Ein Gebietszerlegungsverfahren für parabolische Probleme im Zusammenhang mit Finite-Volumen-Diskretisierung
A Domain Decomposition Method for Parabolic Problems in connexion with Finite Volume Methods
von Joachim Held
Datum der mündl. Prüfung:2006-12-21
Erschienen:2007-12-03
Betreuer:Prof. Dr. Gert Lube
Gutachter:Prof. Dr. Gert Lube
Gutachter:Prof. Dr. Robert Schaback
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Format:PDF
Description:Dissertation
Zusammenfassung
Englisch
The first part of the thesis at hand deals with a finite volume method for time-dependent advection-diffusion-reaction equations. By using dual control volumes based on a common finite element triangulation, our discretisation can be formulated as a (conforming) generalised Galerkin method. We extend well-known convergence results to time-dependent problems, where advection dominated cases are taken into account by an upwind modification of the method.In the second part of this thesis we develop a new domain decomposition method for the parabolic problems that we looked at in the first part. It concerns an iteration-by-subdomain method of Dirichlet-Robin type with non-overlapping subdomains. As our domain decomposition algorithm aims for the direct application to parabolic problems without preceding discretisation in time, we must construct specific Steklov-Poincaré operators, and end up with a method of waveform relaxation type. Linear convergence of the method is shown on the continuous level as well as in the semidiscrete case, where the afore examined finite volume discretisation is applied. We state an optimisation strategy for the transmission conditions at the interface that improves the efficiency considerably. Finally we illustrate our theoretical conclusions by numerical results.
Keywords: time-dependent advection-diffusion-reaction equations; finite volume method; iterative domain decomposition method; Dirichlet-Robin transmission conditions; Steklov-Poincaré operator; optimised waveform relaxation method
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Gegenstand des ersten Teils der vorliegenden Arbeit ist ein Finite-Volumen-Verfahren für instationäre Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen. Aufgrund der genutzten Kontrollvolumina, die dual zu einer üblichen Finite-Element-Triangulierung definiert werden, läßt sich unsere Diskretisierung als ein (konformer) verallgemeinerter Galerkin-Ansatz formulieren. Wir erweitern bekannte Konvergenzresultate auf zeitabhängige Fälle, wobei konvektionsdominanten Fällen durch eine Upwind-Modifikation Rechnung getragen wird.Im zweiten Teil dieser Arbeit entwickeln wir ein neues Gebietszerlegungsverfahren für die im ersten Teil bereits betrachteten parabolischen Probleme. Dabei handelt es sich um eine Teilgebiets-Iterationstechnik vom Dirichlet-Robin-Typ mit nichtüberlappenden Teilgebieten. Da das Gebietszerlegungsverfahren auf die direkte Anwendung auf parabolischen Probleme ohne vorhergehende Zeitdiskretisierung abzielt, müssen wir spezielle Steklov-Poincaré-Operatoren konstruieren und gelangen zu einem Verfahren vom Waveform-Relaxation-Typ. Es wird die lineare Konvergenz des Verfahrens gezeigt sowohl auf stetigem Level als auch im semidiskreten Fall, bei dem die zuvor untersuchte Finite-Volumen-Diskretisierung zum Einsatz kommt. Wir geben eine Optimierungsstrategie für die Austauschrandbedingungen an, die zu einer deutliche Effizienzsteigerung führt. Abschließend illustrieren wir unsere theoretischen Aussagen durch numerische Ergebnisse.
Schlagwörter: Instationäre Konvektions-Diffusions-Reaktions-Gleichungen; Finite-Volumen-Verfahren; iteratives Gebietszerlegungsverfahren; Dirichlet-Robin-Austauschrandbedingungen; Steklov-Poincaré-Operator; optimiertes Waveform-Relaxations-Verfahren