PROJECTEURS ORTHOGONAUX ET OPÉRATEURS ASSOCIÉS UTILES

Résumé: Dans cet article, nous nous proposons de rassembler un certain nombre de propriétés d'opérateurs définis à partir de projecteurs orthogonaux dans un espace de Hilbert \( H \) réel séparable. On considère deux sous-espaces fermés \( H_{i} \) et \( H_{j} \) de \( H \) et les projecteurs \( \Pi _{i} \) et \( \Pi _{j} \) d'images respectives \( H_{i} \) et \( H_{j} \). On s'intéresse d'abord aux ``opérateurs associés'' à la projection \( \Pi _{i} \); la surjection $ \tilde \Pi_ i $, la restriction $ \Pi_{ i\mid H_j} $ et la restriction surjective $ \tilde \Pi_{ i\mid H_j} $. Puis, on étudie les produits, sommes et différences des projecteurs \( \Pi _{i} \) et \( \Pi _{j} \) ainsi que leurs ``complémentaires à l'identité''. Enfin, d'autres opérateurs sont aussi considérés, notamment, ceux où interviennent les opérateurs associés, ceux qui sont particulièrement utiles en Analyse Canonique et aussi les commutateurs de projecteurs. Dans chaque cas (vingt au total),le noyau, l'image et l'adjoint sont explicités et quelques propriétés, notamment spectrales et en norme, sont présentées. Enfin, deux tableaux récapitulatifs sont proposés en annexe.

Mots Clés: projection orthogonale, projecteur, noyau, image, adjoint, commutateur, sous-espace fermé, analyse canonique.

Date: 2000-10-27

Prépublication numéro: LSP-2000-15