Stochastik / Wahrscheinlichkeitstheorie

Gauß beschäftigte sich intensiv mit Messfehlern und erarbeitete eine Theorie, die den Zusammenhang zwischen der Normalverteilung, der Streuung und der Methode der kleinsten Quadrate herstellt.

Zwischen die gegebenen Messpunkte wird eine beliebige Gerade G gelegt. Der Schnitt der Projektion auf die x-Achse mit der Geraden G ordnet jedem Punkt einen Abstand zur Geraden G zu. Die Methode der kleinsten Quadrate bestimmt diejenige Gerade G, die die Summe der Abstandsquadrate minimiert. Wahrscheinlichkeitstheoretisch bedeutet dies, dass bei dieser Wahl der Geraden der normalverteilte Fehler im quadratischen Mittel minimal ist.

Die nach Gauß benannte Glockenkurve entsteht aus einem Naturgesetz in einfacher Weise: Die Summe vieler kleiner zufälliger Fehler ist annähernd nach der Glockenkurve verteilt. Mit anderen Worten: Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe dieser zufälligen Fehler zwischen den Größen a und b liegt, ist angenähert so groß wie die Fläche unter einer reskalierten Glockenkurve zwischen den Abszissen°a°und°b. Man kann dies mit einem Experiment verdeutlichen, das unter dem Stichwort Galtonsches Brett bekannt ist. Man lässt gleichartige Kugeln über ein Nagelbrett in Fächer fallen. Jeder Nagel, auf den die Kugel trifft, bewirkt eine kleine zufällige Änderung der Bahn, entweder nach links oder nach rechts. Bei etwa 10 Nagelreihen erhält man die Summe von zehn kleinen Fehlern. Jede Kugel entspricht also einer Summe von Fehlern, die durch dasjenige Fach gemessen wird, in das die Kugel fällt. Die Wahrscheinlichkeiten werden dann mit dem sogenannten „Gesetz der großen Zahlen“ bestimmt: Die Häufigkeiten sind proportional zur Wahrscheinlichkeit.