FU Berlin Digitale Dissertation
Stephan Baier : On Hua's and Pan Chengdong's attempts to the prime twins problem Über Zugänge von Hua und Pan Chengdong zum Primzahlzwillingsproblem
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Abstract In the present doctoral thesis, prime twins will be investigated. Prime twins are, in the narrow sense, pairs of prime numbers with a constant difference 2, i.e. (3,5), (5,7), (11,13) and so forth. It is an unsolved problem, if there are infinitely many prime twins or not. However, using heuristical arguments, in 1923 Hardy and Littlewood discovered a conjecture on the distribution of prime twins, which implies the infinity of the set of prime twins. Hardy and Littlewood arrived at their conjecture by applying their circle method, which later led to the solution of the famous ternary Goldbach problem. No one was able to prove the Hardy-Littlewood-Conjecture, but at least weaker results on generalized prime twins, so-called almost-all-results, were derived by employing the circle method. In the second chapter, the most important part of the doctoral thesis, such almost-all-results will be proven in a principle new manner avoiding the circle method. The method used here is based on a recent approach to the prime twins problem, which was developed in 1982 by Pan Chengdong. Further, deep theorems of analytic number theory on prime numbers in arithmetic progressions will be applied. In the first chapter, Pan Chengdong's original result on prime twins will be improved by utilizing estimations for Kloosterman sums. Hua's similar result on prime twins will be generalized in the third chapter for pairs of natural numbers with a bounded number of prime factors. This generalization leads to an asymptotic conjecture on the distribution of such pairs, which contains the above-mentioned Hardy-Littlewood-Conjecture for prime twins as a special case.

Table of Contents Download the whole PhDthesis as a zip-tar file or as zip-File For download in PDF format click the chapter title Titel und Inhalt 1. Verbesserung eines Ergebnisses von Pan Chengdong 6 1.1 Formulierung der Problemstellung 6 1.2 Ein Ergebnis von Pan Chengdong 10 1.3 Formulierung der Hauptergebnisse 14 1.4 Aufspaltung der Teilterme 17 1.5 Abschätzung des Hauptgliedes 19 1.6 Abschätzung der Restglieder 23 1.7 Abschätzung unvollständiger Kloostermansummen und einfache Folgerungen 27 1.8 Abschätzung der Exponentialsummen mit Hilfe der Hooley-Hypothese $R*$ 29 1.9 Weiterer Versuch zur Abschätzung der Exponentialsummen 36 2. Fast-Alle-Aussagen für Primzahlzwillinge 46 2.1 Problemstellung 46 2.2 Formulierung und Beweis des Hauptergebnisses 47 2.3 Abschätzung von $R_1(x,y,M)$ 49 2.4 Aufspaltung von $R_2(x,y,M)$ in Teilterme 54 2.5 Abschätzung der Teilterme 57 2.6 Abschätzung von $R_2(x,y,M)$ 67 2.7 Übertragung auf das Goldbachproblem 68 2.8 Herleitung von Fast-Alle-Aussagen durch Rückführung auf Exponentialsummen 70 2.9 Abschätzung einer Exponentialsumme mit Hilfe des Großen Siebes 75 2.10 Schlußbemerkung 78 3. Verallgemeinerung eines Ansatzes von Hua 80 3.1 Der Ansatz von Hua 80 3.2 Das $[P_M,P_N]$-Problem 82 3.3 Aufspaltung von $pi_{2d}(M,N,x)$ 84 3.4 Vermutung für das $[P_M,P_N]$-Problem 88 3.5 Verschärfte Vermutung für das $[P_2,P_1]$-Problem 99 3.6 Abschätzung von $U_f(y,z)$ 103 4. Literaturverzeichnis 108

More Information:
Online available:	http://www.diss.fu-berlin.de/2001/58/indexe.html
Language of PhDThesis:	german
Keywords:	kloosterman sums, prime twins
DNB-Sachgruppe:	27 Mathematik
Classification MSC:	11P32, 11N05, 11N13, 11L05
Date of disputation:	30-Nov-2000
PhDThesis from:	Fachbereich Mathematik u. Informatik, Freie Universität Berlin
First Referee:	Prof. Dr. Volker Schulze
Second Referee:	Prof. Dr. Dieter Wolke
Third Referee:	Prof. Dr. Wolfgang Schwarz
Contact (Author):	baier@math.fu-berlin.de
Contact (Advisor):	schulze@math.fu-berlin.de
Date created:	12-Mar-2001
Date available:	24-Apr-2001

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