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Was ist eine reelle Zahl?
Reelle Zahlen kann man sich gut als Punkte auf einem unendlich langen Lineal vorstellen. An einer Stelle des Lineals ist ein besonderer Punkt markiert, der für die 0 steht. Einen Meter rechts davon ist die 1 markiert, zwei Meter rechts von der 0 die 2, usw. Zu jeder Stelle rechts von der 0 gehört die reelle Zahl, die der Entfernung in Metern von der 0 entspricht. Links von der 0 stehen dann die negativen reellen Zahlen: die -1 einen Meter von der 0 entfernt, die -1.5 anderthalb Meter links von der Null usw.
Wir wählen die Veranschaulichung über die Entfernungen, weil damit auch Zahlen erfasst werden, die sich nicht als Bruch (z.B. 148/217) schreiben lassen. Beispiele sind die Länge der Diagonale eines Quadrats mit einem Meter Seitenlänge oder der Umfang eines Kreises mit einem Meter Durchmesser.
Wie im Kapitel Was ist eine Zahl? ausgeführt, gehört zur Definition der reellen Zahlen auch, wie man damit rechnet. Wir beschränken uns hier auf die vier Grundrechenarten.
Addition und Subtraktion veranschaulicht man sich am leichtesten, indem man eine reelle Zahl als Kontostand interpretiert. Negative Zahlen stehen für Schulden. Wenn man Schulden zu Schulden addiert, hat man mehr Schulden, etc.
Wenn man zwei positive reelle Zahlen p1 und p2 multipliziert, bekommt man eine Zahl, die so groß ist wie der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen p1 und p2. Für die Multiplikation von negativen und positiven reellen Zahlen gelten die folgenden Regeln:
- -p1 * p2 = -(p1 * p2)
- p1 * -p2 = -(p1 * p2)
- -p1 * -p2 = (p1 * p2)
wobei p1 und p2 wieder positive reelle Zahlen sind (und entsprechend -p1 und -p2 negative).
Die Division ergibt sich als Umkehrung der Multiplikation, oder als Formel:
(r2 / r1) * r1 = r2,
wobei r1 und r2 reelle Zahlen sind und r1 ungleich 0 ist.
Daraus ergeben sich für die reellen Zahlen noch weitere Rechenregeln.
