Prof. Dr. habil. Rolf Sulanke

Projektive und Cayley-Kleinsche Geometrien

Aus dem Vorwort:

Die projektive Geometrie und die in sie eingebetteten Cayley-Kleinschen Geometrien sind ein recht altes Gebiet der Geometrie, das im 19. Jahrhundert in Arbeiten von V. Poncelet, J. Gergonne, Ch. v. Staudt, A.-F. Möbius, A. Cayley, F. Klein, S. Lie, N. I. Lobatschewski und vielen anderen entstand. Obwohl dieses Gebiet eine der Grundlagen der algebraischen Geometrie ist und viele Anwendungen in der Differentialgeometrie hat, wird es seit Jahren im allgemeinen Lehrbetrieb der deutschen Universitäten -- und nicht nur an diesen -- sehr vernachlässigt. Auch in der neueren Fachliteratur werden diese klassischen Aspekte der Geometrie wenig berücksichtigt. Eher findet man hier die synthetische projektive Geometrie und manche aktuellen Anwendungen zum Beispiel der endlichen Geometrien, auf die wir in unserem Buch nur mit einigen Hinweisen eingehen. Wir wollen vielmehr eine systematische Darstellung der auf den Begriff des Vektorraums gestützten projektiven Geometrie geben, der das erste Kapitel unseres Buches gewidmet ist, um dann im zweiten Kapitel die wichtigsten klassischen Geometrien nach den Prinzipien von A. Cayley und F. Klein systematisch zu entwickeln, die auf der Auszeichnung eines Absoluts und der Untersuchung der sich daraus ergebenden Invarianten geometrischer Objekte beruhen. Diese durch die lineare Algebra und die Theorie der Transformationsgruppen bestimmten Methoden sind es gerade, die in der algebraischen und der Differentialgeometrie benötigt werden. Darüber hinaus kann man sie als einen integrierenden Faktor für die Entwicklung der Analysis betrachten, wobei wir besonders an die auf der Theorie der Lieschen Gruppen fußende harmonische oder geometrische Analysis denken. Wenn wir auch überall dort, wo es keine besonderen Anstrengungen erfordert, von Vektorräumen über beliebigen Schiefkörpern ausgehen, so widmen wir uns doch hauptsächlich den Geometrien über den reellen, komplexen oder quaternionischen Zahlen; auch die Auswirkungen von Erweiterungen oder Einschränkungen der Skalarbereiche auf die betrachteten Geometrien werden untersucht. Neben der reellen projektiven Geometrie stellen wir auch einige elementar seltener behandeltekomplexe und quaternionische Geometrien ausfuhrlich dar. Auf die elementare konforme oder Möbius-Geometrie gehen wir detailliert ein. Die Oktaven- und Oktavengeometrien, die nicht den klassischen Serien Liescher Gruppen, sondern den Ausnahmegruppen zuzuordnen sind, bleiben außerhalb des Rahmens unseres Buches; zu diesem Thema verweisen wirauf die Schriften H. Freudenthalundvon H. Salzmann,D. Betten, Th. Grundhöfer, H. Hähl, R. Löwen, M. Stroppel.

Wir hoffen, mit dieser systematischen Darstellung allen denen ein nützliches Werkzeug in die Hand zu geben, die sich selbständig oder etwa in speziellen Seminaren den jeweils benötigten Hintergrund erarbeiten wollen. Die systematische Gliederung, vollständige Darstellung der Beweise, eingestreute Übungsaufgaben und ein ausführlicher Index sollen die Auswahl des gerade interessierenden Materials und seine Aneignung erleichtern. Das Buch ist als ein Hand- und Arbeitsbuch gedacht und keineswegs als eine Vorlage für eine Vorlesung.
Wir beabsichtigten nicht, eine vollständige Bibliographie dieses Gebietes aufzulisten. Es ist ja heute nicht schwer, sich aus den vorhandenen Datenbanken beliebig ausführliche Bibliographien zusammen zu stellen. Wir verweisennur auf die bei der Bearbeitung des Stoffes herangezogenenTitel, wobei der Zufall und die subjektive Auswahl eine nicht unbedeutende Rolle spielen. Sehr häufig haben wir die bekannten grundlegenden Bücher von E. Artinund R. Baer benutzt. Natürlich haben wir auch unseren Lehrern für Hinweise und Orientierungen zu danken, die wir seit unserem Studium und in langen Jahren gemeinsamer Arbeit erhielten, und die, vielleicht mitunter unbewusst, in dieses Buch eingegangen sind. Besonders zu erwähnen sind hier sicher die Vorlesungen, Seminare und Schriften von W. Blaschke, E. B. Dynkin, L. A. Kaloujnine, A. G. Kurosch, P. K. Raschewski und H. Reichardt.

Es seien hier noch einige Lehrbücher und Monographien genannt, die unser Thema aus anderer Sicht oder mit anderen Schwerpunkten behandeln......

F ür das Verständnis unseres Buches ist die Kenntnis der Grundbegriffe derlinearen Algebra und der auf ihr beruhenden affinen und euklidischen Geometrie, wie sieüblicher Weise im ersten Studienjahr eines Mathematik- oder Physikstudiums gelehrt werden, eine unabdingbare Voraussetzung. Dazu gehört auch die Kenntnis der affinen Klassifikation der Quadriken und ihre euklidische Verfeinerung mittels der Hauptachsentransformation.Wir verwenden diese Begriffe und Resultate oft ohne spezielle Hinweise. Natürlich ist es für die Autoren und diejenigen Leser, welche die beiden Bände der Reihe Algebra und Geometrie kennen oder besitzen,angebracht und bequem, die Beziehungen zu den dort dargestellten Gegenständen zu nutzen. ...Der Leser kann anstelle dieser Bücher natürlich auch andere Lehrbücher heranziehen, die zumeist entsprechende Informationen enthalten.Vorkenntnisse über differenzierbare Mannigfaltigkeiten oder Liesche Gruppen sind für das Verständnis des Buches nicht erforderlich. Der Anhang "Bezeichnungen"enthält einige in den ersten beiden Bänden eingeführte Bezeichnungen, sowie einige in diesem Buch nicht explizit behandelte Definitionen allgemein üblicher Termini. Wir waren bemüht, einen ausführlichen Index zu erstellen. ...

Die etwa 50 den Text begleitenden Abbildungen wurden zumeist mit Hilfe des Programms Mathematica von St. Wolfram angefertigt. Dieses Programm stellt viele Möglichkeiten zu numerischen und symbolischen Berechnungen zur Verfügung und enthält einen vielseitigen grafischen Apparat zur Visualisierung ebener und räumlicher geometrischer Objekte, der naturgemäß an die euklidische Geometrie gebunden ist. Auf dieser Homepage kann man einige in Mathematica geschriebene Notebooks finden, die bei der Erarbeitung des Buches entwickelt wurden und die Möglichkeiten von Mathematica erweitern. Zu erwähnen ist hier die pseudo-euklidische Geometrie, mit deren Hilfe Relativitätstheorie, Möbius-Geometrie, Liesche Kugelgeometrie und auch, über die Killingformen, halbeinfache Lie-Algebren bearbeitet werden können. Ausführlich wurde die dreidimensionale euklidische und die Möbius-Geometrie der k-Sphären,k = 0, 1,2, behandelt. Einige in diesen Notebooks mit Hilfe symbolischer Rechnungen gewonnene Formeln, welche in Analogie zum Coxeter-Abstand von Hypersphären Möbius-Invarianten durch euklidische Invarianten ausdrücken, sind in unser Buch aufgenommen worden. Man findet dort auch einen sehr schnellen Orthogonalisierungs-Algorithmus nach Erhard Schmidt und ein Orthogonalisierungsverfahren für Vektorfolgen pseudo-euklidischer Räume. Damit sind Möglichkeiten erschlossen, die wegen des Umfanges und der Komplexität der Rechnungen mit traditionellen Methoden ,,per Hand" kaum zu erreichen wären.Ihre Grenzen findet die sogenannte ,,künstliche Intelligenz" recht bald dann, wenn sie den finiten algorithmischen Boden verlässt und sich dem in der modernen Mathematik alltäglichem begrifflichen Denken zuzuwenden versucht. Schon die naive Mengenlehre in Mathematica zu implementieren stößt auf erhebliche Probleme, wie der Entwurf eines diesbezüglichen Systems von Mathematica Notebooks und Packages zeigt, das man auch auf dieser Homepage findet.

Die technische Anfertigung des Manuskripts in  LaTeX sowie der Abbildungen wurden vom zweitgenannten Autor ausgeführt, der eventuelle Unvollkommenheiten zu entschuldigen bittet. Für die Unterstützung und Hilfe bei dieser Arbeit bedanken wir uns bei der Humboldt-Universität zu Berlin, und besonders bei deren Mitarbeitern Frau H. Pahlisch und den Herren H. Gollek, J. Gehneund H. Spitzer. Herrn Bernd Wegner von der Technischen Universität Berlin danken wir herzlich für sein Interesse an unserer Arbeit und seine Bemühungen um eine Publikation. Leider blieben, gemessen an dem ursprünglichen Plan des Buches, noch viele Wünsche und Fragen offen. Besonders bedauern wir, dass die elementare symplektische Geometrie zu kurz gekommen ist. Bei dem wachsendem Umfang des Manuskripts und der langen Zeit, die wir für manche Vorhaben noch benötigen würden, haben wir uns entschlossen, uns jetzt auf die unserer Meinung nach wichtigsten Gegenstände zu beschränken und das Manuskript in der vorliegenden Form der Öffentlichkeit zugänglich zu machen. Wir bitten den Leser um Nachsicht und Unterstützung: Für Kritiken, Fehlerkorrekturen und andere Hinweise sind die Autoren sehr dankbar. Wir denken und hoffen, dass es manchen Kollegen und vielen Studenten Anlass zu eigenen Überlegungen und Grundlage für eigene Untersuchungen sein wird.
Berlin, im Januar 2004

A. L. Onishchik,R. Sulanke

Projektive und Cayley-Kleinsche Geometrien

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