Konstruktion spezieller Holomorphiehüllen

Ulrich Armbrüster

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2 2 Methoden der holomorphen Fortsetzung 4

2.1 Zusammenstellung einiger bekannter Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Anwendung auf konkrete Fälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Anwendung in der Quantenfeldtheorie 20 3.1 C^{∗}-Algebren und ihre Darstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Der axiomatische Rahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Das Spektrum der Translationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Ergänzungen und Ausblicke 31 Glossar 37 Literaturverzeichnis 38

1 Einleitung

In dieser Arbeit werden Untersuchungen zum Energie-Impuls-Spektrum im Rahmen der algebraischen Formulierung der Quantenfeldtheorie angestellt. Im Gegensatz zum Wightmanschen Ansatz spielen bei der algebraischen Formulierung nur Observable eine Rolle, die durch beschränkte Operatoren dargestellt werden. Dies ist nur scheinbar eine Einschränkung, denn statt der üblichen selbstadjungierten Operatoren werden hier deren stets beschränkte Spektralprojektoren betrachtet, die immer im Abschluß der Darstellung der Observablenalgebra liegen. Auch im etwas allgemeineren Fall eines abschließbaren Operators erhält man über die Polarzerlegung des Abschlusses in einen isometrischen und einen selbstadjungierten Operator wieder die Möglichkeit, nur beschränkte Operatoren zu betrachten. Diese lassen sich mathematisch einfacher behandeln, da man nicht auf die jeweiligen Definitionsbereiche achtgeben muß. Die wesentlichen physikalischen Prinzipien des algebraischen Ansatzes sind die Isotonie, die Translationsinvarianz, die Einsteinkausalität und die Spektrumsbedingung. Die Axiome, so wie sie hier benötigt werden, werden in Abschnitt 3.2 beschrieben. Sie beruhen auf den Arbeiten [HaKa] und [Ara].

In Abschnitt 3.3 gilt das Augenmerk dem Spektrum der Translationen. Aus der Forderung der Translationsinvarianz folgt, daß sich die Translationen als Symmetriegruppe unitär darstellen lassen. Daraus erhält man stets auf eindeutige Weise den Energie-Impuls-Operator einer Theorie. Das Spektrum der Translationen ist dann gerade die Menge der möglichen Meßwerte für Energie und Impuls. Über die Eigenschaften des Spektrums gibt es bereits eine Reihe von Veröffentlichungen ([BoBu], [Bor2]-[Bor5]).

Eine besondere Rolle unter den Darstellungen der Observablenalgebra spielen die Faktordarstellungen. Man bezeichnet sie auch als Superauswahlsektoren. Sie repräsentieren die Menge derjenigen Zustände, die dieselben Ladungsquantenzahlen haben. Betrachtet man beispielsweise den Zustand, der dem Vorhandensein eines Teilchens mit einer bestimmten Ladung entspricht, so hat der Zustand, der zwei dieser Teilchen sowie einem dazugehörigen Antiteilchen entspricht, wieder dieselbe Ladung. Die für das 3-Teilchen-System möglichen Energie-Impuls-Werte sollten aber wieder zum Spektrum gehören. Bezeichnet man das Spektrum der Translationen zum Superauswahlsektor A mit S_{A}, so vermutet man daher:

3 S_{A} ⊂ S_{A}.  (1)

Ein mathematischer Beweis dieser Vermutung wäre wünschenswert, kann hier aber leider nicht vorgelegt werden. Die stärkste in dieser Arbeit bewiesene Aussage stellt eine gewisse Beschränktheitseigenschaft des Spektrums dar. Wichtigstes Element bei deren Beweis ist die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, genauer gesagt: Methoden der holomorphen Fortsetzung. Holomorphe Funktionen kommen über die Matrixelemente der Translationsgruppe ins Spiel. Wahrscheinlich kann Vermutung 1 auf analoge Art bewiesen werden; die mir bekannten Möglichkeiten der holomorphen Fortsetzung reichen dafür aber nicht aus.

Der erste Abschnitt der vorliegenden Arbeit widmet sich den Vorbereitungen der Fortsetzungsmethoden zum Beweis der bereits erwähnten Beschränktheitseigenschaft des Spektrums. Außerdem werden noch einige verwandte Aussagen behandelt.

Seit einiger Zeit hat man dabei mit dem Satz von Pflug ein Hilfsmittel in der Hand (s. [Pf2]), das es gestattet, sich bei der Untersuchung der Fortsetzbarkeit aller holomorphen Funktionen auf eine kleine Unterklasse zu beschränken.

Die hier vorkommenden Beispiele beziehen sich alle auf die folgende Situation: Gegeben ist eine Funktion f, die in der Vorwärts- und in der Rückwärtstube holomorph ist und die darüberhinaus in der Vereinigung dieser beiden Tuben mit einer kleinen Umgebung einer gewissen Menge K ⊂ IR^{n} stetig ist. Gesucht ist eine größere Menge, in die hinein f holomorph fortsetzbar ist. Je nach Gestalt von K erhält man dabei unterschiedliche Resultate. Eine anschauliche Illustration dieser Situation findet man z.B. bei [KK] im Zusammenhang mit dem Edge-of-the-Wedge-Theorem. Dieses hat in der mathematischen Quantenfeldtheorie zahlreiche Anwendungen und geht auf den Artikel [BOT] zurück. Auch in der vorliegenden Arbeit ist das Edge-of-the-Wedge-Theorem grundlegend für den gesamten Verlauf. Den ersten Beweis der hier benutzten Form findet man bei [Bro]. Für bestimmte reelle Mengen K (man sagt ”Koinzidenzbereich”, wie aus dem Edge-of-the-Wedge-Theorem ersichtlich wird) ist es sogar möglich, die Holomorphiehülle der Vereinigung einer kleinen Umgebung von K mit den beiden Tuben zu bestimmen. Beispiele dafür sind die in der Jost-Lehmann-Dyson-Formel vorkommenden Gebiete. In Abschnitt 2.2 wird für eine weitere Klasse von Bereichen die Holomorphiehülle berechnet. In den meisten Fällen kann man aber nur eine gewisse Teilmenge der Holomorphiehülle ermitteln.

Soweit nicht anders zitiert, findet man die Voraussetzungen und Begriffe zur Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher in den Lehrbüchern [GF], [Gun] und [KK]. Die hier benutzten Begriffe der Quantenfeldtheorie findet man z.B. bei [Bog] und [Hor].

Ich danke Herrn Prof. Borchers für die gute Zusammenarbeit und viele nützliche Hinweise.

2 Methoden der holomorphen Fortsetzung

2.1 Zusammenstellung einiger bekannter Ergebnisse

Unter einem Holomorphiegebiet versteht man bekanntlich eine zusammenhängende offene Menge G ⊂ C^{n}, für die es eine Funktion f gibt, die in G holomorph ist, die aber durch keinen Randpunkt von G hindurch holomorph fortgesetzt werden kann; d.h., daß für jede Potenzreihenentwicklung von f um den Punkt z ∈ G, die in einem Polyzylinder Δ(z, R) um z vom Polyradius R konvergiert, gilt: Δ(z, R) ⊂ G. Ein Holomorphiegebiet G^{∗} ⊃ G, in das hinein jede in G holomorphe Funktion holomorph fortsetzbar ist, heißt schlichte Holomorphiehülle von G. Nicht jedes Gebiet hat allerdings eine schlichte Holomorphiehülle, im allgemeinen Fall erhält man ein Riemannsches Gebiet über dem C^{n} als Holomorphiehülle. In beiden Fällen soll mit H(G) die Holomorphiehülle von G bezeichnet werden.

Definition 2.1 Eine auf dem Gebiet G holomorphe Funktion f heißt von polynomialem Wachstum, falls es ein N ∈ IN und ein c > 0 gibt, so daß für alle z ∈ G gilt:

|f(z)| ≤ c(Δ_{G}(z))^{−N},

hierbei ist Δ_{G} für z ∈ G definiert durch

Δ_{G}(z) := min{dist(z, ∂G), (1 + ∥z∥^{2})^{−1/2}}.

Mit diesen Bezeichnungen gilt folgender

Satz 2.2 (Pflug) Seien G ⊂ G′ Gebiete mit H(G′) ⊂ C^{n}. Ist jede auf G holomorphe Funktion von beschränktem Wachstum nach G′ holomorph fortsetzbar, so kann jede in G holomorphe Funktion holomorph nach G′ fortgesetzt werden (und folglich auch nach H(G′)).

Beweis Die Aussage gilt gemäß [Pf2] für die Funktionenklasse definiert durch

|f(z)| ≤ c(Δ̃_{G}(z))^{−N}

mit Δ̃_{G}(z) = (1+∥z∥^{2})^{−1/2} min{1, dist(z, ∂G)}. Die in [Pf1] eingeführte durch Δ_{G} beschriebene Funktionenmenge stimmt aber mit der durch Δ̃_{G} beschriebenen überein, denn es gilt stets:

(Δ_{G}(z))^{2} ≤ Δ̃_{G}(z) ≤ Δ_{G}(z).

Definition 2.3 Unter einer 2-dim. analytischen Fläche versteht man eine Menge F ⊂ C^{n}, für die zu jedem Punkt z_{0} ∈ F ein Bereich U ⊂ C und eine vektorwertige Funktion h_{z_{0}} : U ⟶ C^{n} existieren, so daß 1. z_{0} = h_{z_{0}}(λ_{0}) für ein λ_{0} ∈ U

2. h_{z_{0}} ist holomorph in U

3. {z = h_{z_{0}}(λ) | λ ∈ U} stellt in der Nähe von z_{0} gerade F dar

4. Die vektorwertige Funktion \frac{d}{dλ}h_{z_{0}} verschwindet nirgends in U.

Mit dem Satz über implizite Funktionen folgt, daß man eine solche analytische Fläche F ⊂ C^{n} stets als komplexe Untermannigfaltigkeit des C^{n} auffassen kann. Der Begriff der analytischen Fläche wird jetzt benutzt, um explizit ein Gebiet anzugeben, das echt größer ist als das Ausgangsgebiet und das noch ganz in dessen Holomorphiehülle liegt.

Satz 2.4 Sei (G_{α})_{α∈IN} eine Folge von zusammenhängenden Mengen, die offen in 2-dim. analytischen Flächen F_{α} enthalten sind, weiterhin sei stets \overline{G_{α}} ⊂ F_{α}. Für ein Gebiet G ⊂ C^{n} gelte (mit ∂G_{α} = \overline{G_{α}} \ G_{α}):

1. G_{α} ⊂⊂ G

2. lim_{α→∞} G_{α} =: S_{0}

3. lim_{α→∞} ∂G_{α} =: T_{0} ⊂⊂ G

4. S_{0} ist beschränkt

Dann gilt: S_{0} ⊂ H(G). Die Konvergenz von (G_{α}) und (∂G_{α}) ist dabei in folgendem Sinne zu verstehen: Man sagt, die Folge von Mengen (A_{k}), A_{k} ⊂ C^{n}, konvergiere gegen die Menge A ⊂ C^{n} ( lim_{k→∞} A_{k} = A), falls A gerade aus den Grenzwerten aller in C^{n} konvergenten Folgen (a_{k}) mit a_{k} ∈ A_{k} besteht.

Dieser Satz wird oft als schwacher Kontinuitätssatz bezeichnet. Den Beweis findet man z.B. bei [Vl3] und [Bre]. Wesentlich ist darin, daß 2-dim. analytische Flächen das Maximumprinzip bzgl. der Beträge von holomorphen Funktionen erfüllen, also daß für eine auf der beschränkten Menge \overline{G_{α}} ⊂ F holomorphe Funktion f stets gilt:

sup_{z∈\overline{G_{α}}} |f(z)| = sup_{z∈∂G_{α}} |f(z)|.

Definition 2.5 Unter dem Skalarprodukt zweier Vektoren im IR^{n} werde im folgenden immer das indefinite Minkowskiprodukt verstanden: ab = a_{0}b_{0} − a_{1}b_{1} − ... − a_{n−1}b_{n−1}. Auch für a, b ∈ C^{n} soll unter ab stets das Minkowskiskalarprodukt mit dieser Rechenregel verstanden werden.

Der Vorwärtslichtkegel ist die Menge V^{+} := {x ∈ IR^{n} | x^{2} > 0, x_{0} > 0}; V^{−} := −V^{+} bezeichnet den Rückwärtslichtkegel. Unter der Vorwärtstube versteht man die Menge T^{+} := {z = x + iy ∈ C^{n} | y ∈ V^{+}} = IR^{n} + iV^{+}, T^{−} := −T^{+} = IR^{n} + iV^{−} ist die Rückwärtstube.

Der Übergang von reellen zu komplexen Funktionen wird in der Quantenfeldtheorie oft durch folgende Aussage vollzogen:

Satz 2.6 f^{+}, f^{−} ∈ S′(IR^{n}) seien temperierte Distributionen, und es gebe a, b ∈ IR^{n} mit supp f^{+} ⊂ a + V^{+}, supp f^{−} ⊂ b + V^{−}. Dann sind die Fouriertransformierten Ff^{+}, Ff^{−} von f^{+} bzw. f^{−} Randwerte im distributiven Sinne von Funktionen, die holomorph in T^{+} bzw. T^{−} sind; d.h. es gibt in T^{+} bzw. T^{−} holomorphe Funktionen G^{+}, G^{−}, so daß für alle ϕ ∈ S(R^{n}) gilt:

(Ff^{+}, ϕ) = lim_{y→0,y∈V^{+}} ∫ G^{+}(x + iy) ϕ(x) dx

unabhängig von der für y → 0 gewählten Folge (analog für Ff^{−}).

Den Beweis findet man z.B. bei [Bog] oder [Bor5].

Man hat es also in bestimmten Anwendungen mit Funktionen zu tun, die in T^{+} oder T^{−} holomorph sind. Eine Situation, in der Grenzwerte solcher Funktionen in bestimmten reellen Gebieten übereinstimmen, behandelt der folgende

Satz 2.7 (Edge-of-the-Wedge-Theorem) Seien f^{+}, f^{−} Funktionen, die holomorph in T^{+} bzw. T^{−} sind; ferner gebe es einen Bereich B ⊂ IR^{n}, für den f^{+} und f^{−} übereinstimmende Randwerte im distributiven Sinne haben. Dann gibt es eine Funktion f und eine komplexe Umgebung B̃ von B, so daß f holomorph auf T^{+} ∪ T^{−} ∪ B̃ ist und f | T^{+} = f^{+} sowie f | T^{−} = f^{−}.

Bemerkung 2.8 Über die Größe und Form der Umgebung B̃ kann man noch weitere Angaben machen; wir setzen:

B̃ := ⋃_{x∈B}\{z | ∥z − x∥ < \frac{1}{32} dist(x, ∂B)\}.

Insbesondere gilt für dieses B̃:

1. B̃ ∩ IR^{n} = B, es kommen keine weiteren reellen Punkte hinzu.

2. x ∉ B ⟹ es gibt kein y ∈ IR^{n} mit x + iy ∈ B̃.

3. dist(x, ∂B̃) im C^{n} ist für reelle x proportional zu dist(x, ∂B) im IR^{n}.

Den Beweis des Edge-of-the-Wedge-Theorems und dieser Bemerkung findet man bei [Vl3].

Für das folgende benötigen wir

Definition 2.9 x, y ∈ IR^{n} seien zwei Punkte mit y ∈ x + V^{+}. Dann bezeichne

D_{x,y} := (x + V^{+}) ∩ (y + V^{−})

den von x und y aufgespannten Doppelkegel.

Für die Form des reellen Koinzidenzgebietes B aus dem Edge-of-the-Wedge-Theorem gilt dann der

Satz 2.10 (Doppelkegelsatz) Seien x, y ∈ B zwei Punkte, die durch eine ganz im Innern von B verlaufende zeitartige Kurve (d.h. deren Tangente in jedem Punkt zeitartig ist) verbunden werden können und es sei y ∈ x + V^{+}. Dann gilt:

D_{x,y} ⊂ H(T^{+} ∪ T^{−} ∪ B̃) ∩ IR^{n}.

In Anwendungen hat man es daher stets mit lichtkegelkonvexen Bereichen, also z.B. Doppelkegeln, zu tun. Den Beweis des Doppelkegelsatzes findet man u.a. bei [Vl1]. Er wird dort mit Hilfe des schwachen Kontinuitätssatzes geführt. Einen anderen Beweisweg findet man in [Bor1], er folgt einem Gedankengang aus [BM]. Dort wird die Cauchysche Integralformel zur holomorphen Fortsetzung benutzt. Beide Methoden werden hier beim Beweis von Satz 2.17 verwendet werden.

Für bestimmte reelle Koinzidenzgebiete G ist es sogar möglich, die Holomorphiehülle von T^{+} ∪ T^{−} ∪ G̃ explizit zu bestimmen. Hierzu dienen die folgenden Vorbereitungen. Sei M ⊂ IR^{n} eine offene Menge. Man sagt, das Hyperboloid

(x − x′)^{2} = λ^{2}, x′ ∈ IR^{n}, λ ∈ IR^{+}

heißt zulässig zu M, falls

M ∩ {x|(x − x′)^{2} ≥ λ^{2}} = ∅,

also falls M zwischen den Ästen des Hyperboloids liegt. Die Menge der zu zulässigen Hyperboloiden korrespondierenden Parameter (x′, λ) bezeichnet man mit N(M) :

N(M) := {(x′, λ) ∈ IR^{n} × IR^{+}| (x − x′)^{2} < λ^{2} ∀x ∈ M}.

Es kann der Fall auftreten, daß N(M) = ∅. Für solche Mengen M definiert man die Menge N_{∞}(M) der Parameter zu zulässigen Hyperebenen:

N_{∞}(M) := {(x′, a) ∈ IR^{n} × (V^{+} ∪ V^{−})^{−}| a(x − x′) < 0 ∀x ∈ M}.

Mit diesen Begriffen kann man formulieren:

Satz 2.11 (Jost-Lehmann-Dyson-Formel) Sei G ⊂ IR^{n} eine zusammenhängende offene Menge, die von zwei raumartigen Hyperflächen begrenzt wird, d.h.:

G = {x = (x_{0}, x⃗)|f(x⃗) < x_{0} < g(x⃗)}

mit Funktionen f, g mit der Eigenschaft:

|f(x⃗_{1}) − f(x⃗_{2})| ≤ |x⃗_{1} − x⃗_{2}| sowie |g(x⃗_{1}) − g(x⃗_{2})| ≤ |x⃗_{1} − x⃗_{2}| ∀x⃗_{1}, x⃗_{2} ∈ IR^{n−1}.

Weiterhin gelte N(G) ≠ ∅. Dann erhält man für die Holomorphiehülle von T^{+} ∪ T^{−} ∪ G̃ :

H(T^{+} ∪ T^{−} ∪ G̃) = C^{n} \ \overline{⋃_{(x′,λ)∈N(G)}\{z|(z − x′)^{2} = λ^{2}\}}.

Den Beweis findet man bei [BMS].

Bemerkung 2.12 Gilt für den Bereich B = ⋃ B_{i} (B_{i} seien die Zusammenhangskomponenten) stets (x_{i} − x_{j})^{2} < 0, falls x_{i} ∈ B_{i}, x_{j} ∈ B_{j}, i ≠ j, liegen also alle Zusammenhangskomponenten raumartig zueinander, und erfüllen die einzelnen B_{i} die Voraussetzungen aus Satz 2.11, so wird die Holomorphiehülle von B̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−} nach derselben Vorschrift wie dort gebildet.

Einen Beweis dieser Bemerkung findet man bei [Vl2].

Im Fall N(G) = ∅ erhält man:

Satz 2.13 Sei G ⊂ IR^{n} eine offene Menge mit N(G) = ∅ und es gelte

G = (G + V^{+}) ∩ (G + V^{−}).

Dann ist:

H(T^{+} ∪ T^{−} ∪ G̃) = C^{n} \ \overline{⋃_{(x′,a)∈N_{∞}(G)}\{z|a(z − x′) = 0\})}.

Beweis Die Gebiete G_{α} = G ∩ {x| |x_{0}| < α} erfüllen für α > 0 mit f = −α, g = α die Voraussetzungen aus Satz 2.11. Mit K(G_{α}) := H(T^{+} ∪ T^{−} ∪ G̃_{α}) und K(G) := C^{n} \ \overline{⋃_{(x′,a)∈N_{∞}(G)}\{z|a(z − x′) = 0\})} gilt dann gemäß [Vl3] (Abschnitt 33.1):

K(G) = ⋃_{α=1}^{∞} K(G_{α}).

Für jedes α ist K(G_{α}) ein Holomorphiegebiet, deswegen ist nach dem Satz von Behnke-Stein (s. [Vl3]) auch K(G) Holomorphiegebiet und es gilt: H(T^{+} ∪ T^{−} ∪ G̃) = K(G).

2.2 Anwendung auf konkrete Fälle

Die Ergebnisse des ersten Abschnitts sollen hier auf bestimmte Gebiete im C^{n}, n ≥ 2 angewendet werden. Mit V_{μ}^{+} werde für μ ≥ 0 die folgende Menge bezeichnet:

V_{μ}^{+} := {x ∈ IR^{n}|x^{2} > μ^{2}, x_{0} > 0}.

Im Fall μ = 0 gilt also: V_{0}^{+} = V^{+}.

Zur Vorbereitung ist es hier zunächst nötig, einige Betrachtungen im Fall n = 2 zu machen. Mit ŷ bezeichnet man den zu einem raumartigen Vektor y ∈ IR^{2} durch

ŷ^{2} = 1, y ŷ = 0, ŷ ∈ V^{+}

eindeutig bestimmten zeitartigen Vektor:

ŷ = \frac{sgn y_{1}}{\sqrt{−y^{2}}} (y_{1}, y_{0}).

Satz 2.14 Im C^{2} gilt für μ ≥ 0:

\begin{aligned}H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) & = & T^{+} ∪ T^{−} ∪ \{z = x + iy ∈ C^{2} | y^{2} < 0 und x ŷ > μ\}∪ \\ & & ∪\{z | y^{2} = 0, y ≠ 0, x_{0} > x_{1} sgn y_{0} sgn y_{1}\} ∪ \{z | y = 0, x ∈ V_{μ}^{+}\}. \end{aligned}

Insbesondere ist hier für μ = 0 der Fall V^{+} als Koinzidenzgebiet enthalten.

Beweis Für V_{μ}^{+} sind die Voraussetzungen von Satz 2.13 erfüllt. Man kann die Holomorphiehülle also mit der dortigen Vorschrift berechnen. Die Bedingung a (x − x′) < 0 ∀x ∈ V_{μ}^{+} bedeutet, daß die durch a (x − x′) = 0 definierte Gerade das Gebiet V_{μ}^{+} nicht schneidet. Man rechnet nach, daß gilt:

N_{∞}(V_{μ}^{+}) = \{(x′, a)|a ∈ \overline{V^{−}}, x′ a < −μ\sqrt{a^{2}}\}

Gemäß Satz 2.13 erhält man:

H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) = C^{n} \ \overline{⋃_{(x′,a)∈N_{∞}(V_{μ}^{+})}\{z|a(z − x′) = 0\}}.

a(z − x′) bedeutet mit z = x + iy für raumartiges y :

\begin{aligned}(1) & a(x − x′) & = & 0 \\ (2) & a y & = & 0 & ⇒ a = −ŷ \end{aligned}

Mit (1) ist dann: ŷ(x − x′) = 0 oder x − x′ = α y, das heißt: x = αy + x′. In N_{∞}(V_{μ}^{+}) sind gerade alle x′, die unterhalb der Geraden {μŷ + cy|c ∈ IR} liegen, im Komplement von H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) sind daher zu festem y alle x, die unterhalb von {αy + μŷ + cy} = {μŷ + c′y} liegen. Das bedeutet für z ∈ H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) gerade x ŷ > μ. Für lichtartiges y ≠ 0 muß man den Abschluß der Punkte y mit y^{2} < 0 bilden, die nicht in der Holomorphiehülle liegen. Das bedeutet: x ŷ ≤ m ⟺ x_{0}|y_{1}| − x_{1}y_{0} sgn y_{1} ≤ m\sqrt{−y^{2}}. Grenzübergang y_{1} ⟶ y_{0} ≠ 0 liefert daher x_{0} − x_{1} sgn y_{0} sgn y_{1} ≤ 0 und damit die Behauptung. Für y = 0 erhält man die Beh. gerade aus der Def. von N_{∞}.

Korollar 2.15 Sei G ⊂ IR^{2} ein Gebiet, für das gilt: G + V^{+} = G. Dann gilt für jede durch g(t) = a + t y, t ∈ IR, a, y ∈ IR^{2}, y ≠ 0, gegebene Gerade g, die G noch schneidet:

g(t + iτ) ∈ H(G̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−}) ∀ τ ≠ 0.

Beweis g schneidet noch G ⟹ ∃b ∈ G, so daß g noch b + V^{+} ⊂ G schneidet. Von ˜ (b + V^{+}) ∪ T^{+} ∪ T^{−} kennen wir aber die Holomorphiehülle. Ein Punkt g(t + iτ), τ ≠ 0 sei jetzt gegeben. Es ist dann τ y = Im g(t + iτ) ≠ 0. Für y^{2} ≥ 0 ist die Beh. klar. Im Fall y^{2} < 0 verschiebe man das reelle Koordinatensystem um −b; für den Imaginärteil ändere sich nichts. b wird dann in den Nullpunkt verschoben; g geht in g′ := g − b über. Bezeichne x := Re g′(t + iτ) = Re g(t + iτ) − b. ⇒ ∃x̃ ∈ g′ ∩ V^{+}, so daß x = x̃ + λy für ein λ ∈ IR. Es folgt: x ŷ = x̃ ŷ > 0, da x̃ ∈ V^{+}. Mit Satz 2.14 ist daher x + iy ∈ H(Ṽ^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}). Folglich ist g(t + iτ) ∈ H( ˜ (b + V^{+}) ∪ T^{+} ∪ T^{−}) ⊂ H(G̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Definition 2.16 Zu einer Menge M ⊂ IR^{n} bezeichnet man M′ als die Menge der zu jedem Element von M raumartig liegenden Punkte:

M′ := {x ∈ IR^{n} | (x − y)^{2} < 0 ∀y ∈ M}.

R := {0}′ bezeichnet die Menge der raumartigen Punkte.

Satz 2.17 Jede Funktion, die in Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}, s ∈ V^{+} holomorph ist, kann man holomorph nach R fortsetzen.

Beweis Wegen der Rotationssymmetrie des Ausgangsgebiets reicht es, den Fall n = 2 zu betrachten. Durch einen Punkt p ∈ ∂D′_{0,s} ∩ R (ohne Einschränkung sei p_{1} > 0) wähle man eine Gerade g mit Steigung vom Betrag < 1, die aber V_{μ}^{+} noch schneidet. Weiter betrachte man den rechten Ast einer Hyperbel, deren Apex in q := g ∩ d mit d := {x | x_{0} = x_{1}} liegt und deren Asymptoten g und d sind. Es ist klar, daß man einen beliebigen Punkt des Dreiecks Δ_{pqr} mit r := d ∩ {s + λ(1, −1), λ ∈ IR} durch eine solche Hyperbel treffen kann, wenn man den noch freien Hyperbelparameter (Masse) geeignet wählt. Diese Hyperbel sei durch K(t), t ∈ IR parametrisiert. Für ein kompaktes t-Intervall liegt K(t) in Δ_{pqr};die Tangente an K(t) schneidet stets das Gebiet V_{μ}^{+}.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; q; g; p; r; K]

Abbildung 1: Lage der Kurve K im Beweis von Satz 2.17

Nun betrachte man die Kurvenfamilie K_{α}, die aus K durch Verschiebung um α nach rechts parallel zur Richtung der Geraden d entsteht. Für α > max_{t∈IR}(dist(K(t), D′_{0,s}) gilt daher K_{α} ⊂ D′_{0,s}, außerdem gilt: K_{0} = K. Setzt man nun die Kurven K_{α}, die durch h(t, α) gegeben seien, mittels Ersetzung von t durch t + iτ ins Komplexe fort, so folgt aus 2.15: h(t + iτ, α) ∈ H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) für vom Betrage kleines τ ≠ 0, denn der Imaginärteil zeigt für kleines τ in Richtung der Ableitung nach τ, also der Tangente an h(t, α), die aber V_{μ}^{+} gemäß Konstruktion schneidet. Ferner ist h(t, α) ∈ D′_{0,s} ⊂ H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) außerhalb eines kompakten t-Intervalles. Sei nun f holomorph in Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}. Dann definiert

ϕ(t + iτ, α) = \frac{1}{2πi} ∮_{W} \frac{f(h(ρ, α))}{ρ − (t + iτ)}dρ

eine im Innern von W holomorphe Funktion; W sei hierbei eine geschlossene Kurve in der (t + iτ)-Ebene, die alle Werte t, für die K(t) ∉ D′_{0,s}, im Innern enthält. Außerdem sei W glatt und es gelte: h(w, α) ∈ H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}), falls w ∈ W mit Im w ≠ 0. Da ϕ für α > max_{t∈IR}(dist(K(t), D′_{0,s}) mit f übereinstimmt, ist ϕ eine holomorphe Fortsetzung von f nach

⋃_{α≥0} K_{α}.

Da man ganz R mit Hyperbeln der oben beschriebenen Art überdecken kann, folgt: R ⊂ H(Ṽ_{μ}^{+}∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Alternativ kann man den vorhergehenden Satz 2.17 auch mit Hilfe des schwachen Kontinuitätssatzes beweisen:

Man betrachte eine Familie von Kurven C_{α}, 0 ≤ α ≤ α_{0}, mit folgenden Eigenschaften:

1. C_{α} ⊂ D′_{0,s} für 0 < α 2. C_{0} ∩ ∂D′_{0,s} ∩ R = {X}, C_{0} \ {X} ⊂ D′_{0,s}

3. C_{α} seien reell-analytische Kurven, gegeben durch die Gleichungen

x_{j} = x_{j,α}(ξ), j = 0, 1; 0 ≤ α ≤ α_{0}; 0 ≤ ξ ≤ 1

4. Jede Tangente an C_{α} liege auf einer Geraden, die V_{μ}^{+} schneidet.

[figure: .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; .; C_{0}; X]

Abbildung 2: Lage der Kurve C_{0}

Die Existenz einer solchen Kurvenfamilie ist klar, man kann beispielsweise den rechten Ast einer Hyperbel (allerdings mit nicht lichtartigen Asymptoten) nehmen, der durch X geht und dort die Tangente {x | x = s + λ(−1, 1), λ ∈ IR} besitzt. C_{0} ist dann der Teil der Hyperbel, dessen Tangenten V_{μ}^{+} schneiden, C_{α} die um α ins Innere von D′_{0,s} verschobene Kurve. Nun setzt man die C_{α} analytisch fort für komplexe Werte λ = ξ + iη, x_{j,α} ist dann holomorph in A_{δ} = {|η| < δ, 0 ≤ ξ ≤ 1} für ein kleines δ. Auf diese Weise sind also die Kurven C_{α} enthaltende 2-dim analytische Flächen F_{α} konstruiert worden, gegeben durch z_{j} = x_{j,α}(λ), j = 0, 1; 0 ≤ α ≤ α_{0}; λ ∈ A_{δ}. Sei nun t(ξ) die Tangente an C_{α} im durch ξ charakterisierten Punkt. Es folgt mit der Taylorentwicklung von x_{j,α}(λ) um den Punkt ξ: Imz_{j} = η t(ξ)_{j} + O(η^{2}), d.h. für kleines η hat der Imaginärteil von F_{α} die Richtung der Tangente an C_{α}. Da eine raumartige Tangente noch V_{μ}^{+} schneidet, gehören alle Punkte von F_{α} für η ≠ 0 noch zu H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) (Argumentation wie beim obigen Beweis). Da aber C_{α} ⊂ D′_{0,s} für 0 < α und C_{0} \ {X} ⊂ D′_{0,s}, gilt nach dem schwachen Kontinuitätssatz 2.4:

C_{0} ⊂ H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Mit X liegt aber auch eine Umgebung U(X) in H(Ṽ_{μ}^{+}∪D̃′_{0,s}∪T^{+}∪T^{−}). Mit dem Doppelkegelsatz 2.10 sieht man nun, daß auch der ganze Streifen (U(X) + V^{+}) ∩ (D′_{0,s} + V^{−}) in H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) liegt.

Führt man das hier angegebene Verfahren nun mit weiteren Punkten aus D′_{0,s}∩R durch, so erhält man die Vereinigung einiger (evtl. unendlich vieler) Streifen, die noch in H(Ṽ_{μ}^{+} ∪D̃′_{0,s} ∪T^{+} ∪T^{−}) liegt. Das Verfahren kann man natürlich auch für Punkte im Rand solcher Streifen durchführen. Es wäre denkbar, daß dieses Verfahren abbricht bei einer Randkurve, die D′_{0,s} ∩ R oder eine Parallele dazu als Asymptote hat. Für diesen Fall betrachte man eine Gerade mit raumartigem Richtungsvektor, die V_{μ}^{+} schneidet und in einem kompakten Stück in R \ F liegt (F bedeute dabei die Menge der Punkte in R, in die hinein man schon eine Fortsetzung erreicht hatte). Diese Gerade verschiebe man jetzt in Richtung der Geraden {x_{0} = x_{1}} soweit, daß das kompakte Stück in R \ F nur noch aus Randpunkten von F besteht. Durch diese Randpunkte (evtl. auch nur einer) kann man mittels des oben angegebenen Verfahrens wieder fortsetzen. Insgesamt erhält man somit auch hier:

R ⊂ H(Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃′_{0,s} ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Die beiden hier ausgeführten Beweismethoden entsprechen denjenigen in den Beweisen des Doppelkegelsatzes 2.10 in [Bor1] bzw. [Vl1] (s. auch die Erläuterungen im Anschluß an diesen Satz).

Bemerkung 2.18 Mit der gleichen Argumentation wie in den Beweisen zum vorangehenden Satz kann man in C^{2} von Ṽ_{μ}^{+} ∪ D̃_{a,b} ∪ T^{+} ∪ T^{−} nach D̂_{a,b} holomorph fortsetzen. D̂_{a,b} erhält man dabei aus D_{a,b} für a, b ∉ \overline{V^{−}} durch folgende Konstruktion: Die Geraden, die V_{μ}^{+} berühren und die durch a bzw. b gehen, werden mit g_{a}, g_{b} bezeichnet. Die Strecke von a bis zum Berührpunkt von g_{a} an V_{μ}^{+} sei s_{a}; die Halbgerade auf g_{b}, die von b aus von V_{μ}^{+} wegläuft, sei s_{b}. Dann ist

D̂_{a,b} = ((s_{a} + V^{+}) ∩ (D_{a,b} + V^{−})) ∪ ((s_{b} + V^{−}) ∩ (D_{a,b} + V^{+})).

Ist a ∉ \overline{V^{−}}, b ∈ \overline{V^{−}}, so setzt man:

D̂_{a,b} = (s_{a} + V^{+}) ∩ (D_{a,b} + V^{−}).

Für a ∈ \overline{V^{−}}, b ∉ \overline{V^{−}} erhält man:

D̂_{a,b} = (s_{b} + V^{−}) ∩ (D_{a,b} + V^{+}).

Im Fall D_{a,b} ⊂ V^{+} gilt allerdings: D̂_{a,b} = D_{a,b}.

Definition 2.19 Die Abbildung ϕ : C^{2} \ \{z^{2} = 0\} ⟶ C^{2} \ \{z^{2} = 0\}, definiert durch ϕ(z) = \frac{−z}{z^{2}} , heißt Transformation reziproker Radii.

Lemma 2.20 ϕ hat folgende Eigenschaften:

1. ϕ ∘ ϕ(z) = z ∀z ∈ C^{2} \ {z^{2} = 0}. Da ϕ holomorph ist, ist es somit auch biholomorph und es gilt: ϕ^{−1} = ϕ 2. ϕ(T^{+}) = T^{+}, ϕ(T^{−}) = T^{−}

3. ϕ(V^{+}) = V^{−}

4. ϕ(R) = R

5. ϕ(D_{(− \frac{1}{m} ,0),0}) = (m, 0) + V^{+}

Beweis 1)

ϕ ∘ ϕ(z) = ϕ(−\frac{z}{z^{2}} ) = \frac{−\frac{−z}{z^{2}}}{(\frac{−z}{z^{2}} )^{2}} = \frac{z}{z^{2}} \frac{z^{4}}{z^{2}} = z.

2) Sei z ∈ T^{+}. Dann ist

Im ϕ(z) = Im (\frac{−z}{z^{2}} ) = Im \frac{−x − iy}{x^{2} − y^{2} + 2ixy} = Im \frac{(−x − iy)(x^{2} − y^{2} − 2ixy)}{(x^{2} − y^{2})^{2} + 4(xy)^{2}}
= \frac{1}{(x^{2} − y^{2})^{2} + 4(xy)^{2}} (2x(xy) − y(x^{2} − y^{2}))

und daher

(Im ϕ(z))^{2} = \frac{1}{( )^{2}} [4x^{2}(xy)^{2}+y^{2}(x^{2}−y^{2})^{2}−4(xy)(xy)(x^{2}−y^{2})] = \frac{1}{( )^{2}} [y^{2}(x^{2}−y^{2})^{2}+4y^{2}(xy)^{2}] > 0,

da y^{2} > 0 und z^{2} ≠ 0.

3) Sei x ∈ V^{+}. Dann ist

(ϕ(x))^{2} = (\frac{−x_{0}}{x^{2}} )^{2} − (\frac{−x_{1}}{x^{2}} )^{2} = \frac{1}{x^{2}} > 0 und − \frac{x_{0}}{x^{2}} < 0,

also ϕ(x) ∈ V^{−}.

4) Sei x^{2} < 0. Dann gilt:

(ϕ(x))^{2} = (−\frac{x}{x^{2}} )^{2} = \frac{x^{2}}{x^{2}x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} < 0.

5) Es ist

\frac{−x}{x^{2}} ∈ (m, 0) + V^{+} ⇔ \frac{−x_{0}}{x^{2}} − m > |\frac{x_{1}}{x^{2}} | ⇔ \frac{−x_{0}}{x^{2}} − m > \frac{|x_{1}|}{x^{2}} und x^{2} > 0
⇔ 0 < x^{2} < −\frac{1}{m}(x_{0} + |x_{1}|) ⇔ (x_{0} + \frac{1}{2m})^{2} < (|x_{1}| − \frac{1}{2m})^{2}
⇔ |x_{0} + \frac{1}{2m}| < | |x_{1}| − \frac{1}{2m}| ⇔ −\frac{1}{m} + |x_{1}| < x_{0} < −|x_{1}|
⇔ (x_{0}, x_{1}) ∈ D_{(− \frac{1}{m} ,0),0}

Bemerkung 2.21 (s. [Sto]). Falls das reelle Koinzidenzgebiet eines Edge-of-the-Wedge-Problems im C^{2} aus zwei Doppelkegeln D_{(−a,0),0} und D_{c,d} besteht, so erreicht man durch die Transformation reziproker Radii die Situation [(\frac{1}{a}, 0) + V^{+}] ∪ ϕ(D_{c,d}) ∪ T^{+} ∪ T^{−}. Falls \overline{D_{c,d}} ∩ \{x^{2} = 0\} = ∅, so ist ϕ(D_{c,d}) wieder ein Doppelkegel. Mit Bemerkung 2.18 (Fall μ = 0) erhält man also holomorphe Fortsetzung in die Menge ϕ̂(D_{c,d}). Macht man nun die Transformation wieder rückgängig, gehen die Geraden von (\frac{1}{a}, 0) zu den Endpunkten des Doppelkegels ϕ(D_{c,d}) in Hyperbeln über (falls sie nicht lichtartige Steigung haben). Man erhält also i.a. holomorphe Fortsetzbarkeit in eine Menge D̂_{c,d}, die durch zwei Hyperbelstücke und zwei lichtartige Geradenstücke begrenzt wird. Gilt jedoch D_{c,d} ⊂ (D_{(−a,0),0})′, so ist wegen Bemerkung 2.12 sicherlich D̂_{c,d} = D_{c,d}. Ebenfalls keine Fortsetzung erhält man, wenn \overline{D_{c,d}} ⊂ (−\frac{1}{a}, 0) + V^{−} oder \overline{D_{c,d}} ⊂ V^{+}, da dann \overline{Φ(D_{c,d})} ⊂ (\frac{1}{a}, 0) + V^{−}. Eine genaue Diskussion aller möglichen Fälle soll hier nicht durchgeführt werden.

Nun soll noch ein Analogon zu Korollar 2.15 beschrieben werden für Gebiete G ⊂ IR^{2} mit der Eigenschaft G + W = G; W bezeichnet hierin das Wedgegebiet W := {x ∈ IR^{2} | x^{2} < 0, x_{1} > 0}.

Satz 2.22 Das Gebiet G ⊂ IR^{2} habe die Eigenschaft: G + W = G; der Punkt z̃ ∈ IR^{2} liege auf einer Geraden mit lichtartiger Steigung, die \overline{G} schneidet,und für m ∈ IR gelte: m ≠ 0, falls z̃ ∈ \overline{G}, bzw. m < 0, falls z̃ ∉ \overline{G}. Weiter sei z = (z_{0}, z_{1}) ∈ C^{2} \ IR^{2} ein Punkt, für den gilt:

(z − z̃)^{2} = m.

Dann ist:

z ∈ H(G̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Sind durch a + tb, a, b ∈ IR^{2}, t ∈ IR, b^{2} = 0 die Punkte einer lichtartigen Geraden gegeben, die \overline{G} schneidet, und ist τ ≠ 0, so gilt: a + (t + iτ)b ∈ H(W̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Beweis Man wendet zweimal die Transformation reziproker Radii an, um (μ, 0)+V^{+} in (0, μ)+ W zu transformieren, und untersucht, wohin die Punkte g(t + iτ), τ ≠ 0, einer Geraden g(t), die (μ, 0) + V^{+} schneidet, dabei transformiert werden. Solche Punkte liegen nach Korollar 2.15 dann in der Holomorphiehülle.

1.Transformation: ϕ, definiert durch w = ϕ(x) = −\frac{x}{x^{2}} ; x = −\frac{w}{w^{2}} . Es ist x ∈ (μ, 0) + V^{+} ⟺ w ∈ D_{(− \frac{1}{μ} ,0),0} (s. Lemma 2.20).

2.Transformation: ψ, definiert durch z = ψ(w) = −\frac{w−_{w}}{(w−_{w})^{2}} ; w = −\frac{z}{z^{2}} + w̃ mit w̃ := (−\frac{1}{2μ}, −\frac{1}{2μ}). Dann ist w ∈ D_{(− \frac{1}{μ} ,0),0} ⟺ z ∈ (0, μ) + W.

Die Komposition ψ ∘ ϕ liefert:

z = −\frac{w − w̃}{(w − w̃)^{2}} = −\frac{−\frac{x}{x^{2}} − w̃}{(−\frac{x}{x^{2}} − w̃)^{2}} = \frac{w̃x^{2} + x}{1 + 2xw̃}.

Die Umkehrung (ψ ∘ ϕ)^{−1} ist gegeben durch:

x = \frac{z − w̃z^{2}}{1 − 2zw̃} .

Nachrechnen liefert für |m| ≠ 1:

x_{0} = mx_{1} + c ⟺ (z_{0} − \frac{c − μ}{1 − m})^{2} − (z_{1} − \frac{c − mμ}{1 − m})^{2} = μ^{2} \frac{1 + m}{1 − m}.

Bezeichnet man z̃_{0} := \frac{c−μ}{1−m}, z̃_{1} := \frac{c−mμ}{1−m}, λ := μ^{2} \frac{1+m}{1−m}, so erhält man:

z̃_{0} = z̃_{1} − μ,
|m| > 1 ⟺ λ < 0,
|m| < 1 ⟺ λ > 0.

Das bedeutet:

1) Geraden mit zeitartiger Steigung, die ja alle (μ, 0) + V^{+} schneiden, gehen gerade über in Hyperbeln mit λ < 0, d.h. solche Hyperbeln müssen bei der Bildung der Holomorphiehülle alle berücksichtigt werden.

2) Geraden mit raumartiger Steigung schneiden (μ, 0) + V^{+} nur, falls c > μ, also z̃_{0} > 0, mithin z̃ ∈ (0, μ) + \overline{W}, d.h. nur z̃ ∈ \overline{G} müssen hier berücksichtigt werden.

3) Geraden mit lichtartiger Steigung gehen unter ψ ∘ ϕ wieder in Geraden mit lichtartiger Steigung über. Diejenigen Geraden, die (μ, 0) + V^{+} schneiden, werden dabei gerade auf diejenigen transformiert, die (0, μ) + W schneiden.

Gemäß Korollar 2.15 gehören alle nicht reellen Punkte der (μ, 0) + V^{+} schneidenden Geraden zu H( ((μ, 0) + V^{+})˜ ∪ T^{+} ∪ T^{−}). Es gilt aber: x ∈ IR^{2} ⟺ z = ψ ∘ ϕ(x) ∈ IR^{2}. Das heißt, daß alle Punkte z ∉ IR^{2}, die einer der beschriebenen Hyperbel- bzw. Geradengleichungen genügen, in H( ((0, μ) + W)˜ ∪ T^{+} ∪ T^{−}) liegen.

Führt man die Transformationen so durch, daß (−μ, 0) + V^{−} in (0, μ) + W übergeht, so erhält man analog auch Punkte z̃ mit z̃_{0} = −z̃_{1} + μ als Hyperbelmittelpunkte. Auch diese liefern Hyperbeln, deren nicht reelle Punkte in der Holomorphiehülle liegen. Damit ist die Behauptung gezeigt.

Eine weitere Folgerung aus Korollar 2.15 stellt die folgende Aussage dar:

Korollar 2.23 Das Gebiet G ⊂ IR^{2} enthalte einen Doppelkegel D_{a,b}. z ∈ C^{2} \ IR^{2} sei ein Punkt mit:

(z − x̃)^{2} = (b − x̃)^{2},

dabei sei x̃ ∈ D_{a,b} mit (x̃ − a)^{2} > (x̃ − b)^{2} (d.h. teilt man D_{a,b} durch die Verbindungsstrecke zwischen den übrigen beiden Eckpunkten in zwei Hälften, so soll x̃ in der oberen Hälfte liegen). Dann gilt:

z ∈ H(G̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

Beweis Um die Rechnung etwas zu vereinfachen, beschränken wir uns hier auf den Fall aus Lemma 2.20, Punkt 5: a = (−\frac{1}{m}, 0), b = 0. Mittels der Transformation reziproker Radii Φ(z) = −\frac{z}{z^{2}} wird D_{a,b} biholomorph auf (m, 0)+V^{+} abgebildet. Die nicht reellen Punkte von Geraden, die (m, 0) + V^{+} schneiden, gehören gemäß Korollar 2.15 zur Holomorphiehülle von ((m, 0) + V^{+}) ∪ T^{+} ∪ T^{−}. Nachrechnen liefert mit x = ϕ(z):

(z − x̃)^{2} = x̃^{2} ⟺ x_{0} = \frac{x̃_{1}}{x̃_{0}} x_{1} − \frac{1}{2x̃_{0}} .

Diese Gerade schneidet für |\frac{_{x_{1}}}{_{x_{0}}} | < 1 das Gebiet (m, 0) + V^{+} genau dann, wenn −\frac{1}{2_{x_{0}}} > m, also falls x̃_{0} > −\frac{1}{2m}. Da dies der Fall ist, wenn x̃ in der oberen Hälfte von D_{a,b} liegt, ist damit die Aussage bewiesen.

Bemerkung 2.24 Aus Symmetriegründen gilt Korollar 2.23 auch mit vertauschten Rollen der Eckpunkte a, b des Doppelkegels. x̃ muß dann dementsprechend in der unteren Hälfte von D_{a,b} liegen.

Mit den bisherigen Betrachtungen sind die Vorbereitungen abgeschlossen, um den folgenden Satz zu beweisen.

Satz 2.25 Es gilt für alle s ∈ V^{+}:

H(Ṽ_{m}^{+} ∪ ˜ (D_{0,s})′ ∪ T^{+} ∪ T^{−}) = C^{n} \ {z | z^{2} = ρ für ein ρ ∈ IR mit 0 ≤ ρ ≤ m^{2}}.

Beweis Wieder reicht es, den Fall n = 2 zu behandeln.

Wegen Satz 2.17 ist jede in Ṽ_{m}^{+} ∪ ˜ (D_{0,s})′ ∪ T^{+} ∪ T^{−} holomorphe Funktion auch noch holomorph in R̃.

Die Aussage ist nach dem Satz von Pflug bewiesen, wenn man zeigen kann, daß jede in Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−} polynomial beschränkte und dort holomorphe Funktion sich holomorph nach H := C^{n} \ {z | z^{2} = ρ für ein ρ ∈ IR mit 0 ≤ ρ ≤ m^{2}} fortsetzen läßt (und es eine holomorphe Funktion gibt, die sich nicht weiter holomorph fortsetzen läßt).

Sei also f holomorph in Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−} und dort polynomial beschränkt von der Ordnung N:

|f(z)| ≤ C (Δ(z))^{−N}

mit Δ(z) = min\{dist(z), \frac{1}{\sqrt{1+∥z∥^{2}}} \}.

In Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−} gilt nirgends z^{2} = 0, denn mit z = x + iy gilt:

z^{2} = 0 ⟺ xy = 0 und x^{2} = y^{2}.

Das ist aber höchstens dann der Fall, wenn x^{2} = y^{2} = 0. Solche Punkte kommen aber in Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−} nicht vor (s. Bemerkung 2.8,2)).

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.} x_{0}  x_{1}  x_{0}  x_{1} V_{m}^{+}  −\frac{1}{m}

Abbildung 3: Transformation reziproker Radii angewandt auf V_{m}^{+} ∪ (D_{0,s})′

Mit der Transformation reziproker Radii wird Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−} daher biholomorph abgebildet auf U(W) ∪ U(R) ∪ T^{+} ∪ T^{−} mit W := \{x ∈ IR^{2} | x ∈ V^{−}, 0 < x^{2} < \frac{1}{m^{2}} \} sowie gewissen komplexen Umgebungen U(W), U(R) von W bzw. R. Es sei f̂:= f ∘ ϕ. Dann ist f̂ holomorph in U(W) ∪ U(R) ∪ T^{+} ∪ T^{−}. Sei nun w_{0} ein Punkt aus ∂V^{−}\{0}. Man wähle zu w_{0} eine Umgebung U(w_{0}) mit der Eigenschaft:

w ∈ U(w_{0}) ∩ (U(W) ∪ U(R) ∪ T^{+} ∪ T^{−}) ⟹ für z := ϕ(w) gilt Δ(z) = \frac{1}{\sqrt{1 + ∥z∥^{2}}}

Für solche z soll also \frac{1}{\sqrt{1+∥z∥^{2}}} kleiner als der Randabstand sein. Dies ist möglich, da, wenn man U(w_{0}) hinreichend klein wählt, z weit weg vom reellen Rand von V_{m}^{+} bzw. R liegt und wegen Eigenschaft 3 aus Bemerkung 2.8 damit auch weit weg vom Rand (im Komplexen) von Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃.

Beh.: w ⟼ f̂(w) (w^{2})^{N+1} ist von U(w_{0}) ∩ (W ∪ R ∪ T^{+} ∪ T^{−}) aus stetig nach w_{0} fortsetzbar mit dem Wert 0.

Es gilt für w ∈ U(w_{0}) ∩ (W ∪ R ∪ T^{+} ∪ T^{−}) und z = ϕ(w) :

|f̂(w) (w^{2})^{N+1}| = |f(z) (z^{2})^{−N−1}| ≤ C (Δ(z))^{−N} |(z^{2})^{−N−1}| = C (\sqrt{1 + ∥z∥^{2}})^{N} |(z^{2})^{−N−1}|
= C (\sqrt{1 + \frac{∥w∥^{2}}{|w^{2}|^{2}}} )^{N} |(w^{2})^{N+1}| = C (\sqrt{(w^{2})^{2} + ∥w∥^{2}})^{N} |w^{2}|.

Da ∥w∥ in der Nähe von w_{0} beschränkt ist, strebt dieser Ausdruck für jede in U(w_{0}) ∩ (W ∪ R ∪ T^{+} ∪ T^{−}) gelegene Folge, die gegen w_{0} strebt, gegen Null. Das beweist die Zwischenbehauptung.

Mit dem Edge-of-the-Wedge-Theorem 2.7 folgt, daß f̂(w)(w^{2})^{N+1} in (W ∪ R ∪ ∂V^{−} \ {0}) ∪ T^{+} ∪ T^{−} holomorph ist. Wegen der Jost-Lehmann-Dyson-Formel 2.11 ist f̂(w)(w^{2})^{N+1} dann aber auch noch holomorph im Holomorphiegebiet G := C^{2} \ \{w | w^{2} ≥ \frac{1}{m^{2}} \}. f(z)(z^{2})^{−N−1} ist dementsprechend holomorph in H, somit auch f.

G enthält U(W) ∪ U(R) ∪ T^{+} ∪ T^{−} (da H ⊃ Ṽ_{m}^{+} ∪ R̃ ∪ T^{+} ∪ T^{−}) und ist sternförmig bzgl. 0 und daher einfach zusammenhängend, die Fortsetzung von f̂(w)(w^{2})^{N+1} nach G ist also eindeutig, genauso demnach die Fortsetzung von f nach H.

Da G Holomorphiegebiet ist, kann man eine Funktion ĝ finden, die nirgends über den Rand von G hinaus holomorph fortsetzbar ist; die transformierte Funktion g = ĝ ∘ ϕ kann dann nirgends über den Rand von H hinaus fortgesetzt werden (für Punkte z mit z^{2} ≠ 0 folgt dies direkt, wäre g in einem Punkt z mit z^{2} = 0 noch holomorph, so auch in einer Umgebung U(z). Da aber stets U(z) ∩ {z | 0 ≤ z^{2} ≤ m^{2}} ≠ ∅, kann dieser Fall wegen der Wahl von ĝ auch nicht auftreten).

H ist also Holomorphiegebiet und damit die gesuchte Holomorphiehülle.

3 Anwendung in der Quantenfeldtheorie

3.1 C^{∗}-Algebren und ihre Darstellungen

In diesem Abschnitt sollen die später benötigten Aussagen über Algebren und ihre Darstellungen bereitgestellt werden. Ausführlicheres findet man bei [Dix], [Gaa], [KR].

Unter einer C^{∗}-Algebra versteht man eine Banach-Algebra A mit Involution *, für die gilt: ∥x∥^{2} = ∥x^{∗}x∥ ∀x ∈ A. Eine Darstellung von A im Hilbertraum H ist ein *-Homomorphismus π : A ⟶ B(H), B(H) ist dabei die C^{∗}-Algebra aller beschränkten linearen Operatoren auf H mit der Adjunktion als Involution. Ist die Darstellung π injektiv, so heißt sie treu. Eine Darstellung π der C^{∗}-Algebra A heißt nicht entartet, falls \overline{π(A)H} = H. In B(H) sollen jetzt zwei Konvergenzbegriffe eingeführt werden. Für T ∈ B(H) ist durch ∥T ∥ := sup_{Ψ≠0} \frac{∥T Ψ∥}{∥Ψ∥} eine Norm erklärt. Man sagt, eine Folge (T_{n}) ⊂ B(H) sei normkonvergent gegen T ∈ B(H), falls

∥T_{n} − T ∥ ⟶ 0 für n → ∞.

(T_{n}) heißt stark konvergent gegen T, falls

∥T_{n}Ψ − T Ψ∥ ⟶ 0 für n → ∞ ∀Ψ ∈ H.

Normkonvergenz zieht offensichtlich starke Konvergenz nach sich.

Als Kommutante M′ einer Teilmenge M ⊂ A bezeichnet man die Menge

M′ := {x ∈ A | xy = yx ∀y ∈ M}.

Satz 3.1 (von Neumannscher Dichtheitssatz) Sei A ⊂ B(H) eine nicht entartete C^{∗}-Algebra (d.h. die identische Darstellung ist nicht entartet). Dann ist der Abschluß von A bzgl. der starken Konvergenz gleich A′′ := (A′)′. A liegt also dicht in A′′.

Den Beweis findet man z.B. bei [KR].

Ist N ⊂ B(H) eine C^{∗}-Algebra und gilt N = N′′, so heißt N von-Neumann-Algebra. Im folgenden bezeichne N immer eine von-Neumann-Algebra. Mit den obigen Bezeichnungen gilt π(A)′ = π(A)′′′ sowie π(A)′′ = π(A)′′′′, daher sind π(A)′ und π(A)′′ stets von-Neumann-Algebren. Mit N ist auch N′ eine von-Neumann-Algebra. Als Zentrum wird dann die von-Neumann-Algebra Z(N) := N ∩ N′ bezeichnet. Offensichtlich ist Z(N) = Z(N′), denn wegen N = N′′ ist N ∩ N′ = N′ ∩ N′′. Eine von-Neumann-Algebra N heißt Faktor, falls Z(N) = {λ1 | λ ∈ C}. N ist also genau dann ein Faktor, wenn N′ ein Faktor ist.

Lemma 3.2 Ist E ∈ N eine Projektion (mit Projektion ist hier immer eine orthogonale Projektion gemeint), dann gibt es eine eindeutig bestimmte kleinste Projektion F im Zentrum von N, für die noch E ≤ F gilt.

Beweis 1) Existenz: Ein solches F existiert stets, denn von 1 ∈ Z(A) ausgehend, findet man eine kleinste noch im Zentrum enthaltene Projektion.

2) Eindeutigkeit: Seien F_{1}, F_{2} kleinste Projektionen im Zentrum. Dann ist auch F_{1}F_{2} ∈ Z(N). Ferner gilt:

F_{1}F_{2}E = F_{1}E = E ⟹ E ≤ F_{1}F_{2}.

Also majorisiert auch F_{1}F_{2} die Projektion E. Weiterhin erhält man: F_{1}F_{1}F_{2} = F_{1}F_{2} ⟹ F_{1}F_{2} ≤ F_{1}. Da F_{1} minimal, ist also F_{1}F_{2} = F_{1}. Damit ist aber auch: F_{1} = F_{2}F_{1}. Da auch F_{2} minimal, schließt man genauso: F_{2}F_{1} = F_{2}. Es folgt: F_{1} = F_{2}.

Definition 3.3 Das F aus Lemma 3.2 wird als zentraler Träger von E bezeichnet.

Sei jetzt π eine Darstellung der C^{∗}-Algebra A in H, K ⊂ H sei ein abgeschlossener Unterraum, der invariant unter π(A) bleibt, für den also gilt: π(A)K ⊂ K. E bezeichne die (orthogonale) Projektion E : H ⟶ K. Dann heißt π_{E} : A ⟶ B(K), definiert durch π_{E}(x) = π(x)|K, Unterdarstellung von π bzgl. des abgeschlossenen Unterraums K.

Bemerkung 3.4 Sei H = K ⊕ K^{⊥}. Ist dann K invariant unter der C^{∗}-Algebra π(A), so ist auch K^{⊥} invariant unter π(A).

Beweis Ψ_{2} sei aus K^{⊥}. Dann gilt für jedes x ∈ A :

(π(x)Ψ_{2}, Ψ_{1}) = (Ψ_{2}, π(x)^{∗}Ψ_{1}) = (Ψ_{2}, π(x^{∗})Ψ_{1}) = 0 ∀Ψ_{1} ∈ K.

Das war zu zeigen.

Korollar 3.5 Ist P eine Projektion auf den unter π(A) invarianten Unterraum K ⊂ H, so gilt: P ∈ π(A)′.

Beweis Ist H = K ⊕ K^{⊥}, so gilt für jedes Ψ = Ψ_{1} + Ψ_{2} ∈ H mit Ψ_{1} ∈ K, Ψ_{2} ∈ K^{⊥} :

P π(x)Ψ = P (π(x)Ψ_{1}) + P (π(x)Ψ_{2}) = π(x)P Ψ_{1} + 0 = π(x)P (Ψ_{1} + Ψ_{2}) = π(x)P Ψ ∀x ∈ A,

P kommutiert also mit allen Elementen von π(A), das heißt aber: P ∈ π(A)′.

Zwei Unterdarstellungen π_{E_{1}}, π_{E_{2}} von π heißen disjunkt, wenn die zentralen Träger F_{1}, F_{2} von E_{1} bzw. E_{2} zueinander orthogonal sind, d.h. wenn F_{1}F_{2} = 0. Zwei Unterdarstellungen π_{E_{1}}, π_{E_{2}} von π heißen quasiäquivalent, wenn die zentralen Träger F_{1}, F_{2} von E_{1} bzw. E_{2} übereinstimmen.

Bemerkung 3.6 Zwei Unterdarstellungen π_{E_{1}}, π_{E_{2}} von π sind genau dann disjunkt, wenn sie keine nicht-trivialen quasiäquivalenten Unterdarstellungen haben. Unter der trivialen Darstellung versteht man dabei die Darstellung im Hilbertraum {0}.

Beweis F_{i} bezeichne den zentralen Träger von E_{i}. Dann ist F_{1}F_{2} = 0 offensichtlich das gleiche wie: Es ist unmöglich, E′_{1} (≤ E_{1}) und E′_{2} (≤ E_{2}) zu finden mit F′_{1} = F′_{2}.

Ist H = H_{1} ⊕ H_{2} eine orthogonale Zerlegung und H_{1} invariant unter π(A), so ist wegen Bemerkung 3.4 auch H_{2} invariant unter π(A). Man sagt dann, π sei direkte Summe von π_{E_{1}} und π_{E_{2}} (E_{i} : H ⟶ H_{i} sind die Projektionen).

Lemma 3.7 Für eine Darstellung π der C^{∗}-Algebra A sind äquivalent:

1. π(A)′ ist ein Faktor

2. π(A)′′ ist ein Faktor

3. Man kann π nicht als direkte Summe zweier nicht-trivialer disjunkter Unterdarstellungen ausdrücken.

4. Jede nicht-triviale Unterdarstellung von π ist quasiäquivalent zu π.

Beweis 1) ⇔ 2) ist schon oben erläutert worden.

1) ⇔ 3): Sei π_{E_{1}} Unterdarstellung von π in H_{1}, es sei H = H_{1}⊕H^{⊥}, π_{E_{2}} sei die zu H^{⊥} korrespondierende Unterdarstellung. π_{E_{1}} und π_{E_{2}} sind disjunkt ⟺ F_{1}, F_{2} sind zueinander orthogonal ⟺ F_{1} = E_{1} und F_{2} = E_{2} ⟺ E_{1}, E_{2} ∈ Z(π(A)′). Ist nun π(A)′ ein Faktor, so ist E_{1} = 0, E_{2} = 1 oder umgekehrt, eine der beiden Unterdarstellungen also trivial. Andererseits ist dann eine nicht-triviale disjunkte Zerlegung möglich, wenn π(A)′ kein Faktor ist, denn der von den Projektionen aufgespannte Unterraum ist in einer von-Neumann-Algebra stets normdicht.

1) ⇔ 4): π(A)′ ist Faktor ⟺ Jede Projektion E ∈ π(A)′ ist = 0 oder hat zentralen Träger 1.

Definition 3.8 Eine Darstellung π der C^{∗}-Algebra A heißt Faktordarstellung, wenn die äquivalenten Bedingungen aus Lemma 3.7 erfüllt sind.

Ferner gilt der

Satz 3.9 N ⊂ B(H) sei eine von-Neumann-Algebra, E ∈ N eine Projektion. Dann ist die Projektion von H auf den Unterraum \overline{N EH} gerade der zentrale Träger F von E.

Beweis Q sei die zu \overline{N EH} gehörige Projektion. Zu zeigen: Q = F.

1) F ≤ Q: \overline{N EH} ist invariant unter N, daher ist wegen Korollar 3.5: Q ∈ N′. Da \overline{N EH} auch invariant unter N′ ist, erhält man ebenso: Q ∈ N′′ = N. Auf diese Weise ist gezeigt,daß Q ∈ Z(N). Da natürlich EH ⊂ \overline{N EH}, folgt E ≤ Q. Da F die kleinste Projektion mit diesen Eigenschaften ist, gilt auch F ≤ Q.

2) Q ≤ F: Es gilt: F E = E ⟹ EH ⊂ F H. Da F im Zentrum von N liegt, erhält man: N EH ⊂ N F H = F N H = F H. Da das Bild von F abgeschlossen ist, gilt auch \overline{N EH} ⊂ F H, was dasselbe ist wie Q ≤ F.

3.2 Der axiomatische Rahmen

In diesem Abschnitt wird der Rahmen der algebraischen Quantenfeldtheorie durch einige Axiome abgesteckt.

Sei M der (1+3)-dim. Minkowskiraum mit indefinitem Skalarprodukt ab := a_{0}b_{0} − ∑_{i=1}^{3} a_{i}b_{i}.

Axiom 1 Jedem beschränkten offenen Bereich O ⊂ M wird eine C^{∗}-Algebra A(O) zugeordnet mit der Isotonieeigenschaft:

O_{1} ⊂ O_{2} ⟹ A(O_{1}) ⊂ A(O_{2}).

Die meßbaren Observablen in O sind dabei gerade die selbstadjungierten Elemente von A(O). Den Normabschluß A := \overline{⋃\{A(O) | O ⊂ M offen, beschränkt\}} bezeichnet man als C^{∗}- induktiven Limes. A ist dann wieder eine C^{∗}-Algebra.

Das Kausalitätsprinzip aus der speziellen Relativitätstheorie wird hier formuliert als

Axiom 2 O_{1} ⊂ O′_{2} := {a ∈ M | (a − b)^{2} < 0 ∀b ∈ O_{2}}

⟹ A(O_{1}) ⊂ A(O_{2})′ := {x ∈ B(H) | [x, y] := xy − yx = 0 ∀y ∈ A(O_{2})}

Observable aus raumartig getrennten Gebieten sollen also vertauschen.

Als Symmetriegruppe wirkt gewöhnlich die eigentliche orthochrone Poincaré-Gruppe. Hier werden allerdings nur die Translationen als Symmetrie benötigt.

Axiom 3 Die zu M kanonisch isomorphe Translationsgruppe (die hier wieder mit M bezeichnet sei) wirkt als Gruppe von Automorphismen α_{a} auf A, so daß für jedes beschränkte offene O ⊂ M gilt:

α_{a}A(O) = A(O + a) ∀a ∈ M.

Definition 3.10 Ein Tripel {π, H, U} bestehend aus einer nicht entarteten Darstellung π von A im Hilbertraum H zusammen mit einer stetigen unitären Darstellung U von M in H nennt man kovariante Darstellung, falls sie die Automorphismen α beachtet, d.h. falls gilt:

U(a)π(x)U^{∗}(a) = π(α_{a}x) ∀x ∈ A, a ∈ M.

Nach dem Satz von Stone existieren dann selbstadjungierte Operatoren P_{0}, ..., P_{3}, so daß U sich schreiben läßt als U(a) = e^{i(P,a)}; unter (P, a) = (a, P) versteht man dabei den Operator a_{0}P_{0} − a_{1}P_{1} − a_{2}P_{2} − a_{3}P_{3}. Die Spektralzerlegung von P sieht folgendermaßen aus:

P = ∫_{M} p dE(p)

mit dem projektorwertigen Spektralmaß E(.) auf M. Das bedeutet für U:

U(a) = ∫_{M} e^{ipa}dE(p).

Folgende Bezeichnungen werden daher synonym verwendet:

spec U = spec P = supp dE.

Axiom 4 Die Algebra A erlaubt eine treue kovariante Darstellung {π, H, U} in der Weise, daß für das zu U gehörige Spektralmaß gilt:

supp dE ⊂ \overline{V^{+}} (Spektrumsbedingung).

Definition 3.11 Eine Menge {A(O), A, M, α} nennt man Theorie lokaler Observabler, falls die Axiome 1-4 erfüllt sind.

3.3 Das Spektrum der Translationen

Durch die Axiome ist U noch nicht eindeutig festgelegt. Um durch U den Energie-Impuls-Operator einzuführen, braucht man jedoch diese Eindeutigkeit. Zu diesem Zweck definiert man:

Definition 3.12 U mit U(a) = e^{i(P,a)} sei so gewählt, daß die Axiome 1-4 erfüllt sind. Dann heißt U minimal, falls zu jedem U′ mit U′(a) = e^{i(P′,a)}, mit dem ebenfalls die Axiome 1-4 erfüllt sind, gilt:

(x, P) ≤ (x, P′) ∀x ∈ \overline{V^{+}}.

Das ≤-Zeichen bezieht sich hier auf die Ordnung von Operatoren, also T_{1} ≤ T_{2} genau dann, wenn T_{2} − T_{1} positiv ist, d.h. (Ψ, (T_{2} − T_{1})Ψ) ≥ 0 ∀Ψ im Definitionsbereich von T_{2} − T_{1}.

Gemäß [BoBu] existiert zu einer Theorie lokaler Observabler stets ein eindeutig bestimmtes minimales U. Dieses liegt, wie in [Bor2] gezeigt wird, sogar in π(A)′′. Das gemeinsame Spektrum des durch U(a) = e^{i(P,a)} eingeführten Energie-Impuls-Operators P = (P_{0}, ..., P_{3}) ist dann eine lorentzinvariante Menge. Den Beweis hierfür findet man in [Bor3]. Die Spektrumsbedingung (Axiom 4) fordert also stets eine nichtnegative Energie.

Für unseren Fall fordern wir sogar die starke Spektrumsbedingung:

spec U ⊂ \{0\} ∪ \overline{V_{μ}^{+}},

es sollen also keine Teilchen mit Masse < μ vorkommen. Eine Theorie, in der die starke Spektrumsbedingung gilt, nennt man Theorie mit Massenlücke.

Definition 3.13 Unter einer Superauswahlregel versteht man eine orthogonale Zerlegung des Hilbertraums H in eine direkte Summe einer endlichen oder abzählbaren Familie {H_{ν}} von unter π(A) invarianten Unterräumen, deren durch

π_{ν}(x) = π(x)|H_{ν} für alle x ∈ A

definierte Unterdarstellungen π_{ν} Faktordarstellungen sind.

Beispiele für Superauswahlregeln sind die elektrische Ladung, deren Sektoren die Menge der Zustände gleicher Ladung sind, oder die Univalenz, die den Hilbertraum in einen Bosonen- und einen Fermionensektor teilt. Es gibt jedoch noch zahlreiche weitere Superauswahlregeln.

Sei jetzt {A(O), A, M, α} eine Theorie lokaler Observabler mit einer kovarianten Faktordarstellung {π, H, U}. Denkt man sich H als Superauswahlsektor zur elektrischen Ladung Q, so entspricht einem Teilchen mit Energie-Impuls p und Ladung Q ein p ∈ spec P. Nimmt man ein weiteres Teilchen mit Energie-Impuls p und Ladung Q sowie ein Antiteilchen (Ladung −Q) mit Energie-Impuls p, so haben diese drei Teilchen zusammen Energie-Impuls 3p und Ladung Q. Der dazu korrespondierende Zustand liegt also im selben Superauswahlsektor. Aufgrund dieser Überlegungen kann man für die Form des Spektrums vermuten:

3 spec U ⊂ spec U.

Im abgeschlossenen Vorwärtslichtkegel (im R^{n}, n > 2) gibt es folgende lorentzinvariante Mengen:

a) {0}

b) {p | p^{2} = 0, p_{0} ≥ 0}

c) {p | p^{2} = m^{2} für ein festes m, p_{0} > 0}

d) beliebige Vereinigungen der unter a), b), c) genannten Mengen.

Beschränkt man sich auf massive Teilchen zur Ladung Q ≠ 0 (d.h. außerhalb des Vakuumsektors), entfallen für spec U jedoch die Möglichkeiten a) und b). spec U ist somit eine Vereinigung von Hyperboloiden. Auf die Richtigkeit der Vermutung 3 spec U ⊂ spec U deutet die Aussage des folgenden Satzes hin:

Satz 3.14 π sei eine kovariante Faktordarstellung der Theorie lokaler Observabler {A(O), A, M, α}. Das zu dem minimalen U korrespondierende Energie-Impuls-Spektrum habe die folgende Form:

spec U = \{p | p^{2} = m_{0}^{2}, p_{0} > 0\} ∪ \overline{V_{m_{c}}^{+}}, m_{c} > m_{0}.

Dann folgt: m_{c} ≤ 3m_{0}.

Den Beweis findet man bei [Bor4].

Dieser Satz kann noch etwas verallgemeinert werden, indem man annimmt:

1. spec U = ⋃_{i=0}^{n}\{p | p^{2} = m_{i}^{2}, p_{0} > 0\} ∪ \overline{V_{m_{c}}^{+}} oder

2. spec U = ⋃_{i∈IN_{0}}\{p | p^{2} = m_{i}^{2}, p_{0} > 0\} ∪ \overline{V_{m_{c}}^{+}}.

Für alle i sei m_{i} < m_{c}, es gelte m_{i} < m_{j}, falls i < j. Im zweiten Fall sei m_{c} der kleinste Häufungspunkt von (m_{i}). Auch unter diesen Voraussetzungen folgt: m_{c} ≤ 3m_{0}. Den Beweis hierfür findet man in [Bor5].

Weitere Überlegungen zur Annahme 3 spec U ⊂ spec U sind im nächsten Kapitel aufgeführt. Eine vollständige Lösung liegt allerdings nicht vor. Mit den Vorbereitungen aus Kapitel 1 kann man folgende Aussage zeigen:

Satz 3.15 {A(O), A, M, α} sei eine Theorie lokaler Observabler mit der kovarianten Faktordarstellung π. Für das zu π gehörige minimale U kann dann spec U nicht in der folgenden Weise beschränkt sein:

spec U ⊂ {p | m^{2} ≤ p^{2} ≤ m_{1}^{2}, p_{0} > 0}, m < m_{1} < ∞.

m sei dabei maximal gewählt, d.h. {p | p^{2} = m^{2}, p_{0} > 0} ⊂ spec U.

Es werden jedoch noch einige Vorbereitungen benötigt. Genaueres findet man z.B. in [RS]. Ist U(a) = ∫ e^{ipa}dE(p), so assoziiert man zu einer Borelschen Teilmenge S ⊂ M die (orthogonale) Spektralprojektion E(S). Liegt U(a) in einer von-Neumann-Algebra N, so ist für jedes S auch E(S) ∈ N. Zu Ψ ∈ H bezeichnet man mit supp Ψ die kleinste abgeschlossene Menge S ⊂ spec U, für die noch E(S)Ψ = Ψ gilt.

Lemma 3.16 Die (stetigen) Funktionen F_{x,Ψ}^{+}, F_{x,Ψ}^{−}, definiert durch

F_{x,Ψ}^{+}(a) = (Ψ, π(x^{∗})U(a)π(x)Ψ)  und

F_{x,Ψ}^{−}(a) = (Ψ, π(α_{a}x)π(x^{∗})U(a)Ψ),

sind beschränkt und können daher als Distributionen in S′(M) aufgefaßt werden. Für ihre Fouriertransformierten F F_{x,Ψ}^{+} ≡ F̃_{x,Ψ}^{+}, F F_{x,Ψ}^{−} ≡ F̃_{x,Ψ}^{−} gilt:

1. supp F̃_{x,Ψ}^{+} ⊂ spec U

2. supp F̃_{x,Ψ}^{−} ⊂ 2 supp Ψ − spec U

Beweis i) F_{x,Ψ}^{+}, F_{x,Ψ}^{−} ∈ S′(M), denn

| ∫_{M}(Ψ, π(x^{∗})U(a)π(x)Ψ)ρ(a)da| ≤ ∥Ψ∥^{2}∥π(x)∥^{2} ∫_{M} ρ(a)da < ∞ ∀ρ ∈ S(M).

Der Beweis für F_{x,Ψ}^{−} ist analog.

ii) Sei S ⊂ M eine Borel-Menge mit S ∩ spec U = ∅. Es ist dann E(S) = 0. Für ρ ∈ S(M) ist mit Φ = π(x)Ψ daher gerade:

(F(Φ, U(.)Φ), ρ) = ((Φ, U(.)Φ), ρ̃) = ∫_{M} ρ̃(a)(Φ, U(a)Φ)da = ∫_{M} ρ̃(a) ∫_{spec U} e^{ipa}(Φ, dE(p)Φ)da =

= ∫_{spec U} ∫_{M} ρ̃(a)e^{ipa}da(Φ, dE(p)Φ) = (2π)^{2} ∫_{spec U} ρ(p)(Φ, dE(p)Φ) = 0, falls supp ρ ⊂ S.

Dies zeigt, daß supp F̃_{x,Ψ}^{+} ⊂ spec U

Für F_{x,Ψ}^{−} verläuft die Argumentation analog:

(F(F_{x,Ψ}^{−}), ρ) = ∫_{M} (Ψ, π(α_{a}x)π(x^{∗})U(a)Ψ)ρ̃(a) da

= ∫_{M} (Ψ, U(a)π(x)U(−a)π(x^{∗})U(a)Ψ) ρ̃(a) da
= ∫_{M} ∫_{spec U} ∫_{spec U} ∫_{spec U} e^{iap}e^{−iaq}e^{iar}(Ψ, dE(p)π(x) dE(q)π(x^{∗}) dE(r)Ψ) ρ̃(a) da

= ∫_{spec U} ∫_{spec U} ∫_{spec U} [∫_{M} e^{ia(p−q+r)} ρ̃(a) da] (Ψ, dE(p)π(x) dE(q)π(x^{∗}) dE(r)Ψ)
= ∫_{spec U} ∫_{spec U} ∫_{spec U} ρ(p − q + r) (π(x^{∗}) dE(p)Ψ, dE(q)π(x^{∗}) dE(r)Ψ).

Da dE(p)Ψ = 0, falls p ∉ supp Ψ, und dE(q) = 0, falls q ∉ spec U, ist der Wert des obigen Integrals Null, falls

supp ρ ∩ (supp Ψ + supp Ψ − spec U) = ∅.

Das war gerade die Behauptung.

Lemma 3.17 Ist S ⊂ M eine Borelmenge mit E(S) ≠ 0, so ist die Menge K(S) := {π(x)Ψ | x ∈ A(D_{−t,t}) für ein t ∈ V^{+}, supp Ψ ⊂ S} dicht in H.

Beweis Jedes x ∈ A(O) mit beliebigem O ⊂ M ist für genügend großes t schon in einem A(D_{−t,t}) enthalten. Die in K(S) berücksichtigten π(x) liegen demnach dicht in π(A) bzgl. der Normkonvergenz, also auch bzgl. der starken Konvergenz. Gemäß dem von Neumannschen Dichtheitssatz 3.1 ist π(A) dicht in der von-Neumann-Algebra π(A)′′ (starke Konvergenz). Die in K(S) vorkommenden Ψ sind jedoch gerade die in E(S)H gelegenen. Wegen Satz 3.9 gilt aber: \overline{π(A)′′E(S)H} = F H, falls F den zentralen Träger von E(S) bezeichnet (mit U(a) liegt immer auch E(S) in π(A)′′). Da π eine Faktordarstellung ist, gilt wegen E(S) ≠ 0: F = 1. Das beweist die Aussage.

Nun zum Beweis von Satz 3.15:

Wir nehmen an, spec U sei folgendermaßen lokalisiert:

spec U ⊂ {p | m^{2} ≤ p^{2} ≤ m_{1}^{2}, p_{0} > 0} ⊂ V^{+}

und das Spektrum beginne genau bei m, und führen diese Annahmen zum Widerspruch.

Für t ∈ V^{+} wählt man x ∈ A(D_{−t,t}) und bildet die Funktionen: F_{x,Ψ}^{+}(a) = (Ψ, π(x^{∗})U(a)π(x)Ψ) und F_{x,Ψ}^{−}(a) = (Ψ, π(α_{a}x)π(x^{∗})U(a)Ψ) = (Ψ, U(a)π(x)U(−a)π(x^{∗})U(a)Ψ). Wegen Axiom 2 (Lokalität) ist daher:

F_{x,Ψ}(a) := F_{x,Ψ}^{+}(a) − F_{x,Ψ}^{−}(a) = 0, falls a ∈ (D_{−2t,2t})′,

denn π(α_{a}x) und π(x^{∗}) vertauschen dann. Da also supp F_{x,Ψ} ⊂ (−2t + V^{+}) ∪ (2t + V^{−}), kann man F_{x,Ψ} so aufspalten in F_{x,Ψ} = G^{+} − G^{−}, daß

supp G^{+} ⊂ −2t + V^{+}
supp G^{−} ⊂ 2t + V^{−}.

Außerhalb von D_{−2t,2t} ist diese Aufspaltung eindeutig.

Wegen Satz 2.6 gilt für die Fouriertransformierten: G̃^{+} ist Randwert im distributiven Sinne einer in T^{+} holomorphen Funktion, diese sei ebenfalls mit G̃^{+} bezeichnet. Genauso ist G̃^{−} Randwert einer in T^{−} holomorphen Funktion. Für reelle Punkte gilt darüberhinaus:

G̃^{+}(p) = G̃^{−}(p) ∀p ∈ Γ := M \ suppF̃_{x,Ψ}.

Auf diese Situation ist das Edge-of-the-Wedge-Theorem 2.7 zugeschnitten: Es gibt eine in T^{+} ∪ T^{−} ∪ Γ̃ holomorphe Funktion G^{∗} mit:

G^{∗} | T^{+} = G̃^{+}, G^{∗} | T^{−} = G̃^{−} sowie :
G^{∗}(p) = G̃^{+}(p) = G̃^{−}(p) für p ∈ Γ.

Wegen Lemma 3.16 kann man über die Form des Bereiches Γ noch weitere Aussagen machen: Es ist supp F̃_{x,Ψ} ⊂ supp F̃_{x,Ψ}^{+}∪ supp F̃_{x,Ψ}^{−} ⊂ spec U ∪ (2S− spec U), wobei S den Träger von Ψ bezeichnet.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  (D_{0,(2m+ϵ)s})′ V_{m_{1}}^{+}  (2m + ϵ)s

Abbildung 4: In Γ enthaltener Teil des Koinzidenzgebietes

Ist S eine kleine, ms enthaltende Borelmenge (dabei ist s ein in V^{+} liegender Vektor mit s^{2} = 1), so erhält man:

Γ ⊃ {p | p^{2} > m_{1}^{2}, p_{0} > 0} ∪ (D_{0,(2m+ϵ)s})′ für ein durch S bestimmtes kleines ϵ.

Mit Satz 2.25 sieht man also, daß G^{∗} auch noch holomorph ist in N := M \ {p | 0 ≤ p^{2} ≤ m_{1}^{2}}. Da G̃^{+} und G̃^{−} Randwerte von G^{∗} in den reellen Punkten sind, ist also

G̃^{+}(p) = G̃^{−}(p) ∀p ∈ N.

Demnach gilt auch: F̃_{x,Ψ} | N = 0. Da supp F̃_{x,Ψ}^{+} ∩ N = ∅, folgt: F̃_{x,Ψ}^{−}|N = 0.

Beh.: q ∈ 2ms − {p | p^{2} = m^{2}, p_{0} > 0} ⟹ ∃Ψ_{0} mit supp Ψ_{0} ∋ ms und x_{0} ∈ A(D_{−t,t}) für ein großes t, so daß q ∈ supp F̃_{x_{o},Ψ_{0}}^{−}. Beweis: Für jede Umgebung V von ms ist E(V) ≠ 0, also wegen Lemma 3.17: \overline{K(V)} = H. Daher ist auch

K′(V) := {Φ | Φ = ∫_{V} π(x^{∗}) dE(p) Ψ , π(x^{∗})Ψ ∈ K(V)}

dicht in H. Es folgt: Für jedes relativ kompakte W mit W ∩ spec U ≠ ∅ gibt es ein Φ ∈ K′(V) mit

∫_{W} (Φ, dE(p) Φ) ≠ 0;

denn wäre es Null für alle Φ ∈ K′(V), so auch für alle Φ ∈ H, das aber hieße W ∩ spec U = ∅.

Ist nun q ∈ 2ms − {p | p^{2} = m^{2}, p_{0} > 0}, so gibt es zu jeder relativ kompakten Umgebung U(q) ein S ∋ ms und ein relativ kompaktes W mit W ∩ spec U ≠ ∅, so daß 2S −W = U(q). Weiterhin existieren dann Φ ∈ K′(S) und ρ ∈ S(M) mit ρ|U(q) ≡ 1, so daß

∫_{W} ρ(p) (Φ, dE(p) Φ) ≠ 0.

Schreibt man Φ als Φ = ∫_{S} π(x_{0}^{∗}) dE(s)Ψ_{0}, so ist damit gezeigt: q ∈ supp F̃_{x_{o},Ψ_{0}}^{−}, denn U(q) kann man beliebig klein wählen. Dies beweist die Zwischenbehauptung.

Da 2ms − {p | p^{2} = m^{2}, p_{0} > 0} ∩ N ≠ ∅, erhält man einen Widerspruch zur Lage des Trägers von F̃_{x_{0},Ψ_{0}}^{−}. Damit ergibt sich die Behauptung.

4 Ergänzungen und Ausblicke

In diesem Abschnitt soll noch einmal die bereits im vorigen Abschnitt vermutete Aussage:

3 spec U ⊂ spec U  (2)

näher untersucht werden. Betrachten wir eine Theorie ohne masselose Teilchen und machen folgende Annahme:

spec U ⊂ {p | m^{2} ≤ p^{2} ≤ m_{1}^{2} oder m_{2}^{2} ≤ p^{2}} ∩ V^{+}

mit m < m_{1} < m_{2}. m sei maximal gewählt, d.h. {p | p^{2} = m^{2}, p_{0} > 0} ⊂ spec U.

Vermutung {A(O), A, M, α} sei eine Theorie lokaler Observabler mit der kovarianten Faktordarstellung π. Für das zu π gehörige minimale U gehorche spec U der obigen Annahme. Dann folgt: m_{2} ≤ 3m.

Hätte man diese Vermutung gezeigt, so wäre 2 bewiesen, denn eine eventuelle Lücke zwischen m_{1} und m_{2} läge dann stets unterhalb von 3m. Vermutlich kann man einen Beweis analog zum Beweis von Satz 3.15 führen. Mit den Bezeichnungen von dort ergäbe sich:

supp F̃_{x,Ψ} ⊂ spec U ∪ (2S − spec U),

also (für den Fall, daß S um m(1,0) lokalisiert ist): Γ := M \ supp F̃_{x,Ψ} ⊃ G_{1} ∪ G_{2} mit

G_{1} := \{x ∈ IR^{4} | \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + m_{1}^{2}} < x_{0} < \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + m_{2}^{2}} \} G_{2} := \{x ∈ IR^{4} | 2m + ϵ − \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + m^{2}} < x_{0} < \sqrt{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + m^{2}} \}.

Der wesentliche Schritt wäre dann die Möglichkeit der holomorphen Fortsetzung von G̃_{1} ∪ G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−} in ein bestimmtes größeres Gebiet hinein.

Man kann z.B. vermuten, daß das Gebiet

H := C^{4} \ \overline{\{z | ∃(x′, λ) ∈ Ñ(G_{1} ∪ G_{2}) s.d. (z − x′)^{2} = λ^{2}\}}

mit

Ñ(G_{1} ∪ G_{2}) := {((x′, λ) | {x | (x − x′)^{2} = λ^{2}} ∩ (G_{1} ∪ G_{2}) = ∅}

die Holomorphiehülle von G̃_{1} ∪ G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−} ist. Diese Konstruktion würde der Jost-Lehmann-Dyson-Formel 2.11 ähneln. H als Holomorphiehülle würde die gewünschte Fortsetzbarkeit liefern, da im Falle m_{2} ≤ 3m (und nur dann) die Punkte unterhalb des Randes von G_{2} zu H gehören. H ist jedenfalls ein Holomorphiegebiet (für Gebiete dieser Art wird dies in [Vl3], Abschnitt 33.1, gezeigt); ob es auch die erwünschte Holomorphiehülle ist, kann hier leider nicht beantwortet werden.

Die naheliegende, in Bemerkung 2.21 beschriebene Methode, in der man sich auf je einen Doppelkegel aus G_{1} und G_{2} beschränkt, führt leider nicht weiter, denn legt man den Doppelkegel in

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} x_{0}  x⃗ G_{2} G_{1}  (2m + ϵ)s

Abbildung 5: Lage der Koinzidenzgebiete G_{1} und G_{2}

G_{2} an den unteren Rand heran, so wird durch den Doppelkegel in G_{1} höchstens eine Fortsetzung ins Innere von G_{2} bewirkt.

Mit Hilfe von Satz 2.22 kann man einige nicht reelle Punkte der Holomorphiehülle von G̃_{2} ∪T^{+} ∪ T^{−} angeben. Denn beschränkt man sich auf (1+1) Dimensionen, so enthält die rechte Hälfte von G_{2} ein verschobenes Wedgegebiet, auf das jener Satz anwendbar ist. Wegen der Drehsymmetrie von G_{2} erhält man dadurch gleichzeitig auch einige Punkte der Holomorphiehülle. Ob man aufgrund dieser komplexen Punkte auch auf Fortsetzung in gewisse reelle Punkte schließen kann, ist mir allerdings nicht bekannt.

Auch mit Hilfe von Korollar 2.23 kann man, z.B. indem man einen Doppelkegel in G_{1} legt, gewisse Punkte der Holomorphiehülle finden. Dies führt dann aber auch nicht zu einer Fortsetzung in reelle Punkte außerhalb von G_{2}.

Die Gebiete G_{1} und G_{2} erfüllen jedoch die Voraussetzungen der Jost-Lehmann-Dyson-Formel 2.11. Man kann also mit Hilfe dieses Satzes die Holomorphiehüllen von G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−} sowie G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−} angeben. Aufgrund der Symmetrie von G_{1}, G_{2} gegenüber Raumdrehungen reicht es wiederum, die Holomorphiehülle in (1+1) Dimensionen zu berechnen. Zu raumartigem y bezeichnet man mit ŷ wieder den durch ŷ^{2} = 1, ŷ ∈ V^{+}, ŷy = 0 eindeutig bestimmten Vektor:

ŷ = \frac{sgn y_{1}}{\sqrt{−y^{2}}} (y_{1}, y_{0}).

Satz 1 H(G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) = T^{+} ∪ T^{−} ∪ {z | y = 0, x ∈ G_{1}} ∪ {z | y^{2} = 0, y ≠ 0, x_{0} > x_{1} sgn y_{0} sgn y_{1}} ∪ ∪\{z = x + iy | 0 < y^{2} < \frac{m_{2}−m_{1}}{2} und F^{−}(x_{1}, y) < x_{0} < F^{+}(x_{1}, y)\}

mit \begin{matrix}F^{−}(x_{1}, y) := & −ŷ_{0}\sqrt{(\frac{m_{2}−m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} + \sqrt{(\frac{m_{2}+m_{1}}{2} )^{2} + (x_{1} + ŷ_{1}\sqrt{(\frac{m_{2}−m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} )^{2}} \\ F^{+}(x_{1}, y) := & ŷ_{0}\sqrt{(\frac{m_{2}−m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} + \sqrt{(\frac{m_{2}+m_{1}}{2} )^{2} + (x_{1} − ŷ_{1}\sqrt{(\frac{m_{2}−m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} )^{2}} \end{matrix}

Dieser Satz besagt im Falle y^{2} < 0 gerade, daß x für festes y zwischen den oberen Ästen der

beiden Hyperbeln (x ± ŷ\sqrt{(\frac{m_{2}−m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} )^{2} = (\frac{m_{2}+m_{1}}{2} )^{2} liegt.

Beweis Man benutzt die Jost-Lehmann-Dyson-Formel 2.11. Es ist

N(G_{1}) = \{(x′, λ) | x′ ∈ \overline{V^{+}}, λ ≥ max\{m_{2} − \sqrt{x^{′2}}, \sqrt{x^{′2}} − m_{1}\}.

Damit berechnet man nun den Rand von H(G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−}).

(z − x′)^{2} = λ^{2} bedeutet gerade: \begin{aligned}(1) & (x − x′)^{2} − y^{2} & = & λ^{2} \\ (2) & (x − x′) y & = & 0 \end{aligned}

Aus (2) folgt: x − x′ = μ ŷ, μ ∈ IR. Mit (1) erhält man dann μ^{2} − y^{2} = λ^{2}, also μ = ±\sqrt{λ^{2} + y^{2}}. Ist x′ = aŷ + b y (⟹ x^{′2} = a^{2} + b^{2} y^{2}), so erhält man mit α := \sqrt{x^{′2}}:

x = (±\sqrt{λ^{2} + y^{2}} + \sqrt{α^{2} − b^{2} y^{2}} ) ŷ + b y.

Ist y gegeben, so beschreibt das ”+ “-Zeichen die Punkte oberhalb der Holomorphiehülle (d.h. mit größeren x_{0}-Werten); das ”- “-Zeichen entspricht Punkten unterhalb der Holomorphiehülle. Aus der letzten Gleichung eliminiert man den Parameter b und erhält (im Falle ”+ “):

x_{0} = ŷ_{0}\sqrt{λ^{2} + y^{2}} + \sqrt{α^{2} + (x_{1} − ŷ_{1}\sqrt{λ^{2} + y^{2}} )^{2}}.

mit:

α ≥ 0, λ ≥ max{m_{2} − α, α − m_{1}}.

x_{0} ist streng monoton steigend in α, durch Differentiation stellt man fest: \frac{∂x_{0}}{∂λ} > 0, denn die Ableitung des ersten Summanden von x_{0} ist positiv und vom Betrag größer als die des zweiten Summanden. Das heißt, daß man bei festgelassenen Werten für x_{1} und y durch Verkleinerung von α und λ kleinere x_{0}−Werte herausbekommt. Den kleinsten x_{0}−Wert erhält man also, falls λ = m_{2} − α, 0 ≤ α ≤ \frac{m_{1}+m_{2}}{2} . Dies setzt man ein:

x_{0} = ŷ_{0}\sqrt{λ^{2} + y^{2}} + \sqrt{(m_{2} − λ)^{2} + (x_{1} − ŷ_{1}\sqrt{λ^{2} + y^{2}} )^{2}}.

Welcher Wert von λ, \frac{m_{2}−m_{1}}{2} ≤ λ ≤ m_{2}, liefert jetzt den kleinsten x_{0}−Wert?

\frac{∂x_{0}}{∂λ} = \frac{λ}{\sqrt{λ^{2} + y^{2}}} ŷ_{0} + \frac{λ − m_{2} + (x_{1} − ŷ_{1}\sqrt{λ^{2} + y^{2}} ) ŷ_{1} \frac{−λ}{\sqrt{λ^{2}+y^{2}}}}{\sqrt{(m_{2} − λ)^{2} + (x_{1} − ŷ_{1}\sqrt{λ^{2} + y^{2}} )^{2}}} .

Für welche Werte von x_{1}, y, λ ist dieser Ausdruck positiv? Durch Nachrechnen stellt man fest: \frac{∂x_{0}}{∂λ} > 0 ⟺ x_{1}^{2} − 2\frac{m_{2}ŷ_{1}}{λ} \sqrt{λ^{2} + y^{2}} x_{1} + (m_{2} − λ)^{2}ŷ_{0}^{2} + (λ^{2} + y^{2}) (\frac{2ŷ_{1}^{2}m_{2}}{λ} − (ŷ_{0} − \frac{m_{2}}{λ})^{2}) > 0. Dies ist ein quadratischer Ausdruck in x_{1}. Er beschreibt bei festen übrigen Parametern eine nach oben geöffnete Parabel und hat, wie man nachrechnet, keine Nullstellen. Daher gilt \frac{∂x_{0}}{∂λ} > 0 stets. Der kleinste Wert λ = \frac{m_{2}−m_{1}}{2} liefert also den Rand.

x_{0} = ŷ_{0}\sqrt{(\frac{m_{2} − m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} + \sqrt{(\frac{m_{2} + m_{1}}{2} )^{2} + (x_{1} − ŷ_{1}\sqrt{(\frac{m_{2} − m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}} )^{2}}.

Genauso verfährt man für den unteren Rand im Bereich y^{2} < 0. Man erhält auch dort die Behauptung.

Für den Fall y^{2} = 0, y ≠ 0 muß man den Abschluß derjenigen Punkte z mit y^{2} < 0 bilden, die nicht in H(G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) liegen. Für z ∈ H(G̃_{1}∪T^{+}∪T^{−}) liegt x gerade zwischen den oberen Ästen der den Rand beschreibenden Hyperbeln

(x ± ŷ \sqrt{(\frac{m_{2} − m_{1}}{2} )^{2} + y^{2}})^{2} = (\frac{m_{2} + m_{1}}{2} )^{2} .

Für y_{1} ⟶ y_{0} ≠ 0 erhält man damit: x_{0} ≤ x_{1} sgn y_{0} sgn y_{1}. Das liefert die Behauptung. Für y = 0 erhält man das Gewünschte unmittelbar aus der Definition von N(G).

Man kann in G̃_{1} ∪ G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−} holomorphe Funktionen mindestens nach H(G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) ∪ H(G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) holomorph fortsetzen. Nun soll gezeigt werden, daß H(G̃_{1}∪T^{+}∪T^{−})∪H(G̃_{2}∪T^{+}∪T^{−}) jedoch kein Holomorphiegebiet ist.

Zunächst einige Überlegungen zu H(G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−}): Für N(G_{2}) ergibt sich:

N(G_{2}) = \overline{D_{0,(2m+ϵ,0)}} × \{ zulässige λ\}.

Ist x′_{0} ≤ m+ \frac{ϵ}{2}, erhält man die zulässigen Werte für λ folgendermaßen (mit D := (m+ \frac{ϵ}{2})^{2} −m^{2}):

λ^{2} ≥ \{ \begin{matrix}0 & , x′ ∈ C \\ (x′_{0} − (m + \frac{ϵ}{2}))^{2} − (|x_{1}| − \sqrt{D})^{2} & , x′ ∈ B \\ (m − \sqrt{x^{′2}})^{2} & , x′ ∈ A \end{matrix}

Die Mengen A, B, C sind dabei so definiert:

A := \{x′ ∈ \overline{D_{0,(2m+ϵ,0)}} | x′_{0} ≤ m + \frac{ϵ}{2}, x′_{0} ≤ \frac{m+ \frac{ϵ}{2}}{\sqrt{D}} |x′_{1}|\}

B := \{x′ ∈ \overline{D_{0,(2m+ϵ,0)}} | x′_{0} ≤ m + \frac{ϵ}{2}, \frac{m+ \frac{ϵ}{2}}{\sqrt{D}} |x′_{1}| ≤ x′_{0} ≤ |x′_{1}| + m + \frac{ϵ}{2} − \sqrt{D}\}

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  2m + ϵ  A B C

Abbildung 6: Zulässiger Parameterbereich N(G_{2})

C := \{x′ ∈ D_{(m+ \frac{ϵ}{2} −\sqrt{D},0),(m+ \frac{ϵ}{2} +\sqrt{D},0)} | x′_{0} ≤ m + \frac{ϵ}{2}\}

Für den Fall x′_{0} ≥ m + \frac{ϵ}{2}, berechnen sich die zulässigen λ-Werte auf analoge Weise.

Genau wie bei 1) rechnet man nun: x − x′ = μ ŷ mit μ = ±\sqrt{λ^{2} + y^{2}}. Das heißt: x = x′ ± \sqrt{λ^{2} + y^{2}} ŷ. Man erhält also folgende schematische Darstellung von H(G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−}): y mit y^{2} < 0 sei vorgegeben. Wegen x′ ∈ \overline{D_{0,(2m+ϵ,0)}} können dann nur bestimmte x-Werte erreicht werden:

Die nichtgeraden Stücke des Randes ergeben sich, da für x′ ∈ \overline{D_{0,(2m+ϵ,0)}} nur bestimmte λ-Werte zugelassen sind.

Sei etwa y = (0, y_{1}) mit y_{1} ≠ 0 vorgegeben. Für vom Betrage kleines y_{1} schneidet der untere Rand von H(G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) den oberen Rand von H(G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) in Punkten der Geraden x^{±} = (m + \frac{ϵ}{2}, ±(m + \frac{ϵ}{2})) + tŷ, t ∈ IR.

Die Vereinigung zweier Holomorphiegebiete mit C^{2}-Rändern ist höchstens dann wieder ein Holomorphiegebiet, wenn in den Punkten, in denen sich die Ränder schneiden, die beiden Normalen an die Randflächen in C linear abhängig sind (dies ist bei [Vl3], Abschnitt 18.10, genau ausgeführt). Schreibt man die die Ränder definierenden Gleichungen in der Form ϕ_{i}(z) = 0, falls z Randpunkt, i = 1, 2, so ist die Richtung der Flächennormalen gerade durch grad ϕ_{i} gegeben.

Durch Nachprüfen dieser Bedingung in den zu y = (0, y_{1}) gehörigen Schnittpunkten stellt sich heraus, daß H(G̃_{1} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) ∪ H(G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) kein Holomorphiegebiet ist; man kann also tatsächlich noch weiter fortsetzen. Wie weit, ist mir aber bisher nicht bekannt.

.^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} _{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.} ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  x_{1}  Richtung von ŷ 2m + ϵ x_{0}

Abbildung 7: Schnitt von H(G̃_{2} ∪ T^{+} ∪ T^{−}) mit (x_{0}, x_{1})-Ebene bei festem y

Glossar

Dies ist ein Verzeichnis einiger oft vorkommender Symbole.

Seite

M  Minkowskiraum  23
V^{+}  Vorwärtslichtkegel  5
V^{−}  Rückwärtslichtkegel  5
T^{+}  = IR^{n} + iV^{+}, Vorwärtstube  5
T^{−}  = IR^{n} + iV^{−}, Rückwärtstube  5
V_{μ}^{+}  {x ∈ V^{+} | x^{2} > μ^{2}}  9
R  Menge der raumartigen Punkte  10
S′  (S ⊂ IR^{n}), Menge der zu jedem x ∈ S raumartigen Punkte  10
N(.) Menge der Parameter zulässiger Hyperbeln bzw. Hyperboloide  7
N_{∞}(.) Menge der Parameter zulässiger Geraden bzw. Ebenen  7
N′ (N ⊂ B(H)), Kommutante von N 20
D_{a,b} von a, b ∈ IR^{n} aufgespannter Doppelkegel  6
H(G) Holomorphiehülle des Gebietes G ⊂ C^{n}  4
B̃  (B ⊂ IR^{n} Bereich), aus dem Edge-of-the-Wedge-Theorem
hervorgehende Umgebung von B  6
f̃  (f Funktion), Fouriertransformierte von f  27

Literatur

[Ara] H.Araki, Einführung in die axiomatische QFT, Vorlesungsausarbeitung, Zürich 1961/62 [BM] S.Bochner, W.T.Martin, Several Complex Variables, Princeton University Press 1948 [BMS] Bros/Messiah/Stora, A Problem of Analytic Completion Related to the Jost-Lehmann-

Dyson Formula, J.Math.Phys. 2 (1961),S.639-51

[BoBu] H.J.Borchers, D.Buchholz, The Energy-Momentum Spectrum in Local Field Theories with Broken Lorentz-Symmetry, Comm.Math.Ph. 97(1985), S.169-85

[Bog] N.N.Bogolubov et alii, General Principles of QFT, Kluwer 1990

[Bor1] H.J.Borchers, Über die Vollständigkeit lorentzinvarianter Felder in einer zeitartigen Röhre, Nuovo Cimento 4 (1961), S.787-93

[Bor2] H.J.Borchers, Translation Group and Spectrum Condition, Comm.Math.Ph. 96(1984), S.1-13

[Bor3] H.J.Borchers, Locality and Covariance of the Spectrum, Fizika 17(1985), S.289-304 [Bor4] H.J.Borchers, A Remark on Antiparticles, Lecture Notes in Ph. 257(1985), S.269-90 [Bor5] H.J.Borchers, Theory of Local Observables, nicht veröffentlichtes Vorlesungsskript

[BOT] Bremermann, Oehme, Taylor, Proof of Dispersion Relations in Quantized Field Theories, Phys.Rev. 109(1958), S.2178-90

[Bra] O.Bratteli, D.Robinson, Operator Algebras and Quantum Statistical Mechanics 1, Springer 1979

[Bre] H.J.Bremermann, Complex Convexity, Trans.Am.Math.Soc.82(1956), S.17-51

[Bro] F.Browder, On the “Edge-of-the-Wedge” Theorem, Canad.J.Math.15(1963),S.125-31

[Dix] J.Dixmier, C^{∗}-Algebras, North-Holland 1969

[Gaa] S.Gaal, Linear Analysis and Representation Theory, Springer 1973

[GF] H.Grauert, K.Fritzsche, Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher, Springer 1974

[Gun] R.C.Gunning, Introduction to Holomorphic Functions of Several Variables, Wadsworth 1990

[Haa] R.Haag, Local Quantum Physics, Springer 1992

[HaKa] R.Haag, D.Kastler, An Algebraic Approach to Quantum Field Theory, J.Math.Phys.5(1964),S.848-61 [Hor] S.S.Horuzhy, Introduction to Algebraic QFT, Kluwer 1990

[KK] Kaup/Kaup, Holomorphic Functions of Several Variables, de Gruyter 1983

[KR] Kadison/Ringrose, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras,Bd.1 u.2, Academic Press 1983 bzw. 1986

[Pf1] P.Pflug, Dissertation, Göttingen 1972

[Pf2] P.Pflug, Eine Bemerkung über die Konstruktion von Holomorphiehüllen, Zesz.Nauk.Uniw.Jag.,Prace Mat.23 (1982),S.21-22

[RS] Reed/Simon I, Functional Analysis, Academic Press 1972

[Sto] R.Stora, Some Applications of the Jost-Lehmann-Dyson-Theorem to the Study of the Global Analytic Structure of the N-Point Function of QFT, Lecture Notes in Mathematics 449,S.163-84

[Vl1] V.S.Vladimirov, Construction of Shells of Holomorphy for a Special Kind of Region, Soviet Math.134(1960),S.1039-42

[Vl2] V.S.Vladimirov, On the Construction of Envelopes of Holomorphy for Regions of a Special Type and their Applications, Am.Math.Soc.Transl. Ser.2,48(1965), S.107-50

[Vl3] V.S.Vladimirov, Methods of the Theory of Functions of Many Complex Variables, MIT Press 1966