, n) und 𝔤_{1} = 𝔰𝔭(k, IR) oder 𝔰𝔬^{∗}(4k) offen. Für 𝔤_{1} = 𝔰𝔭(k, IR) ist 𝔪′ = 𝔰𝔩(k, IR). Die Gleichung dim 𝔤_{0} = dim 𝔤_{1} − dim 𝔨_{1} liefert dann (n + 1)(n + 2) = 2k(k + 1). Eine Einbettung von 𝔰𝔬(2, n) in 𝔪′ liefert (n+1)(n+2) ≤ 2(k^{2}−1), so daß Elimination von n zum Widerspruch k(k+1) ≤ k^{2}−1 führt. Für 𝔤_{1} = 𝔰𝔬^{∗}(4k) leitet man aus der Dimensionsgleichung n ≥ 2k, für k ≥ 3 ab. k ≥ 3 ist dabei durch die Beschränkung von k nach unten durch den reellen Rang von 𝔰𝔬(2, n) keine Einschränkung. Die Einbettung 𝔤_{0} → 𝔪′, d.h. hier 𝔰𝔬(2, n) → 𝔰𝔲^{∗}(2k), gibt uns auch eine Abbildung der maximalen kompakten Unteralgebren 𝔰𝔬(2) ⊕ 𝔰𝔬(n) → 𝔰𝔭(k). Rangvergleich führt dann zu 1 + [\frac{n}{2}] < k, was jetzt im Widerspruch zu n > 2k steht. □

Anmerkungen zu Abschnitt 6. In derselben Weise, in der wir mit [Ma 79, Ma 82] die Dichte des Bildes unserer kompakt-kausalen Einbettungen gezeigt und die Zerlegung in Bahnen untersucht haben, sollten die anderen in [M] gegebenen Einbettungen G/H → G_{1}/P′ zu behandeln sein. Der in Abschnitt 6.1 behandelte Raum ist schon von Molchanov diskutiert worden [Mo].

7 Anhang A

In diesem Anhang geben wir für die klassischen symmetrischen Räume vom Cayleytyp die in Abschnitt 4 konstruierten kausalen Kompaktifizierungen explizit an. Für den exzeptionellen Raum, der zu dem Paar (𝔢_{7(−25)}, 𝔢_{6(−26)} ⊕ IR) assoziiert ist, erhält man aufgrund der Klassifikationsergebnisse in [M] die Kompaktifizierung E_{6(−14)} × S_{1}/F_{4(−20)} → E_{7(−25)}/P′, ohne das hier die Details gegeben werden. Zur

Notation sei angemerkt, daß wir aus Platzgründen oft Matrizen der Form ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )

oder ähnlicher Blockstruktur verwenden, ohne die Größe der einzelnen Blöcke A, B, …, anzugeben. Diese ist aber aus dem Kontext zu ersehen.

7.1 Die Kompaktifizierung von S(U(p, q) × U(q, p))/SU(p, q)

G_{1} = SU(n, n) = \{ ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ SL(2n, C) | \begin{matrix}^{t}A\overline{A} −^{t} C\overline{C} = I, ^{t}D\overline{D} −^{t} B\overline{B} = I \\ ^{t}A\overline{B} =^{t} C\overline{D} \end{matrix} \}

𝔤_{1} = 𝔰𝔲(n, n) = \{ ( \begin{matrix}Z_{1} & Z_{2} \\ ^{t}\overline{Z}_{2} & Z_{3} \end{matrix} ) ∈ 𝔰𝔩(2n, C) | \begin{matrix}Z_{1}, Z_{3} schiefhermitesch, \\ Z_{2} beliebig, Spur(Z_{1} + Z_{3}) = 0 \end{matrix} \}

Der reelle Rang von SU(n, n) ist n und wir können diesselben stark-orthogonalen Wurzeln wie für Sp(n, IR) in Beispiel 3.4 verwenden.

Als Cartanalgebra wählen wir dabei 𝔱 = {i diag(x_{1}, …, x_{n}, y_{1}, …, y_{n}) | x_{j}, y_{j} ∈

IR, ∑ x_{j} + ∑ y_{j} = 0\} und mit E_{j} = ( \begin{matrix}0 & E_{jj} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) bzw. E_{−j} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ E_{jj} & 0 \end{matrix} ) ist dann

H_{j} = [E_{j}, E_{−j}] = ( \begin{matrix}E_{jj} & 0 \\ 0 & −E_{jj} \end{matrix} ).

Mit X^{0} = ( \begin{matrix}0 & I \\ I & 0 \end{matrix} ) und exp \frac{π}{2}iX^{0} = iX^{0}, X^{0}X^{0} = I ist jetzt

τ(( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}0 & I \\ I & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & I \\ I & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}D & C \\ B & A \end{matrix} )

und somit

H_{1} := G_{1}^{τ} = \{( \begin{matrix}A & B \\ B & A \end{matrix} ) ∈ SL(2n, C) | \begin{matrix}^{t}A\overline{A} −^{t} B\overline{B} = I, \\ ^{t}A\overline{B} =^{t} B\overline{A} \end{matrix} \} ,

mit Liealgebra

𝔥_{1} = \{( \begin{matrix}Z_{1} & Z_{2} \\ Z_{2} & Z_{1} \end{matrix} ) | \begin{matrix}Z_{1} schiefhermitesch, Tr(Z_{1}) = 0, \\ Z_{2} Hermitesch \end{matrix} \} .

Lemma 7.1 φ : H_{1} → SL(n, C)·IR^{+}I, ( \begin{matrix}A & B \\ B & A \end{matrix} ) ↦ A+B, ist ein Isomorphismus.

Beweis: Wie man sofort verifiziert, ist φ ein Monomorphismus in GL(n, C), wobei die definierenden Relationen für H_{1} äquivalent zu (A+B)^{−1} = (^{t}\overline{A}−^{t} \overline{B}) sind. Für die Liealgebren ist φ : 𝔥_{1} → 𝔰𝔩(n, C) + IRI offensichtlich ein Isomorphismus und da GL(n, C) zusammenhängend ist, ist unsere Behauptung damit bewiesen. □

Da τ nicht mehr durch komplexe Konjugation gegeben wird, haben wir jetzt mit derselben Wahl der ϵ_{j} wie in Beispiel 3.4

σ(g) = Ad (∑ ϵ_{j} ( \begin{matrix}0 & −E_{jj} \\ E_{jj} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ I_{n} & 0 \end{matrix} )) (g) = Ad ( \begin{matrix}I_{p,q} & 0 \\ 0 & −I_{p,q} \end{matrix} ) (g)

und als Fixpunktgruppe

G = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & 0 & B_{2} \\ 0 & A_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & C_{2} & D_{1} & 0 \\ C_{3} & 0 & 0 & D_{4} \end{matrix} ) | \begin{matrix}A_{1}, D_{1} ∈ M(p × p, C) \\ A_{4}, D_{4} ∈ M(q × q, C) \\ B_{2}, C_{2} ∈ M(q × p, C) \\ B_{3}, C_{3} ∈ M(p × q, C) \end{matrix} \} ,

welche isomorph zu

\{(( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{4} & B_{3} \\ C_{2} & D_{1} \end{matrix} )) | \begin{matrix}^{t}\overline{A}_{k}A_{k} −^{t} \overline{C}_{m}C_{m} = I, ^{t}\overline{D}_{n}D_{n} −^{t} \overline{B}_{l}B_{l} = I \\ ^{t}A_{k}\overline{B}_{l} =^{t} C_{m}\overline{D}_{n}, Produkt der Determinanten 1 \\ (k, l, m, n) ∈ \{(1, 2, 3, 4), (4, 3, 2, 1)\} \end{matrix} \}

≃ S (U(p, q) × U(q, p))

ist. Unter derselben Abbildung wird H := G ∩ H_{1} auf

H̃ = \{(( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ B_{3} & A_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{4} & B_{3} \\ B_{2} & A_{1} \end{matrix} ))\} abgebildet, wobei diese Gruppe durch Projek-

tion auf einer der Komponenten isomorph auf SU(p, q) ≃ SU(q, p) geht.

Damit erhalten wir die kausale Kompaktifizierung

\begin{matrix}S (U(p, q) × U(q, p)) /H̃ & → Š \\ (( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{4} & B_{3} \\ C_{2} & D_{1} \end{matrix} )) H̃ & ↦ ( \begin{matrix}−A_{1} & B_{2} \\ B_{3} & −A_{4} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}D_{1} & −C_{2} \\ −C_{3} & D_{4} \end{matrix} )^{−1} \end{matrix}

wobei hier der Bergman-Šilov-Rand von SU(n, n)/S(U(n) × U(n)) in der Harish-Chandra-Realisierung durch Š = \{Z ∈ M(n × n, C) |^{t} Z\overline{Z} = I_{n}\} gegeben ist [KW].

7.2 Die Kompaktifizierung von U(2p, 2q)/Sp(p, q)

G_{1} = SO^{∗}(4n) = \{( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ∈ SL(4n, C) | \begin{matrix}^{t}A\overline{A} −^{t} \overline{B}B = I \\ ^{t}A\overline{B} +^{t} \overline{B}A = 0 \end{matrix} \}

Bemerkung. 1.) Die Komplexifizierung SO(4n, C) von G_{1} ist nicht einfach zusammenhängend. Wie in Abschnitt 6.1 ausgeführt, kann in diesem Fall G_{1}^{τ} ⊃ Z_{G_{1}}(X^{0}) eine echte Inklusion sein, wobei dann H_{(1)} durch Z_{G_{(1)}}(X^{0}) zu ersetzen ist. Für SO^{∗}(4n) tritt dieses Problem aber nicht auf — vgl. diesen und Abschnitt 7.4 —, da G_{1}^{τ} jeweils zusammenhängend ist.

2.) Die definierenden Gleichungen sichern bereits det ( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) = 1.

𝔤_{1} = 𝔰𝔬^{∗}(4n) = \{( \begin{matrix}Z_{1} & Z_{2} \\ −\overline{Z}_{2} & \overline{Z}_{1} \end{matrix} ) | \begin{matrix}Z_{1} schiefhermitesch \\ Z_{2} schiefsymmetrisch. \end{matrix} \}

Wir wählen 𝔱 = {i diag(x_{1}, …, x_{2n}, −x_{1}, …, −x_{2n}) | x_{j} ∈ IR} und

E_{j} = ( \begin{matrix}0 & E_{j,j+n} − E_{j+n,j} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) bzw. E_{−j} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ −E_{j,j+n} + E_{j+n,j} & 0 \end{matrix} ) ,

j = 1, …, n, als System von Wurzelvektoren, welche in den Wurzelräumen zu H_{j} =

[E_{j}, E_{−j}] = ( \begin{matrix}E_{jj} + E_{j+n,j+n} & 0 \\ 0 & −E_{jj} − E_{j+n,j+n} \end{matrix} ) liegen. Mit J_{n} := ( \begin{matrix}0 & I_{n} \\ −I_{n} & 0 \end{matrix} ) ∈

M(2n × 2n, IR) haben wir dann X^{0} = ( \begin{matrix}0 & J_{n} \\ −J_{n} & 0 \end{matrix} ) und exp \frac{π}{2}iX^{0} = iX^{0}, so daß

τ (( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}0 & J_{n} \\ −J_{n} & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}0 & J_{n} \\ −J_{n} & 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−J_{n}\overline{A}J_{n} & −J_{n}\overline{B}J_{n} \\ J_{n}BJ_{n} & −J_{n}AJ_{n} \end{matrix} ) .

Ein Element ist also dann und nur dann invariant, wenn A = −J_{n}\overline{A}J_{n} und B = −J_{n}\overline{B}J_{n} ist und wir erhalten als Fixpunktgruppe

H_{1} := G_{1}^{τ} = \{( \begin{matrix}A_{1} & A_{2} & B_{1} & B_{2} \\ −\overline{A}_{2} & \overline{A}_{1} & −\overline{B}_{2} & \overline{B}_{1} \\ −\overline{B}_{1} & −\overline{B}_{2} & \overline{A}_{1} & \overline{A}_{2} \\ B_{2} & −B_{1} & −A_{2} & A_{1} \end{matrix} ) | \begin{matrix}^{t}A\overline{A} −^{t} \overline{B}B = I \\ ^{t}A\overline{B} +^{t} \overline{B}A = 0 \end{matrix} \}

mit Liealgebra

𝔥_{1} = \{( \begin{matrix}Z_{11} & Z_{12} & Z_{21} & Z_{22} \\ −\overline{Z}_{12} & \overline{Z}_{11} & −\overline{Z}_{22} & \overline{Z}_{21} \\ −\overline{Z}_{21} & −\overline{Z}_{22} & \overline{Z}_{11} & \overline{Z}_{12} \\ Z_{22} & −Z_{21} & −Z_{12} & Z_{11} \end{matrix} ) | \begin{matrix}Z_{11} & schiefhermitesch \\ Z_{12} & symmetrisch \\ Z_{21} & schiefsymmetrisch \\ Z_{22} & Hermitesch \end{matrix} \} .

Zur Vereinfachung der Notation bezeichnen wir das oben gegebene Element aus H_{1} mit h(A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}), da die entsprechenden Untermatrizen es schon eindeutig bestimmen.

Lemma 7.2

φ : H_{1} → SU^{∗}(2n)IR^{+}I, h(A_{1}, A_{2}, B_{1}, B_{2}) ↦ ( \begin{matrix}A_{1} + B_{2} & A_{2} − B_{1} \\ −\overline{(A_{2} − B_{1})} & \overline{A_{1} + B_{2}} \end{matrix} ), ist ein

Gruppenisomorphismus, wobei SU^{∗}(2n) := \{( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ∈ SL(2n, C)\}, und die

definierenden Relationen für H_{1} äquivalent zu

( \begin{matrix}A_{1} + B_{2} & A_{2} − B_{1} \\ −\overline{(A_{2} − B_{1})} & \overline{A_{1} + B_{2}} \end{matrix} )^{−1} = ( \begin{matrix}^{t}\overline{(A_{1} − B_{2})} & −^{t}(A_{2} + B_{1}) \\ ^{t}\overline{(A_{2} + B_{1})} & ^{t}(A_{1} − B_{2}) \end{matrix} )

sind.

Der Beweis ist eine längere aber nichtsdestotrotz triviale Rechnung.

Mit ϵ_{j} = 1 für j = 1, …, p und ϵ_{j} = −1 für j = p + 1, …, n erhält man

σ(g) = Ad(diag(I_{p,q}, I_{p,q}, −I_{p,q}, −I_{p,q})(g), wobei I_{p,q} = ( \begin{matrix}I_{p} & 0 \\ 0 & −I_{q} \end{matrix} ) ∈ M(n × n, IR)

und die Fixpunktgruppe

G = \{( \begin{matrix}A_{11} & 0 & A_{21} & 0 & 0 & B_{12} & 0 & B_{22} \\ 0 & A_{14} & 0 & A_{24} & B_{13} & 0 & B_{23} & 0 \\ A_{31} & 0 & A_{41} & 0 & 0 & B_{32} & 0 & B_{42} \\ 0 & A_{34} & 0 & A_{44} & B_{33} & 0 & B_{43} & 0 \\ 0 & −\overline{B}_{12} & 0 & −\overline{B}_{22} & \overline{A}_{11} & 0 & \overline{A}_{21} & 0 \\ −\overline{B}_{13} & 0 & −\overline{B}_{23} & 0 & 0 & \overline{A}_{14} & 0 & \overline{A}_{24} \\ 0 & −\overline{B}_{32} & 0 & −\overline{B}_{42} & \overline{A}_{31} & 0 & \overline{A}_{41} & 0 \\ −\overline{B}_{33} & 0 & −\overline{B}_{43} & 0 & 0 & \overline{A}_{34} & 0 & \overline{A}_{44} \end{matrix} ) | \begin{matrix}A_{11}, A_{21}, A_{31}, A_{41} ∈ M(p × p, C) \\ A_{14}, A_{24}, A_{34}, A_{44} ∈ M(q × q, C) \\ B_{12}, B_{22}, B_{32}, B_{42} ∈ M(q × p, C) \\ B_{13}, B_{23}, B_{33}, B_{43} ∈ M(p × q, C) \\ ^{t}A\overline{A} −^{t} \overline{B}B = I, \\ ^{t}A\overline{B} +^{t} \overline{B}A = 0 \end{matrix} \} .

Diese Untergruppe ist isomorph zu U(2p, 2q), wenn wir ein Element der obigen Form auf

( \begin{matrix}A_{11} & A_{21} & B_{12} & B_{22} \\ A_{31} & A_{41} & B_{32} & B_{42} \\ −\overline{B}_{13} & −\overline{B}_{23} & \overline{A}_{14} & \overline{A}_{24} \\ −\overline{B}_{33} & −\overline{B}_{43} & \overline{A}_{34} & \overline{A}_{44} \end{matrix} )

abbilden. Das Bild von H = G ∩ H_{1} unter φ ist

\{( \begin{matrix}A_{11} & B_{22} & A_{21} & −B_{12} \\ B_{23} & A_{14} & −B_{13} & A_{24} \\ −\overline{A}_{21} & \overline{B}_{12} & \overline{A}_{11} & \overline{B}_{22} \\ \overline{B}_{13} & −\overline{A}_{24} & \overline{B}_{23} & \overline{A}_{14} \end{matrix} ) | \begin{matrix}^{t}A_{1}\overline{A}_{1} +^{t} \overline{A}_{2}A_{2} −^{t} \overline{B}_{1}B_{1} −^{t} B_{2}\overline{B}_{2} = I \\ ^{t}A_{1}\overline{A}_{2} −^{t} \overline{A}_{2}A_{1} −^{t} \overline{B}_{1}B_{2} +^{t} B_{2}\overline{B}_{1} = 0 \\ ^{t}A_{1}\overline{B}_{1} +^{t} A_{2}B_{2} +^{t} \overline{B}_{1}A_{1} +^{t} B_{2}\overline{A}_{2} = 0 \\ ^{t}A_{2}\overline{B}_{1} −^{t} \overline{A}_{1}B_{2} +^{t} \overline{B}_{2}A_{1} −^{t} B_{1}\overline{A}_{2} = 0 \end{matrix} \}

und die Untergruppe φ(H) ist dann isomorph zu Sp(p, q) via Konjugation mit der Diagonalmatrix diag(I_{n}, −I_{p,q}).

7.3 Die Kompaktifizierung von SO(2, n−1)×SO(2)/S(O(1)× O(1, n − 1))

Wir arbeiten wie in Abschnitt 6.1 mit G_{1} = SO(2, n + 1) =

\{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | \begin{matrix}A ∈ M(2 × 2, IR), D ∈ M(n + 1 × n + 1, IR) \\ ^{t}AA −^{t}CC = I, ^{t}DD −^{t}BB = I, ^{t}AB = ^{t}CD \end{matrix} \} .

Für eine Diskussion der Implikationen wegen der nicht einfach zusammenhängenden Komplexifizierung von G_{1} verweisen wie auf die entsprechenden Anmerkungen in demselben Abschnitt und wir können wieder n ≥ 2 annehmen, so daß der reelle Rang von G_{1} zwei ist.

Als Vektoren E_{±j} verwenden wir wieder die in Abschnitt 6.1 eingeführten, so daß auch X^{0}, τ und H_{1} bzw. Z_{G_{1}}(X^{0}) identisch sind. Mit Y_{1} − Y_{2} = 2(E_{n+2,1} + E_{1,n+2}) haben wir exp i\frac{π}{2}(Y_{1} − Y_{2}) = diag(−1, 1, …, 1, −1, 1) und somit σ(g) = Ad(I_{n,2})(g), so daß wir als Fixpunktgruppe

G = \{( \begin{matrix}A & B′ & 0 \\ C′ & D′_{1} & 0 \\ 0 & 0 & D_{4} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | … \} ≃ S(O(2, n − 1) × O(2))

erhalten. Es ist jetzt trivial, denn Schnitt des Zentralisators von X^{0} mit G zu bestimmen und wir erhalten G/Z_{G}(X^{0}) = SO(2, n + 1) × SO(2)/Z(X^{0}), wobei

Z(X^{0}) = \{( \begin{matrix}a_{1} & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & a_{4} & B′_{2} & 0 & 0 \\ 0 & C′_{3} & D′_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a_{1} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | \begin{matrix}a_{1} ∈ \{±1\}, \\ ( \begin{matrix}a_{4} & B′_{2} \\ C′_{3} & D′_{1} \end{matrix} ) ∈ O(1, n) \end{matrix} \}

≃ S(O(1) × O(1, n − 1)).

7.4 Die Kompaktifizierung von SO^{∗}(2n) × SO^{∗}(2n)/SO^{∗}(2n)

G_{1} = SU(2n, 2n) = \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ SL(4n, C) | \begin{matrix}^{t}A\overline{A} −^{t}C\overline{C} = I, ^{t}D\overline{D} −^{t}B\overline{B} = I \\ ^{t}A\overline{B} = ^{t}C\overline{D} \end{matrix} \}

und mit ρ(g)Ad ( \begin{matrix}0 & I_{2n} \\ −I_{2n} & 0 \end{matrix} ) (\overline{g}) erhalten wir die Fixpunktgruppe

G′_{1} = \{( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ∈ SL(4n, C) | \begin{matrix}^{t}A\overline{A} −^{t} \overline{B}B = I \\ ^{t}A\overline{B} +^{t} \overline{B}A = 0 \end{matrix} \} ≃ SO^{∗}(4n),

welche einfach ist mit G′_{1}/K′_{1} Hermitesch vom Tubentyp. Als E_{±j} wählen wir die von Beispiel 4.13 für j = 1, …, n bzw. die mit −1 multiplizierten für j = n + 1, …, 2n. Mit E′_{±j′} = E_{±j′} + E_{±(j′+n)} erhalten wir dann Wurzelvektoren, welche in 𝔤′_{1C} liegen, und da der reelle Rang von SO^{∗}(4n) gleich n ist, so bilden diese Vektoren ein die Bedingungen (i) und (ii) aus Proposition 4.12 erfüllendes System. Sei jetzt ϵ_{j} = 1 für

j = 1, …, n bzw. −1 für j = n+1, …, 2n, dann ist σ(g) = Ad ( \begin{matrix}I_{n,n} & 0 \\ 0 & I_{n,n} \end{matrix} ) (g) und

σ kommutiert mit ρ, da [( \begin{matrix}I_{n,n} & 0 \\ 0 & I_{n,n} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 & I_{2n} \\ −I_{2n} & 0 \end{matrix} )] = 0. Für die Fixpunktgruppe

von σ in G′_{1} bzw. die dazu assoziierte Gruppe erhält man

G′ = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & B_{1} & 0 \\ 0 & A_{4} & 0 & B_{4} \\ −\overline{B}_{1} & 0 & \overline{A}_{1} & 0 \\ 0 & −\overline{B}_{4} & 0 & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) | \begin{matrix}^{t}A_{i}\overline{A_{i}} −^{t}\overline{B_{i}}B_{i} = I, \\ ^{t}A_{i}\overline{B_{i}} +^{t}\overline{B_{i}}A_{i} = 0, \\ i ∈ \{1, 4\} \end{matrix} \} ≃ SO^{∗}(2n) × SO^{∗}(2n)

und

G′_{a} = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & 0 & B_{2} \\ 0 & A_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & −\overline{B}_{2} & \overline{A}_{1} & 0 \\ −\overline{B}_{3} & 0 & 0 & \overline{A}_{4} \end{matrix} ) | … \} ≃ U(n, n),

so daß, da der reelle Rang der assoziierten Gruppe n ist, auch Bedingung (iii)

erfüllt ist. Mit τ(g) = Ad(exp i\frac{π}{2}X^{0})(g) = Ad ( \begin{matrix}0 & J_{n} \\ −J_{n} & 0 \end{matrix} ) (g) ist jetzt die durch

diese Involution definierte Untergruppe der fixen Elemente in G′

H′ = \{( \begin{matrix}A_{1} & 0 & B_{1} & 0 \\ 0 & \overline{A}_{1} & 0 & \overline{B}_{1} \\ −\overline{B}_{1} & 0 & \overline{A}_{1} & 0 \\ 0 & −B_{1} & 0 & A_{1} \end{matrix} ) | \begin{matrix}^{t}A_{1}\overline{A_{1}} −^{t} \overline{B_{1}}B_{1} = I, \\ ^{t}A_{1}\overline{B_{1}} +^{t}\overline{B_{1}}A_{1} = 0 \end{matrix} \} ≃ SO^{∗}(2n).

Schließlich ergibt sich mit c = exp(\frac{π}{2}iY^{0}) = cos \frac{π}{4} I −sin \frac{π}{4} Y^{0} wie in Beispiel 4.13 als Kompaktifizierung

\begin{matrix}SO^{∗}(2n) × SO^{∗}(2n)/SO^{∗}(2n) & → & Š \\ (( \begin{matrix}A_{1} & B_{1} \\ −\overline{B}_{1} & \overline{A}_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}\overline{A}_{4} & \overline{B}_{4} \\ −B_{4} & A_{4} \end{matrix} )) Δ(SO^{∗}(2n) × SO^{∗}(2n)) & ↦ & ( \begin{matrix}B_{1} & −A_{1} \\ A_{4} & B_{4} \end{matrix} ) ( \begin{matrix}\overline{A}_{1} & \overline{B}_{1} \\ −\overline{B}_{4} & \overline{A}_{4} \end{matrix} )^{−1}, \end{matrix}

wobei der Bergman-Šilov-Rand von SO^{∗}(4n)/U(2n) ⊂ SU(2n, 2n)/S(U(2n) × U(2n)) hier durch Š = {Z ∈ M(2n × 2n, C)|Z^{∗}Z = I_{2n}, ^{t}Z = −Z} gegeben ist [He, S. 527].

8 Anhang B

Wir geben hier einige nach dem in Abschnitt 5 gegebenen Verfahren konstruierte kausale Kompaktifizierungen. Für die Notation gilt das in Anhang A Gesagte analog.

8.1 Modifizierte Kompaktifizierung von SU(p, p)/SL(p, C) · IR^{+}I

Für p = q erhalten wir mit der analytischen Untergruppe zu [𝔤, 𝔤] aus Abschnitt 7.1 einen irreduziblen kompakt-kausalen Raum, derart daß G_{1}; = [G, G] vom Tubentyp ist,

G_{1} = \{(( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{4} & B_{3} \\ C_{2} & D_{1} \end{matrix} )) | ( \begin{matrix}A_{k} & B_{l} \\ C_{m} & D_{n} \end{matrix} ) ∈ SU(p, p)\} ,

und τ(g, h) = (Ad(L_{p})h, Ad(L_{p})g), mit L_{p} = ( \begin{matrix}0 & I_{p} \\ I_{p} & 0 \end{matrix} ). Zur Vereinfachung der

Notation ist hier die Gruppe gleich unter Verwendung des in Abschnitt 7.1 definierten Isomorpismus gegeben. Der reelle Rang ist 2p und wir definieren ein System stark-orthogonaler Wurzelvektoren der zweiten Art durch E_{j} = (iE_{j,j+p}, 0), E_{−j} = (−iE_{j+p,j}, 0), E_{j+p} = (0, iE_{j,j+p}) und E_{−j−p} = (0, −iE_{j+p,j}) für j = 1, …, p. Damit ist X^{0} = (iJ_{p}, iJ_{p}) und

σ (( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{4} & B_{3} \\ C_{2} & D_{1} \end{matrix} )) = (( \begin{matrix}A_{4} & −B_{3} \\ −C_{2} & D_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{1} & −B_{2} \\ −C_{3} & D_{4} \end{matrix} )) .

Für die Fixpunktgruppe dieser Involution ergibt sich

G = \{(( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{1} & −B_{2} \\ −C_{3} & D_{4} \end{matrix} ))| …\} ≃ SU(p, p),

wobei der Isomorphismus durch Projektion auf einen der Faktoren definiert wird.

Die assoziierte Gruppe G_{a} := G_{1}^{σΘ} ist entsprechend

G_{a} = \{(( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ))\} ≃ SU(p, p)

und hat reellen Rang p. Damit ist 𝔞 ∩ 𝔮_{1σ} maximal abelsch in 𝔤_{a} ∩ 𝔭_{1}, wie wir es für die Kompaktifizierung eines Raums mit einem System von Wurzelvektoren zweiter Art gefordert haben.

Wir wissen aus Abschnitt 7.1, daß die Untergrupppe H_{1} durch die Gleichungen C_{3} = B_{3}, C_{2} = B_{2}, D_{4} = A_{4} und D_{1} = A_{1} definiert ist. Somit ist

H = \{(( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ −B_{2} & A_{1} \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}A_{1} & −B_{2} \\ B_{2} & A_{1} \end{matrix} )) ∈ SL(2p, C) × SL(2p, C) | \begin{matrix}^{t}A_{1}\overline{A}_{1} −^{t} B_{2}\overline{B}_{2} = I \\ ^{t}A_{1}\overline{B}_{2} +^{t} B_{2}\overline{A}_{1} = 0 \end{matrix} \}

und es gilt:

Lemma 8.1 φ : pr_{1}H → SL(p, C) · IR^{+}I, ( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ −B_{2} & A_{1} \end{matrix} ) ↦ A_{1} + iB_{2}, ist ein Iso-

morphismus.

Beweis: Trivialerweise ist φ ein Monomorphismus in GL(p, C), wobei die definierenden Relationen äquivalent zu (A_{1} + iB_{2})^{−1} = ^{t}\overline{A}_{1} + i^{t}\overline{B}_{2} sind. Für die Liealgebren ist φ : pr_{1}𝔥 → 𝔰𝔩(p, C) + IRI surjektiv und pr_{1}H ist zusammenhängend, da pr_{1}H ∩ pr_{1}K ≃ SU(p), was zusammen die Behauptung beweist. □

Schließlich ist dann mit c = (\frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}I & −iI \\ −iI & I \end{matrix} ) , \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}I & −iI \\ −iI & I \end{matrix} )) und Š dem

Bergman-Šilov-Rand von SU(p, p) in der Harish-Chandra-Realisierung die Kompaktifizierung durch

\begin{matrix}SU(p, p)/pr_{1}H & → Š × Š \\ ( \begin{matrix}A_{1} & B_{2} \\ C_{3} & D_{4} \end{matrix} ) pr_{1}H & ↦ ((−iA_{1} + B_{2})(−iC_{3} + D_{4})^{−1}, (−iA_{1} − B_{2})(iC_{3} + D_{4})^{−1}) \end{matrix}

gegeben.

Der Cayleyraum SU(p, p)/SL(p, C) · IR^{+}I besitzt natürlich auch eine Kompaktifizierung nach Abschnitt 3. Geht man wie in Beispiel 3.4 unter Verwendung der

Resultate aus Abschnitt 7.1 vor, so erhält man mit H̃ = \{( \begin{matrix}A & B \\ B & A \end{matrix} ) ∈ SU(p, p)\} ≃

SL(p, C) · IR^{+}I als Kompaktifizierung

\begin{matrix}SU(p, p)H̃ → Š × Š \\ ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) H̃ ↦ ((A + B)(C + D)^{−1}, (−A + B)(−C + D)^{−1}) . \end{matrix}

Dabei sind diese Kompaktifizierungen durch Konjugation mit ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) — es ist

Ad ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & i \end{matrix} ) H̃ = pr_{1}H — und einer geeigneten komplexen Rotation in Š × Š —-

es ist exp(λZ^{0})|Š ein Diffeomorphismus von Š — ineinander zu überführen, also äquivalent.

8.2 Die Kompaktifizierung von Sp(2p, IR)/Sp(p, C)

Wie oben erhalten wir von Abschnitt 7.2 für p = q einen kompakt-kausalen symmetrischen Raum

G_{1} = \{( \begin{matrix}A_{11} & A_{21} & B_{12} & B_{22} \\ A_{31} & A_{41} & B_{32} & B_{42} \\ −\overline{B}_{13} & −\overline{B}_{23} & \overline{A}_{14} & \overline{A}_{24} \\ −\overline{B}_{33} & −\overline{B}_{43} & \overline{A}_{34} & \overline{A}_{44} \end{matrix} ) ∈ SL(4p, C) | … \} ≃ SU(2p, 2p),

wobei G_{1} vom Tubentyp ist, mit

τ (( \begin{matrix}A_{11} & A_{21} & B_{12} & B_{22} \\ A_{31} & A_{41} & B_{32} & B_{42} \\ −\overline{B}_{13} & −\overline{B}_{23} & \overline{A}_{14} & \overline{A}_{24} \\ −\overline{B}_{33} & −\overline{B}_{43} & \overline{A}_{34} & \overline{A}_{44} \end{matrix} )) = ( \begin{matrix}\overline{A}_{41} & −\overline{A}_{31} & \overline{B}_{42} & −\overline{B}_{32} \\ −\overline{A}_{21} & \overline{A}_{11} & −\overline{B}_{22} & \overline{B}_{12} \\ −B_{43} & B_{33} & A_{44} & −A_{34} \\ B_{23} & −B_{13} & −A_{24} & A_{14} \end{matrix} ) ,

d.h. τ(g) = Ad ( \begin{matrix}J_{p} & 0 \\ 0 & J_{p} \end{matrix} ) (\overline{g}). Der reelle Rang dieser Gruppe ist 2p und

E_{j} = ( \begin{matrix}0 & iE_{j,j+p} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , E_{−j} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ −iE_{j+p,j} & 0 \end{matrix} )

bzw.

E_{j+p} = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ iE_{j,j+p} & 0 \end{matrix} ) , E_{−(j+p)} = ( \begin{matrix}0 & −iE_{j+p,j} \\ 0 & 0 \end{matrix} ) ,

für j = 1, …, p, gibt ein System von Wurzelvektoren zweiter Art. Damit ist X^{0} =

( \begin{matrix}0 & iJ_{p} \\ iJ_{p} & 0 \end{matrix} ), σ(g) = Ad ( \begin{matrix}0 & I_{p} \\ I_{p} & 0 \end{matrix} ) (\overline{g}) und die Fixpunktgruppe von σ

G = \{( \begin{matrix}A & B \\ \overline{B} & \overline{A} \end{matrix} ) ∈ SU(2p, 2p)\} ≃ Sp(2p, IR).

Die assoziierte Gruppe G_{a} = G_{1}^{σΘ} wird von den Elementen der Form ( \begin{matrix}A & B \\ −\overline{B} & \overline{A} \end{matrix} )

gebildet und diese Untergruppe von SU(2p, 2p) ist isomorph zu SO^{∗}(4p), welche reellen Rang p hat. Die Fixpunktgruppe der Involution τ in G ist

H = \{( \begin{matrix}A_{11} & A_{21} & B_{12} & B_{22} \\ −\overline{A}_{21} & \overline{A}_{11} & −\overline{B}_{22} & \overline{B}_{12} \\ \overline{B}_{12} & \overline{B}_{22} & \overline{A}_{11} & \overline{A}_{21} \\ −B_{22} & B_{12} & −A_{21} & A_{11} \end{matrix} ) ∈ SL(4p, C) | \begin{matrix}^{t}\overline{A}_{11}A_{11} +^{t}A_{21}\overline{A}_{21} −^{t}B_{12}\overline{B}_{12} −^{t}\overline{B}_{22}B_{22} = I, \\ ^{t}\overline{A}_{11}A_{21} −^{t}A_{21}\overline{A}_{11} −^{t}B_{12}\overline{B}_{22} +^{t}\overline{B}_{22}B_{12} = 0, \\ ^{t}A_{11}\overline{B}_{12} +^{t}A_{21}B_{22} −^{t}B_{12}A_{11} −^{t}B_{22}\overline{A}_{21} = 0, \\ ^{t}\overline{A}_{11}B_{22} −^{t}A_{21}B_{12} −^{t}\overline{B}_{12}A_{21} +^{t}B_{22}\overline{A}_{11} = 0 \end{matrix} \}

und durch direkte Rechnung beweist man

Lemma 8.2 φ : H → Sp(p, C), h ↦ ( \begin{matrix}A_{11} + iB_{22} & A_{21} − iB_{12} \\ −\overline{A}_{21} + i\overline{B}_{12} & \overline{A}_{11} + i\overline{B}_{22} \end{matrix} ), ist ein Isomor-

phismus, wobei Sp(p, C) := \{( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ GL(2p, C) | \begin{matrix}^{t}AD −^{t} CB = I \\ ^{t}AC =^{t} CA, ^{t}BD =^{t} DB \end{matrix} \} .

8.3 Kompaktifizierung von SO(2, q)/SO(1, q) × SO(p + 1)/S(O(p) × O(1))

Sei G_{1} = SO(2, n + 1) und die E_{±j} sowie τ wie in Abschnitt 6.1 definiert, dann ist τ(E_{±j}) = E_{∓j} und indem wir wie in Beispiel 5.3 Ẽ_{±j} = ±iE_{±j} setzen, erhalten wir ein System erster Art. Es gilt dann wieder σ = Θ_{r} und man erhält einen kausalen Diffeomorphismus K_{1}/Z_{K_{1}}(X̃^{0}) → Š. Wie im zitierten Beispiel angemerkt, ist hier H = H_{1} ∩ K_{1} durch Z_{K_{1}}(X̃^{0}) zu ersetzen, da G_{1C} nicht einfach zusammenhängend ist.

Das Verfahren läßt sich modifizieren, wenn für τ die Konjugation mit diag(1, −1, …, −1, 1, …, 1), wobei −1 von der zweiten bis zur (p + 2)-ten Stelle steht, wählen. Man erhält

H_{1} = \{( \begin{matrix}a_{1} & 0 & 0 & B_{2} \\ 0 & a_{4} & B_{3} & 0 \\ 0 & C_{2} & D_{1} & 0 \\ C_{3} & 0 & 0 & D_{4} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | … \} ≃ S(O(1, p) × O(1, q + 1))

und somit ist G_{1}/H_{1} kompakt-kausal [H’O, Thm. 3.3.7]. In diesem Fall ist

E_{1} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & … & −i & −1 \\ ⋮ & & −1 & i \\ −i & −1 \\ −1 & i & & & ⋮ \\ & & & … & 0 \end{matrix} ) und E_{2} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 & … & i & −1 \\ ⋮ & & 1 & i \\ i & 1 \\ −1 & i & & & ⋮ \\ & & & … & 0 \end{matrix} )

zu wählen, wobei der erste nichtverschwindende Eintrag −i bzw. i in der ersten Zeile in der (p + 1)-ten Spalte auftritt und die E_{j} symmetrisch sind. Die Vektoren zu den negativen Wurzeln sind dann durch E_{−j} = −ΘE_{j} gegeben. Bei dieser Wahl ist τ(E_{±j}) = E_{∓j}, so daß man mit Ẽ_{±j} := ±iE_{±j} wieder ein System erster Art erhält. Damit ist σ(g) = Ad(exp \frac{π}{2}iX̃^{0})τ(g) = Ad(diag(1, 1, −1, …, −1, 1, …, 1))(g), wobei hier −1 von der dritten bis zur (p + 3)-ten Position steht, und

G := G_{1}^{σ} = \{( \begin{matrix}A & 0 & B′ \\ 0 & D′_{1} & 0 \\ C′ & 0 & D′_{4} \end{matrix} ) ∈ SO(2, n + 1) | \begin{matrix}A ∈ M(2 × 2, C), \\ D′_{1} ∈ M(p + 1 × p + 1, C), \\ D′_{4} ∈ M(q × q, C) \end{matrix} \}

≃ S(O(2, q) × O(p + 1)).

Der Schnitt mit der Fixpunktgruppe von τ liefert

H = \{( \begin{matrix}a_{1} & 0 & 0 & 0 & B′_{2} \\ 0 & a_{4} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & D_{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & d_{4} & 0 \\ C′_{3} & 0 & 0 & 0 & D′_{4} \end{matrix} ) ∈ SL(n + 3, IR) | … \}

≃ S(O(1, q) × O(1) × O(p) × O(1))

und der Zentralisator von X̃^{0} = −2(E_{2,p+3} + E_{p+3,2}) wird von den Elementen in H mit a_{1}d_{4} = 1 gebildet — Z_{G}(X̃^{0}) ≃ S(O(1, q) × O(1) × O(p)) —, so daß wir eine Kompaktifizierung für G/Z_{G}(X̃^{0}) = SO(2, q)/SO(1, q) × SO(p + 1)/S(O(1) × O(p)) erhalten.

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Artikel in Vorbereitung

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Lebenslauf

2.6.1966 geboren in Menden (Kreis Iserlohn); Staatsangehörigkeit deutsch

Eltern Dr. Hans-Gerd Betten und Dr. Bärbel Betten

ab 1972 Besuch der Grundschule in Spardorf ab 1976 Besuch des Emil-von-Behring-Gymnasiums in Spardorf Juni 1985 Abitur am Emil-von-Behring-Gymnasium Okt. 1986 Beginn des Physikstudiums zum Wintersemester 86/87 an der Georg-August-

Universität zu Göttingen

27.10.88 Vordiplom in Physik 11.2.92 Diplom in Physik ab 4.92 Promotion am Mathematischen Institut der Georg-August-Universität