Fourierkoeffizienten

von Thetafunktionen sechster Ordnung

Dissertation

zur Erlangung des Doktorgrades

der Mathematisch–Naturwissenschaftlichen Fachbereiche der Georg–August–Universität zu Göttingen

vorgelegt von

Gunther Wellhausen

aus

Hannover

Göttingen 1996

D7 Referent: Prof. Dr. S.J. Patterson Korreferent: Prof. Dr. E. Maus Tag der mündlichen Prüfung: 20.06.1996

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 2

2 Funktionalgleichung 5

3 Algorithmus, numerische Techniken 11 3.1 Summationsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 3.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.3 Abschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Der Fall n = 6 17 4.1 Vorbereitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 4.2 Konkrete Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 Ergebnisse 24 5.1 Die Koeffizienten ρ_{6}(r, η) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 5.2 Genauigkeit der ermittelten Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 5.3 Analyse und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 5.4 Tabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

Literatur 65

1 Einleitung

Die klassische quadratische Thetareihe

Θ(z) = ∑_{n=1}^{∞} exp(2πin^{2}z) mit z = x + i y, y > 0

erfüllt die Funktionalgleichung

Θ(γ z) = j(γ, z)Θ(z)

mit γ = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ Γ_{0}(4) ⊂ SL(2, ZZ), wenn SL(2, ZZ) wie üblich auf der oberen

Halbebene operiert. Das Multiplikatorsystem ist

j(γ, z) = ϵ_{d}^{−1} (\frac{c}{d}) \sqrt{cz + d} , ϵ_{d} = \{ \begin{matrix}1 d ≡ 1(4) \\ i d ≡ −1(4) \end{matrix} \} ;

das Symbol (\frac{·}{·}) ist das Produkt aus dem quadratischen Restsymbol und einem Hilbertsymbol. Schon um 1950 herum war durch Ergebnisse von Siegel und anderen bekannt, daß die Kenntnis von j(γ, z) ausreicht, um die Funktion Θ(z) zu rekonstruieren. Dazu baut man folgende Eisensteinreihe auf:

E(z, s) = y^{s} ∑_{Γ_{∞}\ Γ_{0}(4)} j(γ, z)^{−1}|cz + d|^{−2s}.

Γ_{∞} ⊂ SL_{2}(ZZ) ist dabei die Untergruppe der Matrizen mit dem Eintrag 0 in der linken unteren Ecke. Die Reihe E(z, s) genügt demselben Transformationsgesetz in z wie Θ(z). Sie konvergiert absolut für Re s > \frac{3}{4}, besitzt eine meromorphe Fortsetzung und hat einen einfachen Pol bei s = \frac{1}{2}. Bis auf eine Konstante erhält man Θ als das Residuum Res_{s= \frac{1}{2}} E(z, s) = c Θ(z) zurück.

Ebenso wie man eine automorphe Form auf der oberen Halbebene auch als automorphe Form auf G = GL_{2}(IR) betrachten kann, gibt es für Θ(z) eine Interpretation als automorphe Form auf G̃, der 2–fachen metaplektischen Überlagerung von G. Man erhält diese Gruppe als G̃ = {(g, ϵ) | g ∈ G, ϵ^{2} = 1}, wobei die Multiplikation (g, ϵ)(g′, ϵ′) = (g g′, ϵ ϵ′σ(g, g′)) durch einen 2–Kozykel σ(g, g′) gegeben ist. Auf G̃ kann mit σ(g, g′) eine Eisensteinreihe aufgebaut werden, und das Residuum dieser Eisensteinreihe ist die quadratische Thetafunktion.

Kubota (siehe [Ku]) untersuchte in den 60er Jahren die Existenz von Thetafunktionen auf der n–fachen Überlagerung von GL_{2}(C) mit n ≥ 3. Er definierte metaplektische Eisensteinreihen E_{n}(z, s), deren konstanter Term an der Stelle 2s = 1 + \frac{1}{n} einen Pol hat. Es ergaben sich Thetafunktionen n–ter Ordnung als Θ_{n}(z) = Res_{2s=1+ \frac{1}{n}} E_{n}(z, s) . Diese metaplektischen Thetafunktionen sind also eine Verallgemeinerung von Θ_{2}. Als periodische Funktion besitzt Θ_{n} eine Fourierentwicklung. Die Koeffizienten ρ_{n}(r) dieser Entwicklung erhält man als Residuen der Fourierkoeffizienten der entsprechenden Eisensteinreihen. Diese wiederum sind im wesentlichen Dirichletreihen mit Gaußschen Summen n–ter Ordnung als Koeffizienten.

In [KP] wird eine allgemeine Theorie von metaplektischen Formen auf der n–fachen Überlagerung von Gl_{m} entwickelt. Es stellt sich heraus, daß die Frage, für welche n die Koeffizienten berechnet werden können, von der Eindeutigkeit der Whittakermodelle spezieller Darstellungen der metaplektischen Gruppe G̃l_{m}(A_{k}) abhängt, dabei seien A_{k} die Adele eines globalen Körpers k. Diese tritt im Fall m = n auf; für m = n − 1 gilt eine ähnliche Eigenschaft. Für m = 2 ergeben sich Relationen zwischen den Fourierkoeffizienten ρ_{n}(r) (siehe Satz 2.9), die bei n = 3 für ihre vollständige Bestimmung ausreichen. Deshalb war Patterson schon 1976 in der Lage, die kubische Thetafunktion Θ_{3} zu berechnen ([P1],[P2]). Mit Hilfe dieses Resultats konnten Patterson und Heath– Brown beweisen, daß die Argumente kubischer Gaußscher Summen gleichverteilt sind (siehe [HBP]). Die in den Θ_{n} enthaltene Information über Gaußsche Summen ist also ein weiterer Grund für das Interesse an ihrer Untersuchung.

Für n ≥ 4 gibt es bisher erst einzelne Ergebnisse über die Natur der ρ_{n}(r). Im Fall n = 4 hat Patterson eine Vermutung aufgestellt, in der die Quadrate gewisser Linearkombinationen der ρ_{4} beschrieben werden. Die genaue Form wird in [EP] angegeben. Suzuki konnte diese Vermutung für die Argumente beweisen (siehe [Su1], [Su2], [Su3]).

Bei einem Funktionenkörper ist die Situation einfacher, da dort eine Dirichletreihe eine Potenzreihe ist und eine Potenzreihe mit Funktionalgleichung und bekanntem Verhalten an den Polen eine rationale Funktion. Hoffstein hat in [Ho] allgemein für Funktionenkörper eine Methode zur Berechnung der Koeffizienten angegeben. Die Vermutung von Patterson für Funktionenkörper ist darin als Spezialfall enthalten. Hoffstein erwartet gewisse Analogien bei Zahlkörpern (siehe [Ho], Vermutung 4.10). Für n ≥ 5 liegt die Situation bei Zahlkörpern allerdings noch im dunkeln.

Daher ist es interessant, für einen bisher unbekannten Fall die Koeffizienten mit Hilfe numerischer Methoden zu berechnen. Gegenstand dieser Arbeit ist die angenäherte Bestimmung der Koeffizienten für k =Q(ζ_{6}), n = 6. Für Dirichletreihen, die einer Funktionalgleichung der üblichen Form (s → n − s) genügen, hat Ferrar in [F] eine Summationsformel entwickelt, die eine näherungsweise Bestimmung der Residuen ermöglicht. Es handelt sich dabei um eine Verallgemeinerung der Poisson’schen Summationsformel. Für praktische Berechnungen wurde diese Methode zum ersten Mal von Eckhardt eingesetzt, der so in [E1] Klassenzahlen algebraischer Zahlkörper bestimmte. In [W] ließ sich für einen speziellen Fall die Hasse–Weil Vermutung überprüfen. Schließlich hat Eckhardt durch die Berechnung der ρ_{4} zur genauen Formulierung der Vermutung von Patterson beigetragen (siehe [E2]).

In Kapitel 2 werden zunächst die grundlegenden Definitionen zusammengetragen und die Funktionalgleichung der Dirichletreihen angegeben. Die ρ_{n}(r) werden dann als die entsprechenden Residuen definiert; für die Berechnungen spielt ihre Bedeutung als Fourierkoeffizienten keine weitere Rolle. Die numerischen Techniken im allgemeinen Fall sind in [E2] und in [W] ausführlich beschrieben. Deshalb wird in Kapitel 3 nur noch kurz darauf eingegangen. Kapitel 4 enthält die Beschreibung der konkreten Situation im sextischen Fall. Schließlich werden im letzten Kapitel die Ergebnisse dargestellt und besprochen. Als Hauptresultat ergab sich in Übereinstimmung mit Hoffsteins Vermutung, daß ein wesentlicher Bestandteil der Koeffizienten ρ_{6}(r) eine normierte kubische Gaußsche Summe bzw. die Wurzel daraus ist. Die Methode eignet sich zwar nicht dazu, dieses Ergebnis zu beweisen, die numerischen Daten sprechen aber in so überzeugender Weise dafür, daß ein abweichendes Verhalten ausgesprochen unwahrscheinlich erscheint.

An dieser Stelle möchte ich Herrn Prof. Patterson für die Vergabe dieses interessanten Themas und die Betreuung der Arbeit danken.

2 Funktionalgleichung

Es sei k ein total imaginärer algebraischer Zahlkörper, in dem die n–ten Einheitswurzeln liegen; die Menge

μ_{n}(k) := {ζ ∈ k|ζ^{n} = 1}

hat also n Elemente. S sei eine endliche Menge von Primstellen von k, die alle unendlichen Stellen und alle v mit v | n enthält. Mit der Bezeichnung k_{v} für die Vervollständigung von k bzgl. v sei

k_{S} := ∏_{v∈S} k_{v} und ∥x∥ = ∥x∥_{S} := ∏_{v∈S} |x_{v}|_{v}

die Norm eines Elementes x ∈ k_{S}. Weiter sei

R_{S} := {x ∈ k : |x|_{v} ≤ 1 ∀x / ∈S}

der Ring der S–ganzen Zahlen. Durch hinreichend große Wahl von S kann erreicht werden, daß R_{S} ein Hauptidealring ist. Dies sei im folgenden immer der Fall. Auf k_{S} sei die Bilinearform

( , )_{S} : k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{n} × k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{n} ⟶ μ_{n}(k) durch (x, y)_{S} := ∏_{v / ∈S,v|b}(b, a)_{v}

definiert mit dem lokalen Hilbertsymbol ( , )_{v} auf k_{v}:

( , )_{v} : k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n} × k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n} ⟶ μ_{n}(k) .

Entsprechend bildet man das zugehörige Legendresymbol:

(\frac{a}{b})_{S} := ∏_{v / ∈S,v|b}(b, a)_{v} für a, b ∈ R_{S}, aR_{S} + bR_{S} = R_{S} .

Es gilt das Reziprozitätsgesetz

(\frac{a}{b})_{S} = (a, b)_{S} · (\frac{b}{a})_{S} .

Es sei ϵ : μ_{n}(k) ↪ C^{×} ein injektiver Homomorphismus. Weiter existiert ein Homomorphismus e : k_{S} → C^{×} mit e(R_{S}) = 1 und {x ∈ k : e(x · R_{S}) = 1} ⊂ R_{S}, da R_{S} Hauptidealring ist. Es sei für x_{v} ∈ k_{v}:

λ_{v}(x_{v}) := \{ \begin{matrix}−x_{v} & falls k_{v} = IR \\ −T_{C/IR}(x_{v}) & falls k_{v} = C \end{matrix} \}

Für eine endliche Stelle v sei λ_{v}(x_{v}) ∈ Q der gebrochene Anteil der p-adischen Entwicklung der Spur von x_{v}. Definiert man für x ∈ k_{S} weiter

Λ(x) := ∑_{v∈S} λ_{v}(x_{v}) ,

so genügt der Homomorphismus e_{0} : k_{S} → C mit

e_{0}(x) := exp(2πiΛ(x/α))

den obigen Bedingungen. Dabei gelte für die absolute Differente D von k:

D · R_{S} = (α) · R_{S} .

Definition 2.1 Für c ∈ R_{S}\ {0} heißt

g_{S}(e, ϵ, c) := ∑_{x mod^{×} c} ϵ ((\frac{x}{c})_{S}) · e (\frac{x}{c})  Gaußsche Summe  .

Für eine Einheit u ∈ R_{S}^{×} folgt sofort

g_{S}(e, ϵ, u · c) = ϵ (\frac{u}{c})_{S} · g_{S}(r, ϵ, c) .

In dieser Form ist die Gaußsche Summe also keine Funktion auf den Idealen von R_{S}. Mit ( , ) als 2–Kozykel erhält man die Gruppenerweiterung

1 → μ_{n}(k) ↪ k̃_{S} →→ k_{S} → 1 .

Die Multiplikation in k̃_{S} wird durch

(x, ζ)(x′, ζ′) := (x x′, ζ ζ′ (x, x′)_{S}^{−1}) für x, x′ ∈ k_{S} , ζ, ζ′ ∈ μ_{n}(k)

beschrieben. S : k_{S} → k̃_{S}, S(x) := (x, 1) bezeichne den Standardschnitt. Für c ∈ R_{S}\{0} sei

g̃_{S}(e, ϵ, (c, ζ)) := ϵ(ζ) g_{S}(e, ϵ, c) .

Für eine S–Einheit u ∈ (R_{S})^{×} gilt dann

g̃_{S}(e, ϵ, (u, 1)(c, ζ)) = g̃_{S}(e, ϵ, (c, ζ)) .

Die Menge S(k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}) ist eine abelsche Untergruppe von k̃_{S}. Ω_{ϵ} sei die Menge der Quasicharaktere

χ : (k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}) → C^{×} mit χ|_{μ_{n}(k)} = ϵ, χ_{|S(R_{S}^{×})} = 1 .

χ̂ ∈ Ω_{ϵ} sei der Quasicharakter mit χχ̂(S(k_{S}^{×}^{n})) = 1. Durch die Parametrisierung s → χ∥ ∥_{S}^{s} der Zusammenhangskomponente von χ erhält Ω_{ϵ} eine Struktur als komplexe Mannigfaltigkeit. Für χ ∈ Ω_{ϵ} sei σ(χ^{n}) definiert durch

∥x∥_{S}^{σ(χ^{n})} := |χ^{n}(x)| .

Definition 2.2 Für χ ∈ Ω_{ϵ} sei

H(χ) := {ϕ : k̃_{S}^{×} → C : ϕ(hx) = (χ(h)∥h∥_{S})^{−1} ϕ(x) für h ∈ (k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}), x ∈ k̃_{S}} .

H(χ) ist ein C–Vektorraum der Dimension

dim_{C}H(χ) = [k_{S}^{×} : k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}] = n^{Card(S)} .

Satz 2.3 Für v / ∈S sei P_{v} das zugehörige Primideal in R_{S} und π_{v} ∈ R_{S} ein Erzeuger von P_{v}. Für χ ∈ Ω_{ϵ}, σ(χ^{n}) > \frac{1}{2}n und ϕ ∈ H(χ) sei

ψ(e, χ, ϕ) := ∑_{c∈R_{S}\{0} mod R_{S}^{×}} g̃_{S}(e, ϵ, S(c))ϕ(S(c)) L_{S}(χ^{n}∥ ∥_{S})  (1)

mit  L_{S}(χ^{n}∥ ∥_{S}) := ∏_{v / ∈S} (1 − (χ^{n}(π_{v})∥π_{v}∥_{S})^{−1})^{−1}  .

Dann konvergiert die Reihe ψ(e, χ, ϕ), betrachtet als Funktion von χ, absolut für σ(χ^{n}) > \frac{1}{2} n. ψ besitzt eine Fortsetzung nach Ω_{ϵ} als meromorphe Funktion endlicher Ordnung. Im Bereich σ(χ^{n}) ≥ 0 hat ψ keine Pole außer an der Stelle χ^{n} = ∥ ∥_{S} und dieser Pol ist höchstens einfach.

\underline{Beweis}: siehe [EP], Kapitel 5.

Wesentlich für alles weitere ist, daß ψ eine Funktionalgleichung erfüllt. Um diese formulieren zu können, benötigt man lokale Gammafunktionen. Die folgenden beiden Sätze von Tate ([T]) stellen diese bereit:

Satz 2.4 Es sei f eine Testfunktion auf k_{v} und ω ein Quasicharakter auf k_{v}. dx sei das Maß auf k_{v}, das selbstdual ist bezüglich e, und es sei d^{×}x := |x|_{v}^{−1} dx. Für Re (s) > 0 sei

ζ(f, ω) := ∫_{k_{v}^{×}} f(x) ω(x) d^{×}x .

f̂(t) = ∫_{k_{v}} e(xt)f(x)dx sei die mit dem Charakter e gebildete Fouriertransformierte

von f. Dann seien für alle Quasicharaktere ω mit 0 < σ(ω) < 1 und für alle Testfunktionen f auf k_{v} die lokalen Gammafunktionen Γ_{1,v} wie folgt definiert :

ζ(f̂, ω) = Γ_{1,v}(e, ω)ζ(f, ω^{−1}| |) .

Γ_{1,v} kann auf die Menge aller Quasicharaktere ω als meromorphe Funktion fortgesetzt werden.

Satz 2.5 Es sei π ein Primelement für k_{v}. Es sei dx das bezüglich e_{v} selbstduale Maß auf k_{v}, und das Maß auf k_{v}^{×} sei d^{×}x := |π| (1−|π|)^{−1}|x|^{−1} dx. Dann ist μ(r_{v}) = |π|v^{\frac{d}{2}} , wobei D_{v} = π_{v}^{d} die lokale Differente ist.

(i) Für einen unverzweigten Charakter χ : k_{v}^{×} → C^{×} gilt

Γ_{1,v}(e, χ) = χ(π)^{−d} \frac{1 − |π|_{v}χ(π)^{−1}}{1 − χ(π)} μ(r_{v}) .

(ii) Für einen verzweigten Quasicharakter von k_{v}^{×} mit Führer f ist

Γ_{1,v}(e, χ) = χ(π)^{−(d + f)} |π|v^{\frac{d + f}{2}} · \underbrace{|π|v^{\frac{f}{2}} ∑_{U_{v} / (1 + (π)^{f} )} χ(x) e (\frac{x}{π^{d + f}} )}_{=: W (χ)}  .

Für k_{v} = C gilt mit χ_{n} (re^{iϕ}) = e^{i nϕ}, n ∈ ZZ, und der gewöhnlichen Gammafunktion Γ(s):

Γ_{1,v}(e_{v}, χ_{n} · | |_{v}^{s}) = (−i)^{|n|} · \frac{(2π)^{1−s}Γ (s + \frac{|n|}{2})}{(2π)^{s}Γ (1 − s + \frac{|n|}{2})} .

Ein Quasicharakter ω auf k_{v}^{×}^{n} hat die Form ω = ω_{1}| |^{s} mit einem Charakter ω_{1} auf U_{v}^{×}^{n}. Es existiert eine Erweiterung ω′_{1} von ω_{1} auf k_{v}^{×} (siehe z.B. [Po], Satz 35). Daher ist ω′ := ω′_{1}| |^{s} eine Erweiterung von ω auf k_{v}^{×}. Zwei solcher Erweiterungen unterscheiden sich um einen Charakter, der auf k_{v}^{×}^{n} verschwindet. Daher ist folgende Definition sinnvoll:

Definition 2.6 Es sei ω ein Quasicharakter auf k_{v}^{×}^{n} und ω′ eine Erweiterung von ω auf k_{v}^{×}. Es sei

Γ_{n,v}(e, ω) := [k_{v}^{×} : k_{v}^{×}^{n}]^{−1} ∑_{ϕ^{n} = 1} Γ_{1,v} (e, ω′ϕ) .

Für Quasicharaktere χ auf k_{S}^{×}^{n} sei Γ_{n}(e, χ) = ∏_{v∈S} Γ_{n,v}(e_{v}, χ_{v}). Dabei seien e_{v} und

χ_{v} die Komponenten von e und χ an der Stelle v ∈ S. Man hat die übersichtliche Darstellung Γ_{n}(e, χ) = ∫_{k_{S}^{×}^{n}} e(x)χ(x)d^{×}x, wenn man das

Integral gegebenenfalls im Sinne der Distributionentheorie interpretiert. Für r ∈ k_{S}^{×} sei re(x) := e(rx). Dann folgt direkt aus der Definition die Beziehung

Γ_{n}(r e, χ) = χ(r)^{−1} · Γ_{n}(e, χ)

für r ∈ k_{S}^{×}^{n}. Die angekündigte Funktionalgleichung hat folgende Form:

Satz 2.7 Es sei χ ∈ Ω_{ϵ} . τ(e) : H(χ) → H(χ̂) sei definiert durch

(τ(e)ϕ)(S(x′)) = ∑_{x∈ k_{S}^{×}\k_{S}^{×}^{n}} \frac{Γ_{n} (−\frac{1}{x·x′} e, χ ∘ S)}{Γ_{1} (e, (χ ∘ S)^{n})} ∥\frac{x}{x′} ∥_{S} ϵ((x, −x′)_{S}) ϕ(S(x))  .

Dann gilt für die Funktion ψ

ψ(e, χ̂, τ(e)ψ) = ψ(e, χ, ϕ) .

\underline{Beweis}: siehe [EP], Kapitel 5.

Die folgende Basis des Raumes H(χ) eignet sich besonders gut für die durchzuführenden Rechnungen :

Definition 2.8 Es sei η ∈ k_{S}^{×}. ϕ_{n} ∈ H(χ) sei definiert durch

ϕ_{η}((x, ζ)) = \{ \begin{matrix}ϵ (ζ^{−1}(h, η)_{S}^{−1}) χ^{−1}(x)∥x∥_{S}^{−1} & für x = h η, h ∈ k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×} \\ 0 & für x (k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}) ≠ η (k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}) \end{matrix} \}

Für u ∈ k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×} gilt ϕ_{uη}(x, ζ) = ϵ(η, u)_{S}^{−1}ϕ_{η}(x, ζ). Ist T ein Vertretersystem für k_{S}^{×}/(k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}), so bilden die {ϕ_{η}| η ∈ T } eine Basis von H(χ). Für ein s ∈ C und für x ∈ k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×} sei χ_{s}(S(x)) := ∥x∥_{S}^{s}. Von jetzt an sei immer der oben beschriebene Charakter e_{0} zugrunde gelegt. Durch die Angabe von r ∈ k_{S}^{×} wird dann ein Charakter e = re_{0} definiert.

ψ hat nun die Gestalt :

\begin{aligned}ψ(r, s, η) := ψ(re_{0}, χ_{s}, ϕ_{η}) & = ∑_{c∈R_{S}\\{0\} mod R_{S}^{×}} g̃_{S}(r, ϵ, S(c)) ϕ_{η}(S(c)) L_{S}(∥ ∥_{S}^{ns+1}) \\ & = ∑_{c∈ηk_{S}^{×}^{n}∩R_{S} mod R_{S}^{×}^{n}} g(r, ϵ, c)∥c∥_{S}^{−(s+1)} L_{S}(∥ ∥_{S}^{ns+1}) \end{aligned}  ,

wobei

L_{S}(∥ ∥_{S}^{s}) = ∏_{v / ∈S}(1 − ∥π_{v}∥_{S}^{−s})^{−1} = ∏_{v / ∈S}(1 − |π_{v}|_{v}^{s})^{−1} = ∏_{v∈S\S_{∞}}(1 − |π_{v}|_{v}^{s}) ζ_{k}(s) .

ζ_{k}(s) bezeichnet die Zetafunktion von k.

Es folgt sofort, daß ψ(r, s, η) nur von der Äquivalenzklasse von η modulo k_{S}^{×}^{n} abhängt. Weiter erhält man für u ∈ R_{S}^{×} die Beziehungen

ψ(r, s, ηu) = ϵ(u, η)_{S} ψ(r, s, η) ,

ψ(ru, s, η) = ϵ(η, u)_{S} ψ(r, s, η) .

Die in der Einleitung beschriebenen Größen sind die folgenden Residuen:

ρ(r, η) = ρ_{S}(r, η) := Res_{s= \frac{1}{n}} ψ(r, s, η) .

Es ist

ρ(r, η) = lim_{χ′→χ_{\frac{1}{n}}} (\frac{ψ(re_{0}, χ′, ϕ_{η})}{L_{S} (χ′^{n})}) · Res_{s=1}ζ_{k}(s) ∏_{v∈S\S_{∞}}(1 − |π_{v}|_{v}) .

Die ρ(r, η) haben folgende Eigenschaften:

Satz 2.9 Für u ∈ R_{S}^{×} gilt

ρ_{S}(r, ηu) = ϵ(η, u)_{S}^{−1} ρ_{S}(r, η)  (2)
ρ_{S}(ru, η) = ϵ(η, u)_{S} ρ_{S}(r, η)  (3)
ρ_{S}(r_{1}, η) = ρ_{S}(r_{2}, η) , wenn r_{1}r_{2}^{−1} ∈ k^{×}^{n}  .  (4)

Es sei r_{0} ∈ R_{S} und π sei ein Primelement aus R_{S} mit π /| r_{0} . Dann ist

ρ_{S}(r_{0}π^{j}, η) = ∥π∥_{S}^{− \frac{j+1}{n}} g_{S}(r_{0}, ϵ^{j+1}, π)ϵ(−η, π^{j+1})_{S}ρ_{S}(r_{0}π^{n−2−j}, ηπ^{−(j+1)}) (5)

für 0 ≤ j ≤ n − 2, und es ist ρ_{S}(r_{0}π^{n−1}, η) = 0. Es sei v / ∈S eine Stelle von k und S′ := S ∪ {v}. Dann gilt

ρ_{S}(r, η) = ∑_{η_{v}∈r_{v}^{×}\r_{v}^{×}^{n}} ρ_{S′}(r, η × η_{v})  (6)

\underline{Beweis}:

(2) und (3) folgen direkt aus der Definition. Die Eigenschaften (4), (5) und (6) werden in [P5] bewiesen. Dabei ist anzumerken, daß man für den Beweis von (4) und (5) die allgemeine Theorie aus [KP] benötigt. □

3 Algorithmus, numerische Techniken

3.1 Summationsformel

Die Abbildung τ(e) aus 2.7 zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen läßt sich

durch die Matrix T = (T_{ij}) darstellen mit τ(e) ϕ_{i} = ∑_{j=1}^{n^{♯S}} T_{ij}ϕ_{j}. Dabei sei {η_{i}},1 ≤

i ≤ n^{♯S}, ein fest gewähltes Vertretersystem für k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×}, und {ϕ_{i}} := {ϕ_{η_{i}}} bzw. {ϕ′_{j}} := {ϕ′_{η_{j}}} seien die entsprechenden Basen aus Definition 2.8 von H(χ_{s}) bzw. von H(χ_{−s}). Die Matrixelemente T_{ij} = T_{ij}(r, s) erhält man wie folgt :

(τ(e) ϕ_{i}) ((η_{j}, 1)) = T_{ij} · χ̂^{−1}(η_{j}) · ∥η_{j}∥^{−1}

⟹ T_{ij} = ∥η_{j}∥^{1−s} · ∑_{x∈k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{n}} \frac{Γ_{n} (−\frac{r}{x η_{j}} , s)}{Γ_{1}(1, ns)} · ∥\frac{x}{η_{j}} ∥ · ϵ(x, −η_{j}) · ϕ_{i}((x, 1))

⟹ T_{ij} = G_{∞}(s) · ∥r∥^{−s} ∏_{v∈S\S_{∞}} \frac{|π_{v}|_{v}^{d_{v}(ns− \frac{1}{2})}}{1 − |π_{v}|_{v}^{1−ns}} · T′_{ij}(r, s)

mit G_{∞}(s) = (n · (2π)^{2s(n−1)} · \frac{Γ(s)}{Γ(ns)} · \frac{Γ(−ns)}{Γ(−s)})^{\frac{N}{2}} , N = [k :Q] und

T′_{ij}(r, s) = ∥r∥^{s} · ∥η_{j}∥^{−s+1} · ∑_{x∈k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{n}} ∥\frac{r}{x · η_{j}} ∥_{∞}^{−s} · ∥\frac{x}{η_{j}} ∥_{S} · τ(r, s, x) · ϕ_{i}((x, 1)) , (7)

wobei τ(r, s, x) := ∏_{v∈S\S_{∞}} (1 − |π_{v}|_{v}^{ns}) Γ_{n,v} (\frac{−r}{x · η_{j}} , s) .

Für die Umformungen wurde die explizite Form der Γ_{n} aus Satz 2.5 benutzt.

Die Funktionalgleichung nimmt dann folgende Gestalt an:

ψ(r, s, η_{i}) = G_{∞}(s) · ∥r∥^{−s} ∏_{v∈S} \frac{1}{1 − |π_{v}|_{v}^{1−ns}} · ∏_{v∈S} |π_{v}|_{v}^{d_{v} (ns− \frac{1}{2})} · ∑_{j} T′_{ij}(s) · ψ(r, −s, η_{j})

oder Ψ(r, s, η_{i}) = n^{\frac{N}{2}} · G_{f}(s) · ∏_{v} |π_{v}|v^{\frac{−dv}{2}} · ∑_{j} T′_{ij}(s)Ψ(r, −s, η_{j})

mit Ψ(r, s, η_{i}) := y_{1}^{−s} · (\frac{Γ(ns)}{Γ(s)})^{\frac{N}{2}} · ψ(r, s, η_{i})

und

y_{1} := (2π)^{\frac{N}{2} (n−1)} · ∏_{v} |π_{v}|_{v}^{n· \frac{dv}{2}} · ∥r∥_{S}^{− \frac{1}{2}} , G_{f}(s) := ∏_{v∈S\S_{∞}} \frac{1}{1 − |π_{v}|_{v}^{1−ns}}

Als Folgerung aus Satz 2.7 ergibt sich

Korollar 3.1

i) Ψ(r, s, η_{i}) ist in der komplexen Ebene ohne den Punkt s = \frac{1}{n} holomorph; an dieser Stelle hat die Funktion höchstens einen einfachen Pol.

ii) Für Im(s) → ∞ fällt Ψ in senkrechten Streifen endlicher Breite exponentiell ab.

iii) Im Bereich Re(s) > \frac{1}{2} hat man folgende Darstellungen als Dirichletreihen

ψ(r, s, η_{i}) = ∑_{m=1}^{∞} a(m)m^{−s},  G_{f}(−s)ψ(r, s, η_{i}) = ∑_{m=1}^{∞} b(m)m^{−s}  .

Für den Beweis von ii) benötigt man zusätzlich zu Satz 2.3 den Satz von Phragmén-Lindelöf. Es sei a > \frac{1}{2}, b > 0 und f sei eine in Streifen −a ≤ σ ≤ a holomorphe Funktion mit der Eigenschaft

f(s) · (\frac{Γ(ns)}{Γs})^{\frac{N}{2}} = O (e^{−b|t|})  .  (8)

Es gilt mit einem Parameter x > 0:

V_{i} := \frac{1}{2πi} ∫_{□} Ψ(r, s, η_{i})f(s)x^{−s}ds = res_{s= \frac{1}{n}} Ψ(r, s, η_{i})f (\frac{1}{n}) x^{− \frac{1}{n}} ,

wenn das Integral über ein Rechteck mit den Ecken −σ − i τ , σ − i τ , σ + i τ , −σ + i τ , a > σ > \frac{1}{2}, τ > 0 läuft. Eigenschaft ii) des Korollars ergibt dann

V_{i} = V_{1i} − V_{2i} mit

V_{1i} := \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} Ψ(r, s, η_{i})f(s)x^{−s}ds und V_{2i} := \frac{1}{2πi} ∫_{(−σ)} Ψ(r, s, η_{i})f(s)x^{−s}ds

Dabei bedeute (σ), daß die Integration über die Gerade Re (s) = σ ausgeführt wird. Weiter sei

F_{1}(x) = \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} (\frac{Γ(ns)}{Γ(s)})^{\frac{N}{2}} f(s)·x^{−s}ds und F_{2}(x) = \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} (\frac{Γ(ns)}{Γ(s)})^{\frac{N}{2}} f(−s)·x^{−s}ds .

Häufig wird f ≡ 1 gewählt. Dann sei F (x) := F_{1}(x) = F_{2}(x). Man erhält durch Vertauschen von Integration und Summation

V_{1i} = \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} y_{1}^{−s} (\frac{Γ(ns)}{Γ(s)})^{\frac{N}{2}} f(s)ψ(r, s, η_{i})x^{−s}ds

= ∑_{m=1}^{∞} a(m) · F_{1}(x y_{1} m) .  (9)

Die Anwendung der Funktionalgleichung ergibt mit y_{2} := n^{\frac{N}{2}} · ∏_{v} |π_{v}|_{v}^{− \frac{dv}{2}} :

V_{2i} = \frac{1}{2πi} ∫_{(−σ)} y_{1}^{−s} · (\frac{Γ(ns)}{Γ(s)})^{\frac{N}{2}} f(s)ψ(r, s, η_{i}) · x^{−s}ds

= y_{2} · \frac{1}{2πi} ∫_{(−σ)} G_{f}(s) · f(s) · x^{−s} · (∑_{j} T′_{ij}(s)Ψ(r, −s, η_{j})) ds

= y_{2} · \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} G_{f}(−s) · f(−s) · (\frac{1}{x})^{−s} · (∑_{j} T′_{ij}(−s)Ψ(r, s, η_{j})) ds

= y_{2} · ∑_{j} \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} T′_{ij}(−s)G_{f}(−s) · f(−s) · (\frac{1}{x})^{−s} y_{1}^{−s} (\frac{Γ(ns)}{Γ(s)})^{\frac{N}{2}} ψ(r, s, η_{j})ds .

Man hat eine Darstellung

T_{ij}(−s) = ∑_{w∈Z Z^{♯(S\S∞)}} c_{i,j,w}|π|^{ws} , |π|^{ws} := ∏_{v∈S\S_{∞}} |π_{v}|_{v}^{w_{v}s} .  (10)

Dabei sind nur endlich viele c_{i,j,w} von 0 verschieden. Es ergibt sich

V_{2i} = y_{2} ∑_{m=1}^{∞} · ∑_{j=1}^{n^{♯S}} b(m) · ∑_{w} c_{i,j,w}F_{2} (x^{−1} · y_{1} · m · |π|^{w})  .  (11)

Schließlich erhält man

V_{i} · x^{\frac{1}{n}} · f (\frac{1}{n})^{−1} = Res_{s= \frac{1}{n}} Ψ(r, s, η_{i}) = Γ (\frac{1}{n})^{− \frac{N}{2}} y_{1}^{− \frac{1}{n}} · ρ(r, η_{i}) .  (12)

3.2 Auswertung

Um die Summationsformel einsetzen zu können, benötigt man Algorithmen für die Berechnung der verschiedenen Bestandteile. Diese sind im wesentlichen die Gaußschen Summen, die verallgemeinerten hypergeometrischen Funktionen F_{i} und die Koeffizienten T′_{ij} in der Funktionalgleichung. Zunächst muß man die lokalen Hilbertsymbole

( , )_{v} : k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n} × k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n} → C^{×}

für die endlichen Stellen v ∈ S bestimmen. Da das Hilbertsymbol eine Bilinearform ist, muß man es nur auf einer Basis von k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n} kennen. Wegen k_{v}^{×} = ⟨π_{v}⟩ × U_{v} reicht es, eine Basis für U_{v}/U_{v}^{n} zu berechnen. Für

m = [\frac{v(p)}{p − 1}] + v(n) + 1

gilt U_{v}^{(m)} ⊂ U_{v}^{n}, dabei ist U_{v}^{(m)} := 1 + (π_{v})^{m} die m–te Einseinheitengruppe. Das Problem, für U_{v}/U_{v}^{n} in U_{v}/U_{v}^{(m)} ein Vertretersystem zu finden und schließlich eine Basis zu bestimmen, läßt sich mit Hilfe der Beziehungen

U_{v}^{(k)}/U_{v}^{(k+1)} = O_{v}/(π_{v})

leicht lösen. Wegen des Chinesischen Restsatzes kann man jede Klasse aus k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n} durch ein Element aus k^{×} darstellen, das für alle w ∈ S\{v} in k_{w}^{×}^{n} liegt. Auf dieser Basis lassen sich schließlich die Werte des lokalen Hilbertsymbols leicht berechnen, indem man die Produktformel für das Hilbertsymbol benutzt.

Die Werte des Legendresymbols (\frac{a}{b}) kann man mit Hilfe eines Kettenbruchalgorithmus ausrechnen, wenn man das Reziprozitätsgesetz benutzt, das sich aus der Kenntnis der Hilbertsymbole ergibt. Die Ergebnisse für den Fall n = 6 finden sich im nächsten Kapitel.

Zur Berechnung der Gaußschen Summen sind folgende Eigenschaften wichtig, die das Problem auf den Fall r = 1, π prim reduzieren:

Satz 3.2 Für r_{1}, r_{2} ∈ R_{S}\{0} mit ggt (r_{1}, r_{2}c) = (1) gilt

g(r_{1}r_{2}, ϵ, c) = ϵ (\frac{r_{1}}{c} )_{S}^{−1} g(r_{2}, ϵ, c) .

Es seien c_{1}, c_{2} ∈ R_{S}\{0} mit ggt (c_{1}, c_{2}) = (1). Dann ist

g(r, ϵ, c_{1}c_{2}) = ϵ (\frac{c_{1}}{c_{2}} )_{S} ϵ (\frac{c_{2}}{c_{1}}_{S}) g(r, ϵ, c_{1}) g(r, ϵ, c_{2}) .

Schließlich gilt für ein Primelement π ∈ R_{S} :

g(π^{k}, ϵ, π^{l}) = \{ \begin{matrix}0 & für k < l − 1 \\ N (π)^{l−1} g(1, ϵ^{l}, π) & für k = l − 1 \\ ϕ(π^{l}) & für k ≥ l, ϵ^{l} = 1 \\ 0 & für k ≥ l, ϵ^{l} ≠ 1 \end{matrix} \} .

\underline{Beweis}: siehe [P4].

Um g(1, ϵ, π) zu berechnen, kann man ausnutzen, daß Gaußsche Summen als Residuen Dirichlet’scher L–Reihen auftreten. Mit Hilfe einer ähnlichen Summationsformel wie in Abschnitt 3.1 erreicht man, daß der Aufwand zu ihrer Berechnung nur O (N (π) log N (π)) beträgt. Nach Eisenstein und Weil ist nämlich die n–te Potenz der Gaußschen Summe bekannt (siehe z.B. [P5]); daher muß die Approximation lediglich ausreichen, um n–te Einheitswurzeln voneinander zu trennen. Eine detaillierte Beschreibung der Methode findet man in [E2].

Bei den Funktionen F_{1}, F_{2} handelt es sich um verallgemeinerte hypergeometrische Funktionen. Für ihre Auswertung bieten sich zwei verschiedene Methoden an: Die direkte Auswertung des Integrals mittels einer Trapezformel und die Entwicklung der Funktion in eine Potenzreihe und anschließende Auswertung der Reihe. In [E1],

[E2] werden Funktionen von ähnlichem Typ behandelt. Beide Methoden sind mit nicht unerheblichem Rechenaufwand verbunden, daher bietet es sich in jedem Falle an, nur eine Wertetabelle für die Funktion aufzustellen und dann zu interpolieren. Dies liefert sehr gute Ergebnisse, da die Funktion selbst und alle ihre Ableitungen exponentiell abfallen (siehe dazu [W]).

Für die Koeffizienten T′_{ij} schließlich erhält man nach Umformung aus (7) die Form

T′_{ij}(r, s) = ∥\frac{r}{η_{i}η_{j}} ∥_{S_{f}}^{s} · ϵ(η_{i}, −η_{j}) · \frac{1}{(k_{S}^{×} : k_{S}^{×}^{n})} · ∏_{v}(1 − |π_{v}|_{v}^{ns}) ·

· ∑_{h∈R_{S}^{×}/R_{S}^{×}^{n}} ϵ (h, \frac{−η_{j}}{η_{i}} ) · ∏_{v∈S\S_{∞}} ∑_{y∈k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{n}} ϵ (\frac{−r_{v}}{h · η_{i}η_{j}} , y) · Γ_{1,v}(e, | |_{v}^{s} · ϵ(y, ·)) . (13)

∥ ∥_{S_{f}} soll das Produkt über die lokalen Beträge an den endlichen Stellen sein. Bei entsprechender Wahl der {η_{i}} und von r verschwindet daher der erste Faktor. Die Indizes i, j laufen hier von 1 bis n^{♯S}, sodaß die {η_{i}} bzw. {η_{j}} ein vollständiges Vertretersystem für k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{n}R_{S}^{×} bilden. Mit Hilfe dieser Darstellung lassen sich die komplexen Zahlen c_{i,j,w} aus (10) berechnen.

3.3 Abschätzungen

Für den praktischen Einsatz der Formel (12) sind Abschätzungen für die Summe

V_{i}(L) := ∑_{m=L}^{∞} [a(r, η_{i}, m)F_{1}(xy_{1}m) − ∑_{j=1}^{n^{♯S}} b(r, η_{i}, m) ∑_{w} c_{i,j,w} F_{2} (\frac{1}{x}y_{1}|π|^{w}m)]

wünschenswert. Die Theorie der Mellintransformation ergibt für die Funktionen F_{1}, F_{2} explizite Abschätzungen, die das exponentielle Fallen beschreiben. Der Betrag der Koeffizienten a(r, η_{i}, m) bzw. b(r, η_{i}, m) ist von der Größenordnung O(m^{δ}),δ > 0. Insgesamt erhält man für f ≡ 1 Summen der Form

∑_{m=L}^{∞} m^{c_{1}}exp (−M(xc_{2}m)^{\frac{1}{M}} ) , M = \frac{N}{2} (n − 1) und c_{1} > 0, c_{2} > 0 .

Diese werden durch das entsprechende Integral abgeschätzt, das sich als Wert der unvollständigen Gammafunktion ermitteln läßt. Es ergibt sich:

|V_{i}(r, L)| = O (∥r∥_{S}^{C_{3}}exp (−C_{4} (\frac{L}{\sqrt{∥r∥_{S}}} )^{\frac{1}{M}} ))  (14)

mit positiven Konstanten C_{3}, C_{4}. Auch die in dem O–Ausdruck enthaltene Konstante kann explizit angegeben werden. Für die genauen Rechnungen sei auf [EP], [E1] und [W] verwiesen.

4 Der Fall n = 6

4.1 Vorbereitungen

Im folgenden soll der Körper der sechsten Einheitswurzeln

k =Q(ζ_{6}) = Q (exp (\frac{2πi}{6})) =Q(ζ_{3}) =Q(\sqrt{−3})

behandelt werden. Es sei immer ζ_{n} := exp (\frac{2πi}{n}) und ζ = ζ_{6}. Der Ring der ganzen Zahlen von k ist R = ZZ(ζ). Es seien v_{∞} die unendliche Stelle und v_{2} bzw. v_{3} die Stellen über 2 und 3, v_{3} ist die einzige verzweigte Stelle. Es sei S = {v_{∞}, v_{2}, v_{3}} gewählt. Dieses ist die kleinste Menge, die die Anforderungen aus Kapitel 1 erfüllt. Die Primelemente seien ω = π_{2} = 2 für v_{2} und π = π_{3} = \sqrt{−3} = 2ζ − 1 für v_{3}. Die lokale Differente D_{v_{3}} ist gleich der globalen Differente D und es gilt D = (π_{3}). Die Gruppe R_{S}^{×} der S–Einheiten wird erzeugt von π, ω und ζ. Die im ersten Teil von 3.2 beschriebenen Rechnungen liefern folgende Ergebnisse:

Im Fall v_{3} ist U_{v}^{×}/U_{v}^{×}^{6} ≅ U_{v}/U_{v}^{(4)}. Es ist [k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{6}] = 6^{2}3^{2} = 324, und man hat

k_{v_{3}}^{×}/k_{v_{3}}^{×}^{6} = ⟨π · k_{v_{3}}^{×}^{6}⟩ × ⟨(1 + π)^{2} · k_{v_{3}}^{×}^{6}⟩ × ⟨2 · k_{v_{3}}^{×}^{6}⟩ × ⟨(1 + π^{3}) · k_{v_{3}}^{×}^{6}⟩
= ⟨α_{1}⟩ ×  ⟨α_{2}⟩  × ⟨α_{3}⟩ ×  ⟨α_{4}⟩
≅  ZZ_{6}  ×  ZZ_{3}  ×  ZZ_{6}  ×  ZZ_{3}

Dabei haben also α_{1} := \overline{π} und α_{3} := \overline{2} = \overline{ω} = \overline{(1 + π^{2})(2 + π^{2})} die Ordnung 6 und α_{2} := \overline{(1 + π)^{2}} = \overline{4ζ − 4} und α_{4} := \overline{(1 + π^{3})} = \overline{4 − 6ζ} die Ordnung 3. Für ganze Zahlen a ∈ r, mit |a|_{v_{3}} = 1, die man mittels der natürlichen Einbettung als Elemente in k_{v_{3}}^{×} betrachten kann, bedeutet Rechnen modulo k_{v_{3}}^{×}^{6} (multiplikativ), daß man additiv modulo π^{4} = 9 rechnet.

Die Exponenten der aus den Basiselementen gebildeten Hilbertsymbole setzen sich zur folgenden Matrix A = (a_{ij}) zusammen mit (α_{i}, α_{j})_{v} = ζ^{a_{ij}}:

A = [ \begin{matrix}3 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 3 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ] .

Für v_{2} ist U_{v}^{×}/U_{v}^{×}^{6} ≅ (U_{v}/U_{v}^{(3)})/⟨5⟩. Es ist [k_{v}^{×}/k_{v}^{×}^{6}] = 6^{2}2^{2} = 144, und es gilt

k_{v_{2}}^{×}/k_{v_{2}}^{×}^{6} = ⟨ω · k_{v_{2}}^{×}^{6}⟩ × ⟨(3 + 2ζ) · k_{v_{2}}^{×}^{6}⟩ × ⟨(5 + 3ζ) · k_{v_{2}}^{×}^{6}⟩ × ⟨(1 + 2ζ) · k_{v_{2}}^{×}^{6}⟩
= ⟨β_{1}⟩ ×  ⟨β_{2}⟩  ×  ⟨β_{3}⟩  ×  ⟨β_{4}⟩
≅  ZZ_{6}  ×  ZZ_{2}  ×  ZZ_{6}  ×  ZZ_{2}

In diesem Fall muß man in U_{v}^{×}/U_{v}^{×}^{6} additiv modulo 8 = ω^{3} und multiplikativ modulo 5 rechnen. Die ganzen Zahlen 1, 5, 9, 13, −7, −3 , usw. stellen also alle das neutrale Element e = β_{1}^{0} · β_{2}^{0} · β_{3}^{0} · β_{4}^{0} ∈ k_{v_{2}}^{×}/k_{v_{2}}^{×}^{6} dar. Die Matrix B = (b_{ij}) mit den Einträgen (β_{i}, β_{j})_{v} = ζ^{b_{ij}} gibt den Wert der Hilbertsymbole an:

B = [ \begin{matrix}0 & 3 & 4 & 0 \\ 3 & 3 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3 \end{matrix} ]

Die Darstellung ξ = (a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}; b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}) für Elemente aus k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} soll bedeuten, daß ξ = α_{1}^{a_{1}}α_{2}^{a_{2}}α_{3}^{a_{3}}α_{4}^{a_{4}} · β_{1}^{b_{1}}β_{2}^{b_{2}}β_{3}^{b_{3}}β_{4}^{b_{4}} , wobei natürlich α_{i} = (α_{i}, 1, 1) als Element aus k_{S}^{×} = k_{v_{3}}^{×} × k_{v_{2}}^{×} × k_{∞}^{×} betrachtet wird. Für die Erzeuger der Einheitengruppe gilt (via der natürlichen Einbettung):

\begin{aligned}π & = & (1, 0, 0, 0 & ; & 0, 1, 0, 0) \\ ω & = & (0, 0, 1, 0 & ; & 1, 0, 0, 0) \\ ζ & = & (0, 2, 5, 0 & ; & 0, 0, 5, 0) \end{aligned}  .

Deshalb ist {α_{2}, α_{4}, β_{2}, β_{3}, β_{4}} die Basis eines Vertretersystems für k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6}R_{S}^{×}. Es ergibt sich das Reziprozitätsgesetz:

Satz 4.1 Es sei γ = (0, a_{2}, 0, a_{4}, 0; b_{2}, b_{3}, b_{4}) und δ = (0, a′_{2}, 0, a′_{4}; 0, b′_{2}, b′_{3}, b′_{4}). Dann gilt

(\frac{ζ}{γ} )_{S} = ζ^{a_{2}+b_{2}+b_{4}} (\frac{ω}{γ} )_{S} = ζ^{2a_{2}+b_{2}+4b_{3}} (\frac{π}{γ} )_{S} = ζ^{2a_{4}+b_{2}+3b_{3}}

und

(γ, δ)_{S} = (−1)^{b_{2}b′_{2}+det( \begin{matrix}b_{2} & b_{3} \\ b′_{2} & b′_{3} \end{matrix} )+det( \begin{matrix}b_{3} & b_{4} \\ b′_{3} & b′_{4} \end{matrix} )}  mit (\frac{γ}{δ} )_{S} = (γ, δ)_{S} (\frac{δ}{γ} )_{S}  .

Im folgenden werden zwei weitere Vertretersysteme von k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6}R_{S}^{×} von Interesse sein :

V_{1} := {η ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} | a_{1} = b_{1} = a_{2} = 0 und a_{3} ≡ 0 mod 2} und

V_{2} := \{η ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} | a_{1} = b_{1} = a_{2} = 0 und \{ \begin{matrix}b_{3} ≡ 0 mod 2 & für b_{2} = 0 \\ b_{3} ≡ 1 mod 2 & für b_{2} = 1 \end{matrix} \}\} .

Für ξ ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} mit a_{1} = 0 und b_{1} = 0 sei

M_{ξ} := {x ∈ R\{0} | x ≡ ξ mod k_{S}^{×}^{6}} ,

wobei wieder die Einbettung R\{0} ↪ R_{S}\{0} ↪ k_{S}^{×} benutzt wird. Sind a, b ∈ M_{ξ}, so gelten die additiven Kongruenzen

a ≡ b mod 9 und
a ≡ b mod 8 oder a ≡ 5b mod 8 .

Die speziellen Vertretersysteme V_{1}, V_{2} lassen sich daher auch anders charakterisieren:

⋃_{η∈V_{1}} M_{η} = {x ∈ R | x ≡ 1 mod 3} und

⋃_{η∈V_{2}} M_{η} = {x ∈ R | x ≡ ±1 mod 3 und x ≡ y mod 4}

mit y ∈ {(2, 1) , (3, 1) , (1, 2) , (0, 3) , (1, 1) , (1, 0)}

oder ⋃_{η∈V_{2}} M_{η} = {x ∈ R | x ≡ z mod 12}

mit z ∈ \{ \begin{matrix}(1, 0) & (5, 0) & (4, 3) & (8, 3) & (1, 6) & (5, 6) \\ (1, 9) & (2, 9) & (5, 9) & (7, 9) & (10, 9) & (11, 9) \end{matrix} \} .

Dabei gelte wieder (a, b) := a + bζ.

Da V_{1} eindeutig durch die Mengen M_{η}, η ∈ V_{1} gegeben ist, läßt sich die komplexe Konjugation von R auf V_{1} fortsetzen. Es gilt

\overline{(0, 0, 1, 0 ; 0, 0, 0, 0)} = (0, 0, 1, 0 ; 0, 0, 0, 0)
\overline{(0, 0, 0, 1 ; 0, 0, 0, 0)} = (0, 0, 0, 2 ; 0, 0, 0, 0)
\overline{(0, 0, 0, 0 ; 0, 1, 0, 0)} = (0, 0, 0, 0 ; 0, 1, 3, 0)
\overline{(0, 0, 0, 0 ; 0, 0, 1, 0)} = (0, 0, 0, 0 ; 0, 0, 5, 0)
\overline{(0, 0, 0, 0 ; 0, 0, 0, 1)} = (0, 0, 0, 0 ; 0, 0, 3, 1)

Man hat also für alle η ∈ V_{1} : η · \overline{η} = (0, 0, a_{3}, 0 ; 0, 0, b_{3}, 0), wobei a_{3} = 0, 2, 4 und b_{3} = 0, 3. Es ergibt sich folgende Eigenschaft der ρ_{6}(r, η):

Lemma 4.2 Es gilt für η ∈ V_{1}, r ∈ R mit r ≡ 1 mod 3

\overline{ρ_{6}(\overline{r}, η)} = (−1)^{n} · ρ_{6}(r, \overline{η}) ,

wobei n = 1, wenn bei η · \overline{η} b_{3} = 3 gilt, und n = 0 sonst.

\underline{Beweis}: Aus der Gestalt der Hilbertsymbole folgt

Γ_{6,v}(re_{0}, ϵ(x, ·)) = Γ_{6,v}(re_{0}, ϵ(\overline{x}, ·))

für die endlichen Stellen v_{3} und v_{2}. Einsetzen in die Darstellung (13) der T′_{ij} ergibt das entsprechende Verhalten der Summen (9),(11) und damit die Behauptung. □

4.2 Konkrete Berechnungen

4.2.1 Die Funktion F

Die Funktion f(s) = \frac{1}{Γ(1+s)} erfüllt die Voraussetzung (8). Mit dieser Wahl erhält man, da n = 6, N = 2:

F_{1}(x) = \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} \frac{Γ(6s)}{Γ(s) · Γ(1 + s)} · x^{−s}ds und F_{2}(x) = \frac{1}{2πi} ∫_{(σ)} \frac{Γ(6s)}{Γ(s) · Γ(1 − s)} · x^{−s}ds

Anwendung des Residuensatzes ergibt die Entwicklung

F_{1}(x) = ∑_{k=1}^{N} Res_{s=− \frac{k}{6}} (\frac{Γ(6s)}{Γ(s) · Γ(1 + s)} · x^{−s}) +\frac{1}{2πi}_{(− \frac{N+ \frac{1}{2}}{6} )}^{∫} \frac{Γ(6s)}{Γ(s) · Γ(1 + s)}·x^{−s}ds .

Für N → ∞ verschwindet das Restglied wegen der Eigenschaften der Gammafunktion. Man erhält also

\frac{1}{2πi} · ∫_{(σ)} \frac{Γ(6s)}{Γ(s) Γ(1 + s)} x^{−s} ds = ∑_{6|j, j>0} \frac{−1}{j · j!} · \frac{1}{Γ (\frac{−j}{6} )^{2}} · (−x^{\frac{1}{6}} )^{j}

= ∑_{k=1}^{5} \frac{−z^{k}}{Γ (\frac{−k}{6} )^{2}} · (\frac{1}{k · k!} + ∑_{i=1}^{∞} (\frac{z^{6}}{6^{2}} )^{i} · \frac{∏_{l=1}^{i−1}(k + 6l)^{2}}{(k + 6i − 1)!}) mit z = −x^{\frac{1}{6}}

Nach [Mar],S.160 Formel 8(4) gilt

\frac{1}{2πi} · ∫_{(σ)} \frac{Γ(6s)}{Γ(s) Γ(1 − s)} x^{−s} ds = \frac{1}{6π} exp (−\sqrt{3} · (\frac{x^{\frac{1}{6}}}{2} )) · sin (\frac{x^{\frac{1}{6}}}{2} )

Dies kann man auch sofort durch Vergleich der Potenzreihenentwicklungen sehen. Diese einfache Form von F_{2} ist günstig, da diese Funktion bei der Summation nach (11) besonders oft ausgewertet werden muß. Bei der Auswertung der F_{1} darstellenden Potenzreihe bereitet die große Auslöschung Probleme. Daher ist es sinnvoll, eine Wertetabelle anzulegen und dann zu interpolieren. Mit Hilfe des Systems REDUCE wurde die Reihe mit einer Genauigkeit von 500 Dezimalstellen ausgewertet. Dies reichte aus, um die Funktionswerte auf 25 Dezimalstellen zu berechnen. Für die Interpolation wurde die Methode der Tschebyscheffpolynome angewendet. Eine gute Beschreibung dieses Algorithmus findet man z.B. in [PFTV].

4.2.2 Gaußsche Summen

Wegen Satz 3.2 reicht es aus, die Summen g(1, ϵ^{l}, π) zu berechnen. Für träge Primzahlen p ≡ 2 mod 3 kann man die g(1, ϵ, p) direkt ausrechnen und erhält

g(1, ϵ, p) = p · ϵ (\frac{1 − 2ζ}{p} )_{S} = \{ \begin{matrix}p & p ≡ 3 mod 4 \\ −p & p ≡ 1 mod 4 \end{matrix} \}

Für die anderen π mit p = N (π), p Primzahl, berechnet man

g(1, ϵ, π) = ϵ (\frac{−\overline{π}}{π} )^{−1} · g_{6}(π) mit g_{6}(π) = ∑_{x mod^{×} p} ϵ (\frac{x}{π} ) · exp (2πi\frac{x}{p}) .

Der Satz von Eisenstein und Weil besagt in diesem Fall, daß

g_{6}(π)^{3} = π^{2} · \sqrt{p} · \{ \begin{matrix}1 & p ≡ 1 mod 4 \\ −i & p ≡ 3 mod 4 \end{matrix} \}  ,  (15)

wenn π ≡ −1 mod 3 normiert ist. Die Summen g_{6}(π) lassen sich daher mit der in 3.2 angesprochenen Methode bestimmen. Es ist

g(1, ϵ^{5}, π) = \overline{g(1, ϵ, π)} · ϵ (\frac{−1}{π})
g(1, ϵ^{4}, π) = \overline{g(1, ϵ^{2}, π)} · ϵ (\frac{−1}{π})
g(1, ϵ^{2}, π) = g_{3}(1, ϵ, π)
g(1, ϵ^{3}, π) = g_{2}(1, ϵ, π)

Die quadratische Gaußsche Summe ist bekannt. Schließlich gilt für die kubische

Summe g_{3}(π) := ∑_{x mod^{×} p} ϵ^{2} (\frac{x}{π} ) exp (2πi\frac{x}{p}):

g_{3}(π)^{3} = N (π) · π, wenn π ≡ −1 mod 3 .

4.2.3 Koeffizienten der Funktionalgleichung

In der Darstellung (13) der Koeffizienten T′_{ij} sind die lokalen Gammafunktionen Γ_{1,v} für die endlichen Bewertungen v_{2}, v_{3} wichtigster Bestandteil. Die Wurzelzahlen W (χ) aus Satz 2.5 sind 36–te Einheitswurzeln für v_{3} und 12–te Einheitswurzeln für v_{2}. Aus diesem Grund haben die T′_{ij} eine spezielle Form:

T′_{ij}(r, s) = 6 · ∑_{w_{1}=−4}^{5} ∑_{w_{2}=−5}^{3} (\frac{1}{3^{s}} )^{w_{1}} · (\frac{1}{4^{s}} )^{w_{2}} c_{i,j,w_{1},w_{2}}

mit c_{i,j,w_{1}w_{2}} := ∑_{k_{1}=0}^{1} ∑_{k_{2}=0}^{5} ·\sqrt{3}^{k_{1}} · ζ_{36}^{k_{2}} · a_{k_{1},k_{2}}

Dabei sind die a_{k_{1},k_{2}} Elemente aus dem Ring R und modulo Einheiten treten nur die Werte

(1, 1), (2, 0), (3, 0), (2, 2), (4, 0), (1, 4), (4, 1), (3, 3), (2, 4), (4, 2)
(6, 0), (4, 4), (3, 6), (6, 3), (8, 0), (9, 0), (6, 6), (12, 0), (9, 9), (18, 0)
(24, 0), (27, 0), (36, 0)

auf, wobei (a, b) immer a+bζ bedeuten soll. Es ist sinnvoll, die Koeffizienten im voraus zu berechnen, damit der nicht unerhebliche Rechenaufwand zu ihrer Bestimmung nicht in die eigentliche Summation eingeht. Von dem Faktor ϵ(η_{i}, −η_{j}) abgesehen, hängen die T′_{ij} nur von η_{i}^{2} und η_{i}η_{j} ab, so daß nur 27 · 216 Werte benötigt werden. Wegen ihrer speziellen Form kann man die T′_{ij} recht kompakt speichern. Allerdings entsteht dann ein gewisser Rechenaufwand, um sie in komplexe Zahlen umzuwandeln. Es hat sich herausgestellt, daß es günstiger ist, sie direkt als komplexe Zahlen darzustellen.

4.2.4 Summation

Vor der eigentlichen Summation sollten neben den T′_{ij} auch alle benötigten Gaußschen Summen g(1, ϵ, π), N (π) = p berechnet werden, da trotz der günstigen Methode aus 3.2 der Aufwand recht hoch ist. Nach (15) sind sie durch Angabe einer dritten Einheitswurzel eindeutig bestimmt. Die Ergebnisse können daher sehr gut gespeichert werden. Um den Rechenaufwand bei der Summation (siehe (9),(11)) möglichst gering zu halten, ist es sinnvoll, die Hauptschleife über alle Primzahlen p < L laufen zu lassen, wenn L wieder die obere Grenze ist; das entspricht der Eulerproduktentwicklung einer Dirichletreihe und wird in unserem Fall durch das multiplikative Verhalten der Gaußschen Summen unterstützt. So werden aufwendige Primfaktorzerlegungen vermieden. Weiterhin ist darauf zu achten, daß die Funktionen F_{1}, F_{2} möglichst selten ausgewertet werden müssen. Wenn man die Koeffizienten l_{1}(k) und l_{2}(k) der Dirichletreihen L_{1}(s) := L_{S}(∥ ∥_{S}^{6s+1}) bzw. L_{2}(s) := G_{f}(−s)·L_{S}(∥ ∥_{S}^{6s+1}) = ζ_{k}(6s+1) getrennt berechnet, so kann man etwa folgendermaßen vorgehen:

Für jede Primzahl p ∈ ZZ, p < L :

Für jedes π ∈ R mit N (π) = p oder N (π) = p^{2} : Berechne g(r, ϵ, π) . Für jedes schon behandelte a ∈ R mit N (πa) < L :

Bestimme g(r, ϵ, a · π) nach Satz 3.2 .

Wenn N (aπ) < \sqrt{L} ,

speichere aπ und g(r, ϵ, a · π) . Bestimme j so, daß aπ = η_{j} als Element von k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6}R_{S}^{×} . Für w ∈ ZZ^{2} mit c_{i,j,w} ≠ 0 :

Für alle k mit l_{2}(k) ≠ 0, bis der Summand klein ist: Summiere F_{2}(x^{−1}y_{1}N (πa)|π|^{w}k) · l_{2}(k) .

Diese Summe sei f_{2} . Für i = 1 bis 216 :

V_{2}(i) = V_{2}(i) + c_{i,j,w} · f_{2} · \frac{g(r,ϵ,a·π)}{N (πa)} .

Für alle k mit l_{1}(k) ≠ 0, bis der Summand klein ist: Summiere F_{1}(xy_{1}N (πa)) · l_{1}(k) .

Diese Summe sei f_{1} .

V_{1}(j) = V_{1}(j) + f_{1} · \frac{g(r,ϵ,a·π)}{N (πa)} .

Die Wahl des Parameters x in der Summationsformel beeinflußt die Konvergenz. Er sollte so gewählt werden, daß das Konvergenzverhalten der Summen V_{1} und V_{2} möglichst gleich ist. Der Wert x = \frac{1}{300} hat sich als günstig erwiesen. Die Rechnungen wurden auf einer DEC Workstation vom Typ 3000/600(ALPHA) mit 320 MB Hauptspeicher durchgeführt. Bei einer oberen Grenze von L = 5 · 10^{7} wurden für die Bestimmung der ρ(r, η) für ein r zwischen 20 und 35 Stunden CPU– Zeit benötigt. Für die Berechnung der Gaußschen Summen g_{6}(1, π) für alle π mit N (π) < 5 · 10^{7} waren ca. 120 Stunden CPU–Zeit notwendig. Die ρ(r, η) wurden für alle r ∈ R, r ≡ 1 mod 3 mit N (r) < 110 bestimmt und für einige weitere interessant erscheinende, insbesondere alle r = r_{1}^{2}, N (r_{1}) ≤ 37. Von zwei konjugierten Werten wurde dabei wegen der Beziehung 4.2 nur jeweils einer gewählt. Bei den Rechnungen war stets η ∈ V_{1}.

5 Ergebnisse

5.1 Die Koeffizienten ρ_{6}(r, η)

Für die Darstellung des eigentlichen Ergebnisses hat sich das Vertretersystem V_{2} als günstiger erwiesen. Die Umrechnung bereitet wegen (2) keine Schwierigkeiten. Es sollen für einen Charakter χ von k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6}R_{S}^{×} die Fouriertransformierten

ρ̂(r, χ) := ∑_{η∈V_{2}} χ(η)ρ(r, η)

betrachtet werden. Man erhält daraus die ρ(r, η) durch

ρ(r, η) = \frac{1}{216} _{χ∈(k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6}R_{S}^{×})}^{∑}χ(η)^{−1}ρ̂(r, χ)

zurück. Die Charaktere χ_{π} = ϵ(π, ·), χ_{ω} = ϵ(ω, ·), χ_{ζ} = ϵ(ζ, ·) bilden eine Basis

von (k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6}R_{S}^{×}). Aufgrund der erhaltenen Werte läßt sich folgende Vermutung aufstellen:

Vermutung 5.1 Es sei η ∈ V_{2} und ρ̂(r, χ) sei definiert wie oben. Dann gilt für χ = χ_{π}^{a_{1}}χ_{ω}^{a_{2}}χ_{ζ}^{a_{3}} mit 0 ≤ a_{i} ≤ 5

ρ̂(r, χ) = n(χ) · Γ (\frac{1}{6}) (2π)^{\frac{5}{6}} · \frac{1}{\sqrt{3}} · \frac{1}{6^{3}} ·

· \frac{\overline{r}^{\frac{1}{6}}}{∥r∥^{\frac{1}{6}}} \underbrace{3^{\frac{1}{12} t_{1}(a_{1})} · 2^{\frac{1}{6} (a_{2}−6)}}_{A(r,χ)} · \underbrace{ζ_{12}^{k(r,χ)} ζ_{72}^{3t_{2}(a_{1})+2a_{3}}ζ_{6}^{p(χ,r)}}_{Z(r,χ)} ·R (r, χ) .

– Es ist R (r, χ) = π′_{3}^{k_{1}}π_{2}^{k_{2}}π_{7}^{k_{3}} \overline{π_{7}}^{k_{4}}π_{13}^{k_{5}} \overline{π_{13}}^{k_{6}}. Dabei ist ist π′_{3} = 1 + ζ normiert; in diesem Fall gilt \frac{π′_{3}}{|π′_{3}|} = ζ_{12}. Es ist π_{2} = 2, π_{7} = 1 − 3ζ, π_{13} = 1 + 3ζ.

Die k_{i} sind ganze Zahlen mit −1 ≤ k_{i} ≤ 2 für i = 1, 2 und k_{i} = 0 oder 1 für 3 ≤ i ≤ 6.

– n(χ) ist 0 oder 1. Insbesondere verschwindet ρ̂(r, χ) für a_{1} = 2, für a_{2} = 1 und für a_{1} = 3, a_{3} = 1, 2, 4, 5 stets, unabhängig von r.

– Bei dem Faktor \overline{r}^{\frac{1}{6}} sei die Wurzel mit Hilfe des Hauptzweigs des Logarithmus gewählt, also −\frac{π}{6} < arg (\overline{r}^{\frac{1}{6}} ) ≤ \frac{π}{6}. r ist immer ≡ 1 mod 3 normiert. Das Argument von \overline{r}^{\frac{1}{6}} ist für quadratfreie r nach 4.2.2 bis auf zwölfte Einheitswurzeln das der Wurzel aus einer Gaußschen Summe dritter Ordnung g(1, ϵ^{2}, \overline{r}). Ist r = r_{0} · r_{1}^{2}, so gilt bis auf zwölfte Einheitswurzeln arg (\overline{r}^{\frac{1}{6}} ) =

arg (\sqrt{g(1, ϵ^{2}, \overline{r_{0}})} · g(1, ϵ^{2}, \overline{r_{1}})).

– Es gilt t_{1}(a_{1}) = a_{1} + 9 für 0 ≤ a_{1} ≤ 3 und t_{1}(a_{1}) = a_{1} + 3 sonst.

– Es ist t_{2}(a_{1}) = 1 für a_{1} ≡ 1 mod 2 und t_{2}(a_{1}) = 0 sonst.

– k(r, χ) = \{ \begin{matrix}1 & für & a_{1} = 0 & und & a_{3} = 0, 1, 2 \\ & und für & a_{1} = 1 & und & a_{3} = 0, 1 \\ −1 & für & a_{1} = 0 & und & 3 ≤ a_{3} ≤ 5 \\ & und für & a_{1} = 1 & und & 2 ≤ a_{3} ≤ 5 \\ −2 & für & a_{1} = 3, 5 & und & a_{3} = 5 \\ 0 & sonst \end{matrix} \}

– Die Exponenten p(χ, r) sind ganze Zahlen mit 0 ≤ p(χ, r) ≤ 5. Sie sind für die behandelten r in den Tabellen in 5.4 angegeben.

5.2 Genauigkeit der ermittelten Daten

Die in 3.3 angegebene Abschätzung liefert in unserem Fall auch für r = 1 nur eine relative Genauigkeit der ermittelten Werte von 3 Stellen. Tatsächlich scheint sie aber deutlich höher zu liegen (in Abhängigkeit von r zwischen 5 und 10 Dezimalstellen). Im wesentlichen ist das darauf zurückzuführen, daß die Argumente der Summanden offenbar gleichmäßig verteilt sind; weil ein wesentlicher Bestandteil der Summanden Gaußsche Summen sind, ist dies nicht überraschend (siehe [P4]). In der Abschätzung kommt dieses Verhalten natürlich nicht zur Geltung, da die Beträge summiert werden. Zur Kontrolle der ermittelten Daten sind folgende Punkte wichtig:

– Das Verfahren wurde im Fall n = 3 überprüft, wo man nach [P1] eine explizite Beschreibung der ρ_{3}(r, η) zur Verfügung hat. Die ermittelten Werte stimmten im Rahmen der Rechengenauigkeit mit den zu erwartenden überein.

– Die Rechnungen sind sehr sensibel gegenüber Störungen. Wie beschrieben gehen viele verschiedene Elemente in die Summation ein. Die Unabhängigkeit des Wertes V_{i} von dem Parameter x ist daher ein sicheres Mittel zur Überprüfung der tatsächlichen Genauigkeit. Variation von x im Bereich \frac{1}{500} < x < \frac{1}{120} für einige r ergab, daß die Schwankungen der Werte etwa im Bereich der Abweichungen zwischen den vermuteten und den berechneten Werten der ρ̂(r, χ) lagen.

– Die Daten wurden zunächst mit geringerer Genauigkeit ermittelt; auf dieser Grundlage wurde die Vermutung aufgestellt. Bei späterer Überprüfung mit größerer Genauigkeit konnten die Ergebnisse bestätigt werden.

– Die von den ρ_{6}(r, η) erfüllte Formel (5) folgt nicht direkt aus den Eigenschaften der Funktion ψ(r, η). Daher bietet sie eine weitere gute Möglichkeit zur Kontrolle der Werte. Für r_{0} = 1, π = 1−3ζ, j = 4 und für r_{0} = 1, π = 1−3ζ, j = 3 konnte sie im Rahmen der allgemeinen Genauigkeit bestätigt werden.

– Schließlich deutet die geschlossene Form für die ρ̂(r, χ), die nicht unbedingt zu erwarten war und sich erst allmählich aus einer großen Datenmenge ergab, auf die Richtigkeit der Vermutung 5.1 hin.

5.3 Analyse und Ausblick

Bei den auftretenden Werten der p(χ, r) konnte keine Regelmäßigkeit festgestellt werden, insbesondere keinerlei Beziehung zu den Charakterwerten χ(r). Die oben angegebenen Normierungen der π_{i} und von r und die Wahl der Wurzel in \overline{r}^{\frac{1}{6}} sind natürlich willkürlich. Mit dieser Wahl konnte aber zumindest bis auf sechste Einheitswurzeln eine geschlossene Form der ρ̂(r, χ) angegeben werden. Die Beziehung aus 4.2 setzt sich auf die ρ̂(r, χ) fort. Dies bedeutet für r ∈ ZZ einen Zusammenhang zwischen den p(χ, r). Es gilt

p(a_{1}, a_{2}, a_{3}) + p(a_{1}, a_{2}, q(a_{3})) + \frac{1}{2} · (k_{1}(a_{1}, a_{2}, a_{3}) + k_{1}(a_{1}, a_{2}, q(a_{3}))) ≡

\{ \begin{matrix}0 mod 6 & für r > 0 \\ 5 mod 6 & für r < 0 \end{matrix} \}

dabei ist q(a_{3}) = \{ \begin{matrix}0 & für a_{3} = 0 \\ 6 − a_{3} & für a_{3} > 0 \end{matrix} \}, wenn a_{1} ≡ 0 mod 2 und

q(a_{3}) = \{ \begin{matrix}3 − a_{3} & für 0 ≤ a_{3} ≤ 3 \\ 9 − a_{3} & für a_{3} ≥ 4 \end{matrix} \}, wenn a_{1} ≡ 1 mod 2.

Für die untersuchten Quadrate läßt sich als Besonderheit feststellen, daß nur hier negative Werte für k_{1} auftreten.

Die Suche nach weiteren Regelmäßigkeiten scheint aber schon deshalb aussichtslos zu sein, weil die Verteilung der Nullen offenbar keinem Schema genügt. Auch der Faktor R(r, χ) erscheint mysteriös. Während die Primelemente π′_{3} und π_{2} zu den ”schlechten” Stellen gehören, ist das Auftreten von π_{7} und π_{13} eigenartig. Allerdings ist nur für wenige χ ein k_{i}, 3 ≤ i ≤ 6, von Null veschieden, wie aus den Tabellen ersichtlich ist. Aus der Summationsformel und aus der Abschätzung 3.3 geht hervor, daß sich ein größerer Körpergrad N verheerend auf die Konvergenz auswirkt. Daher ist es unwahrscheinlich, daß sich für einen weiteren interessanten Fall (z.B. n = 5) mit der beschriebenen Methode die ρ_{n} untersuchen lassen.

5.4 Tabellen

Die folgenden Tabellen enthalten die Werte der p(r, χ) und die k_{i} für i = 0, 1. Die Fälle, in denen k_{i} = 1 für ein i ≥ 3, sind jeweils gesondert angegeben. Der Wert Null ist durch – gekennzeichnet. Da in den oben angegebenen 86 Fällen ρ(r, χ) = 0 für alle r war, sind in den Tabellen die Einträge für a_{1} = 1 und a_{2} = 2 ausgelassen. Die Zahl der insgesamt auftretenden Nullen ist als n_{ges} angegeben.

r = 1 N (r) = 1

Für die Werte ungleich 0 wurden die relativen Fehler \frac{|ρ̂(r,χ)−ρ̂(r,χ)_{ang}|}{|ρ̂(r,χ)|} zwischen den berechneten und den angenommenen Daten bestimmt. In den Tabellen ist, jeweils für das betreffende r, f_{max} der maximale dieser Fehler, f_{min} der minimale und f_{d} der durchschnittliche. Schließlich sind die Charakterwerte χ_{π}(r), χ_{ω}(r), χ_{ζ}(r) angegeben. Es wurden alle behandelten Fälle mit aufgenommen in der Hoffnung, daß die Daten eventuell für einen Leser von Nutzen sind. r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5 1  0  1 0  1 3  5  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  0  3  0  2  5
4 –  0  0  0  5  5
5 –  4  5  0  0  1
0 4 1  0 -1  0 -1  0 1  0 -1  0 -1
2 0  5 -1  1 -1  5  1 -1  5 -1
1 3 5  –  –  0  1  4
4 5  2 -1  4 -1  0  0 -1  0 -1
5 5  –  –  0  5  0
0 2 -1  –  –  4 -1  –  –
2 1 -1  –  –  5 -1  –  –
3 3 0  –  –  5  –  –
4 0 -1  –  –  0 -1  –  –
5 0  –  –  5  –  –
0 0  0 1  5  5 1  0  4 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 0  –  5  –  0  –
4 3  –  0  –  5  –
5 0  –  1  –  4  –
0 1 -1 2 5 -1 1 1 -1 1 5 -1 2 0 -1 1 0 -1 1
2 1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 5 -1 1 1 -1 1 5 -1 1
5 3 5  1  4  0  5  0
4 1 -1  4 -1  2 -1  5 -1  5 -1  1 -1
5 5  5  0  0  3  2

χ = 101 : k_{6} = 1;

χ = 102 : k_{5} = 1;

χ = 300 : k_{3} = 1;

χ = 303 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 1.587E − 09 f_{max} = 1.897E − 08 f_{min} = 5.256E − 12

r = 1 − 3ζ N (r) = 7

n_{ges} = 114 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0022; 0041)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 0  –  5  1 5  –  4  1
2 4  0  1 –  0  5  1 –
0 3 2  –  4  0  –  0
4 –  5  5  1  4  4
5 0  –  4  4  –  0
0 5 1  2  5  0  3  1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 1  5  0  –  –  5
4 –  5  0  5  0  2
5 5  1  0  –  –  5
0 5 1  –  –  5  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 0  –  –  0  –  –
4 –  –  –  4  –  –
5 4  –  –  4  –  –
0 4  5  1  2  0  5
2 5  1  4  0  5  5
4 3 2  4  5  1  4  4
4 0  –  1  –  4  –
5 0  0  5  5  0  4
0 0  1 5  1 1  1 4  1 0  1 0  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 –  –  4 1  –  –  0 1
4 0  1  5  4  2  4
5 –  –  4 1  –  –  0 1

χ = 104 : k_{4} = 1;

χ = 105 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{1};

f_{d} = 7.055E − 09 f_{max} = 7.634E − 08 f_{min} = 2.290E − 09

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0042; 0121)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5  –  0  1 2  –  5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  4  5  4  0  1
4 4  –  0  1  –  5
5 –  4  3  0  0  5
0 0  4 1  5  5  0 1  3
2 5  0  4 1  1  5  5 1
1 3 4  5  –  1  0  0
4 4  4  0  –  1  0
5 0  5  –  3  0  4
0 0  –  –  4  –  –
2 5  –  –  0  –  –
3 3 –  –  –  4  –  –
4 4  –  –  –  –  –
5 –  –  –  0  –  –
0 1  0  2  1  5  2
2 –  –  –  –  –  –
4 3 0  –  1  –  4  –
4 0  1  5  0  0  5
5 2  –  5  –  4  –
0 2  1 5  1 5  1 0  1 0  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 3  1  0  4  5  2
4 0  5  1  4  0  0
5 5  1  4  0  5  0

χ = 003 : k_{3} = 1;

χ = 400 : k_{3} = 1;

χ = 402 : k_{3} = 1;

χ = 404 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{1}; χ_{ω}(r) = ζ^{5}; χ_{ζ}(r) = ζ^{2};

f_{d} = 5.000E − 08 f_{max} = 4.462E − 07 f_{min} = 8.141E − 09

r = −5 + 3ζ N (r) = 19

n_{ges} = 122 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0001; 0140)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 1 1  1  1 1  1 4  0  1 0  1
2 1  –  0  1 0  –  5  1
0 3 0  3  5  –  5  1
4 5  5  0  –  4  5
5 4  5  5  –  1  1
0 4 1  4 2  1 1  2  5 1  4
2 –  –  –  –  –  –
1 3 0  –  –  –  4  5 1
4 –  –  –  1  0 1  1
5 4  –  –  –  0  5 1
0 1  –  –  0 1  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  2  –  –
4 0  –  –  –  –  –
5 –  –  –  0  –  –
0 5  0 1  4  5 1  5  4 1
2 1  4  2  5  5  0
4 3 –  2  –  1  –  0
4 –  0  –  3  –  0
5 –  4  –  5  –  0
0 2  1 5  1 5  1 0  1 0  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 3  5  0  4  3  2
4 0  5  1  4  0  0
5 1  1  0  2  5  2

χ = 003 : k_{4} = 1;

χ = 400 : k_{4} = 1;

χ = 402 : k_{4} = 1;

χ = 404 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{5}; χ_{ω}(r) = ζ^{1}; χ_{ζ}(r) = ζ^{3};

f_{d} = 9.412E − 08 f_{max} = 7.480E − 07 f_{min} = 1.423E − 08

r = −5 N (r) = 25

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0020; 0030)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 2  1  1 4  1 5 1  0  1 3  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  –  –  5 1  –  –
4 5  5  0  –  4  5
5 –  –  –  5 1  –  –
0 3  0 1  3 1  1  3  1
2 4  0  4  0  5  5
1 3 5  –  –  5  1  3
4 5  4  0  5  –  –
5 5  –  –  5  5  5
0 0  –  –  4  –  –
2 4 1  –  –  5 1  –  –
3 3 5  –  –  5  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 5  –  –  5  –  –
0 2 1  5  5 1  2  4 1  5
2 –  –  –  –  –  –
4 3 5 1  –  2 1  –  1 1  –
4 –  4  –  5  –  0
5 5 1  –  4 1  –  5 1  –
0 0  1 5  1 5  1 4  1 0  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4 1  –  –  5 1  –  –
4 0  1  3  4  2  2
5 4 1  –  –  5 1  –  –

χ = 100 : k_{4} = 1;

χ = 103 : k_{3} = 1;

χ = 104 : k_{4} = 1;

χ = 105 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 1.005E − 07 f_{max} = 9.633E − 07 f_{min} = 1.303E − 08

n_{ges} = 138 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0042; 0031)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4 1  –  –  0 1  –  –
2 0  –  1  1 5  –  0  1
0 3 0  5  5  –  1  1
4 4  –  0  1  –  5
5 0  3  1  –  5  3
0 0 2  5 1  0  4 1  0  5 1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 0  1  1 4 1  1  0  –
4 –  –  1  1 1  5  –
5 0  5  1 0 1  1  4  –
0 5 1  –  –  2  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 0  –  –  0  –  –
4 –  –  –  5  –  –
5 0  –  –  0  –  –
0 5 1  5 1  0 1  0 1  3 1  1 1
2 4  5  1  2  0  5
4 3 –  4  –  5  –  0
4 0  1  5  0  0  5
5 –  2  –  5  –  2
0 1  1 0  1 0  1 5  1 1  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 –  –  –  –  –  –
4 3  4  0  1  5  5
5 –  –  –  –  –  –

χ_{π}(r) = ζ^{1}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{5};

f_{d} = 9.385E − 08 f_{max} = 1.595E − 07 f_{min} = 3.016E − 08

r = 4 + 3ζ N (r) = 37

n_{ges} = 134 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0001; 0151)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 1  1  1 –  1  0  1 –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 4  5  5  –  1  1
4 0  5  –  0  4  –
5 0  5  3  –  1  5
0 4  0  4  0  5  5
2 0  0  0 1  5  2  4 1
1 3 2  –  2  5  5  1
4 –  –  1  4  5  0
5 4  –  0  1  5  5
0 0 1  –  –  1 1  –  –
2 1  –  –  5  –  –
3 3 5  –  –  –  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 1  –  –  –  –  –
0 2  0  1  5  2  4
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  0  –  5  –  4
4 1  1  4  4  3  1
5 –  0  –  1  –  2
0 –  –  –  –  –  –
2 1  1 4  1 0  1 5  1 5  1 5  1
5 3 3  1  0  4  5  2
4 0  1  1  4  2  0
5 5  1  4  0  5  0

χ = 003 : k_{3} = 1;

χ = 400 : k_{3} = 1;

χ = 402 : k_{3} = 1;

χ = 404 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{2}; χ_{ω}(r) = ζ^{5}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 2.363E − 07 f_{max} = 1.342E − 06 f_{min} = 2.891E − 08

n_{ges} = 122 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0021; 0100)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5  5  1 5 1 1 1  4  1 4 1 1
2 0 1  –  –  5 1  –  –
0 3 5  0  2  –  2  4
4 0  1  –  0  0  –
5 5  4  4  –  0  0
0 3 1  0  0  1  4  5 1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 4  4  0  5  1  –
4 –  1  1  4  5  –
5 4  2  2  5  5  –
0 1  –  –  4  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 0  –  –  –  –  –
4 2  –  –  5  –  –
5 0  –  –  –  –  –
0 2  0  5  3  4  0
2 0 1  5 1  5 1  4 1  0 1  3 1
4 3 –  3  –  0  –  3
4 1  3  2  4  5  5
5 –  1  –  0  –  5
0 –  –  0 1 1 –  –  5 1 1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4  0  3  5  4  5
4 –  –  0 1  –  –  5 1
5 4  4  5  5  2  1

χ = 104 : k_{4} = 1;

χ = 300 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{5}; χ_{ω}(r) = ζ^{3}; χ_{ζ}(r) = ζ^{1};

f_{d} = 3.188E − 07 f_{max} = 1.669E − 06 f_{min} = 6.768E − 08

n_{ges} = 128 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0040; 0030)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5 1  1  1 5  1 0  0  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  0  3  0  2  5
4 –  5  1  3  4  0
5 –  4  5  0  0  1
0 0  4 1  0 1  5  0  5
2 4 1  1  4  0 1  0  5
1 3 5  –  –  0  5  0
4 5  5  0  0  –  –
5 5  –  –  0  3  2
0 4  –  –  1  –  –
2 5  –  –  0  –  –
3 3 0  –  –  5  –  –
4 0  –  –  5  –  –
5 0  –  –  5  –  –
0 3  4 1  4  5 1  1  0 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 0  –  1  –  4  –
4 0  –  5  –  0  –
5 0  –  3  –  2  –
0 0 1 1 –  –  4 1 1 –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 5  1  4  0  5  0
4 0 1  –  –  4 1  –  –
5 5  5  0  0  3  2

χ = 104 : k_{3} = 1;

χ = 105 : k_{4} = 1;

χ = 300 : k_{4} = 1;

χ = 303 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{2};

f_{d} = 3.797E − 07 f_{max} = 2.083E − 06 f_{min} = 5.861E − 08

r = −5 − 3ζ N (r) = 49

n_{ges} = 130 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0042; 0040)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  1 5  1 –  0  1 4  1 –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 0  –  4  2  –  0
4 4  1  –  0  0  –
5 4  –  4  0  –  0
0 0  1 5 -1 2 0 -1 1 5  1 1 -1 2 4 -1 1
2 –  3 -1 1 1 -1 1 –  5 -1 1 5 -1 1
1 3 2  3  0  1  5  4
4 –  5 -1  1 -1  –  1 -1  5 -1
5 0  5  0  5  1  4
0 0 -1 1 –  –  4 -1 1 –  –
2 1 -1 1 –  –  5 -1 1 –  –
3 3 –  –  –  –  –  –
4 5 -1  –  –  3 -1  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 5  1 5  1 0  1 0  1 3  1 1  1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 4  4  5  5  2  0
4 5  1  4  0  5  5
5 2  0  5  3  4  0
0 1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 5 -1 1 1 -1 1 5 -1 1
2 2 -1 1 5 -1 1 0 -1 2 0 -1 1 0 -1 1 5 -1 2
5 3 –  –  –  –  –  –
4 0 -1  1 -1  0 -1 1 4 -1  2 -1  5 -1 1
5 –  –  –  –  –  –

χ = 501 : k_{3} = 1;

χ = 504 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{2};

f_{d} = 2.339E − 07 f_{max} = 4.864E − 07 f_{min} = 4.681E − 08

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0020; 0111)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 0  5  1 0  1 0 1  4  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 5  –  5  3  –  1
4 5  1  2  –  0  1
5 3  –  5  1  –  1
0 5  1 1  0  1  0 1  1
2 0  5  0  5  1  4
1 3 –  4  0  1  4  –
4 1  5  –  –  5  1
5 –  0  0  5  0  –
0 4  –  –  5  –  –
2 0 1  –  –  4 1  –  –
3 3 2  –  –  1  –  –
4 1  –  –  0  –  –
5 0  –  –  5  –  –
0 3 1  3  0 1  0  5 1  3
2 –  –  –  –  –  –
4 3 3  5  0  2  5  5
4 –  4  –  5  –  0
5 1  1  0  0  1  5
0 –  –  –  –  –  –
2 –  5 1 1 –  –  0 1 1 –
5 3 1  1  4  2  5  0
4 –  4 1  –  –  5 1  –
5 5  3  4  0  1  0

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{1}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 4.945E − 07 f_{max} = 2.628E − 06 f_{min} = 8.306E − 08

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0040; 0140)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  –  5  1 5  –  4  1
2 1  –  0  1 0  –  5  1
0 3 1  –  5  1  –  1
4 0  –  0  3  –  5
5 5  –  5  5  –  1
0 5  0  5 1  5 1  1  2
2 –  –  –  –  –  –
1 3 –  3  0  1  0  0
4 4  5  –  –  0  5
5 –  5  0  5  2  0
0 4  –  –  4  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  5  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 –  –  –  3  –  –
0 2  3  3  4  0  5
2 3  4  0  1  5  4
4 3 1  3  2  4  5  5
4 0  1  5  0  0  5
5 5  5  2  2  1  5
0 0  1 5  1 1  1 4  1 0  1 0  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 0  0  5  1  4  1
4 4  5  3  2  0  2
5 4  2  5  5  0  1

χ = 000 : k_{5} = 1; χ = 101 : k_{3} = 1; χ = 303 : k_{4} = 1; χ = 401 : k_{5} = 1; χ = 403 : k_{5} = 1; χ = 405 : k_{5} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{1}; χ_{ζ}(r) = ζ^{5};

f_{d} = 5.798E − 07 f_{max} = 3.016E − 06 f_{min} = 1.880E − 07 n_{ges} = 116 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0050)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  0  1 –  4  5  1 –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  5 1  –  5 1  1 1  –
4 1  2  –  1  1  –
5 –  5 1  –  1 1  1 1  –
0 5 1  5 2  1  5  5  5
2 3  0  0 1  5  5  1 1
1 3 –  –  1  4 1  5  –
4 5  0  4  –  –  0
5 –  –  5  0 1  5  –
0 0  –  –  5  –  –
2 5  –  –  0  –  –
3 3 –  –  –  4  –  –
4 0  –  –  3  –  –
5 –  –  –  0  –  –
0 1  5  0  4  1  3
2 –  –  –  –  –  –
4 3 5 1  –  4 1  –  5 1  –
4 4  4  1  1  0  4
5 1 1  –  2 1  –  5 1  –
0 –  4 1 1 –  –  5 1 1 –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 5  1  4  0  5  0
4 –  4 1  –  –  5 1  –
5 1  1  2  2  5  4

χ = 000 : k_{4} = 1; χ = 103 : k_{4} = 1; χ = 303 : k_{5} = 1; χ = 401 : k_{4} = 1; χ = 403 : k_{4} = 1; χ = 405 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{2}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 7.035E − 07 f_{max} = 3.357E − 06 f_{min} = 2.511E − 07 n_{ges} = 138 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0021; 0011)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  0  1 –  0  5  1 –
2 0 1  –  –  5 1  –  –
0 3 1  2  4  –  4  0
4 1  4  –  1  3  –
5 5  4  4  –  0  0
0 2 1  5  2  0  2  1 1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 –  4  0  0  2  5
4 –  4  5  5  1  –
5 –  0  0  4  4  5
0 4  –  –  0  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  3  –  –
4 5  –  –  1  –  –
5 –  –  –  1  –  –
0 1  5  4  2  3  5
2 0 1  5 1  5 1  4 1  0 1  3 1
4 3 –  5  –  2  –  5
4 2  4  3  5  0  0
5 –  1  –  0  –  5
0 2  1 5  1 5  1 0  1 0  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 0  4  5  1  2  1
4 0  5  1  4  0  0
5 4  0  5  5  4  1

χ = 104 : k_{3} = 1;

χ = 300 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{5}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{1};

f_{d} = 7.281E − 07 f_{max} = 3.393E − 06 f_{min} = 9.914E − 08

n_{ges} = 122 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0120)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 1  0  1 1  1 3 1  5  1 0  1
2 5  –  0  1 4  –  5  1
0 3 –  5  0  5  1  2
4 –  0  4  0  5  3
5 –  5  4  1  1  0
0 5  5 1  5  5 1  0  4 1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 –  5  5  4  5  –
4 0  –  4  –  3  –
5 –  5  3  0  5  –
0 5 1  –  –  4 2  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 5  –  –  4  –  –
4 0 1  –  –  –  –  –
5 1  –  –  0  –  –
0 0 1  2  5 1  1  0 1  0
2 1  4  2  5  5  0
4 3 5  –  4  –  5  –
4 3  –  0  –  5  –
5 1  –  2  –  5  –
0 –  3 1 1 –  –  4 1 1 –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4  0  5  5  4  1
4 –  5 1  –  –  0 1  –
5 0  0  3  1  4  5

χ = 000 : k_{3} = 1;

χ = 401 : k_{3} = 1;

χ = 403 : k_{3} = 1;

χ = 405 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{5}; χ_{ζ}(r) = ζ^{3};

f_{d} = 9.005E − 07 f_{max} = 3.090E − 06 f_{min} = 2.154E − 07

n_{ges} = 130 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0002; 0130)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5  0  1 1  1 0 2  5  1 0  1
2 5  1  1 –  1  0  1 –
0 3 1  –  1  5  –  3
4 –  5  5  1  4  4
5 1  –  3  5  –  5
0 3  3 1  5 2  0 1  1  5 1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 –  1  0  2  2  –
4 0  –  –  –  0  0 1
5 –  5  2  2  0  –
0 4 1  –  –  4  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 5  –  –  5  –  –
4 –  –  –  1  –  –
5 5  –  –  5  –  –
0 5 2  2  4 2  1  5 2  0
2 0  0  1  1  4  2
4 3 1  1  0  0  1  5
4 0  –  3  –  2  –
5 1  5  2  0  5  1
0 1  1 0  1 4  1 5  1 1  1 3  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 –  –  3 1  –  –  5 1
4 5  0  0  3  1  5
5 –  –  5 1  –  –  1 1

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{3}; χ_{ζ}(r) = ζ^{3};

f_{d} = 7.701E − 07 f_{max} = 2.806E − 06 f_{min} = 2.210E − 07

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0022; 0050)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4 1  0  1 0  1 5  5  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 4  4  –  1  0  –
4 –  2  0  0  1  5
5 0  4  –  3  0  –
0 1  0  3 1  0  3  1
2 4 1  5  0  0 1  4  1
1 3 5  4  5  5  2  –
4 0  4  4  3  5  –
5 1  4  3  1  2  –
0 5 1  –  –  4  –  –
2 3  –  –  4  –  –
3 3 4  –  –  –  –  –
4 5  –  –  –  –  –
5 0  –  –  –  –  –
0 4  3 1  1  0 1  0  3 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 3  0  0  3  5  0
4 5  –  0  –  3  –
5 5  0  4  5  5  4
0 1  1 4  1 4  1 5  1 5  1 3  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4  0  5  5  4  1
4 5  4  0  3  5  5
5 0  0  3  1  4  5

χ = 101 : k_{3} = 1;

χ = 104 : k_{4} = 1;

χ = 105 : k_{3} = 1;

χ = 303 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{1}; χ_{ω}(r) = ζ^{2}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 9.614E − 07 f_{max} = 2.875E − 06 f_{min} = 3.193E − 07

n_{ges} = 118 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0040; 0051)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 1  5  1 –  3  4  1 –
2 0  –  5  1 5  –  4  1
0 3 –  4  5  0  0  1
4 5  5  0  –  4  5
5 –  4  3  2  0  5
0 0  3  0 1  0  0  5 2
2 –  –  –  –  –  –
1 3 4  0  3  4  –  5
4 5  4  5 1  5  1  –
5 0  0  1  0  –  3
0 4  –  –  5  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  3  –  –
4 0  1 –  –  4  –  –
5 –  –  –  5  –  –
0 0  0  1  1  4  2
2 2  3  5  0  4  3
4 3 0  –  1  –  4  –
4 –  0  –  5  –  4
5 2  –  5  –  4  –
0 –  –  –  –  –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4  0  1  5  4  3
4 –  –  –  –  –  –
5 0  0  5  1  4  1

χ = 103 : k_{3} = 1;

χ = 104 : k_{3} = 1;

χ = 300 : k_{4} = 1;

χ = 303 : k_{6} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{2}; χ_{ζ}(r) = ζ^{5};

f_{d} = 1.036E − 06 f_{max} = 2.838E − 06 f_{min} = 3.093E − 07

n_{ges} = 133 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0001; 0101)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 2  3  1 0  1 5 1  2  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 5  1 0  –  1  2  –
4 5  1  2  –  0  1
5 5  1 4  –  1  0  –
0 5  4  5  4  0  3
2 2  5  5 1  4  4  0 1
1 3 0  4  3  0  –  5
4 5  0  4  –  –  0
5 0  2  5  0  –  1
0 1 1  –  –  5 1  –  –
2 0  –  –  1  –  –
3 3 –  –  –  1  –  –
4 2  –  –  5  –  –
5 –  –  –  1  –  –
0 0 1  1  5 1  0  0 1  5
2 –  –  –  –  –  –
4 3 5  1  1 4  0  1 5  5  1
4 –  0  –  3  –  0
5 5  5  1 0  0  1 3  1  1
0 –  –  0 1 1 –  –  5 1 1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 0  2  3  1  0  5
4 –  –  4 1  –  –  3 1
5 0  0  5  1  4  1

χ_{π}(r) = ζ^{5}; χ_{ω}(r) = ζ^{3}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 1.074E − 06 f_{max} = 3.202E − 06 f_{min} = 2.775E − 07

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0040; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 2  5  1 0  1 2 1  4  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 5  0  2  –  2  4
4 5  5  0  –  4  5
5 5  4  4  –  0  0
0 0  3 2  5 2  4  0  4
2 5 1  2  2  4 1  4  0
1 3 5  –  –  5  3  1
4 5  0  4  5  –  –
5 5  –  –  5  1  3
0 1  –  –  3  –  –
2 0  –  –  4  –  –
3 3 5  –  –  5  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 5  –  –  5  –  –
0 5 1  1  0 1  2  3 1  3
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  1  –  2  –  3
4 –  0  –  5  –  4
5 –  5  –  2  –  5
0 3  1 4  1 0  1 1  1 5  1 5  1
2 0  1 5  1 5  1 4  1 0  1 4  1
5 3 4 1  –  –  5 1  –  –
4 0  3  1  4  4  0
5 4 1  –  –  5 1  –  –

χ = 100 : k_{6} = 1;

χ = 103 : k_{5} = 1;

χ = 300 : k_{3} = 1;

χ = 303 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{2};

f_{d} = 1.107E − 06 f_{max} = 3.086E − 06 f_{min} = 1.477E − 07

n_{ges} = 124 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0020; 0121)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  5  1 0  1 1 1  4  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 0  –  0  4  –  2
4 5  1  0  –  0  5
5 2  –  4  0  –  0
0 1 1  4  4  0 1  0  2
2 5  1  5  1  0  0
1 3 4 1  5  1  –  5  2  1
4 5  4  0  5  –  –
5 0 1  5  5  –  5  0  1
0 2  –  –  0  –  –
2 5 1  –  –  0 1  –  –
3 3 4  –  –  4  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 0  –  –  0  –  –
0 4 1  1  1 1  4  0 1  1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 4  0  1  3  0  0
4 –  4  –  5  –  0
5 0  0  5  5  0  4
0 0  1 5  1 5  1 4  1 0  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 –  –  –  –  –  –
4 4  5  1  2  0  0
5 –  –  –  –  –  –

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{5}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 1.407E − 06 f_{max} = 3.348E − 06 f_{min} = 3.233E − 08

n_{ges} = 128 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0021; 0131)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5 1  0  1 0  1 3  5  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 0  4  –  1  0  –
4 –  0  0  0  5  5
5 0  2  –  1  4  –
0 4  0 1  5  0  5 1  0
2 4  4 1  1  3  0 1  5
1 3 0  0  –  4  0  3
4 –  –  –  0  1 1  4
5 0  4  –  4  4  5
0 5  –  –  0  –  –
2 2  –  –  0  –  –
3 3 –  –  –  0  –  –
4 5  –  –  –  –  –
5 –  –  –  0  –  –
0 4  0 1  1  3 1  0  0 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 5  4  2  1  1  4
4 1  –  2  –  5  –
5 5  2  4  1  5  0
0 –  –  –  –  –  –
2 0  1 5  1 1  1 4  1 0  1 0  1
5 3 5  3  4  0  1  0
4 3  0  0  1  1  5
5 5  1  0  0  5  2

χ_{π}(r) = ζ^{2}; χ_{ω}(r) = ζ^{3}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 1.395E − 06 f_{max} = 4.106E − 06 f_{min} = 3.898E − 07

n_{ges} = 120 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0022; 0020)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 –  –  –  –  –  –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 4 1  5  1 5  2  1  1 1
4 –  –  –  –  –  –
5 0 1  5  1 3  4  1  1 5
0 1  1 5 -1 1 5 -1 1 0  1 5 -1 1 5 -1 1
2 –  0 -1 1 2 -1 1 –  2 -1 1 0 -1 1
1 3 –  –  –  –  –  –
4 –  2 -1  1 -1 1 –  0 -1  3 -1 1
5 –  –  –  –  –  –
0 5 -1 1 –  –  1 -1 1 –  –
2 0 -1 1 –  –  4 -1 1 –  –
3 3 –  –  –  –  –  –
4 4 -1  –  –  4 -1  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 –  –  –  –  –  –
2 –  –  –  –  –  –
4 3 4  0 1  1  3 1  0  0 1
4 –  –  –  –  –  –
5 0  0 1  5  5 1  0  4 1
0 2 -1 1 5 -1 1 3 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 2 -1 1
2 1 -1 1 5 -1 2 4 -1 1 5 -1 1 0 -1 2 3 -1 1
5 3 –  –  –  –  –  –
4 3 -1  5 -1 1 2 -1  1 -1  0 -1 1 1 -1
5 –  –  –  –  –  –

χ = 104 : k_{5} = 1; χ = 105 : k_{4} = 1; χ = 141 : k_{3} = 1; χ = 300 : k_{4} = 1; χ = 343 : k_{4} = 1; χ = 502 : k_{3} = 1; χ = 505 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{2}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 2.205E − 06 f_{max} = 3.927E − 06 f_{min} = 9.134E − 07 n_{ges} = 154 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0012; 0041)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  5  1 –  3  1  1 –
2 5  –  4  1 1  –  0  1
0 3 –  4  0  0  3  5
4 0  3  1  –  5  3
5 –  0  0  4  5  5
0 2  5  5  5 1  5 1  5
2 –  –  –  –  –  –
1 3 0  4  –  0  2  5
4 1  0  0  –  –  0
5 4  0  –  4  4  5
0 4  –  –  3  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  3  –  –
4 5  –  –  4  –  –
5 –  –  –  1  –  –
0 5  2  0  3  3  4
2 3  1  0  4  5  1
4 3 5  –  0  –  3  –
4 –  0  –  5  –  4
5 3  –  0  –  5  –
0 0  1 0  1 5  1 1  1 4  1 1  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 3  4  0  1  5  5
4 4  0  1  5  4  3
5 1  0  0  5  1  5

χ = 102 : k_{3} = 1;

χ = 300 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{1}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{5};

f_{d} = 2.022E − 06 f_{max} = 3.537E − 06 f_{min} = 5.624E − 07

n_{ges} = 122 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0030)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5  0  1 5  1 2 1  5  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  –  –  5 1  –  –
4 2  4  1  –  3  0
5 –  –  –  5 1  –  –
0 3  5 2  3 2  1  5  5
2 4  4  0  0  3  1
1 3 5  –  –  5  5  5
4 5  2  2  5  –  –
5 5  –  –  5  3  1
0 4  –  –  0  –  –
2 4 1  –  –  5 1  –  –
3 3 5  –  –  5  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 5  –  –  5  –  –
0 5 1  0  4 1  5  5 1  4
2 –  –  –  –  –  –
4 3 5 1  –  4 1  –  5 1  –
4 –  5  –  2  –  5
5 5 1  –  0 1  –  3 1  –
0 0  1 3  1 1  1 4  1 4  1 0  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4 1  –  –  5 1  –  –
4 0  5  5  4  0  4
5 4 1  –  –  5 1  –  –

χ = 100 : k_{4} = 1;

χ = 103 : k_{3} = 1;

χ = 300 : k_{5} = 1;

χ = 303 : k_{6} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 7.039E − 06 f_{max} = 1.138E − 05 f_{min} = 7.191E − 07

n_{ges} = 138 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0002; 0011)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  1 1  1 –  0  1 0  1 –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  –  3 1  –  –  5 1
4 0  5  –  2  4  –
5 –  –  3 1  –  –  5 1
0 5  1 –  0  1 1  1 –  1  1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 1  5  5  3  4  0
4 5  –  4  1  –  5
5 5  1  5  1  0  0
0 4  1 –  –  5  1 –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  –  –  –
4 4  –  –  5  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 5  1 1  1 4  1 0  1 5  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  –  –  –  –  –
4 1  5  4  2  3  5
5 –  –  –  –  –  –
0 –  –  –  –  –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 5 1  –  4 1  0 1  –  0 1
4 –  –  –  –  –  –
5 3 1  –  4 1  4 1  –  0 1

χ_{π}(r) = ζ^{1}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{3};

f_{d} = 5.256E − 06 f_{max} = 1.233E − 05 f_{min} = 1.849E − 06

n_{ges} = 160 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0030)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5 1  –  –  2 2  –  –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  0  3  0  2  5
4 2 1  –  –  –  –  –
5 –  4  5  0  0  1
0 4  4 2  5 2  1  4  1
2 4 1  3  2  0 1  2  3
1 3 5  0  5  0  0  5
4 5  1  4  0  –  –
5 5  4  1  0  4  1
0 4  –  –  1  –  –
2 5  –  –  0  –  –
3 3 5 1  –  –  5 1  –  –
4 0  –  –  5  –  –
5 5 1  –  –  5 1  –  –
0 5 2  0 1  4 2  5 1  5 2  4 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 0  –  5  –  0  –
4 –  5 1  –  2 1  –  5 1
5 0  –  1  –  4  –
0 0 1 1 –  –  4 1 1 –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 –  –  –  –  –  –
4 0 1  –  –  4 1  –  –
5 –  –  –  –  –  –

χ = 100 : k_{5} = 1;

χ = 103 : k_{6} = 1;

χ = 300 : k_{4} = 1;

χ = 303 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 6.531E − 06 f_{max} = 1.168E − 05 f_{min} = 1.818E − 06

n_{ges} = 146 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0001; 0040)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 1  1 –  5  1 0  1 –  4  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 0  –  5  1 2  –  1  1
4 5  –  1  4  –  0
5 4  –  5  1 0  –  1  1
0 –  4 -1 1 0 -1 1 –  0 -1 1 4 -1 1
2 0  1 5 -1 1 1 -1 1 5  1 1 -1 1 5 -1 1
1 3 –  0  5  –  5  0
4 4  1 -1  1 -1  3  3 -1  5 -1
5 –  2  5  –  1  0
0 2 -1 1 –  –  0 -1 1 –  –
2 3 -1 1 –  –  1 -1 1 –  –
3 3 1  –  –  2  –  –
4 1 -1  –  –  5 -1  –  –
5 5  –  –  0  –  –
0 1  1 0  1 0  1 5  1 1  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 0  2  5  1  0  0
4 5  0  2  3  1  0
5 4  4  5  5  2  0
0 1 -1 1 2 -1 1 4 -1 1 5 -1 1 3 -1 1 3 -1 1
2 2 -1 1 1 -1 1 1 -1 1 0 -1 1 2 -1 1 0 -1 1
5 3 0  5  1 5  1  3  1 1
4 0 -1  3 -1  1 -1  4 -1  4 -1  0 -1
5 4  1  1 5  5  5  1 1

χ = 501 : k_{3} = 1;

χ = 502 : k_{4} = 1;

χ = 504 : k_{3} = 1;

χ = 505 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{2}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 6.223E − 06 f_{max} = 1.219E − 05 f_{min} = 4.751E − 07

n_{ges} = 112 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0020; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5  0  1 5  1 5 1  5  1 4  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 2  5  3  –  1  5
4 2  0  5  –  5  4
5 2  3  5  –  5  1
0 4  2  2  0  1  3
2 5 1  4 1  5 1  4 1  0 1  3 1
1 3 5  –  –  5  1  3
4 5  3  1  5  4  0
5 5  –  –  5  5  5
0 4 1  –  –  5 1  –  –
2 5 2  –  –  3 2  –  –
3 3 5  –  –  5  –  –
4 5 1  –  –  4 1  –  –
5 5  –  –  5  –  –
0 2 1  2  5 1  5  4 1  2
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  2  –  5  –  2
4 –  1  –  2  –  3
5 –  0  –  5  –  4
0 5 2 1 –  –  3 2 1 –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 4 1  –  –  5 1  –  –
4 –  –  –  –  –  –
5 4 1  –  –  5 1  –  –

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 1.067E − 05 f_{max} = 2.033E − 05 f_{min} = 3.369E − 06

n_{ges} = 138 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0040; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 –  –  –  –  –  –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  –  –  –  –  –
4 –  –  –  –  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 0  1 5 -1 2 1 -1 2 5  1 5 -1 2 1 -1 2
2 –  1 -1 1 5 -1 1 –  3 -1 1 3 -1 1
1 3 5  1 0 1  4 1  0  1 4  1
4 –  1 -1  5 -1  –  5 -1  1 -1
5 5  1 4 1  0 1  0  1 2  3
0 2 -1 1 –  –  4 -1 1 –  –
2 1 -1 1 –  –  5 -1 1 –  –
3 3 5  –  –  0  –  –
4 0 -1 1 –  –  0 -1 1 –  –
5 5  –  –  0  –  –
0 –  –  –  –  –  –
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  –  –  –  –  –
4 –  –  –  –  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 1 -1 3 0 -1 1 0 -1 1 5 -1 3 1 -1 1 5 -1 1
2 1 -1 2 1 -1 1 5 -1 1 5 -1 2 2 -1 1 4 -1 1
5 3 2  2  3  3  0  5
4 1 -1 1 5 -1  1 -1  5 -1 1 0 -1  0 -1
5 2  0  5  3  4  1

χ = 144 : k_{4} = 1;

χ = 145 : k_{3} = 1;

χ = 300 : k_{3} = 1;

χ = 303 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{2};

f_{d} = 1.311E − 05 f_{max} = 2.238E − 05 f_{min} = 3.570E − 06

n_{ges} = 150 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0002; 0041)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 2 1  –  –  1 1  –  –
2 5  1  1 –  1  0  1 –
0 3 1  4  4  –  0  0
4 5  0  –  3  5  –
5 5  0  4  –  2  0
0 0 1  2  2  1  0  4 1
2 –  –  –  –  –  –
1 3 –  2  1  4  5  1
4 –  1  5  0  5  –
5 –  4  1  2  1  1
0 5  –  –  2  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  0  –  –
4 0  –  –  3  –  –
5 –  –  –  4  –  –
0 0 1  5 1  5 1  4 1  0 1  3 1
2 0  0  1  1  4  2
4 3 –  1  –  0  –  5
4 2  4  5  1  4  4
5 –  3  –  4  –  5
0 1 1 1 –  –  5 1 1 –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 5  5  4  0  3  0
4 1 1  –  –  5 1  –  –
5 3  1  4  4  5  0

χ = 101 : k_{3} = 1;

χ = 303 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{3};

f_{d} = 2.058E − 05 f_{max} = 3.264E − 05 f_{min} = 4.465E − 06

n_{ges} = 130 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0021; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4  1 0  2 –  0  1 5  2 –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 4  –  4  0  –  0
4 2  0  1 –  4  5  1 –
5 4  –  0  0  –  2
0 4  1 0 -1 1 2 -1 1 3  1 2 -1 1 0 -1 1
2 –  3 -1 1 5 -1 1 –  5 -1 1 3 -1 1
1 3 0  5  0  5  1  4
4 –  1 -1  1 -1  –  3 -1  5 -1
5 0  3  2  5  5  0
0 1 -1 2 –  –  5 -1 2 –  –
2 1 -1 1 –  –  5 -1 1 –  –
3 3 –  –  –  –  –  –
4 1 -1  –  –  5 -1  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 1  1 5  1 4  1 2  1 3  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 4  2  1  5  0  2
4 5  5  0  0  3  1
5 4  0  3  5  4  4
0 0 -1 2 0 -1 1 1 -1 2 4 -1 2 1 -1 1 0 -1 2
2 0 -1 1 1 -1 1 0 -1 2 4 -1 1 2 -1 1 5 -1 2
5 3 –  –  –  –  –  –
4 0 -1  5 -1  2 -1 1 4 -1  0 -1  1 -1 1
5 –  –  –  –  –  –

χ_{π}(r) = ζ^{2}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 2.471E − 05 f_{max} = 4.354E − 05 f_{min} = 1.586E − 06

n_{ges} = 126 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0020; 0030)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 2 1  –  –  5 2  –  –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  4  5  0  0  1
4 5 1  –  –  –  –  –
5 –  2  1  0  4  3
0 0  1  4  5  3  2
2 4 1  0 1  4 1  0 1  5 1  5 1
1 3 5 1  5  0  5 1  2  3
4 5  4  1  0  4  1
5 5 1  3  2  5 1  0  5
0 0 1  –  –  4 1  –  –
2 4 2  –  –  5 2  –  –
3 3 0  –  –  5  –  –
4 5 1  –  –  5 1  –  –
5 0  –  –  5  –  –
0 2 2  5 1  5 2  2 1  4 2  5 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 0  –  3  –  2  –
4 –  4 1  –  5 1  –  0 1
5 0  –  5  –  0  –
0 0 1 1 –  –  4 1 1 –  –
2 –  –  –  –  –  –
5 3 5  3  2  0  1  4
4 0 1  –  –  4 1  –  –
5 5  1  4  0  5  0

χ_{π}(r) = ζ^{3}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{4};

f_{d} = 2.550E − 05 f_{max} = 4.230E − 05 f_{min} = 1.156E − 05

n_{ges} = 132 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0042; 0041)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 0  –  5  1 5  –  4  1
2 4  0  1 –  0  5  1 –
0 3 5  3  –  0  5  –
4 –  5  5  1  4  4
5 3  5  –  4  1  –
0 2  3  4 1  3  0  4
2 –  –  –  –  –  –
1 3 –  –  0  1 1  0  –
4 5  0  –  0  3  1
5 –  –  0  5 1  2  –
0 5 1  –  –  5  –  –
2 –  –  –  –  –  –
3 3 –  –  –  5  –  –
4 –  –  –  4  –  –
5 –  –  –  3  –  –
0 4  1  5  2  2  3
2 5  3  2  0  1  3
4 3 2  3  3  4  0  5
4 0  –  5  –  0  –
5 0  5  3  2  2  5
0 0  1 5  1 1  1 4  1 0  1 0  1
2 –  –  –  –  –  –
5 3 0  2  5  1  0  1
4 0  1  5  4  2  4
5 4  4  5  5  2  1

χ = 100 : k_{3} = 1;

χ = 101 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{5};

f_{d} = 3.530E − 05 f_{max} = 5.881E − 05 f_{min} = 3.512E − 06

n_{ges} = 122 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 4 2  –  –  2 1  –  –
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  –  –  5 1  –  –
4 –  –  –  5 1  –  –
5 –  –  –  5 1  –  –
0 0  5 2  3 2  4  2  2
2 5 1  4  0  4 1  0  4
1 3 5  –  –  5  5  5
4 5  2  2  5  –  –
5 5  –  –  5  3  1
0 1  –  –  3  –  –
2 0  –  –  4  –  –
3 3 5  –  –  5  –  –
4 5  –  –  5  –  –
5 5  –  –  5  –  –
0 5 1  5 2  4 1  4 2  5 1  3 2
2 –  –  –  –  –  –
4 3 5 1  –  4 1  –  5 1  –
4 2 1  –  5 1  –  4 1  –
5 5 1  –  0 1  –  3 1  –
0 3  1 4  1 0  1 1  1 5  1 5  1
2 0  1 5  1 5  1 4  1 0  1 4  1
5 3 4 1  –  –  5 1  –  –
4 0  3  1  4  4  0
5 4 1  –  –  5 1  –  –

χ = 100 : k_{6} = 1;

χ = 103 : k_{5} = 1;

χ = 300 : k_{3} = 1;

χ = 303 : k_{4} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 3.552E − 05 f_{max} = 6.183E − 05 f_{min} = 2.140E − 05

n_{ges} = 140 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0000; 0000)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 5 1  0  1 0  1 3  5  1 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 2 1  –  –  –  –  –
4 –  0  0  0  5  5
5 2 1  –  –  –  –  –
0 1  4 2  5 2  4  1  4
2 0  3  2  5  5  0
1 3 5 1  3  2  5 1  0  5
4 5  1  4  0  –  –
5 5 1  1  4  5 1  4  1
0 1  –  –  4  –  –
2 0 1  –  –  4 1  –  –
3 3 0  –  –  5  –  –
4 0  –  –  5  –  –
5 0  –  –  5  –  –
0 0  0 1  5  5 1  0  4 1
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  0 1  –  5 1  –  4 1
4 3  –  0  –  5  –
5 –  4 1  –  5 1  –  0 1
0 3 1 1 –  –  1 1 1 –  –
2 0 1 1 –  –  4 1 1 –  –
5 3 5  3  2  0  1  4
4 0 1  –  –  4 1  –  –
5 5  1  4  0  5  0

χ = 100 : k_{3} = 1;

χ = 103 : k_{4} = 1;

χ = 300 : k_{6} = 1;

χ = 303 : k_{5} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{0}; χ_{ω}(r) = ζ^{0}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 4.223E − 05 f_{max} = 7.793E − 05 f_{min} = 1.623E − 05

n_{ges} = 132 r ∈ k_{S}^{×}/k_{S}^{×}^{6} = (0002; 0040)

a_{3}  0  1  2  3  4  5
a_{1} a_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}  k_{1} k_{2}
0 –  5  2 0  1 1  2 4  2 5  1
2 –  –  –  –  –  –
0 3 –  –  –  –  –  –
4 5 1  1  1 2  0  0  1 1
5 –  –  –  –  –  –
0 –  3 -1 1 0 -1 2 –  3 -1 1 0 -1 2
2 1  1 0 -1 1 2 -1 1 0  1 2 -1 1 0 -1 1
1 3 –  –  –  –  –  –
4 5  1 -1 1 0 -1  4  5 -1 1 2 -1
5 –  –  –  –  –  –
0 3 -1 1 –  –  5 -1 1 –  –
2 0 -1 1 –  –  4 -1 1 –  –
3 3 –  –  –  –  –  –
4 0 -1  –  –  0 -1  –  –
5 –  –  –  –  –  –
0 0  2 –  5  2 –  0  2 –
2 –  –  –  –  –  –
4 3 –  –  –  –  –  –
4 5  4 1  2  1 1  1  4 1
5 –  –  –  –  –  –
0 0 -1 1 1 -1 1 3 -1 1 4 -1 1 2 -1 1 2 -1 1
2 1 -1 1 0 -1 1 0 -1 1 5 -1 1 1 -1 1 5 -1 1
5 3 –  –  –  –  –  –
4 5 -1  2 -1  0 -1  3 -1  3 -1  5 -1
5 –  –  –  –  –  0

χ = 104 : k_{3} = 1; χ = 145 : k_{3} = 1;

χ = 300 : k_{4} = 1; χ = 343 : k_{4} = 1;

χ = 501 : k_{4} = 1; χ = 502 : k_{3} = 1;

χ = 504 : k_{4} = 1; χ = 505 : k_{3} = 1;

χ_{π}(r) = ζ^{4}; χ_{ω}(r) = ζ^{4}; χ_{ζ}(r) = ζ^{0};

f_{d} = 3.855E − 05 f_{max} = 7.376E − 05 f_{min} = 1.788E − 05

n_{ges} = 156

Literatur

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[W] G. Wellhausen: Überprüfung der Hasse–Weilschen Vermutung für eine algebraische Kurve vom Geschlecht 3 Diplomarbeit, Göttingen 1993

Lebenslauf

geboren am  25.08.1966 in Hannover
Eltern  Heinz Wellhausen und Renate Wellhausen, geb. Gerhold
Schulausbildung 1972 – 1976 Grundschule Neuhof (Hildesheim)
1976 – 1985 Gymnasium Andreanum in Hildesheim
Studium  1985 – 1993 Studium der Mathematik mit Nebenfach Informatik

an der Georg–August–Universität Göttingen Abschluß: Diplom am 21.04.1993. Thema der Diplomarbeit: ” Überprüfung der Hasse–Weilschen Vermutung für eine algebraische Kurve von Geschlecht 3”

1993 – 1996 wissenschaftlicher Mitarbeiter am

Sonderforschungsbereich 170