Zusammenfassung
Quantenfeldtheorien in niederen Raum-Zeit-Dimensionen (kleiner als 4)
zeigen das Phänomen der Quantensymmetrie, d.h. die globale
(Eich-)Symmetrie läßt sich nicht mehr durch eine Gruppe
beschreiben, sondern man benötigt allgemeinere allgebraische
Objekte wie zum Beispiel Quantengruppen. In dieser Arbeit werden 1+1
dimensionale Gitterquantenfeldtheorien - sogenannte
Quantengruppenspinketten und Gitterstromalgebren - konstuiert, deren
globale Symmetrie durch Quantengruppen an den Einheitswurzeln gegeben
ist.
Die Hauptschwierigkeit bei dieser Konstruktion
rührt von der Tatsache her, daß die halbeinfachen Quotienten
von Quantengruppen an den Einheitswurzeln nicht mehr koassoziativ
sind. Sie besitzen die Struktur einer schwachen
Quasi-Quantengruppe. Wir führen deswegen eine
neue mathematische Konstruktion, das sogenannte diagonale
verschränkte Produkt einer Algebra M mit der dualen einer
Quantengruppe G ein.
Diese Konstruktion läßt sich auf natürliche Weise auf
Quasi-Hopfalgebren im Sinne von Drinfeld oder noch allgemeiner im
Sinne von Mack and Schomerus (i.e. mit nicht unitalem
Koprodukt) verallgemeinern.
In diesen Fällen ergibt unser diagonales verschränktes Produkt
immer noch eine
assoziative Algebra obwohl eine entsprechende Verallgemeinerung
des
gewöhnlichen verschränkten Produkts
im allgemeinen zu keiner wohldefinierten assoziativen
Algebra führt.
Der Fall M = G führt zu einer Definition des
Quantendoppels D(G) einer (schwachen) Quasi-Hopfalgebra G. Wir
zeigen, daß D(G) selbst eine schwache quasitrianguläre
Quasi-Hopfalgebra ist. Wir geben explizite Formeln für das
Koprodukt, für die Antipode und für die R-Matrix an. Außerdem
zeigen wir, daß jedes diagonale verschränkte Produkt
auf natürliche Weise eine zweiseitige
D(G)-Kowirkung besitzt.
Dann benutzen wir unseren Formalismus zur Konstruktion von
Quantenspinketten und Gitterstromalgebren als iterierte diagonale
verschränkte Produkte und erreichen so unser Ziel der Konstruktion
dieser Modelle an den Einheitswurzeln. Auf beiden Gittermodellen wirkt
das Quantendoppel als lokalisierte Kosymmetrie. Zum Schluß
untersuchen wir die Darstellungstheorie der konstruierten
Quantenketten. Insbesondere zeigen wir, daß die irreduziblen
Darstellungen einer Gitterstromalgebra
eineindeutig den irreduziblen Darstellungen des Quantendoppels D(G) der
zugrundegelegten schwachen Quasi-Hopfalgebra G zugeordnet
werden können. |
