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Eine Zahl ist ein Objekt, das man mit einem anderen Objekt der gleichen Art verknüpfen kann (z.B. addieren), so dass man wieder ein Objekt der gleichen Art bekommt. Um bestimmte Zahlen zu beschreiben, muss man daher zweierlei festlegen:
- Welche Objekte gehören zu meiner Zahlenmenge?
- Wie werden sie verknüpft?
Zahlen haben üblicherweise auch noch einen physikalischen Bezug, d.h. man kann mit ihnen Objekte der realen Welt zählen oder messen.
Verschiedene Zahlenmengen sind erweitert worden, indem man andere Zahlen dazu nimmt. Die Motivation kann sein, dass die ursprüngliche Zahlenmenge mit (sagen wir) der Addition abgeschlossen ist, aber nicht mehr mit ihrer Umkehrung der Subtraktion. Nehmen wir das Beispiel der natürlichen Zahlen als Ausgangsmenge, also die Zahlen
0, 1, 2, 3, ...
Wenn man zwei natürliche Zahlen addiert, bekommt man wieder eine natürliche, das nennt man Abgeschlossenheit. Jetzt definiert man aber auch das Gegenteil der Addition, die Subtraktion, und stellt fest, dass x-y nur eine natürliche Zahl ist, wenn y nicht größer als x ist. Für diesen letzteren Fall kann man die natürlichen Zahlen um negative Zahlen erweitern und kommt zu den ganzen Zahlen. Typischerweise übernimmt man die Rechenoperationen von der kleineren Zahlenmenge gleich mit und erweitert sie so auf die größere Zahlenmenge, dass sie für den Spezialfall der kleineren Menge weiter gelten. Also im Beispiel: Addieren wir die ganzen Zahlen 4 und 5, dann erhalten wir genauso 9, wie wenn wir die natürlichen Zahlen 4 und 5 addieren. Sonst müsste man bei jeder natürlichen Zahl wissen, ob sie als natürliche, ganze, rationale, algebraische, reelle oder komplexe Zahl gemeint ist.
