Geometrie

Zu den Errungenschaften auf dem Gebiet der Geometrie gehört unter anderem die exakte Konstruktion eines Siebzehnecks mit Zirkel und Lineal.

Um regelmäßige n-Ecke (auch Polygone genannt) nur mit dem Zirkel und einem Lineal ohne Längenangabe exakt zu zeichnen, sind in der Regel viele Zwischenschritte nötig. Das schwierigste Unterfangen dabei ist die Unterteilung des Kreisbogens in n gleichlange Teile. Das Quadrat als regelmäßiges Viereck ist in vier Schritten zu erzeugen. Für das regelmäßige Siebzehneck (Heptadecagon) werden dagegen mindestens 15 Schritte benötigt.
Gauß hat aber nicht nur angegeben, wie das Siebzehneck konstruiert wird, sondern auch weitergehende theoretische Aussagen über seine Konstruierbarkeit gemacht. Außerdem bewies er, dass neben dem 17-Eck auch das 257-Eck und das 65537-Eck konstruierbar sind. Allgemeiner: Ist n=2^q +1 eine Primzahl (und dann muss q selbst ein Potenz von 2 sein), dann ist das n-Eck konstruierbar. Solche Primzahlen heißen Fermatsche Primzahlen.

Bis heute sind keine weiteren bekannt, obwohl es bisher auch nicht gelungen ist, zu zeigen, dass nur endlich viele dieser Zahlen Primzahlen sind.