FU Berlin Digitale Dissertation
Stephan Baier : Über Zugänge von Hua und Pan Chengdong zum Primzahlzwillingsproblem On Hua's and Pan Chengdong's attempts to the prime twins problem
|Zusammenfassung| |Inhaltsverzeichnis| |Ergänzende Angaben|

Zusammenfassung Die vorliegende Doktorarbeit befaßt sich mit Primzahlzwillingen. Dies sind, im engeren Sinne, Paare von Primzahlen der Differenz 2. Bis heute ist es ein offenes Problem, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt oder nicht. Eine heuristisch gewonnene Vermutung von Hardy und Littlewood über die Verteilung der Primzahlzwillinge aus dem Jahre 1923 impliziert aber die Unendlichkeit der Menge der Primzahlzwillinge. Hardy und Littlewood gelangten zu ihrer Vermutung mit der von ihnen entwickelten Kreismethode, die später zur Lösung des berühmten ternären Goldbachproblems führte. Zwar ließ sich die Hardy-Littlewood-Vermutung bis heute nicht beweisen, aber immerhin gelang mit Hilfe der Kreismethode die Herleitung etwas schwächerer Resultate, sogenannter Fast-Alle-Aussagen über verallgemeinerte Primzahlzwillinge. Im wichtigsten Teil der Arbeit, dem zweiten Kapitel, werden solche Fast-Alle-Aussagen auf einem grundsätzlich neuen Weg ohne Verwendung der Kreismethode bewiesen. Die hier benutzte Methode basiert auf einem neueren Zugang zum Primzahlzwillingsproblem von Pan Chengdong aus dem Jahre 1982. Desweiteren werden tiefliegende Sätze der analytischen Zahlentheorie über Primzahlen in arithmetischen Progressionen angewandt. Im ersten Kapitel wird das ursprüngliche Ergebnis über Primzahlzwillinge von Pan Chengdong mit Hilfe von Abschätzungen für Kloostermansummen verbessert. Ein dem Pan Chengdongschen ähnliches Resultat von Hua wird im dritten Kapitel für Paare natürlicher Zahlen mit beschränkter Anzahl von Primfaktoren verallgemeinert. Hieraus geht eine asymptotische Vermutung über die Verteilung solcher Paare hervor, welche die Hardy-Littlewood-Vermutung über Primzahlzwillinge als Spezialfall enthält.

Inhaltsverzeichnis Die gesamte Dissertation können Sie als gezippten tar-File oder als zip-File laden. Durch Anklicken der Kapitelüberschriften können Sie das Kapitel in PDF-Format laden: Titel und Inhalt 1. Verbesserung eines Ergebnisses von Pan Chengdong 6 1.1 Formulierung der Problemstellung 6 1.2 Ein Ergebnis von Pan Chengdong 10 1.3 Formulierung der Hauptergebnisse 14 1.4 Aufspaltung der Teilterme 17 1.5 Abschätzung des Hauptgliedes 19 1.6 Abschätzung der Restglieder 23 1.7 Abschätzung unvollständiger Kloostermansummen und einfache Folgerungen 27 1.8 Abschätzung der Exponentialsummen mit Hilfe der Hooley-Hypothese $R*$ 29 1.9 Weiterer Versuch zur Abschätzung der Exponentialsummen 36 2. Fast-Alle-Aussagen für Primzahlzwillinge 46 2.1 Problemstellung 46 2.2 Formulierung und Beweis des Hauptergebnisses 47 2.3 Abschätzung von $R_1(x,y,M)$ 49 2.4 Aufspaltung von $R_2(x,y,M)$ in Teilterme 54 2.5 Abschätzung der Teilterme 57 2.6 Abschätzung von $R_2(x,y,M)$ 67 2.7 Übertragung auf das Goldbachproblem 68 2.8 Herleitung von Fast-Alle-Aussagen durch Rückführung auf Exponentialsummen 70 2.9 Abschätzung einer Exponentialsumme mit Hilfe des Großen Siebes 75 2.10 Schlußbemerkung 78 3. Verallgemeinerung eines Ansatzes von Hua 80 3.1 Der Ansatz von Hua 80 3.2 Das $[P_M,P_N]$-Problem 82 3.3 Aufspaltung von $pi_{2d}(M,N,x)$ 84 3.4 Vermutung für das $[P_M,P_N]$-Problem 88 3.5 Verschärfte Vermutung für das $[P_2,P_1]$-Problem 99 3.6 Abschätzung von $U_f(y,z)$ 103 4. Literaturverzeichnis 108

Ergänzende Angaben:
Online-Adresse:	http://www.diss.fu-berlin.de/2001/58/index.html
Sprache:	Deutsch
Keywords:	kloosterman sums, prime twins
DNB-Sachgruppe:	27 Mathematik
Klassifikation MSC:	11P32, 11N05, 11N13, 11L05
Datum der Disputation:	30-Nov-2000
Entstanden am:	Fachbereich Mathematik u. Informatik, Freie Universität Berlin
Erster Gutachter:	Prof. Dr. Volker Schulze
Zweiter Gutachter:	Prof. Dr. Dieter Wolke
Dritter Gutachter:	Prof. Dr. Wolfgang Schwarz
Kontakt (Verfasser):	baier@math.fu-berlin.de
Kontakt (Betreuer):	schulze@math.fu-berlin.de
Abgabedatum:	12-Mar-2001
Freigabedatum:	24-Apr-2001

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