Was ist eine komplexe Zahl?

Wir definieren die komplexen Zahlen über folgende Regeln.

Alle reellen Zahlen sind auch komplexe Zahlen.

Es gibt eine komplexe Zahl "i", für die gilt i*i = -1.

Die von den reellen Zahlen bekannten Rechenregeln Kommutativgesetz und Assoziativgesetz bezüglich Addition und Multiplikation sowie Distributivgesetz gelten für alle komplexen Zahlen.

Wenn man komplexe Zahlen addiert oder multipliziert, bekommt man wieder eine komplexe Zahl (Abgeschlossenheit).

Jetzt kann man durch Multiplizieren und Addieren aus reellen Zahlen und i jede Menge komplexe Zahlen erzeugen, z.B. (-2.5*i*(4*i+3.14*i*(i+1))). Dann aber stellt man nach einigem Herumprobieren fest, dass man jede komplexe Zahl z mit zwei reellen Zahlen r_real und r_imaginär schreiben kann in der Form

z = r_real + r_imaginär * i.

Man nennt r_real den Realteil und r_imaginär den Imaginärteil von z. Komplexe Zahlen sind daher Paare von reellen Zahlen mit bestimmten Rechenregeln. Sie werden meistens als Punkt in der komplexen Zahlenebene dargestellt (siehe Abbildung).

Komplexe Zahlen haben einige Eigenschaften, die den Laien erstaunen und den Mathematiker (und Mr. Spock) faszinieren. Zum Beispiel die Folgende:

Eine komplexe Zahl kann als Punkt in der komplexen Ebene dargestellt werden. Statt die Koordinaten r_real und r_imagnär anzugeben, kann man auch die Entfernung r des Punktes vom Punkt 0 angeben und dazu den Winkel alpha zwischen der reellen Achse und der Linie von 0 zu z. Jetzt schauen wir uns zwei komplexe Zahlen r1, alpha1 und r2, alpha2 an. Das Produkt ist dann r1*r2, alpha1+alpha2. Das sollten Sie sich genauer anschauen, vor allem das "+"-Zeichen zwischen den Winkeln. Ein Beispiel: Die erste Zahl ist 1+i, d.h. r1=1,41, alpha1=45°; die zweite Zahl ist -1+i, d.h. r2=1,41, alpha2=135°. Dann ist das Produkt gegeben durch r = r1*r2 = 2, alpha = alpha1+alpha2 = 180°. Man kann sich durch Nachrechnen leicht überzeugen, dass dies mit (1+i)*(-1+i) = -2 übereinstimmt. Und diese Regel gilt für alle Produkte komplexer Zahlen. Ist das nicht unglaublich?

Wenn Sie dadurch noch nicht überzeugt sind, dass es interessant ist, sich mit komplexen Zahlen zu beschäftigen, finden Sie vielleicht eine Motivation in der Tatsache, dass man aus jeder komplexen Zahl die Quadratwurzel ziehen kann, die dann wieder eine komplexe Zahl ist. (Die Quadratwurzel w aus z ist die Zahl für die gilt: w*w = z.) Wir haben gerade oben gesehen, dass die Wurzel aus -1 die komplexe Zahl i ist, bezüglich des Wurzelziehens sind die reellen Zahlen also nicht abgeschlossen. Die komplexen Zahlen aber schon! Sie können auch beliebige höhere Wurzeln innerhalb der komplexen Zahlen ziehen, so hat z.B. die Gleichung w*w*w*w = z für alle komplexen Zahlen z eine Lösung (um genau zu sein: vier Lösungen wenn z nicht gleich Null ist). Der Fundamentalsatz der Algebra sagt - salopp gesprochen - aus, dass man Gleichungen einer noch wesentlich umfassenderen Klasse ebenfalls immer mit einer komplexen Zahl lösen kann.

Und damit noch nicht genug: Die komplexe Analysis (Differential- und Integralrechnung) ist noch fantastischer. Mit reellen Zahlen zu rechnen erscheint dann fast so, als ob man die Schönheit eines Bildes zu begreifen versucht, indem die Farbpunkte entlang einer horizontalen Linie quer durch das Bild untersucht.