Zusammenfassung
Eine Verallgemeinerung der Theorie der Davydov'schen Solitonen brachte das Modell einer diskreten
self-trapping Gleichung hervor. Sie wurde 1984 von Eilbeck, Lohmdahl und Scott zur detaillierten Untersuchung
von self-trapping Mechanismen eingeführt.
Die Analyse von Modellen, die durch die diskrete self-trapping Gleichung beschrieben wurden, lieferte
neue Erkenntnisse über Hamilton'sche Systeme wie z. B. das untypische Auftreten von Ordnung
in nichtlinearen oder chaotischen Systemen.
Im Rahmen dieser Arbeit bildet die diskrete self-trapping Gleichung eine Grundlage zur Aufklärung
von Energietransfermechanismen innerhalb von zweidimensionalen Kettensystemen, die aus untereinander
gekoppelten, nichtlinearen Oszillatoren zusammengesetzt sind. Das System stellt eine Diskretisierung
der nichtlinearen Kontinuums-Schrödingergleichung dar. Die diskrete self-trapping Gleichung ist
dabei eine Möglichkeit, das System von nichtlinearen, diskreten Gitter-Schrödingergleichungen
zu beschreiben.
Darauf aufbauend, liegt der Schwerpunkt der Untersuchungen dieser Arbeit in einer detaillierten Aufklärung
der Energietransfermechanismen innerhalb eines nichtlinearen Doppelkettensystems als Modell für
Donator-Akzeptor-Systeme organischer oder anorganischer molekularkristalliner Strukturen und elektrische
Netzwerke.
Es ist gelungen, eine zeitlich stabile Amplitudenverteilung auf dem zweidimensionalen Kettensystem zu finden.
Damit wurde die Existenz eines stabilen, regulären Zustandes in Form einer räumlich lokalisierten
Amplitudenverteilung bewiesen.
Das nichtintegrable, chaotische System ist in der Lage,
auf bestimmte Amplitudenverteilungen dahingehend selbstorganisierend einzuwirken, daß diese
forminvariant für alle Zeiten erhalten bleiben.
Dafür ist dem System gekoppelter, nichtlinearer Differentialgleichungen eine vierdimensionale
Abbildung zugeordnet worden, deren Verhalten in der Nähe von hyperbolischen Fixpunkten
homoklines Chaos aufweist. Der zugehörige homokline Orbit liefert die Informationen für
die stabile Amplitudenkonfiguration. Die homoklinen Punkte des Orbits konnten mit Hilfe des
Melnikovvektors berechnet werden. Es ist demnach möglich, dem chaotischen System ``von außen''
eine bestimmte räumliche Energieverteilung einzuspeisen, auf die das System selbstlokalisierend
reagiert.
Die streng räumlich lokalisierte Energie kann innerhalb des Systems an andere Orte transferieren,
wobei lokale effektive Potentialbarrieren überwunden werden müssen. Dies kann durch eine
geeignete Wahl der ketteninternen Kopplungsparameter, der Nichtlinearitätsparameter und durch
Aufprägen einer Phasendrift erreicht werden.
Wird eine der beiden Ketten energetisch angeregt, so kann ein Energietransfer über
Kopplungsbrücken auf die
Nachbarkette stattfinden. Die günstigste Voraussetzung hierfür ist gegeben, wenn
die Frequenzen
der Kettenoszillatoren auf beiden Ketten identisch sind
sowie eine große Anzahl von Kopplungsbrücken existiert.
Für die integrale Energieänderung wurde eine lineare
Abhängigkeit von der Breite des
Kopplungsgebietes gefunden, wenn die Kettenstränge identisch sind.
Hierbei ist jedoch zu beachten, daß das Amplitudenprofil beim Durchlaufen des Kopplungsgebietes
eine Änderung in der Phase oder in der Form erfährt.
Auch bei unterschiedlich gearteten Kettensträngen
ist ein hoher Energieübertrag von etwa neunzig Prozent der Anregungsenergie realisierbar.
Dabei spielt die räumliche Verteilung der Kopplungsbindungen zur Nachbarkette
eine entscheidende Rolle. Es gelang, die Existenz eines Extremalwertes der integralen Energieänderung
in Abhängigkeit der Kopplungsgebietsbreite zu zeigen.
Weiterhin konnte eine Gleichung aufgestellt werden,
die die Parameter Kopplungsgebietsbreite, Gruppengeschwindigkeit
der Solitonstruktur und Frequenzdifferenz der Kettenoszillatoren hinsichtlich einer
Übertragungsmaximierung in Beziehung setzt.
Es zeigte sich, daß die, ausschließlich für die integrable eindimensionale Ablowitz-Ladik-Kette
existierenden, analytischen Solitonlösungen auch auf Doppelkettensystemen hohe Stabilität
zeigen.
Deshalb wurden für formal-analytische Rechnungen
diese Solitonlösungen als Fitfunktionen
für die stabilen Amplitudenprofile,
die sich aus der Berechnung von homoklinen Orbits ergaben, benutzt.
Sämtliche Ergebnisse zeigen keine Abhängigkeit von der gewählten Kettenlänge und
sind deshalb auf Systeme mit quasi beliebiger Anzahl von Kettengliedern übertragbar, wenn eine
Mindestlänge (ca. 20 Kettenplätze), die zur Ausbildung einer solitonartigen Struktur
benötigt wird, gewährleistet ist.
Die Aufklärung der Energietransfermechanismen zwischen gekoppelten Kettensträngen nichtlinearer
Oszillatoren, die eine starke
Abhängigkeit von der Beschaffenheit des Kopplungstyps aufweisen, ist im Rahmen dieser Arbeit
erstmals behandelt worden. |
