Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit befaßt sich im Rahmen der lokalen
Quantenphysik mit relativistischen Teilchen
und Feldern in drei Raumzeit-Dimensionen, deren Statistik durch eine
Darstellung der Zopfgruppe zu beschreiben ist - sogenannten
Plektonen bzw., falls die Darstellung Abelsch ist, Anyonen.
Insbesondere wurde die Frage nach der Existenz von freien anyonischen
Feldern untersucht. In unserem Zusammenhang sollen hierunter
Operatoren verstanden werden, die mit den `lokalen´ Feldalgebren
affiliiert sind und nur Einteilchenvektoren aus dem Vakuum
erzeugen. (Lokalisierbarkeit bezieht sich hier auf Gebiete, die sich
entlang eines raumartigen Weges ins Unendliche erstrecken.)
Unter einer schwachen Regularitätsbedingung an die Felder konnten dann
Vertauschungsrelationen hergeleitet werden, die sich nicht mit der
Zopfgruppenstatistik vertragen.
Desweiteren wurden modellunabhängige Aussagen bezüglich des
PCT-Operators und des Zusammenhangs von Spin und Statistik erhalten.
Unter der Annahme, daß die Observablenalgebra das
Bisognano-Wichmann-Theorem erfüllt, wurde ein `PCT´-Theorem für
Plektonen hergeleitet. (Die PCT-Transformation beinhaltet in drei
Dimensionen eine räumliche Spiegelung (P) nur an der
x2-Achse.)
Für Anyonen wird gezeigt, daß sich die
Bisognano-Wichmann-Eigenschaft sogar, in `getwisteter´ Form, auf die
Feldalgebra übertägt. Insbesondere stimmt der PCT-Operator bis
auf einen Twistoperator mit der modularen Konjugation der Feldalgebra
zu einem Standard-Keilgebiet überein. Hieraus konnte das
Spin-Statistik-Theorem für Anyonen hergeleitet werden.
Ferner wurde zur Klärung der Struktur des Hilbertraums der
Streuzustände
von Plektonen und Anyonen beigetragen.
Diese ist bekannterweise fixiert durch die
relevanten Darstellungen der Zopfgruppe und durch die Fusionsregeln, nach
denen die von den Streuzuständen getragenen Ladungen bestimmt
sind. Es wurden Mølleroperatoren W+
und W-
vom Raum der aus- und der einlaufenden Streuzustände in einen
Referenz-Hilbertraum angegeben,
welche die physikalische Strahldarstellung der Poincarégruppe auf den
Streuzustandsräumen in eine kanonische Strahldarstellung
im Referenz-Hilbertraum übersetzen. Ein neues Ergebnis betrifft den
`einlaufenden freien PCT-Operator´, d.h. das Produkt des
PCT-Operators mit der S-Matrix
S = ( W+)* W- :
Auch der hierzu via W-
äquivalente Konjugationsoperator im Referenz-Hilbertraum konnte
angegeben werden.
Im Falle von Anyonen sind die Fusionsregeln trivial und die relevanten
Darstellungen der Zopfgruppe sind einfach durch einen Satz von
komplexen (`Statistik´-) Phasen charakterisiert. Daher lieferten uns in
diesem Fall die obigen Ergebnisse explizite Formeln für die
Strahldarstellung der Poincarégruppe und den einlaufenden freien
PCT-Operator. In Anbetracht der Bisognano-Wichmann-Eigenschaft haben
wir hiermit insbesondere zu jedem Keilgebiet das
Produkt des Tomita-Operators mit der S-Matrix bestimmt, also
den `einlaufenden freien´ Tomita-Operator der anyonischen Feldalgebra.
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