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FU Berlin
Digitale Dissertation

Jens Karl Heinz Mund :
Quantenfeldtheorie von Teilchen mit Zopfgruppenstatistik in 2+1 Dimensionen
Quantum Field Theory of Particles with Braid Group Statistics in 2+1 Dimenions

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|Zusammenfassung| |Inhaltsverzeichnis| |Ergänzende Angaben|

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit befaßt sich im Rahmen der lokalen Quantenphysik mit relativistischen Teilchen und Feldern in drei Raumzeit-Dimensionen, deren Statistik durch eine Darstellung der Zopfgruppe zu beschreiben ist - sogenannten Plektonen bzw., falls die Darstellung Abelsch ist, Anyonen.

Insbesondere wurde die Frage nach der Existenz von freien anyonischen Feldern untersucht. In unserem Zusammenhang sollen hierunter Operatoren verstanden werden, die mit den `lokalen´ Feldalgebren affiliiert sind und nur Einteilchenvektoren aus dem Vakuum erzeugen. (Lokalisierbarkeit bezieht sich hier auf Gebiete, die sich entlang eines raumartigen Weges ins Unendliche erstrecken.) Unter einer schwachen Regularitätsbedingung an die Felder konnten dann Vertauschungsrelationen hergeleitet werden, die sich nicht mit der Zopfgruppenstatistik vertragen.

Desweiteren wurden modellunabhängige Aussagen bezüglich des PCT-Operators und des Zusammenhangs von Spin und Statistik erhalten. Unter der Annahme, daß die Observablenalgebra das Bisognano-Wichmann-Theorem erfüllt, wurde ein `PCT´-Theorem für Plektonen hergeleitet. (Die PCT-Transformation beinhaltet in drei Dimensionen eine räumliche Spiegelung (P) nur an der x2-Achse.) Für Anyonen wird gezeigt, daß sich die Bisognano-Wichmann-Eigenschaft sogar, in `getwisteter´ Form, auf die Feldalgebra übertägt. Insbesondere stimmt der PCT-Operator bis auf einen Twistoperator mit der modularen Konjugation der Feldalgebra zu einem Standard-Keilgebiet überein. Hieraus konnte das Spin-Statistik-Theorem für Anyonen hergeleitet werden.

Ferner wurde zur Klärung der Struktur des Hilbertraums der Streuzustände von Plektonen und Anyonen beigetragen. Diese ist bekannterweise fixiert durch die relevanten Darstellungen der Zopfgruppe und durch die Fusionsregeln, nach denen die von den Streuzuständen getragenen Ladungen bestimmt sind. Es wurden Mølleroperatoren W+ und W- vom Raum der aus- und der einlaufenden Streuzustände in einen Referenz-Hilbertraum angegeben, welche die physikalische Strahldarstellung der Poincarégruppe auf den Streuzustandsräumen in eine kanonische Strahldarstellung im Referenz-Hilbertraum übersetzen. Ein neues Ergebnis betrifft den `einlaufenden freien PCT-Operator´, d.h. das Produkt des PCT-Operators mit der S-Matrix
S = ( W+)* W- : Auch der hierzu via W- äquivalente Konjugationsoperator im Referenz-Hilbertraum konnte angegeben werden.

Im Falle von Anyonen sind die Fusionsregeln trivial und die relevanten Darstellungen der Zopfgruppe sind einfach durch einen Satz von komplexen (`Statistik´-) Phasen charakterisiert. Daher lieferten uns in diesem Fall die obigen Ergebnisse explizite Formeln für die Strahldarstellung der Poincarégruppe und den einlaufenden freien PCT-Operator. In Anbetracht der Bisognano-Wichmann-Eigenschaft haben wir hiermit insbesondere zu jedem Keilgebiet das Produkt des Tomita-Operators mit der S-Matrix bestimmt, also den `einlaufenden freien´ Tomita-Operator der anyonischen Feldalgebra.


Inhaltsverzeichnis

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Cover and Contents
Introduction
  1. Algebraic Quantum Field Theory and Plektons
  2. Overview of the Results and Structure of the Thesis
Chapter 1. Plektons in Algebraic QFT
  1. The Field Bundle
  2. Statistics of Plektonic `Fields´
  3. Single Particle Space of Plektons
  4. Charge Conjugation and P1CT -Theorem
Chapter 2. Structure of the Space of Scattering States
  1. Construction and Properties of Particle States
  2. Structure of the Space of Scattering States
Chapter 3. Poincaré Covariance of the Scattering States
  1. Ray Representation of the Poincaré Group
  2. Representation of the P1CT-Transformation
Chapter 4. Anyons
  1. Field Algebra for Anyons
  2. Algebraic P1CT and Spin-Statistics Theorems
  3. Scattering States: Covariance and Tomita Operators
Chapter 5. Can there be Free Fields for Anyons?
  1. What is a ``Free Field´´?
  2. Free Fields and Modular Localization
  3. No-Go via Jost-Schroer Theorem
Appendix. Mathematical Supplements
  1. The (Cylinder) Braid Group
  2. The Universal Covering Group of the Poincaré Group
  3. Calculations Concerning the Tomita Operator
Summary and Outlook

Bibliography


Ergänzende Angaben:

Online-Adresse: http://www.diss.fu-berlin.de/1999/7/index.html
Sprache: Englisch
Keywords: anyons, plektons, braid group statistics, scattering theory, free field, modular localization
DNB-Sachgruppe: 29 Physik, Astronomie
Klassifikation PACS: 11.10.Cd, 11.10.Kk
Datum der Disputation: 01-Dec-1998
Entstanden am: Fachbereich Physik, Freie Universität Berlin
Erster Gutachter: Professor Dr. Robert Schrader
Zweiter Gutachter: Professor Dr. Bert Schroer
Kontakt (Verfasser): jens.mund@desy.de
Kontakt (Betreuer): robert.schrader@physik.fu-berlin.de
Abgabedatum:08-Feb-1999
Freigabedatum:11-Feb-1999

 


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