| |
|
Der Fundamentalsatz der Algebra
Gauß hat als erster den Fundamentalsatz der Algebra bewiesen. Dabei geht es um die Lösbarkeit bestimmter mathematischer Gleichungen.
Betrachten wir zuerst ein paar Beispiele.
- x*x*x + 1,5*x*x - 4*x + 1,5 = 0
- x*x + 4 = 0
- x*x*x - x*x = 0
Was jeweils auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht, nennt man ein Polynom, d.h. die Summe von Termen der Art "Konstante*x*x*...*x", z.B. 1,5*x*x. Hier geht es um die Nullstellen der Polynome, d.h. die Frage, ob man ein x finden kann, so dass die Gleichung erfüllt wird. Wir werden zuerst nach einem x suchen, das eine reelle Zahl ist, danach suchen wir nach komplexen Zahlen x, die Nullstellen von Polynomen sind.
Die erste Gleichung hat gleich drei Lösungen: x=1, x=0,5, x=-3. Die dritte Gleichung geht auf, wenn x=0 oder x=1. Die zweite Gleichung dagegen wird von keiner reellen Zahl x gelöst. Wenn x nämlich eine reelle Zahl ist, dann ist x*x eine positive reelle Zahl (oder 0, wenn x=0). Wenn man dann noch 4 addiert, kann nicht 0 herauskommen.
Was tun? Wir lassen auch komplexe Lösungen zu und finden auch gleich zwei Lösungen: x=2*i, x=-2*i.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass jedes Polynom mindestens eine Nullstelle hat, die aber auch komplex sein kann. Dabei können sogar die Konstanten in dem Polynom komplexe Zahlen sein. Es gibt allerdings eine (triviale) Einschränkung. Es gibt auch "konstante Polynome", das sind die Polynome, die nur aus einem einzigen Term bestehen und der ist eine Konstante, d.h. "x" kommt gar nicht darin vor. Nun, konstante Polynome haben keine Nullstelle, d.h. man kann keine Zahl x finden, so dass z.B. 3,4=0 (großes Wunder, wenn x gar nicht in der Gleichung vorkommt).
Der Fundamentalsatz der Algebra kann auch anders formuliert werden, nämlich: Jedes Polynom kann in ein Produkt von sogenannten Linearfaktoren zerlegt werden. Das bedeutet, man kann jedes Polynom schreiben in der Form
- K0 * (x-K1) * (x-K2) * ... * (x-Kn)
Die Zahlen K1 bis Kn sind wieder Konstanten und zwar genau die Nullstellen des Polynoms. Bei den Beispielen von oben bekommt man
- x*x*x + 1,5*x*x - 4*x + 1,5 = (x-1) * (x-0,5) * (x-(-3))
- x*x + 4 = (x-2i) * (x-(-2i))
- x*x*x - x*x = (x-0) * (x-0) * (x-1)
Dass die beiden Formulierungen des Fundamentalsatzes der Algebra gleichbedeutend sind, ist gar nicht so schwer zu beweisen. Man muss zeigen, dass aus der ersten die zweite Formulierung folgt und umgekehrt. Versuchen Sie es einmal!
