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FU Berlin
Digitale Dissertation

Alexander Stoimenow :
Abzählen von Sehnendiagrammen und Asymptotik von Vassiliev-Invarianten
On enumeration of chord diagrams and asymptotics of Vassiliev invariants

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|Zusammenfassung| |Inhaltsverzeichnis| |Ergänzende Angaben|

Zusammenfassung

Der Gegenstand dieser Arbeit ist die Kombinatorik von Sehnendiagrammen und Asymptotik von Vassiliev-Invarianten.
In den Abschnitten 2 und 3 werden wir einige (reine) Abzählresultate über Sehnendiagramme herleiten. Obwohl nicht direkt in Beziehung zu Vassiliev-Invarianten, verdeutlichen sie die kombinatorische Komplexität der Sehnendiagramme -- schon für einfache Eigenschaften wird die Abzählung kompliziert und erfordert zusätzliche Ideen.
Im Abschnitt 4 werden wir kombinatorische Techniken benutzen, um Abzählung bestimmter Sehnendiagramme mit Vassiliev-Invarianten in Verbindung zu bringen, und werden eine obere Abschätzung der Anzahl der Vassiliev-Invarianten in Abhängigkeit vom Grad herleiten.
Im Abschnitt 5 werden wir mit Hilfe der Techniken aus Abschnitt 4 und dem Resultat von Chmutov und Duzhin eine untere Abschätzung der Anzahl aller Vassiliev-Invarianten herleiten und die Beziehung zwischen der Anzahl der primitiven und aller Vassiliev-Invarianten diskutieren. Parallel dazu werden wir alles, was über Asymptotik von Vassiliev-Invarianten bekannt ist, zusammenfassen.
Im Abschnitt 6 werden wir schliesslich mit Hilfe der Methode der Verzopfungsreihen exponentielle obere Schranken für die Anzahl der Vassiliev-Invarianten auf Knoten von beschränktem Zopfindex und arboreszenten Knoten herleiten.
Teile dieser Dissertation können in mehreren Arbeiten von mir gefunden werden.

Inhaltsverzeichnis

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1.Vassiliev Invariants for knots1
1.1 The classification problem of knots 4
1.2 The filtration of the knot space 4
1.3 The Algebra A 6
1.4 Weight systems 7
1.5 VASSILIEV invariants for braids and string links 8
1.6 Constructing a universal VASSILIEV invariant 9
1.7 Braiding sequences 9
2.The results of this thesis
3.On the number of chord diagrams
3.1 Notations 11
3.2 Linearized chord diagrams 11
3.3 Cyclic CD´s and GLCD´s12
3.4 Counting all chord diagrams 14
3.5 Symmetric chord diagrams 14
3.6 Degenerate CD´s and LCD´s 15
3.7 Chord diagrams with chords of length 1 18
3.8 Chord diagrams with isolated chords only 19
3.9 Some computations 20
3.10 Asymptotics 20
4.Connected and tree-connected chord diagrams
4.1 Connected CD´s and LCD´s 22
4.2 Tree--connected CD´s and LCD´s 24
4.3 Some computations 27
5.An upper bound for Vassiliev invariants
5.1 Factoring out 4T relations 27
5.2 Regular linearized chord diagrams 29
5.3 Connected regular LCD´s 32
5.4 Numerical and asymptotical results 34
5.5 A further improvement 38
5.6 The segment length inequality 43
6.The dimension of a commutative graded algebra and asymptotics of VI
6.1 The dominating partition 43
6.2 A lower bound for the number of all Vassiliev invariantss 45
6.3 The exponential barrier 46
7.The braid index and the growth of Vassiliev invariants
7.1 Braiding sequences 47
7.2 Arborescent knots 48
7.3 Bounds for braid representations 51
7.4 The growth of the number of knots and Vassiliev invariantss 54
References
BAbstract 59
AZusammenfassung (German abstract) 59

Ergänzende Angaben:

Online-Adresse: http://www.diss.fu-berlin.de/1999/21/index.html
Sprache: Englisch
Keywords: Vassiliev invariants, chord diagrams, upper bound, braids, arborescent knots, partitions
DNB-Sachgruppe: 27 Mathematik
Klassifikation MSC: 57M25, 57M15
Datum der Disputation: 06-May-1998
Entstanden am: Fachbereich Mathematik u. Informatik, Freie Universität Berlin
Erster Gutachter: Prof. Dr. Elmar Vogt
Zweiter Gutachter: Prof. Dr. S. Chmutov
Kontakt (Verfasser): stoimeno@hp832.informatik.hu-berlin.de
Kontakt (Betreuer): vogt@math.fu-berlin.de
Abgabedatum:14-Apr-1999
Freigabedatum:14-Apr-1999

 

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